Requisitos:

lgebra Lineal 1.Clculo Diferencial 2.Variables Aleatorias (Valor esperado, distribucin de probabilidad normal, matrices de 3.covarianza) Ecuaciones de estado en tiempo discreto 4.

Filtros de Kalman Es un algoritmo para resolver el problema de estimacin de variables de estado en un sistema dinmico. Este algoritmo resuelve el problema de manera ptima tomando en cuenta el ruido (o incertidumbre) presente tanto en las variables medidas (valores entregados por los sensores) como en las variables de control (variables aplicadas por los actuadores). El filtro de Kalman est basado en las siguientes suposiciones:

El sistema es lineal y se tiene una ecuacin de estado que describe su comportamiento dinmico y una ecuacin de medicin que describe la relacin entre las variables de estado y la salida de los sensores. Ambas ecuaciones estn descritas a en tiempo discreto. Se conoce la estadstica del ruido de medicin y del ruido del sistema. Ambos son independientes entre s, con una media igual a cero y distribucin de probabilidad normal.

Ejemplos

Estimacin de posicin y orientacin de un robot a partir de informacin de un arreglo de cmaras fijas. Estimacin de orientacin a partir de unidades de medicin inercial. Estimacin de posicin relativa a partir de sensores de rango.

La ecuacin de estado del sistema est dada por: Acciones que se aplican a la dinmica del sistema para que se mueva. (Velocidad de motores...)

La ecuacin de medicin por: Los ruidos wk y vk son vectores que contienen variables aleatorias en cada uno de sus componentes. Formulacin del problema Objetivo: Estimar la posicin y velocidad de un carro a partir de mediciones ruidosas de su posicin. Ntese que aunque solo se medir la posicin, el problema pide estimar la posicin y velocidad. Primero definimos el vector de estado xk en base a la posicin yk y la velocidad y'k como: Y al vector de control uk = ak, donde ak es la aceleracin aplicada al carro. Con base en leyes cinemticas newtonianas se puede llegar a las siguientes ecuaciones de estado: Ecuacin de estado: (se busca expresar en forma matricial) Ruido de aceleracin en el instante k-1

La ecuacin de medicin expresada de manera escalar es: Matricialmente: Se puede inferir entonces que las tres matrices de inters (A, B, H) estn dadas por: Las matrices de covarianza para este ejemplo estn dadas por Desviacin estndar del ruido Desviacin estndar del ruido de la aceleracin. de medicin.

El algoritmo del filtro de Kalman. El algoritmo de Kalman calcula en tiempo real la estimacin de las variables de estado del sistema. Se encuentra dentro de un ciclo infinito en el que cada iteracin corresponde a un periodo de muestreo. El algoritmo tiene dos fases:

Fase de prediccin. Fase de correccin.

En la fase de prediccin, el algoritmo de Kalman obtiene una estimacin "a priori" del estado en el instante k a la cual nos referiremos como . Esta estimacin se realiza con base en el modelo dinmico del sistema tomando en cuenta la estimacin del instante anterior pero sin tomar en cuenta la informacin ms reciente de los sensores. En la fase de correccin, el algoritmo de Kalman obtiene una estimacin "a posteriori" del estado en el instante k a la cual nos referimos como . Esta estimacin aprovecha la estimacin "a priori" y la corrige usando la informacin ruidosa de los sensores zk. Interpretacin de las fases del algoritmo de Kalman Primero hace una prediccin de estado usando el modelo de la dinmica del sistema y despus corrige esta prediccin incorporando la informacin de los sensores. Ninguna de las dos fases por s sola sera capaz de producir una buena estimacin de estado. Si solo usramos la dinmica del sistema entonces habra una acumulacin paulatina del error y gradualmente crecera la incertidumbre. Si solo usramos la informacin de los sensores estaramos sujetos a saltos bruscos en la estimacin causada por el Ruido de medicin an cuando el sistema se encontrara esttico. Algoritmo Fase de prediccin: Fase de correccin

Estimacin a priori en el instante k a partir de la estimacin a posteriori del instante anterior.

Covarianza a priori del error de estimacin.

Ecuacin de correccin. Nos dice la estimacin a posteriori. Kk es la matriz de ganancias de Kalman.

En la fase de prediccin: Donde es la covarianza del error de estimacin a priori definida como donde es la covarianza del error de estimacin a posteriori definida como En la fase de correccin: Kk es llamada "ganancia de Kalman" y es usada como factor de correccin en la "ecuacin de correccin". La estimacin a posteriori se calcula con base en la estimacin a priori ms un trmino de correccin. El trmino de correccin es igual a la ganancia de Kalman multiplicada por lo que Kalman llam innovacin. La innovacin es la diferencia entre la medicin de sensores Zk y la prediccin de la medicin de los sensores