Flujo de Redes

8/17/2019 Flujo de Redes

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INTRODUCCIONLas técnicas de flujo de redes están orientadas a optimizar situaciones vinculadas a las redes de

transporte, redes de comunicación, sistema de vuelos de los aeropuertos, rutas de navegación

de los cruceros, estaciones de bombeo que transportan fluidos a través de tuberías, rutas entre

ciudades, redes de conductos y todas aquellas situaciones que puedan representarse medianteuna red donde los nodos representan las estaciones o las ciudades, los arcos los caminos, las

líneas aéreas, los cables, las tuberías y el flujo lo representan los camiones, mensajes y fluidos

que pasan por la red. Con el objetivo de encontrar la ruta mas corta si es una red de caminos o

enviar el máimo fluido si es una red de tuberías.

Cuando se trata de encontrar el camino más corto entre un origen y un destino, la técnica,

algoritmo o el modelo adecuado es el de la ruta más corta! aunque eisten otros modelos de

redes como el árbol de epansión mínima, flujo máimo y flujo de costo mínimo cada uno abarca

un problema en particular. "n este trabajo se mencionan los modelos de redes eistentes y los

problemas que abarca cada uno de ellos, además se describen los algoritmos que aplican estosmodelos para encontrar la solución optima al problema. #tilizando la terminología utilizada para

representarlos como una red.

MODELOS DE REDES

Los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través

de uno de estos cuatro modelos$

%odelo de minimización de redes &'roblema del árbol de mínima epansión(.

%odelo de la ruta más corta.

%odelo del flujo máimo.

%odelo del flujo del costo mínimo.

Modelo de minimización de redes

"l modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima epansión tiene que ver con

la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la

suma de las longitudes de los ramales escogidos. )o se deben incluir ciclos en al solución del

problema.

Para crear el árbol de expansión mnima !iene las si"#ien!es carac!ers!icas$

*e tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. "n su lugar se proporcionan las ligaduras

potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. &Las medidas alternativas

para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y tiempo.(

*e desea dise+ar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que aya un

camino entre cada par de nodos.


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"l objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las

ligaduras insertadas en la red.

#na red con n nodos requiere sólo &n-( ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada

par de nodos. Las &n-( ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante formen un

árbol de epansión. 'or tanto el problema es allar el árbol de epansión con la longitud totalmínima de sus ligaduras.

%l"ori!mo para cons!r#ir el árbol de expansión mnima$

*e selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta &es decir, se agrega una

ligadura( al nodo distinto más cercano.

*e identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos

nodos &es decir, se agrega una ligadura entre ellos(. "ste paso se repite asta que todos los

nodos están conectados.

"mpates$ los empates para el nodo más cercano distinto &paso ( o para el nodo no conectado

más cercano &paso /(, se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar a una

solución optima. )o obstante, estos empates son se+al de que pueden eistir &pero no

necesariamente( soluciones optimas m0ltiples. 1odas esas soluciones se pueden identificar si se

trabaja con las demás formas de romper los empates asta el final.

Modelo de &l#'o Máximo

*e trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a través de una red de arcos dirigidos.

Cada arco tiene una capacidad máima de flujo admisible. "l objetivo es el de obtener lamáima capacidad de flujo entre la fuente y el destino.

Características$

1odo flujo a través de una red conea dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y termina

en otro nodo llamado destino.

Los nodos restantes son nodos de trasbordo.

*e permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la fleca, donde la

cantidad máima de flujo está dad por la capacidad del arco. "n la fuente, todos los arcosse+alan acia fuera. "n el destino, todos se+alan acia el nodo.

"l objetivo es maimizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. "sta cantidad se mide

en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la

cantidad que entra al destino.


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"l problema de flujo máimo se puede formular como un problema de programación lineal, se

puede resolver con el método símple y usar cualquier soft2are. *in embargo, se dispone de un

algoritmo de trayectorias aumentadas muco más eficientes. "l algoritmo se basa en dos

conceptos intuitivos, el de red residual y el de trayectoria aumentada.

%l"ori!mo de la !ra(ec!oria de a#men!o para el problema de )l#'o máximo$

*e identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del origen al

destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene capacidad residual

estrictamente positiva. &*i no eiste una, los flujos netos asignados constituyen un patrón del

flujo óptimo(.

*e identifica la capacidad residual c3 de esta trayectoria de aumento encontrando el mínimo de

las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. *e aumenta en c3 el flujo de esta

trayectoria.

*e disminuye en c3 la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. *e

aumenta en c3 la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. *e

regresa la paso .

Concep!os básicos ( !erminolo"ias


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Red$ #na red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unen ciertos pares

de puntos. Los puntos se llaman nodos &o vértices(. Las líneas se llaman arcos &o ligaduras,

aristas o ramas(.

Los arcos se etiquetan para dar nombres a los nodos en sus puntos terminales, por ejemplo, 45

es el arco entre lo nodos 4 6 5.

"n un problema de programación lineal, las redes pueden representar un conjunto de

estaciones, campos petrolíferos, almacenes, fabricas, sucursales, ciudades, interconectadasentre si a través de caminos, conductos, tuberías que permiten fluir productos para la

comercialización o la distribución.

%rcos Diri"idos$ *e dice que un arco es dirigido cuando el arco tiene flujo en una dirección

&como en una calle de un sentido(. La dirección se indica agregando una cabeza de fleca al final

de la línea que representa el arco.

4l etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodos que une, siempre se coloca primero al

nodo de donde viene y después el nodo a donde va, esto es, un arco dirigido del nodo 4 al nodo

5 debe etiquetarse como 45 y no como 54. 7tra %anera es 45.

%rcos No Diri"idos$ *i el flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones &como una

tubería que se puede usar para bombear fluido en ambas direcciones(, se dice que es un arco no

dirigido.


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1ambién se les llama ligadura. 4unque se permita que el flujo a través de un arco no dirigido

ocurra en cualquier dirección, se supone que ese flujo será en una dirección, en la seleccionada,

y no se tendrá flujos simultáneos en direcciones opuestas.

Tra(ec!oria$ #na trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos que conectan

estos nodos. 'or ejemplo, una de las trayectorias que conectan los nodos 7 y 1 en la figura esla sucesión de arcos 75-58-81 &7581(, y viceversa.

Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos, se ace la distinción entre

trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas.

Tra(ec!oria Diri"ida$ #na trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es una sucesión de arcos

cuya dirección &si la tienen( es acia el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j, a

través de esta trayectoria es factible.

Tra(ec!oria No Diri"ida$ #na trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de

arcos cuya dirección &si la tienen( pueden ser acia o desde el nodo j. Con frecuencia alguna

trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos acia el nodo j y otros desde él &es decir,

acia el nodo i(.

Ciclo$ #n ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. "n la red no

dirigida que se muestra en la figura 9 eisten mucos ciclos, 74-45-5C-C7.

Red Conexa$ #na red conea es una red en la que cada par de nodos está conectado. *e dice

que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre

ellos. *e debe resaltar que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red sea

dirigida. La figura representa una red conea.

*rbol de Expansión$ es una red conea para los n nodos, que contiene ciclos no dirigidos. 1odo

árbol de epansión tiene justo n- arcos, ya que este es el n0mero mínimo de arcos necesarios

para tener una red conea y el máimo numero posible para que no aya ciclos no dirigidos.

La figura : representa una red conea, la figura ; muestra los cinco nodos de la red conea de la

figura :, aora la figura < muestra el proceso para acer crecer un árbol colocando una rama a

la vez, asta obtener un árbol de epansión. "n cada etapa del proceso se tienen varias

alternativas para el nuevo arco, por lo que la figura < muestra solo una de las mucas formas de

construir un árbol de epansión.

Capacidad de %rco$ "s la cantidad máima de flujo &quizás infinito( que puede circular en un

arco dirigido.

Nodo en!e$ +o nodo de origen( tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo ecede al

flujo que entra a él.


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Nodo Demanda$ +o nodo destino( es el caso contrario al nodo fuente, donde el flujo que llega

ecede al que sale de él.

Nodo de Trasbordo$ &o nodo intermedio( satisface la conservación del flujo, es decir, el flujo

que entra es igual al que sale.

REDES DIRI,ID%S - NO DIRI,ID%S

Red Diri"ida$ "s una red que tiene solo arcos dirigidos.

"n una red dirigida, un ciclo puede ser dirigido o no dirigido, seg0n si la trayectoria en cuestión

es dirigida o no dirigida. &Como una trayectoria dirigida también es no dirigida, un ciclo dirigido

es un ciclo no dirigido, pero en general el inverso no es cierto.( 'or ejemplo en la figura = 8"-"8

es un ciclo dirigido. 'or contrario, 45-5C-C4 no es un ciclo dirigido puesto que la dirección del

arco 4C es opuesta a la de los arcos 45 y 5C. 'or otro lado, 45-5C-4C no es un ciclo dirigido

porque 45C4 es una trayectoria no dirigida.

Red No Diri"ida$ "s una red donde todos sus arcos son no dirigidos. La figura > representa

una red no dirigida.

.IST% ,ENER%L DE %L,UN%S %PLIC%CIONES PR*CTIC%S DE L% OPTIMI/%CI0N DE

REDES

8ise+o de redes de telecomunicación &redes de fibra óptica, de computadores,

telefónicas, de televisión por cable, etc.(

8ise+o de redes de transporte para minimizar el costo total de proporcionar las ligaduras

&vías ferroviarias, carreteras, etc.( 8ise+o de una red de líneas de transmisión de energía eléctrica de alto voltaje.

8ise+o de una red de cableado en equipo eléctrico &como sistemas de computo( para

minimizar la longitud total del cable.

8ise+o de una red de tuberías para conectar varias localidades.

8ise+o de una red de tuberías de gas natural mar adentro que conecta fuentes del golfo

de %éico con un punto de entrega en tierra con el objetivo de minimizar el costo de

construcción.

8eterminación de la ruta más corta que une dos ciudades en una red de caminos

eistentes.

8eterminar la capacidad anual de máima en toneladas de una red de conductos depasta aguada de carbón que enlaza las minas carboneras de ?yoming con las plantas

generadoras de electricidad @ouston. &Los conductos de pasta aguada de carbón

transportan éste bombeando agua a través de tubos adecuadamente dise+ados que operan

entre las minas de carbón y el destino deseado.(

8eterminación del programa de costo mínimo de los campos petrolíferos a refinerías y

finalmente a los campos de distribución. *e pueden enviar petróleo crudo y productos

derivados de la gasolina en buques tanque, oleoductos yAo camiones. 4demás de la


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disponibilidad de la oferta máima en los campos petrolíferos y los requisitos de demanda

mínima en los centros de distribución, deben tomarse en cuenta restricciones sobre la

capacidad de las refinerías y los modos de transporte.

E'emplos de !erminos

Nodos %1 21 C1 D 1 E%rcos %3421 %34C1 %34D1 234C1 C34E1 D34E1 E34D

%rco Diri"ido %21 %C1 %D1 2C1 CE1 DE1 ED

Tra(ec!oria En!re % ( D$ %34D %34C34E34D %34234C34E34D

Tra(ec!oria Diri"ida En!re % ( E %34234C34E

Tra(ec!oria No Diri"ida En!re 2 ( D 234C3434%34D

Ciclo DE5ED +ciclo diri"ido6 %252C5C% +ciclo no diri"ido6

Red Conexa Si es red conexa

Capacidad de %rco 71 81 91 71 :1 81 ;

Nodo en!e %

Nodo Demanda C1 DNodo !rasbordo 2

OTR%S DE&INICIONES

Red Resid#al$ #na red residual muestra las capacidades restantes &llamadas capacidades

residuales( para asignar flujos adicionales.

Tra(ec!oria de %#men!o$ #na trayectoria de aumento es una trayectoria dirigida del nodo

fuente al nodo destino en la red residual, tal que todos los arcos en ese trayectoria tienen

capacidad residual estrictamente positiva. "l mínimo de estas capacidades residuales se llama

capacidad residual de la trayectoria de aumento porque representa la cantidad de flujo que esfactible agregar en toda la trayectoria. 'or lo tanto, cada trayectoria de aumento proporciona

una oportunidad de aumento más el flujo a través de la red original.

PRO2LEM% DEL &LU


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4l menos uno de los nodos es nodo demanda.

"l resto de los nodos son nodos de trasbordo.

*e permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la fleca, donde la

cantidad máima de flujo está dada por la capacidad del arco. &*i el flujo puede ocurrir en

ambas direcciones, debe representarse por un par de arcos con direcciones opuestas.(

La red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir que todos lo flujos

generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda.

"l costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el

costo por unidad.

"l objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a través de la red para

satisfacer la demanda dada. n objetivo alternativo es maimizar la ganancia total del envío.(

>Problema de !ranspor!e?8"B)BCBD) 8"L %78"L7 8" 1E4)*'7E1"La programación lineal es una erramienta de modelos cuantitativos para manejar diferentes

tipos de problemas y ayudar a la toma de decisiones.

"n este capítulo se considera el modelo de transporte por medio del cual un administrador debe

determinar la mejor forma de como acer llegar los productos de sus diversos almacenes a sus

consumidores, con el fin de satisfacer de las clientes y a un costo mínimo.

"l modelo de transporte es un problema de optimización de redes donde debe determinarse

como acer llegar los productos desde los puntos de eistencia asta los puntos de demanda,minimizando los costos de envio.

"l modelo busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios

destinos. "ntre los datos del modelo se cuenta$

.- )ivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.

/.- "l costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada destino.

"l modelo se utiliza para realizar actividades como$ control de inventarios, programación del

empleo, asignación de personal, flujo de efectivo, programación de niveles de reservas en

prensas entre otras.

>Problema de la r#!a más cor!a?Modelo de la r#!a más cor!aConsidere una red conea y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. 4

cada ligadura &arco no dirigido( se asocia una distancia no negativa. "l objetivo es encontrar la

ruta más corta &la trayectoria con la mínima distancia total( del origen al destino.


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*e dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del procedimiento

es que analiza toda la red a partir del origen! identifica de manera sucesiva la ruta más corta a

cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias &más cortas(, desde el origen! el

problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino.

%l"ori!mo de la r#!a más cor!a$

7bjetivo de la n-ésima iteración$ encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen. &"ste paso se

repetirá para nF,/,G asta que el n-ésimo nodo más cercano sea el nodo destino.(

8atos para la n-ésima iteración$ n- nodos más cercanos al origen &encontrados en las

iteraciones previas(, incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen. &"stos nodos y el

origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos.(

Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano$ Cada nodo resuelto que tiene coneión directa

por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un candidato, y éste es el nodo

no resuelto que tiene la ligadura más corta. &Los empates proporcionan candidatos adicionales.(

Cálculo del n-ésimo nodo más cercano$ para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la

distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo resuelto. "l

candidato con la distancia total más peque+a es el n-ésimo nodo más cercano &los empates

proporcionan nodos resueltos adicionales(, y su ruta más corta es la que genera esta distancia.

>Pro"ramación de pro(ec!os

+PERT5CPM6?8os son los orígenes del método del camino crítico$ el método '"E1 &'rogram "valuation andEevie2 1ecnique( desarrollo por la 4rmada de los "stados #nidos de 4mérica, en =9;, para

controlar los tiempos de ejecución de las diversas actividades integrantes de los proyectos

espaciales, por la necesidad de terminar cada una de ellas dentro de los intervalos de tiempo

disponibles. ue utilizado originalmente por el control de tiempos del proyecto 'olaris y

actualmente se utiliza en todo el programa espacial.

"l método C'% &Crítical 'at %etod(, el segundo origen del método actual, fue desarrollado

también en =9; en los "stados #nidos de 4mérica, por un centro de investigación de

operaciones para la firma 8upont y Eemington Eand, buscando el control y la optimización de los

costos de operación mediante la planeación adecuada de las actividades componentes del

proyecto.

4mbos métodos aportaron los elementos administrativos necesarios para formar el método del

camino crítico actual, utilizando


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el control de los tiempos de ejecución y los costos de operación, para buscar que el proyecto

total sea ejecutado en el menor t iempo y al menor costo posible.

Usos"l campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran fleibilidad y adaptabilidad a

cualquier proyecto grande o peque+o. 'ara obtener los mejores resultados debe aplicarse a los

proyectos que posean las siguientes características$

Hue el proyecto sea 0nico, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad.

Hue se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mínimo, sin

variaciones, es decir, en tiempo crítico.

Hue se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo disponible.

8entro del ámbito aplicación, el método se a estado usando para la planeación y control de

diversas actividades, tales como construcción de presas, apertura de caminos, pavimentación,

construcción de casas y edificios, reparación de barcos, investigación de mercados, movimientos

de colonización, estudios económicos regionales, auditorias, planeación de carreras

universitarias, distribución de tiempos de salas de operaciones, ampliaciones de fábrica,

planeación de itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de población, etc.

Planeación ( con!rol de pro(ec!os conPERT5CPMLa buna administración de proyectos a gran escala requiere planeación, programación y

coordinación cuidadosa de mucas actividades interrelacionadas. 4l principiar la década de =9>

se desarrollaron procedimientos formales basados en uso de redes y de las técnicas de redes

para ayudar en estas tareas. "ntre los procedimientos mas sobresalientes se encuentran el '"E1&técnica de evaluación y revisión de programas( y el C'% &método de la ruta critica(.4unque

originalmente los sistemas tipo '"E1 se aplicaron para evaluar la programación de un proyecto

de investigación y desarrollo, también se usan para controlar el avance de otros tipos de

proyecto especiales. Como ejemplos se pueden citar programas de construcción, la

programación de computadoras, la preparación de propuestas y presupuestos, la planeación de l

mantenimiento y la instalación de sistemas de computo, este tipo de técnica se a venido

aplicando aun a la producción de películas, a las compa+as políticas y a operaciones quir0rgicas

complejas.

"l objetivo de los sistemas tipo '"E1 consiste en ayudar en la planeación y el control, por lo queno implica muca optimización directa. 4lgunas veces el objetivo primario es determinar la

probabilidad de cumplir con fecas de entrega especificas. 1ambién identifica aquellas

actividades que son más probables que se conviertan en cuellos de botella y se+ala, por eInde,

en que puntos debe acerse el mayor esfuerzo para no tener retrasos. #n tercer objetivo es

evaluar el efecto de los cambios del programa. 'or ejemplo, se puede valorar el efecto de un

posible cambio en la asignación de recursos de las actividades menos criticas a aquellas que se


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identificaron con cuellos de botella. 7tra aplicación importante es la evaluación del efecto de

desviarse de lo programado.

1odos los sistemas tipo '"E1 emplean una red de proyecto para visualizar gráficamente la

interrelación entre sus elementos. "sta representación del plan de un proyecto muestra todas las

relaciones de procedencia, respecto al orden en que se deben realizar las actividades. "n la ig. sé muestran estas características para la red de proyecto inicial para la construcción de una

casa. "sta red indica que la ecavación debe acerse antes de poner los cimientos y después los

cimientos deben completarse antes de colocar las paredes. #na vez que se levantan las paredes

se pueden realizar tres actividades en paralelo. 4l seguirla red acia delante se ve el orden de

las tareas subsecuentes.

"n la terminología de '"E1, cada arco de la red representa una actividad, es decir, una de las

tareas que requiere el proyecto, cada nodo representa un evento que por lo general se define

con el momento +eque se terminan todas las actividades que llegan a ese nodo, Las puntas de

fleca indican la secuencia en la queJ debe ocurrir cada uno de esos eventos. Lo que es mas, unevento debe preceder a la iniciación de las actividades que llegan a ese nodo. Las puntas de

fleca indican la secuencia en la que debe ocurrir cada uno de esos eventos. Lo que es mas, un

evento debe preceder a la iniciación de las actividades que salen de ese nodo. &"n la realidad,

con frecuencia se pueden traslapar etapas sucesivas de un proyecto, por lo que la red puede

representar una aproimación idealizada del plan de un proyecto.(

"l nodo acia el que todas las actividades se dirigen es el evento que corresponde a la

terminación desde su concepción, o bien, si el proyecto ya comenzó, el plan para su terminación.

"n él ultimo caso, cada nodo de la red sin arcos que llegan representa el evento de continuar

una actividad en marca o el evento de iniciar una nueva actividad que puede comenzar encualquier momento.

Cada arco juega un doble papel, el de representar una actividad y el de ayudar a representar las

relaciones de procedencia entre las distintas actividades. "n ocasiones, se necesita un arco para

definir las relaciones de procedencia aun cuando no aya una actividad real que representar. "n

este caso, se introduce una actividad ficticia que requiere un tiempo cero, en donde el arco que

representa esta actividad ficticia se muestra como una fleca punteada que indica esa relación

de procedencia. 'or ejemplo, considérese el arco 9 K < que representa una actividad ficticia en

la ig. ! el 0nico objeto de este arco es indicar que la colocación de la tubería debe estar

terminada antes de poder comenzar los eteriores.

#na regla com0n para construir este tipo de redes es que dos nodos no pueden estar conectados

directamente por mas de un arco. Las actividades ficticias también se pueden usar para evitar

violar esta regla cuando se tienen dos o más actividades concurrentes! en la ig. se ilustra

esto con el arco K /. "l 0nico propósito de este arco es indicar que debe terminarse la

colocación de pisos antes de instalar los acabados interiores sin tener dos arcos del nodo = al

nodo /.


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#na vez desarrollada la red la red de un proyecto, el siguiente paso es estimar el tiempo que se

requiere para cada actividad. "stas estimaciones para el ejemplo de la construcción de una casa

de la figura . se muestran en la figura / con los n0meros mas oscuros &en unidades de días de

trabajo( que aparecen junto a los arcos. "stos tiempos se usan para calcular dos cantidades

básicas para cada evento, a saber, su tiempo más próimo y su tiempo más lejano.

"l tiempo más próimo para un evento es el tiempo &estimado( en el que ocurrirá el evento si las

actividades que lo proceden comienzan lo mas pronto posible.

Los tiempos más próimos se obtienen al efectuar una pasada acia delante a través de la red,

comenzando con los eventos iniciales y trabajando acia delante en el tiempo, asta los eventos

finales, para cada evento se ace un calculo del tiempo en el que ocurrirá cada uno, si cada

evento procedente inmediato ocurre en su tiempo más próimo y cada actividad que interviene

consume eactamente su tiempo estimado. La iniciación del proyecto se debe etiquetar con el

tiempo >. este proceso se muestra en la tabla . para el ejemplo considerado en las figuras y

/. los tiempos más próimos que se obtuvieron están registrados en la figura /, con el primerode los dos n0meros que se dan para cada nodo.

"l tiempo más lejano para un evento es él ultimo momento &estimado( en el que puede ocurrir

sin retrasar la terminación del proyecto mas allá de su tiempo más próimo.

#n proyecto define una combinación de actividades interrelacionadas que deben ejecutarse en

un cierto orden antes que el trabajo completo pueda terminarse. Las actividades están

interrelacionadas en una secuencia lógica en el sentido que algunas de ellas no pueden

comenzar asta que otras allan terminado. #na actividad en un proyecto, generalmente se ve

como un trabajo que requiere tiempo y recursos para su terminación.

La mejor erramienta conocida de plantaciónM era el diagrama de barras de Nantt el cual

especifica los tiempos de inicio y terminación de cada actividad en una escala de tiempo

orizontal.

*u desventaja es que la interdependencia entre las diferentes actividades &la cual controla

principalmente el progreso del proyecto( no puede determinarse a partir del diagrama de barras.

Las complejidades crecientes de los proyectos centrales an eigido técnicas de planeación más

sistemáticas y mas efectivas con el objeto de optimizar la eficiencia en la ejecución del proyecto.

4quí la eficiencia implica efectuar la mayor reducción en el tiempo requerido para terminar elproyecto, mientras se toma en cuenta la factibilidad económica de la utilización de los recursos

disponibles.

La administración de proyectos a evolucionado como un nuevo campo con el desarrollo de dos

técnicas analíticas para la planeación, programación y control de proyectos. 1ales son el método

de ruta crítica &C'%( y la técnica de evaluación y revisión de proyectos &'ert(. Las dos técnicas

fueron desarrolladas por dos grupos diferentes casi simultáneamente &l=9:(-l=9


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&critical pat metod( fue desarrollado primero por ".B du 'ont de )emours O Company como

una aplicación a los proyectos de construcción y posteriormente se etendio a un estado mas

avanzado por %aucly 4ssociates. "l '"E1 &'roject "valuation and previe2 tecnique(, por otra

parte, fue desarrollado para la marina de #*4 por una organización consultora, con el fin de

programar las actividades de investigación y desarrollo para el programa de misiles 'olanis.

Los métodos 'ert y C'% están básicamente orientados en el tiempo, en el sentido que ambos

llevan a la determinación de un programa de tiempo. Huizá la diferencia más importante es que

originalmente las estimaciones en el tiempo para las actividades se pusieron determinantes en

C'% y probables en '"E1. 4ora '"E1 y C'% comprenden realmente una técnica y las

diferencias, si eiste alguna, son 0nicamente istóricas. La programación de proyectos por '"E1-

C'% consiste en J fases básicas$

La fase de planeación se inicia descomponiendo el proyecto en actividades distintas. Las

estimaciones de tiempo para estas actividades se determinan luego, y se construye un diagrama

de red &o flecas(, donde cada uno de sus arcos &flecas( representa una actividad. "l diagramade flecas completo da una representación gráfica de las independencias entre las actividades

del proyecto. La construcción del diagrama de flecas como una fase de planeación, tiene la

ventaja de estudiar los diferentes trabajos en detalle, sugiriendo quizá mejoras antes de que el

proyecto realmente se ejecute.

La fase de programación será construir un diagrama de tiempo que muestre los tiempos de

iniciación y terminación para cada actividad, así como en su relación con otras actividades del

proyecto. 4demás, el programa debe se+alar las actividades críticas &en función del tiempo( que

requieren atención especial si el proyecto se debe terminar oportunamente. 'ara las actividades

no criticas, el proyecto debe mostrar los tiempos de olgura que pueden utilizarse cuando talesactividades se demoran o cuando deben ser usados los recursos de manera eficiente.

La fase final en la administración de proyectos es el control. "sto incluye el uso del diagrama de

flecas y la grafica de tiempo para acer reportes periódicos del progreso. La red puede, por

consiguiente, actualizarse y analizarse y si es necesario determinar un nuevo programa para la

parte restante del proyecto.1odos los sistemas tipo '"E1 emplean una red de proyecto para

visualizar gráficamente. Las interrelaciones entre sus elementos. "sta representación del plan de

un proyecto muestra todas las relaciones de procedencia, respecto al orden en que se deben

realizar las actividades.

Cada arco de la red &flecas( representa una actividad. Cada nodo representa un evento que porlo general se define como el momento en que se terminan todas las actividades que llega a ese

nodo.

"jemplo$ Eed de proyecto inicial para acer una casa.

'or cada actividad se tiene un tiempo.

*e calculan los tiempos más próimos y más lejanos.


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*e calculan las olguras

*e calcula la ruta crítica.

*e ace un análisis para determinar los costos del proyecto a desarrollar

TEORÍA DE REDES

La modelación de redes permite la resolución de múltiples problemas de

programación matemática mediante la implementación de algoritmos especiales


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creados para tal fin, conocidos como Algoritmos de optimización de redes.

Dentro de los problemas más comúnmente resueltos mediante la modelación de

redes se encuentran los ya vistos modelos de transporte, transbordo además de

los muy conocidos modelos de determinación de cronograma de actividades para

proyectos como lo son el PERT y el P!.

"#EPT"$ %&$'"$ E# TE"R() DEREDE$

Gráfica: *na gráfica es una serie de puntos llamados nodos +ue van unidos por

unas lneas llamadas ramales o arcos.

Red: *na red es una gráfica +ue presenta algún tipo de flu-o en sus ramales. Por

e-emplo una gráfica cuyo flu-o en sus ramales sea la electricidad es una red

elctrica. En las redes se usa una simbologa especfica para denotar su tama/o y

elementos +ue la constituyen, dic0a notación es la 1#, )2 donde # representa el

número de nodos +ue contiene la red y ) representa el número de arcos o

ramales.

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Cadena: *na cadena corresponde a una serie de elementos ramales +ue van de

un nodo a otro. En el siguiente caso se resalta una cadena +ue va desde el nodo 4

0asta el nodo 5 y +ue se compone por los elementos 6478, 8759.

http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/pert-tecnica-de-evaluacion-y-revision-de-proyectos/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/cpm-metodo-de-la-ruta-critica/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/cpm-metodo-de-la-ruta-critica/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/pert-tecnica-de-evaluacion-y-revision-de-proyectos/


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Ruta: *na ruta corresponde a los nodos +ue constituyen una cadena, en el

siguiente caso 64, 8, 59.

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Ciclo: *n ciclo corresponde a la cadena +ue une a un nodo con sigo mismo, en elsiguiente e-emplo el ciclo está compuesto por la cadena 687:, :7;, ;75, 5789.

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Ramal orientado: *n ramal o arco orientado es a+uel +ue tiene un sentido

determinado, es decir +ue posee un nodo fuente y un nodo destino.


Gráfica orientada: *na gráfica orientada es a+uella en la cual todos sus ramales

se encuentran orientados.


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r!ol: *n árbol es una gráfica en la cual no e


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)L>"R'T!" DEL &R%"L DE E?P)#$'@#!(#'!)

El algoritmo del árbol de e


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representa a los nodos +ue 0acen falta por enla=arse de forma permanente es

igual a la cantidad de nodos +ue e


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0asta a0ora dentro de las =onas urbani=ables de la ciudad, el acueducto municipal

no cuenta con la infraestructura necesaria para satisfacer las necesidades de

servicios públicos en materia de suministro de agua. ada uno de los proyectos de

vivienda inició la construcción de un nodo de acueducto madre, el cual cuenta con

las cone


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El acueducto municipal le contacta a usted para +ue mediante sus conocimientos

en teora de redes construya una red de e


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%ASO ):

$e debe definir de manera arbitraria el primer nodo permanente del con-unto GH,

en este caso escogeremos el nodo 4 1puede ser cual+uier otro2, +ue

algebraicamente se representa con la letra i, se procede a actuali=ar los con-untos

iniciales, por ende 4 B Ci B C4 y GH B C# 7 i B C:,,8,;,O,5,, actuali=amos k por ende a0ora será igual a :.

%ASO *:

)0ora se debe seleccionar el nodo j del con-unto GM74 1es decir del con-unto del

paso 42 el cual presente el arco con la menor longitud y +ue se encuentre

enla=ado con uno de los nodos de enlace permanente del con-unto F74 en el cual

a0ora solo se encuentra el nodo 4 1es decir +ue se debe de encontrar un nodo +ue

tenga el arco de menor longitud enla=ado al nodo 42.


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Los arcos o ramales de color naran-a representan los arcos +ue enla=an

el con-unto GM741es decir del con-unto del paso 4, recordemos +ue M en este paso

es igual a :, por ende GM74B G42 con los nodos de enlace permanente del con-unto

F74 en el cual a0ora solo se encuentra el nodo 4, por ende a0ora solo falta

escoger el de menor longitud, +ue en este caso es el arco cuya longitud es :, +ue

enla=a de forma permanente a0ora el nodo :.


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)l actuali=ar los con-untos +uedan asI

: B C4,: y G: B C,8,;,O,5,

)0ora se procede a actuali=ar k ya +ue se procede a efectuar la siguiente

iteración. )0ora se seleccionará un nuevo nodo j del con-unto G:+ue presente elenlace 1ramal o arco2 de menor longitud con los nodos +ue se encuentran en el

con-unto :.


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Los arcos de color naran-a representan los enlaces posibles y dado +ue e


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B C4,:,8 y G B C,;,O,5,

)0ora se procede a actuali=ar k ya +ue se procede a efectuar la siguienteiteración.


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genieriaindustrialonline.comLo +ue representan los arcos naran-a y verde es ya conocido, a0ora la lnea a=ul

interrumpida irá tra=ando nuestro árbol de e


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8 B C4,:,8,; y G8 B C,O,5,


iteración.

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)0ora se enla=ará de manera permanente el nodo 5.



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; B C4,:,8,;,5 y G; B C,O,


iteración.

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)0ora se enla=ará de manera permanente el nodo O.


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O B C4,:,8,;,5,O y GO B C,


iteración.

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$e rompen los empates de forma arbitraria, a0ora se enla=ará de manera

permanente el nodo .


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5 B C4,:,8,;,5,O, y G5 B C

)0ora se procede a actuali=ar k ya +ue se procede a efectuar la última iteración.

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)0ora se enla=ará de manera permanente el nodo .


B C4,:,8,;,5,O,, B C# y G B CK


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Por ende se 0a llegado al ár!ol de e"pansión m+nima

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&rbol +ue presenta una longitud total minimi=ada de :4 Filometros de ductos.

RE$"L*'@# DEL PR"%LE!) DEL &R%"LE?P)#$'@# !(#'!) !ED')#TE Q'#$%


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omo 0emos mencionado en módulos anteriores la e


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distancias e


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Luego debemos seleccionar la opción Minimal Spanning Tree 1&rbol de E


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En esta matri= se deben de consignar los valores de los ramales +ue unen lascone


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Luego damos clicF en $olve and )nali=e y tendremos la siguiente ventana solucióninmediatamente.


Podemos cote-ar los resultados con los obtenidos de manera manual, :4

Filómetros de ductos es la distancia total una ve= e-ecutado el algoritmo del &rbol

de E"R'T!" DE L) R*T) !&$ "RT)El nombre +ue distingue este con-unto de problemas de por s es bastante

sugestivo, e


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general +ue el primero. $in embargo la comple-idad de los algoritmos, en la

práctica la comple-idad +ue alcan=an las redes a ser resueltas mediante el

algoritmo de la ruta más corta, y las 0erramientas de resolución de problemas de

programación matemática 0acen +ue la ense/an=a de dic0os algoritmos manuales

sea muy ineficiente.

Ua en un módulo anterior Problema de Transbordo se 0a planteado la resolución

del algoritmo de la ruta más corta mediante programación lineal, por esta ra=ón en

este espacio nos enfocaremos en efectuar la solución mediante Qin$% con la

facilidad +ue caracteri=a al soft3are.

RE$"L*'@# DEL )L>"R'T!" DE L) R*T) !&$"RT) !ED')#TE Q'#$%

El módulo del Qin$% +ue permite la resolución del algoritmo de la ruta más corta

es el #et3orF !odeling, el cual utili=a una interfa= muy sencilla en forma de matri=

en la cual 0ay +ue ingresar el valor de los ramales 1dependiendo del conte


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%ASO A %ASO

Primero se debe ingresar al módulo #et3orF !odeling del pa+uete Qin$%, una

ve= nos encontremos en este aparecerá el menú +ue se muestra en la siguiente

gráfica, menú en el cual tendremos +ue seleccionar la opción Shortest Path

Problem 1Problema de la ruta más corta2.


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)demás en este menú emergente debemos de ingresar la cantidad de nodos +ue

conforman la red del problema y tenemos la posibilidad de asignarle un nombre almismo, en nuestro caso la cantidad de nodos de la red es igual a VW clicF en "M y

aparecerá la siguiente ventana.


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En esta ventana se debe ingresar la magnitud de cada ramal correspondiente a

cada relación entre los nodos, tal como veremos a continuación.


Damos clicF en $olve and )nali=e y tendremos un menú emergente en el cual

tendremos +ue seleccionar el nodo fuente y el nodo destino, tal como se muestra

en la siguiente gráfica.


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*na ve= efectuada la selección tendremos la opción de ver el tabulado final y la

opción de ver un paso a paso gráficoW para el tabulado final clicF en $"LXE y para

el paso a paso clicF en $"LXE )#D D'$PL)U $TEP$.


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Podemos cote-ar la solución +ue obtuvimos al plantear este problema como un

modelo de transbordo con esta solución. La eficiencia se encuentra determinada

en escoger la 0erramienta adecuada para resolver el problema planteado.

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