Forma de Jordan CHECAR
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24/6/2015 Forma de Jordan
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Forma de Jordan:Al tratar de diagonalizar una matriz, si ésta posee algunos de sus autovalores que sean iguales, puede ser que no lleguemosencontrar ninguna transformación lineal que logre diagonalizarla completamente. Esto ocurre cuando para ese autovalormúltiple, no podamos encontrar suficientes autovectores linealmente independientes (debemos encontrar autovectores –linealmente independientes en la misma cantidad que la multiplicidad del autovalor para poderlo diagonalizarcompletamente).En los casos en que no es posible diagonalizar la matriz, se puede llevar la misma –a través de una transformación lineal a laforma de Jordan, que consiste en tener en la diagonal principal los autovalores i de la matriz, y “unos” extradiagonales enbloques de Jordan en los lugares de los autovalores múltiples:
La cantidad de “unos” extradiagonales dependerá de la cantidad de autovectores linealmente independientes que podamosobtener del autovalor múltiple. Si la multiplicidad del autovalor es k, y obtenemos l autovectores linealmente independientespara ese autovalor, entonces la cantidad m de “unos” extradiagonales será m = k – l.Veamos en los siguientes dos ejemplos, cómo obtener la matriz de transformación T para llevar a las matrices a su forma deJordan. Ejemplo 1:Queremos llevar a la forma de Jordan a la siguiente matriz:
Primeramente determinamos los autovalores del mismo, mediante la solución de la siguiente ecuación:
Por lo tanto, = 2 es autovalor de multiplicidad 3.Determinemos cuáles y cuántos son los autovectores de este autovalor:
y por lo tanto existe solo una única dirección de autovector , que sea solución no trivial de las ecuaciones.Como encontramos solamente un solo autovector, la forma de Jordan de la matriz A1 será:
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El único autovector encontrado, ya forma parte de la nueva base representado en la base original, ya que en la nueva base es:
y por lo tanto en la base original debe cumplirse:
o sea que v, el autovector encontrado, cumple con esta ecuación.Ahora debemos encontrar en la base original otras dos direcciones linealmente independientes de tal manera que se cumpla:
o sea que en la base original debemos buscar un vector que cumpla:
y otro vector en la base original que cumpla: A estas dos vectores que definen otras dos direcciones para completar el espacio de 3 dimensiones, se las conoce comoautovectores generalizados (a diferencia de autovector ‘a secas’, los cuales no lo son).Por lo tanto, busquemos el primer autovector generalizado de manera de cumplir:
Y elegimos el vector arbitrariamente que cumple con las ecuaciones enunciadas.De manera semejante, determinamos el segundo autovector generalizado:
Eligiendo arbitrariamente como vector , que cumple con las ecuaciones descriptas, completamos la
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base para la transformación lineal. Por lo tanto la matriz T de cambio de base será:
Esta matriz hace que un vector en la base original pueda escribirse como función de la nueva representación :
Finalmente, transformando la matriz A1 (determinando previamente T1), llegamos a A1J con la forma de Jordan:
Ejemplo 2:Ahora queremos llevar a la matriz A2 a su forma de Jordan:
Determinamos los autovalores del mismo:
Por lo tanto, = 2 es autovalor de multiplicidad 3.Determinemos cuáles y cuántos son los autovectores:
De éstas ecuaciones vemos que cualquiera sea v2, y con tal que v1 = v3, se cumplen con las mismas. Por lo tanto, en este caso,
podemos elegir dos autovectores: y . Notar en este caso que cualquier combinaciónlineal de éstos dos vectores, también es autovector de la matriz A2.La forma de Jordan de esta matriz será A2J:
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Ahora debemos determinar el autovector generalizado para completar la nueva base. Este autovector generalizado no
necesariamente es proyección de alguno de éstos dos vectores ó , sino que en general será de alguna combinaciónlineal de los mismos:
Y este conjunto de ecuaciones tendrán una solución posible, siempre que = . Por lo tanto el autovector sobre el cual el
autovector generalizado se proyecta es: .El autovector generalizado deberá cumplir que:
No importando el valor que tome w2. Eligiendo arbitrariamente w2 = 0, y tomando w1 = 1, obtenemos el autovector
generalizado: .Por lo tanto ya contamos con todos los vectores para determinar la matriz T de cambio de base:
Notar que para el primer vector podría haber elegido también , o cualquier otra dirección del plano que forman y ,con tal que sea linealmente independiente de .Finalmente determinamos la matriz A2J con la forma de Jordan:
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