Capitulo 2 Vectores

2.1. Escalares y Vectores

Las magnitudes físicas de los cuerpos pueden clasificarse en magnitudes escalares y magnitudes vectoriales:

1. Magnitudes escalares: Son magnitudes de los cuerpos. Para comprenderlas completamente debemos conocer el valor numérico y las unidades en que se expresa.

Algunos ejemplos de magnitudes escalares pueden ser: La distancia x=3m , el tiempo t=35seg , la

temperatura T=36 Co , la densidad ρ=12kg

m3, etc.

2. Magnitudes vectoriales: Son magnitudes de los cuerpos. Para comprenderlas completamente debemos conocer el valor numérico, las unidades y la dirección. Para indicar que una magnitud física es un vector (y que debe especificarse su dirección), le asignamos un nombre y le dibujamos arriba una flecha pequeñita.

Algunos ejemplos de magnitudes vectoriales son: El desplazamiento r=(5m,30o) , la fuerza

F=(14N ,125o) , la velocidad v=(32

ms

,180o) , la aceleración a=(9.8

m

s2,270o

) , etc.

2.2. Características de los vectores

Matemáticamente un vector se define como un objeto que tiene simultáneamente magnitud y dirección. Geométricamente un vector se asocia con una flecha cuyo tamaño representa la magnitud y la punta de la flecha representa la dirección.

Magnitud: También llamada Norma, Modulo, Valor absoluto o Intensidad. Se define como el tamaño del vector, asociado con lo grande o pequeña que es la magnitud física considerada.

Dirección: Es el ángulo entre el eje X y el vector, tomando el ángulo desde la parte positiva del eje X en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.

2.3. Representación gráfica de un vector

Dibujar un vector en un sistema de coordenadas cartesiano puede hacerse en forma polar y en forma rectangular. En la forma polar debemos conocer explícitamente su magnitud y dirección. En la forma rectangular debemos conocer explícitamente las componentes rectangulares del vector.

En forma polar un vector A=( A , θo) esta expresado en términos de su magnitud A y su

dirección θ. Por ejemplo el vector A=(5,30o) tiene una magnitud 5 y una dirección de 30 grados.

2.3.1. Regla para dibujar un vector en forma polar

1. Se dibuja un sistema de coordenadas cartesiano, indicando los ejes, los nombre de los ejes y la escala de cada eje.

2. Con el transportador de marca la dirección del vector y ahí se dibuja una linea. 3. En la recta definida en el punto 2, se mide la magnitud del vector con la misma escala de los

ejes.

En forma rectangular un vector se expresa en términos de sus componentes A=Ax i+ A y j , la componente A x es la proyección del vector sobre el eje X y la componente A y es la proyección del vector sobre el eje Y. Las cantidades i y j se conocen como vectores unitarios que especifican las direcciones positivas de los ejes X y Y respectivamente.

2.3.2. Regla para dibujar un vector en forma rectangular

1. Se dibuja un sistema de coordenadas cartesiano, indicando ejes, el nombre de los ejes y la escala de cada eje.

2. En el eje X se traza una recta vertical de acuerdo con el valor y signo de la componente X. 3. En el eje Y se traza una recta horizontal de acuerdo al valor y signo de la componente Y.4. Se dibuja el vector desde el origen del sistema hasta el punto en que se cruzan las rectas de los

puntos anteriores.

2.4. Cambio de representación

Si conocemos un vector en una representación, podemos expresarlo en otra diferente sin que cambie la magnitud física asociada con el vector.

2.4.1. Cambio de representación de polar a rectangular

Si tenemos un vector en la representación polar y queremos expresarlo en la representación rectangular, usamos las formulas A x=A cosθ y A x=A senθ para encontrar las componentes X y Y respectivamente

Ejemplos: Expresar en la representación rectangular los siguientes vectores.

a. A=(4 ,30o) b. B=(2 ,0o

)

c. C=(3 ,270o) d. D=(5 ,180o

)

e. E=(6 , 140o) f. F=(3.5 , 225o

)

g. G=(4.6 ,325o) h. H=(5 , 90o

)

Realizaremos los cálculos para los vectores A y C , sugiriendo al lector que haga los mismos cálculos con los demás vectores.

Las componentes rectangulares de A son: A x=4 cos30o

=3.5 y A y=4 sen30o=2

Así el vector A se expresa en forma rectangular como:

A=3.5 i +2 j

Las componentes rectangulares de C son: C x=3cos270o

=0 y C y=3 sen270o=−3

Así el vector se expresa en forma rectangular como:

C=−3 j

2.4.2. Cambio de representación de rectangular a polar

Si tenemos un vector en la representación rectangular y queremos expresarlo en la representación polar,

aplicamos las formulas A=√A x2+A y

2 y θ=arctan(A y

A x

) para encontrar la magnitud y la dirección. Para

expresar correctamente la dirección del vector debemos tomar en cuenta lo siguiente:

El vector esta en: Calculo del ángulo

Primer cuadrante θ=arctan(A y

A x

)

Segundo cuadrante θ=arctan(A y

Ax

)+180o

Tercer cuadrante θ=arctan(A y

Ax

)+180o

Cuarto cuadrante θ=arctan(A y

A x

)+360o

Ejemplos: Expresar en la representación polar los siguientes vectores.

a. A=4 i+3 j b. B=6 i

c. C=−5 i d. D=3 i−2 j

e. E=4 j f. F=−3 i

g. G=−4 i−4 j h. H=−2 i +5 j

Realizaremos los cálculos para los vectores A y H , sugiriendo al lector que haga los mismos cálculos con los demás vectores.

A=4 i+3 j :

La magnitud del vector es A=√(4)2+(3)

2=5 y la

dirección es θ=arctan(34)=36.8o

Así el vector A se expresa en forma polar como:

A=(5 , 36.8o)

H=−2 i +5 j :

La magnitud del vector es H=√(−2)2+(5)

2=5.4

y como el vector esta en el segundo cuadrante, la dirección es

θ=arctan(5

−2)+180o

=−68.2o+180o

=111.8o

Así el vector H se expresa en forma polar como:

H=(5.4 , 111.8o)

2.5. Operaciones vectoriales

Con los vectores, realizaremos las siguientes operaciones:

1. Multiplicación de un escalar por un vector.

2. Suma y resta vectoriales.

3. Producto escalar de dos vectores.

2.5.1. Multiplicación de un escalar por un vector

El resultado de multiplicar un escalar por un vector es otro vector cuya magnitud puede ser mayor o menor que el primer vector. Asimismo el vector resultante, puede tener la misma dirección o la dirección contraria del primer vector. Como los vectores se pueden representar en forma polar o en forma rectangular, definiremos la multiplicación para cada representación.

Representación polar

Dado el escalar n y el vector A=( A , θ) , definimos B=n A como el producto del escalar n por el vector A , cuya magnitud y dirección se encuentra de la siguiente forma:

a. La magnitud del vector B es el producto del valor absoluto del escalar n , multiplicado por la magnitud del vector A . Es decir B=∣n∣A .

b. Si n es positivo, la dirección del vector B es igual que la del vector A . Si n es negativo, la dirección del vector B es contraria a la del vector A . Es decir que cambia en 180o .

Ejemplo: Multiplicaremos el escalar 2 por el vector A=(3 ,25o) y graficaremos el resultado.

La magnitud del vector B es B=∣2∣(3)=6 y como el escalar 2 es positivo θB=25o . Por lo tanto el

vector B se expresa como B=(6 ,25o) y al graficar A y B en el mismo plano.

Ejemplo: Multiplicaremos el escalar −1.5 por el vector C=(2 ,225o) y graficaremos el resultado.

La magnitud del vector D es D=∣−1.5∣(2)=3 y como el escalar −1.5 es negativo θB=225o

−180o=45o . Por lo tanto el vector D se expresa como D=(3 , 45o

) y al graficar C y D en el mismo plano.

Representación rectangular

Dado el escalar n y el vector A=Ax i+ A y j , definimos B=n A como el producto del escalar n por el vector A , cuyas componentes se encuentran de la siguiente forma:

B x=n A x , B y=n A y

Ejemplo: Multiplicaremos el escalar −2.5 por el vector A=−3 i+2 j y graficaremos el resultado.

Las componentes del vector B son: Bx=−2.5(−3)=7.5 , B y=−2.5(2)=−5 , así B=7.5 i−5 j y al graficar A y B en el mismo plano.

2.5.2. Suma y resta vectoriales

Sumar dos o mas vectores, da como resultado otro vector. A+ B+C+...=R , este vector R puede determinarse gráficamente y analíticamente. Usaremos la representación rectangular.

1. Suma Vectorial Gráfica:

a. Se dibuja el sistema de coordenadas, con todos sus elementos.

b. Se dibuja el primer vector el el origen.

c. En la punta del vector dibujado anteriormente, se traza el siguiente vector, como si estuviera en el origen.

d. Se repite el paso anterior, las veces que sea necesario.

e. El vector suma o resultante R comienza en el origen del sistema de coordenadas y termina en la punta del ultimo vector sumado.

2. Suma Vectorial Analítica:

a. La componente x del vector suma o resultante, se obtiene sumando cada una de las componentes x de los vectores que se van a sumar. R x=A x+B x+C x+...

b. La componente y del vector suma o resultante, se obtiene sumando cada una de las componentes y de los vectores que se van a sumar. R y=A y+B y+C y+...

Ejemplo: Sumar A=3 i + j y B=− i+2 j gráficamente y analíticamente.

Gráficamente:

Vectores en el origen Suma de los vectores

Analíticamente:

Las componentes de R son R x=3−1=2 y R y=1+2=3 , así el vector suma es R=2 i+3 j .

NOTA: Por las propiedades de la suma, el resultado es el mismo sin importar el orden en el cual se sumen los vectores (aunque la figura cambie, el vector suma siempre sera el mismo).

Ejemplo: Sumar A=2 i− j y B=2 i+3 j y C=−3 i gráficamente y analíticamente.

Gráficamente:

Vectores en el origen Suma de los vectores

Analíticamente:

Las componentes de R son R x=2+2−3=1 y R y=−1+3+0=2 , así el vector suma es R= i +2 j .