Fase 2 Probabilidad

TRABAJO COLABORATIVO 2:

PROPUESTA INDIVIDUAL

PRESENTADO POR:

MAURICIO STEVEN VÉLEZ HERNÁNDEZ

PROBABILIDAD

Grupo 100402_288

TUTOR:

ELKIN ORLANDO VELEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

2015

ContenidoVARIABLES..........................................................................................................................................3

VARIABLE ALEATORIA.....................................................................................................................3

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA....................................................................................................3

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA..................................................................................................3

VALOR ESPERADO..........................................................................................................................4

VARIANZA.......................................................................................................................................5

DISTRIBUCIÓN....................................................................................................................................6

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL...............................................................................................................6

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA.............................................................................................6

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA..........................................................................................................6

DISTRIBUCIÓN DE POISSON............................................................................................................6

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA................................................................................................7

DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA.............................................................................................7

DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA...........................................................................................8

DISTRIBUCIÓN NORMAL.................................................................................................................9

DISTRIBUCIÓN CHI2 CUADRADO DE PEARSON..............................................................................10

DISTRIBUCIÓN t-STUDENT............................................................................................................11

BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................................................13

ESCUELA DE CIENCIAS EXACTAS90168_288 – PROBABILIDAD

Trabajo Colaborativo Grupal Momento 2 - 2015 - 2

VARIABLESVARIABLE ALEATORIADefinición Una variable aleatoria es una regla bien definida para asignar valores numéricos a todos los resultados probables de un experimento.

Los distintos resultados que se obtienen al lanzar un dado forman una variable, que abarcará de 1 a 6, y que no son predecibles. A todo valor de una variable aleatoria corresponderá una probabilidad. Ese conjunto de todos los valores posibles recibe el nombre de función o distribución de probabilidad de la variable aleatoria.

Cualquier función de una variable aleatoria también lo será de resultados impredecibles y, por tanto, igualmente aleatoria. En general, cualquier operación algebraica entre dichas funciones dará lugar a otra variable aleatoria.

VARIABLE ALEATORIA DISCRETADefiniciónSe denomina variable aleatoria discreta aquella que sólo puede tomar un número finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, el número de componentes de una manada de lobos, pude ser 4 ó 5 ó 6 individuos pero nunca 5,75 ó 5,87. Otros ejemplos de variable discreta serían el número de pollos de gorrión que llegan a volar del nido o el sexo de los componentes de un grupo familiar de babuinos.

DensidadSe denomina densidad discreta a la probabilidad de que una variable aleatoria discreta X tome un valor numérico determinado (x). Se representa:

f(x) = P[X=x]

La suma de todas las densidades será igual a 1

VARIABLE ALEATORIA CONTINUAUna variable aleatoria X es continua si su función de distribución es una función continua.

En la práctica, se corresponden con variables asociadas con experimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquier valor en un intervalo: mediciones biométricas, intervalos de tiempo, áreas, etc.

Ejemplos Resultado de un generador de números aleatorios entre 0 y 1 . Es el ejemplo más sencillo

que podemos considerar, es un caso particular de una familia de variables aleatorias que tienen una distribución uniforme en un intervalo [a, b]. Se corresponde con la elección al azar de cualquier valor entre a y b.



Estatura de una persona elegida al azar en una población. El valor que se obtenga será una medición en cualquier unidad de longitud (m, cm, etc.) dentro de unos límites condicionados por la naturaleza de la variable. El resultado es impredecible con antelación, pero existen intervalos de valores más probables que otros debido a la distribución de alturas en la población. Más adelante veremos que, generalmente, variables biométricas como la altura se adaptan un modelo de distribución denominado distribución Normal y representado por una campana de Gauss.

Dentro de las variables aleatorias continuas tenemos las variables aleatorias absolutamente continuas.

Diremos que una variable aleatoria X continua tiene una distribución absolutamente continua si existe una función real f, positiva e integrable en el conjunto de números reales, tal que la función de distribución F de X se puede expresar como

Una variable aleatoria con distribución absolutamente continua, por extensión, se clasifica como variable aleatoria absolutamente continua.

VALOR ESPERADOEl valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Desde hace muchos años este concepto ha sido Aplicado ampliamente en el negocio de seguros y en los últimos veinte años ha Sido aplicado por otros profesionales que casi siempre toman decisiones en

Condiciones de incertidumbre.

Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, multiplicamos cada valor que ésta puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese Valor y luego sumamos los productos. Es un promedio ponderado de los Resultados que se esperan en el futuro.

Sea X una Variable Aleatoria que toma valores en un conjunto discreto (en un conjunto finito de números en uno infinito como: los naturales, los enteros o los racionales), por ejemplo si la variable aleatoria X toma los siguientes valores:

X = 0, 1, 2, 3, … decimos que es discreta

La probabilidad de que X tome cada uno de sus valores viene dada por la función de probabilidad:

P(X = i), para i = 0, 1, 2, 3, ... ;

Sea P(X = i) = pi para i = 0, 1, 2, 3, ... Se tiene que p1 + p2 + p3 +...+ pn +... = 1

Se define el Valor Esperado de una Variable Aleatoria con distribución discreta

Como:



µ = E(X) = ∑xf (x)

Y para una variable aleatoria con distribución continua como

−∞

µ = E(X) = ∫ xf (x)dx

∞

VARIANZA Se podría usar un argumento parecido para justificar las fórmulas para la varianza de la población 2 σ y la desviación estándar de la población σ. Estas medidas numéricas describen la dispersión o variabilidad de la variable aleatoria mediante el “promedio” o “valor esperado” de las desviaciones cuadráticas de los valores de x a partir de su media µ.

Sea x variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad f(x) y media µ.

La varianza de x es: La varianza de x es: σ2 = E[( - X µ) ] =∑(x - µ)2 f (x)

Sea x variable aleatoria continua con distribución de probabilidad f(x) y media µ.

∞

La varianza de x es: σ2 = E[( X -µ)2 ] = ∫ (x- µ)2 f x dx



DISTRIBUCIÓNDISTRIBUCIÓN BINOMIALLa distribución binomial produce la descripción adecuada a las probabilidades de ocurrencia de los resultados posibles a un experimento, siempre que sean generados por un proceso Bernoulli. Aunque un experimento tenga muchos resultados probables, por ejemplo, el lance de un dado que tiene seis resultados posibles, quizá satisfaga esa primera condición del proceso de Bernoulli si se dicotomizan los resultados: E = obtener un 6, F = no obtener un 6, o también E = número par, F = número impar, etcétera.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVAEn estadística la distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal.

El número de experimentos de Bernoulli de parámetro \theta independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y \theta.

La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICAEn teoría de probabilidad y estadística, la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:

La distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto {1, 2, 3,...} o

La distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto {0, 1, 2, 3,...}.

Cuál de éstas es la que uno llama "la" distribución geométrica, es una cuestión de convención y conveniencia.

DISTRIBUCIÓN DE POISSONTambién llamada distribución exponencial de Poisson, se caracteriza por el número esperado de sucesos en una unidad de tiempo o de espacio.

Puede demostrarse que

Y se usa cuando n es grande, por ejemplo,



DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICALa distribución binomial se basa en los supuestos de que las observaciones son independientes entre sí y de que es un proceso estacionario, por lo que la probabilidad de éxito es constante. Esto resulta válido cuando se realiza un muestreo con reemplazo o cuando la población es infinita; sin embargo, cuando la población es finita, o se realiza un muestreo sin reemplazo, los ensayos sucesivos no son idénticos ni independientes y, por supuesto, la probabilidad de éxito varía de ensayo a ensayo.

En la mayor parte de los problemas de control de calidad, se realiza siempre muestreo sin reemplazo y se utiliza de manera amplia la distribución hipergeométrica.

Como , entonces el modelo hipoergeométrico será:

Donde r = 0, 1, 2,..., n

DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETAEn teoría de la probabilidad, la distribución uniforme discreta es una distribución de probabilidad que asume un número finito de valores con la misma probabilidad.

Si la distribución asume los valores reales , su función de probabilidad es

y su función de distribución la función escalonada

Su media estadística es

y su varianza



DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUAEn teoría de probabilidad y estadística, la distribución uniforme continua es una familia de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, tales que cada miembro de la familia, todos los intervalos de igual longitud en la distribución en su rango son igualmente probables. El dominio está definido por dos parámetros, a y b, que son sus valores mínimo y máximo. La distribución es a menudo escrita en forma abreviada como U [a,b].

Si se restringe y , a la distribución resultante U (0,1) se la llama distribución uniforme estándar.

Una propiedad interesante de la distribución uniforme estándar es que si u1 es una distribución uniforme estándar, entonces 1-u1 también lo es.

El planteamiento radica en el hecho de que la probabilidad se distribuye uniformemente a lo largo de un intervalo. Así: dada una variable aleatoria continua, x, definida en el intervalo [a, b] de la recta real, diremos que x tiene una distribución uniforme en el intervalo [a,b] cuando su función de densidad

para

sea:

para x [a,b].

Su representación gráfica será:

De manera que la función de distribución resultará:



DISTRIBUCIÓN NORMALLa distribución normal es con referencia a la población, sin duda, la más conocida y usada de todas. Muchos fenómenos naturales tienden a dar como resultado una distribución normal. Entre otras, longitud, altura y grosor de animales o plantas; mediciones de cantidades de azúcar en la sangre; cantidad de glóbulos blancos; incidencia de las enfermedades del oído interno y medidas en el aspecto conductista, emocional o psicológico de las acciones, aptitudes o capacidades humanas. La distribución de los errores de medida (desviaciones en relación con un valor específico en los diámetros de pistones, cilindros o cañones de armas de fuego; pesos de productos empaquetados e incluso las longitudes de las cintas métricas) tiende a ser normal, al igual que la distribución del grado de perfección de diversos procesos de producción.

La distribución normal es continua, ahí la variable aleatoria X es capaz de adoptar cualquier valor comprendido en el siguiente intervalo

Dos parámetros describen la distribución normal:

Y se denota como:

La función de densidad normal

es:

Donde

La gráfica de la expresión III es la siguiente:



DISTRIBUCIÓN CHI2 CUADRADO DE PEARSONSi (X1,X2,...,Xn) son n variables aleatorias normales independientes de media 0 y varianza 1, la variable definida como

se dice que tiene una distribución CHI con n grados de libertad. Su función de densidad es

f ( x )= 1

Γ ( n2 )√2nx(n−2 )/2e−x /2 x>0

siendo Γ (P )=∫0

∞X P−1e−x dx

la función gamma de Euler, con P>0. La función de distribución viene dada por

La media de esta distribución es E(X)=n y su varianza V(X)=2n. Esta distribución es básica en un determinado número de pruebas no paramétricas.

Si consideramos una variable aleatoria Z~N(0,1), la variable aleatoria X=Z2 se distribuye según una ley de probabilidad distribución CHI con un grado de libertad

Si tenemos n variable aleatoria independientes Z i~N(0,1), la suma de sus cuadrados respectivos es una distribución CHI con n grados de libertad,

Zi≈N ( 0,1)→∑i=1

n

Z i2≈ χ n

2

La media y varianza de esta variable son respectivamente, E(X)=n y V(X)=2n

n

1i

2i

2n

21n XXXY

∫x

0dx)x(f)xX(P)x(F



DISTRIBUCIÓN t-STUDENTSi (X,X1,X2,...,Xn) son n+1 variables aleatorias normales independientes de media 0 y varianza 2, la variable

Y n=X

√ 1n∑i=1n X i2

tiene una distribución t-Student con n grados de libertad. Su función de densidad es

f ( x )= 1

√nπ

Γ ( n+12 )

Γ ( n2 )(1+ x2

n )n+12 x>0

siendo Γ (P )=∫0

∞X P−1e−x dx

la función gamma de Euler con P>0. La media de la distribución t-Student es E(X)=0 y su varianza V(X)=n/(n-2), la cual no existe para grados de libertad menores que 2.

Esta distribución aparece en algunos contrastes del análisis normal.

La distribución t-Student se construye como un cociente entre una normal Z~N(0,1) y la raíz de una

Chi χn2

independientes. De modo preciso, llamamos distribución t-Student con n grados de libertad, tn a la de una variable aleatoria T,

T= Z

√ 1n χn2

≈tn

y además,

T=

X−μσ

√ 1n∑i=1n ( X i−μi

σ i)2≈tn



Para calcular

P(T≤t )=∫−∞

tf ( t )dt=∫−∞

tΓ ( n+1

2 )Γ ( n2 )√nπ

(1+ x2

n )−(n+1 )/2

dx

Sea un estadígrafo t calculado para la media con la relación

t=( x̄−μ )σ /√n

0,375 n=120

n=2

n=11

0,125

-3,50 0 +3,50



Caso #2Prepare un informe en el que como mínimo, incluya:

1. Por medio de las suposiciones de Seligman, calcule la probabilidad de que la estatura de un solo varón adulto chino escogido al azar sea menor o igual a 154 cm.

Datos:

μ=166,3 cm;σ=3,7cm ; x=154cm(valor abuscar)

Se utiliza la forma de la Distribución normal:

Z= x−μσ

=154 cm−166,3cm3,7 cm

=−3,324cm

Entonces; Z=−3,324=0,000450087=0 ,045%

R/ta. La probabilidad que la estatura de un solo varón escogido al azar sea ≤ 154 cm es de ~ 0,045%.

2. De igual manera, calcule la probabilidad de que la estatura de un solo varón adulto chico escogido al azar sea mayor a 157 cm.

Datos:

μ=166,3 cm;σ=3,7cm ; x=157cm(valor abuscar)

Se utiliza la forma de la Distribución normal:

Z= x−μσ

=157cm−166,3cm3,7 cm

=−2,5135cm

Entonces; Z=−2,5135=0,006036558=0,9939%

R/ta. La probabilidad que la estatura de un solo varón escogido al azar sea ≤ 157 cm es de ~ 99,39%.

3. Los resultados de la pregunta 1, ¿concuerdan con las probabilidades de Seligman? No, “solo 1 en 40 es decir 2,5% tendrían 154 cm de estatura o menos” de acuerdo a la

operación el valor es de 0,045%.



4. Comente acerca de la validez de las suposiciones de Seligman ¿Hay algún error básico en su razonamiento?

Para calcular estas probabilidades Seligman advierte que no existe el equivalente chino del Servicio de Salud de países como Estados Unidos y por tanto, es difícil obtener las estadísticas de salud de la población actual china.

Sin embargo, afirma que “en general se sostiene que la longitud de un niño al nacer representa el 28,6% de su estatura final” Esta afirmación debe tener un margen de error muy alto puesto que no es una medida exacta sino una suposición.

5. Según criterios estadísticos se considera que un individuo es de estatura alta si supera el promedio en más de 2 desviaciones estándar y de estatura baja si es inferior al promedio por más de 2 desviaciones estándar. Usando las suposiciones de Seligman:

a. Calcule la probabilidad de que un varón adulto chino sea considerado como de estatura alta

b. Calcule la probabilidad de que un varón adulto chino sea considerado como de estatura baja.

(μx−2σ ≤x ≤μx+2σ )

P=166,3−2 (3,7 )−166,3

3,7≤ Z≤

166,3+2 (3,7 )−166,33,7

a. Desarrollo:

P (−2<z )=1−0.022750132=0.97724

b. desarrollo:

P ( z<2 )=0.977249868

6. Con base en los resultados anteriores, argumente si considera o no que Deng Xiaping tomo en cuenta la estatura al elegir a su sucesor.

La toma de la decisión aunque se fundamenta en los valores que se muestran en el artículo es difícil finalmente justificarlo, ya que las probabilidades para que un varón adulto tenga la altura máxima esta sobre el 97,72% de posibilidades, osea que las razones por las cuales se toma la decisión no se basan por el tamaño, sino de otro carácter.



BIBLIOGRAFÍAPérez-Tejada, Haroldo Elorza, 2008, Estadística para las ciencias sociales, del comportamiento y de la salud 3a. edición

http://latinoamerica.cengage.com/

Distribución Uniforme Discretahttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_uniforme_discreta

Distribución Uniforme Continuahttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_uniforme_continua

Distribución Geométricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_geom%C3%A9trica

Distribución Binomial Negativahttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial_negativa

11. Funciones de Distribución Especialeshttps://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CB4QFjAAahUKEwjDkJHBgvPIAhUI4iYKHYFwDiw&url=http%3A%2F%2Faprendeenlinea.udea.edu.co%2Flms%2Fmoodle%2Fmod%2Fresource%2Fview.php%3Finpopup%3Dtrue%26id%3D30794&usg=AFQjCNHO2y9CQ6ezbLBoH7Ft7qn5Rp5P4Q&sig2=8XaoqWp_7-S78aJE9-COYw

Variable aleatoria discretahttps://es.wikiversity.org/wiki/Variable_aleatoria_discreta

Definición de variable aleatoria continúahttp://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/B0C2m1t9.htm

Publicado por steve M, jueves, 4 de octubre de 2012, Valor Esperado y Varianzahttp://edwardmoralesz.blogspot.com/2012/10/valor-esperado-y-varianza.html

Modelos de Probabilidad IIIhttps://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/modelos3.htm



https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/modelos3.htm

http://edwardmoralesz.blogspot.com/2012/10/valor-esperado-y-varianza.html

http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/B0C2m1t9.htm

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https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CB4QFjAAahUKEwjDkJHBgvPIAhUI4iYKHYFwDiw&url=http%3A%2F%2Faprendeenlinea.udea.edu.co%2Flms%2Fmoodle%2Fmod%2Fresource%2Fview.php%3Finpopup%3Dtrue%26id%3D30794&usg=AFQjCNHO2y9CQ6ezbLBoH7Ft7qn5Rp5P4Q&sig2=8XaoqWp_7-S78aJE9-COYw



https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial_negativa

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_geom%C3%A9trica

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_uniforme_continua

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_uniforme_discreta

http://latinoamerica.cengage.com/

Fase 2 Probabilidad

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