FORMACIÓN DE PERSONAS ADULTAS · Un porcentaje no es más que una razón en la que el denominador...
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ámbito científico-tecnológicoFORMACIÓN DE PERSONAS ADULTAS
MATEMÁTICAS y Resúmenes y fórmulas de los conceptos básicos
APÉNDICE DEL LIBRO
M. GRANDE
Apéndice
2
El sistema decimal
Nuestro sistema de numeración es decimal y posicional. Es decir, dispone de solo 10 cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), cuyo valor depende de la posición que ocupan en el número.
unidades de millar centenas decenas UNIDADES décimas centésimas milésimas
1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
Propiedades de las operaciones
Propiedad conmutativa. En una suma o en una multiplicación, el orden de los factores no altera el resultado.
a b b aa b b a
Propiedad asociativa. El resultado de una suma o de una multiplicación con tres o más factores no depende de cómo se agrupen.
a (b c) (a b) ca (b c) (a b) c
Propiedad distributiva. El producto de un número por una suma o una resta es igual a la suma de los productos del número por cada sumando.
a (b c) a b a ca (b c) a b a c
Sacar factor común. La suma o resta de productos que tienen un factor común es igual al producto de este factor por la suma o la resta de los otros factores.
a b a c a (b c) a b a c a (b c)
Existencia del elemento neutro. El elemento neutro es aquel número que, al intervenir en una operación con cualquier otro número, lo deja invariable. El elemento neutro de la suma (y de la resta) es el 0, mientras que el elemento neutro de la multiplicación (y de la división) es el 1. a 0 a a 1 a a 0 0 a : 1 a
Regla de los signos
() () () () () () () ()
() : () () : () () : () () : ()
Jerarquía de las operaciones
Para resolver operaciones combinadas hay que seguir estos pasos:
1. Paréntesis. Si después de observar la operación en conjunto vemos que hay algún paréntesis, ante todo hay que resolver las operaciones que contenga. Hecho esto, se escribe de nuevo toda la operación pero sustituyendo los paréntesis por los resultados correspondientes.
2. Multiplicaciones y divisiones. El segundo paso consiste en identificar las multiplicaciones y divisiones y resolverlas. A continuación, se vuelve a escribir la operación pero sustituyendo estas operaciones por los resultados correspondientes.
3. Sumas y restas. Finalmente, hay que resolver las sumas y restas, que se pueden calcular en el orden en que aparezcan en la operación combinada inicial.
múltiplos cifra de referencia submúltiplos
3
Criterios de divisibilidad
Divisible por 2 Si es par, es decir, si termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
Divisible por 3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Divisible por 4 Si sus dos últimas cifras son divisibles por 4 o termina en 00.
Divisible por 5 Si termina en 0 o 5.
Divisible por 6 Si es divisible por 2 y 3 a la vez.
Divisible por 7 Se elimina la última cifra; del número que queda se resta el doble de las unidades; se repite el mismo proceso con la diferencia obtenida hasta llegar a 0 o un múltiplo de 7, en cuyo caso se puede afirmar que el número es divisible por 7.
Divisible por 8 Si las tres últimas cifras son divisibles por 8 o terminan en 000.
Divisible por 9 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Divisible por 10 Si termina en 0.
Divisible por 11Si la diferencia entre las sumas de las cifras que ocupan posiciones impares y las que ocupan posiciones pares es 0, 11 o múltiplo de 11.
Divisible por 12 Si es divisible por 3 y 4 a la vez.
Máximo común divisor Mínimo común múltiplo
El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el divisor más grande que tienen en común. Para hallarlo hay que seguir estos pasos:
1. Descomponer los diferentes números en factores primos y expresarlos como producto de estos factores.
2. Tomar solo los factores comunes a todos los números, elevados al exponente más pequeño.
3. Multiplicar los factores comunes seleccionados.
El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el múltiplo más pequeño que tienen en común. Para hallarlo hay que seguir estos pasos:
1. Descomponer los diferentes números en factores primos y expresarlos como producto de estos factores.
2. Tomar todos los factores, comunes o no comunes, elevados al mayor exponente.
3. Multiplicar los factores seleccionados.
Apéndice
4
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. Es decir, si el cociente del numerador por el denominador es igual.
ab
cd
a b c d= ↔ =: :
Si multiplicamos o dividimos el numerador y el denominador de una fracción por un número, obtenemos una fracción equivalente.
ac
a kc k
=⋅⋅
ac
akck
=
Si dos fracciones son equivalentes, el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda es igual al producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Es decir, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a
bcd
a d b c= ↔ ⋅ = ⋅
Operaciones con fracciones
Suma y resta de fracciones con igual denominador. Se deja el denominador y se suman o restan los numeradores.
ac
bc
a bc
+ =+
ac
bc
a bc
− =−
Suma y resta de fracciones con distinto denominador. Se calcula el m. c. m. de los numeradores y se suman o restan las fracciones equivalentes con denominador común.
ac
bd
a bc d
+ =+' '
m.c.m.( , )
ac
bd
a bc d
− =−' '
m.c.m.( , )
Multiplicación de fracciones. Se multiplican por separado los numeradores y los denominadores.
ac
bd
a bc d
⋅ =⋅⋅
División de fracciones. Se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.
ac
bd
ac
db
a dc b
: ···
= =
Aproximaciones
Los números decimales tienen a menudo muchas cifras decimales, por lo cual es fácil incurrir en errores ya que no siempre las podemos escribir todas. Hay varias maneras de escribir un número decimal para que se aproxime al máximo a su valor real.
redondeo truncamiento
Para redondear un número decimal, debemos fijarnos en la cifra siguiente a la que queremos redondear:• Si es menor que 5, eliminamos todas las cifras de orden
inferior a la cifra considerada.• Si es mayor o igual que 5, eliminamos todas las cifras de or
den inferior a la considerada y la aumentamos una unidad.
Para truncar un número, eliminamos las cifras de orden inferior a la que consideramos.
Cálculo de errores
Dado que cuando redondeamos un número decimal siempre introducimos un pequeño error, debemos valorar la importancia del error cometido. Hay dos maneras de hacerlo: mediante el cálculo del error absoluto y mediante el cálculo del error relativo.
El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor hallado x y el valor exacto x de la medida o cálculo.
E x xa = −
El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto de la medida o cálculo, y se puede expresar en tanto por ciento (multiplicando por 100 el resultado).
EE
x
x x
xra= =
−
5
Razón y proporción
La relación entre una pareja de números a y b se puede expresar en forma de fracción. Esta fracción, donde a es el antecedente y b el consecuente, recibe el nombre de razón.
ab
Si dos razones ab
i bc
tienen el mismo valor, podemos igualarlas. Esta igualdad entre razones recibe el nombre de propor-
ción y el valor de la razón se llama razón de proporcionalidad.ab
cd
=
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando se cumple que:• Al aumentar una magnitud, la otra aumenta en la misma
proporción.• Al disminuir una magnitud, la otra disminuye en la misma
proporción.Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, al dividir el valor de una magnitud por el valor correspondiente de la otra magnitud se obtiene un valor constante llamado constante de proporcionalidad directa.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando se cumple que:• Al aumentar una magnitud, la otra disminuye en la misma
proporción.• Al disminuir una magnitud, la otra aumenta en la misma
proporción.Cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales, el producto del valor de una magnitud por el correspondiente valor de la otra magnitud es un valor constante llamado constante de proporcionalidad inversa.
Cálculo con proporciones
ab
cx
xc b
a= =→
·
ax
cd
xa d
c= =→
·
xb
cd
xb c
d= =→
·
ab
xd
xd · a
b= =→
Porcentajes
Un porcentaje no es más que una razón en la que el denominador es 100 ( xx
% ≡100
). Los porcentajes se utilizan especialmente en el cálculo de descuentos y recargos.
descuentos recargos
En el caso más general en el que se aplica un descuento del i % sobre un producto o servicio que tiene un precio P, el descuento d y el precio final Pf se calculan de la siguiente forma:
di
P=100
P P di
Pf = − = −
1
100
En el caso más general en el que se aplica un recargo del i % sobre un producto o servicio que tiene un precio P, el recargo r y el precio final Pf se calculan de la siguiente forma:
ri
P=100
P P di
Pf = + = +
1
100
interés simple interés compuesto
El capital Cn de que se dispone n períodos tras depositar un capital C0 a un interés simple del i % es:
C C ni
n = −
0 1
100
El capital Cn de que se dispone n períodos tras depositar un capital C0 a un interés compuesto del i % es:
C Ci
n
n
= −
0 1
100
Apéndice
6
Sistema Internacional de Unidades
Unidades de longitud. La unidad de longitud en el Sistema Internacional es el metro (m). A partir del metro, se obtienen otras unidades de longitud multiplicando o dividiendo sucesivamente la unidad por 10.
múltiplosunidad de referencia
submúltiplos
kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
Unidades de superficie. La unidad de superficie en el Sistema Internacional es el metro cuadrado (m2), que corresponde a la superficie de un cuadrado de 1 m de lado. A partir del metro cuadrado, se obtienen otras unidades de superficie multiplicando o dividiendo sucesivamente por 100.
múltiplosunidad de referencia
submúltiplos
kilómetro cuadrado
hectómetro cuadrado
decámetro cuadrado
metro cuadrado
decímetro cuadrado
centímetro cuadrado
milímetro cuadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1.000.000 10.000 100 1 0,01 0,0001 0,000001
Unidades de volumen. La unidad de volumen es el metro cúbico (m3), que corresponde al volumen de un cubo de 1 m de lado. A partir del metro cúbico, se obtienen otras unidades de volumen multiplicando o dividiendo sucesivamente por 1.000.
múltiplosunidad de referencia
submúltiplos
kilómetro cúbico
hectómetro cúbico
decámetro cúbico
metro cúbico
decímetro cúbico
centímetro cúbico
milímetro cúbico
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
1.000.000.000 100.000 1.000 1 0,001 0,00001 0,000000001
Unidades de capacidad. La unidad de capacidad más utilizada es el litro (L). A partir del litro, se obtienen otras unidades de capacidad multiplicando o dividiendo sucesivamente por 10.
múltiplosunidad de referencia
submúltiplos
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
kL hL daL L dL cL mL
1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
Unidades de masa. La unidad de masa en el Sistema Internacional es el kilogramo (kg), pero la unidad de referencia es el gramo (g). A partir del gramo, se obtienen otras unidades de masa, incluido el kilogramo, multiplicando o dividiendo sucesivamente por 10.
múltiplosunidad de referencia
submúltiplos
miriagramo kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramo
mag kg hg dag g dg cg mg
1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001
7
Las líneas
recta curva semirrecta segmento
rectas secantes rectas paralelas rectas perpendiculares
Los ángulos
Un ángulo es la porción de plano delimitada por dos semirrectas secantes. Distinguimos los siguientes elementos:
Vértice. Es el punto de intersección de las dos semirrectas que forman el ángulo.Lados. Son las líneas que delimitan el ángulo y que tienen un punto en común: el vértice.
La unidad de medida de ángulos más utilizada es el grado sexagesimal.
1 grado sexagesimal (°) 60 minutos (’) 1 minuto (’) 60 segundos (”)1 grado sexagesimal (°) 3.600 segundos (’)
ángulo recto ángulo agudo ángulo obtuso
ángulo nulo ángulo completo ángulo llano
ángulo cóncavo ángulo convexo
ángulo
vértice
lados
Apéndice
8
Ángulos consecutivos. Dos ángulos son consecutivos si tienen un vértice y un lado comunes.
Ángulos opuestos. Dos ángulos son opuestos si tienen el mis-mo vértice y los lados de un ángulo son la prolongación de los lados del otro.
ángulos complementarios ángulos suplementarios ángulos adyacentes
El triángulo
Un triángulo es un polígono formado por tres lados. Los elementos que definen todo triángulo son:Lado. Es cada uno de los segmentos que delimitan el triángulo.Vértice. Es el punto donde se encuentran dos lados.Ángulo. Es el espacio delimitado por dos lados consecutivos.
A B C 180° P a b c A =b · h
2
Triángulo equilátero. Los tres lados y los tres ángulos son iguales.
Triángulo isósceles. Dos lados y dos ángulos son iguales.
Triángulo escaleno. Los tres lados y los tres ángulos son diferentes.
Triángulo acutángulo. Los tres ángulos son agudos.
Triángulo rectángulo. Un ángulo es rec-to y dos son agudos.
Triángulo obtusángulo. Un ángulo es obtuso y dos ángulos son agudos.
A
B
C
a
b
ch
9
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
ab
c
abc
a2
b2
c2
Rectas y puntos notables de un triángulo
Las mediatrices y el circuncentro. La recta perpendicular a un segmento que pasa por el punto medio se llama mediatriz. Las tres mediatrices se cortan en un único punto, que puede ser interior o exterior al triángulo, llamado circuncentro.
Las bisectrices y el incentro. La bisectriz es la recta que divide un arco en dos partes iguales. Las tres bisectrices se cortan en un único punto llamado incentro.
Las medianas y el baricentro. La recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto se llama mediana. Las tres medianas se cruzan en un único punto llamado baricentro.
Las alturas y el ortocentro. La altura es el segmento que va de un vértice al lado opuesto, o a su prolongación, perpendicu-larmente. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un único punto llamado ortocentro.
a2 b2 c2
Apéndice
10
Los cuadriláteros
Paralelogramos No paralelogramos
A c2 A b · h
cuadrado rectángulo
A b · h
romboide rombo
trapecio
trapezoide
Los polígonos
Cualquier figura cerrada delimitada por segmentos, sea cual sea su forma, es un polígono. Un polígono tiene siempre tantos ángulos como lados.
Circunferencia y círculo
círculo
circunferencia
La circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto llamado centro. La región interior a la circunferencia recibe el nombre de círculo.
Lan°
l
Lna
c=360
·
r n°
A
rnsc =
� 2
360·
Arco Sector circular
Longitud de la circunferencia
L rc = 2�
Área del círculo
A r= � · 2
AB b h
=+
2( ) ·
AD d
2=
·
Ángulos de un polígono Diagonales de un polígono
n
n
− 2 180°( ) ⋅D
n n=
−· 32
( )
Perímetro de un polígono Área de un polígono
P n · C Ap ap
=⋅2
11
r
R
A R rcc = −( )� 2 2
Corona circular Segmento circular
Los cuerpos geométricos
Poliedros regulares
C 4V 4 A 6
C 6 V 8 A 12
C 8 V 6 A 12
Tetraedro Hexaedro o cubo Octaedro
C 12 V 20A 30
C 20V 12A 30
También llamados sólidos platóni-cos, tienen todos los lados iguales.
Dodecaedro Icosaedro
Poliedros irregulares
Prismas
C 5; V 6; A 9 C 6; V 8; A 12 C 6; V 8; A 12
Prisma triangular Prisma rectangular Prisma cuadrangular
C 7; V 10; A 15 C 8; V 12; A 18
V Abase hAtotal Pbase h 2 Abase
Prisma pentagonal Prisma hexagonal
Apéndice
12
Pirámides
C 4 V 4 A 6
C 5 V 5 A 8
C 5 V 5 A 8
Pirámide triangular Pirámide cuadrangular Pirámide rectangular
C 6; V 4; A 10 C 7; V 7; A 12B
b
a
Pirámide pentagonal Pirámide hexagonal Tronco de pirámide
Cuerpos de revolución
Alateral 2� r h Abase � r2
V r h= � 2
Abase � r2
Alateral p g2
=/
/=
22
��
r gr g
Vr h
=� 2
3
Abase 2 2 2� R r+( )Alateral � R r g+( )
Cilindro Cono Tronco de cono
A 4 2� r
V r=43
3�
Esfera Toro Casquete esférico
Abase mayor Abase menor nB b
a· ·+2
Alateral nB b
a· ·+2
P p g+( )
2
13
Magnitudes y variables
Una magnitud es una propiedad o característica que se puede medir y expresar numéricamente. Las magnitudes que pueden tomar diferentes valores se llaman variables. Dos o más variables pueden estar relacionadas numéricamente.
variable independiente variable dependiente
Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable que podamos analizar, y que determina el valor que toma otra variable.
Es aquella variable que depende de las variables independientes. Generalmente coincide con las variables que se observan en un estudio o experimento.
Ejes de coordenadas
Denominamos ejes de coordenadas o ejes cartesianos al sistema gráfico de representación de variables formado por un par de rectas (llamadas ejes) que se cruzan perpendicularmente. • La recta horizontal recibe el nombre de eje de abscisas y corresponde a
la recta numérica que contiene los valores que puede tomar la variable independiente x.
• La recta vertical recibe el nombre de eje de ordenadas y corresponde a la recta numérica que contiene los valores que puede tomar la variable dependiente y.
• El punto en el que se cruzan los dos ejes de coordenadas se llama ori-gen de coordenadas y corresponde al punto en que las dos variables toman valor cero.
Funciones
Una función es una relación de dependencia entre dos variables, de forma que a cualquier valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.
función lineal función afín
x
y
y = ax
La pendiente (a) indica la inclinación de la recta respecto del eje de abscisas.
x
y
y = ax + bb
La ordenada en el origen (b) indica el punto de corte con el eje de ordenadas.
Monomios
Un monomio es una expresión algebraica que tiene un único término. En un monomio distinguimos dos elementos: • La parte literal, es decir, las letras (variables e incógnitas).• El coeficiente, es decir, el número que multiplica o divide la parte literal.
coeficiente 5 x3 parte literal
El grado de un monomio depende del exponente de su parte literal. Si solo hay una variable, el grado coincide con el exponente de esta variable; si hay más de una variable, el grado del monomio coincide con la suma de los exponentes de la parte literal. Un monomio que no tiene parte literal recibe el nombre de término independiente, y tiene grado cero.
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7–6–7 8–8
1
2
3
4
5
6
–1
–2
–3
–4
–5
–6
x
y
00
Apéndice
14
Operaciones con monomios
suma y resta multiplicación y división
Para sumar dos monomios semejantes hay que sacar fac-tor común la parte literal.
3ab − ab = (3 – 1)ab = 2ab3x2+ 5x + x − 2x2 = (3 − 2)x2 + (5 + 1)x = x2 + 6x
Para multiplicar o dividir monomios hay que dividir separadamente los coeficientes y las partes literales y aplicar las propiedades de las potencias.
2x4 · 3x3 = 12x7
12a2b5 : 2ab2 = 6ab3
Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica con dos o más monomios no semejantes separados por los signos de la suma o la resta.
P(x) = 3x3+ 5 x2 + x − 9El grado de un polinomio coincide con el mayor grado de los monomios que lo componen.• Polinomio completo. Contiene monomios de todos los grados, incluído el de grado cero.• Polinomio incompleto. Faltan monomios de algún grado.
Operaciones con polinomios
suma y resta multiplicación
Para sumar y restar polinomios hay que ordenarlos previamente en función del grado de sus términos y situarlos uno bajo el otro, de modo que los términos semejantes estén alineados.Para restar polinomios, aplicamos la definición de la resta de números enteros: «restar es sumar al minuendo el opuesto del substrayendo».
• Producto de un número y un polinomio. Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.
• Producto de un monomio por un polinomio. Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.
• Producto de dos o más polinomios. Se multiplica cada término de un polinomio por todos los términos del otro polinomio. Una vez realizadas todas las multiplicaciones, se suman los términos semejantes.
Igualdades algebraicas
Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas relacionadas por el signo =. Las expresiones algebraicas que hay en cada lado de la igualdad reciben el nombre de miembros, y cada miembro puede estar formado por uno o más términos. términos
2x5 + 3x2 + 2x = 7x + 2x - 3
miembros
ecuaciones identidades
Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple para un valor concreto de incógnita, es decir, que tiene solución única.
Una identidad es una igualdad que se cumple independientemente del valor que pueda tomar la incógnita, es decir, tiene infinitas soluciones.
Resolución de ecuaciones
1. Pasamos todos los términos literales a un miembro de la ecuación y todos los términos numéricos al otro miembro. Cuando los términos cambian de miembro, también cambian de signo.
2. Realizamos las operaciones que corresponda hasta tener un único término literal en un miembro y un único término numérico en el otro miembro.
3. Si el término literal es una incógnita multiplicada por un número, pasamos el coeficiente al otro miembro dividiendo (si la división no es exacta, el resultado se expresa en forma de fracción irreducible). Si el término literal es una incógnita dividida por un número, pasamos este número al otro miembro multiplicando.
Apéndice
15
Resolución de problemas con ecuaciones
1. Leemos el problema con atención.2. Identificamos los datos conocidos, los desconocidos y aquello que se nos pregunta.3. Decidimos a cuál de las variables desconocidas asociamos la incógnita (generalmente se usa la letra x para representar
esta cantidad).4. Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico.5. Resolvemos la ecuación.6. Escribimos la solución explícitamente y nos aseguramos de que se ha respondido a la pregunta inicial.
Ecuaciones de segundo grado
Las ecuaciones de segundo grado son aquellas en las que aparece una incógnita elevada al cuadrado. La expresión general de una ecuación de segundo grado es:
ax2 + bx + c = 0Las ecuaciones de segundo grado pueden tener hasta dos soluciones, que se hallan a partir de la fórmula general:
xb b ac
a=
− ± −2 42
Ecuaciones de segundo grado incompletas
ax2 + c = 0 ax2 + bx = 0
Resolvemos la ecuación despejando x2. Después, para encontrar el valor de x, hay que hallar la raíz cuadrada.
ax c ax c x c a x c a2 2 20+ = → = − → = − → = −/ /
Sacamos x factor común, de modo que tendremos un producto igualado a cero.
x(ax + b) = 0Para que un producto sea cero uno de los factores debe ser cero. Por tanto, la primera solución se obtiene de imponer que el primer factor es igual a cero (x = 0) y la segunda solución se obtiene de imponer que el segundo factor es igual a cero (ax + b = 0).
Discusión de las soluciones de una ecuación de segundo grado
El número de soluciones de una ecuación de segundo grado depende del discriminante:D = b2 - 4ac
• D = b2 - 4ac > 0: la ecuación tiene dos soluciones.• D = b2 - 4ac = 0: la ecuación tiene una única solución.• D = b2 - 4ac < 0: la ecuación no tiene solución.
Ecuaciones bicuadradas
Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones incompletas de grado 4 en las que no hay términos de grado 3 ni de grado 1. Su expresión general es:
ax4 + bx2 + c = 0Realizando el cambio de variable x2 = t se obtiene una ecuación de segundo grado que se puede resolver con la fórmula general:
x2 = t → x4 = t2 → at2 + bt + c = 0
Sistemas de ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas
Un sistema de ecuaciones es un conjunto formado por dos ecuaciones que expresan diversas relaciones entre dos variables x e y, cada una de las cuales tiene el mismo valor en las dos ecuaciones:
ay bx c
a y b x c
+ + =+ + =
0
0' ' '
Apéndice
16
Métodos algebraicos de resolución de sistemas de ecuaciones
método de igualación método de sustitución método de reducción
1. Aislamos la misma incógnita en las dos ecuaciones.
2. Igualamos las expresiones algebraicas obtenidas.
3. Resolvemos la ecuación de una incógnita resultante.
4. Hallamos el valor de la segunda incógnita una vez conocido el valor de la primera.
1. Aislamos una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Sustituimos en la segunda ecuación esta incógnita por su expresión algebraica, obtenida en el punto 1.
3. Resolvemos la ecuación de primer grado con una incógnita resultante.
4. Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo el valor hallado en el punto 3 en la ecuación obtenida en el punto 1.
1. Modificamos las ecuaciones para obtener dos términos opuestos con la misma incógnita.
2. Sumamos las dos ecuaciones término a término como si se tratase de polinomios.
3. Resolvemos la ecuación de primer grado con una incógnita resultante.
4. Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones la primera incógnita por el valor hallado en el punto 3.
Método gráfico de resolución de sistemas de ecuaciones
1. Aislamos en las dos ecuaciones la incógnita y, que es la variable dependiente.
2. Construimos una tabla de valores para cada una de las ecuaciones fijando valores de la variable x y hallando los valores correspondientes para la variable y.
3. Representamos y unimos los puntos de las dos tablas de valores sobre unos mismos ejes de coordenadas. Obtenemos dos rectas.
4. Identificamos el punto de corte de las dos rectas. Las coordenadas del punto de corte corresponden a los valores de x y de y, respectivamente, que son solución del sistema.
x
y
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7–6–7–8 8
1
234
5
6
–1
–2–3
–4–5–6
00
(x, y)
Discusión de sistemas de ecuaciones
Las soluciones de un sistema de ecuaciones dependen de la relación entre los coeficientes:
ay bx c
a y b x c
+ + =+ + =
0
0' ' '
• El sistema tiene infinitas soluciones si aa
bb
cc' ' '
= = .
• El sistema no tiene solución si aa
bb
cc' ' '
= ≠ .
• El sistema tiene una única solución si aa
bb' '
≠ .
Teorema de Tales
Cuando dos rectas secantes son cortadas por rectas paralelas, todos los segmentos definidos por los puntos de corte son proporcionales a sus segmentos homólogos.
r
s
O
a b c
A BC
A’ B’C’
OA
OA
AB
A B
BC
BC' ' ' '= =
AA
BB
OA
OB
OA
OB
´
'
'
'= =
Apéndice
17
figuras semejantes razón de semejanza
Dos figuras geométricas son semejantes si tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales.
La razón de semejanza es la razón de proporcionalidad entre los segmentos homólogos de dos figuras semejantes. Se representa con la letra k y es adimensional, es decir, no tiene unidad de medida.
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos:a2 = b2 + c2
abc
a2
b2
c2
a2 = b2 + c2
Razones trigonométricas
sen� = =cateto opuesto
hipotenusaba
cos� = =cateto contiguo
hipotenusaca
tan� = =cateto opuesto
cateto contiguobc
a
c
b
α
Razones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60°
30° 60° 45°
sen12
32
22
cos 32
12
22
tan 33
3 1
Relación entre las razones trigonométricas
tancos
��
�=
sensen2 2 1� �+ =cos
cosec ��
=1
sensec
cos�
�=
1cotan�
�=
1tan
Triángulos no equiláteros
teorema del seno
ab
cA B
C
aA
bB
cCsen sen senˆ ˆ ˆ= =
teorema del coseno
a b c ab A2 2 2 2= + − cos ˆ
Apéndice
18
Elementos de los estudios estadísticos
• Individuo: cada uno de los sujetos a los que se refiere el estudio estadístico.• Población: conjunto de individuos que son susceptibles de ser estudiados.• Muestra: parte representativa de la población sobre la que se realiza directamente el estudio estadístico.
Variables estadísticas
Una variable estadística es una magnitud o una característica de la población que es objeto de un estudio estadístico. Las variables estadísticas se clasifican en variables cualitativas y variables cuantitativas, en función de los valores que tomen.
variables cualitativas variables cuantitativas
Son variables no mensurables, es decir, sus valores no son numéricos.
Son variables mensurables, es decir, sus valores son numéricos.• Variables cuantitativas discretas. Admiten un número
finito de valores comprendidos entre dos valores próximos.
• Variables cuantitativas continuas. Admiten un número infinito de valores comprendidos entre dos valores próximos.
Frecuencias
Frecuencia absoluta (ni): número de veces que aparece un valor en la lista de datos.Frecuencia relativa (fi): número de veces que aparece un valor con respecto al total de datos.Frecuencia porcentual (pi): número de veces que aparece un valor expresado en tanto por ciento.Frecuencia absoluta acumulada (Ni): suma de las frecuencias relativas de todos los valores iguales o inferiores al valor considerado.Frecuencia relativa acumulada (Fi): suma de las frecuencias relativas de todos los valores iguales o inferiores al valor considerado.Frecuencia porcentual acumulada (Pi): suma de las frecuencias porcentuales de todos los valores iguales o inferiores al valor considerado.
Gráficos estadísticos
diagrama de barras histograma
núm
ero
de e
xplo
taci
ones
Explotaciones ganaderas por especies
0
5
10
15
bovino porcinoovino
20
25
tipo de especie
frec
uenc
ias
Edad de los socios del Club Deportivo Iberia
0
250
500
750
1.000
1.250
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
edades
diagrama de sectores diagrama de puntos y diagrama lineal
a favor
en contra
NS/NC
habi
tant
es
Evolución demográfica en un municipio
250
500
750
1.000
1.250
2008 2009 201020072000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
año
bene
ficio
s (€
)
Evolución anual de los beneficios
1.250
1.500
1.750
2.000
2.250
2008 2009 201020072001 2002 2003 2004 2005 2006
año
Apéndice
19
pictograma pirámide de población
Evolución anual del consumo de cereales
200620052001 2002 2003
año
5.500 ha
7.389 ha
9.836 ha
18.400 ha21.645 ha
Pirámide de población española (año 1900)
0 – 45 – 9
10 – 14
0
70 – 74
60 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3925 – 3420 – 2415 – 19
65 – 69
75 – 7980 – 84
+85
2,5% 5%02,5%5%
hombres mujeres
cartograma
Precipitaciones anuales Tránsito aéreo en las principales ciudades europeas
Medidas de centralización
moda media mediana
Es el valor de la variable que aparece con más frecuencia.
Es el cociente entre la suma de todos los datos y el número total de datos.
xa a a
N
x n
Nn i i=
+ + +=
⋅∑1 2 ...
Es el valor que ocupa la posición central de una distribución de datos una vez ordenada.
Medidas de dispersión
recorrido desviación media variancia desviación típica
Es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo.
R x xmáximo mínimo= −
Es la media de las desviaciones de todos las datos registrados respecto la media arit mética.
Dx x
Nmi=−∑
Es el cociente de la suma de los cuadrados de las desviaciones multiplicadas por sus frecuencias absolutas y el total de datos del estudio estadístico.
Vx x n
Ni=
−( ) ⋅∑ 1
2
Vx f
Nxi i=
⋅−∑ 2
2
Es la raíz cuadrada de la variancia.
� = ± V
Apéndice
20
Distribución normal
(x + , x - ) → 68 % (x + 2, x - 2) → 95 % (x + 3, x - 3) → 99 %
σ 2σ 3σ–2σ −σ–3σ
68%
x
95%
99%
Experimentos aleatorios
Un experimento aleatorio es una experiencia cuyo resultado no se puede conocer previamente.
Espacio muestral
El espacio muestral es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Se representa con la letra E y los elementos que lo forman se escriben entre llaves.
Cálculo de probabilidades
regla de Laplace probabilidad de sucesos incompatibles
P A( )=casos favorables
casos totalesP A B P A P B∪( )= ( )+ ( )
probabilidad de sucesos compatibles teorema de la probabilidad compuesta
P A B P A P B P A B∪( )= ( )+ ( )− ∩( ) P A B P A B P B∩( )= ( )⋅ ( )teorema de la probabilidad condicionada teorema de la probabilidad total
P A BP A B
P B( )=
∩( )( )
P B P B A P A P B A P A P B A P An n( )= ( )⋅ ( )+ ( )⋅ ( )+… ( )⋅ (1 1 2 2 ))
Apéndice