1

FINAL Nº 1: Problema 1: Un cañón dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 36,9° como muestra la Figura 1. El proyectil pasa por el punto A 9000 metros del punto de partida y que se encuentra al mismo nivel, luego alcanza el blanco B, situado 300 m por debajo del punto A

a) Calcular la velocidad inicial del proyectil b) Si el proyectil tiene una masa de 32,0 kg ¿Cuál es su Energía cinética cuando pasa por el punto A? c) ¿Cuál es su Energía cinética cuando impacta en el blanco B?

a) 0 = vo sen 36,9° . t - ½ . g . t2 → vo . 0,6 = ½ . g . t → t = 1,2 . vo/ g XA= vo cos 36,9° ° . t → XA = vo . 0,8 . 1,2 . vo/ 9,8 m/s2 9000 m = vo2 . ,0978 vo = 303 m/s b) Ec = ½ m . vo2 = ½ . 32 kg . (303 m/s)2 = Ec= 1.470.000 J = 1,47MJ c) EC = 1.470.000 J + m . g . 300 m = 1.470.000 J + 32 kg . 9,8 m/s2 . 300 m Ec= 1.564.080 J =1,56 MJ Problema 2: Un móvil de 2,0 N de peso se desplaza siguiendo la trayectoria representada en la Figura 2. Parte del reposo en A y desliza sin rozamiento por un cuarto de circunferencia de radio igual a 10 m hasta el punto B, a partir del cual se desplaza por una superficie rugosa hasta el punto C, en donde su velocidad es de 10 m/s y dista del punto B una distancia de 15 m. A partir de C se mueve por una superficie lisa, ascendente hasta alcanzar su altura máxima h en el punto D, a partir del cual desciende por el mismo tipo de superficie hasta E. A partir de E disminuye su velocidad uniformemente con una desaceleración de 2 m/s2, deteniéndose en el punto F. Calcular:

a) Desaceleración en el tramo BC b) Coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie horizontal BC c) Altura máxima h alcanzada en D d) Tiempo que tarda el móvil en recorrer el tramo EF e) Longitud del tramo EF.

a) EMA = EMB m . g . hA = ½ . m . vB

2 vB

2 = 2 . g . R = 2 . 9,8 m/s2 . 10 m vB = 14 m/s vC

2 = vB2 + 2 . a . dBC

a = [vC2 - vB

2 ]/ [2 . dBC] = [102 - 142]/ [2 . 15 m] a = - 3,2 m/s2

b) fr = m . a

- m . g . = m . a

- g . = a → = a/- g = -3,2/9,8

= 0,33

R

A

h

Figura 2

B C

D

E F

9000 m

vo

A

300 m

B Figura 1

2

c) EMC= EMD ½ . m . vC

2 = m . g . hD hD = vC

2 /2 . g = (10 m/s)2/19,6 m/s2 hD = 5,1 m d) vE = vC = 10 m/s vF = vE + a . t → t = vF - vE / a = 0 – 10 m/s /(-2 m/s2) t = 5,0 s e) vF

2 = vE2 + 2 . a . dEF

dEF = - vE2/ 2 . a = [- 100 m2/s2]/[- 4 m/s2]

dEF = 25 m Problema 3: Un tubo horizontal de 37,5 cm2 de sección transversal se estrecha hasta que la sección sea 12,5 cm2. Si por el tubo pasa agua de densidad 1,00 g/cm3 con una velocidad de 54,0 m/min por la parte ancha, donde se lee una presión manométrica de 8,00 N/cm2. ¿Cuál es la presión manométrica en la parte estrecha del tubo si el barómetro señala una presión de 75,0 centímetros de Mercurio? v1 = 54 m/min = 0,9 m/s v1 . A1 = v2 . A2 v2 = v1 . A1/ A2 v2 = 2,70 m/s P1 = 8 N/cm2 = 800000 N/m2 = 80000 Pa

P1 + . g . h1 + ½ . . v12 = P2 + . g . h2 + ½ . . v2

2

P1 + ½ . . v12 = P2 + ½ . . v2

2

P2 = P1 + ½ . (v12 - v2

2 ) P2 = 80000 Pa + ½ . 1000 kg/m3 (0,92 - 2,72 ) P2 = 76760 Pa =76,8 HPa

3

m

M

h =

0,7

0 m

d = 1,50 m

Figura 1

v

FINAL Nº 2: Problema 1: Una bala de masa m = 5,0 g es disparada a un bloque M = 2,0 kg inicialmente en reposo en el borde de una mesa sin fricción de altura h (Figura 1). La bala permanece en el bloque y después del impacto el bloque cae una distancia d de la parte baja de la mesa. Determina la rapidez inicial de la bala

y = ½ . ( -g ) t2

0 - h = - ½ . g . t2

t2 = 2 . h/g = 2 . 0,70 m /9,8 m/s2 t = 0,38 s

x = vox . t

vox = x / t vox = 3,97 m/s m . v = (M + m) . vox v = (M + m) . vox/m v = 2,005 kg . 3,97 m/s /0,005 kg v = 1,6 x 103 m/s

Problema 2: Un bloque de 400 g que descansa sobre un plano horizontal se comprime 15,0 cm contra un resorte de constante k=750 N/m como se muestra en la Figura 2. Cuando el bloque se suelta describe la trayectoria ABCDEBF. El radio de la trayectoria circular es de 50,0 cm. a) Calcula la velocidad del bloque en las posiciones B (parte más baja de la trayectoria circular), y D (parte más alta de la trayectoria circular). b) Calcula la máxima distancia d que recorre hasta que se detiene en el punto F. c) Calcula las fuerzas normales en las posiciones A y B. El coeficiente de rozamiento en los planos horizontal AB y BF es 0,20. Considerar que no hay rozamiento en la trayectoria circular. a) Epe - WFr = ECB

½ . K . x2 - m . g . . L = ½ m . vB2

K . x2/m - 2 . g . . L = vB2

vB2 = 750 N/m . (0,150 m)2 /0,400 kg - 2 . 9,81 m/s2 . 0,2 . 1,00 m

vB = 6,19 m/s

ECB = EPD + ECD

½ . m . vB2 = m . g . 2 . R + ½ . m . vD

2

vB2 = 2 . g . 2 . R + vD

2

vB2 = 2 . g . 2 . R + vD

2

vD2 = vB

2 - 4 . g . R

vD = (6,19 m/s)2 - 4 . 9,81 m/s2 . 0,500 m

vD = 4,32 m/s

b) POR ENERGIA:

W = EC

- m . g . d = 0 - ½ m . VB2

g .d = ½ VB2

A

d

Figura 2

R

B

C

D

E

F

1,00 m

POR DINAMICA:

F = m . a

-m . g . = m . a

- g . = a a = 1,96 m/s2

vF2 = VB

2 + 2 . a . d

0 = VB2 + 2 .( - g . . d )

d = VB2 /(2 . g .

4

d = VB2 /(2 . g .

d6,19 m/s)2/(2 . 9,81 m/s2 . 0,20) d = 9,8 m c) SFy = 0 NA - m . g = 0 NA = 0,4 kg . 9,81 m/s2 NA = 3,92 N SFy = 0 NB - m . g = m . aRAD NB = m . g + m . vB

2 /R NB = 0,400 kg . 9,81 m/s2 + 0,400 kg . (6,19 m/s)2/0,500 m NB = 34,5 N Problema 3: Del depósito A de la Figura 3 sale agua continuamente pasando través de depósito cilíndrico B por el orificio C. El nivel de agua en A se supone constante, a una altura de 12,0 m sobre el suelo. La altura del orificio C es de 1,20 m. El radio del depósito cilíndrico B es 10,0 cm y la del orificio C, 4,00 cm. Calcula: a) La velocidad del agua que sale por el orificio C. b) La presión relativa del agua en el punto P del depósito pequeño B c) La altura h del agua en el manómetro abierto vertical. Densidad del agua: 1000 kg/m3

a) Aplicando Bernoulli entre A y C:

PA + . g .hA + vA2 . /2 = PC + . g . hC + vC

2 . /2

. g . hA = . g . hC + vC2 /2

2 . g . (hA - hC )= vC2

vC2 = 2 . g . (12,0 m - 1,20 m)

vC = 14,6 m/s b) vP . AP = vC . AC vP = vC . AC/ AP

= 14,6 m/s . (4,00 cm)2/(10 cm)2

vP = 2,33 m/s Aplicando Bernoulli entre A y P:

PA + . g .hA + vA2 . /2 = PP + . g . hP + vP

2 . /2

. g .hA = PP . g . hP + vP2 . /2

g . hA - g . hP - vP2 . /2 = PP

PP = g . . ( hA - hP )- vP2 . . /2

PP = g . 1000 kg/m3 . (12,0 m - 1,20 m) - (2,33 m/s)2 . 500 kg/m3 PP = 103130 Pa = 1,03 . 105 Pa c)

PP = . g .h

h = PP / . g = 103130 Pa/g . 1000 kg/m3

h = 10, 5 m

A

P

12,0 m

1,20 m

h

A

B C

Figura 3

5

Tambor del Torno

Polea

Figura 2

FINAL Nº 3: Problema 1:

El bloque A de 100 g apoyado en un plano inclinado desliza con rapidez inicial nula. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque A y la superficie horizontal en el tramo (2-3) es 0,20.

El bloque B de 100 g que se encuentra inicialmente en reposo apoyado en el extremo 3 del plano horizontal (2-3). Se deja libre el bloque A que choca con el B, de tal modo que inmediatamente después del choque, el bloque A sigue avanzando con una velocidad igual a la mitad de la velocidad con que cae el bloque B. Calcula la altura h para que después del choque, el bloque B caiga dentro del recipiente R. Despreciar la resistencia del aire en la caida del Bloque B. Sugerencias: 1ro) Calcula la velocidad con que el bloque B abandona la superficie horizontal (2-3). 2do) Calcula la velocidad del bloque A antes del choque. 3ro) Calcula la altura h. a) y = yo - ½ . g . t2

0 = 1,0 m - 4,90 m/s2 . t2 t = ± 0,452 s x = vB . t → vox = x/ t = 0,90 m/0,452 s vB = 2,0 m/s b) mA. . vA1 + mB . vB1 = mA. . vA2 + mB . vB2 vA1 = vA2 + vB2 vA1 = 1,0 m/s + 2,0 m/s vA1 = 3,0 m/s c)

WFNOC = EM

Wfr = EC + EP

- mA . g . . d = ½ . mA . vA12 - mA . g . h

- g . . d = ½ . vA12 - g . h

g . h - g . . d = ½ . vA12

g . h = g . . d + ½ . vA12

g . h = vA12 /2g + . d = (3,0 m/s)2 /19,6 m/s2 + 0,20 . 1,0 m =0,459 m+ 0,20 m

h = 0,66 m Problema 2: Mediante un torno de engranajes se está procediendo a levantar un automóvil de 900 kg como se indica en la Figura 2. En un instante, se rompen los engranajes del torno y el auto cae desde el reposo. Durante la caída no hay deslizamiento entre la cuerda (de masa despreciable), la polea y el tambor del torno. El momento de inercia del tambor es igual a 320 kg . m2 y el de la polea de 4,00 kg . m2, el radio del tambor es de 0,800 m y el de la polea 0,200 m. a) Calcula la aceleración con que cae el auto. b) Calcula las tensiones de la cuerda.

vB h

1,0

m

0,90 m Figura 1

R

A

B

1,0 m

1

2 3

vB

1,0 m

0,90 m x

y

ANTES DEL CHOQUE

vB2 = 2,0 m/s

vB1 = 0 vA1 ?

vA2 = vB2/2 = 1,0 m/s

DESPUES DEL CHOQUE

6

a) TORNO:

CM = I TOR TOR

T1 . RT = I TOR a/RT

T1 = I TOR a/RT2 (1)

POLEA:

CM = IPOL . POL (T2 - T1) . RP = IPOL . a/RPOL

T2 - T1 = IPOL . a/RPOL2 (2)

AUTO:

Fy = M .A m .g - T2 = m . a

T2 = m . g - m . a (3)

Reemplazando (3) y (1) en (2)

m . g - m . a - I TOR a/RT2 = IPOL . a/RPOL

2

m . g = m . a + I TOR a/RT2 + IPOL . a/RPOL

2

a = m . g . m + I TOR/RT

2 + IPOL /RPOL2

a = 900 kg . 9,80 m/s2 . 900 kg + 320 kg.m2/(0,800 m)2 + 4,00 kg.m2/(0,200 m)2 a = 8820 N . 900 kg + 500 kg + 100kg a = 5,88 m/s2

b)

de (1)→ T1 = I TOR a/RT2 = 320 kg.m2. 5,88 m/s2 /(0,80 m)

T1 = 2940 N = 2,94 KN de (3)→ T2 = m . g - m . a= m (g – a) =900 kg (9,80 m/s2 -5,88m/s2 ) = 900 kg. 3,92 m/s2 T2 = 3528 N = 3,53 KN Problema 3: En una planta embotelladora, el agua mineral (densidad igual a 1000 kg/m3) baja por una tubería vertical de modo que se logra un llenado de 240 botellas de 0,355 litros, por minuto. En una sección de la cañería, de 8,00 cm2 de área, la presión manométrica es de 152 kPa y en una sección ubicada a 1,50 metros más arriba de la primera, el área es de 5,00 cm2. Calcula:

a) El caudal que circula por la cañería en m3/s. b) La velocidad media en ambas secciones de la cañería. c) La presión manométrica en la sección superior.

a) Q = 240 . 0,355 l/min= 85,2 l/min = 85,2 l 1 min 1m3

= 1,42 . 10-3 m3/s

min 60 s 1000 m3

b) Q = v1 . A1 v1 = Q /A1 = = 1,42 . 10-3 m3/s / 5,00 . 10-4 m2 =

v1 = 2,84 m/s v2 = Q /A2 = = 1,42 . 10-3 m3/s / 8,00 . 10-4 m2 =

v2 = 1,78 m/s

c) P1 + . g .h1 + v12 . /2 = P2 + . g . h2 + v2

2 . /2

P1 = P2 + v22 . /2+ . g .h1 - v1

2 . /2

P1 = P2 - . g .h1 + /2 (v22 - v1

2 ) P1 = 152000 Pa - 1000 kg/m3 . 9,8 m/s2 . 1,50 m - 500 kg/m3 [(1,78 m/s)2 – (2,84 m/s)2] P1 = 152000 Pa - 14700 Pa - 2448,6 Pa = 134851 Pa = 135 KPa

mTOR . g

T1

T1

T2

RT

y

T2

m . g

RP

a

P

T

mPOL . g

T2

mA . g

T1

T1

mTOR . g

mPOL . g

7

FINAL Nº 4: Problema 1: En la Figura 1 podemos observar que se lanza el bloque A con una velocidad inicial voA, en el instante que alcanza la altura máxima impacta con el bloque B que se encuentra en reposo. Producto del choque el bloque A se desliza por el plano horizontal con una rapidez igual a 3,00 m/s y el bloque B comienza a deslizarse por el plano horizontal hasta detenerse después de recorrer 5,00 m, siendo el coeficiente de roce cinético 0,500. Los dos bloques tienen la misma masa. a) Calcular la velocidad del bloque B después del choque. b) Calcular las componentes de la velocidad inicial del bloque A. c) Calcular la altura h. a) Por Leyes de Newton:

Fx = mB . ax

- .mB . g = mB . ax

ax = -. g

vB2 = voB

2 + 2 ax . x

0 = voB2 - 2 . . g . x

voB2= 2 . . g . x = 2 . 0,500 . g . 5,00 m

voB = 7,00 m/s (vB2x) b) mA . vA1x = mA . vA2x + mB . vB2x vA1x = vA2x + vB2x vA1x = vA2x + vB2x = 3,00 m/s + 7,00 m/s = 10,00 m/s Vox = vA1x = 10,00 m/s x = voAx . t t = xA/voAx = 10,0 m/10,00 m/s = 1,00 s vAy = voAy - g .t = 0 voAy = g .t = 9,80 m/s c) y = yo + voAy . t - ½ . g . t2

h = 9,80 m/s . 1,00 s - 4,9 m/s2 . (1,00 s)2 = 4,90 m Problema 2: Un bloque de 2000 kg asciende a una velocidad constante de 8,00 cm/s mediante un cable de acero que pasa por una polea de masa despreciable y se enrolla en un tambor de un torno impulsado por un motor (Figura 2). El radio del tambor es de 30,0 cm a) ¿Qué fuerza ejerce el cable? b) ¿Qué momento ejerce la tensión del cable sobre el tambor? c) ¿Cuál es la velocidad angular del tambor? d) ¿Qué potencia debe desarrollar el motor para hacer girar el tambor del torno?

Figura 2

voA

A

B

5,00 m

10,0 m

h

Figura 1

a) Por consideraciones energéticas:

W =EC

- .mB . g . 5,00 m =0 - ½ mB . voB2

2 . . g x = voB2

voB = 7,00 m/s

8

a) Para m

Fy = 0 T - m .g = 0 → T = 2000 kg . 9,8 m/s2 T = 1,96 .104 N b) Para Cilindro

= T. R = 1,96 .104 N . 0,3 m

= 5,87 .103 N.m c)

v = .R → = v/R = 0,08 m/s /0,3 m

= 0,27 rad/s d)

P =5,87 .103 N.m . 0,27 rad/s P = 1,56 .103 W Problema 3: Por la cañería de la Figura 3 circula agua de densidad 1000 Kg/m3. En la sección 1 la velocidad es igual a 2,00 m/s y el diámetro 20,0 cm. En la sección 2 el diámetro es de 10,0 cm y está 1,00 m por encima de la sección 1. a) Calcular el caudal en m3/min que circula por la cañería. b) Calcular la velocidad en la sección 2. c) Calcular la diferencia de presión entre 1 y 2.

a) A1 = . d12/4 = . (0,200 m)2/4 = 0,0314 m2

Q = v1 . A1 = 2,00 m/s . 0,0314 m2 = 0,0628 m3 60 s = 3,77 m3/min s min

b) A2 = . d22/4 = . (0,100 m)2/4 = 0,00785 m2

Q = v2 . A2 v2 = Q /A2 = 0,0628 m3/s / 0,00785 m2 v2 = 8,00 m/s c)

P1 + ½ . . v12 + . g . h1 = P2 + ½ . . v2

2 + . g . h2

P1 + ½ . . v12 = P2 + ½ . . v2

2 + . g . h2

P1 - P2 = ½ . . (v22 - v1

2 ) + . g . h2

P = 500 Kg/m3 [(8,00 m/s )2 - (2,00 m/s) 2] + 1000 Kg/m3 . g . 1,00 m

P = 30.000 N/m2 + 9.800 N/m2 = 39.800 Pa

T

mCIL . g

T

T RT

y

T

m . g

1,0

0 m

Figura 3

1

x

x

2

v1

v2

9

FINAL Nº 5: Problema 1: a) Se enrolla una cuerda por el borde de un disco uniforme que gira sin rozamiento alrededor de un eje fijo

que pasa por su centro. La masa del disco es de 3,00 kg, su radio R = 25,0 cm. Se tira de la cuerda con una fuerza F de 10,0 N. Si el disco se encuentra inicialmente en reposo, ¿cuál es su velocidad angular después de 5,00 s?

b) Si en la cuerda se cuelga un cuerpo cuyo peso es de 10,0 N ¿Cuál es la velocidad angular de la rueda después de 5,00 s? Obs.: Idisco = = ½ M R2

a) = F . R

F . R →F . R ½ m R2 → = 2 . F / R . m = (2 . 10 N)/(0,25 m . 3 kg) = 26,66 rad/s2

o + . t = 26,66 rad/s2 . 5 s = 133 rad/s M = P/g = 10N/9,8 m/s2 = 1,02 kg

T . R →T . R = ½ m R2 . a/R T = a . m/2

Fy = M .a P - T = M . a P - a . m/2 = M . a a = P/(M +m/2) a = 10 N (1,02 kg +1,5 kg) = 3,967 m/s2

= a/R = 3,967 m/s2/0,25 m = 15,87 rad/s

= o + . t = 15,87 rad/s2 . 5 s = 79,4 rad/s OTRA FORMA:

a) dL/dt

= F .R = /t

F . R .t = ½ m R2 .

2 . F . t/(m . R) = 2 . 10 N . 5 s/3 kg . 0,25 m

133 rad/s

b) dL/dt

= F .R = /t → T = / t . R

Fy = M . a

P- T = M . V/t

P- T = M . . R /t

P = T + M . . R /t

P = / t . R + M . . R /t

P = / t . R + M . R /t ]

= P /½ . m . R2 t . R + M . R /t ]

= 10 N /[ (1,5 kg . 0,25 m/5 s) + (1,02 kg . 0,25 m/5 s)] = 79,4 rad/s

Problema 2: El cuerpo de masa M sujeto por la cuerda de longitud L, gira en el plano inclinado de la Figura 1, con el que tiene un coeficiente de rozamiento

Calcular La velocidad mínima que debe tener en A para que pase por B.

DATOS: M = 4,00 kg, L = 2,00 m, = 0,250, = 36,89o

Fy = 0

N - M . g . cos = 0 → N = M . g . cos

Fr = . M . g . cos 36,89o0,250 . 4,00 kg . 9,80 m/s2 . 0,800

Fr = 7,84 N

Fx = M . aRADB T + M . g . sen 36,89o = M .vB

2/L Pero para vB mínima T = 0 L . g . sen 36,89o = vB

2

P = 10,0 N

T

T

M

F = 10,0 N

m

= 37°

T

m.g.cos m.g.sen

m . g

y

x

N

PUNTO B

A

B

M L

Figura 1

10

vB2 = 2,00 m . 9,80 m/s2 . 0,600

vB = 3,43 m/s Plantemos Energía: h = 2 . L . sen 37° = 2 . 2 m . 0,6 = 2,4 m EcA - Wfr = EcB + EpB

½ . M . vA2 - Fr . . 2 . L/2 = ½ . M . vB

2 + M . g . h

½ . M . vA2 = ½ . M . vB

2 + M . g . h + . M . g . cos 37°L

½ . vA2 = ½ . L . g . sen + g . 2 . L . sen + . g . cos L

vA2 = L . g . sen + g . 4 . L . sen + 2 . . g . cos L

vA2 = L . g . (sen + 4 . sen + 2 . . cos .

vA2 = L . g . ( 5 sen + 2 . . cos

vA2 = 2 m . 9,8 m/s2 . ( 5 . 0,600 + 2 . 0,250 . 0,800

vA = 9,13 m/s

Problema 3: Una boya cilíndrica de 1600 kg flota en posición vertical en agua de mar (densidad relativa = 1,03). El diámetro de la boya es de 90 cm. Calcular lo que se hundirá la boya al subirse a ella un nadador que pesa 75 kg

H2O = 1030 kg/m3

Fy = 0 → PBOYA - E = 0

mBOYA . g = H2O . g . VolSUMERGIDO

mBOYA = H2O . . R2 . h

1600 kg = 1030 kg/m3 . . (0,45 m)2 . h h = 1600 kg . = 2,442 m

1030 kg/m3 . . (0,45 m)2 Si se sube el nadador:

Fy = 0 → PBOYA + PNADADOR - E = 0

mBOYA . g + mNADADOR . g =H2O . g . VolSUMERGIDO

mBOYA + mNADADOR = H2O . VolSUMERGIDO

1600 kg + 75 kg = 1030 kg/m3 . . (0,45 m)2 . h´ h´ = 1600 kg + 75 kg = 2,556 m

1030 kg/m3 . . (0,45 m)2 La boya se hunde: y = h´ - h = 2,556 m - 2,442 m Y = 0,114 m

11

L = 100 cm

30,0°

B A

1,50

m

Figura 1

20,0 m

FINAL Nº 6: Problema Nº 1: Una pequeña bolsa de 2,00 kg cuelga en reposo de una cuerda sin masa de 100 cm de longitud. Un proyectil de 20,0 g se lanza horizontalmente contra la bolsa. Después de atravesar la bolsa, el proyectil continúa una trayectoria parabólica bajo la acción de la fuerza gravitatoria, cayendo al suelo en un punto situado 1,50 m por debajo y 20,0 m a la derecha de la posición inicial de la bolsa. Como resultado del impulso recibido, la bolsa, sostenida por la cuerda, se desplaza hasta alcanzar una separación angular máxima de 30,0º respecto a la vertical. (Figura 1)

a) Calcula la velocidad que tenía el proyectil antes de atravesar la bolsa. b) Calcula la tensión en la cuerda cuando esta está separada 10,0 º respecto a la vertical.

a) Movimiento parabólico: y - yo = - ½ . g .t2 como y= 0 t2= 2 . 1,50 m/g → t = 0,553 s x = vA2 . t → vA2 =x/ t = 20,0 m /0,553 s = vA2 = 36,15 m/s mA . vA1 = mA . vA2 + mB . vB2

vA1 = (mA . vA2 + mB . vB2 )/ mA

vA1 = (0,0200 kg . 36,15 m/s + 2,00 kg . 2,625 m/s )/0,0200 kg vA1 = 299 m/s b) Calculo de la v3 para 10°: ½ mB .vB2

2 = mB .g . (L - L cos 10°) + ½ mB . v32

vB22 = 2 .g . (L - L cos 10°) + v3

2

v32 = vB2

2 - 2 . g . (L - L cos 10°)

v32 = (2,625 m/s)2 - 2 . g . (1,00 - 1,00 cos 10°)

v3 = 2,065 m/s

Fx = mB . aRAD T - mB . g . cos 10° = mB . v3

2 /L T = mB (g . cos 10° + v3

2 /L) T = 5,27 N

Problema Nº 2: En la Figura 2 se muestra una esfera hueca de 0,020 m3 que se mantiene sumergida bajo agua mediante una cuerda anclada en el fondo de un recipiente. En estas condiciones la cuerda está sometida a una tensión de 98,0 N. Considere que la densidad del agua es 1,00 g/cm3.

a) Calcula la masa de la esfera. b) Calcula qué volumen de la esfera quedaría bajo la superficie del agua si ésta flotara libremente en reposo.

a)

Fy = 0 → E -T- m . g = 0

Vol . g . H20 - T - m . g = 0

Vol . g . H20 - T = m . g

m = Vol . H20 - T/ g m = 0,020 m3 . 1000 kg/m3 - 98,0 N/g = 20,0 kg - 10,0 kg m = 10,0 kg

Péndulo: mB .g . h = ½ mB .vB2

2

2. g . (L – L cos 30°) = vB22

vB22 = 19,6 m/s2 (1,00 m - 1,00m . cos 30°)

vB2 = 2,625 m/s

m . g

T

m.g.cos

m.g .sen

y

x

Figura 2

12

b) E - m. g = 0

Volsum . g . H20 = 10,0 kg . g

Volsum . H20 = 10,0 kg

Volsum = 0,010 m3

Problema Nº 3: En la Figura 3 se representa una caja (C) suspendida de una cuerda larga que está enrollada alrededor de un cilindro macizo de 20,0 cm de radio, cuyo momento de inercia es 20,0 kg.m2. La caja se encuentra inicialmente en reposo y, al ser liberada, cae con aceleración constante, haciendo girar el cilindro alrededor de su eje central, de manera que al cabo de 2,00 s ha dado una vuelta completa. La distancia (h) desde el suelo hasta la parte inferior de la caja, antes de ser liberada, es de 7,84 m.

a) Calcula la velocidad angular del cilindro 2,00 s después de haber comenzado el movimiento. b) Calcula la masa de la caja. c) Calcula la energía cinética de la caja un instante antes de chocar con el suelo.

a)

= 2 . rad

= o . t + ½ . . t2

= 2 . / t2

= 2 . 2 . rad/ (2,0 s)2

= rad/s2

ay = R = 0,628 m/s2

=o + . t

=2 . / t

=2 . rad/s = 6,28 rad/s b)

T . R =

T = ay/R2 T = 314 N

Fy = mC . ay mC . g - T = mC . ay

mC . g - a/R2 = mC . ay

mC . g - mC . ay = ay/R2

mC . ( g - ay) = ay/R2

mC = ay . R2 (g - ay) mC = 34,2 kg c) Por consideraciones energéticas:

WF NO CONS = EM

0 = - mC . g . h + ½ . mC . v2 + ½ . 2

mC . g . h = ½ . mC . v2 + ½ . v2/R2

2 . mC . g . h = v2 (mC + /R2)

v2 = 2 . mC . g . h / (mC + /R2) v2 = 9,83 m2/s2 EC = ½ . mC . v2 = 168 J Por cinemática: v2 = 2 . ay . h EC = ½ . mC . v2 = ½ . mC . 2 . ay . h = 168 J

Figura 3

C

h

N

m .g

T

T

y

mC . g

C

13

FINAL Nº 7: Problema Nº 1: La Figura 1 muestra un proyectil A, de 100 g, que se desplaza horizontalmente con una rapidez v = 10,0 m/s en dirección a una esfera B, de 1900 g, que está inicialmente en reposo suspendida por una varilla rígida de longitud L = 100 cm y masa despreciable que puede girar libremente sobre un pivote O. Después del impacto el proyectil queda empotrado en la esfera B.

a) Calcula la fuerza que actúa sobre el pivote en el momento en que la varilla alcanza su desplazamiento angular máximo (la esfera se detiene).

b) Calcula el tiempo que transcurre desde el impacto hasta que la varilla vuelve a estar en posición vertical.

c) Calcula el valor mínimo de v para que la esfera B pueda girar una vuelta completa como muestra la Figura 2. a) mA . vA1x = (mA + mB) . v2 v2= mA . vA1x / (mA + mB) = 0,100 kg . 10,0 m/s /2,00 kg v2= 0,500 m/s

WF NO CONS = EM ½ . (mA + mB) . v2

2 = (mA + mB) . g . h h = v2

2 /2 . g = (0,500 m/s)2 / 2 . g = 0,0128 m

cos = (L - h)/L

= arcos (1,00 m - 0,051 m / 1,00 m)

= 9,16o

Fy = (mA + mB) . arad

T - (mA + mB) . g . cos = (mA + mB) . arad

T = (mA + mB) . g . cos = 2,00 kg . g . cos 9,16o T = 19,4 N b)

T = 2 . [ L/g]½

T = 2 . [ 1,00m/g]½ T = 2,00 s → T/2 = 1,00 s c) Condición T =0

Fy = (mA + mB) . arad (mA + mB) . g = (mA + mB) . v2/R v2 = g . R → vMín = 3,13 m/s

WF NO CONS = EM (mA + mB) . g . 2 . R + ½ . (mA + mB) . vMín

2 = ½ . (mA + mB) . v A22

4 . g . R + vMín2 = v A2

2

vA22 = 5 . g . R → vA2= 7,00 m/s

mA . vA1x = (mA + mB) vA2X vA1x = (mA + mB) vA2X /mA = 2,00 kg . 7,00 m/s/0,100 kg vA1x = 140 m/s

L-h

h

L

(mA + mB) . g

(mA + mB) . g . cos

T

Figura 1 Figura 2

B

L

v= 10,0 m/s

A

B

L

v

A

O O

14

Problema Nº 2:

En la Figura 3 se representa un cubo macizo, de 100 cm de lado y 400 kg/m3 de densidad, el cual flota en agua hasta la mitad, anclado al fondo de un recipiente mediante una cuerda de masa insignificante.

Obs.: AGUA = 1000 kg/m3 a) Calcula la tensión en la cuerda. b) Calcula qué volumen del cubo quedaría sumergido si se cortara la

cuerda. 2) a) V = a3

Fy = 0 → E - P - T = 0

T = E - P = H2O . g. V/2 - cuerpo . g . V

T = E - P = (H2O - cuerpo) . a3 . g T = 100 kg/m3 . g . 1,00 m3 T = 980 N b)

Fy = 0 → E - P = 0 P = E

cuerpo . g . V = H2O . g . VSUM

cuerpo . V = H2O . VSUM

VSUM = V . H2O /cuerpo = 1,00 m3 . 400 kg/m3/1000 kg/m3 VSUM = 0,400 m3 Problema Nº 3: La Figura 4 representa: Un bloque A, de 5,0 kg, que se desliza por una superficie plana, la cual

forma un ángulo θ = 36,89o con el plano horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y la superficie es 0,50.

Un cilindro macizo B, de 5,0 kg y 50 cm de radio, que rueda sin deslizar por la superficie inclinada.

Una cuerda, inextensible y de masa insignificante, con un extremo fijo al bloque y el otro, enrollado sin fricción, al eje central del cilindro.

Calcula la rapidez del bloque A al realizar un desplazamiento de 100 cm si parte del reposo. Obs.: Momento de Inercia de un cilindro macizo respecto de su eje central: I = M.R2/2

Por trabajo y energía

F NO Cons = EM

- mA . g . cos . . L = ½ . mA . V2 + ½ . mB . V2+ ½ . ½ . mB . R2 v2/R2 - (mA + mB) . g . L . sen

- 2 . mA . g . cos . . L + 2. (mA + mB) . g . L . sen = V2 (mA + mB + ¼ mB )

- 2 . g . cos . . L + 2. 2 . g . L . sen = V2 .5/2

2. g . L (2 .sen - cos . ) = V2 . 5/2

v2 = 4 . g . L (2 . sen - cos . ). /5

v2 = 4 . g . L (2 . 0,60- 0,80 . 0,5). /5 v2 = 4 . g . 1,00 m (0,80) /5 v2 = 0,64 . g v = 2,50 m/s Por Leyes de Newton:

B

A

Figura 4

frB

mB . g

mB . g .cos

mB . g .sen

T NB

x

frA

mA . g

mA . g . cos

mA . g .sen

T

NA

x

Figura 3

T

P

E

y

15

Fx = mA . ax

T + mA . g . sen - frA = mA . ax

T + mA . g . sen - mA . g . cos . = mA . ax

T = - mA . g . sen + mA . g . cos . + mA . ax

O = O .

mB . g . sen R - T . R = 3/2 . mB . R2 ax/R

mB . g . sen - T = 3/2 . mB . ax

T = mB . g . sen - 3/2 . mB . ax Igualando T

- mA . g . sen + mA . g . cos . + mA . ax = mB . g . sen - 3/2 . mB . ax

mA . ax + 3/2 . mB . ax = mB . g . sen + mA . g . sen - mA . g . cos .

ax (mA + 3/2 . mB ) = g ( mB . sen + mA . sen - mA . cos . ) mA = mB = m

ax (5/2) = g ( sen + sen - cos . )

ax = 2 . g ( sen + sen - cos . )/5

ax = 2 . g ( 0,60+ 0,60 - 0,80 . 0.50)/5 ax = 2 . g (0,80)/5

ax = 0,32 . g = 3,14 m/s2

v2 = 2 . ax . d v = 2,50 m/s

16

FINAL Nº 8: PROBLEMA Nº 1: La Figura 1 muestra un proyectil A de 100 g, que se desplaza horizontalmente con una rapidez v en dirección a una esfera B, de 1,00 kg que está inicialmente en reposo suspendida por una varilla rígida de longitud L = 100 cm y masa despreciable que puede girar libremente sobre un pivote O. El proyectil A atraviesa la esfera B y sale de la misma con una rapidez v/2. Calcula el valor mínimo de v para que la esfera B pueda girar una vuelta completa.

Condición T =0

Fy = mB . arad mB . g = mB . v2/R v2 = g . R → vMín = 3,13 m/s

WF NO CONS = EM mB . g . 2 . R + ½ . mB . vMín

2 = ½ . mB . v B22

4 . g . R + vMín2 = v B2

2

vB22 = 5 . g . R → vA2= 7,00 m/s

mA . v = mB vA2x + mA v/2 mA . v - mA v/2= mB vA2x v (mA - mA /2)= mB vA2x v (mA /2)= mB vA2x v = (2 . mB vA2x) /mA = (2 . 1,0 kg . 7,00 m/s)/ 0,10 kg =

v= 140 m/s

PROBLEMA Nº 2: El mecanismo de la Figura 2 consta de un cilindro de 0,25 m de radio que puede girar libremente (sin fricción) alrededor de su eje central. El cilindro es accionado por una manivela con un brazo de palanca de 0,12 m. El momento de inercia del cilindro respecto al eje central es 0,90 kg.m2. Determina el módulo de la fuerza F que hay que aplicar al mango de la manivela, tangencialmente a la circunferencia que describe, para levantar una caja de 2,5 kg con una aceleración de 0,80 m/s2

.

= a/R = 0,80 m/s2/0,25 m = 3,2 rad/s2 CAJA:

FY = M. a T - M . g = M . a T = M . g + M . a T = 2,50 kg ( 9,8 m/s2 + 0,8 m/s2) = 26,5 N POLEA:

CM = I .

F . 0,12 m - T . 0,25 m = I . F = [26,5 N . 0,25 m + 0,90 kg . m2 . 3,2 rad/s2]/0,12 m

F = 79 N

0,12 m

Figura 2

L

v v/2

A B

Figura 1

O

T

y

M . g

C

T m .g

N

F

0,12 m

R

17

PROBLEMA Nº 3: Analice la Figura 3. Una casa toma agua de la red de distribución mediante una cañería horizontal (1-2) de 25,0 mm de diámetro. El agua sube 8,00 m por una cañería vertical (2-3), también de 25,0 mm de diámetro y se vierte en un tanque mediante una sección de cañería horizontal (3-4) de 20,0 mm de diámetro, por donde sale con una rapidez de 50,0 cm/s.

a) Determina cuánto tiempo se requiere para agregar 100 litros de agua al

tanque.

b) Determina a qué altura la presión manométrica en la cañería vertical es

50.000 Pa.

a) Q = Vol = v . A

t

t = Vol = 0,1 m3 . 4 = 0,1 m3 . 4 = 636,62 s

A . v . d2 . v . 0,022 m2 . 0,5 m/s

t = 637 s

b) PX + . g .hX + vX2 . /2 = P4 + . g . h4 + v4

2 . /2 Siendo PX = 50000 Pa ; P4 = 0,00

vX . AX = v4 . A4 vX = v4 . A4 = 0,5 m/s . . 0,022 . 4 = 0,32 m/s

AX . 0,0252 . 4

hX = . g . h4 + v42 . / 2 - PX - vX

2 . / 2 = g . h4 + v42/ 2 - PX / - vX

2/ 2 =

. g g hX = 9,8 m/s2 . 8,0 m + 0,52 m2/s2 / 2 - 50000 Pa / 1000 kg/m3 - 0,322 m2/s2 / 2 = 9,8 m/s2

hX = 2,91 m

Figura 3

❶ ❷

❸ ❹

18

Figura 1

ESFERA HUECA: M = 6,00 kg R = 8,0 cm

CILINDRO:

m = 0,60 kg

POLEA: I = 3,0 x 10-3 kg m2 r = 5,0 cm

FINAL Nº 9: PROBLEMA Nº 1: Analice la Figura 1. Una esfera hueca, de masa M = 6,0 kg y radio R = 8,0 cm, puede rotar alrededor de un eje vertical. Alrededor del plano ecuatorial de la esfera está enrollada una cuerda que pasa alrededor de una polea, de momento de inercia I = 3,0 x 10-3 kg m2 y radio r = 5,0 cm. El extremo de la cuerda está fijo a un cilindro de masa m = 0,60 kg. Considere que no hay fricción en los ejes de rotación de la esfera y de la polea, que la cuerda es inextensible, de masa insignificante y que no resbala en la polea. Calcule la velocidad del cilindro cuando, después de comenzar a moverse desde el reposo, ha descendido 80 cm. Dato: Momento de Inercia de un esfera hueca con respecto a un eje que pasa por su centro de masa: I = 2.M.R2/3 a) RESOLUCION POR DINAMICA: ESFERA:

CM = I ESF . ESF T1 . R = 2/3 . M . R2 . a/R ESF T1 = 2/3 . M . a (1) POLEA:

CM = IPOL POL (T2 - T1) . RP = IPOL . a/RPOL

T2 - T1 = IPOL . a/RPOL2 (2)

CILINDRO:

Fy = m . a m .g - T2 = m . a

- T2 = m . a - m . g (3)

Sumando (1) (2) y (3) T1 + T2 - T1 - T2 = 2/3 . M . a + IPOL . a/RPOL

2 + m . a - m . g m . g = 2/3 . M . a + IPOL . a/RPOL

2 + m . a m . g = a (2/3 . M + IPOL ./RPOL

2 + m ) a = m . g . m + 2/3 . M + IPOL . a/RPOL

2 v2 = 2 . a . h → v2 = 2 . m. g . h . m + 2/3 . M + IPOL /RPOL

2 v = 1,3 m/s PROBLEMA Nº 2: En la Figura 2 se puede observar un bloque de 2,0 kg que se suelta desde el punto A. La pista no ofrece fricción excepto en la parte BC; de 10 m de longitud. El bloque se mueve hacia abajo por la pista, golpea un resorte de constante de fuerza k = 1960 N/m y lo comprime 10 cm a partir de su posición de equilibrio antes de quedar momentáneamente en reposo. Calcule el coeficiente de fricción cinético entre la superficie BC y el bloque.

b) RESOLUCION POR ENERGIA:

W = ECf - ECO

W = ECfTR. + ECf ROT

m. g . h = ½ . m. v2 + ½ . IESF 2 + ½ . IPOL2

2 . m. g . h = m . v2 + 2/3 M . R2 . v2/R 2 + IPOL v2/R

POL2

2 . m. g . h = v2 (m + 2/3 M + IPOL /RPOL2)

v2 = 2 . m. g . h . m + 2/3 . M + IPOL /RPOL

2 v = 1,27 m/s v = 1,3 m/s

19

W FNO CONS =EM

- m . g . . L = ½ . k . x2 - m . g . h

m . g . . L = m . g . h - ½ . k . x2

= m . g . h - ½ . k . x2 m . g . L

= h - ½ . k . x2 → = 0,45 L m . g . L PROBLEMA Nº 3: Analice la Figura 3. Una casa toma agua de la red de distribución mediante una cañería horizontal (1-2) de 2,50 cm de diámetro. El agua sube 8,00 m por una cañería vertical (2-3), también de 2,50 cm de diámetro y se vierte en un tanque mediante una sección de cañería horizontal (3-4) de 2,00 cm de diámetro, por donde sale con una rapidez de 50,0 cm/s.

a) Determine cuánto tiempo se requiere para agregar 100 litros de agua al tanque.

b) Determine a qué altura la presión manométrica en la cañería vertical es 50,0 KPa. c) Determine la presión manométrica en la sección horizontal de

cañería que toma el agua de la red. a) Q = Vol = v . A

t

t = Vol = 0,100 m3 . 4 = 0,100 m3 . 4 = 636,6 s = 10,6 min

A . v . d2 . v . 0,022 m2 . 0,5 m/s

b) PX + . g .hX + vX2 . /2 = P4 + . g . h4 + v4

2 . /2 Siendo PX = 50000 Pa ; P4 = 0,00

vX . AX = v4 . A4 vX = v4 . A4 = 0,5 m/s . . 0,022 . 4 = 0,32 m/s

AX . 0,0252 . 4

hX = . g . h4 + v42 . / 2 - PX - vX

2 . / 2 = g . h4 + v42/ 2 - PX / - vX

2/ 2 =

. g g hX = 9,8 m/s2 . 8,0 m + 0,52 m2/s2 / 2 - 50000 Pa / 1000 kg/m3 - 0,322 m2/s2 / 2 = 2,91 m 9,8 m/s2

c) P1 + . g .h1 + v12 . /2 = P4 + . g . h4 + v4

2 . /2 Siendo h1 = 0,00 ; P4 = 0,00

P1 + v12 . /2 = . g . h4 + v4

2 . /2

P1 = /2 . ( v42 - v1

2 ) + . g . h4 P1 =1000 kg/m3/2.( 0,52 m2/s2-0,322 m2/s2 )+1000 kg/m3.9,8 m/s2.8,0 m= 78.473,80 Pa = 785 hPa

Figura 2

5,0

m

10 m

B C

A

Figura 3

1 2

3 4

20

FINAL Nº 10: PROBLEMA Nº 1: El dispositivo representado en la Figura 1 está formado por dos esferas macizas iguales, de 10 cm de radio y 1000 g de masa, cuyos centros distan 30 cm entre sí, las cuales están unidas por una varilla rígida de masa insignificante. El dispositivo puede rotar alrededor de un eje vertical, que pasa por el centro de una de las esferas y es perpendicular a la varilla.

a) Calcula el momento de inercia del sistema respecto al eje de rotación. b) Calcula la energía cinética que tendrá el sistema cuando ha completado una vuelta, si, partiendo del reposo, se mueve bajo la acción de un torque constante de 8,0 x 10-2 N.m respecto al eje de rotación.

Dato: Momento de inercia de una esfera maciza con respecto a un eje que pasa por su centro de masa: I = 2.M.R2/5.

a) = 1 +2

= 2/5 . M . R2 + (2/5 . M . R2 + M . d2) I = 4/5 . M . R2 + M . d2

= 1,0 kg [4/5 . (0,10 m)2 + (0,30 m)2]

= 0,098 kg . m2

b) W = EC

= ECf - Eci

ECf= 8,0 x 10-2 N.m x 2 rad EC= 0,50 J PROBLEMA Nº 2: Una partícula de 200 g se desplaza siguiendo la trayectoria representada en la Figura 2. La partícula parte del reposo en A y se desliza sin rozamiento por un cuarto de circunferencia de 10 m de radio hasta el punto B; a continuación, se desplaza 15 m por una superficie horizontal rugosa hasta llegar al punto C con una rapidez de 10 m/s; a partir ahí, asciende por una superficie lisa hasta alcanzar su altura máxima h en el punto D, donde se detiene.

a) Calcula la aceleración en el tramo BC. b) Calcula el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie horizontal BC. c) Calcula la altura máxima (h) alcanzada en D.

a) EMA = EMB m . g . hA = ½ . m . vB

2 vB

2 = 2 . g . R = 2 . 9,8 m/s2 . 10 m vB = 14 m/s vC

2 = vB2 + 2 . a . dBC

a = [vC2 - vB

2 ]/ [2 . dBC] = [102 - 142]/ [2 . 15 m] a = - 3,2 m/s2

b) fr = m . a

- m . g . = m . a

- g . = a → = a/- g = -3,2/9,8

= 0,33

RR

30 cm

RR

Figura 1

R

A

h

B C

D

15 m

Figura 2

21

c) EMC= EMD ½ . m . vC

2 = m . g . h h = vC

2 /2 . g = (10 m/s)2/19,6 m/s2 h = 5,1 m PROBLEMA Nº 3: En la Figura 3 se representa el funcionamiento de un tanque hidroneumático. Un compresor C inyecta aire a presión en un tanque conectado a una cañería de distribución de agua. El agua fluye por el extremo abierto (5) a razón de 120 L/min. El nivel de agua dentro del tanque se mantiene constante (se alimenta de la red de agua). Toda la cañería tiene una sección de 4,00 cm2, excepto el segmento final, donde su sección se reduce a la mitad.

a) Calcula la velocidad del agua en el tramo 2-3. b) Calcula a qué altura (h) llega el agua en el “tubo ventilación”. c) Calcula la presión manométrica suministrada por el compresor en el punto 1.

a) Q = Vol/tiempo Q= 0,120 m3 = 0,00200 m3/s = 2,00 x 10-3 m3/s

60,0 s v23 = Q/A = 2,00 x 10-3 m3/s = 5,00 m/s 4,00 x 10-4 m2 b) Como S4 = 2 . S5 → v5 = 2 . v4 → v5 = 10 m/s

p4 + . g .h4 + v42 . /2 = p5 + . g . h5 + v5

2 . /2

p4 + v42 . /2 = v5

2 . /2

p4 = /2 (v 52 - v4

2) = 500 kg/m3 [(10,0 m/s)2 - (5,00 m/s)2]= 37.500 Pa

p4 = . g . h h = p4 = 37.500 Pa = 3,83 m

. g 1.000 kg/m3 . g

c) P1 + . g .h1 + v12 . /2 = P4 + . g . h4 + v4

2 . /2

P1 + . g .h1 = . g . h4 + v42 . /2

P1 = . g . ( h4 - h1) + v42 . /2

P1 = . g . ( 4,00 m) + (6,00 m/s)2 . 500 kg/m3

P1 = 39.200 Pa + 18.000 Pa = 57.200 Pa = 572 hPa

Figura 3

C 1

2 3

4

6

5,00

m

1,00

m

h

5

22

FINAL Nº 11: PROBLEMA Nº 1: Un sistema de izaje se encuentra elevando una carga de masa 3,00 x 103 kg como se visualiza en la figura. En un determinado instante se rompe el mecanismo que acciona el volante y la carga cae al suelo, desenrollándose el cable del volante. Teniendo en cuenta que:

- El radio del tambor es 1,00 m y posee un momento de inercia IT = 100 kg.m2

- El radio del volante es 2,00 m y posee un momento de inercia IV = 850 kg.m2 Calcula las tensiones en las cuerdas. Aclaración: Considera que el cable es inextensible y no resbala, y desprecia su masa, como así también el rozamiento entre las poleas y sus ejes. Volante Tambor

(2) (1) Carga T2 Reemplazando (3) y (1) en (2)

mc.g

(3)

; ;

De (3) ; De (1)

2.774 N 1.886 N PROBLEMA Nº 2: Un deportista desarrolla en la prueba de salto en alto una altura máxima de 1,20 m. Considera que posee una masa de 65,0 kg y que cae verticalmente con las piernas estiradas contra el suelo. a) ¿Cuál es la magnitud del impulso y la fuerza media, que siente al caer si se detiene

súbitamente en 0,05 s? b) Determina el tiempo total transcurrido desde el momento del salto hasta tocar el

suelo. Tomando la máxima altura

a) 2.a. ; V0 =0 ; V1 = ; ; g = -9,8 m/s2

V1 =

; →

kg.m/s

Fmed= Fmed = ; Fmed 6.304 N (hacia arriba)

23

b) ; ;

tiempototal transcurrido PROBLEMA Nº 3: En el sistema de la figura, el tanque posee dimensiones muy grandes y

descarga agua ( = 1,00x 103 kg/m3) libremente a la atmósfera a través de una cañería en el punto 5. Se pide calcular:

a) La velocidad y el caudal a la salida de la cañería. b) Las presiones manométricas en los puntos 1,2,3.

a) Aplicando Bernoulli entre el punto 0 y 5

; ;

Tomando como referencia Z5 = 0 ; Z0 = 3,60 m

Q = V5 . A5 = V5 . ; ; ,05 m ; R5 = 0,025 m

Q = Q = 0,0165 m3/s

V1 = V2 = V3 = V4 = =

V1 = V2 = V3 = V4 =

b) Aplicando Bernoulli entre 0 y 1; designando = .g:

;

Tomando como valores de referencia P0 = 0 ; Z1 = 0; V0 ;

Z0 = 6,00 m ; V1 = 0,934 m/s

58.363 Pa (

Aplicando Bernoulli entre 0 y 2

Tomando como valores de referencia P0 = 0 ; Z2 =Z0= 0 ; V0 ;

Aplicando Bernoulli entre 0 y 3

Tomando como valores de referencia P0 = 0 ; Z0 = 0 ; Z3 = 1,50 m; V0 ;

24

FINAL Nº 12: PROBLEMA Nº 1: 1) Un avión de pasajeros B vuela hacia el este con una velocidad vB = 800 km/h. Un reactor militar A viaja hacia el sur con una velocidad vA = 1200 km/h y pasa por debajo de B volando un poco más bajo. a)¿Qué velocidad –magnitud y dirección– les parece que lleva A a los pasajeros de B? b) En el momento del cruce, el reactor vuela horizontalmente a 10,0 km del suelo –también horizontal– y suelta una bomba; ¿a qué distancia horizontal del reactor se encuentra el objetivo en ese momento si logra impactarlo? a)VA – VB = VA/B

tg = VB/VA = 800/1200 = 33,7 VA/B = [(VA)2 + [(VB)2]1/2 = [(1200)2 + (800)2]1/2km/h = 1442 km/h

b)t = [2yo/g]1/2 = [2.10,0.103m/9,80(m/s2)]1/2 = 45,2 s x = Vx.t = (1200/3600)(km/s).45,2 s = 15,1 km PROBLEMA Nº 2: Un volante de radio R = 10 cm y momento de inercia I = 0.50 kg·m2 puede girar libremente sobre cojinetes sin fricción alrededor de un eje fijo. Se enrolla una cuerda alrededor del volante y se ata a un bloque de masa M = 2,0 kg por el otro extremo, como se muestra. El bloque reposa sobre una superficie horizontal, que presenta un coeficiente de fricción cinética µk = 0.30, y está conectado a un resorte ligero de constante de fuerza k = 500 N/m, el cual a su vez está sujeto a una pared vertical fija. El sistema está inicialmente en reposo y el resorte está en su posición de equilibrio. Se hace girar el volante con una manivela externa en la dirección de las manecillas del reloj, enrollando así una porción adicional de cuerda alrededor del volante, desplazando simultáneamente al bloque hacia la izquierda y alargando de esta forma el resorte una distancia d = 20 cm. En esta posición se suelta la manivela del reposo. Encuentre la rapidez del bloque cuando pasa de regreso por suposición inicial.

Wnc = Em = Ec + Ep = *(1/2).I.ω2+ (1/2).M.V2 – 0] + [0 – (1/2).K.x2]

fr.x.cos180 = (1/2).I.(V2/R2) + (1/2).M.V2 – (1/2).K.x2

k.M.g.x.(–1) = (1/2).I.(V2/R2) + (1/2).M.V2 – (1/2).K.x2

K.x2 – 2.k.M.g.x = [(I/R2) + M].V2

(K.x2 – 2.k.M.g.x)/[(I/R2) + M] = V2 [(500.0,202 –2.0,30.2,0.9,8.0,20)/(0,50/0,102 + 2,0)] m2/s2 = V2 V = 0,58 m/s

25

PROBLEMA Nº 3: Sobre una superficie sin fricción un bloque (A) de 4 kg se mueve hacia la derecha con una velocidad de 6 m/s y realiza un choque perfectamente elástico con otro bloque (B) de 2 kg que también se mueve hacia la derecha, pero cuya velocidad es de 3 m/s. Determine: a) La velocidad del centro de masa del sistema; b) las velocidades finales de cada bloque. a) En componentes, en la dirección del movimiento:

Vcm= mi.Vi/mi = [4kg.6(m/s) + 2kg.3(m/s)]/(4 + 2)kg = 5 m/s b) e = – (VA2 – VB2)/(VA1 – VB1) = 1 VA1 – VB1 =VB2 – VA2 (6 –3)m/s =– VA2 + VB2 3m/s = – VA2 + VB2 (1) mA.VA1 + mB.VB1 = mA.VA2 + mB.VB2 4kg.6m/s + 2kg.3m/s = 4kg.VA2 + 2kg.VB2 30 m/s = 4.VA2 + 2.VB2 (2) De (1) y (2): VA2 = 4 m/s VB2 = 7 m/s

26

FINAL Nº 13: PROBLEMA Nº 1: Un hombre de 80 kg puede lanzar una caja de 20 kg horizontalmente a 4,0 m/s cuando está de pie sobre el suelo. Si en vez de eso se encuentra firmemente parado sobre un bote de 120 kg y lanza la caja, como se muestra en la figura, determine cuánto se moverá el bote respecto a la tierra en 3,0 segundos. No tome en cuenta la resistencia del agua. Sugerencia: advierta el dato de velocidad relativa “caja/hombre” disponible. Si consideramos que no hay fuerzas externas que actúan en la dirección del movimiento podemos plantear

que la cantidad de movimiento se conserva. El sistema de ref. se toma positivo hacia la derecha S.R.(+ →)

Como la velocidad del sistema inicial es:

Como es dato la velocidad de la caja en relación con el hombre (y el

bote), entonces también puede relacionarse con .

Resolviendo (1) y (2)

Otra forma de planteo es:

como inicialmente está en reposo

Tomando como marco de referencia la tierra

Como es dato la velocidad de la caja en relación con el hombre (y el bote), entonces también

puede relacionarse con .

Resolviendo (3) y (4)

PROBLEMA Nº 2: El sistema consta de una polea A de 3,0 kg y una polea B de 10 kg. Si un bloque C de 2,0 kg está suspendido de la cuerda, determine la rapidez del bloque C después de descender 50 cm a partir del reposo. Considere la cuerda inextensible y de masadespreciable. Trate las poleas como discos delgados. No hay deslizamiento. Obs.: Momento de inercia de un disco delgado respecto a un eje que pasa por su ICM= (1/2). M. R2 Aplicando conservación de la energía (No hay trabajo de fuerzas no conservativas)

(1)

27

Reemplazando en (1) y despejando

PROBLEMA Nº 3: Se extrae aceite de un recipiente de grandes dimensiones por una cañería en forma de sifón como muestra el gráfico y se requiere determinar lo siguiente (trate al aceite como fluido ideal): a) El flujo volumétrico (caudal) que sale del tanque. b) La presión manométrica en los puntos A(en el interior del tubo, donde ya existe movimiento)y D c) La velocidad del flujo en los puntos A, B y C NOTA: ρaceite= 860kg/m3

a)Para determinar el Caudal Q

aplicando el T. de Torricelli para calcular

b) Presiones manométricas aplicando Bernoulli entre H y A

(1)

Aplicando continuidad para calcular

Reemplazando en (1) y despejando

Para calcular planteamos Bernoulli entre D y F

c) Las velocidades son iguales en A B y C por la ecuación de continuidad y su valor es 3,5m/s

28

FINAL Nº 14: PROBLEMA Nº 1:

En la Figura 1 se representa una pista con dos tramos rectos y horizontales (tramo inicial y tramo final) y un tramo intermedio con pendiente variable. El tramo de pista alrededor del punto C es recto con una pendiente constante de 30,0o y la curvatura alrededor del punto más bajo (D) mantiene un radio de 2,00 m. Un bloque de 250 g pasa por el punto A con una rapidez de 6,00 m/s y se desplaza por la pista, alcanzando el punto B con una velocidad casi nula y pasando por el punto D con una rapidez de 10,0 m/s.

a) Calcule la altura hB. b) Calcule el módulo de la aceleración del bloque en el punto C. Realice un diagrama de cuerpo libre. c) Calcule el módulo de la fuerza que ejerce la pista sobre el bloque en el punto D. d) Calcule el módulo de la fuerza de frenado que hay que aplicar al bloque a partir del punto E para que se detenga al recorrer 10,0 m.

a) WF NO CONS = EM 0 = ECB - ECB + EPA - EPA vA

2 /(2 .g) = hB hB = 1,84 m

b) Fx = m . ax m . g . sen 30,0o = m . ax ax = g . sen 30,0o ax = 4,90 m/s

c) Fy = m . aRAD ND - m . g = m . vD

2/R ND = m ( g + vD

2/R) = 0,250 kg . (g + 100 m2/s2 / 2,00 m) ND = 15,0 N

d) WF NO CONS = EM - FFren . 10,0 m = ECF – ECF - FFren . 10,0 m = 0 - ½ . m . vF

2 FFren = ½ . 0,250 kg . 36 m2/s2 /10,0 m FFren = 0,450 N PROBLEMA Nº 2:

En la Figura 2 se representa: Una esfera (A) de 100 g, que se encuentra inicialmente en

reposo suspendida de un hilo de masa insignificante. Un bloque (B) de 400 g, que se encuentra inicialmente en

reposo al borde de una mesa horizontal. Al liberar la esfera A, ésta se dirige hacia el bloque B y se produce un choque central, como resultado del cual, el bloque B adquiere una rapidez de 1,5 m/s y la esfera A rebota con una rapidez de 2,0 m/s.

a) Determine la rapidez que tenía la esfera A un instante antes de chocar.

hB

B

vA = 6,00 m/s

Figura 1

C

D

30,0° E

A

A

Figura 2

B

m . g

m . g .sen 30,0o

30,0o

m . g . cos 30,0o

NC

x

y

m . g

ND

x

y

29

b) Diga si el choque es perfectamente elástico o no. c) Determine el impulso que recibe el bloque B durante el choque. d) Determine el trabajo que realiza la esfera B sobre el bloque A durante el choque.

a) mA . vA1X = mA . vA2X + m2 . vB2X

vA1X = mA . vA2X + m2 . vB2X = 0,100 kg . (-2,00 m/s) + 0,400 kg . 1,50 m/s = 4,0 m/s mA 0,100 kg

b) EC1 = ½ . mA . vA12 = ½ . 0,100 kg . (4,00 m/s)2 = 0,80 J

EC2 = ½ . mA . vA22 + ½ . mB . vB2

2 =½ . 0,100 kg . (2,00 m/s)2 + ½ . 0,400 kg . (1,50 m/s)2 = 0,65 J ó

c) Jx = px = mB (vB2x - vB1x) = 0,400 kg . (1,50 m/s - 0) = 0,60 N.s

d) W =EC

W = ½ . mA . vA22 - ½ . mA . vA1

2 = ½ . mA .(vA22 - vA1

2) = ½ . 0,100 kg .[ (2,00 m/s)2 - (4,00 m/s)2]

W = -0,60 J PROBLEMA Nº 3:

En una planta embotelladora de agua mineral se envasan, a ritmo continuo, 240 botellas de 0,355 L cada minuto. La planta cuenta con un tramo de cañería de 5,0 cm2 y otro tramo de 8,0 cm2, que está situado a 0,80 m por debajo del primero.

a) Calcule cuánto tiempo se requiere para envasar 8,0 m3 de agua. b) Calcule la diferencia de presión entre ambos tramos de cañería.

a) Q = 240 . 0,355 l/min= 85,2 l/min =

Q = Vol/t t = Vol/ Q = 8.000 L /85,2 l/min

t = 94 min

b) Q = v1 . A1 85,2 l 1 min 1m3

= 1,42 . 10-3 m3/s

min 60 s 1000 m3

v1 = Q /A1 = 1,42 . 10-3 m3/s / 5,00 . 10-4 m2 = 2,84 m/s

v2 = Q /A2 = 1,42 . 10-3 m3/s / 8,00 . 10-4 m2 = 1,78 m/s

P1 + . g .h1 + v12 . /2 = P2 + . g . h2 + v2

2 . /2

. g .h1 + v12 . /2 - v2

2 . /2= P2 - P1

P2 - P1 = . g . h1 + /2 (v12 - v2

2 ) P2 - P1 = 1000 kg/m3 . 9,8 m/s2 . 0,800 m + 500 kg/m3 [(2,84 m/s)2 - (1,78 m/s)2] P2 - P1 = 7.840 Pa + 2.448,6 Pa = 10288,6 Pa = 10 KPa

e = - (vA2x - vB2x)

vA1x - vB1x = = 0,875 Ch. Inelástico - (- 2,00 m/s - 1,50 m/s)

4,00 m/s