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Curso propedutico
FSICA MODERNA
Clase 1: 17 de marzo de 2015
Dra. Mara Luisa Garca Betancourt
-
Sistema de Referencia
Transformaciones de Galileo
Constancia de la velocidad de la luz y
sus consecuencias
Concepto de simultaneidad.
Transformaciones de Lorentz
-
Sistema de Referencia Transformaciones de Galileo
Constancia de la velocidad de la luz y
sus consecuencias
Concepto de simultaneidad.
Transformaciones de Lorentz
-
Nino leyendo:
en reposo... o
en movimiento?
A veces se dice que el nio, los
libros, y el gato estn en reposo.
Por lo tanto, todos estn en
movimiento con la misma velocidad.
Slo se puede detectar el movimiento
con respecto a algo ms.
Sin embargo la tierra
mantiene un movimiento con
velocidad constante
-
Sistema de Referencia
Transformaciones de Galileo Constancia de la velocidad de la luz y
sus consecuencias
Concepto de simultaneidad.
Transformaciones de Lorentz
-
FS
ICA C
LSIC
A PRINCIPIO DE LA RELATIVIDA DE GALILEO
Las leyes de la fsica son independientes
de cualquier sistema de referencia, por
lo que es imposible determinar por medio
de experimentos mecnicos si un sistema
inercial se mueve o no.
-
FS
ICA C
LSIC
A
Sistema de Referencia: Conjunto de coordenadas
que permite determinar unvocamente la
ubicacin espacial y temporal de cualquier suceso.
Sistema inercial: Sistema de referencia que esta
en reposo o movimiento rectilneo uniforme
respecto de un objeto material sobre el cual no
acta fuerza alguna, cualquiera sea su posicin.
Principio Relatividad Galileo:
En los sistemas inerciales los fenmenos mecnicos
responden a las mismas leyes, lo que hace
imposible distinguir en mecnica cual de ellos esta
en reposo y cual en movimiento.
Las leyes de la fsica son independientes del
sistema de referencia.
-
FS
ICA C
LSIC
A
Sistema de Referencia
-
FS
ICA C
LSIC
A
S S
VVt
(1.1)
(1.2)
-
FS
ICA C
LSIC
APrimera Ley: \Todo cuerpo permanecer en
su estado de reposo o movimiento uniforme
y rectilneo a no ser que sea obligado por
fuerzas impresas a cambiar su estado
Segunda Ley: "El cambio de movimiento es
proporcional a la fuerza motriz impresa y
ocurre segn la lnea recta a lo largo de la
cual aquella fuerza se imprime
Tercera Ley: "Con toda accin ocurre
siempre una reaccin igual y contraria; las
acciones mutuas de dos cuerpos siempre son
iguales y dirigidas en sentidos opuestos"
-
NACIM
IEN
TO
DEL
ELECTRO
MAG
NETIS
MO
Coulomb 1736-1806 Fuerzas de atraccin y repulsin entre objetos cargados (similar a la
fuerza gravitacional).
Benjamin Franklin Emisin de rayos en las tormentas son chispas elctricas.
Hans Christian Oesterd (1777-1851). Las corrientes elctricas producen fuerzas
magnticas.
Andr-Marie Ampere (1775-1836). Ley querelaciona la corriente elctrica con la fuerza
magntica que genera.
Michael Faraday (1791-1867). La relacin entre la electricidad y el magnetismo.
HACIA FALTA UNA FORMULACION UNIFICADA
ENTRE LA ELECTRICIDAD Y EL MAGNETISMO
-
James Clerk
Maxwell
Manifestacin de un solo fenmenofsico: ELECTROMAGNETISMO.
Fenmeno similar a la gravitacin. Elucidacin de la naturaleza de la luz:
existen ondas electromgneticas que
consisten en oscilaciones del campo
electromagntico.
Concepto de campo electromagntico.
El puente
entre la
fsica clsica
y la fsica
moderna
-
EL
ETER
-
Sistema de Referencia
Transformaciones de Galileo
Constancia de la velocidad
de la luz y sus consecuencias Concepto de simultaneidad.
Transformaciones de Lorentz
-
EXPERIM
EN
TO
DE
MIC
HELSO
N-M
ORLEY
EL ETER
Misteriosa sustancia intangible quepermea todos los cuerpos en el universo.
Sirve como medio fsico para transportarlas ondas electromagnticas.
Relacionado con la teora de Maxwell ynace por la necesidad de un espacio
absoluto.
- Primer prueba contra la teora
del ter
- Ausencia de desplazamiento en las
franjas de interferencia.
- La velocidad del viento del ter era nula.
- Como alternativa, se pens que la Tierra
arrastraba consigo al ter como la
atmosfera. A diferentes alturas
obtuvieron resultados negativos.
- Se descart la existencia del ter.
- Que C (velocidad de la luz dependa de la
fuente emisora).
LA EXPLICACIN CORRECTA FUE DADA POR
LA TEORA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD
(EINSTEIN 1905)
-
Albert
Einstein El principio de la relatividad
La constancia de la velocidad de la luz
1879-1955
Las leyes de la fsica son las mismas para todos los marcos de referencia que se mueven a velocidad constante uno con respecto a otro.
La rapidez de la luz c en el espacio libre es constante para todos los observadores, independiente de su estado de movimiento. (c = 3 x 108 m/s)
-
Cul es la velocidad del hombre?
No se puede decir sin un marco de referencia.
Cul es la velocidad del hombre con respecto a la
plataforma y con respecto a la tierra (Vt)?
Vt
-
Velocidad del hombre con respecto a la plataforma
vrel + Vt
Considerando que Vo= 0
Vt
-
Velocidad del hombre con respecto a la plataforma
vrel - vo
Considerando que Vt= 0
Vt
-
10 m/s10 m/s
c c
Velocidades observadas dentro del carro
Las bolas y la luz de la linterna tienen direcciones opuestas.
Las velocidades de las bolas cambian con respecto a la plataforma, la velocidad de la
luz NO.
40 m/s20 m/s
cc
Velocidades observadas desde afuera del carro
30 m/s 30 m/s
La rapidez de la luz no es afectada por el movimiento relativo y es exactamente igual a:
c = 2.99792458 x 108 m/s
-
Sistema de Referencia
Transformaciones de Galileo
Constancia de la velocidad de la luz y
sus consecuencias
Concepto de simultaneidad. Transformaciones de Lorentz
-
Po en el tren en movimiento
P est en el suelo.
En t = 0, el relmpago
golpea tren y suelo en A y B.
El observador P ve los
eventos relmpago A y
B como simultneos.
El observador Po dice que el
evento Bo ocurre antes que el
evento Ao debido al
movimiento del tren.
Cada observador tiene razn!
-
Es la alteracin del tiempo y del espacio lo
que permite que las leyes de la fsica (incluso
las ecuaciones de Maxwell) sean las mismas
para observadores en movimiento unirorme.
-
Considerar un
vehculo que se mueve
hacia la derecha con
una velocidad v
El pulso de luz llega de vuelta a la linterna
El pulso luminoso viaja con una velocidad c constante
O est en reposo
con respecto al
vehculo.
Tiene un reloj
suceso 1
O enciende momentneamente una linterna situada
a una distancia d, debajo de un espejo fijado al techo del vehculo. La luz se proyecta en direccin
vertical hacia el espejo.
suceso 2
Tiempo transcurrido
entre los dos sucesos
TIEMPO PROPIO
Tiempo propio: Es el intervalo de tiempo entre dos
eventos segn lo mide un observador que ve los eventos
ocurriendo en el mismo punto del espacio. El tiempo
propio siempre se mide por un observador que se mueve
junto con el reloj.
-
Sucesos son observados O
Para O, la linterna y el haz se mueven a la derecha
En el espejo la distancia en x es Vt/2.
t es el tiempo que tarda el haz en regresar a la lmpara medido
por O
-
El intervalo de tiempo t medido por el observador situado en el
segundo sistema de referencia
ser mayor que el intervalo de
tiempo t medido por el
observador en el primer sistema
de referencia
El pulso de luz recorre
distacias distintas en los
sistemas.
-
El intervalo de tiempo t medido por O es mayor que el intervalo de tiempo medido por O porque
tp es siempre mayor que la unidad
A este efecto se le conoce como
dilatacin temporal
-
Este fenmeno no se observa en nuestra vida
cotidiana porque el factor solo se desva de
la unidad para velocidades muy altas
-
En 1976 se realizaron experimentos con
muones en el laboratorio del Consejo
Europeo de Investigaciones Nucleares
(CERN) en Ginebra.
Curvas de desintegracin para muones que se desplazan a
una velocidad de 0.9994c y para muones en reposo.
-
=[ 0.95 + 0.95 * (0.05)] c = 0.9975 c
= =3
1 0.9975 2/2 43
-
Longitud propia:
La longitud del
objeto medida por
alguien que est
en reposo con
respecto al
objeto.
Lp
v
O
O
Segn O > = /
Cual es la distancia entre las dos
estrellas que mide el observador
O?
-
Lp
v
O
ODebido a la dilatacin
del tiempo O mide
= /
O afirma estar en reposo y ve pasar la
estrella a una velocidad vDado que llega en un tiempo menor,
concluye que la distancia L, entre las
estrellas es ms corta que Lp.
= =
= 1
2
2
1/2
1 2
2
1/2
< 1
La contraccin solo
se lleva a cabo en
la direccin del
movimiento
-
Sistema de Referencia
Transformaciones de Galileo
Constancia de la velocidad de la luz y
sus consecuencias
Concepto de simultaneidad.
Transformaciones de Lorentz
-
Einstein postul
Que las ecuaciones de Maxwell son rigurosamente vlidas encualquier sistema de referencia.
EL TER SIMPLEMENTE NO EXISTE.
Al no haber ter con respecto a qu debe medirse la velocidadde la luz?
LA VELOCIDAD DE LA LUZ ES LA MISMA EN CUALQUIER SISTEMA DE REFERENCIA.
Esto es lo que indica el experimento de Michelson Morley.
Implicacin de la teora de la relatividad: que las ecuaciones detransformaciones de Galileo no son vlidas por ser incompatibles
con las ecuaciones de Maxwell.
Existe una transformacin de coordenadas, parecidas a las deGalileo, que mantengan invariante a la forma de las ecuaciones
de Maxwell.
-
Transformaciones Galileanas no son vlidas cuando . Si , la transformacin se reduce a las Galileanas.
Hendric A. Lorentz (1853-1928) obtuvo las transformaciones vlidas para todas las velocidades en el
intervalo 0 .
La transformacin mantiene invariante las ecuaciones de Maxwell.
Einstein encontr el profundo significado fsico de estatransformacin
Las transformaciones de Lorentz son un conjunto de expresiones matemticas espacio/temporales de dos
obseradores inerciales que se mueven a una velocidad
relativa .
-
=
1 2 2
=
=
= 2
1 2 2
Para Lorentz, sudescubrimiento era
slo una curiosidad
matemtica.
Einstein encontr el profundo significado
fsico de esta
transformacin
Demostrar que estas transformaciones se
reducen a la transformacin Galileana
(1.3)
-
Ejemplo: Demuestre que el fenmeno de dilatacin del tiempo
est contenido en la transformacin de coordenadas de Lorentz.
Una fuente de luza ubicada en 0, 0, 0 se enciende repentinamente en 1 y se apaga en 2 en el sistema de referencia S. a) en qu intervalo de tiempo se mide la luz
encendida en el sistema de referencia S? b) Cul es la distanciaentre el instante en que se enciende la luz y el instante en que
se apaga, segn se mide en S?
-
a) en qu intervalo de tiempo se mide la luz encendida en el
sistema de referencia S?
- Encendido y apagado de la luz en los dos sistemas de referencia.
-
Las coordenadas y, z permanecen intactas ya que el movimiento
de S es a lo largo del eje x. La luz permanece enecndida durante
2 1 = 2
0
2- 1
0
2
= 2 1
> 1 y 2 1 es el tiempo propio, por lo tanto 2 1 > 2 1
DILATACIN DEL TIEMPO
-
b) Los eventos 1 y 2 ocurren en el mismo lugar en S, y en S ocurren a
una separacin 2 1, donde
2 1 = 0 2 0 1
= 1 2
Para 1 , 2 1 = 1 2
Por qu es negativo?
TAREA:
Use la transformacin de Lorentz para deducir la expresin de la
contraccin de la longitud. Advierta que la longitud de un objeto en
movimiento se determina midiendo simultneamente las posiciones
de ambos extremos.
- Est en contra de lo obtenido de la generalizacin del teorema
de pitgoras.
- El hecho de que la seudodistancia entre dos sucesos sea cero no
implica que estos coincidan.
-
Espacio comn (tres coordenadas)
1, 1, 1 2, 2, 2
1 2
Distancia entre los puntos 1 y 2
2 1 2 + 2 1 2 + 2 1 2
INVARIANTE
Una determinada transformacin de
coordenadas, no afecta el valor de la
distancia
-
Coordenadas espacio/temporal (tres coordenadas):
1, 1, 1, 1 2, 2, 2, 2
1 2
Distancia entre los puntos 1 y 2 (tentativa)
2 1 2 + 2 1 2 + 2 1 2 + 2 1 2
Defida INVARIANTE en qu sentido?La clave es el postulado de Einstein: la velocidad de la
luz es constante en cualquier sistema de coordenadas.
-
Considere la seal luminosa
S
S
En el sistema S, la velocidad de la seal
luminosa es
= + +
De donde
+ (
En el sistema S, la velocidad de la seal luminosa es *Recordar la invariancia de la
velocidad*
= + +
De donde
+ (
(1, 1, 1)
(2, 2, 2)
(2, 2, 2)
(1, 1, 1)
-
Considere la seal luminosa
Si definimos la seudodistancia (al cuadrado) entre
los dos sucesos
Si = en un sistema S, tambin = en otro
sistema S, donde por supuesto *invariancia de la distancia*
= + (
= + (
(1.4)
Para mantener la propiedad de invariancia debemos
mantener (1.4) an cuando la seudodistancia sea cero y
postular que esta permanece invariante de un sistema a
otro (compatible con la hiptesis de que la velocidad de la
luz es invariante).
- Est en contra de lo obtenido de la generalizacin del teorema
de pitgoras.
- El hecho de que la seudodistancia entre dos sucesos sea cero no
implica que estos coincidan.
- Si la distancia es
infinetisimal = + + (1.4)
-
Debemos dejar invariante a s, por lo tanto se debe buscar alguna
transformacin de coordenadas
- Considerar un suceso en O, (0,0,0) a un tiempo t. La
seudistancia (al cuadrado) entre el suceso O y cualquier otro
suceso de coordenadas (x,y,z,ct), entonces la distancia es
- En bsqueda de un transformacin que nos lleve a
(x,y,z,ct), tal que =
= + + (1.5)
= + +
PROBLEMA ANLOGO EN GEOMETRA (deja invariante la distancia +
demostrar)
= + +
La respuesta es
= cos + sin , = sin + cos =
(1.6)
(1.7)
-
- Se puede realizar una rotacin en el espacio tiempo, mediante una
combinacin de la rotacin de los planos , , , , , .- Los tres primeros son rotaciones comunes como (1.7).
- Las rotaciones en debe ser una transformacin de coordenadas quedeje invariante a
- Siguiendo la analoga con (1.7),
- Se satisface (comprobar), ya que
- Identificar . El sistema S tiene = , de acuerdo con (1.9)
2 = 2 22 = 2 22
= cosh sinh, = = sinh + cosh , =
cosh2 sinh2 = 1
= tanh
(1.8)
(1.9)
-
- Visto desde S, es la velocidad del sistema S. Luego
- Por lo tanto (demostrar)
= tanh
sinh =
1 2 2cosh =
1
1 2 2
= tanh =
sinh
coshY
sinh2 =2
2cosh2 =
2
2sinh2 + 1 =
2
2sinh2 +
2
2
sinh2 2
2sinh2 = sinh2 1
2
2=2
2
Despejando sinh, se obtiene
cosh2 = sinh2 + 1
sinh =
1 2 2
-
Introduciendo y , en la ecuacin 1.9, obtenemossinh cosh
=
1 2 2
=
=
= 2
1 2 2
Demostrar
= cosh sinh,
= cosh
cosh =
1 2 2
=sinh
coshcosh =
1
1 2 2
(1.10)
-
Ejercicio: demuestre que la transformacin inversa a lastransformaciones de Lorentz es
Justificar con un argumento fsico.
= +
1 2 2
=
=
= + 2
1 2 2
-
PROBLEMA: Para un observador O un destello de luz sale del punto x =
100 kilmetros, y = 20 kilmetros, z = 30 kilmetros en un tiempo t =
0.0005 segundo. Cules son las coordenadas del evento para un segundo
observador O que se mueve con respecto al primero a lo largo del eje
comn x-x a una velocidad de V = -0.8c?
El factor de correccin en este caso es
=1
1 2 2=
1
1 (0.8)2 2=1
0.6= 1.667
De las transformaciones de Lorentz para pasar del sistema de referencia S
al sistema de referencia S tenemos entonces lo siguiente:
= = 1.667 100 0.8 3 108
1
1000 5 104
= 287
= = 20 , = = 30 ,
= /2 = 1.667 5 104 0.8 100 1000
1 / 3 108
= 1.667 5 104 2.6 104 = 12.66 104
-
En mecnica clsica =
En los movimientos
hay conservacin del
momento.
Y
A esta en reposo con
respecto de S
Y B esta en reposo
con respecto de S
=
El comportamiento de
A visto por S es el
mismo que el de B
visto por S.
Considerar choque entre dos partculas, observadas
desde S y S ( S y Smantienen una velocidad constante v relativa)
Colisin vista por S Colisin vista por S
-
El tiempo total de movimiento 0 para A medido en S es
Es el mismo para B en S
En S la velocidad de VB es
Donde T es el tiempo requeriso para que B haga el viaje completo como
fue medido en S. En S el viaje de B requiere un tiempo T0, donde
Aunque ambos observadores ven el mismo evento, el tiempo de regreso
de la partcula . Remplazando en B = /, tenemos
0 =
0 =
B
B =
=0
1 2/2
B = 1 2/2
0
-
Usando la definicin clasica del momento = , en S
Esto significa que, en este sistema, el momento no se conserva si =, donde y son las masas medidas en S.
Sin embargo si
El momento se conserva.
Ahora suponer que A y B se mueven en ambos sistemas. Y que y . En este caso un observador en S vera aproximarse a , con velocidad , colisionando suavemente, y luego sigue movindose. En el limite de = 0, si es la masa de en S cuando est en reposo, = .En el lmite de = 0, si () es la masa de en S, la cual se mueve a una velocidad , = ().
= =
0
=
1 2/2
= = 1 2/2
0
-
Entonces
Y el momento queda definido como
La conservacin del momento es vlido en relatividad especial.
Cuando , el momento es clsico, = .
El momento relativista se utiliza como
Donde
es la masa propia o masa en reposo de un objeto, medida por un observador en reposo
() =
1 2/2
=
1 2/2Momento relativista
=1
1 2 2
=
-
EJEMPLO: Encontrar la aceleracin de una partcula de masa m y
velocidad cuando se ejerce sobre ella una fuerza constante , donde es paralela a . Si
La aceleracin de la partcula es
Aunque la fuerza es constante, la aceleracin de la partcula decrece
mientras su velocidad incrementa. Si , 0,tal que la partcula nunca alcanza la velocidad de la luz.
= /
=
=
1 2/2
= 1
1 2/2+
2/2
1 2/2 3/2
=
1 2/2 3/2
= 3
=
1 2/2 3
/2
-
De donde viene
La relacin ms
famosa de Einstein
0 = 2
Si recordamos de la fsica clsica, el trabajo realizado por
un objeto por una fuerza constante de magnitud actuando a travs de una distancia , en donde se aplica en la misma direccin que ,
Si ninguna otra fuerza acta, todo el trabajo se convierte
en energa cintica , no necesita ser constante
En fsica no relativista
Para la versin relativista utilizamos la segunda ley
relativista
=
= 0
=1
22
= 0
=
0
= 0
1 2/2=
-
Integrando por partes ( = ),
=2
1 2/2
0
1 2/2=
2
1 2/2+ 2 1 2/2
2
0
=2
1 2/2
0
1 2/2=
2
1 2/2+ 2 1 2/2
2
0
=2
1 2/2
0
1 2/2=
2
1 2/2+ 2 1 2/2
2
0
=2
1 2/22
= 22 = 1 2Este resultado establece que la
energa de un objeto es igual a la
diferencia entre 2 y 2
La energa total = 2 = 2+
-
Si interpretamos como la energa total de un objeto, cuando este est en reposo = 0, este nunca posee la energa 2.
donde
La energa en reposo
Y si el objeto est en movimiento, su energa total es
= 0+
0 = 2
= 2 =2
1 2/2