Tema: Formas geométricas.Subtema: Figuras planas

• El estudio de las figuras planas y sus propiedades geométricas, abarca a los polígonos en general, tanto regulares como irregulares, como así también al círculo, que puede ser considerado un caso especial de polígono.

Dicho estudio comprende:

• Las relaciones referentes a las líneas, puntos y ángulos de los polígonos regulares;

• Los métodos para el dibujo de los polígonos regulares;

• Los métodos para el cálculo de la superficie de los polígonos regulares e irregulares.

• En los polígonos regulares, se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos:

• El perímetro — que está formado por la continuidad, o la suma, de todos sus lados.

• La diagonal — que es la línea que une dos ángulos no consecutivos.

Líneas y puntos en los polígonos.

• El centro — que es el punto que se encuentra a una misma distancia de todos sus vértices.

• El radio — que es la línea que une el centro con uno de sus vértices; por lo cual un polígono regular tiene tantos radios como ángulos.

• El apotema — que es la línea perpendicular que une el centro con cualquiera de sus lados; por lo cual un polígono regular tiene tantos apotemas como lados.

• El círculo es la figura plana delimitada por la circunferencia; por lo que a los efectos geométricos equivale a un polígono regular con infinitos lados.

• En el círculo se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos:

• La circunferencia — que lo delimita, y que es el equivalente al perímetro.

Líneas y puntos en el circulo.

• El centro — es el punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia.

• El radio — es la medida de distancia entre el centro y la circunferencia, es el equivalente al radio de los polígonos regulares, y también al apotema.

• El diámetro — que es la línea que pasando por el centro une dos puntos opuestos de la circunferencia, y por lo tanto mide el doble del radio, es el equivalente a la diagonal.

• La secante — que es la línea que incluye dos puntos de la circunferencia, sin pasar por el centro. El tramo entre esos puntos, es la cuerda.

• La tangente — que es la una línea recta que toca solamente un punto de la circunferencia.

• El arco — que es el tramo de la circunferencia comprendido entre dos puntos distintos de la misma.

• La flecha — que es la una línea perpendicular al punto medio de la secante, que lo une con la circunferencia.

• El sector — que es la superficie comprendida entre dos radios y el arco que delimitan.

• En los polígonos regulares se distinguen dos tipos de ángulos:

• Los ángulos interiores — que son los que se forman en el vértice entre los lados.

• Los ángulos centrales — que son los que se forman con vértice en el centro del polígono, y cuyos lados son los radios que unen ese centro a dos vértices consecutivos. Por lo tanto, un polígono regular tiene tantos ángulos centrales, todos iguales, como lados.

Los ángulos en los polígonos.

• Por lo tanto, como la medida de la suma de todos los ángulos que pueden formarse alrededor de un punto, es de 360° la medida del ángulo central de un polígono regular es igual a 360 dividido por la cantidad de lados.

• Ángulo central del triángulo equilátero: 360° ÷ 3 = 120°.

• Ángulo central del cuadrado: 360° ÷ 4 = 90°.

• Ángulo central del pentágono: 360° ÷ 5 = 72°.

• Ángulo central del hexágono: 360° ÷ 6 = 60°.

• Ángulo central del octógono: 360° ÷ 8 = 45°.

• Ángulo central del decágono: 360° ÷ 10 = 36°.

• Se dice que un polígono está inscripto en un círculo, cuando todos los vértices coinciden con puntos de su circunferencia.

• Se dice que un polígono está circunscripto en un círculo, cuando los puntos medios de todos sus lados coinciden con puntos de su circunferencia.

Polígonos inscritos y circunscriptos.

Construcción de polígonos mediante el compás.

• Mediante la aplicación de los conceptos referentes a los ángulos de los polígonos, es posible servirse del instrumento de dibujo que es el compás, para construir gráficamente diversos polígonos.

• El compás es un instrumento básicamente aplicable en el trazado de circunferencias, que delimitan una figura plana que es el círculo; el cual puede ser considerado un tipo especial de polígono regular, en el cual todos sus lados están constituidos solamente por un punto, y cuya dimensión está determinada por la longitud del radio, que es equivalente a la abertura del compás.

• El método a utilizar para construir polígonos mediante el uso del compás, se basa en determinar los vértices de los lados del polígono, estableciendo en qué puntos de la circunferencia deben situarse para que el polígono resulte inscripto en ella.

• Esa determinación se realiza a partir del conocimiento de los valores de los ángulos centrales del polígono que se desea construir.

• Para trazar un triángulo equilátero inscripto en un círculo, manteniendo el radio (abertura del compás) empleado para trazar el círculo, se determina un punto de la circunferencia (preferiblemente en la vertical inferior de su centro), y centrando en ese punto se traza un arco con extremos en la circunferencia.

• Los puntos de intersección (A y B) determinan un lado del triángulo equilátero; por lo cual tomando la medida de ese segmento con el compás y trasladándola sobre la parte superior de la circunferencia, se determinará el vértice (C) de unión de los otros dos lados.

• Para trazar un cuadrado inscripto en un círculo, se traza una recta que pasando por el centro llegue a la circunferencia en sus extremos (diámetro AB).

• Con una abertura del compás mayor a la empleada para trazar el círculo, centrando en los puntos extremos del diámetro, se marcan puntos en la circunferencia; lo que determinará dos nuevos puntos (C y D). Uniéndolos mediante una recta, resultará un nuevo diámetro perpendicular al anterior; cuyos puntos de contacto con la circunferencia serán los vértices del cuadrado inscripto.

• Como el cuadrado inscripto queda en posición transversal, puede trazarse otro con los lados en posición horizontal y vertical, simplemente trazando las medianas del cuadrado anterior, para determinar los vértices A', B', C' y D', de un nuevo cuadrado inscripto en el mismo círculo.

• Para trazar un hexágono inscripto en un círculo, se fija un punto sobre la circunferencia, y con la misma abertura del compás, se marcan puntos haciendo centro primero en ese punto y luego sucesivamente en los nuevos puntos.

• Ello determinará que se marquen sobre la circunferencia los seis puntos que corresponden a los vértices del hexágono.

• Individualmente, tracen con el compás una circunferencia que pase por el punto A, marquen el centro y desígnenlo con la letra O. Al terminar, respondan las preguntas que aparecen abajo.

A . • a) ¿Se podría trazar otra circunferencia que pase por el mismo punto A?

___________ Si se puede, trácenla.• b) ¿Cuántas circunferencias se pueden trazar?_____________________• c) ¿Qué relación hay entre el punto A, el punto O y la circunferencia?

_____________• __________________________________________________________ • d) ¿Cómo se llama el segmento que une el punto A con el centro de cada círculo?

________________________________• e) ¿Tienen igual medida todos los segmentos que unen el centro de los círculos

trazados con el punto A?______________

• Individualmente, tracen con el compás una circunferencia que pase por los puntos A y B dados a continuación, y marquen el centro del círculo. Al terminar contesten las preguntas.

A .

. B

• ¿Se podría trazar otra circunferencia que pase por estos mismos puntos? ____________ Si se puede, trácenla.

• ¿Cuántas circunferencias que cumplan esta condición se pueden trazar? ¿Por qué?___________________________________________________

• Unan con una recta los puntos A y B.• Unan con una recta los centros de los círculos que trazaron.• ¿Cómo son las dos rectas anteriores entre sí?• ¿Qué relación tiene el segmento AB con todos los círculos que trazaron?• ¿Existe algún círculo donde el segmento AB sea diámetro?

• En equipo resuelvan el siguiente problema. El círculo central de una cancha de básquetbol se borró por el uso, por la proximidad de un campeonato se necesita repintarlo y sólo quedaron tres marcas como se muestra abajo. ¿Cómo sugerirías a los pintores que trazaran el círculo?