Facultad Regional Mendoza. UTN Álgebra y Geometría Analítica … · 2014. 2. 13. · Facultad...
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Trabajo Práctico N°9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA
Ejercicio 1:
Halle la ecuación normal y general de la circunferencia que tiene centro en (- 2; 3) y que pasa por el punto ( 1; -1). Grafique. Ejercicio 2:
Analice la deducción de las expresiones que figuran en el cuadro a partir de la gráfica dada.
R
L
R L
y
p/2
h
k
x
F V
p/2
●
h
k
x
F
V
y
ECUACIÓN CANÓNICA
2 p ( x – h ) = ( y – k)²
EJE FOCAL //
EJE X
VÉRTICE
V( h; k) Ecuación de la DIRECTRIZ x = h – p/2
FOCO
F(h+p/2; k) LADO RECTO LR = 2p.
● p/2
DIRECTRIZ
p/2 DIRECTRIZ
EJE FOCAL
ECUACIÓN CANÓNICA
2 p ( y – k ) = ( x – h)²
EJE FOCAL //
EJE Y
VÉRTICE
V( h; k) Ecuación de la DIRECTRIZ y = k – p/2
FOCO
F(h; k+p/2) LADO RECTO LR = 2p.
EJE FOCAL EJE FOCAL EJE FOCAL
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Ejercicio 3:
Halle la ecuación normal y general de la parábola cuyo vértice es el puntoV( - 4, 3) y su foco es F (- 1; 3). Represente gráficamente. Ejercicio 4:
Las torres de una línea de alta tensión están separadas 100 m y tienen una altura de 16 m. Los cables de la línea no deben estar a menos de 6 m sobre el nivel del suelo. Halle la ecuación de la parábola que determinan los cables. Indique la altura de un punto que está situada a 20 m del vértice. [Observación: Un cable que cuelga entre dos postes describe una curva llamada “catenaria”, pero en la práctica puede calcularse aproximadamente como una parábola.]
Ejercicio 5:
Analice la deducción de las expresiones que figuran en el cuadro a partir de la gráfica dada.
R
L
A`
B`
B
AA` b
a
c h k
y
x
F
F` ●
EJE FOCAL // EJE X
ECUACIÓN CANÓNICA
1)()(
2
2
2
2
=−+−b
ky
a
hx
CENTRO C( h, k) VÉRTICES
A( h + a; k ) A`( h – a; k ) B( h; k + b ) B`( h; k – b )
SEMIEJES MAYOR: a MENOR : b
FOCOS:
F( h + c; k ) F`( h – c; k )
SEMIDISTANCIA FOCAL
c FÓRMULA DE CÁLCULO
a2 = b²+ c²
EXCENTRICIDAD a
ce = LADO RECTO
a
bLR
22=
C ●
EJE FOCAL
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Ejercicio 6:
Halle la ecuación normal de la elipse con eje focal paralelo al eje y, con centro C ( 1, 1 ), que tiene uno de sus vértices en A ( 1, 6 ) y cuya excentricidad es 3/5. Represente gráficamente. Ejercicio 7:
Un río es cruzado por una carretera por medio de un puente cuyo arco central tiene la forma de media elipse. En el centro del arco la altura es de 20 m. El ancho total del arco elíptico es de 50 m. a) Determine la ecuación de la elipse que describe dicho puente. b) A una distancia de 5 m de cada uno de los pilares, se encuentran estructuras de protección para los mismos. ¿Cuál es la altura del arco del puente en correspondencia con estos elementos?
R L
y
B` B
A
A`
b
a c
h k
x
F ●
F` ●
EJE FOCAL // EJE Y
ECUACIÓN CANÓNICA
1)()(
2
2
2
2
=−+−a
ky
b
hx
CENTRO C( h, k) VÉRTICES
A( h; k + a ) A`( h; k – a ) B( h + b; k ) B`( h – b; k )
SEMIEJES MAYOR: a MENOR : b
FOCOS:
F( h; k + c ) F`( h; k – c )
SEMIDISTANCIA FOCAL
c FÓRMULA DE CÁLCULO
a2 = b²+ c²
EXCENTRICIDAD a
ce = LADO RECTO
a
bLR
22=
EJE FOCAL
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Ejercicio 8:
Analice la deducción de las expresiones que figuran en el cuadro a partir de la gráfica dada.
Ejercicio 9:
Halle la ecuación de la hipérbola con centro en C(4;2), con uno de sus focos en F( - 6; 2) y con excentricidad e = 5/4. Represente gráficamente.
R L
B’ k
B
x
F ●
y
A’ k
B B’
Aa b
c
h
x F`
F
●
●
y
F`
A’ ●
b a
h A
c
x
EJE FOCAL // EJE X
ECUACIÓN CANÓNICA
1)()(
2
2
2
2
=−−−b
ky
a
hx
CENTRO C( h, k) VÉRTICES
A( h + a; k ) A`( h – a; k ) B( h; k + b ) B`( h; k – b )
SEMIEJES REAL: a
IMAGINARIO: b FOCOS:
F( h + c; k ) F`( h – c; k )
SEMIDISTANCIA FOCAL
c FÓRMULA
DE CÁLCULO
c2 = a²+ b²
EXCENTRICIDAD a
ce = LADO
RECTO a
bLR
22=
ECUACIÓN ASÍNTOTAS khxa
by +−±= )(
EJE FOCAL // EJE Y
ECUACIÓN CANÓNICA
1)()(
2
2
2
2
=−−−b
hx
a
ky
CENTRO C( h, k) VÉRTICES
A( h; k + a ) A`( h; k – a ) B( h + b; k ) B`( h – b; k )
SEMIEJES REAL: a
IMAGINARIO: b FOCOS:
F( h; k + c ) F`( h; k – c )
SEMIDISTANCIA FOCAL
c FÓRMULA
DE CÁLCULO
c2 = a²+ b²
EXCENTRICIDAD a
ce = LADO
RECTO a
bLR
22=
ECUACIÓN ASÍNTOTAS khxb
ay +−±= )(
EJE FOCAL
L
R
EJE FOCAL
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Ejercicio 10:
Un barco envía una señal de auxilio en el momento en el que se encuentra a 100 millas de la costa. Dos estaciones guardacostas Q y R, ubicadas a 200 millas de distancia entre sí, reciben la señal. A partir de la diferencia entre los tiempos de recepción de la señal, se determina que la nave se encuentra 160 millas más cerca de la estación R que de la estación Q. Elija un sistema de referencia apropiado e indique las coordenadas correspondientes a la ubicación de la embarcación. Represente gráficamente.
Ejercicio 11:
Dadas las ecuaciones de las siguientes cónicas, encuentre su ecuación normal, determine sus elementos principales y grafique. Escriba la ecuación trasladada respecto de las coordenadas del nuevo sistema.
a) 9 y2 + 4 x2 – 18 y – 27 = 0
b) x2 + 4 x – 4 y + 16 = 0
c) y2 – x2 + 4 y + 2 x – 1 = 0
d) y2 + 2 x – 10 y + 23 = 0 Ejercicio 12:
Dadas las siguientes ecuaciones:
i) 5 x2 - 4 x y + y2 – 36 = 0
ii) 4 x y – 3 2 x + 2 y – ½ = 0
iii) x2 - 2 x y + y2 – 2 y – 2 x = 0
iv) x y – 2 = 0
a) Exprese la ecuación en forma matricial b) Identifique la cónica a partir de los valores propios c) Encuentre la matriz que diagonaliza ortogonalmente a la matriz de la forma cuadrática
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d) Verifique que la matriz hallada representa una rotación e) Exprese la ecuación referida al nuevo sistema rotado o rototrasladado f) Halle el ángulo de rotación g) Grafique
ii) 4 x y – 3 2 x + 2 y – ½ = 0
1) Forma matricial
[ ] [ ] [ ] 02/122302
20=−+
−+
y
x
y
xyx , siendo A =
02
20
2) Valores y vectores propios de A
0402
2 2 =−⇒=−
−λ
λλ
22 21 −== λλ y
Para 21 =λ
=
−−
0
0
22
22
y
x - 2 x + 2 y = 0 x = y v1 =
x
x
Para 22 −=λ
=
0
0
22
22
y
x 2 x + 2 y = 0 x = - y v1 =
−x
x
3) La matriz P para la diagonalización ortogonal es : P =
−
21
21
21
21
La matriz diagonal semejante a la matriz de la forma cuadrática es: D = P-1 A P =
− 20
02
4) Considerando que X = P X´, la nueva ecuación matricial es:
[ ] [ ] [ ] 02/1´
´
21
21
21
21
223´
´
21
21
21
21
02
20
21
21
21
21
´´ =−+
−−+
−
− y
x
y
xyx
SOLUCIÓN:
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[ ] [ ] [ ] 02/1´
´
21
21
21
21
223´
´
20
02´´ =−+
−−+
− y
x
y
xyx
2 x´2 – 2 y´2 – 2 x´ + 4 y´ = 1/2 2 ( x´2 – x´ ) – 2 ( y´2 – 2 y´ ) = ½ 2 ( x´2 – x´ + ¼ - ¼ ) – 2 ( y´2 – 2 y´ + 1 – 1 ) = 1/2 2 ( x´ – ½ )2 – ½ – 2 ( y´ – 1)2 + 2 = ½ 2 ( x´ – ½ )2 – 2 ( y´ – 1)2 = - 1 - 2 ( x´ – ½ )2 + 2 ( y´ – 1)2 = 1
5) La ecuación normal de la cónica es: 12/1
)1´(
2/1
)´( 222
1
=−+−− yx
▪ Tipo de cónica: Hipérbola ▪ Centro: C ( ½; 1) [ C (h; k) ]
▪ Semiejes: a = b = 1/2 ▪ Semidistancia focal: c = 1 [ c2 = a2 + b2 ]
▪ Vértices: A ( ½ ; 1 + 2/1 ) A´ ( ½ ; 1 - 1/ 2 ) [ A ( h; k ± a ) ]
B ( ½ + 1/ 2 ; 1 ) B´ ( ½ - 1/ 2 ; 1 ) [ B ( h ± b; k ) ] ▪ Focos: F ( ½ ; 2 ) F´( ½ ; 0 ) [ F ( h; k ± c )]
▪ Lado recto: LR = 2 [ LR = 2 b2/a ]
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Ejercicio 13:
Analice las relaciones que existen entre las gráficas dadas y las ecuaciones indicadas.
Hiperboloide de una hoja
Hiperboloide de dos hojas
Elipsoide
Superficie cónica
Paraboloide elíptico
Paraboloide hiperbólico
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Cilindro elíptico
12
2
2
2
=+b
y
a
x
Cilindro hiperbólico
12
2
2
2
=−b
x
a
y
Cilindro parabólico
2yax = Cilindro circular
222 ayx =+
Ejercicio 14:
Halle los elementos de la siguiente cuádrica e identifique el nombre:
SOLUCIÓN:
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Ejercicio 15:
Dada la siguiente ecuación:
144 x2 + 100 y2 + 81 z2 – 216 x z – 540 x – 720 z = 0
a) Exprese la ecuación en forma matricial. b) Encuentre la matriz que diagonaliza ortogonalmente a la matriz de la forma cuadrática. c) Exprese la ecuación referida al nuevo sistema rotado o rototrasladado.
Dada la ecuación de la cuádrica:
a x2 + b y2 + c z2 + d xy + e xz + f yz + g x + h y + i z + j = 0
expresamos dicha ecuación en forma matricial:
XT A X + K X + [ j ] = O
Siendo:
=cfe
fbd
eda
A
2/2/
2/2/
2/2/
[ ]ihgK=
=z
y
x
X
a)
[ ] [ ] 07200540
810108
01000
1080144
=
−−+
−
−
z
y
x
z
y
x
zyx
Con
−
−=
810108
01000
1080144
A y [ ]7200540 −−=K
b) Buscamos los valores propios:
0
810108
01000
1080144
=−−
−−−
=−λ
λλ
λ IA
( 144 - λ ) ( 100 - λ ) ( 81 - λ ) – 1082 . ( 100 - λ ) = 0
( 100 - λ ) ( λ² - 225λ+ 11664 – 1082 ) = 0
( 100 - λ ) ( λ² - 225λ) = 0
λ1 = 0 λ2 = 100 λ3 = 225
SOLUCIÓN:
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λ1 = 0
=
−
−
0
0
0
810108
01000
1080144
c
b
a
=+−=
=−
081108
0100
0108144
ca
b
ca
a = 3/4 c ; b = 0 ; v1 =
4
0
3
;
=5/4
0
5/3
ˆ1v
λ2 = 100
=
−−
−
0
0
0
190108
000
108044
c
b
a
=−−=−
019108
010844
ca
ca a = c = 0 ; b ∈ IR; v2 =
0
1
0
;
=0
1
0
ˆ2v
λ3 = 225
=
−−−
−−
0
0
0
1440108
01250
108081
c
b
a
=−−=−
=−−
0144108
0125
010881
ca
b
ca
a = - 4/3 c ; b = 0 ; v3 =
−
3
0
4
;
−=
5/3
0
5/4
3̂v
P =
−
5/305/4
010
5/405/3
P - 1 =
− 5/305/4
010
5/405/3
c) Reemplazando X por P X’
[ ] [ ]
−−−+
'
'
'
5/305/4
010
5/405/3
7200540
'
'
'
22500
01000
000
'''
z
y
x
z
y
x
zyx
0'900'225'100 22 =−+ xzy
0'36'9'4 22 =−+ xzy PARABOLOIDE ELÍPTICO
4
'
9
''
22 zyx +=
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