Feb01
1
UNIVERSIDAD DE GRANADA M´ etodos matem´ aticos de la F´ ısica IV Primer Parcial. 6 de Febrero, 2001 • Entrega los ejercicios por separado • Duraci´ on del examen: 3 horas y media. Puntuaci´ on m´ axima: 30 1. Se considera la ecuaci´ on diferencial x = - x t + f (tx), t> 0 donde f : → es una funci´ on dada que se supone continua. [3] i) Se define la nueva inc´ ognita u = u(t), dada por u = tx. Prueba que esta f´ ormula define un cambio de variables entre dominios apropia- dos y transporta la ecuaci´ on diferencial al plano (t, u). [7] ii) Halla la soluci´ on de x = - x t + e tx , x(1) = 0. 2. Se considera la ecuaci´ on x - t 3 x =0. [8] i) Calcula el desarrollo en serie de potencias centrado en el origen de las soluciones. [2] ii) Determina el radio de convergencia de dichas series. 3. Sea F : [0, 1] × 2 × 2 → , (t, x 1 ,x 2 ,p 1 ,p 2 ) → F (t, x 1 ,x 2 ,p 1 ,p 2 ) una funci´ on de clase C 2 . Se define el funcional (que depende de dos funciones): F [x 1 ,x 2 ]= 1 0 F (t, x 1 (t),x 2 (t), ˙ x 1 (t), ˙ x 2 (t))dt con dominio D = {(x 1 ,x 2 )/x 1 ,x 2 ∈ C 1 [0, 1],x 1 (0) = α 1 ,x 2 (0) = α 2 ,x 1 (1) = β 1 ,x 2 (1) = β 2 } (α i , β i n´ umeros dados). [10] i) Demuestra que si F alcanza un m´ ınimo en (x 1 ,x 2 ) ∈D, con x i ∈ C 2 [0, 1], entonces x 1 y x 2 cumplen F x i (t, x 1 ,x 2 , ˙ x 1 , ˙ x 2 ) - d dt F p i (t, x 1 ,x 2 , ˙ x 1 , ˙ x 2 )=0, i =1, 2.
-
Upload
maria-marrero -
Category
Documents
-
view
213 -
download
0
description
ecuacione diferenciales
Transcript of Feb01
-
UNIVERSIDAD DE GRANADAMetodos matematicos de la Fsica IVPrimer Parcial. 6 de Febrero, 2001
Entrega los ejercicios por separado Duracion del examen: 3 horas y media. Puntuacion maxima: 30
1. Se considera la ecuacion diferencial
x = xt+ f(tx), t > 0
donde f : S S es una funcion dada que se supone continua.[3] i) Se define la nueva incognita u = u(t), dada por
u = tx.
Prueba que esta formula define un cambio de variables entre dominios apropia-dos y transporta la ecuacion diferencial al plano (t, u).[7] ii) Halla la solucion de
x = xt+ etx, x(1) = 0.
2. Se considera la ecuacionx t3x = 0.
[8] i) Calcula el desarrollo en serie de potencias centrado en el origen de lassoluciones.[2] ii) Determina el radio de convergencia de dichas series.
3. Sea F : [0, 1] S2 S2 S, (t, x1, x2, p1, p2) 7 F (t, x1, x2, p1, p2) unafuncion de clase C2. Se define el funcional (que depende de dos funciones):
F [x1, x2] = 10
F (t, x1(t), x2(t), x1(t), x2(t))dt
con dominio
D = {(x1, x2)/ x1, x2 C1[0, 1], x1(0) = 1, x2(0) = 2, x1(1) = 1, x2(1) = 2}(i, i numeros dados).[10] i) Demuestra que si F alcanza un mnimo en (x1, x2) D, con xi C2[0, 1],entonces x1 y x2 cumplen
Fxi(t, x1, x2, x1, x2)d
dtFpi(t, x1, x2, x1, x2) = 0, i = 1, 2.
