UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

ASIGNATURA: ÁNALISIS DE SISTEMAS Y SEÑALES. DOCENTE: M. I. ELIZABETH FONSECA CHÁVEZ. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE, Z Y FOURIER

INTEGRANTES: ALCANTARA ALCIBIA ANTONIO ACOSTA GONZÁLEZ OCTAVIO

CAREAGA MOYA JOSUÈ ANTONIO MARTÍNEZ SÁNCHEZ ANA MARÍA

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Método para hallar la Antitransformada de Laplace:

Hallar L-1 { (3s + 7) / (s2 - 2s - 3)}

Observar el grado de los Como se ve, es de los polinomios

L-1 { P(s)/ Q(s)}, donde P(s) = 3s + 7 y Q(s) = s2 - 2s - 3; se puede observar que el grado de

Q(s) > P(s).

El polinomio Q(s) se puede expresar como s2 - 2s - 3 = (s+1)(s-3). Entonces:

3s + 7 3s + 7 A B (1)

s2 - 2s - 3 (s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1

Multiplicando por (s - 3)(s + 1) se obtiene:

3s + 7 = A (s + 1) + B (s - 3) = (A + B)s + A - 3B (2)

Igualando los coeficientes de las potencias iguales de s a ambos lados de la ecuación resultante

(2), hallo los valores de los coeficientes A y B:

A + B = 3

A - 3B = 7

Calculando, resulta A = 4 y B = -1. Reemplazando en (1) :

3s + 7 A B 4 1 (3)

(s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1 s - 3 s + 1

Para hallar la Antitransformada de Laplace, se busca en la Tabla de Transformadas de Laplace y

se reemplazan los términos:

L -1 3s + 7 L -1 4 L -1 1

(s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1

4 L -1 1 L -1 1

s - 3 s + 1

f (t) = 4 e 3t - e - t

1.-FACTORES LINEALES NO REPETIDOS .

L–1 })()({

sHsG Donde L–1 }

)()({

sHsG = L–1 {

asA

} + L–1 { w(s) }

= Ae-at + w(t) Donde: H(s) contiene un factor lineal (s – a) por lo tanto tendrá una constante A, w(s) representa los términos restantes.

Aplicando la transformada inversa de Laplace, obtenemos la forma de f(t), donde las raíces de H(s) o los polos de F(s), son los exponentes de los términos exponenciales y dan la forma de la respuesta transitoria:

Ejemplo 1.

L–1

)32(43

2

2

sssss = L–1

)1)(3(432

sssss = L–1

sA + L–1

3sB + L–1

1sC =

H(s) s(s2 – 2 s – 3) = s2 – 2 s2 – 3 s H ’(s) = 3s2 – 4s – 3

A = )(')(

aHaG =

1_,3_,02

2

34343

sssssss B =

)(')(

bHbG C =

)(')(

cHcG

= tt ee 2

31

34 3

Ejemplo 2. L-1 ____3s + 7___ , s2 - 2s - 3 ____3s + 7___ = _ 3s + 7_ = __A__ + __B__ s2 - 2s - 3 (s - 3) (s + 1) s - 3 s + 1 Multiplicando por (s – 3)(s + 1) obtenemos 3s + 7 = A(s + 1) + B(s – 3) = (A + B)s + A – 3B

Igualando los coeficientes, A + B = 3 y A – 3B = 7; entonces A = 4, B = -1, _ 3s + 7_ = __4__ - __1__ (s - 3) (s + 1) s - 3 s + 1 y L-1 ___3s + 7___ = 4 L-1 _1_ - L -1 _1_ (s – 3)(s + 1) s – 3 s + 1 = 4 e3t - e-t

2. FACTORES LINEALES REPETIDOS

Ejemplo: F(s)= 1 = A13 + A12 + A11 + A2 (s+2)3(s+3) (s+2)3 (s+2)2 s+2 s+3 La solución como función del tiempo es: f(t) = A13 t2 e-2t + A12t e-2t + A11e-2t + A2 e-3t 2 Las constantes son: A13 = [(s+2)3*F(s)] = [ (s+2)3 ] = 1 s=-2 (s+2)3(s+3) s=-2 A12 = d[(s+2)3*F(s)] = d [ (s+2)3 ] = [ -1 ] = -1 ds s=-2 ds (s+2)3(s+3) s=-2 (s+3)2 s=-2 A11 = 1 d2[(s+2)^3*F(s)] = 1 d [ -1 ] = 1 2 ds s=-2 2 ds (s+3)2 s=-2 A2 = [(s+3)*F(s)] = [ (s+3) ] = -1 s=-3 (s+2)3(s+3) s=-3

La solución queda: f(t) = t2 e-2t – t e-2t + e-2t - e-3t

2 Otro ejemplo: L-1 5s2 – 15s – 11 , (s + 1)(s – 2)3

5s2 – 15s – 11 = _A + _B_ + _C__ + _D__ (s + 1)(s – 2)3 s+1 (s – 2)3 (s – 2)2 s – 2 A = Lím 5s2 – 15s – 11 = -1 s-1 (s – 2)3 3 B = Lím 5s2 – 15s – 11 = -7 s 2 s + 1

5s2 – 15s – 11 = -1/3 + -7_ + _C__ + _D__ (s + 1)(s – 2)3 s+1 (s – 2)3 (s – 2)2 s – 2 11 = _-1 + __7_ + __C_ -__D__ , 8 3 8 4 2 21 = _-1 + 7 + C - D 2 6 es decir, 3C – 6D = 10 y 3C – 3D = 11, de donde C = 4, D = 1/3. Así L-1 5s2 – 15s – 11 = L-1 -1/3 + -7_ + _4__ + _1/3__ (s + 1)(s – 2)3 s + 1 (s – 2)3 (s – 2)2 s – 2 = _-1 e-t - __7_ t2 e2t + 4 te2t + __1__ e2t

3 2 3

3. FACTOR COMPLEJO (S – A) NO REPETIDOR Ejemplo. L-1 __ 2s___ = s1,2 = -b ± √ b2 – 4 ac s2 + 2s + s 2ª = -2 ± √ 22 – 4(1)(5) = -2 ± √4 – 20 = -2 ± √-16 = -2 ± √16(-1) = - 2 ± 4 i = 2(-1 ± 2i ) = -1 ± 2 i 2 2 L-1 __ 2s___ = L-1 As + B_ = 1 e-t [4 cos at – 2sen st] s2 + 2s + s (s + 1)2 + 4 2 = 2 e-t cos 2t – e-t sen 2t

Ra (s) = (s + 1)2 + 4 _ 2s___ s2 + 2s + s s = (-1 + 2i) Ra = (-1 + 2i) = - 2 + 4t sa ta 4. FACTOR COMPLEJO (S – A)2 REPETIDOR

Ejemplo: L-1 s2 – 6s + 1 (s2 – 4s + 5)2

(s2 – 4s + s)2 = 0 (s2 – 4s + s) = 0 [(s – 2)2 + 1]2 ∞ = 2 ß = 1 Ra(s) = [(s – 2)2 + 1]2 _s2 – 6s + 1_ =(2 + 1)2 – t(2 + i) + 7 (s2 – 4s + s)2 s = 2+ i Real + i RaaT Sa Ta

Ra(s) = 0 – 2 Sa Ta Ra(s) = s2 – 6s + 1 Ra’(s) = 2s– 6 = 2(2 + i) - 6 = -2 + 2i Sa* = - 2 s = 2 + i Ta* = 2 L-1{ y } = 1 e∞t [(-2 – Sa* - ßSat) cos ßt + (Sa + ßTa* = 2t) sen ßt] + L-1 (w) 2 ß3

TRANSFORMADA Z INVERSA

Sea:

Calcular la transformada z inversa. Solución. Usamos la descomposición en fracciones parciales:

Lo que nos lleva a la siguiente igualdad:

Desarrollando el lado izquierdo:

Igualando coeficientes de los términos semejantes, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

El cual tiene la siguiente solución:

Sustituyendo estos valores tenemos que:

Y de aquí que:

Considerando que la región es , y de acuerdo a las propiedades de la ROC, concluimos que la señal debe ser una señal derecha. Aora bien, sabemos que,

siempre que: De lo que concluimos que la transformada z inversa es:

TRANSFORMADA DE FOURIER

Ejemplo Calcular

Solución. Completando cuadrados en el denominador, tenemos que:

Ahora, usamos la propiedad de linealidad:

Finalmente, podemos ya usar la propiedad de traslación en la frecuencia:

Por lo tanto, concluimos que:

También se pueden combinar varias propiedades, como en el siguiente: Ejemplo Calcular

Solución. Obviamente, primero aplicamos la propiedad de linealidad y algo de álgebra:

Enseguida aplicamos la propiedad de traslación en la frecuencia:

Finalmente, aplicamos la propiedad de traslación en el tiempo:

Por lo tanto, concluimos que: