Ley Organica Del Deporte, Actividad Fisica y Educacion Fisica
FISICA - VECTORES.docx
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Jr. Atahuallpa 348 - 436 AyaviriD.R. 6989 DREP
Lic. Ren Suca YungaOPERADORES
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Lic. Ren Suca YungaOPERADORES
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DEFINICIN DE VECTOREs un ente matemtico que sirve para representar a las magnitudes de carcter vectorial. Se trata de segmentos de recta con orientacin; si se dibujan a escala se representa la medida de la cantidad.Para representar la direccin de las cantidades vectoriales se han ideado a los VECTORES.Ejemplos: Desplazamiento, velocidad, fuerza, impulso, aceleracin, campo elctrico, etc.
ELEMENTOS DE UN VECTOR
Mdulo: Llamado tambin NORMA o TAMAO, es la medida de la longitud del vector, el mdulo se representar mediante la notacin:
: se lee Mdulo de ; si un vector no aparece con flecha encima se sobreentiende que se refiere al mdulo, es decir:
Direccin: Es el ngulo que forma el vector con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas (por lo general se toma la orientacin con respecto al semieje positivo de las abscisas). Sentido: Representado por la flecha del vector.
Lnea de Accin: Es aquella lnea donde se encuentra contenido el vector a travs de la cual puede deslizarse.
Representacin Analtica de un VectorDados dos puntos A y B que determinan un vector sobre el plano, la forma vectorial se define por:
o tambin
Ejemplo Ilustrativo 1:
Un vector en el plano pasa por los puntos y determinar su mdulo:
Solucin:
La expresin vectorial est dada por:
Clculo del mdulo del vector:
Rpta.Ejemplo Ilustrativo 2:
Un vector en el espacio pasa por los puntos y determinar su mdulo:
Solucin:
La expresin vectorial est dada por:
Clculo del mdulo:
Rpta.
CLASIFICACIN DE LOS VECTORES:
1. Vectores colineales: Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma lnea de accin.
2. Vectores iguales: Dos vectores sern iguales cuando tienen la misma direccin, mdulo y sentido.
3. Vector unitario: Es aquel cuyo mdulo es la unidad y tiene por misin indicar la direccin y sentido de un determinado vector.
4. Vectores paralelos: Son aquellos que tienen sus lneas de accin paralelas entre s.
En la figura:
Dadas las rectas paralelas:
Los vectores: tambin son paralelosPor consiguiente se cumple tambin:
vectores unitarios iguales
5. Vectores coplanares: Son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano.
6. Vectores opuestos: Dos vectores sern opuestos cuando tienen igual direccin, mdulo pero sentido contrario.
7. Vectores concurrentes: Son aquellos que sus lneas de accin se cortan entre s, en un mismo punto.
Se observa que las lneas de accin de los vectores , y concurren en el punto O
OPERACIONES CON VECTORES
ADICIN: Al vector suma tambin se le llama resultante.La resultante produce el mismo efecto que los sumandos.
1. MTODO DEL TRINGULO Este mtodo es vlido slo para dosvectores coplanares y concurrentes
Pasos a seguir: Se forma el tringulo, cuando son SLO 2 vectores Para hallar el valor de se aplica la Ley de Lamy o de senos:
2. MTODO DEL PARALELOGRAMO
Pasos a seguir:
La suma () o resultante () es la diagonal del paralelogramo formado. La suma o resultante se denota:
ANALTICAMENTE:
; Ley del paralelogramo
3. MTODO DEL POLGONO
3.1 Mtodo del Polgono Abierto: Se usa generalmente para sumar ms de dos vectores. Se colocan uno a continuacin del otro, manteniendo constante su VALOR, DIRECCIN y SENTIDO. La resultante es el vector que parte del origen del primero y llega al extremo del ltimo.Ejemplo:
Construyendo el polgono:
La resultante es:
3.2 Polgono Cerrado: En este caso todos tienen la misma secuencia (horario). El extremo del ltimo llega al origen del primero.
La Resultante es:
DIFERENCIA ()La diferencia de vectores es llamada tambin resultante diferencia.
Vectorialmente:
Por la Ley de cosenos:
Pero se sabe que:
CASOS PARTICULARES Y POSICIONES RELATIVAS DE LOS VECTORES:
1. Cuando y los vectores y son paralelos y del mismo sentido.
2. Cuando y los vectores y son paralelos y de sentidos opuestos.
3. Cuando , los vectores y son perpendiculares.
4. Cuando dos vectores tienen el mismo mdulo y forman 60. y
5. Cuando dos vectores tienen el mismo mdulo y forman 120. y
6. Cuando dos vectores tienen el mismo mdulo y forman 90. y
DESCOMPOSICIN RECTANGULAR DE UN VECTOR
Expresin vectorial de :
Como par ordenado:
Componentes rectangulares de un vector en el plano:Las componentes rectangulares estn dadas por:
Mdulo del vector :
Direccin del vector respecto al eje X:
Vectores en el Espacio Anlogamente a los puntos del plano cartesiano que estn representados por un par ordenado, los puntos del espacio se representan mediante ternas de nmeros o coordenadas espaciales.
Puntos en el espacio: X: eje de abscisasY: eje de ordenadasZ: eje de cotas
Expresin vectorial de un vector en
Un vector , se puede escribir como combinacin lineal de sus vectores unitarios cannicos, as:
Dados dos puntos en el espacio, se puede hallar el vector que dichos puntos determinan, aplicando:
Mdulo de un vector en
El mdulo de un vector ; est dado por:
Del grfico:Vector Unitario
Dado un vector: , se define como vector unitario en la direccin de , a la expresin:
Direccin de un vector en :
La direccin de un vector en , est dada por sus ngulos de orientacin con respecto a los 3 ejes coordenados. Y a los cosenos de dichos ngulos se denominan cosenos directores.
Cosenos directores:Las direcciones del vector con respecto a los ejes coordenados estn dados por:
: ngulo de inclinacin con respecto al eje X
:ngulo de inclinacin con respecto al eje Y
:ngulo de inclinacin con respecto al eje Z
Direccin con el eje X:
Direccin con el eje Y:
Direccin con el eje Z:
Propiedad:
OPERACIONES CON VECTORES EN
a) SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES:
Dados dos vectores: y
Se define como vectores suma y diferencia, respectivamente:
b) MULTIPLICACIN DE UN VECTOR POR ESCALAR EN
Dado el vector: y un escalar r se define como producto por escalar a la operacin:
Donde el vector , es mltiplo y necesariamente paralelo al vector .Propiedades de la Multiplicacin por escalar:
Dado los vectores y los escalares , se cumple:
1.
2.
3.
4.
c) PRODUCTO INTERNO O PRODUCTO PUNTO EN :
Dados dos vectores: y
Se define como producto interno de vectores a la expresin dada por:
Observe que:
En , para un vector ; se cumple que:
En , para un vector ; se cumple que:
Otra definicin:Es posible tambin definir el producto interno mediante la relacin:
Donde:
: mdulo del vector
: mdulo del vector
: ngulo formado por los vectores y
Propiedades del Producto Interno:
Dado los vectores y los escalares , se cumple:
1.
2.
3.
4.
5.
6. Si
Importante:Del vector suma, de acuerdo a las propiedades:
Por definicin de producto interno:
Anlogamente, para el vector diferencia:
Observe: Esta es la ley del cosenos!
d) PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ EN
Dados dos vectores: y ; se define como producto vectorial , a la expresin definida por el determinante:
Propiedades del Producto Vectorial
Dado los vectores y los escalares , se cumple:
1.
2.
3.
4.
5.
6. Si:
7. Si
Producto de vectores cannicos:
Puesto que un vector siempre es paralelo a s mismo: Adems:
Regla de la mano derecha:
Sirve para determinar la direccin del vector Observe!
Interpretacin Geomtrica del vector
El vector , est representado por un vector perpendicular, tanto al vector como al vector . Su mdulo es igual al rea del paralelogramo formado.
Observe: ; Adems
Luego:
Para el tringulo:
DOBLE PRODUCTO VECTORIAL
F) PRODUCTO TRIPLE EN
Dado los vectores , se define como producto triple a la expresin definida por un determinante de la forma:
Interpretacin geomtrica de :
El producto triple de los vectores es igual al volumen del paraleleppedo formado por dichos vectores.
Ejemplo Ilustrativo 01
Dados los vectores y . Calcular:
a) El producto escalar
b) El coseno del ngulo que forman los vectores y
c) El producto vectorial
Solucin:
a)
b)
c)Rpta.Ejemplo Ilustrativo 02
Determinar el rea limitada por los puntos ; y .
Solucin:Graficando:
Se sabe que:
Rpta.
Ejemplo Ilustrativo 03Hallar el volumen del tetraedro que forman los vectores:
; ; Solucin:El volumen del tetraedro es la tercera parte del volumen del paraleleppedo. Entonces por el producto triple:
Aplicando la solucin del determinante:
Rpta.
Ejemplo Ilustrativo 04
En la figura OPQR es un cuadrado, T es punto de tangencia a la semicircunferencia, expresar el vector en funcin de los vectores y .
Solucin:
En el por el Teorema de Pitgoras:
En el tringulo vectorial RQS:
Adems:
Luego en el tringulo vectorial RTQ
Rpta.
Ejemplo Ilustrativo 04
De acuerdo al grfico, un vector tiene una direccin perpendicular al tringulo ABC, y posee un mdulo de . Encontrar una expresin vectorial cartesiana para .
Solucin:Coordenadas y vectores direccionales en el grfico:
Vector unitario perpendicular al plano ABC.
Luego:
Rpta.
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