Filosofía del Lenguaje I - UCM - Carmen López Rincón - Frege (I).pdf

Filosofía del lenguaje - Frege

Carmen López Rincón. 2013-14 1

FREGEIntroducción

2013-14Carmen López Rincón

FregeLógico y matemático alemán (1848-1925), fundador de:• la lógica contemporánea• la filosofía del lenguaje• la filosofía de la matemática

Realista, antipsicologistaPsicologismo:– nociones, leyes lógicas y matemáticas, – el significado de palabras y oraciones… son explicados en términos de categorías psicológicas y

procesos mentales

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FregeLógica:• Crítico con la tradición de raíz aristotélica, excesivamente

deudora de análisis gramatical• Crea un sistema de escritura especializado, conceptografía,

basado en un análisis lógico distinto (función, concepto central)

Filosofía de la matemática: • Logicista: nociones y verdades aritméticas reducibles a lógica

Filosofía del lenguaje: • Nacimiento de la filosofía analítica:

– Nuevo enfoque en el tratamiento de los problemas filosóficos– Análisis lógico-lingüístico, papel central

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Frege – filosofía analíticaHans Sluga, en la introducción a su ‘Gottlob Frege’: • Primero, los filósofos pensaron cómo era el mundo• Luego reflexionaron acerca de cómo éste era conocido • Finalmente se interesaron por las formas de expresión de ese

conocimientoconocimiento

Así, cabe hablar de una progresión natural: Metafísica - Epistemología - Filosofía del lenguaje

Frege, considerado primer representante de filosofía analítica (Dummett: Frege es a FL como Descartes a TC)

Gran influencia en autores como: Russell, Carnap, Wittgenstein… De otra forma: Husserl

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Frege - obrasConceptografía (Begriffsschrift), 1879

Fundamentos de la aritmética (Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl), 1884

Función y concepto (Funktion und Begriff), Sobre sentido yFunción y concepto (Funktion und Begriff), Sobre sentido y referencia (Über Sinn und Bedeutung), Concepto y objeto (Über Begriff und Gegenstand) (1891-1892), Qué es una función (Was ist eine Funktion) (1904)

Leyes de la aritmética (Grundgesetze der Arithmetik), 1893 (vol.1), 1903 (vol.2)

Investigaciones lógicas (Logische Untersuchungen), 1918-1923

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Frege - obrasAtención especial:

• Conceptografía (Begriffsschrift), 1879.

Documento pdf. Trad. Jaime Sarabia, profesor UCM

• Función y concepto (Funktion und Begriff),

En: Frege. Estudios sobre Semántica. Ariel. Trad. de Ulises Moulines

• Sobre sentido y referencia (Über Sinn und Bedeutung),

En: Valdés Villanueva (comp.). La búsqueda del significado. Tecnos. Trad. de Valdés Villanueva

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Fundamentos matemáticasTrayectoria intelectual marcada por interés en explicar la

naturaleza de las verdades matemáticas

Obras capitales: Conceptografía, Fundamentos de la aritmética, Leyes de la aritmética

• Conceptografía y Leyes de la aritmética, muy técnicosp g y y , y• Fundamentos de la aritmética, más filosófico

Rasgos de las verdades matemáticas que precisan explicación (insuficiente hasta el momento):

• necesidad • generalidad• relación con experiencia (aritmética vs. geometría)

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Verdad – verdades matemáticasProblemas generales involucrados • descubrimiento / justificación de verdades• distinción posterior (Reichenbach, empirismo lógico…):

contexto de descubrimiento vs. contexto de justificación

En general hay dos clases de verdad:En general, hay dos clases de verdad: ‒ aquellas cuya justificación es puramente lógica‒ aquellas que precisan recurrir a la experiencia

Propósito de Frege: • demostrar que las verdades aritméticas son verdades lógicas

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Verdad – conocimiento, justificaciónEn Conceptografía, 1879, el prólogo comienza así: “El conocimiento de una verdad científica generalmente pasa por

distintos niveles de certidumbre.

La proposición general, quizá al principio mera conjetura apoyada en un número insuficiente de casos se va afianzando paulatinamenteun número insuficiente de casos, se va afianzando paulatinamente cuando se ve unida a otras verdades por medio de deducciones, tanto al obtener de ella consecuencias que encuentran confirmación propia, como al resultar la proposición misma consecuencia de proposiciones ya establecidas.”

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Trabazón lógica: proposición / teoría

Criterios de clasificación de verdadesDos posibles:

– contexto de descubrimiento – forma de justificación

Interés en segundo:

“Por tanto se puede preguntar por un lado por el camino recorrido hastaPor tanto se puede preguntar, por un lado, por el camino recorrido hasta llegar a una proposición, y por otro, por la forma más estricta de su justificación.

La primera pregunta posiblemente reciba respuestas diferentes de diferentes personas, la segunda en cambio es más precisa y su respuesta depende del ser mismo de la proposición.”

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Consideraciones psicológicas / objetivas

Tipos de verdadDe acuerdo con el segundo criterio de clasificación de

verdades (forma de su justificación),

Frege distingue dos tipos: • verdades cuya justificación es puramente lógica• verdades que exigen recurso a la experiencia

“Dividimos entonces las verdades que precisan de justificación en dos tipos, según que la demostración proceda de manera puramente lógica o que su justificación precise de hechos de experiencia.“

Y establece la prioridad de la justificación lógica:“La demostración más firme es evidentemente la puramente lógica que,

prescindiendo del modo de ser particular de las cosas, se funda en las leyes en que descansa todo conocimiento”

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Tipos de verdadImportante: “Es perfectamente compatible […] que una proposición sea del primer

tipo y que sin embargo no hubiera podido hacerse consciente al espíritu humano sin actividad sensorial.

Por tanto en la base de la división está la forma de demostración más completa y no el modo psicológico de su gestación.”

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De nuevo:• Antipsicologismo, realismo• Lo relevante: la forma de la justificación de

verdades, no de su descubrimiento



Analiticidad – Frege vs. KantKant, juicios analíticos : • estructura S-P: predicado contenido en el sujeto • fundados en mero análisis de conceptos• juicios de explicación (vs. juicios de ampliación)• derivados del principio de contradicciónderivados del principio de contradicción

Frege : • Juicios analíticos son aquellos cuya justificación es

estrictamente lógica

Verdades matemáticas, Kant: sintéticas a priori

Frege establece diferencias entre aritmética y geometría

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Logicismo• Nociones y verdades aritméticas, reducibles a lógica:

– consecuencia lógica - ordenación – número

• Explicitación absoluta de las deducciones– sin margen alguno a la intuición

d f it t bl ió– de forma que permita establecer su corrección

• Construcción de un lenguaje especializado– conceptografía– capaz de superar limitaciones de lenguaje ordinario

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Logicismo - i• Nociones y verdades aritméticas, reducibles a lógica:

número – ordenación – consecuencia lógica

“Al plantearme la cuestión de a cuál de estos tipos [de verdad] pertenecen los juicios aritméticos, en primer lugar hube de determinar hasta dónde se puede llegar en aritmética

á d ól l l d l áapoyándose sólo en las leyes del pensamiento, que están por encima de toda particularidad.

El camino consistía en reducir el concepto de ordenación al de consecuencia lógica, para llegar desde él al concepto de número.”

(Conceptografía, Prólogo)

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Logicismo - ii• Explicitación absoluta de las deducciones, sin margen

alguno a la intuición

• Expresión formal de los enunciados debe permitir establecer la corrección de las deducciones

“Para llevar a cabo este proyecto era necesario hacer totalmente“Para llevar a cabo este proyecto era necesario hacer totalmente explícitas las deducciones para que no se introdujera inadvertidamente nada perteneciente a la intuición. […]

Esta conceptografía ha de servir para probar de la forma más segura la corrección de las deducciones y para poner de manifiesto cualquier supuesto que hubiera podido colarse de rondón, para poder así analizar su origen.”

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Un paréntesis:Frege sobre Leibniz

Con respecto a esta necesidad de absoluta explicitación…

un ejemplo…

Fundamentos de la aritmética (1884) p 5 y ss :Fundamentos de la aritmética (1884), p.5 y ss.: • Revisión de puntos de vista sobre la naturaleza de las

proposiciones aritméticas

• Distinción fórmulas numéricas particulares (ej.: 2 + 3 = 5) y leyes generales, válidas para todos los números

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Frege sobre Leibniz“Dice Leibniz:

“No es una verdad inmediata que 2 y 2 sean 4. Supongamosque 4 significa ‘3 y 1’. ”

‘2 y 2 son 4’ puede demostrarse así:

Definiciones: 1) 2 es 1 y 12) 3 es 2 y 13) 4 es 3 y 1

Axioma:

La igualdad permanece cuando se sustituyen cosas iguales.

Dem: …

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Frege sobre LeibnizDem.:

2 + 2 = 2 + 1 + 1 (por def. 1) = = 3 + 1 (por def. 2) = = 4 (por def. 3) = ∴ 2 + 2 = 4 (por el axioma). ”

A primera vista esta demostración parece estar completamenteconstruida sobre las definiciones y el axioma citados. […]

Parece que no necesitamos saber más de 1, 2, 3 y 4 que lo incluido en las definiciones.

Sin embargo, si lo miramos de cerca, podemos descubrir un agujero en la demostración, debido a la ausencia de paréntesis.

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Frege sobre LeibnizPara ser estrictamente correctos, deberíamos haber escrito:

Dem.:

2 + 2 = 2 + (1 + 1) =

= (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4.

L tá itid l i ióLo que está omitido es la proposición:

2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1 ,

que es un caso especial de:

a + (b + c) = (a + b) + c .”

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Explicitación absoluta, doble objetivo: • Elusión de errores• Investigación de todos

los supuestos

Conceptografía – expresión de contenido conceptual

¿Qué es lo explicitado? Distinción fundamental:

‘Contenido’ (en general) / ‘Contenido conceptual’“Por ello he renunciado a dar expresión a todo aquello que sea

irrelevante para la consecuencia lógica. He llamado ‘contenido conceptual’ a esto, lo único que me interesa. “

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P{A1, A2, A3… }

⊨{A1, A2, A3…, P}

⊨ B1, B2, B3…

? Qué se sigue de P en conjunción con otras

oracionesDe qué oraciones es

P consecuencia

Contenido / contenido conceptualMás tarde, cap.I, sobre el Juicio, explica la distinción: “En mi planteamiento no existe una distinción entre sujeto y predicado de

un juicio.

[…] el contenido de dos juicios puede ser distinto de dos maneras:

(i) las consecuencias que se siguen de uno en conexión con otros son(i) las consecuencias que se siguen de uno, en conexión con otros, son las mismas que se siguen del otro cuando se une a los mismos juicios

(ii) en otro caso

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(i)

{ A1, A2, A3, …, P } ⊨ B1, B2, B3 …

{ A1, A2, A3, …, Q } ⊨ B1, B2, B3 …

Contenido / contenido conceptualEjemplo: o “en Platea vencieron los griegos a los persas" o “en Platea los persas fueron vencidos por los griegos" “Aun cuando se puede percibir una pequeña diferencia en el sentido, la

coincidencia es muy superior.

Llamo ‘contenido conceptual‘ a esa parte del contenido que es la misma en ambos.”

• Distinción clásica sujeto/predicado : ningún papel

• Sólo se toma en consideración “en los juicios lo que afecta a las posibles consecuencias”

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Conceptografía – pensamientoDe nuevo, en el prólogo: “Esta explicación ha de tenerse siempre presente si se quiere entender

correctamente qué es mi lenguaje de fórmulas. Aquí tiene su origen también el nombre `Conceptografía'.

Puesto que me he limitado en principio a la expresión de aquellos aspectos que son independientes del particular modo de ser de las cosas, he podido también usar la expresión `lenguaje de fórmulas para el pensamiento puro'.”

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Leyes del pensamiento, no leyes o reglas de procesos mentales, sino de los contenidos conceptuales



Logicismo - iii• Construcción de un lenguaje especializado, ¿por qué?“Al pretender cumplir al máximo esta exigencia encontré un obstáculo

en la insuficiencia del lenguaje; aún tolerando formas de expresión enrevesadas, al hacerse las relaciones más y más complejas resultaba cada vez más difícil alcanzar la exactitud que mi objetivo requería.requería.

De esta necesidad surgió la idea de la conceptografía que aquí se presenta.”

Insuficiencia del lenguaje: – tópico fundamental de la filosofía analítica– tarea de la filosofía: descubrir, depurar, evitar errores…

del lenguaje ordinario

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Lenguaje natural vs. conceptografíaHerramienta propósito general / especialización“[…] la relación entre mi conceptografía y el lenguaje cotidiano queda

particularmente clara al compararla con la relación entre el microscopio y el ojo.

Este último es muy superior al primero por su aplicabilidad y versatilidad que le permiten adaptarse a las más diversasversatilidad, que le permiten adaptarse a las más diversas circunstancias.

El ojo, considerado como aparato óptico, ciertamente muestra muchas insuficiencias, […] tan pronto como los objetivos de la ciencia plantean mayores exigencias de precisión, el ojo aparece como insuficiente. Por el contrario, el microscopio se adapta perfectamente a esos objetivos y es, por lo mismo, inútil para todos los demás.”

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Misión de la filosofía“Si es tarea de la filosofía el quebrar el imperio de la palabra sobre el

espíritu humano, poniendo de manifiesto los engaños que acerca de las relaciones entre conceptos el uso del lenguaje casi inevitablemente trae consigo, liberando al pensamiento de las cargas que solo le vienen impuestas por las peculiaridades de la forma de expresión del lenguaje ordinarioforma de expresión del lenguaje ordinario,

entonces, ampliada para estos fines, mi conceptografía podrá convertirse en un instrumento útil.”

• Análisis lógico del lenguaje• Conceptografía, herramienta

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Filosofía analítica - programaEn síntesis: • Enunciados significativos poseen contenido conceptual

objetivo• El lenguaje ordinario no permite representar adecuadamente

éste bl d d• Es posible y necesario diseñar un sistema de escritura nuevo,

que permita suplir esta insuficiencia

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Tarea de la filosofía

• Determinar contenido objetivo de los enunciados filosóficamente relevantes

• Análisis crítico de su expresión en lenguaje natural

• Traducción al lenguaje lógicamente adecuado

Conceptografía - métodoCita a Bacon y Leibniz como precedentes y dice: “… esta conceptografía está concebida como un medio auxiliar para

fines científicos y por ello no debe ser condenada porque no resulte útil para otros fines.”

“… todos los grandes progresos científicos de los tiempos nuevos han g p g f ptenido su origen en una mejora del método.”

“… En los signos aritméticos, geométricos y químicos podemos ver realizaciones de la idea de Leibniz en algunos ámbitos.

La conceptografía que aquí se propone añade un campo nuevo a los anteriores, además uno que es central y contiguo a todos los demás.”

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Conceptografía vs. lenguaje de la aritmética

“La inspiración en el lenguaje de fórmulas de la aritmética al que he aludido en el título [Un lenguaje de formulas, al modo del aritmético, para el pensamiento puro], remite más a las ideas fundamentales que a aspectos singulares.

Por eso he permanecido ajeno a cualquier intento de producir unaPor eso he permanecido ajeno a cualquier intento de producir una semejanza artificial concibiendo el concepto como la suma de sus notas.

El punto en que mi lenguaje de fórmulas y el aritmético están más cercanos es en el modo de usar las letras.”

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Aproximación nueva, distinta de la protagonizada por Boole: Análisis matemático de la lógica – 1847, Una investigación

sobre las leyes del pensamiento – 1854…



Conceptografía – lógica “[…] La mera invención de esta conceptografía ha hecho avanzar, me

parece, a la lógica. Espero que los lógicos, sin dejarse llevar por la primera impresión de

extrañeza, den su aprobación a las novedades a que me he visto conducido por una necesidad interna al asunto mismo.


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Conceptografía – lógica “Las divergencias respecto a la tradición encuentran su justificación en

que la lógica hasta ahora siempre ha estado ligada en demasía al lenguaje y la gramática.

Creo en particular que la sustitución de los conceptos de sujeto y predicado por los de argumento y función mantendrá su vigencia a lo largo del tiempolo largo del tiempo.

Es fácil ver que la concepción del contenido como función de un argumento contribuye a la formación de conceptos.

Además merecen atención las relaciones entre los significados de las palabras si, y, no, o, hay, algunos, todos.”


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Análisis funcional del lenguaje• Nueva lógica vs. lógica tradicional

• Análisis lógico vs. gramatical del lenguaje

• Estructura argumento/función vs. sujeto/predicado

• Correlato lingüístico de dicotomía ontológica g gobjeto/función

• Planteado en ‘Conceptografía’ (1879)

• Desarrollado en ‘Función y concepto’ (1891), ‘Concepto y objeto’ (1892)

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Juicio: proposición y fuerza asertóricaUn juicio se expresa siempre por medio del signo:

⊢Marca estructurada: Trazo vertical:

| marca de juicio Trazo horizontal:

‒ marca de contenido judicable (proposición)

Mediante el trazo vertical se indica que la proposición que sigue al trazo horizontal es aseverada

Dos componentes de actos de habla: proposición y fuerza

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Función & argumento, nociones lingüísticas

Conceptografía, cap.1.5:

“Si pensamos en la expresión en la conceptografía de la circunstancia de que el hidrógeno es más ligero que el carbónico, vemos que podemos poner en el lugar del signo para el hidrógeno el signo

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para el oxígeno o el nitrógeno. […]”

El hidrógeno es más ligero que el carbónicoEl oxígeno es más ligero que el carbónico

El nitrógeno es más ligero que el carbónico…


“De este modo, al considerar variable una expresión, ésta se divide en una parte constante, que representa la totalidad de las relaciones, y un signo que se entiende sustituible por otros y que significa el objeto que se encuentra en esas relaciones.

A l i t l ll f ió l últi t ”

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A la primera parte la llamo función, a la última, su argumento.”

X es más ligero que el carbónico

argumento función




“Esta diferencia no tiene nada que ver con el contenido conceptual, sino que es cuestión del modo como se considere la expresión.

Si bien en el modo anterior de considerar la expresión, hidrógeno es el argumento y ‘ser más ligero que el carbónico’ es la función,

t bié ibl id l i t id t l d

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es también posible considerar el mismo contenido conceptual de forma que ‘carbónico’ sea el argumento y ‘más pesado que el hidrógeno’ sea la función.

El carbónico es más pesado que el hidrógeno

El hidrógeno es más ligero que el carbónico


“Hacerlo sólo supone entender que ‘carbónico’ es sustituible por otras representaciones como ‘clorhídrico’ o ‘amoniaco’. ”

El carbónico es más pesado que el hidrógenoEl clorhídrico es más pesado que el hidrógeno

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El clorhídrico es más pesado que el hidrógenoEl amoniaco es más pesado que el hidrógeno

…X es más pesado que el hidrógeno


“[…] Lo mismo se muestra en la proposición de que Catón mató a Catón.”

Tres funciones posibles (de un argumento): • X mató a Catón

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X mató a Catón• Catón mató a X• X mató a X ≈ X se suicidó

“[…] llamamos función a la parte constante de la expresión y argumento a la sustituible.”

Función & argumento vs. Sujeto & predicado

“[…] Es conveniente […] prevenirse ante una confusión a la que da fácil ocasión el lenguaje. Si se comparan:

• ‘el número 20 es representable como suma de cuatro cuadrados’• ‘todo número entero positivo es representable como suma de

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cuatro cuadrados’

parece posible entender ‘representable como suma de cuatro cuadrados’ como una función que toma como argumento ‘el número 20’ en el primer caso y ‘todo número entero positivo’ en el segundo. “

Análisis clásico: juicios singulares ~ juicios universales

1. Los X son Y2. Los Y son Z3. Los X son Z

I. Los Y son ZII. Los X son YIII. Los X son Z

AAA

…

4. Los Y son Z5. a es un Y6. a es un Z

bArbArA

?

?

…

1. Los Y son Z2. a es un Y3. a es un Z

I. Los Y son ZII. Los X son YIII. Los X son Z

AAA

? bArbArA

Kant, Crítica de la Razón pura, 2ª parte: “Los lógicos dicen con razón que, en el uso de los juicios

para los raciocinios pueden tratarse los juicios singulares como los universales.”



…1. a es un X2. a es un Y

3. a es un X y un Y4. Algún X es Y

I. Los A son XII. Los A son Y

III. ?

Veamos:

5. Algún Y es X6. a es un X o un Y

7. a es un X o no lo es

…

…

1. Para todo X, existe Y…

2. Existe Y para todo X…

¿equivalentes?

1. Todos los C son D

2a. Todos los A son B y C

¿?

1. Todos los C son D

2b T d l A B C ¿qué relación semántica?

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1. X está relacionado mediante R con Y

2. S es la relación inversa de R

¿?

2b. Todos los A son B o C

¿?


Frege señala error: “ […] ’el número 20’ y ‘todo número entero positivo" no son conceptos

del mismo rango. […]

La expresión ‘todo número entero positivo’ por sí sola no presenta una idea como lo hace ‘el número 20’ sino que sólo recibe un sentido en

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idea, como lo hace el número 20 , sino que sólo recibe un sentido en el contexto de la proposición.”

• Frente al análisis clásico en términos de sujeto & predicado, nuevo análisis en clave de función & argumento

• Análisis gramatical, no siempre relevante desde un punto de vista lógico

• Principio del contexto: no hay que preguntar por el significado de una expresión aislada, sino en el contexto de la proposición

Principio del contexto… un paréntesis…

Formulación generalen Fundamentos de la aritmética - Introducción:

“En la investigación que sigue he mantenido tres principios f d l

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fundamentales:

• Separar nítidamente lo psicológico de lo lógico, lo subjetivo de lo objetivo

• No preguntar nunca por el significado de una palabra aislada, sino sólo en el contexto de una proposición

• No perder nunca de vista la distinción entre concepto y objeto”


1. el número 20 es representable como suma de cuatro cuadrados2. todo número entero positivo es representable como suma de

cuatro cuadrados

1 R(20)

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1. R(20)2. ∀x(P(x) → R(x))

Mediante el análisis de 1 y 2, y la explicitación de 3: 3. P(20)podemos expresar las relaciones semánticas entre 1, 2 y 3:

{2, 3} ⊨ {1}

Función - generalización Conceptografía, 1879:

• Concepto de función de un argumento, generalizable

• Dos vías: – Funciones de más de un argumento

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– Funciones de funciones

• El análisis propiciado por esta extensión del concepto de función supera las limitaciones del análisis clásico S-P

• Distinción fundamental: forma lógica vs. forma gramatical



Función - generalización Funciones de más de un argumento

En Conceptografía:

“Si en una función se considera sustituible, en uno o varios lugares en donde aparece, un signo que hasta ese momento se consideraba no sustituible, se produce así una nueva función que tiene, junto a l i t t

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los previos, otro argumento.

De esta manera se originan funciones de dos y más argumentos.

Por ejemplo, se puede considerar ‘la circunstancia de que el hidrógeno es más ligero que el carbónico" como función de los dos argumentos ‘hidrógeno’ y ‘carbónico’.”

X es más ligero que Y

“Para expresar una función indeterminada del argumento A, ponemos A entre paréntesis después de una letra:

Φ(A)Igualmente,

Ψ(A B)

Función - generalización Funciones de más de un argumento

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Ψ(A, B)

significa una función de los argumentos A y B, sin más precisiones.

[…] en general, Ψ(A, B) es distinto de Ψ(B, A)

Las funciones indeterminadas de más argumentos se expresan siguiendo este modelo.”

Además de poder considerar más de un argumento, es posible extender el concepto de función de forma que como argumento de una cierta función aparezca otra función

Función - generalización Funciones de funciones

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“[…] podemos entender: Φ(A)

como una función del argumento Φ[dado que] Φ es sustituible por otros signos - Ψ, Χ […]”

Expresión de funciones - lectura

Puede leerse:

A tiene la propiedad Φ

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B está en la relación Ψ con Aó B es el resultado de una aplicación del

procedimiento Ψ sobre el objeto A

Objeto / función• Correlato ontológico del par lógico-lingüístico

argumento / función

• Según Frege, hay dos tipos generales de entidad: – objetos– funciones

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• Todo lo que hay cae bajo exactamente una de esas dos categorías

Objetos: entidades completas, saturadas

Funciones: entidades incompletas, insaturadas

• Desarrollo en: ‘Función y concepto’, ‘Concepto y objeto’

ObjetoTipos:

• Objetos físicos particulares, sometidos a relaciones causales, espacio-temporales, etc (Platón, las piedras, los árboles…)

• Entidades mentales internas (ideas, representaciones…)

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Entidades mentales internas (ideas, representaciones…)• Entidades abstractas, como los números, los valores de

verdad, el contenido de los juicios…

Correlato lingüístico de los objetos: nombres o términos singulares



FunciónFunciones:• Entidades incompletas, insaturadas• Funciones se saturan con objetos o con funciones de grado

inmediatamente inferior (*)

Correlato lingüístico de las funciones:

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expresiones que se saturan con uno o varios argumentos :

x + 5la capital de x

x es mortalx + y = 7

Si P entonces Q…

y dan lugar a términos singulares yproposiciones

Función y concepto, 1891En ‘Función y concepto’, Frege trata de clarificar la noción de

función y funda sobre ellas las nociones de concepto y relación. El recorrido:

I. Funciones matemáticas cuyos argumentos y valores son números: x+1, x+y, 3x, 2x, … (punto de partida)

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II. Funciones cuyos argumentos son números y cuyos valores son veritativos: x > 3, x2 = 1, x+y = 5, y < 2x, … (entre éstas se encuentran los conceptos y relaciones numéricos)

III. Funciones cuyos argumentos y valores pueden ser objetos de cualquier tipo: x=x, la capital de x, x es capital de y, (entre éstas se hallan los conceptos y relaciones en general)

Veamos…

Función y concepto, 1891I. Punto de partida: noción de función en matemáticas“Parto de lo que en matemáticas se llama función […]

A esta pregunta [qué fue lo primero que se entendió en matemáticas por función] se contesta:

Por función de x se entendió una expresión de cálculo que contenga x

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Por función de x se entendió una expresión de cálculo que contenga x, una fórmula que incluya la letra x.

Según esto, por ejemplo, la expresión 2·x3 + x sería una función de x,

y 2·23 + 2 sería una función de 2.

Esta respuesta no puede satisfacernos, puesto que en ella no se distinguen forma y contenido, signo y designado […]”

“Una mera expresión, la forma de un contenido, no puede ser lo esencial de la cosa, sino que solo lo puede ser el contenido mismo.

Ahora bien, ¿cuál es el contenido, la referencia de “2·23+2” ?

El mismo que el de “18” o de “3·6”.

En la igualdad 2·23+2 = 18 se expresa que la referencia de la cadena

Función vs. expresión funcional

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En la igualdad 2·23+2 = 18 se expresa que la referencia de la cadena de signos que está a la derecha es la misma que la de la izquierda.”

Enunciados de identidad: problema recurrente en Frege• antes, Conceptografía (igualdad de contenido)• después, Sobre sentido y referencia

“Debo salir al paso de la opinión según la cual 2+5 y 3+4, por ejemplo, son ciertamente iguales, pero no lo mismo. La raíz de esta opinión es nuevamente la confusión entre forma y contenido, entre signo y designado.

Es lo mismo que si se quisiera considerar la violeta olorosa como dif t d l Vi l d t b

Expresión funcional vs. función / signo vs. designado

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diferente de la ·Viola odorata·, porque sus nombres suenan distintos.

La diferencia de designación por sí sola no basta para fundamentar una diferencia de designados.

En nuestro caso, la cuestión es menos transparente tan sólo por el hecho de que la referencia del signo numérico 7 no es sensiblemente perceptible. ” Desarrollo posterior en

Sobre sentido y referencia

Esto aclarado, Frege retorna al problema planteado:

“[…] en : 2·13 + 1 , 2·43 + 4 y 2·53 + 5, se reconoce una y otra vez la misma función, sólo que con distintos argumentos, a saber, 1, 4 y 5.

[…] lo realmente esencial de la función radica en lo que tienen en

Función

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[ ] f qcomún estas expresiones; es decir, en lo que se halla en

“2·x3 + x”[…] lo que podríamos escribir quizás así:

“2·( )3 + ( )”.



• Función: entidad incompleta, no saturada• Objetos (por ejemplo, números): entidades saturadas

“Me interesa señalar que el argumento no forma parte de la función, sino que constituye, junto con la función, un todo completo; pues la función, por sí sola, debe denominarse incompleta, necesitada d l d

Función vs. objeto

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de complemento o no-saturada. Y esta es la diferencia de principio que hay entre las funciones y los

números.Por esta naturaleza de la función se explica que, por una parte,

reconozcamos la misma función en “2·13 + 1” y “2·23 + 2” , a pesar de que estas expresiones se refieran a números distintos, mientras que, por otra parte, en “2·13 + 1” y “4-1”, a pesar de su mismo valor numérico, no encontramos la misma función.”

“También vemos ahora cuán fácilmente puede uno ser llevado erróneamente a ver lo esencial de la función justamente en la forma de expresión. […]

Llamamos a aquello en lo que se convierte la función al ser completada por su argumento, el valor de la función para ese argumento.

Valor de una función para un argumento

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Así, por ejemplo, 3 es el valor de la función 2·x2 + x para el argumento 1, puesto que tenemos 2·12 + 1 = 3 .

En notación habitual:

f(x) = 2·x2 + x f(0) = 2·02 + 0 = 0f(1) = 2·12 + 1 = 3f(2) = 2·22 + 2 = 10f(3) = 2·32 + 3 = 21

…

f(x) = 2·x2 + x f(0) = 2·02 + 0 = 0f(1) = 2·12 + 1 = 3f(2) = 2·22 + 2 = 10f(3) = 2·32 + 3 = 21… 0A

015

B23

Valor de una función para un argumento

…

67

Gráficamente:

…123…

58…...21…

67

11…

349

10

f(x) = 2·x2 + x

“Existen funciones, como, por ejemplo, 2 + x – x o 2 + 0·x , cuyo valor es siempre el mismo sea cual sea su argumento; […] aunque el valor de la función aquí siempre es 2, con todo, hay que distinguir 2 de la función en sí misma;

pues la expresión de una función tiene que mostrar siempre uno o más lugares destinados a ser llenados por el signo del argumento.”

Función constante

68

lugares destinados a ser llenados por el signo del argumento.

f(x) = 2 + x - xf(1) = 2 + 1 - 1 = 2f(2) = 2 + 2 - 2 = 2f(3) = 2 + 3 - 3 = 2

…

f(x) = 2 + 0·xf(1) = 2 + 0·1 = 2f(2) = 2 + 0·2 = 2f(3) = 2 + 0·3 = 2

…

“El método de la geometría analítica nos ofrece un medio de hacernos intuitivos los valores de una función para diversos argumentos.

Pues, al considerar el argumento como valor numérico de una abcisa y el valor correspondiente de la función como valor numérico de la ordenada de un punto, obtenemos un conjunto de puntos que, en los casos usuales, se nos presentan intuitivamente como una curva.

Función - representación

69

Así, por ejemplo, f(x) = x2 – 4x da lugar a una parábola. “

-5

-4

-3

-2

-1

00 2 4 6f(0) = 02 – 4·0 = 0

f(1) = 12 – 4·1 = - 3f(2) = 22 – 4·2 = - 4f(3) = 32 – 4·3 = - 3f(4) = 42 – 4·4 = 0…

Concepto y relación – tipos de funciónUna vez conocida la noción de función (matemática) en

Frege, es posible entender las de concepto y relación(extensiones de dicha noción a la lógica)

¿Qué comparten conceptos y relaciones?

70

¿Qué comparten conceptos y relaciones? • Ambos son funciones que toman como valores lo verdadero

y lo falso (funciones proposicionales)

¿Qué distingue a conceptos y relaciones? • El número de argumentos (uno en el caso de los conceptos;

más de uno en el de las relaciones)



Función proposicionalII. “[…] A los signos +, -, etc, que sirven para la formación de una

expresión funcional, añado signos como =, <, >, de modo que podré hablar, por ejemplo, de la función x2 = 1

[…] La primera cuestión que surge aquí es la de cuáles son los valores de la función para distintos argumentos.

71

Si ordenadamente sustituimos x por -1, 0, 1, 2 obtenemos: (-1)2 = 1,

02 = 1, 12 = 1, 22 = 1.

De estas ecuaciones, sólo la primera y la tercera son verdaderas.

“Así, pues, digo:

“El valor de nuestra función es un valor veritativo”

y distingo el valor veritativo de lo verdadero y el de lo falso. Para abreviar, a uno lo llamo lo verdadero, y al otro lo falso.

Según esto, “22 = 4”, por ejemplo, se refiere a lo verdadero, al igual

Referencia de proposiciones

72

que “22”, por ejemplo, se refiere a 4.

Y “22 = 1” se refiere a lo falso.”

ref(22) = 4ref(3+7) = 10ref((3+7)·2) = 20…

ref(22 = 4) = vrref(22 = 1) = flref(32 < 1) = fl…

funciones designativas funciones proposicionales

“Según esto, “22 = 4”,“2 > 1”,“24= 42”,

se refieren a lo mismo, a saber, lo verdadero, de manera que

Referencia de proposiciones

73

(22 = 4) = (2 > 1) es una ecuación correcta.

• Todas las proposiciones verdaderas son nombres de (términos que designan) lo verdadero;

• Todas las falsas, de lo falso

“Es natural aquí la objeción de que, no obstante, “22 = 4” y “2 > 1” afirman algo completamente distinto, expresan pensamientos completamente distintos;

pero también “24 = 42” y “4·4 = 42” expresan pensamientos distintos; y, a pesar de ello, se puede sustituir “24” por “4·4”, porque ambos

signos tienen la misma referencia

Sentido o pensamiento, y referencia

74

signos tienen la misma referencia.En consecuencia, también “24 = 42” y “4·4 = 42” se refieren a lo mismo. A partir de esto se comprende que la igualdad de referencia no tiene

como consecuencia la igualdad de pensamiento. “

• Explicación del significado: sentido y referencia • Sustituibilidad de términos correferenciales• Igualdad de referencia no implica igualdad de pensamiento

“Cuando decimos “el lucero vespertino es un planeta cuya revolución es menor que la de la Tierra”, hemos expresado un pensamiento distinto al del enunciado “el astro matutino es un planeta cuya revolución es menor que la de la Tierra”;

pues quien no sepa que el lucero matutino es el lucero vespertino, podría suponer que uno es verdadero y el otro falso;

Sentido y referencia

75

y, con todo, la referencia de ambos enunciados debe ser la misma, puesto que sólo se han intercambiado las palabras “lucero vespertino” y “lucero matutino”, que tienen la misma referencia, es decir, son nombres propios del mismo cuerpo celeste.

Hay que distinguir sentido y referencia.”

• Composicionalidad de sentidos y referencias• Test de Frege

“ “24 ” y “4·4” tienen ciertamente la misma referencia;

es decir, son nombres propios del mismo número; pero no tienen el mismo sentido;

Y de ahí que tengan “24 = 42 ” y “4·4 = 42 ” ciertamente la misma referencia , pero no el mismo sentido; es decir, en este caso, no

Sentido y referencia

76

contienen el mismo pensamiento.

• Sustituibilidad de términos correferenciales• Composicionalidad de sentidos y referencias



Principios de composicionalidadDos principios: • uno para referencias• otro para sentidosEn ambos casos, tres formulaciones equivalentes

77

Principio de composicionalidad para referencias / sentidos: (primera formulación): i. La referencia/el sentido de una expresión compleja está

determinada/o (es función de) la referencia/el sentido de las partes que la componen

Principios de composicionalidadPrincipio de composicionalidad para referencias / sentidos: (segunda y tercera formulaciones): Sean t1 y t2 dos expresiones cualesquiera, y α(t1) y α(t2) dos expresiones complejas que sólo difieren en que la segunda contiene t2 en uno o varios lugares en que la primera contiene t1

ii La sustitución de una expresión por otra con la misma

78

ii. La sustitución de una expresión por otra con la misma referencia/el mismo sentido en el contexto de una expresión más compleja preserva la referencia/el sentido de esta última

iii. Si t1 y t2 comparten la referencia/el sentido, entonces α(t1) y α(t2) también comparten la referencia/el sentido

Sustituibilidad de términos con la misma/o referencia/sentido

Test de FregeSi un usuario competente del lenguaje puede creer el

enunciado α(t1) y no creer el enunciado α(t2), entonces α(t1) y α(t2) difieren en valor cognoscitivo y, por tanto, t1 y t2tienen sentidos distintos

“el lucero vespertino es un α(t )

79

el lucero vespertino es un planeta cuya revolución es menor

que la de la Tierra”

“el astro matutino es un planeta cuya revolución es menor que la

de la Tierra”

α(t1)t1: el lucero vespertino

α(t2)t2: el astro matutino

Objeto / conceptoDe la noción de función proposicional, llegamos a las de

concepto y relación:“Vimos que el valor de nuestra función x2 = 1 es siempre uno de los

dos valores veritativos. Ahora bien, si para un determinado argumento, por ejemplo -1, el

l d l f ió l d d d í

80

valor de la función es lo verdadero, podemos expresar esto así: “el número -1 tiene la propiedad de que su cuadrado es 1”

o más brevemente: “-1 es una raíz cuadrada de 1”

o “-1 cae bajo el concepto de raíz cuadrada de 1”.

Objeto / concepto“Si el valor de la función x2 = 1 es lo falso para un argumento, por

ejemplo, 2, podremos expresar esto así: “2 no es raíz cuadrada de 1”

o bien “2 no cae bajo el concepto de raíz cuadrada de 1”.

81

Con esto vemos cuán estrechamente relacionado está lo que en lógica se llama concepto con lo que nosotros llamamos función.

Incluso podrá decirse verdaderamente: Un concepto es una función cuyo valor es siempre un valor

veritativo.”

Objeto / conceptoEn términos funcionales, por tanto:

El objeto X cae bajo el concepto Y(X tiene la propiedad Y ; Y es una propiedad de X)

es equivalente a :Es verdadera la oración declarativa resultante de saturar la

82

Es verdadera la oración declarativa resultante de saturar la expresión correspondiente a Y mediante un nombre de X

es decir:

Es verdadera la oración declarativa resultante de poner en el lugar vacío de la expresión funcional de Y (expresión funcional cuyo valor es un valor de verdad) un nombre de X (un término

singular cuya referencia sea X)



Objeto / concepto – subordinación • En tanto que objetos, los conceptos pueden también caer

bajo otros conceptos (de orden superior)• Es decir, es posible predicar de ellos propiedades • Esa relación no debe confundirse con la de subordinación

entre conceptos

83

p

En Sobre concepto y objeto, 1892: “[…] un concepto puede caer bajo uno superior, lo cual, sin embargo,

no tiene que ser confundido con la subordinación de un concepto bajo otro.”

Ejemplo de Kerry, asumido por Frege: “[…] el concepto ‘caballo’ es un concepto fácilmente asequible, y es ciertamente uno de los objetos que caen bajo el concepto ‘concepto fácilmente asequible’ ”

• La relación de subordinación entre dos conceptos P y Q se establece cuando todos los objetos que caen bajo P caen también bajo Q

Así, por ejemplo:I El concepto ‘triángulo rectángulo’ está subordinado a

Objeto / concepto – subordinación

84

I. El concepto triángulo rectángulo está subordinado a ‘triángulo’

II. El concepto ‘triángulo rectángulo’ cae bajo el concepto ‘concepto geométrico’

En el primer caso, los conceptos son del mismo ordenEn el segundo, ‘concepto geométrico’ es de orden superior

respecto de ‘triángulo rectángulo’

¿Es la existencia un predicado de objetos o de conceptos?Frege: • el predicado ‘existe’ es un predicado de conceptos• expresa, de forma general, que bajo un cierto concepto

hay al menos un objeto (la extensión del concepto no es

Objeto / concepto – existencia

85

hay al menos un objeto (la extensión del concepto no es vacía)

• en el argumento ontológico hay un error de base: tratarlo como un predicado de objetos

Predicado de existencia y números: conceptos de segundo orden

Función: concepto, relaciónJunto a conceptos, relaciones…

“Obtuvimos la expresión de una función al desmembrar el signo compuesto de un objeto en una parte saturada y otra no-saturada.

Así descompusimos, por ejemplo, el signo de lo verdadero

86

“3 > 2” en “3” y “x > 2”.

Podemos seguir descomponiendo la parte no-saturada “x > 2” del mismo modo en “2” y

“x > y”, donde ahora “y” indica el lugar vacío , que antes había sido llenado

por “2”.

Función: concepto, relación“Con

“x > y”

tenemos una función de dos argumentos, a uno de los cuales se alude por medio de “x”, al otro por medio de “y”, y con:

3 > 2

87

tenemos el valor de esa función para los argumentos 3 y 2.

Tenemos aquí una función cuyo valor es siempre un valor veritativo.

A las funciones de este tipo con un argumento las hemos llamado conceptos; a las que tienen dos argumentos las llamamos relaciones.

Función, generalizaciónUna vez aclarada la noción de función en matemáticas (I); y extendida la noción de función hasta fundar en ella las

nociones de concepto y relación numéricos (II),el proceso de generalización de la noción de función en ‘Función

y concepto’ culmina con la consideración de funciones cuyos

89

“Los enunciados afirmativos en general pueden concebirse […] descompuestos en dos partes, una de las cuales está completa en sí misma, mientras que la otra precisa de complemento, es no-saturada.

argumentos y valores pueden ser objetos de cualquier tipo: x=x, la capital de x, … (III)



Función, generalizaciónAsí, por ejemplo, el enunciado

“César conquistó las Galias”puede ser descompuesto en “César” y “conquistó las Galias”. La segunda parte es no-saturada, lleva consigo un lugar vacío, y

únicamente cuando se llena este lugar por medio de un nombre

90

propio o de una expresión que represente un nombre propio, aparecerá un sentido completo.

“[…] Como vemos, aquí se ha emprendido una extensión en la otra dirección, o sea, con respecto a lo que puede aparecer como argumento.

Ya no hay que admitir tan sólo números, sino objetos en general, teniendo que contar también a las personas entre los objetos.

Función: concepto, relaciónLa función “conquistó las Galias”asocia con cada argumento un valor de verdad: • A César, lo verdadero• A cualquier otro objeto, lo falso

91

La función “es más ligero que el carbónico” asocia: • al hidrógeno, lo verdadero• al oxígeno, lo verdadero• al nitrógeno, lo verdadero• al carbónico, lo falso• …

Función: concepto, relación

La función “es más ligero que” asocia: • al par <hidrógeno, carbónico>, lo verdadero• al par <oxígeno, carbónico>, lo verdadero

l ó bó l d d

92

• al par <nitrógeno, carbónico>, lo verdadero• al par <carbónico, carbónico>, lo falso• …

Función, generalización“Hemos de seguir adelante y admitir objetos sin limitación como

valores de función.Para tener un ejemplo de esto, consideraremos, por ejemplo, la

expresión “la capital del Imperio alemán”

Esta expresión representa evidentemente un nombre propio y se

94

Esta expresión representa evidentemente un nombre propio y se refiere a un objeto.

Si la descomponemos en las partes “la capital de” e “Imperio alemán”[…] la primera parte es no-saturada, mientras que la otra es completa en sí misma.

Según lo antes dicho, llamo a “la capital de x” la expresión de una función. Si tomamos como argumento suyo el Imperio alemán, obtendremos, como valor de la función, Berlín.”

Objeto vs. funciónAl haber admitido así objetos sin limitación como argumentos y como

valores de función, lo que se pregunta entonces es a qué llamamos aquí objeto.

Considero que es imposible una definición académica, puesto que en este caso tenemos algo que, por su simplicidad, no permite una descomposición lógica. Tan sólo es posible aludir a lo que se

95

quiere decir. Brevemente sólo se puede decir: objeto es todo lo que no es función,

la expresión de lo cual, por tanto, no lleva consigo un lugar vacío.

Entre las consecuencias de esto: su consideración como objetos

de lo verdadero y lo falso

Objeto vs. función;lo verdadero y lo falso

“Un enunciado afirmativo(*) no contiene ningún lugar vacío, y por eso (**) hay que considerar que su referencia es un objeto. Esta referencia, empero, es un valor veritativo.

Por lo tanto, ambos valores veritativos son objetos.”

96

En la medida en que: • los valores veritativos son objetos y • la noción de función ha sido generalizada hasta contemplar

la posibilidad de que argumentos y valores sean objetos de cualquier tipo,

lo verdadero y lo falso saturan una clase determinada de función



Función proposicionales cuyos argumentos son valores de vr.

“Hasta ahora hemos considerado los valores veritativos solamente como valores de función, no como argumentos.”

[…] Vamos a considerar ahora una función que no es peculiar de la aritmética.

Sea la función:

97

cuyo valor es lo falso cuando se toma lo verdadero como argumento-B y al mismo tiempo un objeto que no sea lo verdadero como argumento-A;

en todos los demás casos, el valor de esta función será lo verdadero”.

no es el caso que B y no A

B → A

Sea T = {1, 0} el conjunto de valores de verdad (1 denota lo verdadero; 0, lo falso)

ƒCOND : TxT → T<x,y> → ƒCOND (x,y)

Función de verdad condicional

TxT<1,1> T

1 ƒCOND(1, 1) = 1ƒCOND(1, 0) = 0ƒCOND(0, 1) = 1ƒCOND(0, 0) = 1

98

<1,0><0,1><0,0>

1

0

ƒCOND


ƒCONJ : TxT → T<x,y> → ƒCONJ (x,y)

Función de verdad conjunción

TxT<1,1> T

1 ƒCONJ(1, 1) = 1ƒCONJ(1, 0) = 0ƒCONJ(0, 1) = 0ƒCONJ(0, 0) = 0

99

<1,0><0,1><0,0>

1

0

ƒCONJ

B ⋀ A

T


ƒNEG : T → Tx → ƒ (x)

Función de verdad negación

1T

1 x → ƒNEG (x)

ƒNEG (0) = 1ƒNEG (1) = 0

100

1

01

0

ƒNEG

¬ A

GeneralizaciónTransición hacia Sobre sentido y referencia: “El modo como represento la generalización se verá mejor con un

ejemplo.

Supongamos que hay que expresar que cada objeto es igual a sí mismo.

En: x = x

tenemos una función, a cuyo argumento se alude por medio de “x”.

Hay que decir ahora que el valor de esta función es siempre lo verdadero, sea cual sea el argumento que se tome.

Ahora bien, con:

101

f

Generalizaciónme referiré a lo verdadero cuando la función f(x) tenga como valor

siempre lo verdadero, sea cual sea su argumento;

En todos los demás casos,

f

deberá referirse a lo falso.

Para nuestra función x = x se cumple el primer caso.

Por lo tanto […] escribimos así:

102

a = a

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