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I. NOCIONES GENERALES
La Hidrodinámica estudia EL movimiento de
los cuerpos líquidos o más en general, el
deslizamiento recíproco de las partes que la
componen.
Desde el punto de vista técnico, junto con la
hidrostática constituye el fundamento de la hidráulica.
En un fluido en movimiento: la densidad, la
presión y la velocidad son dependientes de la
posición y del tiempo.
1. Densidad : ρ = m/V ; ρ = ρ(r,t)
2. Velocidad del fluido : v = v(r,t)
3. Presión del fluido : p = p(r,t)
4. Densidad de flujo de
masa : j = ρ(r,t) v(r,t)
El flujo de masa, Φm, en un fluido en movimiento, es la masa
transportada por cada unidad de tiempo.
y se llama densidad de flujo de masa , j , a la cantidad de masa
transportada por unidad de tiempo y por unidad de área.
El flujo de masa, Φm:
t
mm
d
d
área
tiempomasa
Aj m /
jAm
FLUJO DE MASA
5. Densidad de Energía Potencial: Una porción de fluido de masa dm = ρdV a una altura z tiene una
energía potencial dada por:
. Entonces:
Luego, la presión hidrostática no es sino la energía potencial por
unidad de volumen
6. Densidad de Energía Cinética: Si la porción de fluido de masa dm = ρdV se mueve con velocidad
v , su energía cinética es:
gzdV
dEp
222
2
1:.)(
2
1)(
2
1V
dV
dEEntoncesvdVvdmdE C
C
gzdVgzdmdEP )()(
7. Flujo de Régimen Estacionário o Estable:
Línea de flujo.- Es la trayectoria
determinada por el movimiento de un
elemento de fluido. Líneas que marcan la
trayectoria que siguen las partículas de
fluido en la corriente; así, una partícula en
P sigue una de estas líneas de flujo y su
velocidad es tangente a las líneas de su
trayectoria
Tubo de flujo.- Es el volumen de fluido
limitado por una superficie tubular, en el
cual podemos graficar líneas de flujo
Se dice que un flujo es estacionario (laminar) si cada partícula del
fluido sigue un camino uniforme y los caminos de cada partícula no
se cruzan. Entonces en un flujo estacionario, la velocidad del fluido
puede variar en magnitud y dirección de una región a otra pero
permanece constante en el tiempo
Las líneas más espaciadas indican movimiento más lento
Por encima de cierta velocidad crítica, el flujo del fluido se vuelve no
estacionario o turbulento. El flujo turbulento es un flujo irregular
caracterizado por pequeñas regiones con remolinos
Figura. las líneas más
espaciadas indican movimiento
más lento.
8. Figuras de flujo laminar y flujo turbulento:
Fig. Flujo laminar alrededor de obstáculos de diferentes formas.
Fig. Flujo laminar y luego flujo turbulento
del humo que sale de los palitos.
II. ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD Consideremos un fluido ideal (incompresible, no viscoso, densidad
uniforme, etc.) que se mueve en un régimen de flujo estacionario a
través de una tubería con una sección transversal no uniforme.
En un tiempo Δt, el fluido en la parte baja de la tubería se mueve una
distancia Δx1 = v1Δt. Si A1 es el área de la sección transversal,
entonces la masa contenida es Δm1 = ρ1A1Δx1 = ρ1A1v1Δt.
Análogamente, en la parte superior, en un tiempo Δt se tiene una
masa Δm2 = ρ2A2v2Δt. como la masa se conserva y debido a que el
flujo es estacionario,
Δm1 = Δm2, o A1v1 = A2 v2 ecuación de continuidad.
III. ECUACIÓN DE BERNOULLI Considérese el flujo a través de una tubería no
uniforme en un tiempo Δt, La fuerza sobre el
extremo mas bajo del fluido es P1A1. El trabajo
hecho por esta fuerza es W1 =P1 ΔV, el trabajo
hecho en la parte superior W2 = -P2 ΔV negativo
pues la fuerza se opone al desplazamiento.
Entonces, el trabajo total es (P1 – P2)ΔV
=½(Δm)v2 2- ½(Δm)v2
1 + Δmgy2 – Δmgy1
dividiendo cada término entre ΔV, y recordando
que ρ= Δm/ΔV la expresión anterior se reduce
a:
2
222
2
1112
1
2
1vgyPvgyP
IV. APLICACIONES DE LA ECUACION DE LA CONTINUIDAD Y DE BERNOULLI
1. Presión de agua en el hogar:
Ejemplo.- El agua que ingresa en
una casa por un tubo de 2.0 cm de
diámetro interior tiene una presión
de 4,0x105 Pa. Mediante un tubo
de 1.0 cm de diámetro interior va al
cuarto de baño del segundo piso, a
5.0 m mas arriba. Si la rapidez de
flujo en el tubo de entrada es de
1,5 m/s; calcular la rapidez de flujo,
presión y la razón de flujo de
volumen en el cuarto de baño.
2. Teorema de Torricelli
Un tanque que contiene un líquido de densidad ρ
tiene un orificio pequeño en un lado, a una distancia
y1 del fondo. El aire por encima del líquido se
mantiene a una presión P. Determínese la rapidez
con la cual sale el líquido por el orificio cuando el
nivel del líquido está a una altura h arriba del orificio
Si se supone que la sección transversal del tanque
es mucho mayor que la del orificio (A1 <<A2),
entonces el fluido se puede considerar en reposo en
la parte superior, punto 2.
Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2
y observando que en el orificio P1 = Pa, obtenemos:
Ejemplo.- En la figura se muestra
un tanque de almacenamiento
de combustible con área
transversal A1, lleno hasta una
altura h. El espacio arriba del
combustible contiene aire a Po y
dicho liquido sale por un tubo
corto de área A2. Deducir
expresiones para la rapidez de
flujo en el tubo y la razón de flujo
de volumen..
3. TUBO DE VENTURI
Una aplicación de la ecuación de Bernoulli es el tubo de Venturi; como la
tubería es horizontal entonces y1= y2, por lo que la ecuación de Bernoulli
aplicada a los puntos 1 y 2 es
Con base en la ecuación de continuidad vemos que A1v1=A2v2; Al sustituir
esta expresión en la ecuación previa, se obtiene:
2
22
2
112
1
2
1vPvP
1)/(
)(22
21
211
AA
PPv
)(
)(22
2
2
1
2112
AA
PPAv