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CAPÍTULO 8 FILTROS ACTIVOS 8.0. OBJETIVOS. Proyecto y análisis del funcionamiento de filtros paso alta, baja, banda y rechazo de banda. 8.1. CONCEPTO DE FILTRO, VENTAJAS DE LOS FILTROS ACTIVOS. Un filtro eléctrico es un cuadripolo capaz de atenuar determinadas frecuencias del espectro de la señal de entrada y permitir el paso de las demás. Se denomina espectro a la representación de las amplitudes de los armónicos de una señal en función de la frecuencia. Experimentalmente se puede obtener mediante un analizador de espectros. Obsérvese que mientras el osciloscopio es un instrumento que analiza la señal en relación con el tiempo, el analizador lo hace con relación a la frecuencia. En el presente tema estudiaremos los filtros activos que están construidos con circuitos electrónicos basados en los amplificadores operacionales. Las ventajas que se pueden enumerar de los filtros activos sobre los pasivos serían: Permiten eliminar las inductancias que, en bajas frecuencias, son voluminosas, pesadas y caras. Facilitan el diseño de filtros complejos mediante la asociación de etapas simples. Proporcionan una amplificación de la señal de entrada (ganancia), lo que es importante al trabajar con señales de niveles muy bajos. Permiten mucha flexibilidad en los proyectos. Por otro lado se podrían enumerar una serie de inconvenientes: Exigen una fuente de alimentación. Su respuesta de frecuencia está limitada por la capacidad de los A.O.’s utilizados. Es imposible su aplicación en sistemas de medida y alta potencia (por ejemplo, en los filtros que emplean los convertidores e inversores construidos con tiristores que se utilizan en la industria). 8.2. CLASIFICACIÓN. La clasificación de los filtros dependerá del aspecto diferenciador elegido, así, podemos considerar aspectos como: - frecuencias atenuadas - tecnología empleada - función matemática o aproximación utilizada para proyectar el filtro Según las frecuencias atenuadas, nos encontramos con:

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CAPÍTULO 8

FILTROS ACTIVOS 8.0. OBJETIVOS. • Proyecto y análisis del funcionamiento de filtros paso alta, baja, banda y rechazo de banda. 8.1. CONCEPTO DE FILTRO, VENTAJAS DE LOS FILTROS ACTIVOS. Un filtro eléctrico es un cuadripolo capaz de atenuar determinadas frecuencias del espectro de la señal de entrada y permitir el paso de las demás. Se denomina espectro a la representación de las amplitudes de los armónicos de una señal en función de la frecuencia. Experimentalmente se puede obtener mediante un analizador de espectros. Obsérvese que mientras el osciloscopio es un instrumento que analiza la señal en relación con el tiempo, el analizador lo hace con relación a la frecuencia. En el presente tema estudiaremos los filtros activos que están construidos con circuitos electrónicos basados en los amplificadores operacionales. Las ventajas que se pueden enumerar de los filtros activos sobre los pasivos serían: • Permiten eliminar las inductancias que, en bajas frecuencias, son voluminosas, pesadas y caras. • Facilitan el diseño de filtros complejos mediante la asociación de etapas simples. • Proporcionan una amplificación de la señal de entrada (ganancia), lo que es importante al trabajar con

señales de niveles muy bajos. • Permiten mucha flexibilidad en los proyectos. Por otro lado se podrían enumerar una serie de inconvenientes: • Exigen una fuente de alimentación. • Su respuesta de frecuencia está limitada por la capacidad de los A.O.’s utilizados. • Es imposible su aplicación en sistemas de medida y alta potencia (por ejemplo, en los filtros que

emplean los convertidores e inversores construidos con tiristores que se utilizan en la industria). 8.2. CLASIFICACIÓN. La clasificación de los filtros dependerá del aspecto diferenciador elegido, así, podemos considerar aspectos como: - frecuencias atenuadas - tecnología empleada - función matemática o aproximación utilizada para proyectar el filtro Según las frecuencias atenuadas, nos encontramos con:

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58 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

• Filtros paso bajo: sólo permite el paso de las frecuencias inferiores a una determinada fc (frecuencia de corte). Las frecuencias superiores resultan atenuadas.

• Filtro paso alto: deja pasar las frecuencias inferiores a una determinada fc, atenuando las inferiores. • Filtro pasabanda: permite el paso de las frecuencias situadas dentro de una banda delimitada por una

frecuencia de corte inferior y otra superior. Las frecuencias que están fuera de esta banda son atenuadas.

• Filtro de rechazo de banda: permite el paso de las frecuencias que se encuentren fuera de la banda delimitada por dos frecuencias de corte, atenuando las que se encuentren dentro de la banda.

Fig.8.1: Respuesta ideal de los diferentes filtros: a) paso bajo, b) paso alto, c) paso banda, d) rechazo de banda.

Si consideramos la tecnología empleada, tenemos: • Filtros pasivos: están construidos exclusivamente con elementos pasivos como resistencias,

condensadores y bobinas. Estos filtros son inviables en bajas frecuencias al exigir inductancias muy grandes.

• Filtros activos: constan de elementos pasivos asociados a otros activos (A.O.). • Filtros digitales: estos filtros llevan componentes digitales. La señal analógica es convertida en digital

mediante un sistema de conversión A/D. La señal binaria resultante se trata en el filtro digital y a continuación se convierte en analógica en un conversor D/A. Estos filtros son útiles para procesar simultáneamente muchos canales de transmisión. Se pueden definir como programas software.

En el caso de la función matemática utilizada, no creemos interesante entrar en el análisis matemático y nos limitaremos a exponer las funciones de transferencia de los tipos más comunes: Butterworth y Chebyshev.

FILTROS PASIVOS Filtros pasa-baja

La figura 1 representa el esquema de un filtro eléctrico pasa-baja utilizando una

resistencia y un condensador. Suponiendo que la impedancia de carga del condensador el elevada, se puede suponer que i2 ≈0,

+

-

V2

i2C

R

V1i1

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FILTROS ACTIVOS 59

Aplicando las leyes de Kirchhoff, a las mallas de entrada y de salida, se obtienen las ecuaciones:

CjIV

ICj

RV

ω

ω

=

+=

2

11

La ganancia de tensión introducida por el filtro es:

( ) 1

1)(

)1(1

1

1

2

1

2

+=

+=

+=

CRjG

RCjCj

R

CjVV

ωω

ωω

ω

Tomando los valores crecientes a la frecuencia, se obtiene la curva de variación de la tensión de salida V2 del filtro, figura 2. Como se observa, al crecer f la tensión de salida disminuye y con ella disminuye la ganancia de tensión del sistema, es decir, la atenuación introducida por el filtro aumenta. Se denomina frecuencia de corte del filtro, al valor de f que hace que la tensión de salida

V2 del filtro sea igual a 2

1 de la tensión de entrada V1.

Por consiguiente, para que el filtro eléctrico actúe como un filtro pasa-baja de banda pasante:

0−=∆ cff es necesario diseñar la resistencia y el condensador de tal manera que cumplan las ecuaciones:

HzRC

f

VV

c π212

11

2

=

=

Ejemplo 1:

Diseñar un filtro pasa-baja de frecuencia de corte fc = 100 Hz. Solución: Adoptando como resistencia el valor R = 1 k, la capacidad que debe tener el condensador viene dada por la ecuación

0 f

V2=Ψ(f)

V2

V1

BP

fc

21V

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60 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

FC

C

µπ

π

210

100021100

=

=

Ahora presentamos la configuración de un filtro eléctrico pasa-baja utilizando como componentes una resistencia y una bobina:

Las ecuaciones del filtro son:

( )

RLjLjR

RVV

IRVLjRIV

ωω

ω

+=

+=

=+=

1

11

2

2

1

La ganancia de tensión introducida por el filtro es:

2

1

1)(

+

=

RL

jGω

ω

La frecuencia de corte será aquella que haga G(jω) = 1/√2

LR

c =ω

Ejemplo 2:

Diseñar un filtro pasa-baja de frecuencia de corte 100 Hz, a base de una resistencia y una bobina.

Solución: tomando como resistencia el valor R= 1k, el valor de la inductancia de la bobina viene dada por la ecuación:

HL

L

π

π5

21000100

=

=

Filtros pasa-alta disipativos.

La figura siguiente representa el esquema de un filtro eléctrico pasa-alta utilizando como componentes una resistencia y un condensador:

-

Ri1

i2=0V1 V2

+

-

+

L

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FILTROS ACTIVOS 61

Aplicando las leyes de Kirchhoff, a las mallas de entrada y salida, se obtienen

las ecuaciones:

IRV

ICj

RV

=

+=

2

11

ω

La ganancia de tensión introducida por el filtro es:

CRjCRj

CjR

RVV

ωω

ω+

=+

=111

2

Dando valores crecientes a la frecuencia, se obtiene la curva de variación de la tensión de salida V2 del filtro, figura 5:

Como se observa, al crecer la frecuencia, la tensión de salida crece hasta alcanzar el valor de V1 para f=∞. La frecuencia de corte del filtro eléctrico será aquella que hace que la tensión de salida V2 sea igual a 1/√2 de la tensión V1. Por consiguiente, para que el filtro eléctrico actúe como un filtro pasa-alta, de banda pasante

cff −∞=∆ es necesario diseñar la resistencia y el condensador de tal manera que cumpla la ecuación:

21

1

2 =VV

de forma que la frecuencia de corte será:

RCc1=ω

Ejemplo 3:

Para diseñar un filtro eléctrico pasa-alta, se han elegido los componentes R=

500Ω, π2

10=C µF. Determinar la frecuencia de corte del filtro.

Solución: La frecuencia de corte del filtro pasa-alta es:

+

-

V2V1i1

R

C

i2=0

0 f

V2=Ψ(f)

V2

V1

fc

21V

BP

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62 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

Hzfc 20010

2105002

16

==−

ππ

Si se adoptan como componentes del filtro una resistencia y una bobina, la composición del filtro pasa-alta será la representada en la figura 6.

Las tensiones del filtro son:

( )

RLj

RLj

LjRLj

VV

LIjVLjRIV

ω

ω

ωω

ωω

+=

+=

=+=

11

2

2

1

de forma que la frecuencia de corte será:

LRfc π2

=

EJEMPLO 4:

Supongamos que el filtro de la figura 6 disipa 100 vatios, que el amperímetro mide una corriente I1= 1 A y que L=1/2π H, determinar la frecuencia de corte y la tensión v1.

Solución: Como I2 ≈0 e I1= 1ª, el valor de la resistencia viene dado por la ecuación:

Ω==100

1002

RRI

Al ser L=1/2π H, la frecuencia de corte será:

HzL

Rfc 100

212

1002

===

πππ

El valor eficaz de la tensión v1 es:

( ) VV 21002110021001

22

1 =

+=π

π

El valor instantáneo de la tensión v1 a la frecuencia de corte es: tsenv 1002001 =

Filtros pasa-banda disipativos.

-

i1

i2=0V1 V2

+

-

+R

L

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FILTROS ACTIVOS 63

La figura 7 representa el esquema de un filtro eléctrico pasa-banda, utilizando una resistencia, una bobina y un condensador.

Aplicando las leyes de Kirchhoff, a las mallas de entrada y de salida, se obtienen

las ecuaciones:

RCj

Lj

RVV

IRV

RCj

LjIV

++=

=

++=

ωω

ωω

1

1

1

2

2

1

Dando valores crecientes a la frecuencia, se obtiene la curva de variación de la tensión de salida V2 del filtro, figura 8.

Como se observa, a medida que crece la frecuencia, la tensión de salida crece

hasta alcanzar el valor de V1 para una frecuencia, denominada frecuencia de resonancia, que haga

LCf

CfLf

r

rr

12

02

12

=

=−

π

ππ

Para valores de f>fr, la tensión de salida del filtro comienza a disminuir hasta hacerse cero para f=∞. Se denominan frecuencias de corte inferior fc1 y superior fc2, a los valores de f que hacen que la tensión de salida sea igual a 1/√2 de la tensión de entrada. Por consiguiente, para que el filtro actúe como un filtro pasa-baja, de banda pasante

12 cc fff −=∆ es necesario diseñar sus componentes de tal manera que se cumpla la ecuación

-

Ri1

i2=0V1 V2

+

-

+

L

0 f

V2

V1

21V

BP

fc2fc1 fr

V2=Ψ(f)

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64 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

21

1

2 =VV

Hora bien, como para fc1<fr

LfCf c

c1

12

21 π

π>

se debe resolver la ecuación

21

22

1

12

11

2

=

−+ Lf

CfR c

π

La expresión de la frecuencia de corte inferios es:

LCLR

LRfc

441

4

2

1 +

+−=ππ

ahora bien, como para fc2>fr

LfCf c

c2

22

21 π

π<

La expresión de la frecuencia de corte superior es:

LCLR

LRfc

441

4

2

1 +

+=ππ

El ancho de banda del filtro eléctrico pasa-baja es:

HzL

Rfff cc

π212 =−=∆

Al suponer que la corriente i2 es despreciable, el filtro eléctrico pasa-banda se comporta como un circuito serie resonante RLC. El factor de calidad o de sobretensión del filtro, tiene por valor:

RCRL

Qr

rs ω

ω 1==

EJEMPLO 5:

Diseñar un filtro eléctrico pasa-banda que tenga un factor de sobretensión Qs= 50, entre en resonancia a la frecuencia de 1000 Hz, sabiendo que las lecturas del amperímetro y del vatímetro en la resonancia son A=0.25 A W=50 W. Determinar las frecuencias de corte, el ancho de anda y las tensiones de salida a las frecuencias de corte.

Solución:

De las expresiones

225.05010002

11000250

RRCR

L

=

==π

π

++

L

- -A

RV1 V2

C

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FILTROS ACTIVOS 65

se obtiene:

FC

HL

R

µπ

π

401

10400

=

=

Ω=

Las frecuencias de corte son:

101010440041

4400

90010440041

4400

40110

2

10102

40110

2

10101

=+

+=

=+

+−=

ππππ

ππππ

ππ

ππ

c

c

f

f

El ancho de banda es: Hzfff cc 20900101012 =−−=∆

A la frecuencia de resonancia

CL

rr ω

ω 1=

se tiene VRIVV 10025.4000121 ===

Por consiguiente, a las frecuencias de corte tendremos:

VVVcc ff 250

2100

12 22 ===

8.3. RESONANCIA, FACTOR QO Y SELECTIVIDAD. Utilizando el circuito serie RLC veremos algunos puntos que nos van a ser de utilidad para el estudio de filtros activos. En dicho circuito la relación (o función de transferencia) entre la tensión en la resistencia y la de entrada vendrá dada por la expresión :

( )G sVV

IRIZ

RZ

R

e= = = (8.1)

Donde Z (impedancia compleja) viene dada por la expresión:

Z R j wLwCi = + −

1 (8.2)

Se dice que el circuito está en resonancia cuando en al anterior expresión sólo existe parte real, es decir:

wLwC

w wLC

− = ⇒ = =1 0 10 (8.3)

y tendremos la máxima corriente en el circuito. En Fig.8.2 se muestra la variación de fase y de ganancia de este circuito. Nótese que se produce una atenuación de la ganancia por encima y por debajo de la frecuencia de resonancia w0. Si consideramos los puntos en los que la ganancia a descendido en 0,707 o -3db (pulsaciones de corte), tendremos una banda cuyo ancho viene dado:

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66 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

BW w w BW f fc c c c= − = −2 1 2 1 o (8.4) Para el cálculo de estos puntos partiremos de :

( )G sR

R wLwC

=

+ −

= =2

21

12

0 707. (8.5)

Fig.8.2: Ganancia y fase del circuito RLC serie.

Se define el factor de calidad para el circuito RLC serie cuando está en resonancia, como Q0=w0L/R. o Q0=1/(w0CR) Ahora las pulsaciones de corte pueden expresarse en términos de los elementos del circuito, o de w0 y Q0, de la manera siguiente:

w wQ Q

w wQ Q

c

c

2 002

0

1 002

0

11

41

2

11

41

2

= + +

= + −

(8.6)

Restando miembro a miembro las anteriores expresiones se tiene:

BWwQ

fQ

= =0

0

0

0

2π (8.7)

lo que indica que cuando mayor sea el factor de calidad, tanto más estrecho será el ancho de banda, o sea, mayor será la selectividad del circuito. Adviértase que Q0 es un factor adimensional. 8.4. DISEÑO DE FILTROS. El diseño o cálculo de filtros consiste en calcular los valores de los componentes que asociados a un A.O. nos permitirán realizar un filtrado a partir de una frecuencia de corte predeterminada. Las operaciones para calcular dichos componentes dependerán : de la utilización de células (o circuitos base) de 1º o 2º orden; que dicha célula sea de Rauch o de Sallen y Key; y por último de las características que se desea que tenga la respuesta del filtro, por lo que nos encontraremos con filtros : Butterwoth, Chebyshev, Thomson, elípticos, Cauer, etc. La célula de 2º orden de un filtro paso bajo posee la siguiente expresión :

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FILTROS ACTIVOS 67

( )H sH

sw

sw

=+ +

02

02

02 1δ

(8.8)

donde si consideramos la relación w bwc0

2 2= (siendo wc la pulsación de corte deseada) podríamos escribir la anterior ecuación del modo :

( )H sH

sbw

sbwc c

=+ +

02

2 2 1δ (8.9)

El parámetro “b” determinará que el filtro sea Butterworth o Chebyshev si b=1 o b≠1 respectivamente. En la anterior ecuación el polinomio en “s” del denominador es el que caracteriza a los filtros y define su comportamiento, operando sobre 8.9 quedaría :

( )H sH bw

s bw s bwc

c c=

+ +0

2

2 22δ (8.10)

Para el punto en que wc=1rad/s el polinomio del denominador queda :

s bs b s as b2 22+ + ≡ + +δ (8.11) polinomio al que se le conoce como polinomio normalizado. Existen tablas de polinomios normalizados donde se dan para cada orden de filtro los parámetros a y b. Por otro lado 2δ=1/Q0 que nos relaciona el factor de amortiguamiento y de calidad. Si deseamos construir un filtro de 3er orden utilizaremos uno de 1º y otro de 2º en serie; para construir uno de 4º orden conectaremos dos de 2º orden en serie. Esto quiere decir que para el diseño de un filtro de cualquier orden nos basta conocer dos montajes básicos o células, una de 1º y otra de 2º orden. Para el cálculo de cada una de estás células deberemos conocer los polinomios de su denominador, para esto nos serviremos de las tablas 8.1 y 8.2. Para un filtro Butterworth de 3er orden su denominador sería: [(s+1)(s2+1s+1)]. Si deseamos construir un filtro Chebyshev de 4º orden y amplitud de rizado de 0.1db, su denominador sería: [(s2+0.528313s+1.330031)(s2+1.275460s+0.622925)]. Con estos coeficientes podremos calcular los componentes de cada una de las células.

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68 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

8.5. FILTROS DE BUTTERWORTH.

Tabla 8.1: Parámetros a y b para filtros Butterworth hasta el octavo orden.

n a b 2

3

4

5

6

7

8

1.414214

1 1/w0

0.765367 1.847759

0.618034 1.618034

1/w0

0.517638 1.414214 1.931852

0.445042 1.246980 1.801938

1/w0

0.390181 1.111140 1.662939 1.961571

1

1 1

1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

Tabla 8.2: Parámetros a y b para filtros Chebyshev hasta el sexto orden con rizado de 0.1db, 0.5db, 1db, 2db y 3db de amplitud. Pueden encontrarse tablas más completas en textos específicos sobre filtros activos. n γ a b n γ a b 2

3

4

0.1 0.5 1.0 2.0 3.0

0.1

0.5

1.0

2.0

3.0

0.1

0.5

1.0

2.0

3.0

2.372356 1.425625 1.097734 0.803816 0.644900

0.969406

1/w0 0.626456

1/w0 0.494171

1/w0 0.368911

1/w0 0.298620

1/w0

0.528313 1.275460 0.350706 0.846680 0.279072 0.673739 0.209775 0.506440 0.170341 0.411239

3.314037 1.516203 1.102510 0.823060 0.707948

1.689747 0.969406 1.142448 0.626456 0.994205 0.494171 0.886095 0.368911 0.839174 0.298620

1.330031 0.622925 1.063519 0.356412 0.986505 0.279398 0.928675 0.221568 0.903087 0.195980

5

6

0.1

0.5

1.0

2.0

3.0

0.1

0.5

1.0

2.0

3.0

0.333067 0.871982

1/w0 0.223926 0.586245

1/w0 0.178917 0.468410

1/w0 0.134922 0.353230

1/w0 0.109720 0.287250

1/w0

0.229387 0.626696 0.856083 0.155300 0.424288 0.579588 0.124362 0.339763 0.464125 0.093946 0.256666 0.350613 0.076459 0.208890 0.285349

1.194937 0.635920 0.538914 1.035784 0.476767 0.362320 0.988315 0.429298 0.289493 0.952167 0.393150 0.218308 0.936025 0.377009 0.177530

1.129387 0.696374 0.263361 1.023023 0.590010 0.156997 0.990732 0.557720 0.124707 0.965952 0.532939 0.099926 0.954830 0.521818 0.088805

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FILTROS ACTIVOS 69

En general se cumple que el módulo de la función de transferencia de un filtro paso bajo Butterworth viene dado por :

( )G jwG

ww

nc

n=

+

=

02

1

1 2 3, , , ...

(8.12)

Dicho módulo nos sirve para conocer su representación de Bode, consta de un factor constante G0 que nos indica la ganancia ante una señal de entrada continua (w=0), el valor wc es la pulsación de corte y n el orden del filtro (cuanto mayor sea el orden del filtro, más se aproximará a la curva ideal a) de la Fig.8.1). Si en la ecuación 8.12 w>>wc tendremos:

( )

( )

G jw Gww

G jw G nww

cn

c

≈ −

0

020 20 20log log log (8.13)

donde el segundo término nos permite saber su grado de atenuación en la banda de corte [wc, +∞]. Así un filtro Butterworth de paso bajo y de primer orden (n=1) tendría una pendiente de atenuación de 20db/década en dicho intervalo; uno de segundo orden de 40db/década, etc. Otra característica de los filtros que nos ocupa es la forma plana de su banda pasante debido a que al ser b=1 todas las células colocadas en serie poseen la misma pulsación. 8.6. FILTROS DE CHEBYSHEV. Un filtro de Butterworth para frecuencias próximas a la de corte comienza a atenuar, pero de modo progresivo; si deseamos una respuesta que se acerque más a la ideal podemos recurrir a los filtros de Chebyshev. Este filtro siendo de igual orden que el de Butterworth, posee una respuesta mejor, presentando una mayor pendiente decreciente. Sin embargo presenta un rizado en la banda pasante. El módulo de la función de transferencia de un filtro paso bajo Chebyshev es:

( )( ) ( )G jw

G

E C

nE

nw

wc

=+

=< ≤

0

2 21

1 2 30 1

, , , ... (8.14)

donde G0 es la ganancia del filtro paso bajo para señal de entrada continua (w=0), wc es la pulsación de corte, E es una constante que determina la amplitud del rizado en la banda pasante, n el orden del filtro y Cn(w/wc) el polinomio de Chebyshev definido de la siguiente forma :

( )C

nww

paraww

nww

paraww

nw

wc c

c c

c =

≤ ≤

>

cos arccos

cosh

0 1

1 arccosh

(8.15)

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70 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

Se puede comprobar fácilmente en la expresión anterior que para una entrada continua (w=0), la función G(jw) tomará el valor G0 si el orden es impar y en el caso de ser par el valor alcanzado será

G0/ 1 2+ E . De la ecuación 8.15 se desprende que en la banda de paso existe un rizado a diferencia de la banda de paso en los filtros Butterworth que es plano, como ya se ha comentado. Dicho rizado posé los valores máximos y mínimos indicados en el párrafo anterior, de donde se puede deducir su amplitud en decibelios :

( )

( )γ

γ

db GG

E

E E

= −+

=

= + ⇒ = −

20 201

20 1 10 1

00

2

2 10

log log

log

(8.16)

Tras estas expresiones se puede concluir que la amplitud del rizado sólo depende del parámetro E; que el rizado en la banda de paso depende del orden del filtro, y que dicho número de orden indicará el número de máximos y mínimos que se alcanzan en la banda de paso. El valor de γ caracteriza al filtro, su valor máximo permitido es de 3db y se da para un valor de E≈0.99763. El diseño de un filtro Chebyshev tiene la particularidad de que a mayor amplitud del rizado, mayor atenuación en la banda de corte. Por lo que el diseñador se ve en la necesidad de elegir lo que mejor se adapte a sus necesidades dependiendo de la repercusión en el circuito de tal amplitud de rizado en la banda de paso. La razón de dicho rizado se encuentra en que al tener dos o más valores distintos de “b” en un filtro, ocasiona que existan dos o más pulsaciones distintas. El porcentaje de atenuación del filtro Chebyshev en decibelios es, en la mayoría de los casos, superior a n20db/década. Su valor aproximado viene dado por la expresión:

( ) ( ) ( )20 20 20 6 1 200log log log logG jw G E n nwwc

≈ − − − −

(8.17)

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FILTROS ACTIVOS 71

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72 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

Fig.8.3: Bode de filtros Chebyshev para diferentes ordenes y 1db de rizado. Detalle para n=3. 8.7. CÉLULAS DE 1ER Y 2º ORDEN PARA FILTROS PASO BAJO Y ALTO.

8.7.1. Célula de 1er orden para filtros paso bajo. La estructura de la célula, es la representada en la siguiente figura:

Fig.8.4: Filtro de 1er orden, paso-bajo.

Su función de transferencia es :

( )H s

RR

R Cs=

+

+

1

1

3

2

1 (8.18)

de esta expresión se desprende :

• ganancia del circuito: HRR0

3

21= +

• pulsación de corte: w f wR C

bwc c c= = =21

01

π ; . El valor de C deberá de ser fijado por el

diseñador. • para anular los efectos de la tensión de offset es necesario que R1 sea igual al paralelo de R2 y

R3: RR R

R R12 3

2 3=

+

• se puede deducir R2 y R3: RH RH2

0 1

0 1=

−; R H R3 0 1= .

En el caso de H0=1 las ecuaciones serían otras: la pulsación de corte sería la misma pero R2 sería

un circuito abierto y R3 sería un cortocircuito.

8.7.2. Células de 2º orden para filtros paso bajo. Podemos utilizar dos tipos de células, ambas con buena estabilidad, baja impedancia de salida, facilidad de ajuste de la ganancia y frecuencia, necesidad de pocos componentes externos, etc.

CÉLULA DE RAUCH O DE REALIMENTACIÓN MULTIPLE

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FILTROS ACTIVOS 73

Fig.8.5: Filtro de 2º orden paso-bajo (de Rauch).

Con una función de transferencia:

( )H s

RR

s R R C C sR R CR R R

= −+ + +

+

2

1

22 3 1 2 2 3 1

1 2 3

1 1 11

(8.19)

equivalente a

( )H sH

sw

w R R CR R R

sw

= −

+ + +

+

0

0

2

0 2 3 11 2 3 0

1 1 11

(8.20)

de esta expresión se desprende : • el signo negativo indica que la salida está invertida respecto de la entrada

• ganancia del circuito: HRR0

2

1=

• del termino independiente de 8.17 deducimos que la pulsación de corte es :

wR R C C

bw w fc c c02

2 3 1 2

212= = ⇒ = π

• de la expresión anterior : Rbw C C Rc

3 21 2 2

1=

• para calcular R2 conocemos la relación: 21 1 1

2 3 11 2 3

δ b a bw R R CR R Rc= = + +

• operando :

( )R

abC

abC

HbC C

wc2

1 1

20

1 24

1

2=

±

+

• deberá comprobarse que el radicando de R2 es ≥0, de lo contrario deberán variarse los valores que no deban ser fijos

CÉLULA DE SALLEN Y KEY

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74 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

Fig.8.6: Filtro de 2º orden paso-bajo (de Sallen y Key).

Función de transferencia:

( )H s

RR

R R C C s R CCC

R CR C

RR

s=

+

+ + + − +

+

1

1 1 1

4

3

1 2 1 22

1 21

2

2 1

1 2

4

3

(8.21)

equivalente a :

( )H sH

sw

w R CCC

R CR C

Hs

w

=

+ + + −

+

0

0

2

0 1 21

2

2 1

1 20

01 1

(8.22)

de esta expresión se desprende : • entrada y salida tienen igual signo

• ganancia del circuito: HRR0

4

31= +

• wR R C C

bw w fc c c02

1 2 1 2

212= = ⇒ = π

• Rbw C C Rc

2 21 2 1

1=

• para calcular R1 tenemos la relación: 2 11 21

2

2 1

1 20δ b a bw R C

CC

R CR C

Hc= = + + −

• operando : R

a a bCC

H w Cc

1

2 1

20 2

2

4 1

=

± − + −

• para anular los efectos de la tensión de offset es necesario que R1 mas R2 sea igual al paralelo de R3 y

R4:( ) ( )R

H R RH

H30 1 2

001

1=+−

>

• ( )R H R R4 0 1 2= +

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FILTROS ACTIVOS 75

• deberá comprobarse que el radicando de R1 es ≥0, de lo contrario deberán variarse los valores que no deban ser fijos

Con la combinación de las tres células vistas de filtros paso bajo, se puede construir un filtro paso bajo de orden cualquiera.

8.7.3. Célula de 1er orden para filtros paso alto. Su estructura sería la vista en Fig.8.5 pero intercambiando las posiciones de R1 y C, como se representa a continuación :

Fig.8.7: Filtro paso-alto de 1er orden.

Función de transferencia :

( )H s

RR

R Cs

R Cs=

+

+

1

1

3

21

1 (8.23)

Ecuaciones :

( )HRR

w bwR C

Rw C

R RR R

R H R RH RH

Hc03

20

11

0

2 3

2 33 0 1 2

0 1

001

1 11

1= + = = = =+

= =−

>; ; ; ;

8.7.4. Células de 2º orden para filtros paso alto. Como en los filtros paso-bajo nos encontramos con dos células posibles, que para el caso de filtros paso alto se diferenciaran de los de paso bajo: en cambiar las resistencias por condensadores y viceversa, en la rama de entrada de la señal a filtrar.

Fig.8.8: Filtro de 2º orden paso alto (de Rauch).

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76 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

Función de transferencia :

( ) ( )H ss R R C C

s R R C C sR C C C= −

+ + + +

21 2 1 3

21 2 2 3 1 1 2 3 1

(8.24)

Equivalente a :

( )( )[ ]

H s

CC

sw

sw

w R C C Cs

w

= −

+ + +

+

1

2 0

2

0

2

0 1 1 2 30

1

(8.25)

donde:

( )HCC

Ra

C C C bwR

C C CaC C w

wR R C C

bwc c

c01

21

1 2 32

1 2 3

2 30

1 2 2 3

1= − =

+ +=

+ += =; ; ;

Fig.8.9: Filtro de 2º orden paso alto (de Sallen y Key).

Función de transferencia :

( ) ( ) ( )[ ]H s

s R R C C RR

s R R C C s R C C R C H=

+

+ + + − +

21 2 1 2

4

32

1 2 1 2 2 1 2 1 2 0

1

1 1 (8.26)

Equivalente a :

( )( ) ( )[ ]

H s

RR

sw

sw

w R C C R C Hs

w

=+

+ + + −

+

1

1 1

4

3 0

2

0

2

0 2 1 2 1 2 00

(8.27)

donde

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FILTROS ACTIVOS 77

( )( )

( )

HRR

RC C

a a bC C H

Cw C C

Rbw C C R

RH RH

H R H R wR R C C

bw

c

cc

04

31

1 2

2 1 2 0

11 2

2 21 2 1

30 1

00 4 0 1 0

1 2 1 2

12

41

11

11

= + =+

± ++ −

= =−

> = = =

;( )

;

; ; ;

8.8. FILTROS PASO-BANDA. Este tipo de filtro se obtendrá colocando en cascada un filtro paso bajo de orden n y un filtro paso alto de igual orden. Sus frecuencias de corte deberán guardar la siguiente relación: f fc filtro

paso bajo c filtropaso alto2 1− −

>

8.9. FILTROS RECHAZO DE BANDA. Este tipo de filtro se obtendrá colocando en paralelo un filtro paso bajo de orden n y un filtro paso alto de igual orden. Las frecuencias de corte de dichos filtros deberán guardar la siguiente relación: f fc filtro

paso bajo c filtropaso alto1 2− −

<

8.10. RECOMENDACIONES. Pasamos a dar una serie de recomendaciones para el diseño de filtros: • En cada una de las células descritas, el valor de uno de los condensadores debe de ser fijado por el

proyectista, una norma práctica aconseja que el valor elegido sea próximo a 10/fc(Hz), siendo dicho valor en µF.

• En filtros de orden superior a dos, cada célula se proyectará individualmente atendiendo a los valores de a y b para dicho orden.

• Las células a conexionar podrán ser MFB o de Sallen y Key pero evitando mezclarlas entre sí. • En un filtro de m etapas, la ganancia es el resultado de multiplicar las ganancias parciales de cada una

de las células que lo componen. Es conveniente que dicha ganancia esté repartida por igual entre ellas.

Por ello si la ganancia del filtro final es de KT, la ganancia parcial de cada etapa será: K KTm=

8.11. EJERCICIO EXPERIMENTAL.

8.11.1. Material.

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78 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

- Fuente de alimentación- - 1 resistencia de 1KΩ - Osciloscopio - 1 resistencia de 10KΩ - 1 LM741 - 2 condensadores de 10nF

8.11.2. Proceso I. 1.- Se desea diseñar un filtro paso alto con célula de Sallen y Key de 2º orden y ganancia 1. Banda de paso plana y frecuencia de corte de 5KHz. Escribir polinomio, calcular componentes y dibujar el filtro indicando los valores calculados. 2.- Montarlo y representar su diagrama de Bode utilizando la siguiente tabla :

f

Ve

Vs G

VV

s

e

= 20Log|G|

θθθθ

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FILTROS ACTIVOS 79

8.11.3. Proceso II. 1.- Se desea construir un filtro de 5º orden paso bajo para una fc=6.6KHz, una H0=8 repartida por igual entre las distintas células, dichas células darán una banda pasante lo más plana posible y no originarán inversión del signo. Indicar el número, tipo, ganancia (en db) y pulsación de corte de cada etapa o célula. 2.- Escribir los polinomios de los denominadores de las distintas células que componen el filtro, así como la función de transferencia total del filtro de 5º orden. 1er polinomio: 2º polinomio: 3er polinomio:

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80 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

3.- Calcular los componentes de la primera célula sabiendo que sólo se dispone del siguiente material : 1 condensador de 10nF y resistencias de 1.5KΩ, 1.8KΩ, 2.2KΩ, 3.9KΩ, 4.7KΩ. Indicar su pulsación de corte real. 4.- Calcular los componentes de la segunda célula con las mismas consideraciones que en el apartado 3. Indicar su pulsación de corte real. 5.- Calcular los componentes de la tercera célula con las mismas consideraciones que en el apartado 3. Indicar su pulsación de corte real. 6.- Con ayuda de los aparados anteriores dibujar el esquema completo del filtro, indicando el valor de los componentes. 7.- A continuación representar el Bode ideal de este filtro. Señalar la escala en db.

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FILTROS ACTIVOS 81

8.11.4. Proceso III. 1.- Se desea construir un filtro rechazo de banda de 3º orden Chebyshev, para aproximadamente fc1=1KHz y fc2=30KHz, con ganancia 1, amplitud de rizado de 1db y con células de Rauch. Indicar el número y características de las etapas que compondrán el filtro, la ganancia de cada una de ellas. 2.- Escribir los polinomios de los denominadores de las distintas células que componen el filtro, así como la función de transferencia total del filtro. filtro paso bajo filtro paso alto 1er polinomio: 1er polinomio: 2º polinomio: 2º polinomio: 3.- Calcular las células que componen el filtro de paso bajo sabiendo que se dispone para el montaje total del filtro de : 5 condensadores de 470pF y otros dos de 47nF, la resistencia R1 de la célula de primer orden del filtro paso bajo (fig.8.4) debe ser igual a 6.8KΩ.

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82 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

4.- Calcular las células que componen el filtro de paso alto con el material que reste del apartado anterior. 5.- Con ayuda de los apartados anteriores dibujar el esquema completo del filtro, indicando los valores de los componentes. Representar su respuesta frecuencial aproximada:

6.- Si se desea un filtro de rechazo de banda de 2º orden, de ganancia 4db, ¿cuál será la ganancia de cada una de las células ? ¿ Por qué?

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FILTROS ACTIVOS 83