Formas Canónicas
8
1. Resolver la EDP ∂ 2 μ ∂x∂y =x +y 3 sujeta a las condiciones μ ( 1 ,y )=2 y 2 −4 y ; μ ( x,−2) =x +8 . Solución μ ( x,y )= x 2 y 2 + xy 4 4 +ψ ( y ) +f ( x ) ( 1) Utilizando condiciones del problema: μ ( 1 ,y )=2 y 2 −4 y ¿ ⏞ ( 1) y 2 + y 4 4 +ψ ( y ) +f ( 1) ⇰ ψ ( y) =2 y 2 − 9 y 2 − y 4 4 − f ( 1 ) ( 2 ) Reemplazando (2) en (1): μ ( x,y )= x 2 y 2 + xy 4 4 +2 y 2 − 9 y 2 − y 4 4 −f ( 1) + f ( x) ( 3) Utilizando la otra condición del problema: μ ( x,−2) =x +8 x +8=−x 2 +4 x+8+ 9−4−f ( 1 ) +f ( x ) Así, tenemos: f ( x )=x 2 −3 x−5 +f ( 1) ( 4) Reemplazando (4) en (3) μ ( x,y )= x 2 y 2 + xy 4 4 +2 y 2 − 9 y 2 − y 4 4 + x 2 −3 x−5 2. Hallar la integral general de la EDP: x ∂z ∂x +y ∂z ∂y =z Solución
-
Upload
neysser-blas-espinoza -
Category
Documents
-
view
8 -
download
1
description
mate 4
Transcript of Formas Canónicas
1. Resolver la EDP sujeta a las condiciones ; .Solucin
Utilizando condiciones del problema:
Reemplazando (2) en (1):
Utilizando la otra condicin del problema:
As, tenemos:
Reemplazando (4) en (3)
2. Hallar la integral general de la EDP:
Solucin1 Sistema de EDO:
2 caractersticas:
Luego, la solucin general est dado por:
Equivalentemente:
3. Hallar la integral general de la EDP:
Solucin1 Sistema de EDO:
2 caractersticas:
Luego, la solucin general est dado por:
4. Reducir a la forma cannica la EDP:
SolucinLA EDP DADA ES DE LA FORMA:
As:
La EDP pertenece al tipo parablicoDeterminacin de la forma cannica:PROCEDIMIENTO PARA REDUCIR UNA EDP DE SEGUNDO ORDEN A SU FORMA CANNICA: Para una EDP de tipo parablica:Las familias de caractersticas coinciden, es decir, la ecuacin de caractersticas presenta una sola integral: .El cambio de variables: , donde es una funcin cualquiera tal que ; permite reducir la EDP a su forma cannica.
1 Ecuacin de caractersticas
Resolviendo la EDO: 2 Cambio de variables
Reemplazando en la EDP dada se tiene: . (**)
Pero: y de (*) ;As: . (***) Reemplazando (***) en (**) se tiene: , que es la forma cannica de la EDP.
Ejemplo 2: Reducir a la forma cannica la EDP:
SolucinLA EDP DADA ES DE LA FORMA:
As:
La EDP pertenece al tipo elpticoDeterminacin de la forma cannica:PROCEDIMIENTO PARA REDUCIR UNA EDP DE SEGUNDO ORDEN A SU FORMA CANNICA: Para una EDP de tipo Elptica:La Ecuacin de caractersticas presenta dos integrales de la forma: donde son funciones reales.El cambio de variables: permite reducir la EDP a su forma cannica.1 Determinacin de caractersticas:
Resolviendo (1):
Integrando:
, se obtiene:
La solucin de la Ec de caractersticas es:
2 Cambio de variable:
