Solucin a preguntas de Sesin 4: Mercados e instrumentos de renta fija

Mercados e instrumentos de renta fijaTeoremas de Malkiel:

a. Los precios de los bonos se mueven de manera inversamente proporcional a los rendimientos demandados.

Esto queda demostrado al cambiar al incrementar al rendimiento demandado en +0.5% a los Bonos C y D.

b. Para un cambio en el rendimiento, dado lo dems igual, mientras mayor es el plazo, mayor la variacin % en el precio del bono. Es decir, mientras mayor es el plazo, mayor la volatilidad del bono. No obstante, solo se cumple si los bonos tienen la misma estructura.Veamos el Ejercicio realizado con los Bonos C y D (El Bono C es un bono Balloom que no paga cupones y tiene un plazo de 7 aos, mientras que el Bono D tiene un plazo de 10 aos). Ver Hoja 1_Malkiel en archivo Excel.

Los resultados son los siguientes:

Como se puede observar, el Bono D a pesar de tener un mayor plazo tiene una menor variacin ante cambios en el YTM (Esto se debe a que el Bono D al pagar cupones lo largo de los 10 aos, hace que el inversionista recupere antes la inversin realizada).

c. La volatilidad del precio de un bono se incrementa pero a tasas decrecientes ante mayores plazos.

Como se puede observar en la Tabla (Ver Hoja 1_Malkiel en archivo Excel), las variaciones en los precios de los bonos producto de cambios en el YTM se incrementan con un mayor plazo, pero su crecimiento (variacin marginal %) es a tasas menores.

d. Los movimientos % de los precios de los bonos por iguales movimientos % absolutos de incremento o decremento del YTM no son simtricos. Es decir, un decremento en el YTM aumenta el precio de un bono porcentualmente ms que la reduccin porcentual del precio de dicho bono por un incremento del YTM, para variaciones del YTM de la misma magnitud absoluta.

Las ganancias de capital por cadas en la tasa de inters o YTM exceden a las perdidas ante un aumento de la tasa de inters o YTM de igual magnitud absoluta.

Esto se demuestra en el cuadro anterior: ante iguales variaciones del YTM (variaciones del -1% y +1%), siempre el incremento porcentual del precio de dichos bonos es mayor en trminos absolutos al decremento porcentual del precio de dichos bonos.

e. A mayor cupn para una variacin del YTM dado, la volatilidad de dicho bono es menor. Es decir, un bono con mayor Cupn, tiene menor riesgo, dado todo lo dems constante.

Es se debe a que al tener mayores pagos por cupones, es factible que se recupere antes lo invertido.

Explique los conceptos de Duration, Convexidad y Teorema de Malkiel.

Macaulay Duration o Duration (Duracin):Es el tiempo promedio en que se logra que los flujos que genera un bono devuelva la inversin inicial. El duration es la mejor medida de riesgo de tasa de inters de un bono.El duration de un bono es una mejor medida del riesgo de tasa de inters que el plazo de maduracin de dicho bono, dado que considera el repago del capital al vencimiento as como la magnitud y el momento o tiempo de los pagos de los cupones antes del vencimiento del bono. Es decir, pondera los flujos del bono por el tiempo o momento de su realizacin.Es el tiempo promedio ponderado de recuperacin de lo invertido en un bono considerando el valor del dinero en el tiempo. Justamente, los flujos mientras ms cercanos al vencimiento tienen una mayor ponderacin al ser multiplicado por un mayor t lo que incrementa el duration; es decir, mientras mas cercanos los flujos al vencimiento, mayor el tiempo promedio de recuperacin de lo invertido. El Macaulay-duration se estima por la siguiente formula:

Donde:

P =Precio del bono C =Flujos de Caja (cupones y amortizaciones) en periodo t.

y

=YTM t

=Periodo en que se recibe le flujo de caja n

=Numero de periodos hasta maduracin del bono El Duration es especialmente til para determinar el riesgo relativo entre dos o ms bonos. Veamos esto con un ejemplo:Estos datos son los resultados obtenidos de dos bonos (Ver Hoja 1_Duration en archivo Excel).

Ahora bien, sabemos que en principio un bono con mayor tiempo de maduracin y dado todo lo dems constante, tiene un mayor riesgo de tasa de inters. Segn lo anterior el Bono B debera tener el mayor riesgo.

Tambin sabemos que un bono con el mayor cupn dado todo lo dems constante, debera tener el menor riesgo de tasa de inters. Segn esto, el Bono A debera ser el mas riesgoso.

No obstante, no podemos saber directamente cual de los dos es el ms riesgoso. La forma de determinar los riesgos relativos es calculando los respectivos Duration. Aquel que tenga un menor Duration, ser el que menos riesgo de tasa de inters tenga; es decir, tendr una variabilidad menor ante cambios de YTM de igual magnitud. Por lo tanto, el Bono A es el que menor riesgo de tasa de inters tiene.Modified Duration (Duracin modificada):

Donde y = YTM anual.

Si el Macaulay Duration o Duration es calculado usando flujo semianuales, en la formula el YTM (y) deber dividirse entre 2 (y/2). Esto es un resultado derivado.El Modified Duration cuantifica el cambio porcentual del precio de un bono ante un cambio del rendimiento del bono (YTM) demandado por el mercado. Es la elasticidad precio de un bono con respecto a cambios en el rendimiento demandado a dicho bono. Captura la volatilidad del precio de un bono. El Modified Duration es a un bono lo que el Beta es a una accin, en el sentido de que ambas medidas expresan la medida del riesgo de ambos instrumentos.

Veamos nuevamente un ejemplo: (Ver Hoja 1_Duration en archivo Excel).

Utilizando el Modified Duration, ante una variacin de +0.5% del rendimiento requerido por los Bonos A y B, el precio desciende en -2.6167% y -3.4592% respectivamente. No obstante, cuando se realiza el clculo con los flujos las variaciones porcentuales de los precios de los bonos son diferentes aunque prximas a los esperados segn el Modified Duration. Esto ser explicado luego con la convexidad.

ConvexidadEl Duration a pesar de ser un concepto muy importante para medir el riesgo de un bono, as como para estimar la variacin de su precio ante cambios en el YTM, tiene ciertas limitaciones.La limitacin se origina debido a que la relacin entre el precio de un bono y su YTM, es una funcin no lineal tal como se muestra en la figura:

Por ejemplo al incrementarse el YTM de Y0 a Y1, el Modified Duration estimara la reduccin del precio del bono hasta P2 (en 2). No obstante, la verdadera reduccin del precio del bono seria hasta P1 (en 1). Es decir, el Modified Duration estara sobreestimando la variacin. Este error es la diferencia entre P2 y P1 (P2 P1). Matemticamente el Modified Duration es la primera derivada de la funcin que relaciona el precio de un bono con el YTM. Grficamente es la pendiente de la lnea tangente (en el punto 0). El Modified Duration es una muy buena aproximacin para cambios pequeos en el YTM; para cambios grandes el error puede ser muy grande. Mientras mas convexa sea la curva de la relacin entre el precio del bono y el YTM, mayor ser el error.La convexidad se puede definir como la medida de cuanto la curva Precio del Bono YTM se desva de ser una relacin lineal.La convexidad es una medida de la inexactitud del Duration Modified para estimar la variacin del precio de un bono ante un cambio en el YTM.

Matemticamente, la convexidad es una funcin de la segunda derivada de la funcin Precio de un bono YTM.

En esta frmula y = YTM / 2:La Variacin total es la siguiente:

Donde el primer trmino es cuantificado por el Modified Duration; el segundo trmino es la Convexidad; y el tercer termino es el error no calculado.Por ejemplo veamos una aplicacin de la convexidad (Ver Hoja 1_Duration en archivo Excel):

Como se muestra en el cuadro siguiente, la variacin real del precio al incrementarse el YTM de 10% a 12% es de -12.04%. La variacin por Modified Duration es de -14.44%; por convexidad es de 1.16%, y de forma residual el error es de 1.24%.

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