EQUIPO 7

ALUMNO: Iliana Cristina García Martínez

Angel Enrique Chávez Navarro

MAESTRO: Alba Margarita León López

Física

Unidad 3

Modelo de un circuito RCL

Fuente de alimentación

R

C

L

Circuitos RLC en serie en Corriente Continua¿En qué consiste un circuito RLC?

Un circuito RLC se compone de los elementos pasivos: resistencia, bobina y condensador.

Figura 1: Circuito RLC. Las líneas que unen los distintos elementos se consideran ideales (sin resistividad, inductancia ni capacidad).

La resistencia representa la oposición al paso de corriente, la bobina el retardo en el cambio de intensidad y el condensador la acumulación de carga.

Veremos el caso más sencillo, el circuito RLC en corriente continua, es decir, conectado a una fuente que proporciona al circuito una tensión constante en el tiempo. Antes de analizar la corriente que circula por él, veamos algunas características de estos elementos que nos ayudarán en la resolución.

- Resistencia: Todos los elementos del circuito que es oponen al paso de corriente y donde se disipa energía por efecto Joule y su valor depende de su geometría y de la resistividad ρ (ecuación 1).

R=l·ρs (1)

Donde l es la longitud, s la sección.

V=I·R (2)

V representa la caída de potencial en la resistencia debido al paso de corriente.

P=V·I=V·( VR

)=V2

R (3)

La ecuación (3) representa la potencia disipada en la resistencia en función de la caída de potencial en la misma. Observamos que su valor nunca podrá ser 0, ya que eso equivaldría a una potencia infinita.

- Bobina: Todos los elementos del circuito en los que se acumula y cede energía en forma de campo magnético. El potencial inducido en la bobina, por la Ley de Lenz, viene dado por la expresión:

V=−N dφdt

=L dIdt (4)

Con N el número de vueltas de la bobina, Ф el flujo que la atraviesa y L la autoinductancia. Cualquier cambio en el flujo (o sea, en la intensidad) establecerá un voltaje que podrá retardar (que no evitar) el cambio en la intensidad.

P=V·I=LI dIdt

= ddt (12

LI 2) (5)

La ecuación (5) representa la potencia absorbida o cedida por la bobina. Como podemos observar, este elemento no permite un cambio instantáneo (tiempo cero) finito en la intensidad, ya que si esto ocurriese tendríamos un potencial infinito y eso es imposible.

- Condensador: Todos los elementos del circuito donde se almacena y cede energía en forma de campo eléctrico. Se produce una acumulación de cargas en sus placas dando lugar a una diferencia de potencial entre ellas. Se caracteriza (como los resistores por la resistencia R y la bobina por la autoinductancia L) por la capacidad C, la relación entre la carga acumulada y el potencial entre sus placas:

C=QV (6)

De (6) se deriva:V=

∫ IdtC (7)

Donde Q es la carga acumulada en las placas y V el potencial entre ellas. La potencia de este elemento viene como:

P=V·I=V·C dVdt

= ddt (1

2CV 2 ) (8)

Donde I se obtiene de la forma diferencial de C=dQ/dV y sabiendo que I=dQ/dt. De forma análoga a los casos anteriores se extrae que en este elemento no puede haber cambios instantáneos de voltaje, ya que eso llevaría como consecuencia un potencial infinito.

¿Cómo resolver un circuito RLC?

A estos circuitos también se les llama circuitos de segundo orden, ya que la ecuación que resulta al aplicar las leyes de Kirchoff es una ecuación diferencial de segundo orden. Supongamos un circuito como el de la figura 1 al que conectamos una batería que suministra un voltaje continuo Vb. La segunda Ley de Kirchoff dice lo siguiente:

"La suma de voltajes en una malla cerrada es igual a cero."

Por lo tanto, aplicado a nuestro circuito obtenemos lo siguiente.

V b−V R−V L−V C=0 (8)

Sustituyendo ahora las ecuaciones (2), (4) y (7) en la (8) obtenemos:

V b=RI+ LdIdt

+ 1C∫ Idt (9)

Que es una ecuación integro-diferencial. Para resolverla derivaremos consiguiendo la ecuación diferencial de segundo orden de la que hablábamos.

0=L d2 Idt2

+R dIdt

+ 1CI

(10)

El término dVb/dt ha desaparecido ya que como considerábamos que se trata de una fuente de voltaje constante, la derivada es nula. Para resolver esta ecuación diferencial homogénea de 2º orden procedemos calculando las raíces para obtener una solución del tipo:

I ( t )=K1es1 t+K2e

s2 t

(11)

Las raíces correspondientes a la ecuación (10) son:

s2+ RLs+ 1LC

=0⇒ s=− R2 L

±√(R2 L)2

−1LC

Si llamamos α=R/2L (constante de amortiguación), ω0=

1

√LC y sustituimos en (11) las soluciones nos quedarán:

s1=−α+√α2−ω02 (12.1)

s2=−α−√α 2−ω0

2 (12.2)

Sólo queda saber qué valen las constantes K1 y K2. En el instante t=0, I=0, y eso nos lleva a que 0= K1+K2 es decir, que K2=-K1.

I ( t )=K1 (es1 t−e

s2 t )

Ahora, dependiendo de las magnitudes de α y ωo la solución será de una manera u otra.

Estuve leyendo algo sobre ecuaciones diferenciales en el libro de ecuaciones diferenciales diferenciales con aplicación de modelado de Dennis G. Zill y esta complicado el libro pero bueno poco a poco, en la página 27 hay una breve explicación de este tipo de circuitos en serie. Lo anterior lo saque de unos apuntes de una página web, pero lo estudie y al trascribirlo a esta hoja de Word cerré el link y no logré recuperarlo, me pareció muy interesante y medio fácil de entender. También estudié un libro de Electrónica Teoría de circuitos de Boylestad 8° edición, muy interesante.

Hay simuladores de circuitos muy interesantes, orcad y proteus que ni pude abrirlos pero vi sus prestaciones.

Con esto valores empiezo, con un dt=4x10-6

Se pueden apreciar la amortiguación

de la energía, voltaje en los

elementos RCL

El lapso del tiempo es demasiado corto y no

se aprecian las oscilaciones del

voltaje en los dispositivos.

Dt=5x10-3

El osciloscopio no alcanza a ver el

movimiento de las oscilaciones, quizá

calibrándolo

El aumento del voltaje solo hace de más

amplitud las oscilaciones del

voltaje, los picos de voltaje son mayores,

en el capacitor

Con los valores que se pueden apreciar en el recuadro, el tiempo de saturación del

condensador se alcanza en más tiempo porque tiene una mayor

capacidad en colombios, el voltaje en la resistencia también

cambia menos rápido y por lo tanto su oscilación es diferente, el voltaje en la bobina sucede de igual modo, su amortiguamiento

es más lento, hice varios cambios, solo deje este.

En aproximadamente 2.7x10—3

segundos el voltaje de la pila es igual en todos los elementos del circuito RCL, el voltaje es igual al de la fuente en este caso V=50

Si se refiere a que sucede al voltaje en cada uno de los elementos con el voltaje + ya se había explicado que oscila y cambia la amplitud de ellos y su frecuencia dependiendo del valor de los dispositivos y al cabo de un rato el voltaje de ellos se iguala al de la fuente, y si la pregunta se refiera a que sucede si cuando el voltaje de la fuente es v-, entonces lo que sucede es que no hay oscilaciones y el circuito no funciona.

i) Si α > ωo: Las soluciones serán reales, distintas y de signo negativo.

Sabemos que la caída de potencial en el circuito era como en la ecuación (8), que en el instante t=0 el

condensador no permite un cambio brusco de voltaje (por lo que Vc=0) y la bobina no permite un cambio

Se ve claramente que si cambiamos los valores de la capacitancia y la inductancia la frecuencia y amplitud cambian. Y si pareciera que los voltajes pero multiplicados por 2 pero desfasados

Cambié el voltaje y se ve claramente que el voltaje en los dispositivos sufren una caída de tensión del doble y no cambian su frecuencia… y si son iguales ambos voltajes pero desfasados

α= γ

brusco en la intensidad, y en la resistencia es cero (V=I·R). Por lo tanto el único elemento en el que hay caída

de potencial es en la bobina. Con estas condiciones la ecuación (8) se simplifica en la (13).

V b=LdIdt

|t=0=LK1( s1−s2 ) ⇒

K1=V b

L( s1−s2 ) (13)

Haciendo uso de la relación trigonométrica senhx= e

x−e−x

2 la solución final se dice sobreamortiguada, y

queda como:

I ( t )=V b

L√α 2−ωo

2

e−αt senh (√α2−ω02 t )

t

I(t)

Figura 2: Representación de Intensidad frente al tiempo. En este caso es sobreamortiguada.

Referencias:Ecuaciones diferenciales diferenciales con aplicación de modelado de Dennis G. Zill séptima edición editorial Thomson Learning.

Física Tomo II Raymond A. Serway tercera edición.

Electrónica Teoría de circuitos de Robert L Boylestad 8° edición

Y referencias de Internet perdidas .

Mismo voltaje mismos valores de los dispositivos de inductancia y capacitancia, pero doble el valor de la resistencia, lo que se puede notar es que la resistencia atenúa más rápido el proceso de amortiguamiento como era de esperarse según la fórmula y si α > ωo