Factorización y Ecuaciones - UCE
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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA
EDUCACIÓN
CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES,
MATEMÁTICA Y FÍSICA
Propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3: Factorización y ecuaciones,
desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el
Ministerio de Educación, quinta impresión junio del 2018
Trabajo de titulación (modalidad proyecto de investigación) previo a la obtención del Título
de Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención: Matemática y Física
AUTOR: Bahamonde Mendoza Bryan Mauricio
TUTOR: MSc. Paco Humberto Bastidas Romo
Quito, 2020
ii
DERECHOS DE AUTOR
Yo, Bryan Mauricio Bahamonde Mendoza en calidad de autor y titular de los derechos morales y
patrimoniales del trabajo de titulación Propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3:
Factorización y ecuaciones, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y
publicado por el Ministerio de Educación, quinta impresión junio del 2018, modalidad proyecto
factible, de conformidad con el Art. 114 del CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA SOCIAL
DE LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E INNOVACIÓN, concedo a favor de la Universidad
Central del Ecuador una licencia gratuita, intransferible y no exclusiva para el uso no comercial de la
obra, con fines estrictamente académicos. Conservo a mi favor todos los derechos de autor sobre la
obra, establecidos en la normativa citada.
Así mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la digitalización y
publicación de este trabajo de titulación en el repositorio virtual, de conformidad a lo dispuesto en el
Art. 144 de la Ley Orgánica de Educación Superior.
El autor declara que la obra objeto de la presente autorización es original en su forma de expresión y
no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la responsabilidad por cualquier reclamación
que pudiera presentarse por esta causa y liberando a la Universidad de toda responsabilidad.
Firma:
Bryan Mauricio Bahamonde Mendoza
CC. 1724054752
iii
APROBACIÓN DEL TUTOR
Yo, Paco Humberto Batidas Romo en mi calidad de Tutor del Trabajo de Titulación, presentado por
BRYAN MAURICIO BAHAMONDE MENDOZA, para optar por el Grado de Licenciado en
Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matemática y Física; cuyo título es: PROPUESTA
METODOLÓGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA UNIDAD 3: FACTORIZACIÓN Y
ECUACIONES, DESARROLLADA EN EL TEXTO DE MATEMÁTICA PARA EL 9NO AÑO
DE EGB, Y PUBLICADO POR EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN, QUINTA IMPRESIÓN
JUNIO DEL 2018, considero que el mismo reúne los requisitos y méritos necesarios en el campo
metodológico y epistemológico, para ser sometido a la evaluación por parte del tribunal examinador
que se designe, por lo que APRUEBO, a fin de que el trabajo sea habilitado para continuar con el
proceso de titulación determinado por la Universidad Central del Ecuador.
En la ciudad de Quito, a los 18 días del mes de noviembre del 2020.
_______________________________
MSc. Paco Humberto Bastidas Romo
DOCENTE-TUTOR
C.C. 1703608016
iv
DEDICATORIA
Con todo mi corazón.
Dedico este trabajo de investigación a mi familia, principalmente a mis padres, ANTONIO
BAHAMONDE Y MARÍA TRANSITO MENDOZA, ellos son los pilares fundamentales, quienes
siempre me han apoyado y guiado en cada etapa del camino y la razón de seguir adelante.
A mis hermanos, siempre los he considerado un ejemplo de todo lo que se debe y no se debe hacer,
ellos han estado allí de una u otra manera cuando los necesito, con esta dedicación espero que
recuerden que siempre estaré allí cuando lo necesiten.
A mi compañera sentimental, que ha estado a mi lado aun por muy oscuros que sean los tiempos, a
ella quien me ha visto caer y levantarme, errar y corregirme en mi formación universitaria y que
siempre me da su apoyo incondicional.
A mis amigos, compañeros dentro y fuera del aula, les tendré siempre presentes en mi vida.
A mis maestros, quienes me compartieron su luz de conocimiento formando cuerpo, mente y alma.
A Dios, el ser supremo que me dio la bendición de poder llegar hasta aquí y de continuar.
De lo más profundo mi corazón. Bryan Mauricio Bahamonde Mendoza
v
AGRADECIMIENTOS
A mi tutor, MSc. Paco Bastidas Romo, por su dedicación y acompañamiento en todo este proceso,
desde el comienzo de la carrera hasta la elaboración y culminación de este proyecto.
A la prestigiosa Universidad Central del Ecuador, a su facultad de Filosofía, letras y Ciencias de la
Educación y en especial a la Carrera de Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Matemática y
Física por darme la oportunidad de estudiar este hermosa profesión.
A todos los docentes que en el camino de esta carrera inculcan en sus estudiantes conocimientos,
valores, reflexiones y anécdotas que siempre recordare.
A mis padres, los primeros maestros, quienes me enseñaron a ser una persona de bien, a esforzarme y
salir adelante a pesar de cualquier adversidad.
Con un cariño especial a compañera sentimental, que ha estado en siempre apoyándome y confió
plenamente en que todo el esfuerzo valdría la pena para completar juntos esta meta.
Con mi más sincero agradecimiento. Bryan Bahamonde Mauricio Mendoza
vi
ÍNDICE DE CONTENIDOS
DERECHOS DE AUTOR.................................................................................................................... II
APROBACIÓN DEL TUTOR ............................................................................................................ III
DEDICATORIA ................................................................................................................................ IV
AGRADECIMIENTOS ....................................................................................................................... V
ÍNDICE DE CONTENIDOS ............................................................................................................. VI
LISTA DE TABLAS.......................................................................................................................... XI
LISTA DE GRÁFICOS .................................................................................................................... XII
LISTA DE ILUSTRACIONES ........................................................................................................ XIII
LISTA DE ANEXOS ...................................................................................................................... XIV
RESUMEN ........................................................................................................................................ XV
ABSTRACT .................................................................................................................................... XVI
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................ 1
CAPÍTULO I ......................................................................................................................................... 3
EL PROBLEMA ................................................................................................................................... 3
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................................................................... 3
1.1.1. CONTEXTUALIZACIÓN HISTÓRICO – SOCIAL............................................................................. 3
1.1.1.1. NECESIDADES DE LA EDUCACIÓN CONTEMPORÁNEA ............................................................ 3
1.1.1.2. Necesidad de la formación del docente ....................................................................... 4
1.1.1.3. Necesidad para la enseñanza de matemática ............................................................... 5
1.1.1.4. Análisis documental .................................................................................................... 6
1.1.1.4.1. Acerca de la “Organización del contenido” ......................................................... 6
1.1.1.4.2. Acerca de los “Elementos funcionales y didácticos” ........................................... 6
1.1.1.4.3. Acerca de la “Conceptualización y planteamiento de ejercicios” ........................ 7
1.1.1.5. ¿Cuál es el problema o debilidad? ............................................................................... 7
1.1.2. Análisis Crítico. .................................................................................................................. 7
1.1.2.1. Causas – Consecuencias .............................................................................................. 8
1.1.3. Prognosis ............................................................................................................................ 9
1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ................................................................................................ 10
vii
1.3. PREGUNTAS DIRECTRICES. ........................................................................................................ 10
1.4. OBJETIVOS. ............................................................................................................................... 11
1.4.1. Objetivo General. ............................................................................................................ 11
1.4.2. Objetivos específicos. ....................................................................................................... 11
1.5. JUSTIFICACIÓN.......................................................................................................................... 11
CAPÍTULO II. .................................................................................................................................... 13
2. MARCO TEÓRICO. ....................................................................................................................... 13
2.1. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA ............................................................................................... 13
2.2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA .................................................................................................... 17
2.2.1. Paradigma ......................................................................................................................... 17
2.2.1.1. Paradigma educativo ................................................................................................. 17
2.2.1.1.1. Tipos de Paradigmas Educativos ........................................................................ 18
2.2.1.1.1.1. Paradigma Conductista ................................................................................ 18
2.2.1.1.1.2. Paradigma Humanista ................................................................................. 19
2.2.1.1.1.3. Paradigma Cognitivo ................................................................................... 19
2.2.1.1.1.4. Paradigma Psicogenético constructivista .................................................... 20
2.2.1.1.1.5. Paradigma Sociocultural ............................................................................. 20
2.2.2. Modelos Pedagógicos ....................................................................................................... 21
2.2.2.1. Clasificación de los modelos pedagógicos según De Zubiria Samper ...................... 21
2.2.2.1.1. Modelo Heteroestructurante ............................................................................... 22
2.2.2.1.2. Modelo Autoestructurante .................................................................................. 22
2.2.2.1.3. Modelo Interestructurante .................................................................................. 23
2.2.3. Teorías del Aprendizaje ................................................................................................... 24
2.2.3.1. Tipos de teorías del aprendizaje ................................................................................ 24
2.2.3.1.1. Teoría cognitivista .............................................................................................. 25
2.2.3.1.2. Teoría Sociocultural ........................................................................................... 25
2.2.3.1.3. Teoría Constructivista ........................................................................................ 26
2.2.4. Método Pedagógico ........................................................................................................ 26
2.2.5. Método Didáctico ............................................................................................................ 27
2.2.6. Proceso Didáctico ........................................................................................................... 27
2.2.7 Estrategias didácticas ...................................................................................................... 28
viii
2.2.7.1 Clasificación de estrategias didácticas ....................................................................... 28
2.2.8 Técnicas didácticas ............................................................................................................ 30
2.2.8.1 Clasificación de técnicas didácticas ........................................................................... 31
2.2.9 Textos Escritos .................................................................................................................. 32
2.2.9.1 Clasificación de textos escritos .................................................................................. 33
2.2.9.1.1 Texto único .......................................................................................................... 34
2.2.9.1.2 Texto de consulta ................................................................................................ 34
2.2.9.1.3 Texto complementario ......................................................................................... 34
2.2.9.2 Objetivo de los textos escritos. ................................................................................... 35
2.2.9.3 Características de los textos escritos. ......................................................................... 36
2.3. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS BÁSICOS. ......................................................................................... 36
2.4. FUNDAMENTACIÓN LEGAL. ....................................................................................................... 38
2.4.1. Constitución de la República del Ecuador. ...................................................................... 38
2.4.2. Ley Orgánica de Educación Intercultural LOEI .............................................................. 38
2.4.3. Reglamento general a la ley orgánica de educación intercultural RLOEI ....................... 39
2.5. CARACTERIZACIÓN DE VARIABLES. .......................................................................................... 40
2.5.1 Variable única ................................................................................................................... 40
2.5.2 Dimensiones ...................................................................................................................... 41
CAPÍTULO III .................................................................................................................................... 43
3. METODOLOGÍA ........................................................................................................................... 43
3.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN. ................................................................................................ 43
3.1.1. Enfoques de la investigación ............................................................................................ 43
3.1.1.1. Enfoque cualitativo ................................................................................................... 43
3.1.1.2. Enfoque cuantitativo ................................................................................................. 44
3.1.1.3. Enfoque mixto ........................................................................................................... 44
3.1.2. Modalidad de la investigación .......................................................................................... 45
3.1.2.1. Proyecto factible ........................................................................................................ 45
3.1.3. Nivel de la investigación .................................................................................................. 46
3.1.3.1. Nivel Exploratorio ..................................................................................................... 46
3.1.3.2. Nivel Descriptivo ...................................................................................................... 46
3.1.3.3. Nivel Evaluativo ........................................................................................................ 46
ix
3.1.3.4. Nivel Proyectivo ........................................................................................................ 47
3.1.4. Tipos de investigación ...................................................................................................... 47
3.1.4.1. Investigación Documental ......................................................................................... 47
3.1.4.2. Investigación De campo ............................................................................................ 48
3.1.5. Procedimiento del desarrollo del proyecto de investigación ............................................ 48
3.2. POBLACIÓN Y MUESTRA. .......................................................................................................... 49
3.2.1 Población ........................................................................................................................... 49
3.2.2 Muestra .............................................................................................................................. 49
3.3. OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES. .............................................................................. 49
3.4. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS. ........................................................ 51
3.4.1 Técnicas de recolección de datos. ..................................................................................... 51
3.4.1.1 La Encuesta ................................................................................................................ 52
3.4.2 Instrumentos de recolección de datos. ............................................................................... 52
3.4.2.1 Escala de medición. .................................................................................................... 52
3.5. VALIDEZ Y CONFIABILIDAD DE LOS INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN. ........ 53
3.5.1. Validez de criterio ............................................................................................................ 53
3.5.2. Confiabilidad .................................................................................................................... 54
3.5.2.1 Confiabilidad del instrumento. Método 1 .................................................................. 55
3.5.2.2 Confiabilidad del instrumento. Método 2 .................................................................. 56
3.5.3. Interpretación de los niveles de confiabilidad .................................................................. 56
CAPÍTULO IV .................................................................................................................................... 58
4. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS............................................................... 58
4.1. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE LOS INSTRUMENTOS APLICADOS ..................................................... 58
4.1.1. Dimensión. Arte y diseño ................................................................................................. 59
4.1.2. Dimensión. Organización del contenido .......................................................................... 61
4.1.3. Dimensión. Elementos funcionales .................................................................................. 63
4.1.4. Dimensión. Elementos didácticos .................................................................................... 65
4.1.5. Dimensión. Redacción ..................................................................................................... 66
4.1.6. Dimensión. Ejercicios y cuestionarios ............................................................................ 68
4.2. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN GENERAL DE LAS DIMENSIONES. ................................................. 70
x
CAPÍTULO V ..................................................................................................................................... 73
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .............................................................................. 73
5.1 CONCLUSIONES ......................................................................................................................... 73
5.2 RECOMENDACIONES .................................................................................................................. 74
CAPÍTULO VI .................................................................................................................................... 76
6. PROPUESTA .................................................................................................................................. 76
6.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 76
6.2 JUSTIFICACIÓN........................................................................................................................... 76
6.3 OBJETIVO .................................................................................................................................. 77
6.3.1 Objetivo general ................................................................................................................ 77
6.3.2 Objetivos específicos ......................................................................................................... 78
6.4 MARCO REFERENCIAL ............................................................................................................... 78
6.4.1. Validación del instrumento. ............................................................................................. 79
6.4.2. Confiabilidad del instrumento de factibilidad .................................................................. 79
6.5. CARACTERÍSTICAS DE LA CAPACITACIÓN ................................................................................. 80
6.6. FACTIBILIDAD .......................................................................................................................... 82
6.6.1. Análisis e interpretación de resultados ............................................................................. 83
6.6.2. Factibilidad general. ......................................................................................................... 86
6.7. CAPACITACIÓN ......................................................................................................................... 87
6.7.1 Modelo de trabajo .............................................................................................................. 87
6.7.2 Recursos ............................................................................................................................ 87
6.7.3 Cronograma ....................................................................................................................... 88
6.7.4 Evaluación ......................................................................................................................... 89
6.8 PROPUESTA LIBRO ..................................................................................................................... 89
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................ 90
ANEXOS............................................................................................................................................. 94
xi
LISTA DE TABLAS
Tabla N° 01. Matriz de operacionalización de variables. .................................................................. 50
Tabla N° 02. Escala Estimativa. ......................................................................................................... 53
Tabla N° 03. Validación del instrumento de recolección de datos por parte de expertos. ................. 54
Tabla N° 04. Escala de Confiabilidad. ............................................................................................... 56
Tabla N° 05. Equivalencia porcentual de la escala estimativa. .......................................................... 59
Tabla N° 06. Importancia de la dimensión: Arte y diseño, por parte de los docentes. ...................... 59
Tabla N° 07. Importancia de la dimensión: Organización del contenido, por parte de los docentes. 61
Tabla N° 08. Importancia de la dimensión: Elementos funcionales, por parte de los docentes. ....... 63
Tabla N° 09. Importancia de la dimensión: Elementos didácticos, por parte de los docentes. .......... 65
Tabla N° 10. Importancia de la dimensión: Redacción, por parte de los docentes. ........................... 67
Tabla N° 11. Importancia de la dimensión: Ejercicios y cuestionarios, por parte de los docentes. .. 69
Tabla N° 12. Importancia general de las dimensiones analizadas. .................................................... 71
Tabla N° 13. Validación del instrumento de factibilidad por parte del experto................................. 79
Tabla N° 14. Interpretación de resultados de instrumentos de factibilidad. ...................................... 82
Tabla N° 15. Factibilidad de los factores humanos. ........................................................................... 83
Tabla N° 16. Factibilidad de los factores sociales. ............................................................................ 84
Tabla N° 17. Factibilidad de los factores legales. .............................................................................. 85
Tabla N° 18. Factibilidad general de la capacitación. ........................................................................ 86
Tabla N° 19. Seminario de casos de factorización. Semana 1. .......................................................... 88
Tabla N° 20. Seminario de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Semana 2. .................... 88
xii
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico N° 01. Valores de la distribución porcentual de los indicadores en la dimensión Arte y diseño.
............................................................................................................................................................ 60
Gráfico N° 02. Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Organización
del contenido. ..................................................................................................................................... 62
Gráfico N° 03. Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Elementos
funcionales. ........................................................................................................................................ 64
Gráfico N° 04. Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Elementos
didácticos. ........................................................................................................................................... 66
Gráfico N° 05. Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Redacción.
............................................................................................................................................................ 68
Gráfico N° 06. Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Ejercicios y
cuestionarios. ...................................................................................................................................... 70
Gráfico N° 07. Valores porcentuales de la importancia general de las dimensiones. ........................ 72
xiii
LISTA DE ILUSTRACIONES
Ilustración N° 01. Causas y consecuencias .......................................................................................... 8
Ilustración N° 02. Tipos de Paradigmas Educativos .......................................................................... 18
Ilustración N° 03. Modelos Pedagógicos. .......................................................................................... 21
Ilustración N° 04. Modelo Heteroestructurante. ................................................................................ 22
Ilustración N° 05. Modelo Autoestructurante. ................................................................................... 23
Ilustración N° 06. Modelo Interestructurante. .................................................................................... 23
Ilustración N° 07. Teorías del aprendizaje. ........................................................................................ 24
Ilustración N° 08. Etapas del Desarrollo de Piaget. ........................................................................... 25
Ilustración N° 09. Principios del Método Didáctico. ......................................................................... 27
Ilustración N° 10. Estrategias Didácticas. .......................................................................................... 29
Ilustración N° 11. Técnicas Didácticas. ............................................................................................. 32
Ilustración N° 12. Clasificación de textos escritos. ............................................................................ 33
Ilustración N° 13. Diseño de la Investigación. ................................................................................... 43
xiv
LISTA DE ANEXOS
Anexo N° 01: Instrumento de recolección de datos (Escala estimativa) ........................................... 94
Anexo N° 02: Cálculo del “Alfa de Cronbach” de la escala estimativa. ........................................... 96
Anexo N° 03: Validación de instrumentos de recolección de datos por parte de expertos. ............... 97
Anexo N° 04: Instrumento para determinar la Factibilidad. ............................................................ 106
Anexo N° 05: Calculo del “Alfa de Cronbach” para la factibilidad. ............................................... 108
Anexo N° 06: Validación de instrumentos para determinar la factibilidad. .................................... 109
Anexo N° 07: Matriz de evaluación para la capacitación. ............................................................... 112
Anexo N° 08. Validación de la Propuesta - Texto "factorización y ecuaciones". ........................... 114
Anexo N° 09: Libro de texto “Factorización y Ecuaciones”. .......................................................... 116
xv
TÍTULO: Propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3: Factorización y ecuaciones,
desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio de
Educación, quinta impresión junio del 2018.
Autor: Bryan Mauricio Bahamonde Mendoza
Tutor: MSc. Paco Humberto Bastidas Romo
RESUMEN
La presente investigación pretende analizar y determinar las carencias del texto de matemática de 9no
EGB elaborado por el Ministerio de Educación, principalmente en la unidad 3 “factorización y
ecuaciones” por tal motivo, se analizó varias investigaciones similares que aportaron al contexto del
problema, donde se reconoció la necesidad de actualizar y corregir los textos educativos en sus
diferentes dimensiones. Por consiguiente, se fundamenta una metodología cuantitativa con modalidad
de proyecto factible, enfocado en la elaboración de la propuesta metodológica, la cual se proyecta
como un texto complementario en la enseñanza de matemáticas. Al mismo tiempo, se utilizó la técnica
de encuesta. Ésta fue validada por dos docentes de Matemática y un docente de Lenguaje. En cuanto
al instrumento aplicado, es una escala estimativa dirigida a diversos docentes de instituciones
educativas. Posteriormente, los resultados fueron analizados y tabulados mediante tablas de frecuencia
y representados por gráficos de barras. Asimismo, los resultados ayudaron a responder las preguntas
directrices y redactar las conclusiones. Finalmente, la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”,
desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, publicado por el Ministerio de
Educación - Quinta impresión junio del 2018, presenta sus mayores carencias en el uso de
organizadores gráficos, técnicas de estudio, técnicas audiovisuales y el tipo de vocabulario para la
comprensión de los jóvenes estudiantes. Con respecto a la propuesta, está elaborada detalladamente
en cada título. Además, añade un plan de capacitación para su correcto empleo en instituciones
educativas.
PALABRAS CLAVE: PROPUESTA / METODOLOGÍA / TEXTO / FACTORIZACIÓN /
ECUACIONES / PROBLEMAS DE ECUACIONES
xvi
TITLE: Methodological proposal for Unit 3 instruction: “Factorization and equations”, developed in
the Mathematics text for the 9th year of EGB, and published by the Ministry of Education - Fifth
printing June 2018
Author: Bryan Mauricio Bahamonde Mendoza
Tutor: MSc. Paco Humberto Bastidas Romo
ABSTRACT
This research aims to analyze and determine the shortcomings of the 9th EGB mathematics text
prepared by the Ministry of Education, mainly in unit 3 "factoring and equations", in the same way
several similar investigations that contributed to the context of the problem were analyzed, where the
need to update and correct educational texts in their different dimensions was recognized.
Consequently, a quantitative methodology is based on a feasible project modality focused on the
elaboration of the methodological proposal, which is projected as a complementary text in the teaching
of mathematics. For this purpose, the survey technique was used, which was validated by two
mathematics teachers and one language teacher, the applied instrument is an estimating scale directed
at various teachers from educational institutions. These results were analyzed and tabulated using
frequency tables and represented using bar graphs. These results helped answer the guiding questions
and write the conclusions. In conclusion, unit 3: “Factorization and equations”, developed in the
Mathematics text for the 9th year of EGB, and published by the Ministry of Education - Fifth printing
June 2018, presents its greatest shortcomings in the use of graphic organizers, study techniques,
audiovisual techniques and the type of vocabulary used for the understanding of young students.
Regarding the proposal, it is elaborated in detail in each title and also adds a training plan for its
correct use in educational institutions.
KEYWORDS: PROPOSAL / METHODOLOGICAL / TEXT / FACTORIZATION / EQUATIONS
/ EQUATIONS PROBLEMS
TRANSLATION CERTIFICATE
I ALEJANDRO MONTENEGRO with C.C. 1720196953 English translator with B1 level certify
that the above is a faithful and complete translation into English of the summary present in the
document written in Spanish. Quito, November 11, 2020
1
INTRODUCCIÓN
Los textos educativos proporcionados por el Ministerio de Educación son de gran ayuda para docentes
y estudiantes en todas las instituciones de educación a nivel nacional, los diferentes textos están
fundamentados para cumplir con las disposiciones del curriculum nacional y así mismo con el perfil
de salida del bachillerato, lo que produce que los contenidos a impartirse en las aulas lleguen a ser
extensos, provocando que se recurra a saltarse de ciertos contenidos, a sacrificar elementos
importantes de la calidad técnico pedagógica como son recurso de retro alimentación, técnicas de
aprendizaje además de métodos y estrategias de enseñanza, incluso en la redacción se evidencias fallas
en calidad textual como las terminologías, simbologías y contenido científico.
Por lo expuesto, el propósito de esta investigación es proporcionar a docentes, estudiantes, padres de
familia e instituciones en general un texto que ayude como apoyo en el proceso de enseñanza
aprendizaje, específicamente para la unidad 3 “factorización y ecuaciones” desarrollada en el texto de
9no EGB, publicado por el Ministerio de Educación. Este texto resulta un complemento donde poder
consultar y resolver dudas que pudieron haber quedado en el aula de clase. Así mismo se pretende que
el texto funcione como referencia para posteriores actualizaciones de los textos educativos de
matemática para ello la investigación presenta la modalidad de proyecto factible al presentar una
propuesta viable en donde todo su contenido se desarrolla a lo largo de seis capítulos, los cuales
contienen:
El CAPÍTULO I, constituido por el problema de investigación, en donde se contextualiza las diversas
necesidades por las cuales se realiza la investigación, se presentan las preguntas directrices así como
los objetivos de investigación y la justificación que da forma y pie a continuar con el desarrollo del
siguiente capítulo.
El CAPÍTULO II, presenta el marco teórico, formado por los antecedentes de investigación necesarios
para formar una base donde apoyar las definiciones de paradigma educativo, modelo pedagógico y
teoría de aprendizaje. En este capítulo se empieza a abordar los elementos necesarios que debe
contener un texto educativo y llegar a establecer las dimensiones para analizar el texto en cuestión.
El CAPÍTULO III, expone la metodología utilizada en el desarrollo de la investigación, la cual tiene
un diseño con un enfoque cuantitativo en la modalidad de proyecto factible y netamente proyectivo
2
por la elaboración de la propuesta. El capítulo especifica la población y muestra utilizada, también
incluye las técnicas de recolección de datos con su respectiva validez y confiabilidad, además
determina la matriz de caracterización de variables.
El CAPÍTULO IV, contiene el análisis e interpretación de los resultados, una vez aplicados los
instrumentos de recolección de datos, estos datos proporcionados por diferentes docentes están
representados mediante gráficos de barras que simboliza el porcentaje de pertinencia en que aparecen
las dimensiones analizadas.
El CAPÍTULO V, establece las conclusiones y recomendaciones a las cuales se ha llegado, en la
ejecución de la investigación, presenta una muestra clara y resumida de los resultados de la
investigación.
Posteriormente, el CAPÍTULO VI, presenta los lineamientos generales de la propuesta, una aclaración
de los objetivos que esta conlleva, además incluye un cuadro de jornadas de acompañamiento para
mejorar el uso del texto factorización y ecuaciones.
Finalmente se adiciona la bibliografía, anexos y evidencias de la elaboración del trabajo de
investigación, el cual se visualiza, en la propuesta, como un poyo no solo para docentes y estudiantes,
sino de toda persona que le apasione la educación y las matemáticas para que con ello pueda comenzar
y/o continuar su camino en un apasionante viaje de conocimiento.
3
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA
1.1. Planteamiento del problema
1.1.1. Contextualización histórico – social
1.1.1.1. Necesidades de la educación contemporánea
La presente investigación se basa en el análisis de los textos del Ministerio de Educación,
principalmente el texto de 9° de EGB, en su importancia para el proceso de enseñanza-aprendizaje,
así lo declara Cantoral (2001) declara: “El libro de texto desempeña un papel prioritario en nuestros
sistemas de enseñanza. Lo concebimos como un objeto de representaciones en torno al cual se
organiza toda una estructura imaginaria de saberes didácticos” (p. 18).
De acuerdo con García Blanco (2005) menciona: “los textos comerciales brindan mayor
cantidad de material, actividades y temas concretos para desarrollar, que los textos de matemáticas,
donde los docentes muchas veces realizan modificaciones de las lecciones y los contenidos” (p. 12).
Para Torres & Moreno (2008) afirman:
Se convierte entonces el texto en objeto de investigación y reflexión permanente por parte de
investigadores y educadores, pues son diversas las causas que inciden en el aprendizaje de un
área: la falta de herramientas de investigación, el poco interés en el campo del conocimiento
estudiado, limitaciones culturales como el idioma, las diferencias religiosas, la poca
pertinencia de los textos escolares con las políticas educativas actuales (p. 55).
4
Por lo expuesto, se evidencia qué la utilización de libros de texto es completamente necesaria
para la formación del estudiante, los textos que proporcionan las instituciones educativas, en este caso
los textos del Ministerio de Educación, no se adaptan a la realidad de los procesos didácticos utilizados
dentro y fuera de las aulas, es por ello por lo que tanto docentes y alumnos buscan respaldar los
conocimientos con material externo.
1.1.1.2. Necesidad de la formación del docente
En muchos aspectos la formación docente es muy necesaria, no solo en el conocimiento de la
materia y la pedagogía utilizada, también es importante utilizar de manera correcta los diferentes
materiales proporcionados por las instituciones educativas o el Ministerio de Educación, del mismo
modo en el uso de textos externos donde se pueda buscar recursos, ejemplos y ejercicios. Según
Rodríguez (2014) da a conocer “que el texto escolar lo construye el docente según las necesidades
que detecta en sus grupos, de manera que recurren a múltiples textos donde seleccionan lo que interesa
y lo que se requiere para las necesidades de sus grupos” (p. 240). Fundamentando el contexto de la
presente investigación para lograr la construcción y utilización adecuada de textos educativos, así de
acuerdo con Llivina Lavigne (2011) indica: “Acompañar las propuestas de innovación y reforma
curriculares con materiales desarrollados en torno a propuestas didácticas y textos” (p. 17).
Para Camargo (2008) menciona:
La centralidad de la educación y el conocimiento para promover el desarrollo de las naciones
en el marco de la moderna ciudadanía y de la competitividad internacional coloca a los
maestros en un puesto privilegiado, como actores sociales eje de la producción material y
cultural de la sociedad. La educación, por su parte, está llamada a responder con calidad al
reto de modernizar la sociedad y construir una nación justa y democrática. Una mayor y mejor
concentración del sistema educativo y de la actuación de los educadores en la construcción de
la modernidad y la democracia y en la apropiación de saberes pertinentes a nuestro modelo de
desarrollo significa un incremento en la calidad de la educación (p. 8).
De acuerdo con Fonseca Castro & Castillo Sánchez (2013) afirman: “El docente de
Matemática debe desarrollar, además, conocimientos que le permitan entender el orden lógico de los
contenidos matemáticos según la percepción de los matemáticos puros y acorde con los libros de texto
5
y planes de estudios” (p. 5). De este modo al momento de la formación docente, el texto utilizado
tiene una importancia permanente, como herramienta utilizada en la educación de sus alumnos, por
ello la prioridad de usar textos con contenido pedagógico, con ejercicios al nivel adecuado para
docentes y estudiantes y más que todo con estrategias didácticas y la materia correctamente redactada.
1.1.1.3. Necesidad para la enseñanza de matemática
El modelo de enseñanza tiene muchos aspectos relevantes a tratar, pero entre todos ellos el
texto es uno de los más importantes, siempre que estos textos mantengan una relación uniforme con
los perfiles de salida del bachillerato. Así lo plantea Rodríguez (2014):
El desarrollo de criterios en torno a contenidos de libros escolares que apuntan o no al
desarrollo de las competencias matemáticas, así como de las acciones complementarias que
son necesarias de realizar para que a través de dichos contenidos se puedan desarrollar otras
competencias, como la argumentación y la comunicación matemática (p. 65)
Mientras Fernández Palop et al. (2017) analizan:
Se precisa mayor investigación sobre el libro de texto, en particular, sobre el libro de texto de
matemáticas, para identificar si se ajusta o no a lo que dicta la matemática, esto es, si contiene
o no errores matemáticos, y qué tipo de error contiene, su tipología, ubicación, y posibles
repercusiones en la didáctica del profesorado, en los aprendizajes de nuestros alumnos, y en
los resultados de los estudiantes (p.212).
Y de acuerdo con Velásquez Aponte & López Díaz (2015) manifiestan:
Los docentes buscan en los textos escolares las fórmulas y el paso a paso para llegar a ellas.
Transmitir este proceso a los estudiantes o hacerlos llegar a estos resultados permiten el
desarrollo de las competencias de razonamiento y modelación, lo que genera en los educandos
interés y hace que dejen de ver la matemática como un proceso mecánico (p.190).
Por todo lo expuesto los textos de matemáticas son la primera herramienta que los estudiantes
y los docentes poseen para buscar y adquirir conocimiento, por este motivo los textos deben estar al
6
nivel necesario para ser interpretados y utilizados, lo que conlleva un desarrollo constante de nuevos
textos en donde es imprescindible corregir los errores y proponer nuevas y/o mejores maneras de
resolver ejercicios con problemas matemáticos que presenten un contexto de la vida real.
1.1.1.4. Análisis documental.
En una revisión de la Unidad 3 del texto de 9no EGB del Ministerio de Educación. Se ha
encontrado varios errores recurrentes en la organización del contenido, elementos didácticos,
elementos funcionales y esencialmente en ejercicios resueltos y planteados, esta revisión fue realizada
por el investigador y profesionales, profesores de matemáticas que trabajan en instituciones
educativas y tiene experiencia utilizando los textos del Ministerio de Educación, obteniendo una
síntesis de los mayores problemas que presentan dichos textos.
1.1.1.4.1. Acerca de la “Organización del contenido”
Los contenidos presentes en la unidad no contribuyen en su totalidad al desarrollo de los temas,
esto por motivos estéticos, funcionales y científicos, se encontró que los contenidos, aun que guardan
una relación lógica, no presentan coherencia con los ejercicios planteados como trabajo autónomo
únicamente aportan una idea intuitiva de lo que el estudiante debe realizar. Además el texto carece de
objetivos claros para desarrollar cada tema de la unidad, esto influye directamente en la estructura de
los contenidos y a su vez en la secuenciación, la cual dificulta la comprensión de los contenidos.
Convirtiendo a la unidad en un collage de texto e ilustraciones, que solo llega a confundir, muchas
veces, a los estudiantes.
1.1.1.4.2. Acerca de los “Elementos funcionales y didácticos”
El análisis de la unidad muestra que, el texto carece de la simbología matemática
estandarizada, además de una aclaración acerca de lo que se considera como constantes y variables al
momento de resolver ejercicios, causando confusión en las diferentes formas de notación y
principalmente en estructura de los problemas y su forma de resolver, así también los elementos
didácticos presentes son escasos, principalmente los organizadores gráficos, como: diagramas de
flujo, mentefactos, mapas mentales, entre otros. Que proporcionan un recurso de retroalimentación al
7
estudiante. La unidad también presenta un déficit en técnicas audiovisuales que aporten con el
desarrollo de los temas y muestren una realidad donde se pueden utilizar los conocimientos adquiridos.
1.1.1.4.3. Acerca de la “Conceptualización y planteamiento de ejercicios”
Los errores encontrados en la secuencia de las definiciones, teoremas y procedimientos,
muestras un fraccionamiento en los conceptos matemáticos utilizados, provocando un desfase en el
modelo de aprendizaje, también los ejercicios resueltos, que presenta a manera de ejemplo, no cubren
la miscelánea de ejercicios propuestos, los cuales llegan a ser demasiado extenso, en cantidad y
dificultad, para ser resueltos en los tiempos establecidos para tareas en casa, esto a comparación con
los ejercicios planteados y resueltos en clase.
1.1.1.5. ¿Cuál es el problema o debilidad?
De acuerdo con varios autores como (Torres & Moreno, 2008), (Á. Rodríguez, 2014),
(Fernández Palop et al., 2017) entre otros y después de analizar el texto de matemáticas del 9no EGB.
Se muestra la necesidad de mejorar los textos del estudiante y de fomentar un desarrollo progresivo
de nuevos textos elaborados por los docentes para utilizar como material de apoyo al libro de texto.
Mientras al realizar el análisis de la Unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto
de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación se encontró
varios errores muy importantes en las definiciones, organizadores gráficos y en ejercicios resueltos y
planteados. Lo cual afecta el proceso de enseñanza – aprendizaje y produce un desinterés donde el
profesor y el estudiante buscan otros textos o recursos donde encontrar más ejemplos y/o ejercicios
resueltos que ayuden a fortalecer sus conocimientos.
1.1.2. Análisis Crítico.
En el análisis del texto de matemáticas, específicamente en la unidad 3: “Factorización y
ecuaciones”, para el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación. Se encuentran
errores recurrentes al momento de interpretar las definiciones, redactar los objetivos, realizar
organizadores gráficos, resolver y plantear ejercicios, estos errores influyen directamente en el
estudiante quien comienza su educación, fundamental en las bases del álgebra de polinomios en dicha
8
unidad, llevándolo a cometer los mismos errores al momento de elaborar sus tareas y rendir sus
exámenes.
De manera paralela afecta al profesor quien muchas veces tiene que recurrir a otros textos para
complementar los planes de clase, afecta también a los padres de familia quienes buscan dar una
educación de excelencia a sus representados los cuales para mejorar su rendimiento tienen que asistir
a recuperación pedagógica para poder ayudar con retroalimentaciones de la materia pero causando un
agotamiento mayor tanto en maestros como en alumnos, conformemente afecta al rendimiento general
de la institución educativa, a su prestigio y al nivel del perfil de salida de los bachilleres. Son
estudiantes con vacíos presentes en cada promoción por los años escolares e incluso al momento de
ingresar a una institución de nivel superior.
Los aspectos mencionados no son nuevos y no se presentan únicamente en el tema de análisis,
los textos que utilizan las instituciones públicas, presentan un gran aporte para el desarrollo de la
calidad educativa moderna, ayudando a que más jóvenes puedan escolarizarse, sin embargo esto no
justifica que dichos textos presenten un conjunto de problemas a ser solucionados, los textos gratuitos
otorgados y utilizados por las instituciones educativas, han mostrado fallas en su contenido científico
y metodológico. Por lo que se propone que esta investigación aporte con el desarrollo de textos donde
se evidencie un continuo mejoramiento y se corrijan las irregularidades del contenido.
1.1.2.1. Causas – Consecuencias
Ilustración N° 01.
Causas y consecuencias de la implementación de la propuesta.
Fuente: análisis documental
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan M. (investigador)
Mejoramiento continuo de los
textos de matemáticas
Mejoramiento de la calidad eduactiva
Mejores bachilleres con
mejores oportunidades.
9
El mejoramiento continuo de los textos de matemáticas es un proceso extenso en donde cada
docente está involucrado, para de esta manera ayudará a toda la comunidad educativa, a los
estudiantes y su enfoquen en adquirir los conocimientos necesarios para su promoción para que los
representantes no busquen otros medios de apoyo o nivelación para su representado y contribuirá a
mejorar la calidad de la educación dentro y fuera de las aulas, por lo tanto este trabajo pretende el
desarrollo de nuevos textos que complementen la información del texto de matemáticas del Ministerio
de Educación.
1.1.3. Prognosis
Si se continúa con la utilización de los textos de matemáticas actuales, los cuales muestran
deficiencias en los aspectos importantes de enseñanza – aprendizaje, la comunidad educativa seguirá
presentando deficiencias en su educación básica, en consecuencia se formara personas de bajos
recursos intelectuales para los niveles de educación superiores, donde se presentar un reto en los
conocimientos adquiridos en el nivel medio, en conjunto con problemas para obtener un cupo en la
institución y carrera de tercer nivel debido a puntajes insatisfactorios en el examen de ingreso.
De acuerdo con M. E. Rodríguez, (1997) afirma:
Por mucho tiempo la obra cumbre de Euclides, Los Elementos de Euclides fueron los textos
utilizados para enseñar matemática durante 23 siglos, pero que muchos estudiantes desistieron
por las exigencias de dichos contenidos metódicos, exclusivamente axiomáticos. Este tratado
escrito alrededor del año 300 a. de C., consta de temas de geometría, proporciones y teoría de
los números, ha sido la obra de vigencia más prolongada de la historia. Después de la Biblia
es el libro del cual se han hecho mayor número de impresiones. En medio de la grandeza de la
obra de Euclides, actualmente es considerado un terrible error pedagógico la utilización como
obra didáctica; pues dicha obra está dirigida exclusivamente a ideas de la creación de la
matemática. (p. 53).
Subsiguientemente los libros que se utilizan para la educación, deben ser actualizados
constantemente, tanto en la parte científica como en la parte pedagógica, teniendo en cuenta las
necesidades reales para construir un instrumento que sea accesible para todos los estudiantes y con
ello se logre alcanzar una educación de calidad desde los niveles más bajos hasta el final de la
10
escolarización gratuita, incluso yendo más allá para que todas aquellas personas de cualquier índole
que desee adquirir nuevos y actualizados conocimientos.
1.2. Formulación del problema
En consecuencia de lo mencionado en el planteamiento del problema, se evidencia la
necesidad de investigar acerca de la eficiencia que tienen los libros del Ministerio de Educación,
específicamente los libros de matemáticas, para a partir del análisis documental crear una propuesta
que complementará los contenidos y ayudará a docentes y estudiantes.
¿Cómo debe ser una propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3: “Factorización
y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el
Ministerio de Educación - Quinta impresión junio del 2018?
1.3. Preguntas directrices.
❖ ¿Qué metodología se debe utilizar para la enseñanza de la unidad 3: “Factorización y
ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por
el Ministerio de Educación - Quinta impresión junio del 2018?
❖ ¿Cuáles son los resultados acerca de la estructura del texto proporcionados por análisis de la
unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no
año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación - Quinta impresión junio del 2018?
❖ ¿Cómo se pueden mejorar la calidad técnico – pedagógica de la unidad 3: “Factorización y
ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por
el Ministerio de Educación - Quinta impresión junio del 2018?
❖ ¿Cuál es la factibilidad para realizar jornadas académicas de acompañamiento en el uso de la
propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”,
desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio
de Educación - Quinta impresión junio del 2018?
11
1.4. Objetivos.
1.4.1. Objetivo General.
Elaborar una propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3: “Factorización y
ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el
Ministerio de Educación - Quinta impresión junio del 2018.
1.4.2. Objetivos específicos.
▪ Identificar las carencias metodológicas en la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”,
desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio
de Educación - Quinta impresión junio del 2018. En la enseñanza de matemáticas.
▪ Determinar una metodología adecuada a las condiciones de los estudiantes para la enseñanza
de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el
9no año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación - Quinta impresión junio del
2018.
▪ Establecer la factibilidad para la realización de jornadas académicas de acompañamiento en el
uso de la propuesta metodológica en la enseñanza de la unidad 3: “Factorización y
ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por
el Ministerio de Educación - Quinta impresión junio del 2018.
1.5. Justificación
Una vez expresada la problemática en la que se encuentra involucrado el libro de matemáticas
de 9no EGB, en específico en la unidad 3 “factorización y ecuaciones”, se justifica el interés de
investigar y crear una propuesta que ayude con las metodologías utilizadas en dicho texto.
Consiguiente, al encontrar una escasa cantidad de investigaciones previas, se considera que la presente
investigación aportara con la actualización y mejoramiento de textos utilizados en las aulas de clase
para más objetivos que solo transmitir conocimientos.
12
Así lo afirma Mora, (2012).
El libro de texto se convierte en el complemento indispensable de una buena educación, puesto
que no sólo permite el trabajo independiente y autónomo de los/as estudiantes, sino que también
democratiza y estandariza, respetando siempre las diferencias individuales, el conocimiento y las
diferentes formas de lograr altos niveles de comprensión y transformación del sujeto, por un lado,
y de lo sociopolítico, por el otro. (p. 45).
Al investigar acerca de la elaboración de una propuesta en base a textos educativos
proporciona datos importantes acerca de la estructura, los tipos de ejercicios, los recursos didácticos,
la metodología, las técnicas de estudio y las evaluaciones. Datos que servirán en el desarrollo de la
propuesta de la investigación y en futuras investigaciones relacionadas, así, el resultado de la
investigación beneficia a toda la sociedad educativa, ayudando a corregir, actualizar y mejorar los
contenidos del instrumento principal en el proceso enseñanza - aprendizaje al momento de desarrollar
e impartir conocimientos a cada estudiante.
Por esto, el texto creado como propuesta para esta investigación pretende ayudar en el ámbito
educativo para mejorar la calidad técnico-pedagógica en la enseñanza de “factorización y ecuaciones”.
Mientras el planteamiento del problema determina que, la institución responsable en la elaboración
de textos es el Ministerio de Educación, quien dispone que docentes y estudiantes utilicen dichos
textos como material principal, muchas veces dejando de lado textos que pueden ayudar al momento
de reforzar conocimientos.
Así la razón de la propuesta, la visualiza como un texto de ayuda en la actualización de los
textos educativos de matemáticas entregados por el ministerio de educación. Además la constante
actualización en general beneficiara a todos los actores de la educación en el país, a las instituciones
educativas a mejorar su prestigio y por ende mejora la calidad educativa del país. Entonces es factible
crear una propuesta metodológica que sea relevante, con interés profesional y de carácter educativo,
debido a que se dispone de los recursos y conocimientos para crear un texto diferente y novedoso que
sea capaz de cumplir con los estándares planteados a lo largo de esta investigación y genere un
material de calidad que llegue a los lectores.
13
CAPÍTULO II.
2. MARCO TEÓRICO.
2.1. Antecedentes del problema
Antecedente 1.
El título de la Investigación: ANÁLISIS DE LA CALIDAD Y FUNCIONALIDAD DEL TEXTO
ESCOLAR OFICIAL DEL PRIMER AÑO DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA EDICIÓN 2010.
Autor: Tubón Barrionuevo Fanny Cecilia
Lugar y año de ejecución: Ambato – Ecuador, Mayo 2015
Metodología aplicada: analítica, descriptiva y comparativa
Conclusiones:
▪ No se considera la relevancia de los componentes de los aprendizajes y el desarrollo de las
destrezas con criterio de desempeño que con parte de la actualización y fortalecimiento
curricular del 2010.
▪ Contenidos aglomerados, experiencias poco significativos, temas sin conexiones lógicas,
poca continuidad en el grado de dificultad en actividades, entre otras carencias que no
aportan a su articulación con los niveles de educación inicial, lo que ha conllevado a un
deficiente desarrollo integral del niño (a) en su ingreso en los procesos de alfabetización.
▪ El texto limita el desarrollo de destrezas y habilidades propias de la edad
14
Antecedente 2.
El título de la Investigación: USO DE LOS LIBROS DE TEXTO DE MATEMÁTICAS EN EL
PROCESO DE ENSEÑANZA: UN ANÁLISIS DE CASOS COMPARADO
Autor: Cárcamo Donaldo
Lugar y año de ejecución: Tegucigalpa, M. D. C., Junio 2012
Metodología aplicada: investigación cualitativa
Conclusiones:
▪ El uso de libros de texto le da mayor dinámica a las clases y alta participación y actividad a
los alumnos y alumnas, prestándoles a las docentes un servicio educativo que ellas necesitan
porque actúan como un elemento organizador del proceso de enseñanza.
▪ Los libros de texto de matemática, especialmente la Guía para el Maestro, resulta para las
docentes ser muy amigable, especialmente para las que tienen mayor experiencia, ya que en
ellos encuentran una síntesis selectiva de los contenidos y una propuesta metodológica bien
definida que les ayuda para la planificación y desarrollar mejor su clase.
▪ Las docentes que utilizan los libros de texto, especialmente la Guía para el Maestro, en las
diferentes etapas del desarrollo de la clase, demuestran mayor seguridad y organización al
impartir la clase, se reduce la posibilidad de enseñar la equivocación o cometer el error en la
enseñanza de los contenidos, términos o conceptos matemáticos, observando un mejor
desempeño y rendimiento de los alumnos y alumnas.
15
Antecedente 3.
El título de la Investigación: MATERIAL DIDÁCTICO PARA LA ENSEÑANZA DE
FACTORIZACIÓN EN LOS DÉCIMOS AÑOS DE EDUCACIÓN BÁSICA DEL COLEGIO
NACIONAL “SAN PABLO”, DE LA PARROQUIA SAN PABLO DEL LAGO, CANTÓN
OTAVALO, PROVINCIA IMBABURA, EN EL PERIODO LECTIVO 2010-2011
Autor: Cruz Artos Javier Vinicio
Lugar y año de ejecución: Ibarra, julio 2011
Metodología aplicada: investigación de tipo descriptiva
Conclusiones:
▪ La aplicación de estrategias de aprendizaje en el desarrollo de la enseñanza-aprendizaje de
matemática, permitirá mejorar la asimilación de conocimientos con lo cual se espera alcanzar
un éxito total en los estudiantes porque se va a romper con el aprendizaje mecánico y sin
ninguna clase de motivación.
▪ Este tipo de acciones despertarán el interés de los educandos y su atención por aprender; siendo
estas respuestas hacia los estímulos por parte de los estudiantes en relación a los educadores,
lo que permite que el docente se siga preparando y actualizando acorde a los cambios y
comportamientos de la sociedad actual, sin perder su ética profesional.
▪ Durante el desarrollo de las actividades y construcción de los materiales didácticos los
estudiantes demuestran una actitud participativa, analítica, crítica en su propio aprendizaje,
logrando un razonamiento sobre los ejercicios que realizan y teniendo confianza en sí mismos
al desarrollar ejercicios planteados, evitando demoras innecesarias como en un principio.
16
Antecedente 4.
El título de la Investigación: APLICACIÓN DEL MÉTODO DE POLYA EN LA RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA EN LOS
ESTUDIANTES EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA.
Autor: Morán Cac Gudiel Eduardo
Lugar y año de ejecución: San Juan Chamelco, Alta Verapaz, Febrero De 2018
Metodología aplicada: cuantitativa de diseño cuasi experimental
Conclusiones:
▪ Se concluye que no existe diferencia estadísticamente significativa del método de Pólya en la
resolución de problemas de ecuaciones lineales con una incógnita en la pre prueba al comparar
el grupo control y experimental ya que se obtuvo una media de 51.94 y en el pre prueba del
grupo control la media es de 47.74, generando una diferencia de 4.20 puntos entre las medias,
por lo que se puede inferir que no existe una diferencia significativa entre ellas, en tal sentido
que se acepta la hipótesis nula.
▪ El método de Pólya influye como estrategia para resolución de problemas de ecuaciones
lineales con una incógnita en los estudiantes en el área de Matemática, ya que permite la
participación del alumno, favorece la discusión, fomenta el análisis crítico, el trabajo
cooperativo, la práctica de valores humanos y la comprensión, lo que promueve la
construcción y fortalecimiento del propio carácter, debido que el grupo experimental obtuvo
una media de 61.61 y el grupo control la media es de 52.90, mostrando una diferencia de 8.71
puntos entre las media.
▪ El método tradicional enfatiza la formación del carácter de los estudiantes para moldear a
través de la voluntad, la virtud, el rigor de la disciplina, el ideal humanista y ético, ya que los
conocimientos son transmitidos de forma vertical y son adquiridos con poco margen para los
estudiantes. Esto implica que el método tradicional es viable para la enseñanza pero no se logra
17
alcanzar las competencias deseadas, debido que se obtuvo en el grupo control una media de
47.74 en la pre prueba y en el post prueba la media es de 52.90.
▪ La utilización y enseñanza del método Pólya, como estrategia para resolución de problemas
de ecuaciones lineales con una incógnita en los estudiantes en el área de matemática permite
la participación del alumno, favorece la discusión, fomenta el análisis crítico, el trabajo
cooperativo, la práctica de valores humanos y la comprensión, lo que promueve la
construcción y fortalecimiento del propio carácter.
2.2. Fundamentación teórica
2.2.1. Paradigma
El paradigma es un principio que aporta en el desarrollo de la ciencia y el conocimiento puede
ser estudiado en el ámbito educativo para lograr el desarrollo de los modelos y técnicas de enseñanza,
así mismo conlleva un desarrollo de los materiales que se usan al momento de adquirí conocimiento.
Según Carbajosa, (2011) “Los paradigmas, en realidad, no tienen fronteras. Se trata más bien de
tradiciones académicas.” (p. 185).
2.2.1.1. Paradigma educativo
Al entrar en materia de educación se siguen muchos paradigmas que pueden ayudar al docente
para impartir su conocimiento, para llegar al estudiante y para evaluar su desempeño. Del mismo
modo los paradigmas del estudiante lo ayudan a comprender las ideas de un tema en específico
estudiando las leyes que gobiernan la naturaleza.
Por esto Carbajosa, (2011) expone que:
En la evaluación educativa, los problemas se plantean y resuelven desde la perspectiva de
alguno de los paradigmas principales o, dicho de otra manera, existen diversas formas de
abordar un objeto de evaluación, no obstante, todas ellas pueden caracterizarse según la forma
de concebir la ciencia (p. 184, 185).
18
En relación a lo expuesto por Carbajosa, un paradigma adecuado ayuda a resolver la manera
de enseñar y aprender, mejora la relación entre profesor - estudiante, estudiante – representante,
institución educativa y sociedad en general ayuda a mejorar la calidad de la educación del país, apoya
con la problemática situación de enseñanza, aportando con soluciones optimas y directas.
2.2.1.1.1. Tipos de Paradigmas Educativos
En el periodo de 1960 a 1980 puede verse un claro interés en la problemática educativa donde
ha sedimentado los componentes específicos que identifican con claridad cinco paradigmas
(Hernández Rojas, 1998)
Ilustración N° 02. Tipos de Paradigmas Educativos
Fuente: Paradigmas en psicología de la educación, Hernández Rojas, (1998)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan M. (investigador)
2.2.1.1.1.1. Paradigma Conductista
Para el conductismo el maestro es el programador que infunde el código de la materia en la
mente del alumno, el maestro es quien tiene el conocimiento del mundo y lo transmite mediante la
explicación magistral como si fuera un libro de instrucciones que el alumno debe repetir para lograr
la comprensión.
Tipos De Paradigmas Educativos
Conductista
Cognitivo
Humanista
Psicogenético Constructivista
Sociocultural
19
De acuerdo con Esteban Hilario, (2015) Define:
El paradigma conductista usa el método científico usada por la ciencias y principalmente el
método experimental, para realizar sus investigaciones científicas rigurosas con un control de
la variables, el producto es el conocimiento científico que se pone a discusión, se cuestiona, se
corrige y se vuelve a experimentar. (p. 53).
Así el maestro al ser el guía del conocimiento, también es el evaluador del mismo, mediante
pruebas, lecciones o tareas, trata de llevar un control de los conocimientos que el alumno logra retener,
estas evaluaciones deben ser de forma estandarizada al nivel de la educación y los conocimientos
impartidos en clases, a su vez también están otras formas de evaluación menos directa como puede
ser una actuación o una participación del estudiante, un aporte que ayude con el desarrollo de la clase.
2.2.1.1.1.2. Paradigma Humanista
El centro de atención es el desarrollo integral de las personas, el ser humano es conducido en
las leyes del bien y la ética. Buscando de esa manera mejorar a la sociedad. Según Rodríguez (1997)
“…se reconoce al individuo como un ente que se caracteriza por ser diferente en su forma de ser,
pensar y actuar con todos los demás. El paradigma humanista intenta rescatar los valores de respeto,
de solidaridad, de libertad, de responsabilidad y de tolerancia…” (p. 221).
Por ello, el maestro se muestra como el facilitador del conocimiento, mientras el estudiante es
un ente creativo que pretende el desarrollo de las ideas expuestas por su instructor, entonces la manera
de evaluar el paradigma humanista se basa en la autoevaluación sin embargo también se puede realizar
una evaluación externa de los aprendizajes a manera de refuerzo por parte del profesor.
2.2.1.1.1.3. Paradigma Cognitivo
Busca el desarrollo de los conocimientos en base a la experiencia, de esta manera consigue un
aprendizaje significativo mediante el descubrimiento. De acuerdo con Bernardo Barragán (2007) “El
aprendizaje es una construcción, y se produce a partir de los “desequilibrios” o conflictos
cognoscitivos que modifican los esquemas de conocimiento del sujeto. Los principios del aprendizaje
en este paradigma, postulan que éste se produce: de adentro hacia afuera” (p. 3). El maestro resulta
20
ser un guía en proceso de enseñanza - aprendizaje, utilizando estrategias que le permitan llamar la
atención, impresionar al estudiante llevándolo por un juicio activo de la información, aquí se evalúan
los procesos para conseguir solucionar un problema.
2.2.1.1.1.4. Paradigma Psicogenético constructivista
La forma del paradigma psicogenético constructivista, como el nombre indica, su objetivo es
la construcción del conocimiento en base a la experiencia del alumno y su implementación en la
práctica, ayuda a vincular uniformemente la teoría del aula con la aplicación en la práctica diaria. Para
Barreto Tovar et al. (2006) “el sujeto va construyendo sus sucesivas versiones del mundo al mismo
tiempo que construye sus propias estructuras cognitivas, y su conocimiento no es copia de una realidad
externa a él, sino resultado de la estructuración de sus propias experiencia” (p. 14). Así el papel del
maestro es más promovedor, pues es quien realiza las ejemplificaciones y propone las experiencias
donde aplicar los conocimientos, del mismo modo su manera de evaluar se centra en los procesos que
el alumno realiza para generar una solución factible.
2.2.1.1.1.5. Paradigma Sociocultural
Presenta actividades a realizar tanto en la institución educativa como fuera de ella, proyectando
a la interacción social del estudiante entre sus compañeros, sus padres y el pueblo en general, este
paradigma aporta con la elaboración de planificaciones para el desarrollo de la materia siguiendo una
enseñanza colectiva entre todos los miembros del grupo, es donde la relación entre el maestro y el
alumno es más interactiva siendo el maestro un agente cultural que aporta de ideas y actividades al
ente social que viene a ser el alumno el cual es evaluado de manera dinámica, a través de su propio
desenvolvimiento como persona.
Así lo plantea Ramírez Jiménez et al. (2006):
Para el paradigma sociocultural, lo que el aprendiz puede hacer con ayuda de otros puede ser
en cierto sentido más indicativo de su desarrollo mental que lo que puede hacer por sí solo. De
aquí que se considere necesario no limitarse a la simple determinación de los niveles
educativos reales. (p. 71).
21
2.2.2. Modelos Pedagógicos
Para reconocer que son los modelos pedagógicos primero debemos comprender que es un
modelo. De acuerdo con Vásquez & León (2013) “Es una herramienta conceptual o una representación
física o mental de las características de un objeto, fenómeno o evento, con la intención de analizarlo
y comprenderlo” (p. 5). A su vez un modelo educativo es un conjunto de teorías y enfoques
pedagógicos, utilizados por los docentes en la elaboración de planes de estudio para mejorar el proceso
de enseñanza aprendizaje. Para De Zubiría Samper (2011) “Los modelos pedagógicos le asignan, así,
funciones distintas a la educación porque parten de concepciones diferentes del ser humano y del tipo
de hombre y de sociedad que se quiere contribuir a formar.” (p. 41).
Un modelo pedagógico relaciona a los actores principales en el proceso enseñanza -
aprendizaje, docentes – alumnos, relacionándolos mediante un modelo educativo basado en las
políticas educativas. Según Vásquez & León (2013) “es un sistema formal que busca interrelacionar
los agentes básicos de la comunidad educativa con el conocimiento científico para conservarlo,
producirlo o recrearlo dentro de un contexto histórico, geográfico y cultural determinado” (p. 5).
2.2.2.1. Clasificación de los modelos pedagógicos según De Zubiria Samper
Cada pedagogo da un sentido intrínseco a la forma de clasificar los modelos pedagógicos, para
De Zubiria estos modelos se clasifican en 3 títulos, donde el modelo Autoestructurante presenta una
ramificación a la escuela activa y otra al constructivismo, este modelo pedagógico constructivista es
el que se desarrollará en el diseño de propuesta y una futura aplicación.
Ilustración N° 03.
Modelos Pedagógicos según De Zubiría.
Fuente: Los Modelos Pedagógicos: Hacia una pedagogía dialogante De Zubiría Samper, (2011)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Modelos pedagógicos
Modelo Heteroestructurante
Pedagogía tradicional
Modelo Autoestructurante
Pedagogía constructivista
Modelo Interestructurante
Pedagogía dialogante
22
Para el desarrollo de los modelos pedagógicos, se da importancia a los elementos esenciales
de la actividad pedagógica, el conocimiento como medio de comunicación, el docente como quien
consume el conocimiento, el estudiante como el receptar y procesar del conocimiento, de igual manera
se enfatiza en proceso de enseñanza y la manera de evaluar de cada modelo pedagógico.
2.2.2.1.1. Modelo Heteroestructurante
Está basado en la pedagogía tradicional, la cual se encuentra en muchos de los centros
educativos, no precisamente en modelo pedagógico de la institución, pero si al menos de manera
inconsciente un maestro ha dado una clase meramente tradicional, así la estructura del modelo
Heteroestructurante – tradicional está basado en:
Ilustración N° 04.
Modelo Heteroestructurante.
Fuente: Los Modelos Pedagógicos: Hacia una pedagogía dialogante De Zubiría Samper, (2011)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
2.2.2.1.2. Modelo Autoestructurante
Su base se encuentra en un paradigma constructivista, quien pone a la experiencia como
creadora de conocimiento. Tiene el fundamento de “aprender haciendo” es donde el estudiante tiene
el manejo de los procesos, que lo lleven a conseguir un resultado ideal. Así la estructura del modelo
Autoestructurante – constructivista está basado en:
Modelo pedagógico
Heteroestructurante
Relación de los actores educativos
Conocimiento + Docente = Estudiante
Proceso enseñanza aprendizaje
Aprendizaje memorístico Proceso mecánico
Evaluación de conocimientos
Retención de conocimientos
Evaluar para sumar
Pedagogía Tradicional
23
Ilustración N° 05.
Modelo Autoestructurante.
Fuente: Los Modelos Pedagógicos: Hacia una pedagogía dialogante De Zubiría Samper, (2011)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador) Pedagogía
2.2.2.1.3. Modelo Interestructurante
Mantienen una relación horizontal entre el docente y el estudiante para llevar de la par la
construcción del conocimiento, por ello recurre al modelo dialogante, el cual lleva a desestructurar
los conceptos y producir que el estudiante presente un razonamiento conducido por el docente. Así la
estructura del modelo Interestructurante – dialogante está basado en:
Ilustración N° 06.
Modelo Interestructurante.
Fuente: Los Modelos Pedagógicos: Hacia una pedagogía dialogante De Zubiría Samper, (2011)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Modelo pedagógico
Autoestructurante
Relación de los actores educativos
Docente => Conocimiento + Estudiante
Proceso enseñanza aprendizaje
Aprendizaje directo
Basado en experiencias y descubrimiento
Evaluación de conocimientos
Logros propios del avance del estudiante
Pedagogía constructivista
Modelo pedagógico
Interestructurante
Relación de los actores educativos
Docente + Estudiante = Conocimiento
Proceso enseñanza aprendizaje
Aprendizaje mediado
Basado en la reflexión.
Evaluación de conocimientos
Evalúa dominio y apropiación del aprendizaje
Modelo dialogante
24
2.2.3. Teorías del Aprendizaje
La Teoría es una hipótesis cuyas consecuencias se aplican en la ciencia, en la educación, la
teoría en una hipótesis a comprobar mediante la utilización de reglas, definiciones, recursos que
posibiliten la verificación de una teoría y hacerla valida. Mientras el aprendizaje es la adquisición de
conocimientos de manera práctica o teórica que conlleven una retención duradera de los contenidos o
experiencias aprendidas, entonces las teorías del aprendizaje son un conjunto de hipótesis que
proponen como aprende el estudiante desde diferentes perspectivas o materias que integran elementos
biológicos, sociales, culturales, emocionales, entre otras.
2.2.3.1. Tipos de teorías del aprendizaje
Las teorías del aprendizaje tienen varias clasificaciones y filósofos representantes de cada una
de ellas, a su vez De Zubiría Samper,( 2011) propone a varios filósofos dentro las teorías del
aprendizaje para esta clasificación únicamente tomaremos a los principales representantes de los
modelos pedagógicos ya analizados con anterioridad, recalcando la consideración en el represéntate
del constructivismo para su análisis y futura aplicación en la elaboración de la propuesta.
Ilustración N° 07.
Teorías del aprendizaje.
Fuente: Los Modelos Pedagógicos: Hacia una pedagogía dialogante De Zubiría Samper, (2011)
Elaborado por: Bahamonde M Bryan. (Investigador)
Teorías del aprendizaje
Cognitivista
Piaget
Sociocultural
Vygotsky
Constructivista
Ausubel
25
2.2.3.1.1. Teoría cognitivista
Jean Piaget (1896-1980) sostiene que el conocimiento del ser humano se crea mediante la
enseñanza y se complementa dependiendo de una serie de etapas de desarrollo, mientras para Severo
(2012) “una de las ideas nucleares es el concepto de inteligencia como proceso de naturaleza
biológica. Para él el ser humano es un organismo vivo que llega al mundo con una herencia biológica,
que afecta a la inteligencia.” (p. 2). Esta es la base genética del desarrollo humano, quien creía una
teoría genética donde el conocimiento se crea de manera automatizada a partir de la teoría,
experimentación y comprobación a lo largo de 4 etapas del desarrollo cognitivo:
Ilustración N° 08.
Etapas del Desarrollo de Piaget.
Fuente: Seis Estudios De Psicología (Piaget, s. f.)
Elaborado por: Bahamonde M Bryan. (Investigador)
2.2.3.1.2. Teoría Sociocultural
Lev Vygotsky (1896-1934) afirma que cada persona posee una capacidad social de vincularse
con otros para poder desarrollar el conocimiento, esta construcción social - colaborativa generalmente
se da de adultos a niños para transmitir saberes y realizar experiencias mediante la comunicación. Así
lo plantea Rodríguez Arocho (1999)
Etapa Formal operacional
De 12 a 15 años Desarrollo sistemático del razonamiento lógico
Etapa Concreta operacional
De 7 a 12 años Desarrollo, entendimiento y uso de conceptos abstractos
Etapa Pre-operacional
De 2 a 7 años Desarrollo del lenguaje y de habilidades de comunicación
Etapa Motora-sensorial
De 0 a 2 años Existe control motor y aprendizaje sobre objetos a partir de la experiencia
26
Un postulado central en la teoría de Vygotsky es que el manejo de los artefactos culturales,
herramientas y símbolos, se aprende en sociedad. Este aprendizaje ocurre en el transcurso de
interacciones humanas y acciones colaborativas que se sitúan en contextos particulares y se
materializan en formas de comunicación (p. 484).
2.2.3.1.3. Teoría Constructivista
David Ausubel postula que el aprendizaje se logra a partir de sus conocimientos previos,
Ausubel fue muy influenciado por Piaget. De aquí la idea de que las personas puedan aprender a
partir de sus experiencias de manera que puedan implementar sus conocimientos y lograr un desarrollo
del aprendizaje, dejando de lado la memorización para enfocarse en la construcción del conocimiento
basada en la experimentación, el constructivismo propone que el conocimiento se genera a partir de
experiencias previas, esta propuesta toma características de otras teorías para definir a la persona como
el ente que construye su propio conocimiento y lo va acumulando en el transcurso del tiempo, de
forma tal que la información anterior se pone en práctica y experimentación para generar nuevos
saberes.
2.2.4. Método Pedagógico
Método es el procedimiento que se sigue para resolver una problemática, es la serie de pasos
a llevar al momento de realizar un estudio o resolver un ejercicio, en las ciencias se utiliza para hallar
la verdad y enseñarla, mientras pedagógico se define como el método expuesto con claridad que sirve
para educar o enseñar. Según lo anterior un método pedagógico es un procedimiento utilizado para
exponer la verdad al momento de educar. Para Lejter (1990) citado en (Bastidas, 2004) “se llama
método de estudios al conjunto de técnicas y ejercicios para enseñar y aprender alguna cosa” (p. 5).
En la actualidad existen muchos métodos pedagógicos, por nombrar solo algunos tomados de
(Preparadores de Oposiciones, 2020)
• Método Montessori
• Método Waldorf
• Método Reggio Emilia
• Método Pikler
• El método Aucouturier
• El método Doman
27
Sin embargo el método de importancia para el desarrollo de la investigación es el método
didáctico. Debido a su relevancia en la metodología utilizada en aulas y porque es el método
establecido en el curriculum nacional. Este método es capaz de desarrollarse en base a la pedagogía
constructivista base de la metodología de la propuesta.
2.2.5. Método Didáctico
Uno de los aspectos más importantes de un docente es conocer el método didáctico, con el
cual imparte conocimientos a los estudiantes. De acuerdo con Serna (1985) el método didáctico “Es
la organización racional y práctica de los recursos y procedimientos del profesor, con el propósito de
dirigir el aprendizaje de los alumnos hacia los resultados previstos y deseados.” (p. 43). El método
didáctico, al igual que otros, es un conjunto de saberes, recursos, y actores en el proceso educativo,
este conjunto de elementos forman una sincronía con el objetivo de transmitir saberes y cada uno
cumple con una función específica para lograrlo, ya sea siendo receptor, emisor o canal de la
comunicación del conocimiento.
2.2.6. Proceso Didáctico
El proceso didáctico es una seria de pasos que ayudan a estructurar el hilo de una clase,
dependiendo del modelo pedagógico utilizado por el docente puede estructurar su proceso como más
le ayude a impartir el conocimiento. Para poder desarrollar este conjunto de actividades de manera
coordinada hay que tener en cuantos diversos aspectos.
Ilustración N° 09.
Principios del Método Didáctico.
Fuente: El Método Didáctico Serna, (1985)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Principios del método Didáctico
Finalidad Apunta a realizar los objetivos educativos
Ordenación Secuencia correcta de los temas de la materia
Adecuación Ajustar los contenidos al grado o curso preciso
Economía Lograr los objetivos, sin descuidar la calidad educativa.
Orientación Dar a los alumnos una dirección para aprender
28
Entonces para Koonts y Weihrich (1995) citados por Bastidas (2004) “son series cronológicas
de acciones requeridas. Son pautas de acción más que de pensamiento, que detalla la forma en que se
debe realizar determinadas actividades” (p. 16). De acuerdo con los autores mencionados, el proceso
didáctico es una cadena de actividades progresivas elaboradas por el docente para poder transmitir los
conocimientos y llegar al estudiante mediante varias estrategias y técnicas didácticas
2.2.7 Estrategias didácticas
Matemáticamente estrategia es un proceso regulable, un conjunto de las reglas que afirman
una decisión óptima en cada momento para lograr calcular el resultado correcto de cualquier ejercicio,
es necesario buscar entre las leyes y propiedades de la matemática, el camino más óptimo y seguro
para llegar a encontrar el valor que vuelve verdadero al problema., mientas las estrategias didácticas
son actividades concienciadas y elaboradas, por el docente, con el objetivo de alcanzar un aprendizaje
significativo en el estudiante. De tal manera que pueda lograr seguir avanzando en el proceso de su
formación académica.
Para Tobón (2006) referenciado en López Montero, (2018) las estrategias didácticas:
Representan un conjunto de técnicas y actividades que facilitan el alcance de una meta de
aprendizaje; pues, las estrategias didácticas son de gran importancia en la persecución de
objetivos en el aula debido a que por medio de estrategias bien pensadas se contribuye a que
el estudiantado tenga resultados exitosos en su aprendizaje. (p. 7).
2.2.7.1 Clasificación de estrategias didácticas
De acuerdo con Kindsvatter (1988) citado por Bastidas, (2004), las estrategias de enseñanza
pueden ser: Enseñanza directa o estrategia magistral. Enseñanza cooperativa o estrategia grupal.
Estrategia individual. Estas a su vez conllevan una subdivisión con modalidades o formas para ser
aplicadas.
29
Ilustración N° 10.
Estrategias Didácticas.
Fuente: Estrategias y técnicas didácticas. (Bastidas, 2004)
Elaborado por: Investigador
Estrategia magistral
Es donde el maestro tiene el control directo de la clase, él es quien imparte la materia, dirige
la clase y controla las actividades. Se lo podría llamar la más antigua utilizada por docentes, a su vez
es un estrategia que tiene antigüedad. Afirma Velásquez (2011) citado en Hernández Arteaga et al.,
(2015) que es:
Un método –siempre nuevo y siempre antiguo– a pesar de la crítica sesgada, orientada a un
desprestigio con etiquetas conocidas, se debe validar su empleo en todos los niveles; es válido
ya que puede ser aplicado de modo activo, propiciando el ejercicio de la reflexión y del espíritu
crítico del estudiante. (p. 80).
Estrategias didácticas
Magistral
Conferencia
Demostración
Presentación
... entre otras
Grupal
Mesa redonda
Panel
Simposio
... entre otras
Individual
Estudio documental
Estudio dirigido
Enseñanza programada
... entre otras
30
Estrategia grupal
Es la participación de más personas, los cuales puede ser entre estudiante y el docente o
entre el estudiante y otros estudiantes, este trabajo colaborativo aporta mayor cantidad de ideas con
las cuales trabajar y permite al estudiante desarrollar su capacidad de socialización. La interacción
con los demás es lo que nos vuelve personas sociables y aprender a tratar con quienes nos rodean es
una práctica esencial en la vida cotidiana, ya sea en un rol activo, o como un líder, es natural el ejercitar
la comunicación y trabajo colaborativo.
De acuerdo con Guitert y Pérez (2013) citados en (Hernández Arteaga et al., 2015) afirman que:
El trabajo de grupo colaborativo es un ingrediente esencial en el proceso de enseñanza -
aprendizaje basado en competencias, todas las estrategias didácticas innovadoras incorporan
esta forma de trabajo como experiencia en la que el sujeto aprende y se forma como persona.
(p. 83).
Estrategia individual
Esta mayormente centrada en aprendizaje personal del estudiante mediante la guía de un
docente y el respectivo material de estudio, su propósito es realizar y resolver las tareas enviadas para
hacer de manera individual y diseñada para el nivel correspondiente, así lo afirma (Bastidas, 2004)
“el eje de esta estrategia es la adquisición individual de conocimientos concretos en el contexto de
una flexible estructura del tiempo” (p. 19). El estudiante como individuo debe saber reconocer sus
aciertos y errores, para lograr un crecimiento tanto mental como actitudinal, el aprender en base a sus
propias experiencias es una camino más interiorizado a la teoría del constructivismo.
2.2.8 Técnicas didácticas
De acuerdo con la Subdirección de Currículum y Evaluación ([INACAP], 2017). Citado por
Subdirección De Currículum y Evaluación et al., (2018)
Técnica didáctica: “Son procedimientos de menor alcance que las estrategias didácticas, dado
que se utilizan en períodos cortos (parte de una asignatura, unidad de aprendizaje, etc.); cuyo
31
foco es orientar específicamente una parte del aprendizaje, desde una lógica con base
psicológica, aportando así al desarrollo de competencias” (p. 2).
Cada docente tiene la libertad de utilizar la técnica que le proporcione la mejor forma de llegar
a los estudiantes con el conocimiento, estas técnicas deben ser basadas en la materia y en el nivel al
cual serán utilizadas para cumplir con las competencias del curriculum, una mala técnica conlleva la
perdida de atención y el interés de los alumnos en la materia impartida, mientras una buena técnica
hace que los estudiantes se encuentres más motivados y deseosos de aprender.
2.2.8.1 Clasificación de técnicas didácticas
Según Oviedo (1993) citado en Bastidas, (2004), se presentan 3 tipos de técnicas, cada una de
ellas con sus respectivas formas o modalidades son técnicas de estimulación audiovisual, técnicas de
estimulación escrita y técnicas de estimulación verbal, para el propósito de la investigación
centraremos el estudio en las técnicas de estimulación escrita, precisamente en los textos impresos.
Los cuales constan de ciertas características que los hace útiles dentro de los centros de estudio, estos
textos impresos pueden ser de muchos tipos: revistas, folletos, periódicos, fotocopias, entre otros. En
la presente investigación el texto es netamente impreso, de carácter físico y manipulable, lo que
permite una mayor facilidad al momento de corregir errores al momento de realizar el análisis
respectivo.
32
Ilustración N° 11.
Técnicas Didácticas.
Fuente: Estrategias y técnicas didácticas. (Bastidas, 2004)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
2.2.9 Textos Escritos
Texto es el cuerpo de la obra manuscrita o impresa, a diferencia de lo que en ella va por
separado; como las portadas, las notas, los índices, entro otros. El texto se denomina a los materiales
que se utilizan para divulgar información, de una menara donde se utilizan caracteres propios del
lenguaje de un pueblo, entonces un texto escrito refiere a todo material, físico, que contenga
manuscritos. Es un cuerpo físico que representa de forma escrita las ideas de una persona, se puede
utilizar los textos escritos de muchas maneras, según su finalidad puede ser, entrenar, informar,
educar, entro otras.
Libro es el conjunto hojas de papel u otro material que están encuadernadas y forman un
volumen, el libro se domina a material físico que se utiliza para realizar una lectura de un texto en
específico, no confundir texto escrito con libro, su conceptualización puede llegar a ser similar, pero
en profundidad es muy diferente, siendo el texto escrito alma de un material único, mientras el libro
llega a ser el cuerpo físico parte de una colección completa, de un tema específico.
Técnicas didácticas
Audiovisual
Proyector
Audio
Fotografía
... entre otras
Escrita
Diagrama UVE
Texto impresos
Mentefacto
... entre otras
Verbal.
Pregunta
Anécdota
Relato de Experiencias
... entre otras
33
Así, al libro se lo define como una obra científica, literaria que contiene un texto único, con
extensión suficiente para formar un volumen, el cual puede ser impreso o manuscrito, al realizar una
conjugación de términos para el desarrollo de la investigación se usa “el texto” para referirse a la
unidad 3 Factoreo y ecuaciones del libro de matemáticas para 9° EGB.
2.2.9.1 Clasificación de textos escritos
Las clasificación de los textos escritos es demasiado grande para ser revisada en un solo
capítulo, por ello se toma la clasificación según Bastidas, (2004) que abarca una clasificación de los
tipos más importantes de textos impresos. Haciendo énfasis en los tex impresos de carácter educativo,
utilizados dentro y fuera del aula de clases, textos orientados a utilizar una metodología para
desarrollar un temas educativos.
Ilustración N° 12.
Clasificación de textos escritos.
Fuente: Bastidas, (2004) Estrategias y técnicas didácticas.
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Los textos mencionados en la clasificación se encuentran en una categoría netamente
académica, debido a que la mayoría pueden ser utilizados como base o complemento del modelo
educativo, debido a ello es que el objetivo de esta investigación es elaborar una propuesta, un texto
complementario y/o de consulta, que ayude con el trabajo, del texto único, de matemáticas para 9°
EGB en la unidad 3 “factoreo y ecuaciones”.
Poligrafiados
Texto único
De consulta
De trabajo
Complementarios
34
2.2.9.1.1 Texto único
Comprende a todos los textos escolares, se lo llama texto único debido a ser el principal texto
utilizado dentro del plantel educativo, por ende dentro de las aulas, cada materia y cada nivel de
escolaridad, tiene su texto único proporcionado por el Ministerio de Educación. Para esta
investigación es considerado como texto único al texto de la unidad 3 “factorización y ecuaciones”
desarrollado en el libro de matemática para 9no EBG.
Para Bernardo Gómez, (s. f.) Afirma.
El libro de texto es una publicación especializada, con identidad propia, que nace en respuesta
a las necesidades del sistema general y público de enseñanza y del modelo de enseñanza
simultánea. Es un libro fácilmente reconocible por su estructura y porque está rotulado
claramente indicando la materia que trata y a quién van dirigido. (p. 1)
En referencia a lo citado por Bernardo Gómez la propuesta pretende de colaborar con una
solución a la manera de enseñar los temas de factorizaciones y ecuaciones, mediante la elaboración
de un texto complementario y/o de consulta que apoye a reforzar los conocimientos del texto único.
2.2.9.1.2 Texto de consulta
Para Bastidas, (2004) “se conoce con este nombre al conjunto de documentos impresos que
sirven de apoyo para el proceso de enseñanza aprendizaje, su uso no es tan frecuente como el anterior.
Permite conocer puntos de vista, criterios, opiniones de otros autores.” (p. 235). Por lo expuesto una
propuesta es un texto escrito por especialistas desatacados en diversas materias. Suele tratar sobres
temas científicos, humanísticos o técnicos con un lenguaje práctico y con la finalidad de explicar
contenidos tanto a estudiantes e investigadores como al público en general.
2.2.9.1.3 Texto complementario
Para Bastidas, (2004) los textos complementarios pueden ser “documentos impresos que
presentan diferentes tipos de ayuda, pueden ser: enciclopedias, diccionarios, revistas, etc.” (p. 235)
35
De acuerdo con (Level & Mostacero, 2011) plantean “El Texto Complementario lo precisa
como la sección cuya función es fortalecer la demostración científica y la carga emocional del texto
escolar” (p. 20). El resultado de la investigación funciona como texto complementario al representar
un material de ayuda, al docente y al estudiante, en donde cada uno puede adicionar información
necesaria para la comprensión de un tema.
2.2.9.2 Objetivo de los textos escritos.
Para (Bastidas, 2004) los objetivos que necesita cumplir un texto impreso son:
➢ Permitir el repaso de temas explicados por el maestro.
➢ Proporcionar guías para la elaboración de deberes escritos, orales o trabajos prácticos, etc.
➢ Visualizar los contenidos del aprendizaje.
➢ Estimular y dirigir al estudiante en el trabajo libre y productivo
➢ Redactar en un lenguaje claro y categórico el tema de la asignatura.
➢ Desarrollar en el alumno una actividad favorable hacia la lectura.
➢ Proporcionar al alumno una fuente fundamental de consulta durante el curso.
➢ Facilitar la comprensión de la materia o tema explicado.
➢ Mejorar el rendimiento y la eficiencia en la adquisición de conocimientos.
➢ Entre otras.
En resumen, y en base a lo manifestado, el propósito del texto final es apoyar, actualizar,
facilitar, comunicar y difundir el conocimiento que lleve escrito en sus páginas, para que más personas
puedan tener a su alcance una educación con bases científicas comprobadas y prácticas. Además de
proyectarse como un texto al alcance de todos, con la proyección de continuar con la creación e
innovación en el resto de textos educativos.
36
2.2.9.3 Características de los textos escritos.
Para (Bastidas, 2004) las características que necesita cumplir un texto son:
➢ Ser actualizado y que suministre información imparcial.
➢ Estar fundado en el lenguaje científico accesible al nivel intelectual de los estudiantes a los
cuales está destinado.
➢ Ofrecer resúmenes, lecturas, problemas e indicaciones bibliográficas relativas a los asuntos
estudiados.
➢ Contener elementos de trabajo que conduzcan a la revisión, fijación y ampliación del
aprendizaje.
Consiguientemente el presente de trabajo de investigación busca cumplir con las
características del libro de texto de matemática para el 9° EGB en la unidad 3 factoreo y ecuaciones.
Mediante la elaboración de una propuesta que ayude a complementar dichas características y
proporcionar un material de consulta para los estudiantes. Con una visión a futuro de elaborar siempre
mejores textos educativos.
2.3. Definición de términos básicos.
✓ Construcción del conocimiento: Consiste en establecer cuáles son los aspectos esenciales de
la tarea que se debe realizar y definir una directriz que oriente el curso de las acciones a seguir,
es decir, darse cuenta del proceso que se debe realizar.
✓ Didáctica: es una disciplina de la pedagogía, inscrita en las ciencias de la educación, que se
encarga del estudio y la intervención en el proceso enseñanza-aprendizaje con la finalidad de
optimizar los métodos, técnicas y herramientas que están involucrados en él.
37
✓ Educación: la educación es el proceso sistemático de desarrollo de las facultades físicas,
intelectuales y morales del ser humano, con el fin de integrarse mejor en la sociedad o en su
propio grupo.
✓ Enseñanza aprendizaje: es el procedimiento mediante el cual se transmiten conocimientos
especiales o generales sobre una materia, sus dimensiones en el fenómeno del rendimiento
académico a partir de los factores que determinan su comportamiento.
✓ Estrategia: plan ideado para dirigir un asunto y para designar al conjunto de reglas que
aseguran una decisión óptima en cada momento. En otras palabras, una estrategia es el proceso
seleccionado a través del cual se prevé alcanzar un cierto estado futuro.
✓ Libros: obra compuesta por un conjunto de hojas de papel, encuadernadas y protegidas con
una tapa o cubierta, que forman un volumen.
✓ Método: es un modo, manera o forma de realizar algo de forma sistemática, organizada y/o
estructurada. Hace referencia a una técnica o conjunto de tareas para desarrollar una tarea.
✓ Metodología: serie de métodos y técnicas de rigor científico que se aplican sistemáticamente
durante un proceso de investigación para alcanzar un resultado teóricamente válido.
✓ Paradigma: modelos, ejemplo o patrones que debe seguirse en determinada situación para ser
analizada y realizada de manera correcta. se refiere a una teoría o conjunto de teorías que sirve
de modelo a seguir para resolver problemas o situaciones determinadas que se planteen.
✓ Técnica: es un procedimiento cuyo objetivo es la obtención de un cierto resultado. Supone
un conjunto de normas y reglas que se utilizan como medio para alcanzar un fin.
✓ Textos: es una representación escrita del lenguaje verbal, recopila ideas y pensamientos que
permite dar un mensaje coherente y ordenado
38
2.4. Fundamentación legal.
2.4.1. Constitución de la República del Ecuador.
Art. 26.- La educación es un derecho de las personas a lo largo de su vida y un deber ineludible
e inexcusable del Estado. Constituye un área prioritaria de la política pública y de la inversión estatal,
garantía de la igualdad e inclusión social y condición indispensable para el buen vivir. Las personas,
las familias y la sociedad tienen el derecho y la responsabilidad de participar en el proceso educativo.
Art. 28.-La educación responderá al interés público y no estará al servicio de intereses
individuales y corporativos. Se garantizará el acceso universal, permanencia, movilidad y egreso sin
discriminación alguna y la obligatoriedad en el nivel inicial, básico y bachillerato o su equivalente.
Art. 344.- El sistema nacional de educación comprenderá las instituciones, programas,
políticas, recursos y actores del proceso educativo, así como acciones en los niveles de educación
inicial, básica y bachillerato, y estará articulado con el sistema de educación superior
Art. 348.- La educación pública será gratuita y el Estado la financiará de manera oportuna,
regular y suficiente. La distribución de los recursos destinados a la educación se regirá por criterios
de equidad social, poblacional y territorial, entre otros.
2.4.2. Ley Orgánica de Educación Intercultural LOEI
Art. 2 Principios
f. Desarrollo de procesos.- Los niveles educativos deben adecuarse a ciclos de vida de las
personas, a su desarrollo cognitivo, afectivo y psicomotriz, capacidades, ámbito cultural y lingüístico,
sus necesidades y las del país, atendiendo de manera particular la igualdad real de grupos
poblacionales históricamente excluidos o cuyas desventajas se mantienen vigentes, como son las
personas y grupos de atención prioritaria previstos en la Constitución de la República.
u. Investigación, construcción y desarrollo permanente de conocimientos.- Se establece a la
investigación, construcción y desarrollo permanente de conocimientos como garantía del fomento de
39
la creatividad y de la producción de conocimientos, promoción de la investigación y la
experimentación para la innovación educativa y la formación científica;
El estado considera al interaprendizaje y multi-aprendizaje como herramientas para fortalecer
las capacidades humanas por medio del acceso a la información y sus tecnologías, la comunicación y
el conocimiento. La investigación de conocimientos son base para la innovación educativa y la
formación científica.
Art. 7.- Derechos.- Las y los estudiantes tienen los siguientes derechos:
b. Recibir una formación integral y científica, que contribuya al pleno desarrollo de su
personalidad, capacidades y potencialidades, respetando sus derechos, libertades fundamentales 75 y
promoviendo la igualdad de género, la no discriminación, la valoración de las diversidades, la
participación, autonomía y cooperación
2.4.3. Reglamento general a la ley orgánica de educación intercultural RLOEI
Capítulo III del currículo nacional
Art. 9.- Obligatoriedad. Los currículos nacionales, expedidos por el Nivel Central de la
Autoridad Educativa Nacional, son de aplicación obligatoria en todas las instituciones educativas del
país independientemente de su sostenimiento y modalidad. Además, son el referente obligatorio para
la elaboración o selección de textos educativos, material didáctico y evaluaciones.
Art. 12.- Elección de libros de texto. Los establecimientos educativos que no reciben textos
escolares por parte del Estado tienen libertad para elegir los textos escolares que mejor se adecuen a
su contexto y filosofía institucional, siempre y cuando dichos textos hayan obtenido de la Autoridad
Educativa Nacional una certificación curricular que garantiza su cumplimiento con lo determinado en
el currículo nacional obligatorio vigente.
Los establecimientos educativos que reciben textos escolares por parte del Estado tienen la
obligación de utilizar dichos libros, por lo que no podrán exigir la compra de otros textos para las
mismas asignaturas.
40
Art. 13.- Certificación curricular. La certificación curricular avala que los libros de texto
cumplen con el currículo nacional obligatorio. Los libros de texto que reciben certificación curricular
tienen autorización para ser utilizados en el Sistema Nacional de Educación, pero no son
necesariamente oficiales ni de uso obligatorio. La certificación curricular de cada libro de texto debe
ser emitida mediante Acuerdo Ministerial, con una validez de tres (3) años a partir de su expedición.
Título XI De la provisión de textos, alimentación y uniformes escolares
Capítulo I De las normas generales
Art. 370.- Provisión. La Autoridad Educativa Nacional garantiza la provisión de los textos
escolares, alimentación y uniformes escolares gratuitos para los estudiantes de la educación pública y
fiscomisional, de manera progresiva y en la medida de la capacidad institucional del Estado, de
conformidad con la normativa específica que para el efecto expida el Nivel Central de la Autoridad
Educativa Nacional
Art. 372.- Textos escolares. Los textos escolares, guías del docente, cuadernos de trabajo y
demás recursos asignados a una institución educativa pública o fisco misional deben ser usados única
y exclusivamente por esta para el proceso de enseñanza-aprendizaje, de conformidad con la normativa
específica que para el efecto expida el Nivel Central de la Autoridad Educativa Nacional.
2.5. Caracterización de variables.
2.5.1 Variable única
• Texto
Para Soaje de Elías, (2018) “los textos escolares, entendidos como herramientas fundamentales
del quehacer didáctico en la actualidad” (p. 76). Estos recursos didácticos que pertenecen
principalmente a docentes y estudiantes, contiene una estructura interna, elementos que son
indispensables para llamar la atención del lector, son esta variedad de dimensiones, las que se pretende
analizar en la variable citada para el presente trabajo, esencialmente y después del análisis documental
del capítulo uno se hará énfasis en la parte de los organizadores gráficos.
41
2.5.2 Dimensiones
1. Arte y diseño, con los siguientes indicadores.
1.1. El efecto artístico de la caratula de la unidad capta la atención del estudiante.
1.2. Las ilustraciones que presenta el texto están relacionadas con el tema.
1.3. El tamaño y la distribución de las ilustraciones en el texto está de acuerdo con el formato del
contenido.
1.4. La disposición del contenido en la página es comprensible y ayuda al proceso de enseñanza-
aprendizaje.
2. Organización del contenido, con los siguientes indicadores.
2.1. La unidad presenta los objetivos de aprendizaje a alcanzar con claridad.
2.2. Existe coherencia entre los contenidos temáticos y la unidad didáctica.
2.3. Hay una secuencia lógica en el orden en que se presentan los contenidos temáticos.
2.4. El contenido se encuentra estructurado de manera que facilite la comprensión.
2.5. Se plantea ejemplos que contribuyan al desarrollo de la destreza.
3. Elementos funcionales, con los siguientes indicadores.
3.1. Los contenidos temáticos están adecuados al nivel de madurez bio-psicológico del alumno.
3.2. Existen secciones que consideran las experiencias previas del estudiante.
3.3. Se consideran las necesidades e intereses del estudiante.
3.4. Los contenidos permiten el desarrollo de competencias.
3.5. Estimula el desarrollo del pensamiento reflexivo.
3.6. Plantea ejemplos con base en las actividades de la vida real.
4. Elementos didácticos, con los siguientes indicadores.
4.1. Emplea organizadores gráficos.
4.2. Emplea técnicas audiovisuales.
4.3. Emplea técnicas verbales.
4.4. Utiliza técnicas de estudio.
5. Redacción, con los siguientes indicadores.
5.1. Se usa un vocabulario que sea entendible para el estudiante.
42
5.2. Se respeta con rigurosidad las reglas ortográficas.
5.3. Las ideas se expresan de manera clara sin que se presten a confusiones.
6. Ejercicios y cuestionarios, con los siguientes indicadores.
6.1. Los ejercicios tienen relación directa con el tema.
6.2. El grado de dificultad está acorde con los conocimientos de noveno EGB.
6.3. Los ejercicios contribuyen a la consecución de los objetivos.
43
CAPÍTULO III
3. METODOLOGÍA
3.1. Diseño de la investigación.
En el presente capítulo se analiza el esquema del diseño de la investigación, el mismo que
consta de: enfoque, tipos, niveles y modalidad de investigación, así como el procedimiento necesario
para elaborar y presentar todo el proyecto de investigación, es una síntesis general de lo que se trata
puntualmente el momento del desarrollo de la investigación y ayudar a facilitar la compresión de la
elaboración de la propuesta.
Ilustración N° 13.
Diseño de la Investigación.
Fuente: Metodología de la investigación cuantitativa Palella Stracuzzi & Martins Pestana, (2012)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
3.1.1. Enfoques de la investigación
3.1.1.1. Enfoque cualitativo
Según Prieto Pimienta & De la Orden Hoz, (2017) el enfoque cualitativo:
44
Se apoya en la recolección y resumen de datos cualitativos por medio de actividades de campo,
como la realización de entrevistas, así como la observación directa y el análisis documental.
Sus objetivos principales son describir y explorar la conducta humana en contextos específicos
con la finalidad de describir patrones, temas y cualidades comunes en todas las sociedades (p.
61).
3.1.1.2. Enfoque cuantitativo
Según Prieto Pimienta & De la Orden Hoz, (2017)
El enfoque cuantitativo se centra en el análisis e interpretación de datos, números, indicadores
y estadísticas asociadas con el objetivo de estudio, y para ello se centra el formular preguntas
muy específicas acerca de ¿Cómo? Y ¿Cuándo? Tiene lugar el fenómeno estudiado,
permitiendo al investigador recopilar información que puede ser plasmada mediante números,
para su análisis racional y objetivo.
3.1.1.3. Enfoque mixto
Según Sampieri et al., (2014) el enfoque mixto:
Un conjunto de procesos sistemáticos, empíricos y críticos de investigación e implican la
recolección y el análisis de datos cuantitativos y cualitativos, así como su integración y
discusión conjunta, para realizar inferencias producto de toda la información recabada
(metainferencias) y lograr un mayor entendimiento del fenómeno bajo estudio (p. 534).
Con relación a cada enfoque, se considera que el presente proyecto de investigación tiene un
enfoque mixto considerado cuanti–cualitativo, debido a que busca la factibilidad que tiene el uso del
libro de matemática para 9° EGB, unidad 3 factorización y ecuaciones, mediante la aplicación de una
escala estimativa que proporcione resultados reales de las dimensiones a analizar y se presenten
conclusiones reales de la investigación.
45
3.1.2. Modalidad de la investigación
Para la modalidad del proyecto se presenta un proyecto de carácter especial, la cual dentro los
lineamientos de investigación en la carrera de Pedagogía de las Ciencias Experimentales, matemática
y física de la Facultad de Filosofía, Letras y Ciencias de la Educación de la Universidad Central del
Ecuador. Postula en el Art. 3 del reglamento de la Licenciatura:
Art.3 Se entenderá por Proyectos Socio-Educativos a las investigaciones en base al método
científico que puedan ser de carácter cuantitativo, cualitativo o cuanti-cualitativo, para generar
propuestas alternativas de solución a los problemas de la realidad social y/o educativa en los
niveles macro, meso o micro.
Se considera dentro de las ramas de proyecto socio educativo al proyecto factible, por brindar
una solución al problema de investigación mediante la creación de un texto, el cual dentro de la línea
de investigación ayuda a mejorar la calidad técnico pedagógico y la metodología utilizada para
impartir los temas de factorización y ecuaciones.
3.1.2.1. Proyecto factible
De acuerdo con Stracuzzi & Pestana, (2012) “El propósito fundamental de esta modalidad es
el de presentar proposiciones, planteamientos que se puedan ejecutar” (p. 97). El proyecto factible
consiste en elaborar una propuesta factible que ayude a resolver una problemática específica
determinada mediante un diagnóstico previo de la problemática del tema en cuestión (Stracuzzi &
Pestana, 2012). Y la propuesta en este proyecto es una visión del investigador de la forma que debería
presentar el libro de matemáticas de 9° EGB, en la unidad 3 factorización y ecuaciones, del Ministerio
de Educación, quinta impresión 2018. Y siendo evaluada por diferentes expertos para determinar el
nivel de confiabilidad.
46
3.1.3. Nivel de la investigación
3.1.3.1. Nivel Exploratorio
Debido en los antecedentes de investigación, estos fueron escasos en el contexto del tema de
la investigación acerca de libro de matemática del Ministerio de Educación, se pretende dar un alcance
exploratorio al proyecto de investigación en relación a lo expuesto por Stracuzzi & Pestana, (2012)
el nivel exploratorio de una investigación “Se realiza especialmente cuando el tema elegido ha sido
poco examinado, …, permite focalizar el tópico de interés, formular el problema y/o delimitar futuros
temas de investigación” (p. 92). Se determina que la investigación tiene un carácter poco analizado
con anterioridad, permitiendo que los resultados tanto como la propuesta puedan ser desarrollados en
posteriores investigaciones.
3.1.3.2. Nivel Descriptivo
Es primordial determinar resultados de la investigación que estén basados en datos reales, los
resultados que se obtengan de la investigación ayudaran a posteriores lectores para proponer mejoras
en nuevos proyectos, para Stracuzzi & Pestana, (2012) determina que el nivel descriptivo “el propósito
de este nivel es el de interpretar realidades de hecho. Incluye descripción, registro, análisis e
interpretación de la naturaleza actual, composición o procesos de los fenómenos” (p. 92). Para este
nivel lo más importante son las conclusiones que explican el funcionamiento del objeto de estudio.
3.1.3.3. Nivel Evaluativo
De acuerdo con Stracuzzi & Pestana, (2012) el nivel evaluativo “pretende estimar o valorar la
efectividad de programas, planes o proyectos aplicados anteriormente para resolver una situación
determinada” (p. 93). Este es uno de los niveles más adecuados con la modalidad del proyecto, además
de tener una relación directa con los objetivos propuestos. Lo que lo hace idóneo en el nivel que
pretende alcanzar la investigación.
47
3.1.3.4. Nivel Proyectivo
De acuerdo con Hurtado de Barrera (2000) citado en Stracuzzi & Pestana, (2012) el nivel
proyectivo “intenta proponer soluciones a una situación determinada. Implica explorar, describir,
explicar y proponer alternativas de cambio, y no necesariamente ejecutar la propuesta” (p. 94). Al
establecer un nivel proyectivo a la investigación, se realiza una recopilación de los niveles antes
mencionados, sin embargo ya que la modalidad es de proyecto factible la elaboración de la propuesta
es sumamente necesaria.
En base a las descripciones de cada nivel de investigación, el nivel del presente proyecto de
investigación será exploratorio, descriptivo, evaluativo y proyectivo. Siendo cada nivel de gran
importancia y presencia al momento de la creación de la propuesta que vaya acorde con resolver el
problema de investigación.
3.1.4. Tipos de investigación
Para el tiempo y las circunstancias en que se realiza el proyecto de investigación, los tipos de
investigación utilizados para la redacción de elementos y análisis de las dimensiones son
principalmente textos digitales (artículos de revistas, informes, libros, tesis, investigaciones
científicas, entre otros). Obtenidos de repositorios, archivos de revistas y buscadores enfocados en
textos de divulgación científica.
3.1.4.1. Investigación Documental
La investigación fue realizada principalmente búsqueda de textos que se relacionen con el tema
de investigación, por esa razón es que escoge la investigación de tipo documental en donde de acuerdo
con Stracuzzi & Pestana, (2012) la investigación documental “se concreta exclusivamente en la
recopilación de información en diversas fuentes. Indaga sobre un tema en documentos -escritos u
orales” (p. 90). En correlación con Prieto Pimienta & De la Orden Hoz, (2017) “esta modalidad de
investigación se realiza teniendo como principal sustento o fundamento múltiples fuentes de carácter
documental, que pueden ser impresas o digitales. Dentro de este tipo de diseña de investigación
destacan las modalidades bibliográficas, hermerográficas y archivistas” (p. 84).
48
3.1.4.2. Investigación De campo
La recolección y tratamiento de los datos va de acuerdo con lo que Prieto Pimienta & De la
Orden Hoz, (2017) exponen “los datos son llamados primarios, porque son recabados directamente de
los informantes, por medio de entrevistas, la aplicación de cuestionarios, de encuestas o mediante
registro de observación” (p. 10). Para tratar el término de investigación de campo, se hace referencia
a la materia de investigación en educación matemática, del mismo modo de acuerdo con Rivero,
(2008) “es compatible desarrollar este tipo de investigación junto a la investigación de carácter
documental, se recomienda que primero se consulten las fuentes de carácter documental, a fin de evitar
una duplicidad de trabajos” (p. 21). Por lo que la investigación de campo claramente debe relacionarse
con documental por ser complementarias.
3.1.5. Procedimiento del desarrollo del proyecto de investigación
En relación al diseño y modalidad de investigación, ligado al enfoque, nivel y tipo de
investigación planteados. Se ha diseñado un procedimiento secuencial de las actividades a realizarse
para la elaboración del proyecto de investigación. A continuación se enlista la serie pasos realizados.
1. Elaboración del plan de tesis.
2. Aprobación del plan de tesis.
3. Elaboración de los instrumentos.
4. Validación de los instrumentos.
5. Estudio de confiabilidad.
6. Tabulación de los resultados.
7. Presentación, análisis e interpretación de los resultados.
8. Discusión de resultados.
9. Conclusiones y recomendaciones.
10. Informe de la investigación.
11. Diseño de la propuesta.
12. Factibilidad de la propuesta.
13. Elaboración de la propuesta.
14. Presentación del informe final del proyecto.
49
3.2. Población y muestra.1
3.2.1 Población
La población de la presente investigación engloba a los textos de matemática para Educación
General Básica (EGB), publicados por el Ministerio de Educación en su quinta impresión de junio del
2018, los que han sido entregados y utilizados a nivel nacional en los planteles de educación fiscal de
Ecuador, esta delimitación de la población va de acuerdo con lo planteado por Sampieri et al., (2014)
“Las poblaciones deben situarse claramente por sus características de contenido, lugar y tiempo” (p.
174). La gran extensión de textos presentes a nivel nacional, obliga a que necesariamente se delimite
la población un texto específico para su correcto análisis.
3.2.2 Muestra
De acuerdo con Rivero, (2008) “La muestra es, en esencia, un subgrupo de la población. Se
puede decir que es un subconjunto de elementos que pertenecen a ese conjunto definido en sus
necesidades al que llamamos población.” (p. 25). Así en lo manifestado por Rivero y con relación a
la población se enfoca que la muestra apropiada, para el respectivo análisis es la unidad 3:
“Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y
publicado por el Ministerio de Educación. Quinta impresión junio del 2018.
3.3. Operacionalización de las variables.
Para Stracuzzi & Pestana, (2012) afirma que “Una variable presenta un grado de abstracción
que impide utilizarla como tal en la investigación, por lo tanto hay que operacionalizarla” (p. 67).
Mientras para Rivero, (2008) “Para operativizar variables, se requiere precisar su valor, traduciéndolas
a conceptos susceptibles de medir, Por tanto, conviene considerar su definición nominal, real,
operativa: lo que significa el término, la realidad y la práctica” (p. 53).
1 ACLARACIÓN: El proyecto de investigación no involucra un grupo contable de individuos, su enfoque es
principalmente los libros de texto del Ministerio de Educación, a partir de allí se ha realizado la delimitación para la
población y la muestra, mientras que las personas participantes en la recolección de datos son únicamente participes de su
criterio como expertos conocedores del texto en análisis.
50
Complementa Rivero, (2008) las variables son “discusiones que pueden darse entre individuos
y conjuntos. El término variable significa características, aspecto, propiedad o dimensión de un
fenómeno y puede asumir distintos valores” (p. 53). Como resultado la operacionalización de variables
se realizara como una caracterización de las dimensiones presentes en la variable involucrada en el
capítulo 2 de la investigación, a continuación de desglosa la matriz de operacionalización de variables.
Tabla N° 01.
Matriz de operacionalización de variables.
Variable Dimensión Indicadores Ítems
Texto
Arte y diseño
El efecto artístico de la caratula de la unidad capta la
atención del estudiante. 1.1
Las ilustraciones que presenta el texto están relacionadas
con el tema. 1.2
El tamaño y la distribución de las ilustraciones en el texto
están de acuerdo con el formato del contenido. 1.3
La disposición del contenido en la página es
comprensible y ayuda al proceso de enseñanza-
aprendizaje.
1.4
Organización del
contenido
La unidad presenta los objetivos de aprendizaje a
alcanzar con claridad. 2.1
Existe coherencia entre los contenidos temáticos y la
unidad didáctica. 2.2
Hay una secuencia lógica en el orden en que se presentan
los contenidos temáticos. 2.3
El contenido se encuentra estructurado de manera que
facilite la comprensión. 2.4
Se plantea ejemplos que contribuyan al desarrollo de la
destreza. 2.5
Elementos
funcionales
Los contenidos temáticos están adecuados al nivel de
madurez bio-psicológico del alumno. 3.1
Existen secciones que consideran las experiencias previas
del estudiante. 3.2
Se consideran las necesidades e intereses del estudiante. 3.3
Los contenidos permiten el desarrollo de competencias. 3.4
Estimula el desarrollo del pensamiento reflexivo. 3.5
Plantea ejemplos con base en las actividades de la vida
real. 3.6
Emplea organizadores gráficos. 4.1
51
Elementos
didácticos
Emplea técnicas audiovisuales. 4.2
Emplea técnicas verbales. 4.3
Utiliza técnicas de estudio. 4.4
Redacción
Se usa un vocabulario que sea entendible para el
estudiante. 5.1
Se respeta con rigurosidad las reglas ortográficas. 5.2
Las ideas se expresan de manera clara sin que se presten
a confusiones. 5.3
Ejercicios y
cuestionarios
Los ejercicios tienen relación directa con el tema. 6.1
El grado de dificultad está acorde con los conocimientos
de noveno EGB. 6.2
Los ejercicios contribuyen a la consecución de los
objetivos. 6.3
Fuente: instrumento de recolección de datos (Bastidas, 2004)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
3.4. Técnicas e instrumentos de recolección de datos.
La técnica y el instrumento son dos herramientas que van ligadas, son complementarias una
de la otra al momento de realizar los cálculos necesarios para determinar la confiabilidad de la
investigación, así lo menciona Rivero, (2008), quien expone “La investigación no tiene sentido sin las
técnicas de recolección de datos. Estas técnicas conducen a la verificación del problema planteado.
Cada tipo de investigación determinará las técnicas a utilizar y cada técnica establece sus
herramientas, instrumentos o medios que serán empleados.” (p. 8). En la presente investigación se
utilizó la técnica de encuesta mediante el instrumento elaborado en base a una escala estimativa en la
cual consta cada una de las dimensiones con sus respectivos indicadores para la valoración del
contenido en el texto investigado.
3.4.1 Técnicas de recolección de datos.
Para Stracuzzi & Pestana, (2012) las técnicas son “las distintas formas o maneras de obtener
la información. Para el acopio de los datos se utilizan técnicas como observación, entrevista, encuesta,
pruebas, entre otras.” (p.115). De acuerdo con lo mencionado se ha optado por aplicar una encuesta a
diferentes profesores de instituciones educativas, conocedores del tema y que han utilizado el texto de
análisis.
52
3.4.1.1 La Encuesta
En la presente investigación se opta, como técnica de recolección de datos, por la encuesta.
Esta técnica por sus características ha sido de utilidad por mostrar los resultados de un conjunto de
personas afines al tema de investigación, así y de acuerdo con Prieto Pimienta & De la Orden Hoz,
(2017) la encuesta “consiste en la elaboración de un cuestionario compuesto por un conjunto de
preguntas estandarizadas, es decir, ajustadas a un modelo o norma común, para conocer la opinión de
un grupo amplio de personas” (p. 86).
3.4.2 Instrumentos de recolección de datos.
Para Stracuzzi & Pestana, (2012) “un instrumento de recolección de datos es, en principio,
cualquier recurso del cual pueda valerse el investigador para acercarse a los fenómenos y extraer de
ellos información” (p. 125). En base a la técnica seleccionada, para la recolección de datos se sigue la
línea de un tipo de encuesta estructurada en una escala estimativa que cumpla las necesidades de la
investigación para su posterior interpretación.
3.4.2.1 Escala de medición.
Según Rivero, (2008) expresa “Una escala puede concebirse como un continuo de valores
ordenados correlativamente que admite un punto inicial y otro final” (p. 72 ). La escala utilizada en la
medición está basada en una binning modificada (Bastidas, 2004) y a su vez se estructura en diseño
de escala tipo Likert. De acuerdo con Stracuzzi & Pestana, (2012) una escala Likert es:
Un conjunto de ítems presentados en forma de afirmaciones o juicios ante los cuales se pide
la reacción de los sujetos a quienes se administran. Se presenta cada afirmación y se pide al
sujeto que exprese su respuesta eligiendo uno de los cinco puntos de la escala. A cada punto
se le asigna un valor numérico, con lo cual el sujeto obtiene una puntuación respecto a la
afirmación. Al final, se obtiene su puntuación total sumando las obtenidas en cada una de las
afirmaciones. (p.68).
53
Para la escala estimativa utilizada en la investigación se estableció la siguiente escala Likert.
Tabla N° 02.
Escala Estimativa.
1. Inaceptable 2. Aceptable 3. Bueno 4. Destacado 5. Excelente
Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
3.5. Validez y confiabilidad de los instrumentos de recolección de información.
3.5.1. Validez de criterio
Con la escala estimativa ya elaborada por (Bastidas, 2004) con los cambios adecuados por el
investigador para el tema de la investigación, se procedió a la valoración por juicio de expertos en las
áreas de matemática y lenguaje, estos fueron tres profesionales, dos matemáticos y un lingüista,
quienes rindieron sus criterios acerca de la correspondencia de las preguntas del instrumento con las
dimensiones e ítems de investigación. Todo esto de acuerdo con Rivero, (2008) dicta la validez
Indica la capacidad de la escala para medir las cualidades para las cuales ha sido construida y
no otras parecidas. Una escala confusa no puede tener validez, lo mismo que en una escala que
esté midiendo, a la vez e indiscriminadamente, distintas variables superpuestas. Una escala
tiene validez cuando verdaderamente mide lo que afirma medir. (p. 73)
Para la respectiva valides a cada experto se entregó los siguientes documentos:
✓ Oficio dirigido al experto firmado por el investigador.
✓ Instructivo para la valoración de instrumentos.
✓ Instrumento de diagnóstico.
✓ Formularios de validación para registrar la opinión sobre cada ítem.
✓ Formato de datos generales donde conste la firma del experto.
54
La validación de este instrumento fue realizada por los siguientes expertos:
Tabla N° 03.
Validación del instrumento de recolección de datos por parte de expertos.
Experto Área Lugar de Trabajo
Lcdo. Nelson Mejía Matemáticas Unidad Educativa Particular “Jhon Davison
Rockefeller”
Lcda. Johanna Flores Matemáticas Unidad educativa “Pérez Pallares”
Msc. Calixto Guamán Lengua y literatura Universidad Central del Ecuador
Fuente: Validez del instrumento de recolección de información.
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
3.5.2. Confiabilidad
Para determinar la confiabilidad se aplicó una prueba a 19 expertos (profesores de
matemáticas) quienes mediante un análisis expresaron su criterio en la escala estimativa. Estos
resultados fueron tabulados por la hoja electrónica del Alfa de Cronbach para establecer su nivel
confiabilidad.
De acuerdo con Rivero, (2008) manifiesta que la confiabilidad.
Se refiere a la consistencia interior de la misma, a su capacidad para discriminar en forma
constante entre un valor y otro. Cabe confiar en una escala cuando produzca constantemente
los mismos resultados al aplicarla a una misma muestra, es decir, cuando siempre los mismos
objetos aparezcan valorados en la misma forma. (p. 73)
Fórmula para el cálculo de la confiabilidad mediante el Alfa de Cronbach.
Método 1
𝛼 =𝑘
𝑘 − 1[1 −
∑ 𝑉𝑖
𝑉𝑇]
55
Dónde:
𝑘 = Número de ítems
∑ 𝑉𝑖 = Sumatoria de las varianzas de los ítems
𝑉𝑇 = Varianza total
3.5.2.1 Confiabilidad del instrumento. Método 1
Con los datos recolectados y tabulados en la hoja electrónica, se obtiene:
𝛼 =𝑘
𝑘 − 1[1 −
∑ 𝑉𝑖
𝑉𝑇]
𝛼 =25
24[1 −
24.9418
282.8]
𝜶 = 𝟎. 𝟗𝟓
Método 2.
𝛼 =𝑘
𝑘 − 1[1 −
∑ 𝑆𝑖2
𝑆𝑇2 ]
Dónde:
𝑘 = Número de ítems
∑ 𝑆𝑖2 = Sumatoria de las desviaciones típicas de los ítems
𝑆𝑇2 = desviación típica total
56
3.5.2.2 Confiabilidad del instrumento. Método 2
Con los datos recolectados y tabulados en la hoja electrónica, se obtiene:
𝛼 =𝑘
𝑘 − 1[1 −
∑ 𝑆𝑖2
𝑆𝑇2 ]
𝛼 =25
24[1 −
26.327
298.5]
𝜶 = 𝟎. 𝟗𝟓
Se verifica que en el cálculo de ambos métodos mediante el alfa de Cronbach da como
resultado 𝜶 = 𝟎. 𝟗𝟓. Esta cantidad es muy beneficiosa para la investigación y para la posterior
interpretación de la confiabilidad.
3.5.3. Interpretación de los niveles de confiabilidad
De acuerdo con los resultados obtenidos en ambos métodos, se puede interpretar el resultado
para el cálculo de la confiabilidad según la siguiente escala de valores que determinan los siguientes
valores para interpretar la confiabilidad, la cual está dada por:
Tabla N° 04.
Escala de Confiabilidad.
Confiabilidad Escala
No es confiable -1 a 0
Baja confiabilidad 0.01 a 0.49
Moderada confiabilidad 0.5 a 0.75
Fuerte confiabilidad 0.76 a 0.89
Alta confiabilidad 0.9 a 1
Fuente: Metodología de la investigación (Sampieri et al., 2014)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
57
De acuerdo al resultado obtenido al aplicar la fórmula del Alpha de Cronbach para el
instrumento de diagnóstico (escala estimativa) la confiabilidad es de 𝛼 = 0,95, esto permite que nuestra
investigación prosiga ya que este valor va de acuerdo con la tabla de confiabilidad, por lo tanto el
instrumento se encuentra en la escala de 0,9 a 1 considerado como una “alta confiabilidad”. Los
resultados de confiabilidad son altos debido a que el instrumento ya ha sido utilizado con anterioridad
en previas investigaciones, el instrumento como escala estimativa fue elaborado por Bastidas, (2004)
en su libro Estrategias y Técnicas, para la presente investigación únicamente se procedió a modificar
el membrete y adecuar las preguntas para que presenten una correcta relación entre el tema de
investigación y la recolección de datos proporcionados por los expertos participantes.
58
CAPÍTULO IV
4. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
4.1. Análisis estadístico de los instrumentos aplicados
Una vez aplicada la escala estimativa a diferentes docentes, los cuales aportaron con su
conocimiento y juicio de valor para la recolección de datos necesarios en el sondeo de la unidad 3:
“Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y
publicado por el Ministerio de Educación. Quinta impresión junio del 2018. Para su respectivo análisis
y posterior interpretación de resultados, cabe recalcar que estos resultados son totalmente
transparentes, la opinión de los expertos esta netamente reflejada en los resultados numéricos y la
interpretación directa realizada por el investigador en base a la escala porcentual.
En este capítulo se organiza la información obtenida en las 19 escalas estimativas aplicadas a
los docentes de diferentes instituciones educativas, mediante el análisis de los datos obtenidos en cada
una de las seis dimensiones y sus respectivos indicadores. Las tablas están compuestas y distribuidas
en columnas de la siguiente forma: en la primera columna se presenta el ítem y los indicadores
correspondientes a la dimensión de análisis respectivo, en cada caso varia el número de indicadores,
de la segunda a la sexta columna se encuentran tabulados los resultados de las escalas estimativas
aplicadas a los docentes. En la séptima columna se presenta la media aritmética de las 19 respuestas
de cada indicador, y en la octava columna se muestra el porcentaje de importancia con relación a la
media aritmética.
Los resultados obtenidos se registraron, tabularon y discutieron en base a las preguntas
directrices y la información del marco teórico, mientras para los gráficos de barras se considera la
equivalencia de 5 como el 100% y posteriormente se realiza una regla de tres simple con la media
aritmética de cada indicador para obtener su equivalente porcentual, así cada dimensión es analizada
mediante la siguiente tabla porcentual para así facilitar la interpretación de los datos obtenidos.
59
Tabla N° 05. Equivalencia porcentual de la escala estimativa.2
Escala Interpretación Porcentaje
1. INACEPTABLE 0% – 60%
2. REGULAR 61% – 70%
3. BUENO 71% – 80%
4. DESTACADO 81% – 90%
5. EXCELENTE 91% – 100%
Fuente: estrategias y técnicas (Bastidas, 2004)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
4.1.1. Dimensión. Arte y diseño
La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos de cada uno de los indicadores de la
dimensión de arte y diseño establecida en la escala estimativa, aplicada a diferentes docentes en labor
y conocimiento de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática
para el 9no año de EGB.
Tabla N° 06.
Importancia de la dimensión: Arte y diseño, por parte de los docentes.
Indicadores de la dimensión: Arte y diseño 1 2 3 4 5 Total
x̅ %
1. El efecto artístico de la caratula de la unidad capta la
atención del estudiante. 0 5 6 8 0 3,16 63,16
2. Las ilustraciones que presenta el texto están relacionadas
con el tema. 0 4 3 6 6 3,74 74,74
3. El tamaño y la distribución de las ilustraciones en el texto
están de acuerdo con el formato del contenido. 0 3 5 10 1 3,47 69,47
4. La disposición del contenido en la página es comprensible
y ayuda al proceso de enseñanza-aprendizaje. 1 3 5 8 2 3,37 67,37
MEDIA ARITMÉTICA 3,43 68,68
Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
2 Los valores de la distribución en la escala porcentual fueron realizados directamente por Bastidas, (2004), como tutor
del proyecto, quien justifica que la escala se establece con el criterio de todo libro utilizado a nivel educativo debe
sobrepasar el 50% de aceptabilidad para considerarse apto de ser desarrollado.
60
Análisis e interpretación
De acuerdo con los resultados de la media aritmética se observa que la mayor media aritmética
corresponde al ítem 2 “ilustraciones” con (3.74), en medio el ítem 3 “el tamaño y la distribución” con
(3.47) y el ítem 4 “disposición de contenido” con (3.37), siendo la menor el ítem 1 “efecto artístico”
con (3.16). En total el promedio general de la dimensión arte y diseño es 3.43 considera como “bueno
a destacado” en la escala inicial. En conformidad con la tabla N° 06, la elaboración en arte y diseño
de la caratula y las ilustraciones del texto son buenas (3.43), sin embargo, son poco interesantes para
captar la atención del estudiante o producir impresión, aunque siendo de buna calidad las ilustraciones,
carecen en su mayoría de un efecto artístico adecuado.
Gráfico N° 01.
Valores de la distribución porcentual de los indicadores en la dimensión Arte y diseño.
Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Análisis e interpretación
En el grafico se evidencia un 74.74% para las ilustraciones, lo cual es bueno en relación a gran
cantidad que se observa a lo largo de la unidad, después un 69.47% relacionado al tamaño y
distribución, seguido de 67.37% con la disposición del contenido y al final un 63.16% correspondiente
al efecto artístico, lo que muestra un déficit en la creatividad de las imágenes presentadas como
55%
60%
65%
70%
75%
80%
Efecto artístico Ilustraciones Tamaño y la
distribución
Disposición del
contenido
63,16%
74,74%
69,47%
67,37%
Arte y diseño
61
representación de un problema, entonces el promedio general equivalente al 68.68% considerando a
esta dimensión como “regular” en la elaboración de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”,
desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio de
Educación. Quinta impresión junio del 2018.
4.1.2. Dimensión. Organización del contenido
La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos en cada uno de los indicadores para la
dimensión “organización del contenido” establecida en la escala estimativa, aplicada a diferentes
docentes en labor y conocimiento de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el
texto de Matemática para el 9no año de EGB.
Tabla N° 07.
Importancia de la dimensión: Organización del contenido, por parte de los docentes.
Indicadores de la dimensión: Organización del contenido 1 2 3 4 5 Total
x̅ %
1. La unidad presenta los objetivos de aprendizaje a alcanzar con
claridad. 3 2 5 6 3 3,21 64,21
2. Existe coherencia entre los contenidos temáticos y la unidad
didáctica. 0 1 6 7 5 3,84 76,84
3. Hay una secuencia lógica en el orden en que se presentan los
contenidos temáticos. 1 3 4 8 3 3,47 69,47
4. El contenido se encuentra estructurado de manera que facilite
la comprensión. 0 4 5 6 4 3,53 70,53
5. Se plantea ejemplos que contribuyan al desarrollo de la
destreza. 0 3 3 8 5 3,79 75,79
MEDIA ARITMÉTICA 3,57 71,37
Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
62
Análisis e interpretación
En relación con los resultados de la media aritmética se observa que la mayor corresponde al
ítem 2 “coherencia” con (3.84) considerada como buena conexión entre contenidos de un tema a otro,
seguido del ítem 5 “ejemplos y destrezas” con (3.79) y siendo la menor el ítem 1 “objetivos de
aprendizaje” con (3.21), siendo considerado como bueno pero sin embargo se observa que debería
presentar los objetivos de una manera más clara y puntual para cada tema de la unidad. En total el
promedio general de la dimensión organización de contenido es 3.57 considera entre “bueno a
destacado” en la escala inicial, conforme con la tabla N° 07, la distribución y organización del
contenido del texto son buenos (3.57), sin embargo presenta falta de orden y saltos en los contenidos
de ciertos temas y una escasa elaboración de objetivos específicos en los temas a desarrollar.
Gráfico N° 02.
Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Organización del contenido.
Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Análisis e interpretación
En el grafico se evidencia un 76.84% para la coherencia, seguido de un 75.79% para los
ejemplos y destrezas, después un 70.53% relacionado al contenido, seguido de 69.47% para la
secuencia lógica, al final un 64.21% correspondiente a los objetivos de aprendizaje, luego el promedio
55%
60%
65%
70%
75%
80%
Objetivos de
aprendizaje
Coherencia Secuencia
lógica
Contenido Ejemplos y
destrezas
64,21%
76,84%
69,47% 70,53%
75,79%
Organización del contenido
63
general equivalente al 71.37% considerando a la dimensión como “buena” en el desarrollo de la
unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de
EGB, y publicado por el Ministerio de Educación. Quinta impresión junio del 2018.
4.1.3. Dimensión. Elementos funcionales
La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos de cada uno de los indicadores de la
dimensión de Elementos funcionales establecida en la escala estimativa, aplicada a diferentes docentes
en labor y conocimiento de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de
Matemática para el 9no año de EGB.
Tabla N° 08.
Importancia de la dimensión: Elementos funcionales, por parte de los docentes.
Indicadores de la dimensión: Elementos funcionales 1 2 3 4 5 Total
x̅ %
1. Los contenidos temáticos están adecuados al nivel de
madurez bio-psicológico del alumno. 0 3 7 6 3 3,47 69,47
2. Existen secciones que consideran las experiencias previas
del estudiante. 2 2 6 6 3 3,32 66,32
3. Se consideran las necesidades e intereses del estudiante. 1 3 8 6 1 3,16 63,16
4. Los contenidos permiten el desarrollo de competencias. 0 4 4 10 1 3,42 68,42
5. Estimula el desarrollo del pensamiento reflexivo. 0 3 8 6 2 3,37 67,37
6. Plantea ejemplos en base en las actividades de la vida real. 0 4 7 6 2 3,32 66,32
MEDIA ARITMÉTICA 3,35 66,95
Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Análisis e interpretación
En base a los resultados de la media aritmética la mayor corresponde al ítem 1 “contenidos
temáticos” con (3.47), seguido del ítem 4 “desarrollo de competencias” con (3.42), a continuación el
ítem 5 “pensamiento reflexivo” con (3.37), en medio el ítem 2 y 6 respectivamente “experiencias
64
previas” y “ejemplos reales” ambos con (3.32) y la menor el ítem 3 “necesidades e intereses” con
(3.16). El promedio total de la dimensión elementos funcionales es 3.35 considera entre “bueno a
muy bueno” en la escala inicial, en conformidad con la tabla N° 08, los elementos funcionales del
texto son regulares (3.35), presenta una deficiencia considerable en las necesidades e intereses del
estudiante al estudiar la unidad “factorización y ecuaciones”.
Gráfico N° 03.
Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Elementos funcionales.
Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Análisis e interpretación
En el grafico se evidencia un 69.47% para contenidos temáticos, seguido de un 68.42% para
el desarrollo de competencias, a continuación un 67.37% para el pensamiento reflexivo después por
igual un 66.32% relacionado con las experiencias previas y los ejemplos reales y al final un 63.16%
correspondiente a las necesidades e intereses, luego el promedio general equivale a 66.95% que
representa a la dimensión como “regular” en el sondeo de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”,
desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio de
Educación. Quinta impresión junio del 2018.
55%
60%
65%
70%
75%
80%
Contenidos
temáticos
Experiencias
previas
Necesidades
e intereses
Desarrollo de
competencias
Pensamiento
reflexivo
Ejemplos
reales
69,47%
66,32%
63,16%
68,42%67,37%
66,32%
Elementos funcionales
65
4.1.4. Dimensión. Elementos didácticos
La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos de cada uno de los indicadores de la
dimensión de Elementos didácticos establecida en la escala estimativa, aplicada a diferentes docentes
en labor y conocimiento de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de
Matemática para el 9no año de EGB.
Tabla N° 09.
Importancia de la dimensión: Elementos didácticos, por parte de los docentes.
Indicadores de la dimensión: Elementos didácticos 1 2 3 4 5 Total
x̅ %
1. Emplea organizadores gráficos. 5 4 6 3 1 2,53 50,53
2. Emplea técnicas audiovisuales. 5 7 3 4 0 2,32 46,32
3. Emplea técnicas verbales. 2 3 7 6 1 3,05 61,05
4. Utiliza técnicas de estudio. 2 4 4 7 2 3,16 63,16
MEDIA ARITMÉTICA 2,76 55,26
Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Análisis e interpretación
Según los resultados obtenidos en la media aritmética la mayor corresponde al ítem 4 “técnicas
de estudio” con (3.16), seguido del ítem 3 “técnicas verbales” con (3.05), a continuación el ítem 1
“organizadores gráficos” con (2.53), mientras la menor media aritmética es el ítem 2 “técnicas
audiovisuales” con (2.32). En general el promedio de la dimensión elementos didácticos es 2.76
considera entre “regular a bueno” en la escala inicial, conforme con la tabla N° 09, los elementos
didácticos en el texto son inaceptables (2.76), carece de organizadores gráficos así como de técnicas
audiovisuales que ayuden al reforzamiento de conocimientos.
66
Gráfico N° 04.
Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Elementos didácticos.
Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Análisis e interpretación
En el grafico se evidencia un 63.16% para técnicas de estudio, seguido de un 61.05% para
técnicas verbales, a continuación un 50.53% para el organizadores gráficos y al final un 46.32%
correspondiente a técnicas audiovisuales, el promedio general equivale a 55.26% que proyecta a la
dimensión como “inaceptable” en la elaboración de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”,
desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio de
Educación. Quinta impresión junio del 2018.
4.1.5. Dimensión. Redacción
La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos de cada uno de los indicadores de la
dimensión de Redacción establecida en la escala estimativa, aplicada a diferentes docentes en labor y
conocimiento de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática
para el 9no año de EGB.
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
Organizadores
gráficos
Técnicas
audiovisuales
Técnicas
verbales
Técnicas de
estudio
50,53%
46,32%
61,05%63,16%
Elementos didácticos
67
Tabla N° 10.
Importancia de la dimensión: Redacción, por parte de los docentes.
Indicadores de la dimensión: Redacción 1 2 3 4 5 Total
x̅ %
1. Se usa un vocabulario que sea entendible para el estudiante. 0 2 8 7 2 3,47 69,47
2. Se respeta con rigurosidad las reglas ortográficas. 0 2 6 6 5 3,74 74,74
3. Las ideas se expresan de manera clara sin que se presten a
confusiones. 0 2 8 6 3 3,53 70,53
MEDIA ARITMÉTICA 3,58 71,58
Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Análisis e interpretación
En relación con los resultados obtenidos la mayor media aritmética corresponde al ítem 2
“ortografía” con (3.74), seguido del ítem 3 “sintaxis” con (3.53), mientras la menor media aritmética
es el ítem 1 “vocabulario” con (3.47). La media aritmética total de la dimensión redacción es 3.58
considera entre “bueno y muy bueno” en la escala inicial, en conformidad con la tabla N° 10, se
evidencia que la redacción del texto es regular (3.58), presenta algunas faltas ortográficas y un escaso
vocabulario que sea afín a la comprensión de los estudiantes.
68
Gráfico N° 05.
Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Redacción.
Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Análisis e interpretación
Se evidencia en el grafico un 74.74% para la ortografía, seguido de un 70.53% para la sintaxis,
mientras al final un 69.47% correspondiente al vocabulario, entonces el promedio general es de
71.58% que define a la dimensión como “buena” en la redacción de la unidad 3: “Factorización y
ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el
Ministerio de Educación. Quinta impresión junio del 2018.
4.1.6. Dimensión. Ejercicios y cuestionarios
La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos de cada uno de los indicadores de la
dimensión de Ejercicios y cuestionarios establecida en la escala estimativa, aplicada a diferentes
docentes en labor y conocimiento de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el
texto de Matemática para el 9no año de EGB.
60%
65%
70%
75%
80%
Vocabulario Ortografía Sintaxis
69,47%
74,74%
70,53%
Redacción
69
Tabla N° 11.
Importancia de la dimensión: Ejercicios y cuestionarios, por parte de los docentes.
Importancia de la dimensión: Ejercicios y cuestionarios 1 2 3 4 5 Total
x̅ %
1. Los ejercicios tienen relación directa con el tema 0 1 10 3 5 3,63 72,63
2. El grado de dificultad está acorde con los conocimientos
de noveno EGB. 0 2 5 8 4 3,74 74,74
3. Los ejercicios contribuyen a la consecución de los
objetivos. 0 3 4 8 4 3,68 73,68
MEDIA ARITMÉTICA 3,68 73,68
Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Análisis e interpretación
Según los resultados obtenidos, la mayor media aritmética corresponde al ítem 2 “dificultad”
con (3.74), seguido del ítem 3 “secuencia” con (3.63), mientras la menor media aritmética es el ítem
1 “relación con el tema” con (3.63). Por ende la media aritmética total de la dimensión ejercicios y
cuestionarios es 3.68 considera entre “bueno y muy bueno” en la escala inicial, en conformidad con
la tabla N° 11, se observa que los ejercicios y cuestionarios del texto son buenos, casi destacados,
(3.68), principalmente muchos de estos ejercicios presentan una baja relación con el tema y los
ejemplos propuestos, en mismo sentido estos cuestionarios pueden llegar a tener una alta dificultad
para algunos alumnos.
70
Gráfico N° 06.
Valores de la distribución porcentual de la importancia en la dimensión Ejercicios y cuestionarios.
Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Análisis e interpretación
En el grafico se evidencia en el grafico un 74.74% para la dificultad, seguido de un 73.58%
para la secuencia, mientras al final un 72.63% correspondiente a la relación con el tema, el promedio
general es de 73.68% que define a la dimensión como “buena” en a los ejercicios resueltos y
planteados en la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para
el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación. Quinta impresión junio del 2018.
4.2. Análisis e interpretación general de las dimensiones.
Es conveniente realizar un análisis de los resultados obtenidos en cada dimensión, para lograr
una compresión general de los datos recolectados por el instrumento, así ayudara a mejorar la
comprensión de manera global acerca de la estructura del texto de matemáticas para 9no EGB y en
específico de la unidad 3 factorización y ecuaciones, haciendo evidentes las mayores carencias que
presenta dicho texto. De acuerdo con las tablas anteriores, en la elaboración de la tabla general,
representa en la primera columna las 6 dimensiones, la segunda columna pertenece a la media
60%
65%
70%
75%
80%
Relación con el tema Dificultad Secuencia
72,63%
74,74%73,68%
Ejercicios y cuestionarios
71
aritmética, mientras la tercera columna le corresponde a los porcentajes de importancia resultados de
las 18 escalas estimativas aplicadas a los docentes de diferentes instituciones educativas.
Tabla N° 12.
Importancia general de las dimensiones analizadas.
Importancia general de las dimensiones Total
x̅ %
1. ARTE Y DISEÑO DE LA UNIDAD 3.43 68.68
2. ORGANIZACIÓN DEL CONTENIDO 3.57 71.37
3. ELEMENTOS FUNCIONALES 3.35 66.95
4. ELEMENTOS DIDÁCTICOS 2.76 55.26
5. REDACCIÓN 3.58 71.58
6. EJERCICIOS Y CUESTIONARIOS 3.68 73.68
MEDIA ARITMÉTICA 3,40 67,92
Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Análisis e interpretación
Según los resultados obtenidos, la mayor media aritmética corresponde a la dimensión 6.
Ejercicios y cuestionario con (3.68), seguido de la dimensión 2 y 5 organización de contenido y
redacción con (3.57 y 3.58) respectivamente, a continuación las dimensiones 1 y 3 arte y diseño y
elementos funcionales con (3.43 y 3.35) ubicadas al centro de la distribución, y la menor dimensión
4. Elementos didácticos con (2.76). Por ende la media aritmética total de las dimensiones ejercicios
es 3.40 considera entre “bueno y muy bueno” en la escala inicial, la relación de valores determina
clara mente que la mayor deficiencia que presenta el texto en el uso de elementos didácticos al carecer
casi en su totalidad de organizadores gráficos, así como de técnicas de estudio bien diferenciadas.
72
Gráfico N° 07.
Valores porcentuales de la importancia general de las dimensiones.
Fuente: instrumento de recolección de datos (escala estimativa)
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Análisis e interpretación
En el grafico se evidencia un 73.68% para los ejercicios y cuestionario siendo el mayor
porcentaje considera a las tareas como buenas en su estructura, seguido de un 71.37% y un 71.58%
para la organización del contenido y la redacción respectivamente, al final un 55.26% correspondiente
a los elementos didácticos, lo que es inaceptable en un texto dirigido a la educación, en general el
promedio es de 67.92% que define al texto como regular en el carácter de su estructura metodológica
en la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, mientras al calcular la media aritmética general de las
dimensiones se obtiene un 3,40 sobre 5 con que se analiza a la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”,
desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, lo que la califica como un texto de
carácter bueno, con características que se pueden corregir y mejorar para su uso en la formación
académica de los estudiantes en las instituciones públicas.
73
CAPÍTULO V
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1 Conclusiones
De acuerdo con los datos proporcionados en la presente investigación, se concluye que:
❖ La unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no
año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación. Quinta impresión junio del 2018. Es
una unidad regular en su estructura, redacción y ejercicios, mientras que en base a los
elementos didácticos es inaceptable su carencia de organizadores y técnicas de estudio
sumamente importantes en el currículo nacional.
❖ La metodología más atractiva para la enseñanza de la unidad 3 factorización y ecuaciones es
una metodología Autoestructurante con una pedagogía constructivista. Para que el los temas
se relacionen correctamente con sus definiciones, normas y procesos. De esta manera se
lograra la creación del conocimiento fundamentado en las bases correctas para cada tema.
❖ El resultado general del análisis del texto muestra que su mayor carencia es la falta casi nula
de organizadores gráficos y técnicas de estudio. Aun cuando su mayor fortaleza se encuentra
en la pertinencia de ejercicios y cuestionarios, también se evidencia la baja relación de
correspondencia entre estos últimos y los ejercicios resueltos en cada tema.
❖ Además los elementos que son necesarios para llamar la atención del estudiante presentan una
baja importancia y presencia en el texto. Convirtiendo al texto en una lectura poca atractiva a
la vista y en ciertas partes confuso.
74
❖ Para mejorar la calidad técnico pedagogía del texto es necesario el apoyo externo, siendo este
brindado por el docente o como en este caso por la propuesta como un texto de ayuda que
pueda complementar los conocimientos del texto base utilizada en aula.
❖ Es considerable el realizar jornadas de acompañamiento pedagógico, así como seminarios que
ayude a los docentes y estudiantes a comprender que el uso de un texto complementario como
propuesta metodológica, apoya y enriquece el proceso de enseñanza - aprendizaje, además de
reforzar conocimientos y proporcionar herramientas para una educación con más calidad.
5.2 Recomendaciones
De acuerdo con las conclusiones en la presente investigación, se recomienda:
• Elaborar imágenes más llamativas, claras y con un tamaño adecuado para ser visualidad de
manera correcta y que el estudiante genere la curiosidad y preste la atención debida, así
también que los gráficos presentan relación con el tema de estudio.
• Que el contenido de la unidad presente una secuencia lógica con respecto a cada al tema
general y que cada uno de los subtemas presenten los objetivos de aprendizaje básicos para la
elaboración de los planes micro curriculares por parte del docente.
• Que los elementos funciones del texto, deben presentar ejemplos con relación a problemas de
la vida cotidiana, que sean reales y cumplan con las necesidades del tema, problemas que sean
de interés del estudiante para que pueda reflexionar en su contexto.
• Hacer énfasis en los elementos didácticos principalmente en la utilización de organizadores
gráficos y técnicas audiovisuales, muy necesarios para la organización de los conocimientos y
el refuerzo de los temas planteados en clase.
• Que la redacción del texto sea en un vocabulario amigable para los jóvenes pero sin perder la
coherencia con los términos matemáticos adecuados para cada tema, que cada párrafo guarde
relación sintáctica con las definiciones y procedimientos.
75
• Que los ejemplos, ejercicios, cuestionarios y actividades presenten una secuencia lógica tanto
con el tema como con la dificultad, haciendo énfasis en la relación entre los ejemplos y los
cuestionarios para que se presenten actividades de la misma índole.
• En general realizar una revisión minuciosa de texto. Para poder corregir errores en contexto
de materia y en relación con términos y símbolos matemáticos muy importantes al momento
de estudiar temas importantes
• Hacer un sondeo anual para la actualización de los textos y así mejorar uno tras otro cada
texto, de esta manera mejorar la calidad educativa de los estudiantes y del país en general.
76
CAPÍTULO VI
6. PROPUESTA
6.1 Introducción
Los estudiantes, docentes, padres de familia y en general toda persona que haya analizado un
texto publicado por el Ministerio de Educación, se ha notado fallas en cuanto a su redacción,
dificultad, comprensión o simplemente en su estructura, para los textos de matemáticas no hay
excepción, los cuales también presentan diversos errores en el lenguaje matemático, ejercicios,
ejemplos y procesos. Aun cuando los libros llevan un proceso de actualización cada cierto tiempo, es
necesario, que las metodologías sean actualizadas, en base a las técnicas de estudio que aporten
organizadores gráficos y técnicas audiovisuales a manera de refuerzo.
Se plantea elaboración de un propuesta metodológica para la enseñanza de la Unidad 3:
“Factorización y Ecuaciones”, desarrollada en la quinta impresión del texto de Matemática dirigida a
estudiantes del 9no año de EGB y publicado en junio del 2018 por el Ministerio de Educación, como
un texto complementario de refuerzo, donde los estudiantes y docentes pueden consultar y reforzar
los conocimientos del texto inicial. La propuesta contiene los casos de factorización fundamentales
en el texto mencionado, con un total de 13 casos de factoreo basados en los productos notables de la
Unidad 2, mientras el apartado de ecuaciones estudia el proceso para resolver ecuaciones de primer
grado con una incógnita además de algunos casos con problemas de la misma índole.
6.2 Justificación
La propuesta se justifica en base a los resultados del capítulo 4 y 5. Donde se detallan las
carencias de la Unidad 3: “Factorización y Ecuaciones” del texto de Matemática de 9no año de EGB
para estudiantes. Información recuperada de diferentes docentes mediante escala estimativa que
refleja las deficiencias, del texto en análisis para sustentar que los materiales utilizados en clase son
herramientas que ayudan tanto a estudiantes como a docentes mediante herramientas didácticas a
77
mejorar sus conocimientos a través de diversas actividades desarrolladas en clase (Mena Leon, 2019).
Se da importancia al contenido, estructura y herramientas que el libro precisa para ser utilizado.
Además Mena Leon, (2019) concluye que “Los libros de textos deben estar adecuados y
actualizados para que los niños y niñas puedan apropiarse del conocimiento mientras que el docente
es un facilitador del conocimiento que apoya a los estudiantes en el proceso de enseñanza –
aprendizaje” (p. 57). Haciendo énfasis en la actualización y corrección de los libros proporcionados
por el Ministerio de Educación, así es considerable que el principal sustento de la propuesta se
encuentra en el Reglamento general a la ley orgánica de educación intercultural. Titulo XI de la
provisión de textos, alimentación y uniformes escolares. Capítulo I De las normas generales.
Art. 374.- Actualización de textos escolares y recursos didácticos. Los textos escolares, guías
del docente, cuadernos de trabajo y demás recursos que se proporcionaren gratuitamente en
los establecimientos públicos y fiscomisionales serán actualizados de conformidad con lo
establecido en los estándares de calidad educativa y el currículo nacional obligatorio. Al menos
cada tres (3) años, el Nivel Central de la Autoridad Educativa Nacional debe realizar una
evaluación de dichos recursos y debe determinar la pertinencia de su actualización. (p. 108)
De acuerdo con lo expuesto, la propuesta es un reflejo claro del tiempo y las condiciones para
crear un libro que sirva como apoyo fundamental en la actualización de los textos del Ministerio de
Educación, se presenta la oportunidad de crear un material adicional que permita la corrección de las
fallas y la actualización de conocimientos, así también presentar un texto viable que sea de fácil acceso
y comprensión para toda la comunidad educativa del país.
6.3 Objetivo
6.3.1 Objetivo general
Elaborar el libro de texto sobre la propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3:
“Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB,
y publicado por el Ministerio de Educación mediante talleres pedagógicos.
78
6.3.2 Objetivos específicos
➢ Estimar la factibilidad de la realización de jornadas académicas de acompañamiento para el
libro “Factorización y ecuaciones”, a los docentes de diferentes instituciones educativas
pretendiendo la utilización como texto complementario para la mejora del rendimiento
académico.
➢ Diseñar un cronograma para las jornadas académicas de acompañamiento a la propuesta para
la enseñanza de la unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de
Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación, para mejorar
el rendimiento académico de estudiantes.
➢ Evaluar a los docentes en la utilización de la propuesta metodológica para la enseñanza de la
unidad 3: “Factorización y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no
año de EGB, y publicado por el Ministerio de Educación mediante talleres pedagógicos.
6.4 Marco referencial
La iniciativa para crear una propuesta metodológica, es la creación de un documento de apoyo
a texto base, además de la actualización y corrección de ciertas fallas en la unidad 3: “Factorización
y ecuaciones”, desarrollada en el texto de Matemática para el 9no año de EGB, y publicado por el
Ministerio de Educación. Quinta impresión del 2018.
La propuesta contiene los casos de factorización fundamentales en el texto mencionado con
un total de 13 casos de factoreo basados en los productos notables de la Unidad 2, mientras el apartado
de ecuaciones estudia el proceso para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita además
una diferenciación de los casos posibles a presentarse de problemas de ecuaciones de la misma índole.
En conjunto se presenta un calendario referencial para capacitar a los decentes en el uso de la
propuesta, con la finalidad de aprovechar el contenido al cien por ciento para desarrollar clases más
activas y dinámicas que tengan al estudiante en un aprendizaje reforzado, esto mediante un modelo
constructivista que le permita al estudiante generar soluciones diversas de los problemas planteados.
79
6.4.1. Validación del instrumento.
El instrumento de factibilidad, al igual que el instrumento de recolección de datos, fue validado
por parte de un experto en investigación educativa, el cual valoro, a su buen juicio, la estructura y
contenido del formato aplicado para determinar la factibilidad, esta validación permitirá la
continuación del proyecto, posterior a la creación de la propuesta, realizar un seguimiento en las
instituciones educativas que lo permitan del uso del libro Factorización y Ecuaciones, así lograra un
mejoramiento constante y actualización a su póstuma publicación.
Es por esto que, para la respectiva valides se entregó los siguientes documentos:
✓ Oficio dirigido al experto firmado por el investigador.
✓ Instructivo para la valoración de instrumentos.
✓ Instrumento de factibilidad.
✓ Formularios de validación para registrar la opinión sobre cada ítem.
✓ Formato de datos generales donde conste la firma del experto.
La validación de este instrumento fue realizada por los siguientes expertos:
Tabla N° 13.
Validación del instrumento de factibilidad por parte del experto.
Experto Área Lugar de Trabajo
Msc. Calixto Guamán Investigación Universidad Central del Ecuador
Fuente: Validez del instrumento de factibilidad.
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
6.4.2. Confiabilidad del instrumento de factibilidad
Para determinar la confiabilidad se aplicó una prueba a 18 profesores de matemáticas, quienes
mediante un análisis expresaron su criterio de factibilidad. Estos resultados fueron tabulados por la
hoja electrónica del Alfa de Cronbach para establecer su nivel confiabilidad. (Anexo)
Fórmula para el cálculo de la confiabilidad mediante el Alfa de Cronbach.
80
Método 2.
𝛼 =𝑘
𝑘 − 1[1 −
∑ 𝑆𝑖2
𝑆𝑇2 ]
Dónde:
𝑘 = Número de ítems
∑ 𝑆𝑖2 = Sumatoria de las desviaciones típicas
𝑆𝑇2 = desviación típica total
Confiabilidad del instrumento. Método 2
𝛼 =25
24[1 −
26.327
298.5]
𝜶 = 𝟎. 𝟖𝟕
Se verifica que en el cálculo del método mediante el alfa de Cronbach da como resultado 𝜶 =
𝟎. 𝟗𝟓. Por lo tanto esta cantidad es muy beneficiosa para la investigación debido a que determina una
alta confiabilidad en el instrumento de factibilidad según la tabla N° 04 Escala de Confiabilidad.
6.5. Características de la capacitación
Para la aplicación de la propuesta metodológica como lo es el texto factorizaciones y
ecuaciones, es necesario realizar una capitación previa en el uso del mismo. Esta capacitación debe
de ser interactiva y evaluada en aspectos como: objetivos, contenidos, creatividad y refuerzo. Por esto
la capacitación presenta las siguientes características.
• Una estética agradable.
El lugar y los insumos utilizados debes ser propositivos al uso del profesor y a la vista de los
participantes. El posible utilizar un lugar amplio y bien ventilado, con buena iluminación. Así mismo
los materiales de apoyo como proyectores o carteles deben estar en un lugar donde sea visible, las
aulas de clase siempre que sean adecuadas para el seguimiento de las jornadas de acompañamiento,
caso contrario se puede utilizar un aula de conferencias o auditorio para tener un mayor número de
participantes.
81
• Voz positiva.
El profesor debe saber regular su voz de manera que todos los participantes puedan escuchar,
a su vez debe vocalizar de manera tal que logre un lenguaje fluido y pueda comunicar los contenidos
de la capitación de forma clara y precisa, una voz fuerte y clara acompaña de ideas y mensajes breves
y directos, evitando lo más posible el uso de muletillas gramaticales así como de trabarse al momento
de la exposición, además se recomiendo realizar preguntas a nivel general al público y esperar un
respuesta con argumentos.
• Elementos interactivos.
Es posible basarse en diferentes elementos para hacer de la clase a seguir, un momento más
ameno para las personas. Implantar actividades dinámicas que mantengan al participante despierto y
enfocado, de igual forma el utilizar técnicas didácticas, lúdicas para impartir una capacitación de alto
nivel, es recomendable comenzar con una dinámica de inclusión y terminar la jornada con un
recolección de las ideas más importantes impartidas a lo largo del tiempo de la jornada.
• Cohesión estructural y objetivos claros.
Comenzar presentando los objetivos de la capacitación y seguir un hilo continuo en el
desarrollo de los contenidos, ayudara a completar de forma exitosa todo el plan aplicado en los
horarios respectivos, así como utilizar material que permita visualizar las ideas, es un recurso
importante para alcanzar el éxito en las jornadas de acompañamiento y poder determinar el mayor
porcentaje de entendimiento dentro de los participantes sobre el uso del libro de texto.
• Culminación y evaluación.
El cierre debe ir enfocado con responder las preguntas de los participantes, aclarando dudas
que pudieron surgir en el cuerpo de la jornada, además es importante realizar un resumen estándar de
los aspectos más importantes, que proporción al profesor como a los participantes una conclusión
clara de lo tratado en el tiempo trabajado, permitir que sean quienes elaboren el cuadro de resumen o
82
utilizando organizadores gráficos creativos para la posterior evaluación de los participantes la que
será útil para que el profesor mejore constante en sus posteriores presentaciones.
6.6. Factibilidad
Para determinare la factibilidad del uso da propuesta metodológica, se elaboró un instrumento
de recolección acerca de vialidad que tienen las instituciones educativas para capacitar a sus decentes
acerca del usa de textos y la metodología para los mismos. Este instrumento fue dirigido diferentes
docentes de instituciones educativas y que tiene conocimiento en el uso del texto, fuente de análisis
de esta investigación.
Una vez recolectados los datos de los instrumentos de factibilidad se procede a realizar el
cálculo de la media aritmética y del porcentaje de factibilidad para cada ítem, para facilitar la
interpretación de los resultados se presenta la siguiente tabla de equivalencia a la escala utilizada en
el instrumento.
Tabla N° 14.
Interpretación de resultados de instrumentos de factibilidad.
N° Escala Porcentaje
1 Totalmente en desacuerdo 0% - 20%
2 En desacuerdo 21% - 40%
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo 41% - 60%
4 De acuerdo 61% - 80%
5 Totalmente de acuerdo 81% - 100 %
Fuente: instrumento de factibilidad.
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
83
6.6.1. Análisis e interpretación de resultados
• Factores humanos
Tabla N° 15.
Factibilidad de los factores humanos.
Ítem 1 2 3 4 5 x̅ %
1.1. Los recursos humanos de la institución educativa en que labora,
están dispuestos a inscribirse en capacitaciones acerca del uso
de textos para desarrollar el tema de factorización y ecuaciones.
4 5 5 2 1 3.61 72.22
1.2. La institución educativa en que labora dispone de profesionales
capacitados para asistir a seminarios acerca del uso de textos
para desarrollar el tema de “factorización y ecuaciones”.
4 8 3 3 0 3.72 74.44
MEDIA ARITMÉTICA GENERAL 3.67 73.33
Fuente: instrumentos de factibilidad
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan M. (Investigador)
Análisis e interpretación
En base a la tabla de factibilidad para factores humanos, se evidencia que la mayor factibilidad
con 74.44% se da para el ítem 1.2 considerando que las instituciones educativas si cuentan con
profesionales capacitados para asistir a seminarios. Del mismo modo con un 72.22% del ítem 1.1
considera que las instituciones si disponen de recursos humanos para asistir a una capacitación. Por
ende el promedio general de la tabla lo deja en un 73.33% considerado como “de acuerdo” en la
constancia de factores humanos en las instituciones de educación. Por lo tanto los docentes están de
acuerdo que en sus instituciones educativas existe personal dispuesto a recibir capacitaciones acerca
del uso de textos para desarrollar el tema de “factorización y ecuaciones.
84
• Factores sociales.
Tabla N° 16.
Factibilidad de los factores sociales.
Ítem 1 2 3 4 5 x̅ %
2.1. Los docentes de la institución educativa en que labora, tienen
predisposición para asistir a capacitaciones relacionadas con
el uso de textos para desarrollar el tema de “factorización y
ecuaciones”.
5 5 4 3 1 3.56 71.11
2.2. El uso de textos para desarrollar el tema de “factorización y
ecuaciones”, permite mejorar la calidad del proceso de
enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática.
4 8 4 0 2 3.67 73.33
2.3. El uso de textos para desarrollar el tema de “factorización y
ecuaciones” en el aprendizaje de Matemática, permite
mejorar la gestión docente dentro y fuera del aula.
7 7 2 0 2 3.94 78.89
2.4. La utilización de textos para desarrollar el tema de
“factorización y ecuaciones” en el aprendizaje de
Matemática, permiten mejorar la calidad profesional de los
docentes de la Institución.
5 5 5 3 0 3.67 73.33
MEDIA ARITMÉTICA GENERAL 3.71 74.17
Fuente: instrumentos de factibilidad
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan M. (Investigador)
Análisis e interpretación
En base a la tabla de factibilidad para factores sociales, se evidencia que la mayor factibilidad
con 78.98% se da para el ítem 2.3 considerando que las instituciones educativas si cree que el uso de
textos mejora la gestión docente. Del mismo modo con un 73.33% del ítem 2.2 y 2.4 considera que
las instituciones si disponen de recursos humanos para asistir a una capacitación. Por ende el promedio
general de la tabla lo deja en un 73.33% considerando las instituciones educativas están de acuerdo
en la constancia de factores sociales para recibir capacitaciones.
85
• Factores legales.
Tabla N° 17.
Factibilidad de los factores legales.
Ítem 1 2 3 4 5 x̅ %
3.1. La institución educativa en que labora, dispone de normas
legales que apoyen los proyectos de capacitación en el uso de
textos complementarios para proceso de enseñanza aprendizaje.
3 7 7 0 1 3.61 72.22
3.2. La institución educativa en que labora, dispone del marco legal
correspondiente, para la implementación de capacitaciones para
mejorar la metodología en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
5 5 4 4 0 3.61 72.22
3.3. El Reglamento Interno de la institución educativa en que labora,
contempla la posibilidad de implementar textos
complementarios en el proceso de enseñanza aprendizaje de
Matemática.
5 7 5 0 1 3.83 76.67
MEDIA ARITMÉTICA GENERAL 3.68 73.7
Fuente: instrumentos de factibilidad
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan M. (Investigador)
Análisis e interpretación
En base a la tabla de factibilidad para factores legales, se evidencia que la mayor factibilidad
con 76.67% se da para el ítem 3.3 considerando que las instituciones educativas si mantienen un
reglamento interno que contempla la implementación de capacitaciones. Del mismo modo con un
72.22% del ítem 3.1 y 3.2 considera que las instituciones si disponen de normas y de un marco legal
para asistir a una capacitación. Por ende el promedio general de la tabla lo deja en un 73.7%
considerado que las instituciones educativas están de acuerdo en la constancia de factores legales
para recibir capacitaciones en el uso de textos complementarios t mejorare la enseñanza de
matemáticas.
86
6.6.2. Factibilidad general.
Tabla N° 18.
Factibilidad general de la capacitación.
Factibilidad general de la capacitación Total
x̅ %
1. Factibilidad humana 3.67 73.33
2. Factibilidad social 3.71 74.17
3. Factibilidad legal 3.68 73.7
MEDIA ARITMÉTICA 3,69 73.73
Fuente: instrumentos de factibilidad
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan M. (Investigador)
Análisis e interpretación
En base a la tabla de factibilidad general, se evidencia que la mayor factibilidad con 74.17%
se da los recursos sociales considerando que las instituciones educativas si tiene predisposición para
capacitar a sus docentes en el uso de un texto que ayude a mejorar la metodología utilizada en la
enseñanza de factorización y ecuaciones, seguido de un 73.7% correspondiente a los factores legales
que toda institución debe considerar tener un reglamento interno que contempla la implementación de
capacitaciones. Y un 73.33% de factores humanos que considera que los docentes de las instituciones
si predisposición de asistir a capacitaciones.
Por lo tanto, el promedio general de la tabla deja un 3.69 correspondiente a 73.73%
considerado que las instituciones educativas están de acuerdo en la implementación de capacitaciones
en el uso de textos complementarios para mejorar la enseñanza de matemáticas. En específico en la
enseñanza de factorización y ecuaciones. Desarrolladas en la unidad 3 del texto de 9 EGB.
87
6.7. Capacitación
6.7.1 Modelo de trabajo
Para aprovechar al máximo y mejorar la asimilación de los contenidos de la propuesta, se
desarrollaran seminarios a través de conferencias, que tomara en cuenta cada título en que se
desarrolla los temas de la propuesta.
✓ Primera etapa: saludo general y constatación de asistencia de los participantes. Exposición
del facilitador acerca del desarrollo del tema de la conferencia utilizando proyector y/o
computador. Participación de los docentes y contestación de preguntas.
✓ Segunda Etapa: Los participantes trabajan en sesiones individuales y/o grupales a manera de
talleres con un método de clase invertida para la enseñanza de los temas propuestos y el cual
se basa en el modelo constructivista.
✓ Tercera Etapa: Desarrollo de una mesa redonda dirigida en discusión de la síntesis y
conclusiones de la aplicación de la propuesta.
Esta propuesta se desarrollara en 6 seminarios distribuidos en dos semanas, la primera respecto
los casos de factorización y la segunda a los problemas de ecuaciones de primer grado con una
incógnita. Para lo cual se presenta un cronograma que considera los siguientes parámetros: el número
de seminario, el tema, el tiempo de duración, y el número de horas.
6.7.2 Recursos
Los recursos humanos, materiales y físicos necesarios para el desarrollo de los seminarios
serán utilizados únicamente para la presentación y análisis de los temas de la propuesta. Estos recursos
son con los que cuente la institución educativa para el desarrollo de un seminario; estos pueden ser:
computador, proyector, pizarrón, marcadores, papelógrafo, texto del ministerio para 9no EGB, texto
complementario “factorización y ecuaciones” entre otros.
88
6.7.3 Cronograma
Tabla N° 19.
Seminario de casos de factorización. Semana 1.
N° Tema Sub temas Tiempo N° Horas
1 Factores • Descomposición de factores.
• Factor común monomio y polinomio. 1dia 2h
2 Binomios • Diferencia de cuadrados
• Suma y diferencia de cubos 1dia 2h
3 Polinomios • Trinomios
• Regla de Ruffini 1 día 3h
Evaluación 1 día 1h
Total: tiempo 4 días, carga horaria 8 horas
Fuente: criterio propio del investigador
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
Tabla N° 20.
Seminario de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Semana 2.
N° Tema Sub temas Tiempo N° Horas
1 Ecuaciones
• Igualdades y Ecuaciones.
• Ecuaciones Equivalentes.
• Ecuaciones de primer grado.
1dia 2h
2 Problemas I
• Transformación del lenguaje verbal al
lenguaje algebraico
• Procedimiento para resolver problemas
• Problemas con Números.
1dia 2h
3 Problemas II
• Problemas con cantidades.
• Problemas con edades.
• Problemas con Perímetros y Áreas.
• Problemas de Reloj.
1 día 3h
Evaluación 1 día 1h
Total: tiempo 4 días, carga horaria 8 horas
Fuente: criterio propio del investigador
Elaborado por: Bahamonde M. Bryan (investigador)
89
6.7.4 Evaluación
La evaluación para cada semana de los seminarios, realizará mediante herramientas digitales.
Mediante diversas actividades de evaluación:
✓ Se realizarán talleres de aplicación al finalizar el desarrollo de la capacitación y resúmenes
mediante organizadores gráficos después de cada seminario.
✓ Se enviarán actividades adicionales como practicas virtuales para mejorar la comprensión de
cada seminario.
✓ Se evaluara el empleo de la propuesta, mediante la observación de una clase y recolección de
opiniones mediante una encuesta hecha a los estudiantes.
Para la evaluación de la capacitación se solicitara la colaboración de los participantes al llenar
una matriz de evaluación, misma que servirá para calificar al capacitador y al contenido de la
capacitación.
Se anexa el modelo de evaluación
6.8 Propuesta libro
Se anexa el texto de “factorización y ecuaciones”
90
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Barreto Tovar, C. H., Gutiérrez Amador, L. F., Pinilla Díaz, B. L., & Parra Moreno, C. (2006).
Límites del constructivismo pedagógico. Educación y Educadores, 9(1), 11-31.
https://www.redalyc.org/articulo.oa?id=83490103
Bastidas, P. (2004). ESTRATEGIAS Y TÉCNICAS DIDÁCTICAS.
Bernardo Barragán, C. (2007). DEL ANÁLISIS DE LA TRANSMISIÓN AL ANÁLISIS DE LA
CONSTRUCCIÓN: LA EMERGENCIA DEL PARADIGMA COGNITIVO EN LA
EDUCACIÓN EN COLOMBIA. Revista Electrónica «Actualidades Investigativas en
Educación», 7(3), 16. http://revista.inie.ucr.ac.cr
Bernardo Gómez, A. (s. f.). LOS LIBROS DE TEXTO DE MATEMÁTICAS. Recuperado 10 de
septiembre de 2020, de https://www.uv.es/gomezb/3Loslibrosdetexto.pdf
Cantoral, R. (2001). ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR.
Sinéctica, Revista Electrónica de Educación.
https://www.redalyc.org/pdf/998/99817935002.pdf
Carbajosa, D. (2011). Debate desde paradigmas en la evaluación educativa. Perfiles Educativos,
XXXIII, nú, 183-192. http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=13218510011
De Zubiría Samper, J. (2011). Los Modelos Pedagógicos Hacia una pedagogia dialogante (2.a ed.).
Cooperativa Editorial Magisterio. https://es.calameo.com/read/0044202567a8b0be6aee2
Esteban Hilario, Y. K. (2015). Una evaluación epistemológica de la psicología como ciencia.
Horizonte de la Ciencia, 5, núm. 8, 47-54.
https://doi.org/https://doi.org/10.26490/uncp.horizonteciencia.2015.8.120
Fernández Palop, M. P., Caballero García, P. Á., & Fernández Bravo, J. A. (2017). El libro de texto
como objeto de estudio y recurso didáctico para el aprendizaje: fortalezas y debilidades. Revista
Electrónica Interuniversitaria de Formación del Profesorado, 20(1), 201.
https://doi.org/10.6018/reifop/20.1.229641
Fonseca Castro, J. &, & Castillo Sánchez, M. (2013). Formación de Docentes de Matemática:
Aspectos Relevantes. Uniciencia, 27(1), 2-14. www.revistas.una.ac.cr/uniciencia
91
García Blanco, M. M. (2005). La formación de profesores de matemáticas. Un campo de estudio y
preocupación. Educación Matemática, 17, 166. https://www.redalyc.org/pdf/405/40517207.pdf
Hernández Arteaga, I., Recalde Meneses, J., & Alberto Luna, J. (2015). ESTRATEGIA
DIDÁCTICA: UNA COMPETENCIA DOCENTE EN LA FORMACIÓN PARA EL MUNDO
LABORAL. Revista Latinoamericana de Estudios Educativos (Colombia), 11(1), 73-94.
https://www.redalyc.org/articulo.oa?id=134144226005
Hernández Rojas, G. (1998). Paradigmas en psicología de la educación. En Paradigmas en
psicología de la educación. (pp. 59-76). Paidós Mexicana, S.A.
https://escueladenegocioscui.files.wordpress.com/2013/08/paradigmas-en-psicologia-de-la-
educacion.pdf
Level, M. B., & Mostacero, R. (2011). El TEXTO ESCOLAR: ¿ARTEFACTO DIDÁCTICO?
Investigación y Postgrado, 26(2), 9-56. https://www.redalyc.org/pdf/658/65830335007.pdf
LlivinaLavigne, M. J. (2011). La formación de un docente de calidad para el desarrollo sostenible.
http://www.unesco.org/new/fileadmin/MULTIMEDIA/FIELD/Havana/pdf/Formaciondocentes
_Llivina.pdf
López Montero, R. (2018). Propuesta de internacionalización desde las estrategias didácticas
universitarias. ALTERIDAD, 13(2), 1-16.
https://www.redalyc.org/articulo.oa?id=467755915007
Mena Leon, V. E. (2019). El papel de los textos escolares en el diseño y desarrollo del curriculo de
preparatoria en la Unidad Educativa Borja Montserrat [UNIVERSIDAD POLITÉCNICA
SALESIANA SEDE QUITO]. En Tesis (Vol. 04).
https://dspace.ups.edu.ec/bitstream/123456789/17559/1/UPS-QT13997.pdf
Mora, D. (2012). Concepción y características de los libros de texto y otros materiales para el
aprendizaje y la enseñanza Primera parte. Revista Integra Educativa, 5(1).
http://www.scielo.org.bo/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1997-40432012000100002
Piaget, J. (s. f.). SEIS ESTUDIOS DE PSICOLOGÍA. Recuperado 14 de diciembre de 2020, de
http://dinterrondonia2010.pbworks.com/f/Jean_Piaget_-_Seis_estudios_de_Psicologia.pdf
92
Preparadores de Oposiciones. (2020, mayo 6). ▶ 5 Métodos Pedagógicos Actuales que debes
conocer【2020】. https://preparadoresoposiciones.com/metodos-pedagogicos-actuales/
Prieto Pimienta, J. H., & De la Orden Hoz, A. (2017). Metodología de la investigación (3.a ed.).
Ramírez Jiménez, M. del S., Albor Calderón, C., & Villar Cuevas, M. de L. (2006). APRENDIZAJE
GRUPAL EN LA ENSEÑANZA DE LA QUÍMICA. Revista Cubana de Química, XVIII(2),
70-76. http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=443543704025
Rivero, D. S. B. (2008). Introducción a la Metodología de la Investigación.
Rodríguez, Á. (2014). Acompañamiento y cambio en el aula aprendizaje-enseñanza de las
matemáticas escolares. https://dialnet.unirioja.es/servlet/libro?codigo=573437
Rodríguez Arocho, W. C. (1999). EL LEGADO DE VYGOTSKI y DE PIAGET A LA
EDUCACIÓN. Revista Latinoamericana de Psicología, 31(3), 477-489.
https://www.redalyc.org/pdf/805/80531304.pdf
Rodríguez, M. E. (1997). La educación matemática en la conformación del ciudadano Mathematics
Education in Co-Forming the Citizen. En Telos (Vol. 15, Número 2). Universidad Privada Dr.
Rafael Belloso Chacín. https://www.redalyc.org/articulo.oa?id=99328423006
Sampieri, R. H., Collado, C. F., & Baptista, M. del P. L. (2014). Metodologia de la investigación. En
Journal of Chemical Information and Modeling (Vol. 53, Número 9).
https://doi.org/10.1017/CBO9781107415324.004
Serna, A. R. (1985). El Método Didáctico.
http://bibliotecadigital.udea.edu.co/bitstream/10495/9928/1/SernaMejiaAlfonso_1985_Metodo
Didactico.pdf
Severo, A. (2012). TEORÍAS DEL APRENDIZAJE.
https://d1wqtxts1xzle7.cloudfront.net/56641056/piaget-y-
vigotsky.pdf?1527118390=&response-content-
disposition=inline%3B+filename%3DTEORIAS_DEL_APRENDIZAJE.pdf&Expires=159958
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93
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wGNeS2YTVQi1rjigtHKB9RiBkxIurPc89EdrTIIHeF2c~F8joEiqor9uxHPYnszlRwiVeiPJhCv
QOUFE-nTA5TYrGpdKv5utroOgW85q3RRy6OmwtgQ__&Key-Pair-
Id=APKAJLOHF5GGSLRBV4ZA
Soaje de Elías, R. (2018). Textos escolares: consideraciones didácticas . Educación y Educadores,
21(1), 73-92. https://doi.org/10.5294/edu.2018.21.1.4
Stracuzzi, S. P., & Pestana, F. M. (2012). Metodología de la investigación cuantitativa (FEDUPEL).
Subdirección De Currículum y Evaluación, Campusano Cataldo, K., & Díaz Olivos, C. (2018).
MANUAL DE TÉCNICAS DIDÁCTICAS: ORIENTACIONES PARA SU SELECCIÓN (1.a ed.).
Torres, Y., & Moreno, R. (2008). EL TEXTO ESCOLAR, EVOLUCION E INFLUENCIAS. En
Año (Vol. 14).
Vásquez, E. L. H., & León, R. M. B. (2013). EDUCACIÓN Y MODELOS PEDAGÓGICOS.
http://www.boyaca.gov.co/SecEducacion/images/Educ_modelos_pedag.pdf
Velásquez Aponte, D., & López Díaz, R. A. (2015). El texto escolar: investigaciones sobre sus
perspectivas y uso en la ciudad de Bogotá (Kimpres & Universidad de la Salle (eds.)).
biblioteca.clacso.edu.ar/Colombia/fce-unisalle/20170131041229/eltexto.pdf
94
ANEXOS
Anexo N° 01: Instrumento de recolección de datos (Escala estimativa)
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA DE
MATEMÁTICA Y FÍSICA
ESCALA ESTIMATIVA PARA LA EVALUACIÓN DEL TEXTO DE MATEMÁTICA DE
NOVENO DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA DEL MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DATOS GENERALES DEL TEXTO
Título del libro: MATEMÁTICA 9° EGB Autores: Proyecto licitación Ministerio de Educación
Editorial: SMEcuaediciones 2016 Fecha de edición: 2018
Número de edición: quinta Asignatura: Matemática
Bloque: Álgebra y funciones Unidad: 3 Factorización y ecuaciones
INSTRUCCIONES:
Lea cuidadosamente cada uno de los siguientes indicadores para la evaluación del texto. Luego,
registre una (x), en la celda correspondiente, considerando la siguiente escala:
1. INACEPTABLE 2. ACEPTABLE 3. BUENO 4.DESTACADO 5.EXCELENTE
No 1. ARTE Y DISEÑO DE LA UNIDAD 1 2 3 4 5
Subtotal
1.1. El efecto artístico de la carátula de la unidad capta la atención del
estudiante.
1.2. Las ilustraciones que presenta el texto están relacionadas con el tema.
1.3. El tamaño y la distribución de las ilustraciones en el texto están de acuerdo
con el formato del contenido.
1.4. La disposición del contenido en la página es comprensible y ayuda al proceso
de enseñanza-aprendizaje.
95
No 2. ORGANIZACIÓN DEL CONTENIDO
2.1. La unidad presenta los objetivos de aprendizaje a alcanzar con claridad.
2.2. Existe coherencia entre los contenidos temáticos y la unidad didáctica
2.3. Hay una secuencia lógica en el orden en que se presentan los contenidos
temáticos
2.4. El contenido se encuentra estructurado de manera que facilite la
comprensión.
2.5. Se plantea ejemplos que contribuyan al desarrollo de la destreza.
No 3. ELEMENTOS FUNCIONALES
3.1. Los contenidos temáticos están adecuados al nivel de madurez bio-
psicológico del alumno.
3.2. Existen secciones que consideran las experiencias previas del estudiante.
3.3. Se consideran las necesidades e intereses del estudiante.
3.4. Los contenidos permiten el desarrollo de competencias
3.5. Estimula el desarrollo del pensamiento reflexivo
3.6. Plantea ejemplos con base en las actividades de la vida real
No 4. ELEMENTOS DIDÁCTICOS
4.1. Emplea organizadores gráficos (diagramas, flujogramas, mentefactos, ...)
4.2. Emplea técnicas audiovisuales (Celular, Tablet, …)
4.3. Emplea técnicas verbales (Anécdotas, Historias, Biografías de
Personajes,…)
4.4. Utiliza técnicas de estudio
No 5. REDACCIÓN
5.1. Se usa un vocabulario que sea entendible para el estudiante
5.2. Se respeta con rigurosidad las reglas ortográficas
5.3. Las ideas se expresan de manera clara sin que se presten a confusiones
No 6. EJERCICIOS Y CUESTIONARIOS
6.1. Los ejercicios tienen relación directa con el tema
6.2. El grado de dificultad está acorde con los conocimientos de noveno EGB
6.3. Los ejercicios contribuyen a la consecución de los objetivos
SUMA TOTAL
96
Firma:
Nombre :
Teléfono:
Lugar de trabajo:
E-mail:
Anexo N° 02: Cálculo del “Alfa de Cronbach” de la escala estimativa.
3 3 4 2 2 4 3 4 4 4 3 2 3 2 4 4 4 3 2 0,659
4 3 5 4 3 5 2 4 3 5 4 2 5 2 5 4 5 4 2 1,247
4 3 4 3 3 4 2 4 3 4 4 2 4 2 4 4 5 4 3 0,670
5 3 4 3 1 4 4 4 3 3 4 2 4 2 5 4 4 3 2 1,075
1 3 4 4 2 5 3 4 3 1 4 3 5 2 5 4 1 3 4 1,640
4 3 4 4 3 5 3 4 3 5 4 4 5 3 5 5 3 4 2 0,765 k = 25 k = número de items
4 2 5 3 3 4 3 4 2 4 4 4 5 2 4 5 4 3 1 1,197
4 3 4 3 2 4 3 4 2 5 4 3 5 2 5 5 4 3 2 1,091
4 3 4 5 5 3 4 4 2 4 4 3 5 2 4 5 5 4 2 1,008
3 3 4 4 3 5 4 4 2 5 3 2 3 3 5 4 4 3 2 0,881
1 2 4 4 3 5 3 4 2 1 4 3 4 3 5 3 5 3 4 1,374 α = k ΣVᵢ
2 3 4 4 3 5 2 4 1 3 4 2 4 3 4 3 3 3 3 0,870 k -1 VT
2 4 4 3 3 4 3 4 2 4 4 2 4 2 4 5 4 4 3 0,770
3 3 3 4 3 5 3 4 3 3 4 2 5 2 4 4 3 4 2 0,759
4 2 3 3 3 5 3 4 2 4 4 2 4 2 5 4 3 3 3 0,848 α = 25 24,9418
1 2 3 1 2 2 2 3 3 1 4 4 5 3 3 4 3 1 1 1,407 24 282,8
1 2 3 1 2 2 2 4 3 1 4 4 4 2 2 3 2 1 1 1,163
3 3 3 2 3 3 1 4 3 1 4 4 4 2 3 4 4 5 2 1,102
2 3 3 2 1 4 3 4 3 1 4 4 5 2 4 4 4 5 2 1,396
4 3 3 3 2 4 3 3 3 5 4 4 5 3 4 4 4 3 2 0,670 α = 0,95
4 3 3 3 3 5 4 3 2 4 4 4 5 3 5 4 5 5 2 0,931
3 3 3 3 3 4 4 3 2 4 4 4 5 3 5 5 4 3 2 0,776
4 3 3 3 3 5 3 4 3 5 3 3 5 3 4 5 5 3 2 0,864
4 3 3 4 2 5 3 4 3 4 4 4 5 3 5 4 5 4 2 0,825
4 4 3 4 3 5 3 4 2 4 4 4 5 2 5 5 4 3 2 0,953
24,942 ΣVᵢ
78 72 90 79 66 106 73 96 64 85 97 77 113 60 108 105 97 84 55 282,776 VT
1-
1-
N° ItemSujeto
1.1.
1.2.
1.3.
3.5.
3.6.
4.1.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
09
6.1.
6.2.
6.3.
01 02
5.2.
5.3.
4.2.
4.3.
4.4.
5.1.
3.2.
3.3.
04 05 06 07
3.1.
03
1.4.
08 Varianza10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3.4.k
Σ Item
3 3 4 2 2 4 3 4 4 4 3 2 3 2 4 4 4 3 2 0,659
4 3 5 4 3 5 2 4 3 5 4 2 5 2 5 4 5 4 2 1,247
4 3 4 3 3 4 2 4 3 4 4 2 4 2 4 4 5 4 3 0,670
5 3 4 3 1 4 4 4 3 3 4 2 4 2 5 4 4 3 2 1,075
1 3 4 4 2 5 3 4 3 1 4 3 5 2 5 4 1 3 4 1,640
4 3 4 4 3 5 3 4 3 5 4 4 5 3 5 5 3 4 2 0,765 k = 25 k = número de items
4 2 5 3 3 4 3 4 2 4 4 4 5 2 4 5 4 3 1 1,197
4 3 4 3 2 4 3 4 2 5 4 3 5 2 5 5 4 3 2 1,091
4 3 4 5 5 3 4 4 2 4 4 3 5 2 4 5 5 4 2 1,008
3 3 4 4 3 5 4 4 2 5 3 2 3 3 5 4 4 3 2 0,881
1 2 4 4 3 5 3 4 2 1 4 3 4 3 5 3 5 3 4 1,374 α = k ΣVᵢ
2 3 4 4 3 5 2 4 1 3 4 2 4 3 4 3 3 3 3 0,870 k -1 VT
2 4 4 3 3 4 3 4 2 4 4 2 4 2 4 5 4 4 3 0,770
3 3 3 4 3 5 3 4 3 3 4 2 5 2 4 4 3 4 2 0,759
4 2 3 3 3 5 3 4 2 4 4 2 4 2 5 4 3 3 3 0,848 α = 25 24,9418
1 2 3 1 2 2 2 3 3 1 4 4 5 3 3 4 3 1 1 1,407 24 282,8
1 2 3 1 2 2 2 4 3 1 4 4 4 2 2 3 2 1 1 1,163
3 3 3 2 3 3 1 4 3 1 4 4 4 2 3 4 4 5 2 1,102
2 3 3 2 1 4 3 4 3 1 4 4 5 2 4 4 4 5 2 1,396
4 3 3 3 2 4 3 3 3 5 4 4 5 3 4 4 4 3 2 0,670 α = 0,95
4 3 3 3 3 5 4 3 2 4 4 4 5 3 5 4 5 5 2 0,931
3 3 3 3 3 4 4 3 2 4 4 4 5 3 5 5 4 3 2 0,776
4 3 3 3 3 5 3 4 3 5 3 3 5 3 4 5 5 3 2 0,864
4 3 3 4 2 5 3 4 3 4 4 4 5 3 5 4 5 4 2 0,825
4 4 3 4 3 5 3 4 2 4 4 4 5 2 5 5 4 3 2 0,953
24,942 ΣVᵢ
78 72 90 79 66 106 73 96 64 85 97 77 113 60 108 105 97 84 55 282,776 VT
1-
1-
N° ItemSujeto
1.1.
1.2.
1.3.
3.5.
3.6.
4.1.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
09
6.1.
6.2.
6.3.
01 02
5.2.
5.3.
4.2.
4.3.
4.4.
5.1.
3.2.
3.3.
04 05 06 07
3.1.
03
1.4.
08 Varianza10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3.4.k
Σ Item
97
Anexo N° 03: Validación de instrumentos de recolección de datos por parte de expertos.
Experta de matemática: Lcda. Johana Flores
98
99
100
Experto en matemática: Lcdo. Nelson Mejía
101
102
103
Experto en lenguaje: MSc. Calixto Guamán
104
105
106
Anexo N° 04: Instrumento para determinar la Factibilidad.
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE FILOSOFÍA LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
USO DE LA PROPUESTA METODOLÓGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA UNIDAD 3:
“FACTORIZACIÓN Y ECUACIONES”, DESARROLLADA EN EL TEXTO DE
MATEMÁTICA PARA EL 9NO AÑO DE EGB, Y PUBLICADO POR EL MINISTERIO DE
EDUCACIÓN. QUINTA IMPRESIÓN JUNIO DEL 2018.
ENCUESTA DIRIGIDA A DOCENTES DE INSTITUCIONES EDUCATIVAS.
La presente encuesta tiene por objetivo recoger la información necesaria para determinar la
factibilidad del uso del libro “FACTORIZACIÓN Y ECUACIONES” por parte de docentes
en instituciones educativas para la enseñanza de Matemática, en el desarrollo de sus clases.
DATOS PERSONALES:
Nombre: …………………………………………………………………………………………………..
Cargo que desempeña: …………………...………………..……………………………………………...
Tiempo de trabajo: ………………………….…………………………………………………………….
Título: …………………………………………………….……………………………………………….
1 Totalmente en desacuerdo 0%
2 En desacuerdo 25 %
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo 50 %
4 De acuerdo 75 %
5 Totalmente de acuerdo 100 %
Se Agradece contestar las siguientes preguntas con toda honestidad y precisión.
INSTRUCCIONES
Lea cuidadosamente cada enunciado y reflexione la factibilidad, luego marque con “x”, el casillero
correspondiente a la respuesta que mejor exprese su opinión, considerando la siguiente escala:
107
ENUNCIADOS 1 2 3 4 5
1. FACTORES HUMANOS
1.1. Los recursos humanos de la institución educativa en que labora, están
dispuestos a inscribirse en capacitaciones acerca del uso de textos para
desarrollar el tema de “factorización y ecuaciones
1.2. La institución educativa en que labora dispone de profesionales capacitados
para asistir a seminarios acerca del uso de textos para desarrollar el tema de
“factorización y ecuaciones”.
2. FACTORES SOCIALES
2.1. Los docentes de la institución educativa en que labora, tienen predisposición
para asistir a capacitaciones relacionadas con el uso de textos para
desarrollar el tema de “factorización y ecuaciones”.
2.2. El uso de textos para desarrollar el tema de “factorización y ecuaciones”,
permite mejorar la calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje de la
asignatura Matemática.
2.3. El uso de textos para desarrollar el tema de “factorización y ecuaciones” en
el aprendizaje de Matemática, permite mejorar la gestión docente dentro y
fuera del aula.
2.4. La utilización de textos para desarrollar el tema de “factorización y
ecuaciones” en el aprendizaje de Matemática, permiten mejorar la calidad
profesional de los docentes de la Institución.
3. FACTORES LEGALES
3.1. La institución educativa en que labora, dispone de normas legales que
apoyen los proyectos de capacitación en el uso de textos complementarios
para proceso de enseñanza aprendizaje.
3.2. La institución educativa en que labora, dispone del marco legal
correspondiente, para la implementación de capacitaciones para mejorar la
metodología en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
3.3. El Reglamento Interno de la institución educativa en que labora, contempla
la posibilidad de implementar textos complementarios en el proceso de
enseñanza aprendizaje de Matemática.
108
Anexo N° 05: Calculo del “Alfa de Cronbach” para la factibilidad.
109
Anexo N° 06: Validación de instrumentos para determinar la factibilidad.
Experto en investigación: Msc. Calixto Guamán
110
111
112
Anexo N° 07: Matriz de evaluación para la capacitación.
REGISTRO PARA LA EVALUACIÓN DE ACTIVIDAD DE CAPACITACIÓN
Seminario acerca del:
“uso de la propuesta metodológica para la enseñanza de la unidad 3: “factorización y
ecuaciones”, desarrollada en el texto de matemática para el 9no año de EGB, y publicado por
el ministerio de educación. Quinta impresión junio del 2018.”
Capacitador: Bahamonde M. Bryan Fecha: 18/11/2020 Horario: …………….
Por favor, conteste en la manera más honesta posible las siguientes preguntas. No es necesario que
escriba su nombre. Toda sugerencia adicional que nos aporte se la agradeceremos e intentaremos
realizar los mejoramientos pertinentes en las próximas actividades.
Por favor, evalúe en la escala 1-4.
1. Deficiente 2. Suficiente 3. Bueno 4. Muy bueno
Muchas gracias.
N° ÍTEMS Escala para la evaluación
1. Sobre el capacitador 1 2 3 4
1. Posee conocimiento y dominio del tema
2. Es capaz de comunicar y transmitir ideas
3. Posee la habilidad para responder preguntas
4. Orienta la realización de los talleres
5. Orienta al grupo hacia los objetivos del seminario
6. Respeta las ideas y aportes de los participantes
7. Favorece el trabajo en equipo
N° 2. SOBRE EL CURSO
1. Cumplimiento del programa propuesto
2. Contenido temático teniendo en cuenta su utilidad práctica
3. Utilidad del material para el logro de los objetivos planteados
4. Logro de los objetivos propuestos
113
5. La metodología utilizada dentro del curso es adecuada.
N° 3.SOBRE LA LOGÍSTICA DEL CURSO
1. Infraestructura y comodidad del lugar de capacitación
2. Calidad del material entregado
3. Cumplimiento del horario y del programa
4. OBSERVACIONES
FIRMA
NOMBRE
CARGO
TITULO
E- MAIL
114
Anexo N° 08. Validación de la Propuesta - Texto "factorización y ecuaciones".
Experta en matemática: Lcda. Catherine Villamarín
115
116
Anexo N° 09: Libro de texto “Factorización y Ecuaciones”.
117
(ι̇∂+m)ψ=0
Bryan M. Bahamonde M.
Quito - Ecuador
118
“El poder de las
matemáticas
está a menudo
en cambiar una
cosa en otra,
cambiar la
geometría en
lenguaje.
-Marcus Du
Sautoy
i
{ } FACTORIZACIÓN
Y ECUACIONES
Bryan M. Bahamonde M.
Quito - Ecuador
(ι̇∂+m)ψ=0
ii
TÍTULO DE LA OBRA:
Factorización y Ecuaciones
AUTOR:
Lic. Bahamonde M. Bryan Mauricio
LICENCIADO EN PEDAGOGÍA
DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES,
MATEMÁTICA Y FÍSICA DE LA
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
ISBN: 978-9942-38-687-8
Primera edición, octubre 2020.
DERECHOS RESERVADOS
No está permitida la reproducción total o
parcial de este libro por ningún medio:
electrónico, mecánico u otros métodos;
sin la autorización previa y por escrito de
los autores.
PORTADA:
Fondo: matiz de azul con letras doradas.
Factoreo y Ecuaciones.
Una vez asimilada la
aritmética,
El siguiente paso es
comenzar a conocer el
álgebra.
(ι̇∂+m)ψ=0 “Ecuación de Dirac”
Quito – Ecuador.
iii
INTRODUCCIÓN
El presente estudio nace de la Propuesta Metodológica para la enseñanza de la Unidad 3:
“Factorización y Ecuaciones”, desarrollada en la quinta impresión del texto de Matemática dirigida a
estudiantes del 9no año de EGB y publicado en junio del 2018 por el Ministerio de Educación, como
proyecto de investigación para la obtención del título de Licenciado en Matemática y Física.
El contenido de la obra corresponde a los casos de factorización y ecuaciones. Los cuales son temas
fundamentales en el texto mencionado anteriormente. Dentro del primer tema se estudian 4 títulos con
un total de 13 casos de factoreo, basados en los productos notables presentes en la Unidad 2. Mientras,
en el segundo tema estudia el proceso para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita
además de algunos casos con problemas de la misma índole.
Dejar a los números hacer todo el trabajo parece algo exhaustivo, por eso ahora serán
acompañados de las letras, con el fin de comenzar a relacionar el problema con la acción
y la vida con las matemáticas. Así como el factoreo es una herramienta muy necesaria
para el resto del camino en el conocimiento matemático, las ecuaciones y el resolver
problemas con ecuaciones son esenciales para continuar el camino de la vida.
La factorización es un proceso utilizado para descomponer “problemas” y encontrar
soluciones. Se considera un proceso deductivo del álgebra que transforma expresiones
algebraicas complejas a sus formas simples que la componen.
Por otra parte, los problemas matemáticos son la aplicación de ecuaciones, mediante un
proceso para plantear y resolver situaciones que se pueden representar en lenguaje
algebraico. Las ecuaciones son igualdades que contienen incógnitas y son verdaderas
únicamente para ciertas condiciones.
Bahamonde M- Bryan Mauricio
Quito D. M, 08 de octubre de 2020
iv
DEDICATORIA
A los docentes, que con su paciencia y conocimiento a
lo largo de este camino me han formado para
alcanzar, no solo el conocimiento académico, sino el
cumplimiento de un sueño.
A mis padres, primeros profesores que me formaron
en valores, al siempre apoyarme y sacrificarse para
sacar adelante a toda la familia.
A mis hermanos y hermana, quienes lograron
formarse y ser profesionales, me han servido de
inspiración.
A cada estudiante, compañero, que tiene deseos de
aprender y superarse, quien busca en sus docentes
una persona que pueda ayudarlo a crecer.
A mi compañera sentimental, que estuvo conmigo en
el largo proceso universitario, que con subidas y bajas
supo levantarme de los peores agujeros y
acompañarme en los más altos cielos.
v
ÍNDICE
FACTORIZACIÓN Y ECUACIONES ............................................................................. 1
3.1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................... 1
3.2. PRODUCTOS NOTABLES ........................................................................................... 2
3.2.1. Cuadro de resumen de los productos notables .............................................................. 2
3.3. DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES. ............................................................................. 2
3.3.1. Máximo común divisor (mcd) ......................................................................................... 3
3.3.2. Mínimo común múltiplo (mcm) ...................................................................................... 3
3.4. FACTORIZACIÓN ...................................................................................................... 4
3.4.1. Factor Común ................................................................................................................... 5
3.4.1.1. Factor Común Monomio .............................................................................. 5
3.4.2. Factor Común por agrupamiento ................................................................................... 7
3.4.3. Diferencia de cuadrados. ............................................................................................... 10
3.4.3.1. Diferencia de potencias par. ...................................................................... 11
3.4.4. Factorización de la suma cubos. .................................................................................... 12
3.4.4.1. Suma de potencias impares iguales .......................................................... 13
3.4.5. Factorización de la Diferencia de cubos ....................................................................... 14
3.4.5.1. Diferencia de potencias impares iguales .................................................. 15
3.4.6. Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) ............................................................................ 17
3.4.6.1. Trinomio cuadrado perfecto incompleto ................................................... 19
3.4.7. Trinomio de la forma x2n + bxn + c ............................................................................... 20
3.4.8. Trinomio de la forma ax2n + bxn + c; a ≠ 1 ................................................................... 22
3.4.9. Factorización de polinomios .......................................................................................... 25
3.4.9.1. Teorema del factor. .................................................................................... 25
3.4.10. Factorización aplicando la regla de Ruffini ............................................................... 26
vi
3.5. ECUACIONES ........................................................................................................ 30
3.5.1. Igualdades y Ecuaciones. ............................................................................................... 31
3.5.2. Ecuaciones Equivalentes ................................................................................................ 32
3.5.3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita........................................................... 33
3.5.3.1. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. ................ 33
3.5.3.2. Resolución ecuaciones de primer grado con signos de agrupación .......... 36
3.5.4. Problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita ................................... 37
3.5.4.1. Transformación del lenguaje verbal al lenguaje algebraico .................... 38
.................................................................................................................................................... 41
3.5.5. Resolución de Problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita........... 42
3.5.5.1. Procedimiento para resolver problemas con ecuaciones de primer grado:
................................................................................................................................. 42
3.5.6. Problemas con Números ................................................................................................ 44
3.5.7. Problemas con cantidades. ............................................................................................ 49
3.5.8. Problemas con edades. ................................................................................................... 54
3.5.9. Problemas con Perímetros y Áreas ............................................................................... 58
3.5.10. Problemas de Reloj ....................................................................................................... 62
3.5.11. Problemas de Velocidades ........................................................................................... 65
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
1
Factorización y Ecuaciones
3.1. Introducción
La primera civilización en utilizar la factorización
fueron los babilónicos, quienes utilizaban un método
conocido actualmente como “completar el cuadrado
perfecto”. Más tarde fueron los griegos y los árabes
quienes lograban resolver ecuaciones de segundo grado,
emplearon el mismo método que los babilónicos, pero
ellos le añadieron la aplicación por áreas.
Posteriormente, seria Euclides de Alejandría quien
recopilaría los conceptos básicos de la factorización de
números para tratarlos en lo que ahora se conocen como
múltiplos y divisores.
En la igualdad ab = c los factores o divisores de c son a y b, mientras c es un múltiplo de
a y b.
La factorización moderna inicia con el Ars Magna de Girolamo Cardano (1501-1576)
publicado a inicios del Renacimiento italiano. El texto mostraba las soluciones a las
ecuaciones cubica y cuartica desarrolladas por Nicolo Fontana Tartaglia (1500-1557) y
Ludovico Ferrari (1522-1565) a partir del mismo principio de completar el cuadrado en
una forma más sistemática.
Tomado de Camacho, (2013) by Prezi
Hasta llegar a nuestros días, en donde se enseña la
relación entre la factorización de números y
posterior la factorización de polinomios. La primera
comprende un proceso sistemático de divisiones
sucesivas mientras que, la factorización de
polinomios se encarga del estudio de diversos casos
a ser tomados en cuenta para encontrar una
solución comprensible.
“Historia de la Factorización” https://www.youtube.com/watc
h?v=6JnVXm71fVY
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
2
3.2. Productos Notables
Antes de comenzar la descomposición factorial, es imprescindible realizar un
breve repaso de los principales productos notables y su forma de resolución.
3.2.1. Cuadro de resumen de los productos notables
NOMBRE FORMULA
1. Monomio por polinomio a(x + y + z ) = ax + ay + az
2. Cuadrado de la suma de un binomio (x + a)2 = x2 + 2ax + a2
3. Cuadrado de la diferencia de un binomio (x - a)2 = x2 - 2ax + a2
4. Producto de la suma por la diferencia (x + a) (x - a) = a2 - b2
5. Producto de binomios con término en común (x + a) (x + b) = x2 + x(a + b) + ab
6. Cubo de la suma de un binomio (x + a)3 = x3 + 3x
2a + 3xa
3 + a3
7. Cubo de la diferencia de un binomio (x - a)3 = x3 - 3x
2a + 3xa
3 - a3
8. Suma por polinomio homogéneo (x + a) (x2 - ax + a2) = x3 + a3
9. Diferencia por polinomio homogéneo (x - a) (x2 + ax + a2) = x3 - a3
3.3. Descomposición en factores.
La multiplicación aritmética está
conformada por factores numéricos. Cada
uno de estos números se denomina factor y
su producto el resultado.
Factorizar: de acuerdo con el Diccionario de
la Real Academia Española, (s. f.) “Expresar
un número entero como producto de sus
divisores.” (def. 1)
La descomposición en factores primos o
descomposición factorial de un número
natural, consiste en calcular mediante
división, un conjunto sucesivo de números
primos (2, 3, 5…), cuyo producto sea el número dado.
Ejemplos: Expresando en forma
de producto.
1. 10 2
5 5
1
• 10 = (2) (5).
• De 10 sus factores
son 2 y 5
2. 30 2
15 3
5 5
1
• 30 = (2) (3) (5).
• De 30 sus factores
son 2, 3 y5
3. 60 2
30 2
15 3
5 5
1
• 60 = (2) (2) (3) (5).
• De 30 sus factores
son 2, 2, 3 y 5
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
3
Nota: cada uno de los números primos que se están multiplicando
es un factor. Siendo estos principalmente (2, 3, 5, 7, entre otros).
3.3.1. Máximo común divisor (mcd) 3.3.2. Mínimo común múltiplo (mcm)
Para hallar el máximo común divisor de
dos o más números, se debe descomponer
en factores primos, simultáneamente a
cada uno de los números, de manera que
cada uno sea divisible para el mismo
factor.
Para hallar el mínimo común múltiplo de
dos o más números, se debe descomponer
en factores primos a cada uno de los
números hasta encontrar todos sus
factores.
Ejemplo: Ejemplo:
12 18 24 2
6 9 12 3
2 3 4
12 18 24 2
6 9 12 2
2 3 6 2
1 1 3 3
1 3
El mcd está formado por todos los factores
comunes elevados al menos exponente
Por lo tanto:
El mcd (12, 18, 24) = 2 × 3 = 6
El mcm está formado por todos los
factores comunes y no comunes elevados
al mayor exponente.
Por lo tanto:
El mcm (12, 18, 24) = 23 × 3
2 = 72
Nota: si el número 1 es el único factor común entre dos o más números, se dice que estos
son primos entre sí y su mcd es igual a 1.
En álgebra, para la descomposición en factores, se utilizan expresiones algebraicas
conocidas como polinomios, los cuales al descomponerse se convierten en el producto de
sus factores. Así, denominamos a la descomposición factorial como factorización.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
4
3.4. Factorización
Definición RAE Factores
Es el proceso por el cual
se descompone una
expresión algebraica
(polinomio) en el
producto de sus factores
(números y/o letras)
Factorizar, según el Diccionario
de la (RAE, 2020) es
“Descomponer un polinomio en
el producto de otros de menor
grado.” (Real Academia
Española, s.f., definición 2)
Son cada uno de los
términos que se
multiplican para
formar una
expresión algebraica.
Comprobación general del Factoreo
A continuación, para cualquier caso presente en esta unidad. La prueba
consiste en realizar el producto notable de los factores obtenidos y que
su resultado sea igual a la expresión inicial.
Factorización
Factor común
Factor común monomio
Factor común por agrupamiento o polinomio
Binomios
Diferencia de cuadrados Diferencia de potencias par
Suma de cubos Suma de potencias impar iguales
Diferencia de cubos Diferencia de potencias impar iguales
Trinomios
Trinomio cuadrado perfecto (TCP)Trinomio cuadradoperfecto incompleto
Trinomios de la forma x2n + bxn + c
Trinomios de la forma ax2n + bxn + c
Polinomios Regla de Ruffini
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
5
Importante: al comenzar el estudio del álgebra, se menciona la utilización de: números,
letras y signos. Para evitar confusión en posteriores temas, se manejarán en ejemplos y
ejercicios las letras (a, b, c) como constantes numéricas. En cambio, las letras (x, y, z)
representarán variables de la parte literal de las expresiones algebraicas.
3.4.1. Factor Común
El factor común presenta principalmente
dos casos a ser resueltos. De este modo, se
clasifica por la cantidad de términos
comunes en el factor: el factor común
monomio y el factor común polinomio.
Entonces, se conoce como factor común de
un polinomio al conjunto de números y/o
letras contenidas en todos los términos del
polinomio.
En la vida diaria existe el factor común
de muchas maneras, por las prendas de
vestir, los gustos en comida, música,
incluso en el equipo de fútbol que cada
uno prefiere.
3.4.1.1. Factor Común Monomio
Al momento de invertir el procedimiento efectuado en la multiplicación de un monomio
por un polinomio mediante el axioma simétrico de la igualdad. Se
debe dividir cada término para el común de ellos.
a(x + y + z ) = ax + ay + az ⟺ ax + ay + az = a(x + y + z )
La expresión de la derecha indica el factor común del
polinomio, y su producto (a + b + c), que se obtiene
dividendo el factor común para cada uno de los
términos del polinomio inicial.
Elabora un diagrama con
ejemplos de factor común en
la vida cotidiana.
a (ax
a+
ay
a+
az
a)
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
6
Para factorizar un polinomio se calcula el máximo común divisor (mcd) de los coeficientes
numéricos que lo componen. Por otro lado, el factor común literal será la variable con
menor exponente de todos los términos del polinomio.
Factorar: 2a + 4ab + 6ac
Eje
mp
lo 1
1. 2a + 4ab + 6ac Polinomio inicial
2. (2, 4, 6) = 2 Máximo común divisor
3. (2a, ab, ac) = a Factor común literal
4. 2a Factor común
5. 2a (2a
2a+
4ab
2a+
6ac
2a)
= (a + 2b + 3c)
Cociente de dividir cada término para el factor común
6. 2a (a + 2b + 3c) Resultado, producto del factor común por el cociente.
De esta manera, al factorar: 2a + 4ab + 6ac = 2a (1 + 2b + 3c)
Factorar: 12x3y2z + 18x2y2z + 24xyz2
Eje
mp
lo 2
1. 12x3y2z + 18x2y2z + 24xyz2 Polinomio inicial
2. (12, 18, 24) = 2 × 3 = 6 Máximo común divisor
3. (x3y2z, x2y2z, xyz2) = xyz Factor común literal
4. 6xyz Factor común
5. (2x2y + 3xy + 4z) Cociente del factor común
6. 3xyz (2x2y + 3xy + 4z) Resultado, factor común por cociente.
Por lo tanto, al factorar: 12x3y2z + 18x2y2z + 24xyz2 = 3xyz (2x2y + 3xy + 4z)
Ejercicios propuestos
Factorar mediante factor común.
1. ax + bx =
2. ax2 + bx2 =
3. 2a2x + 8ay =
4. 6z2 + 15z =
5. 7xyz – 35zyz2 =
6. 5x2 – 15xy - 10 xz =
7. 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 =
8. 5x4y4 + 25x8y3 – 30x9y4 =
9. a2(y + z) - b2(y + z) - c2(y + z) =
10. (a + b) x - (a + b) y =
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
7
3.4.2. Factor Común por agrupamiento
Factor común por agrupamiento o también
llamado Factor común polinomio, puede ser
aplicado para polinomios ≥ 4 términos que
contengan factor común entre ellos.
El objetivo de agrupar los términos de una
expresión es encontrar un factor común simple en
cada grupo y luego un factor común complejo de
la expresión anterior para resolver el polinomio.
Procedimiento:
1. ax + bx - ay - by Polinomio inicial > de 3 términos
2. (ax + bx) + (- ay - by) Agrupando términos: 1° y 2°; 3° y 4°
3. (ax + bx) - (ay + by) T. – a – b = - (a + b)
4. (ax + bx) = x (𝒂 + 𝒃)
(ay + by) = y (a + b)
Factor común simple x e y
5. x(a + b) - y(a + b) Dividir cada término para el factor común.
6. [x(a + b) - y(a + b)] = (a + b) Factor común compuesto (a + b)
7. (a + b) (x - y) Dividir cada término para el factor común
Factorar: ax + bx - ay – by
Eje
mp
lo 1
Proposiciones Razones
1. ax + bx - ay - by Dato
2. (ax + bx) - (ay + by) Ax. Asociativo / T. – a – b = - (a + b)
3. x(a + b) - y(a + b) Factor común monomio
4. (a + b) (x - y) Factor común polinomio
De este modo, al factorar: ax + bx - ay – by = (a + b) (x - y)
Nota: la manera en que se pueden agrupar los términos no es única.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
8
En el ejemplo anterior, se agruparon los términos 1° y 2°, asimismo el 3° término con el
4°. Sin embargo, es posible agrupar el 1° término con el 3° y el 2° junto al 4° y resolverlo
de la siguiente manera:
Factorar: ax + bx - ay – by
Eje
mp
lo 1
.1 Proposiciones Razones
1. ax + bx - ay - by Dato
2. (ax - ay) + (bx - by) Ax. Asociativo
3. a(x - y) + b(x - y) Factor común monomio
4. (a + b) (x - y) Factor común compuesto
Factorar: ax + bx - cx + 2ay + 2by - 2cy
Eje
mp
lo 2
Proposiciones Razones
1. ax + bx - cx + 2ay + 2by - 2cy Dato
2. (ax + bx - cx) + (2ay + 2by - 2cy) Ax. Asociativo
3. x(a + b - c) + 2y(a + b - c) Factor común monomio
4. (a + b - c)(x + 2y) Factor común polinomio
Entonces, al factorar: ax + bx - cx + 2ay + 2by - 2cy = (a + b - c)(x + 2y)
Nota: no es única la manera de agrupar, en el caso anterior se tomaron los tres primeros
y después los tres últimos términos. No obstante, podemos asociar términos de dos en
dos de la siguiente forma:
Factorar: ax + bx - cx + 2ay + 2by - 2cy
Eje
mp
lo 2
.1. Proposiciones Razones
1. ax + bx - cx + 2ay + 2by - 2cy Dato
2. (ax + bx - cx) + (2ay + 2by - 2cy) Ax. Asociativo / T. – a – b = - (a + b)
3. a(x + 2y) + b(x + 2y) - c(x + 2y) Factor común monomio
4. (x + 2y)(a + b - c) Factor común polinomio
Por consiguiente, al factorar de esta forma se obtiene la misma solución.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
9
Factorar: 3a2 - 7b
2 - 9a3 + 21ab
2
Eje
mp
lo 3
Proposiciones Razones
1. 3a2 - 7b
2 - 9a3 + 21ab
2 Dato
2. (3a2- 9a3 ) - (7b
2- 21ab
2) Ax. Asociativo / T. – a + b = - (a - b)
3. 3a2(1 - 3a ) - 7b2(1 - 3a) Factor común monomio
4. (1 - 3a ) (3a2 - 7b2) Factor común polinomio
Por lo tanto, factorar: 3a2 - 7b
2 - 9a3 + 21ab
2 = (1 - 3a ) (3a2 - 7b
2)
MENTEFACTO
Ejercicios
Factorar mediante factor común por agrupamiento.
1. x – x2 + x3 – x4 =
2. ax + ay + 8a + 8y =
3. 4x2 – 8x + xy - 2y =
4. am3 – 5m2 – am + 5 =
5. 4x + 12 + xy + 3y =
6. 3x3- 9xy + 3x2y2 - 3x2y =
7. 34ax2 + 51a2y – 68ay2 =
8. a2 – 2a3 + 3a4 – 4a5 + 6a6 =
9. a20 – a16 + a12 – a8 + a4 – a2 =
10. 3a2b + 6ab – 5a3b2 + 8a2bx + 4ab2m =
Factorización
Factor Común Monomio
Se compone de un solo término simple número y/o letra.
ax + ay + az = a (x + y + z )
Factor Común Polinomio
Es un polinomio compuesto de números y/o letras.
a (x - y) + b (x - y) = (a + b) (x - y)
Conjunto de números y/oletras contenidas en todoslos términos del polinomio.
♦ Diferencias de cuadrados
♦ Trinomio cuadrado perfecto
Factor
Común ≠ =
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
10
3.4.3. Diferencia de cuadrados.
Al momento de invertir el producto notable “suma
por diferencia” mediante el axioma simétrico de la
igualdad, se obtiene la diferencia de cuadrados.
Así lo evidencia la representación gráfica:
(x + a) (x - a) = x2 - a2 ⇔ x2 - a2 = (x + a) (x - a)
La expresión de la derecha muestra el proceso de factorización de la diferencia de
cuadrados que, respectivamente, es igual al producto de la suma por la diferencia de sus
raíces cuadradas.
Regla General Características:
La diferencia de cuadrados es igual a
obtener las raíces cuadradas de cada
término y ubicarlas en el producto de la
suma por la diferencia de dichas bases.
• • Dos términos separados por el
signo menos.
• Cada término tiene raíz cuadrada
exacta.
Importante: las expresiones (suma de cuadrados)
x2 + a2, x4 + a4, x8 + a8, no son factorables.
Procedimiento:
1. x2 - a2 Polinomio inicial
2. √x2 = x; √a2 = a Raíz exacta de cada término
3. ( + ) ( - ) Producto de la suma por la diferencia
4. (√𝒙𝟐 + √𝒂𝟐)(√𝒙𝟐 − √𝒂𝟐) Conjugando el paso 2 y 3
5. (x + a) (x - a) Resolverlas raíces en cada paréntesis.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
11
Factorar: 4x2 - y2
Eje
mp
lo 1
Proposiciones Razones
1. 4x2 - y2 Polinomio inicial
2. (√𝟒𝒙𝟐 + √𝒚𝟐) (√𝟒𝒙𝟐 − √𝒚𝟐) Raíz exacta de cada término
3. (2x + y) (2x - y) Diferencia de cuadrados.
En tal sentido, al factorar: 4x2 - y2 = (2x + y) (2x - y)
Factorar: (x + y)2 - z2
Eje
mp
lo 2
Proposiciones Razones
1. (x + y)2 - z2 Dato
2. √(x + y)2 = (x + y); √z2 = z Raíz exacta de cada término
3. [(x + y) + z] [(x + y) - z] Diferencia de cuadrados
4. (x + y + z) (x + y - z) Suprimir signos de agrupación
En consecuencia, al factorar: (x + y)2 – z2 = (x + y + z) (x + y – z)
3.4.3.1. Diferencia de potencias par.
Si al aplicar el procedimiento anterior se llega a
obtener un factor que también es una diferencia de
cuadrados, es necesario descomponer nuevamente
dicho factor.
Factorar: x4 – 16
Eje
mp
lo p
ote
nci
a
pa
r
Proposiciones Razones
1. x4 – 16 Dato
2. (√x4 + √16)(√x4 - √16) Raíz de cada término en suma por diferencia
3. [x2 + 4] [x2 - 4] Diferencia de cuadrados
4. [x2 + 4] [x2 - 4] Reiteración
5. √x2 = x; √4 = 2 Raíz exacta de cada término
6. (x2 + 4) (x + 2) (x - 2) Diferencia de cuadrados
Por lo tanto, al factorar: x4 – 16 = (x2 + 4) (x + 2) (x - 2)
“Diferencia de potencias par” https://www.youtube.com/watch?v=itgFqGg6UBI
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
12
Ejercicios
Factorar mediante diferencia de cuadrados.
1. 9z2-1 =
2. 25y6-9 =
3. 121x2 – 144z2 =
4. 256x2-25y12 =
5. 100 – x2y6 =
6. 265 – (x + y)4=
7. 16x4 – 81y4 =
8. a8 – 256=
9. (5xy - z)2 – 625 =
10. (x – 3)2 – (y + 5)2 =
Nota: las expresiones de la forma xn + an; siendo n par,
son factorables únicamente cuando los exponentes
contienen un factor impar. Se utiliza la factorización
mediante suma de potencias impares iguales.
x6 + a6 = (x2)3 + (a2)
3 x10 + a10 = (x2)
5 + (a2)
5
3.4.4. Factorización de la suma cubos.
Al momento de invertir el producto
notable “suma de binomio por
polinomio homogéneo” mediante el
axioma simétrico de la igualdad, se
obtiene la suma de cubos perfectos.
(x + a) (x2 - ax + a2) = x3 + a3 ⇔ x3 + a3 = (x + a) (x2 - ax + a2)
En tal sentido, la expresión de la derecha muestra el modo de factorar la suma de cubos,
que es igual al producto del binomio de sus bases por el trinomio homogéneo de sus bases.
Elabora un mentefacto de la
Diferencia de potencias par
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
13
Regla General Características:
La suma de cubos es igual a la suma de las
raíces cúbicas por el cuadrado de la
primera raíz menos el producto de las
raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
• Dos términos separados por el
signo más.
• Cada término tiene raíz cúbica
exacta.
Procedimiento:
1. x3 + a3 Polinomio inicial
2. (√x33+ √a33
) ((√x33)
2
-(√x33)(√a33
)+(√a33)
2)
Aplicando la regla
3. (x + a) (x2 - xa + a2) Producto del binomio por el
trinomio de las bases
Factorar: x3 + 125
Eje
mp
lo 1
Proposiciones Razones
1. x3 + 125 Dato
2. (x + 5) ((x)2 - (x)(5) + (𝟓)𝟐) Def. Suma de Cubos
3. (x + 5) (x2 - 5x + 𝟐𝟓) Def. potencia / (a)n = an
Por lo tanto al factorar: x3 + 125 = (x + 5) (x2 - 5x + 25)
3.4.4.1. Suma de potencias impares iguales
Factorar la suma de potencias del mismo exponente impar, mayor que tres.
Para, en este caso 5. Se tiene: x5 + a5 = (x + a) (x4 - x3a + x2a2 - xa3 + a4)
Análogamente, se comprueba: x7 + a7 = (x + a) (x6 - x5a + x4a2 - x3a3 + x2a4 - xa5 + a6)
Por lo tanto al factorar expresiones de la forma an + bn
Siendo n impar. xn + an = (x + a) (xn-1 - xn-2a + xn-3a2 - … + an-1)
✓ Elabora un mentefacto de la
suma de potencias impares
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
14
Factorar: x5 + 243 E
jem
plo
1
Proposiciones Razones
1. x5 + 243 Dato
2. √x55= x; √243
5 = 3 Def. Raíz exacta
3. (x + 3) ((x)4- (x)
3(3) + (x)
2(3)
2- (x)(3)
3+ (3)
4)
Def. Suma de potencias
impares iguales / raíces paso
2
4. (x + 3) (x4- 3x3 + 9x
2 - 27x + 81) Def. potencia / (a)
n = an
De esta manera, factorar: x5 + 243 = (x + 3) (x4- 3x3 + 9x
2 - 27x + 81)
3.4.5. Factorización de la Diferencia de cubos
Al momento de invertir el producto notable “diferencia de binomio por polinomio
homogéneo” mediante el axioma simétrico de la igualdad, se obtiene la diferencia de
cubos perfectos.
(x - a) (x2 + ax + a2) = x3 - a3 ⇔ x3 - a3 = (x - a) (x2 + ax + a2)
Entonces, la expresión de la derecha muestra la forma de factorar la diferencia de cubos,
que es igual al producto del binomio de sus bases por el trinomio homogéneo de sus bases.
Regla General Características:
La diferencia de cubos es igual a la diferencia
de las raíces cúbicas por el cuadrado de la
primera raíz más el producto de las raíces más
el cuadrado de la segunda raíz.
• Dos términos separados por el
signo menos
• Cada término tiene raíz cúbica
exacta
✓ Elabora un mentefacto de la
diferencia de potencias impares
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
15
Procedimiento:
1. x3 - a3 Polinomio inicial
2. (√x33 - √a33
) ((√x33)
2
+(√x33)(√a33
)+(√a33)
2) Aplicando la regla
3. (x - y) (x2 + xa + a2) Producto del binomio por el
trinomio de las bases
Factorar: 𝟖x3 - 27
Eje
mp
lo 1
Proposiciones Razones
1. 8x3 - 27 Dato
2. √8x3𝟑= 2a; √𝟐𝟕
𝟑 = 3 Def. Raíz cúbica para aplicar la regla
3. (2x + 3) ((2x)2 - (2x)(3) + (𝟑)𝟐) Def. Diferencia de Cubos
4. (2x + 3) (4x2 - 6x + 𝟗) Def. potencia / (a)n = an
Por lo tanto, factorar: 8x3 - 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
3.4.5.1. Diferencia de potencias impares iguales
Factorar la diferencia de potencias del mismo exponente impar, mayor que tres
Para, en este caso 5. Se tiene: x5 - a5 = (x - a) (x4 + x3a + x2a2 + xa3 + a4)
Análogamente, se comprueba: x7 - a7 = (x - a) (x6 + x5a + x4a2 + x3a3 + x2a4 + xa5 + a6)
Por lo tanto, al factorar expresiones de la forma an − bn
Siendo n impar. xn - an = (x - a) (xn-1 + xn-2a + xn-3a2 + … + an-1)
Factorar: 32x5 - 243
Eje
mp
lo
Proposiciones Razones
1. 32x5 - 243 Dato
2. √32x55
= 2x; √2435
= 3 Def. Raíz cúbica
3. (2x - 3) ((2x)4+ (2x)
3(3) + (2x)
2(3)
2+ (2x)(3)
3+ (3)
4)
Def. Diferencia de
potencias impares
4. (2x - 3) (16x4 + 24x
3 + 36x
2 + 54x + 81) Def. potencia / (a)
n = an
Por lo tanto, factorar: 32x5 - 243 = (2x - 3) (16x4 + 24x
3 + 36x
2 + 54x + 81)
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
16
Ejercicios:
Factorar mediante suma o diferencia de cubos según corresponda.
1. 8y3 + 27z3 =
2. 125x3 – 64y3 =
3. x3 - 8 =
4. 27x3 + b6 =
5. 8x3 – 125 =
6. 27x3 + 64y3 =
7. x³ +64y³ =
8. 8x³ -1 =
9. 64z³ -729 =
10. x15+64y3 =
Ejercicios:
Factorar mediante suma o diferencia de potencias impares iguales según corresponda.
1. x³ + z³ =
2. 243 + 32z⁵ =
3. y⁷ - z⁷ =
4. 32 + x⁵ =
5. x7 -1 =
6. 343x⁵ - 32y⁵z⁵ =
7. 243x5 + 1 =
8. 128y7 - (x - a)7 =
9. (8 - x2)5 + (a-b2)5 =
10. x11- z11 =
MENTEFACTO
Factorización
Diferencias de cuadrados
x2 - a2 = (x + a) (x - a)
Suma de cubos
x3 + a3 = (x + a) (x2 - ax + a2)
Diferencia de cubos
x3 - a3 = (x - a) (x2 + ax + a2)
Continen 2 términos con elmismo exponente yseparados por el signo + o -
xn ± an; n >1
♦ Factor común
♦ Trinomio cuadrado perfecto
Factorización
de Binomios ≠ =
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
17
3.4.6. Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)
Al momento de invertir el producto notable
“cuadrado de la suma o diferencia de un
binomio” mediante el axioma simétrico de la
igualdad, se obtiene el TCP.
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2 ⇔ x2 + 2ax + a2 = (x + a)2
√𝒙𝟐√𝒂𝟐 𝟐𝒙𝒂
(x - a)2 = x2 - 2ax + a2 ⇔ x2 - 2ax + a2 = (x - a)2
De tal manera que, las expresiones de la derecha muestran la manera de factorar el
trinomio cuadrado perfecto, que es igual al binomio elevado al cuadrado de las raíces del
primer y tercer término.
Regla General Características:
El trinomio cuadrado perfecto es igual a
la raíz cuadrada del primer término, más
o menos según corresponda, la raíz
cuadrada del tercer término y todo al
cuadrado
• El primer y tercer término presenta
raíz cuadrada exacta y son positivos.
• El segundo término es igual al doble
producto de las raíces del primer y el
tercer término.
Procedimiento:
1. x2 ± 2ax + a2 Polinomio inicial
2. √x2 = x; √a2 = a Raíz cuadrada exacta del 1° y 3° término
3. 2(x)(a) = 2ax Verificación. 2° término
4. (x ± a)2 Binomio cuadrado de las raíces del 1° y 3° término
Observación: el signo del binomio resultado depende del
signo en el 2° término del trinomio cuadrado perfecto.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
18
Factorar: x2 - 16x + 64
Eje
mp
lo 1
Proposiciones Razones
1. x2 - 16x + 64 Dato
2. √𝐱𝟐 = 𝐱; √𝟔𝟒 = 𝟖 Raíz cuadrada exacta del 1° y 3° término
3. 2(x)(8) = 16x Verificación. 2° término
4. (x - 8)2 Binomio cuadrado de las raíces del 1° y 3° término
Por lo tanto al factorar: x2 - 16x + 64 = (x - 8)2
Factorar: 9x2 + 48xz + 64z
2
Eje
mp
lo 2
Proposiciones Razones
1. 9x2 + 48xz + 64z
2 Dato
2. √9x2 = 3x; √64z2 = 8z Raíz cuadrada exacta del 1° y 3° término
3. 2(3x)(8z) = 48x Verificación. 2° término
4. (3x - 8z)2
Binomio cuadrado de las raíces del 1° y 3°
término
Por lo tanto, factorar: 9x2 + 48xz + 64z
2 = (3x - 8z)
2
Ejercicios
Factorar mediante trinomio cuadrado perfecto
1. x² +6x +9 =
2. 4x² - 12xy + 9y² =
3. 9a² -30a +25 =
4. 36 +121x² -132x =
5. x4 + 4x2y + 4y2 =
6. 100x2 - 60xy2 + 9y4 =
7. x2y2 + 8xy +16 =
8. 9x4 – 30x3y + 25x2y2 =
9. 16m8 – 64m5n – 64m2n2 =
10. (m + n)² + 4(m + n) + 4 =
Investiga: ¿Qué uso cotidiano tiene
el trinomio cuadrado perfecto?
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
19
3.4.6.1. Trinomio cuadrado perfecto incompleto
Se lo conoce también como trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.
Mediante la adición y sustracción de un
mismo término, se completa y se convierte
en trinomio cuadrado perfecto.
Una vez completado, se factora el trinomio
cuadrado perfecto.
El resultado, en algunos casos, debe ser
factorado mediante diferencia de
cuadrados.
Características:
• El primer y tercer término presenta
raíz cuadrada exacta.
• El segundo término no es igual al
doble producto de las raíces del
primer y el tercer término
• Se presenta como un polinomio de
grado ≥ 4
Procedimiento:
1. x4 + a2x2 + a4 Polinomio inicial
2. (x4 + a2x2 + a4+ a2x2) - a2x2 Sumar y restar el término conveniente
3. (x4 + 2a
2x2 + a4) - a2x2
Sumar y asociar los términos que
completan el TCP
4. (√𝒙𝟒)(√𝒂𝟒) → 𝟐𝒙𝟐𝒂𝟐 Comprobación del segundo término del
TCP
5. (x2 + a2)2 - a2x2 Resolver el TCP
6. [(x2 + a2) + a2x2] [(x2 + a2) - a2x2] Resolver la diferencia de cuadrados
7. (x2+ a2x2 + a2) (x2 - a2x2 + a2 ) Suprimir signos de agrupación y ordenar
términos
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
20
Factorar: x4 - 17x2 + 16 E
jem
plo
Proposiciones Razones
1. x4 - 17x2 + 16 Dato
2. (√𝒙𝟒)(√𝟏𝟔) ≠ 𝟐(𝒙𝟐)(𝟒) Se verifica que no es un TCP
3. x4 - 17x2 + 16 + 9x2 - 9x2 Axi. Modulativo (+) / Axi. Invertivo (+)
4. (x4 - 8x2 + 16) - 9x2 Axi. Asociativo (+) / suma de términos
5. (x2 - 4)2 - 9x2 TCP
6. [(x2 - 4) + 3x] [(x2 - 4) - 3x] Diferencia de cuadrados
7. (x2+ 3x - 4) (x2 - 3x - 4) Suprimir signos de agrupación y ordenar
términos
Por lo tanto, factorar: x4 - 17x2 + 16 = (x2+ 3x - 4) (x2 - 3x - 4)
Ejercicios
Factorar mediante trinomio cuadrado perfecto incompleto.
1. x4 + x²y² + y4 =
2. x4 - 5x2 + 4 =
3. x8 + 2x4 + 9 =
4. 25x4 - 139x2y2 + 81y4 =
5. 36x4 - 69x2z2 + 25z
4 =
6. 36x4 -109x2y2 + 49y4 =
7. 81y8 +2y4 +1 =
8. 64x4 – 169x2y2 + 81y2 =
3.4.7. Trinomio de la forma x2n + bxn + c
Al momento de invertir el producto notable “binomios con término en común” mediante
el axioma simétrico de la igualdad, se obtiene el trinomio de la forma x2n + bxn + c.
(x + a) (x + b) = x2 + x(a + b) + ab ⇔ x2 + x(a + b) + ab = (x + a) (x + b)
La expresión de la derecha muestra la manera de factorar el trinomio de la forma
x2n + bxn + c.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
21
Regla General Características:
▪ Abrir dos paréntesis.
▪ Repartir la raíz del primer término.
▪ El signo del segundo término en el
primer paréntesis.
▪ El producto de los signos en el segundo
paréntesis.
▪ Descomponer el tercer término y buscar
dos números donde la suma sea igual al
2° término y el producto sea igual al 3°
término.
• El coeficiente numérico del primer
término es igual a 1
• La parte literal del primer término
presenta raíz cuadrada exacta
• El segundo término contiene a la
raíz de la parte literal del primer
término
• El tercer término es una cantidad,
positiva o negativa, independiente
del primero y segundo término.
Procedimiento:
1. x2 - 3x + 2 Polinomio inicial, ordenado en forma descendente por el grado
2. (x )(x ) En el producto entre dos paréntesis se reparte la raíz del 1°
término / √x2 = x
3. (x - )(x ) En el primer paréntesis se coloca el signo del 2° término
4. (x - )(x - ) En el segundo paréntesis el producto de los signos del 2° y 3°
término.
5. 2 = (2) (1) Descomponer en factores el 3° término
6. (x - 2)(x - 1) Hallar dos números que la suma sea igual al 2° término y el
producto sea igual al 3° término.
Factorar: x4+ 8x2 - 20
Eje
mp
lo
Proposiciones Razones
1. x4+ 8x2 - 20 Dato
2. (x2 )(x2 ) En cada paréntesis se reparte la raíz del 1° término
3. (x2+ )(x2 ) Al primer paréntesis se coloca el signo del 2° término
4. (x2+ )(x2 - ) En el segundo paréntesis el producto de los signos
del 2° y 3° término
5. 20 = (2) (2) (5) Descomponer en factores el 3° término
6. (x2+ 10 )(x2 - 2) Hallar dos números que la suma sea igual al 2°
término y el producto sea igual al 3° término
Por lo tanto, factorar: x4+ 8x2 - 20 = (x2+ 10 )(x2 - 2)
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
22
Observación: para comprobar si el trinomio está correctamente factorado, se realiza el
producto notable de sus factores.
(x2+ 10 )(x2 - 2) = x4+ (10 - 2)x2 + (10) (-2) = x4+ 8x2 - 20
Ejercicios
Factorar mediante trinomio de la forma x2n + bxn + c
1. x2 + 5x + 6 =
2. x2 – 11x + 24 =
3. x2 + x – 20 =
4. x2 – 6x – 27 =
5. x6 + 5x3y + 15y2 =
6. x8 - 8x4 + 12 =
7. x2y2 + 22xyz2 + 121z4 =
8. (x + a)2 – 13(x + a) + 42 =
9. (y - z)6 – 6x3 (y - z)3- 7x6 =
10. x10 – x5y5 – 20y5 =
3.4.8. Trinomio de la forma ax2n + bxn + c; a ≠ 1
Una variante del producto notable “binomios con término en común” es de donde parte
la fórmula del trinomio de la forma ax2n + bxn + c, para factorar se debe:
a
a(ax2n + bx
n + c)= Multiplicar y dividir por el coeficiente del primer término.
(axn)2 + b(axn) + ac
a=
Se expresa el numerador como trinomio de la forma
(axn+p)(axn+q)
a
Se factoriza el numerador:
(ax + p)(ax + q), donde p + q = b; pq = ac
Se simplifica a, de ser posible
Características:
• El coeficiente numérico del primer término presenta un diferente de 1.
• La parte literal del primer término presenta raíz cuadrada exacta.
• El segundo término contiene a la raíz de la parte literal del primer término.
• El tercer término es una cantidad, positiva o negativa, independiente del
primero y segundo término.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
23
Procedimiento:
1. 𝟔x2 + 5x - 4 Polinomio inicial.
2. 6(6x2 + 5x - 4)
6
Multiplicar y dividir el polinomio por el coeficiente
numérico del primer término.
3. (6x)2 + 5(6x) - 24
6
Axi. Distributivo / se procede a factorar el numerador como
el trinomio de la forma x2n + bxn + c.
4. (6x )(6x )
6
En el producto de dos paréntesis se reparte la raíz del 1°
término.
5. (6x + )(6x - )
6
En el primer paréntesis se coloca el signo del 2° término
En el segundo paréntesis el producto de los signos del 2° y
3° término.
6. 24 = (2)(2)(2)(3) Descomponer en factores el 3° término.
7. (6x + 8)(6x - 3)
6
Hallar dos números que la suma sea igual al 2° término y
el producto sea igual al 3° término “8 – 3 = 5” “(8)(-3) = -24”
8. 2(3x + 4) 3(2x - 1)
6
Hallar el factor común numérico en cada paréntesis de
manera que sea posible simplificar el denominador.
9. (3x + 4)(2x - 1) Se simplifica los factores comunes con el denominador para
obtener los factores del polinomio inicial.
Por lo tanto, factorar: 6x2 + 5x - 4 = (3x + 4)(2x - 1)
Factorar: 2x2 + 5xy - 12y
2
Eje
mp
lo
Proposiciones Razones
1. 2x2 + 5xy - 12y
2 Dato
2. 2(2x2 + 5xy - 12y2)
2
Multiplicar y dividir el polinomio por el coeficiente
numérico del 1° término
3. (2x)
2+ 5(2xy) - 24y2
2
Axioma distributivo de la multiplicación con
respecto a la suma
4. (2x + 8y)(2x - 3y)
2 Resolver el trinomio de la forma x2n + bxn + c
5. 𝟐(x + 4y)(2x - 3y)
2 Factor común
6. (x + 4y)(2x - 3y) Simplificación
Por lo tanto, factorar: 2x2 + 5xy - 12y
2 = (x + 4y)(2x - 3y)
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
24
Observación: para comprobar si el trinomio está correctamente factorado, se realiza el
producto notable de sus factores.
(x + 4y)(2x - 3y) = 2(x)2+ [(1)(-3) + (4)(2)] xy + (4)(3)(y)
2 = 2x
2
+ 5xy - 12y2
MENTEFACTO
Ejercicios
Factorar mediante trinomio de la forma ax2n + bxn + c
1. 6x2 – 5x – 4=
2. 2x2 + 5x – 3 =
3. 3x4 – x2 – 2 =
4. 5x2 + 31x + 6 =
5. 3x6 + 35x3 – 12 =
6. 10x8 - 13x4 + 3 =
7. 18y2 -13zy – 5z2 =
8. 20x2y4 + 7xy2 – 6 =
9. 7(x - a)2 – 23b(x - a) + 6b2 =
10. 9x10 + 27x5y3 + 18y6 =
Factorización
Trinomio Cuadrado perfecto
x2 + 2ax + a2 = (x + a)2
x2 − 2ax + a2 = (x − a)2
Trinomio de la forma 1
x2 + x(a + b) + ab = (x + a)(x + b)
Trinomio de la forma 2
ax2n + bxn + c; a ≠ 1
Continen 3 términos con elmismo exponente y separadospor el signo + o -
ax2n ±bxn±c; n ≥1; a, b, c = cte
♦ Diferncia de cuadrados
♦ Factorización de polinomios
Factorización
de Trinomios = ≠
Investigar ejemplos de trinomios de la forma ax2n + bxn + c; ax2n + bxn + c en la vida cotidiana
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
25
3.4.9. Factorización de polinomios
3.4.9.1. Teorema del factor.
Los polinomios3 P(x) con grado n ≥ 3 de la forma. P(x) = axn + bxn-1
+…+ cx + d, tal que:
a, b, c, d = cte ∈ ℤ. Contienen factores (x – k), donde “k” es divisor del término
independiente “d” del polinomio.
Para determinar que (x – k) es un factor de P(x), es
necesario calcular su valor numérico para x = k.
Si y solo si el valor numérico de P(k) = 0 entonces
(x – k) será un factor del polinomio.
Por lo tanto, si P(k) = 0 entonces P(x) es divisible
para (x – k) y k es considerada una raíz o cero del
polinomio.
Factorar: P(x) = x3- 4x2 + 4x - 3
Eje
mp
lo
1. x3- 4x2 + 4x - 3 Polinomio inicial
2.
3 3
1
Descomponer el
término
independiente
factores {± 1
± 3
3. x = 3; P(3) = (3)3- 4(3)
2 + 4(3) – 3 = 0
x = -3; P(-3) = (-3)3- 4(-3)
2 + 4(-3) – 3 = -78
Hallar el valor numérico para
P(a) = 0
4. (x3- 4x2 + 4x - 3)
(x - 3) = x2- x + 1
Para x = 3 se obtiene P(3) = 0,
por lo tanto el polinomio P(x) es
divisible para (x - 3) y su
cociente exacto es (x2 - x + 1)
5. x3- 4x2 + 4x – 3 = (x - 3) (x2 - x + 1) Expresando como factores
D = (d)(c)
3 La notación P(x) se usa para indicar un polinomio que contenga la variable x.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
26
3.4.10. Factorización aplicando la regla de Ruffini
Regla de Ruffini. Condiciones
Se aplica para factorar polinomios
de la forma axn + bxn-1
+…+ cx + d,
que contienen al menos un factor de
la forma (x – a)
1. Polinomio de grado ≥ 3
2. Poseer al menos un factor que cumpla el
valor numérico P(a) = 0
3. Ordenar los términos del polinomio de
mayor a menor grado.
4. Completar con cero de no existir algún
término xn
Procedimiento:
1. Completar y ordenar el polinomio de mayor a menor según el grado.
2. Descomponer el término independiente en sus factores primos.
3. Calcular el valor numérico de los factores primos (x = a) que cumplan con P(a) = 0,
4. Colocar en una fila los coeficientes numéricos de cada término del polinomio.
5. Bajar el primer coeficiente numérico.
6. Multiplicar el coeficiente por el factor “a”, escribir el resultado bajo el siguiente
coeficiente.
7. Sumar los coeficientes de la columna donde se escribió el resultado.
8. Repetir los pasos 5 y 6 con cada resultado hasta completar la tabla y obtener residuo
cero-
9. Repetir el proceso del 3 al 7 con los coeficientes resultantes y los demás coeficientes
P(a) = 0.
Importante: cada cociente en el proceso, es un polinomio un grado
menor al polinomio inicial.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
27
Procedimiento
Factorar: x3- 4x2 + 4x - 3
• El polinomio está completo y ordenado x3- 4x2 + 4x – 3
3 3
1
1. Descomponer en
Factores primos el
término independiente.
factores {± 1
± 3
x = 3; P(3) = (3)3- 4(3)
2 + 4(3) – 3 = 0 2. Factores que cumplen con P(a) = 0
1 -4 +4 -3
3. Extraer los coeficientes numéricos de
cada término.
1 -4 +4 -3
1
4. Bajar el primer coeficiente.
1 - 4 +4 -3
3 3
1
5. Multiplicar por el factor “a” y escribir el
resultado bajo el siguiente coeficiente.
1 -4 +4 -3
3 3
1 -1
6. Sumar los coeficientes de la columna
donde se escribió el resultado.
1 -4 +4 -3
3 -3 3 3
1 -1 1 0
7. Repetir los pasos 5 y 6 con cada
resultado hasta completar la tabla y
obtener residuo cero.
• El polinomio resultado es: x2 - x + 1, el cual no es factorable
• Por lo tanto, factorar: x3- 4x2 + 4x - 3 = (x - 3)(x2 - x + 1)
Elabora un flujograma con el proceso de
Factorización aplicando la regla de Ruffini
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
28
Factorar: P(y) = y4 + 𝟐y3 - 4y2 - 5y - 6
Eje
mp
lo 1
• El polinomio está completo y ordenado
6 2
3 3
1
1. Descomposición
en factores
primos
factores {± 1± 2
± 3
x = 2; P(2) = (2)4+2(2)3- 4(2)
2 - 5(2) – 6 = 0
x = -3; P(-3) = (−3)4+2(-3)3- 4(-3)
2 - 5(-3) – 6 = 0
2. Factores que cumplen con
P(a) = 0
1 2 - 4 - 5 - 6
2 8 8 6 2
1 4 4 3 0
-3 -3 -3 -3
1 1 1 0
3. Aplicando el método de Ruffini.
• Factor: (x - 2)
• Factor: (x + 3)
• El polinomio resultado es: y2 + y + 1, el cual no es factorable
• Por lo tanto, factorar: 𝑦4 + 2y3- 4y2 - 5y - 6 = (x - 2) (x + 3) (y2 + y + 1)
Factorar: P(x) = x4 + 9 - 10x2
Eje
mp
lo 2
• Completando y ordenando el polinomio x4 + 0x3- 10x
2 + 0x + 9
9 3
3 3
1
1. Descomposición
en factores
primos
factores {± 1
± 3
• x = 1; P(1) = (1)4- 10(1)
2 + 9 = 0
• x = -1; P(-1) = (-1)4- 10(-1)
2 + 9 = 0
• x = 3; P(3) = (3)4- 10(3)
2 + 9 = 0
• x = -3; P(-3) = (-3)4- 10(-3)
2 + 9 = 0
2. Factores que cumplen con
P(a) = 0
1 0 - 10 0 9
1 1 - 9 - 9 1
1 1 - 9 - 9 0
- 1 0 9 - 1
1 0 - 9 0
3 9 3
1 3 0
3. Aplicando el método de Ruffini.
• Factor: (x - 1)
• Factor: (x + 1)
• Factor: (x - 3)
• Factor: (x + 3)
• Por lo tanto factorar: x4 - 10x2 + 9 = (x - 1) (x + 1) (x - 3) (x + 3)
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
29
Elaborar un Mentefacto de la factorización de polinomios
Ejercicios
Factorar mediante regla de Ruffini.
1. P(x): x3 - x2 - x + 1 =
2. P(x): x3 + 2x2 - x – 2 =
3. P(x): x3 + 3x2 - 4x – 12 =
4. P(x): x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4 =
5. P(x) x4 - 6x3 - 11x2 + 96x – 80 =
6. P(x): x4 - 2x3 + 3x – 6 =
7. P(x): x5 + x4 - 16x – 16 =
8. P(x): x5 + x4 - x3 + x2 - 3x + 5 =
9. P(x): 7x5 - 28x3 - 7x2 + 28 =
10. P(x) 4x7 - 2x6 + 3x =
MISCELÁNEA DE FACTORIZACIÓN
1. 5x2 – 16x – 45 =
2. 1 + 49y2 – 14y =
3. 100y2z4 – 169x6 =
4. y2 + 6y – 216 =
5. 8x3 + 27y6 =
6. 3y2 -11y + 6 =
7. 1 – 27y3z3 =
8. 6x2 + 23x + 21 =
9. z6 + 125y12 =
10. 35z2 + 12z – 32 =
11. x + z2 – 2xy – 2yz2 =
12. (x + y) (x – y) – (x – y) (x – y) =
13. 24z2 + 29z – 63 =
14. z2 – 2z – yz + 2y =
15. 9y6 + 16z10 + 24y3z5 =
16. 10x2y3 + 14x3y2 – 6xy2 =
17. 12y2 – y – 6 =
18. x(x – y) + 4y(x – y) – 3x(x – y) =
19. z2 + 8z – 180 =
20. x6 – 9y2 =
21. 6z2 + z – 7 =
22. 18xy2 – 54x2y2 + 36y2 =
23. z12 – 216y9 =
24. 15x2 + 11x – 14
25. 2y2 + 2y =
26. 3z2 - z – 10 =
27. 2x (z – 1) – z + 1 =
28. 15y2 – 8y – 12 =
29. 1 + 18xy + 81x2y2 =
30. 49z2 – 77z + 30 =
31. 9y2 – 6yz + z2 =
32. 2xz – 6z + xy – 3y =
33. y2 – 3y – 4 =
34. 4x2z + 12x2y – 5bz – 15by =
35. 12x2 – 8x – 15 =
36. 5x2 + 4x -12 =
37. 20y2 – 7y – 40 =
38. 100x4y6 – 121z4 =
39. z2 – z – 30 =
40. 1 – 4y + 4y2 =
41. 3x2 – 17x + 22 =
42. 2𝑥3 − 3𝑥2 − 8𝑥 – 3 =
43. 4𝑥 3 + 8𝑥 2 − 𝑥 – 2 =
44. 𝑥 5 − 𝑥 4 − 4𝑥 3 − 4𝑥 2 − 5𝑥 – 3 =
45. 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 =
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
30
3.5. Ecuaciones
Las ecuaciones son una rama del álgebra elemental que
trata las operaciones aritméticas entre expresiones
algebraicas separadas por el signo igual (=). Así una
ecuación algebraica es una igualdad entre dos expresiones
que posee una o varias incógnitas
Las expresiones que se encuentran antes del signo “=” se
llaman primer miembro, mientras las que se encuentran
después del signo “=” se denominan segundo miembro.
A las letras de las expresiones algebraicas se las conoce como parte literal. Son las
incógnitas o variables, generalmente representadas por las letras (x, y, z). El grado de la
ecuación está dado por el mayor de los exponentes del polinomio.
Resolver una ecuación es
calcular el valor de la incógnita
“x” que cumplan con la igualdad.
En la ecuación
5x – 6 = 10 + x
La solución es
x = 4
A las soluciones se los conoce
como raíces de la ecuación.
Es decir, la raíz es x = 4.
Primer miembro → x + 5x = 27 – 3x segundo miembro
Incógnita Término independiente
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
31
Clasificación de las ecuaciones algebraicas
Observación: En esta unidad se estudiarán las
ecuaciones de primer grado con una incógnita.
3.5.1. Igualdades y Ecuaciones.
Igualdad aritmética
9 – 3 = 6
Igualdad algebraica
x + 2 = 6 – x
En aritmética, las igualdades son
numéricas, solamente comparan
números relacionados por las
operaciones aritméticas.
En álgebra, las igualdades emplean
expresiones algebraicas además comparan
números y letras relacionados mediante
operaciones aritméticas.
Por lo tanto, las ecuaciones son igualdades algebraicas que son ciertas únicamente
para ciertos valores de la incógnita y que satisfacen una igualdad numérica.
Importante.
La comprobación de una ecuación se hace reemplazando el valor encontrado
de la incógnita y verificando que se cumpla la igualdad numérica.
Ecuaciones algebraicas
Polinomicas
De 1° grado ax + b = 0; a ≠ 0
De 2° grado ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0
De 3° grado ax3 + bx2 + cx + d = 0; a ≠ 0
De grado n axn + bxn-1 + ... + cx + d = 0; a ≠ 0
RacionalP(x)
Q(x)=0; Q x ≠0
Irracionaln
P(x) = 0
Valor absoluto P(x) = 0
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
32
Comprobar 10x - 8 = 12 + 5x para x = 4
Eje
mp
lo
Proposiciones Razones
1. 10x – 8 = 12 + 5x Dato
2. 10(4) – 8 = 12 + 5(4) Reemplazando el valor de la incógnita
3. 40 – 8 = 12 + 20 Def. (x)
4. 32 = 32 Def. (+)
3.5.2. Ecuaciones Equivalentes
Dos o más ecuaciones son equivalentes si
para todas ellas la incógnita presenta la
misma solución.
Son ecuaciones equivalentes:
x – 3 = 5 → x = 8
2x – 6 =10 → x = 8
Las ecuaciones de primer grado se resuelven por medio
de propiedades efectuadas para ambos miembros de la
ecuación (teoremas) y así convertirlas en ecuaciones
equivalentes.
3.5.2.1. Teoremas para despejar la incógnita
Nombre Teorema Ejemplo
1. Transposición de términos (±) ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b 2x + 5 = 3 ↔ 2x = 3 - 5
2. Transposición de factores ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0 2x = 8 ↔ x = 8/2; 2 ≠ 0
3. Transposición de divisores x/a = c ⇔ x = ac; a ≠ 0 x/5 = 2 ↔ x = 2∙5 5 ≠ 0
4. Cambio de signo - ax = - c ⇔ ax = c - 2x = - 3 ↔ 2x = 3
5. Cancelación de términos (±) ax ± b = c ± b ⇔ ax = c 3x ± 5 = 4 ± 5 ↔ 3x = 4
6. Cancelación de factores ax ∙ b = c ∙ b ⇔ ax = c 3x ∙ 2 = 5 ∙ 2 ↔ 3x = 5
7. Cancelación de divisores ax / b = c / b ⇔ ax = c; b ≠ 0 2x/3 = 5/3 ⇔ 2x = 5; 3 ≠ 0
Importante: en el teorema 6. “Cancelación de factores”, si ambos miembros
de la ecuación poseen la incógnita “x” como factor, no es recomendado el
simplificar, debido a que se pueden perder posibles soluciones.
Crear ecuaciones que sean
equivalentes
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
33
3.5.3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita
También conocidas como ecuaciones lineales. Son igualdades que poseen la incógnita (x,
y o z) con grado 1 y su solución cumple con igualdad
únicamente para los valores de x = a.
3.5.3.1. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Para resolver las ecuaciones lineales, es necesario aplicar los teoremas para despejar la
incógnita y transformarla en ecuaciones equivalentes hasta hallar el valor (raíz) que
satisface la ecuación.
Resolver la ecuación: 10x – 8 = 22 - 5x
Eje
mp
lo 1
Proposiciones Razones
1. 10x – 8 = 22 - 5x Dato
2. 10x + 5x = 22 + 8 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
3. 15x = 30 Suma de Términos semejantes
4. x = 30/15 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
5. x = 2 Def. de (÷)
Comprobación: si x = 2, entonces reemplazando: 10(2) – 8 = 22 – 5(2) → 12 = 12.
Ejemplos: 6x – 3 = x + 17 10 = 15 – 5y 3z – 8 = 4 – z
Raíz: x = 4 Raíz: y = 1 Raíz: z = 3
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
34
Resolver la ecuación: 16 + 7z – 5 + z = 11z – 3 – z
Eje
mp
lo 2
Proposiciones Razones
1. 16 + 7z – 5 + z = 11z – 3 – z Dato
2. 7z + z – 11z + z = - 3 – 16 + 5 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
3. - 2z = - 14 Suma de Términos semejantes
4. 2z = 14 T. - ax = - c ⇔ ax = c
5. z = 14/2 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
6. z = 7 Def. de (÷
Comprobación: si z = 7, entonces reemplazando:
16 + 7(7) – 5 + (7) = 11(7) – 3 – (7) → 67 = 67.
Observación: si la ecuación de primer grado posee términos con números
racionales o denominadores, es necesario multiplicar a los dos miembros por
el mínimo común múltiplo de los denominadores y resolver normalmente.
Resolver la ecuación: x
6 + 5 =
1
3 – x
Eje
mp
lo 3
Proposiciones Razones
1. x
6 + 5 =
1
3 – x Dato
2. 𝟔 (x
6 + 5 ) = (
1
3 – x) 𝟔
mcm (3, 6) = 6
Ax. Multiplicativo de la igualdad.
3. x(6)
6 + 5(6) =
1(6)
3 – x(6) Propiedad distributiva
4. x + 30 = 2 - 6x Multiplicar y simplificar
5. 6x + x = 2 - 30 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
6. 7x = - 28 Términos semejantes
7. x = - 28/7 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
8. x = - 4 Def. (÷)
Comprobación: si x = - 4, entonces reemplazando: (- 4)
6 + 5 =
1
3 – (- 4) →
13
3 =
13
3
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
35
Resolver la ecuación: 2
3x -
5
x =
7
10 -
3
2x + 1
Eje
mp
lo 3
Proposiciones Razones
1. 2
3x -
5
x =
7
10 -
3
2x + 1 Dato
2. 30x (23x
- 5x
) = (7
10 - 3
2x + 1) 30x
mcm (1, 2, 3, 10) = 30x
Ax. Multiplicativo de la
igualdad.
3. 2(30x)
3x -
5(30x)
x =
7(30x)
10 -
3(30x)
2x + 1(30x) Propiedad distributiva
4. 20 – 150 = 21x – 45 + 30x Multiplicar y simplificar
5. - 21x – 30x = - 45 – 20 + 150 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
6. – 51x = 85 Términos semejantes
7. 51x = -85 T. - ax = c ⇔ ax = - c
8. x = - 85/51 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
9. x = - 5/3 Simplificación
Comprobación: si x = - 4, entonces reemplazando:
2
3(-5
3) -
5
(-5
3) =
7
10 -
3
2(-5
3)
+ 1 → 14
5 =
14
5
Ejercicios
Resolver las siguientes ecuaciones. Realiza la comprobación para la raíz encontrada.
1. 10x − 4 = 26
2. 2x – 5 = x + 9
3. 9x – 5 – x = 3x + 15
4. 25x + 4 – 5x = 10x + 104
5. 4x + 8 = 2x + 15 – x + 2
6. 1 - y
3 =
5y
3
7. 2z
3 +
16
3 = -
x
2
8. 3x
2 +
2x
3 =
1+3x
2
9. y + 1
2 -
y
3 = 1 -
3y
4
10. 1
x - 2 +
1
x + 2 =
1
x2 - 4
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
36
3.5.3.2. Resolución ecuaciones de primer grado con signos de agrupación
Para resolver este tipo de ecuaciones se debe
eliminar los signos de agrupación mediante la
propiedad distributiva con respecto a la suma,
respetando las leyes de los signos. Cuando existen
varios signos de agrupación, se procede a eliminar
de adentro hacia afuera. Y al final realizar las sumas
y rectas respectivas.
Si antes del paréntesis no existe coeficiente numérico se considera al 1.
Resolver la ecuación: x – (2x + 1) = 10 – 2(3x + 3)
Eje
mp
lo 1
Proposiciones Razones
1. x – (2x + 1) = 10 – 2(3x + 3) Dato
2. x – 2x - 1 = 10 – 6x - 6 T. – a (b+c) = -ab - ac
3. x – 2x + 6x = 10 – 6 + 1 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
4. 5x = 5 Suma de Términos semejantes
5. x = 1 T. ax ∙ b = c ∙ b ⇔ ax = c
Comprobación: si x = 1, entonces reemplazando en la ecuación:
(1) – (2(1) + 1) = 10 – 2(3(1) + 3)→ - 2 = - 2.
Resolver la ecuación: 5z + [- 4z – (2z - 3)] = 8z + 2(- 2z + 9)
Eje
mp
lo 2
Proposiciones Razones
1. 5z + [- 4z – (2z - 3)] = 8z + 2(- 2z + 9) Dato
2. 5z + [- 4z – 2z + 3] = 8z – 4z + 18 T. – a (b+c) = -ab - ac
3. 5z - 4z – 2z + 3 = 8z – 4z + 18 T. a (b+c) = ab + ac
4. 5z - 4z – 2z - 8z + 4z = 18 - 3 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
5. - 5z = 15 Suma de Términos semejantes
6. 5z = - 15 T. - ax = - c ⇔ ax = c
7. z = - 15/5 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
8. z = -3 Def. (÷)
Comprobación: si z = - 3, entonces reemplazando en la ecuación:
5(-3) + [- 4(-3) – (2(-3) + 3)] = 8(-3) + 2(- 2(-3) + 9) → -18 = -18.
P Paréntesis { [ ( ± ) ] }
E Exponentes xn
M Multiplicaciones (×)
D Divisiones (÷)
A Adición (+)
S Sustracción (−)
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
37
Ejercicios
Resolver y comprobar las siguientes ecuaciones
1. 3x + 8 = 3(x - 2)
2. 9 + 3(2 − 𝑥) = −3
3. 15x – 10 = 6x – (x + 2) + (–x + 3)
4. x – (2x - 1) = 8 – (3x + 3)
5. (5 – 3x) + (– 4x + 6) = (8x + 11) – (3x – 6)
6. 8y = - 2[3(y - 4) + y]
7. 3x + [– 5x + (x + 3) ] = 8x + (–5x – 9)
8. 16x – [3x – (6 – 9x) ] = 30x + [– (3x + 2) – (x + 3) ]
9. 3(x - 8) + 6(2 - x) - (x - 2) = x
10. { 3x + 8 – [ – 15 + 6x – (– 3x + 2) – (5x + 4) ] – 29 } = – 5
3.5.4. Problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita
El álgebra es una rama de las matemáticas aplicada en
muchos campos de estudio por profesionales (arquitectos,
médicos, abogados, entre otros). Asimismo, permite que se
resuelvan problemas de ecuaciones sencillas.
Para logar interpretar las palabras que usamos, existen
expresiones en el lenguaje usual que son interpretables
matemáticamente y de esa manera poder encontrar la solución a un problema que se
puede presentar en el diario vivir.
Así, todo lo que nos rodea presenta una interpretación matemática. Por ejemplo, ir a
comprar a la tienda, preparar un pastel, calcular la edad de una persona, incluso
planificar un horario de clases.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
38
El domingo pasado asistí a una fiesta donde había 3 pasteles, al preguntarle a mi
amigo cuánto gastó, él respondió que el costo total por promoción de los tres pasteles
fue $21. ¿Cuánto costó cada pastel?
Eje
mp
lo
Si llamamos “x” al costo de un solo pastel podemos plantear la
ecuación.
3x = 21
Al resolver la ecuación tenemos el costo de cada pastel. x = 7
• Por lo tanto, cada pastel costo en promoción $7.00
3.5.4.1. Transformación del lenguaje verbal al lenguaje algebraico
El lenguaje verbal, lenguaje cotidiano o
lenguaje usual es aquel que se emplea para
transmitir información, expresar ideas,
sentimientos o dar un juicio de valor.
Al plantear un problema en el lenguaje verbal
se logra tener una idea de cómo puede formarse
una solución. Según (Delgado Coronado, 2015)
en su estudio de “El Papel del Lenguaje en el
Aprendizaje de las Matemáticas” plantea:
Es importante señalar que, cuando se les planteó el problema con el lenguaje
cotidiano, los alumnos mostraron su capacidad para poner en juego sus propios
procedimientos, hecho que indica que comprendieron el problema y buscaron sus
propias alternativas de solución. (p. 38)
Escribe y resuelve un problema de la
vida cotidiana que te haya sucedido
“para que sirven las ecuaciones” https://www.youtube.com/watch?v=wbCdni-VuW4
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
39
Mientras que la función de lenguaje algebraico o lenguaje matemático es más técnica y
sirve para resolver el problema mediante propiedades y teoremas que ayuden a
encontrar el valor de la incógnita. Así lo plantea Delgado Coronado, (2015).
Aprender matemáticas requiere el desarrollo de competencias que le permitan al
estudiante diseñar planteamientos en el lenguaje matemático, ya que las
operaciones que las constituyen solo son herramientas que permiten solucionar
cualquier situación problemática que se presente, por tal motivo es indispensable
y necesario conocer y entender este lenguaje para establecer un proceso de
comunicación, donde podamos comprender lo que nos plantea el problema y así
solucionarlo. (p. 36)
Es por eso tan necesario el nexo entre lenguaje verbal y lenguaje algebraico, porque al
utilizar el primero, también se emplea el segundo. Además, es este el cual resuelve el
problema y da una interpretación que regresa una solución que nuevamente se puede
interpretar de manera verbal.
En el lenguaje verbal existen palabras y/o frases que son interpretables en lenguaje
algebraico y se pueden expresar mediante símbolos matemáticos para resolver
problemas o situaciones de la vida diaria.
Se comienza con cualquier expresión cuantificable, numerable o capaz de expresar una
cantidad con números cardinales. Se representa como la incógnita o variable (x, y o z).
Esto puede ser la distancia, el tiempo, la edad, el conteo de objetos, entre otros.
El siguiente listado presenta algunas frases en lenguaje verbal y su equivalente en
lenguaje algebraico. Estas expresiones sencillas representan las operaciones básicas.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
40
Lenguaje verbal Lenguaje algebraico Expresiones similares
1. Un número cualquiera x, y, z La edad de, la cantidad de.
2. Un número aumentado en 2 x + 2, y + 2, z + 2 Excede en, es mayor con.
3. Un número disminuido en 2 x – 2, y – 2, z – 2 Disminuido en, hace tanto.
4. El doble de un número 2x, 2y, 2z Dos veces, duplicado.
5. El triple de un número 3x, 3y, 3z Tres veces, triplicado.
6. Cinco veces un número 5x, 5y, 5z Cinco veces más, el quíntuplo.
7. La mitad de un número x/2, y/2, z/2 Entre dos. La segunda parte.
8. Un número elevado a la n xn, yn, zn Cuadrado, cubo, a la quinta.
El siguiente listado combina las expresiones anteriores y presentan un lenguaje
diferente para formas más complejas del lenguaje. (Bastidas et al., 2018)
Lenguaje verbal Lenguaje algebraico
1. Un número par 2x
2. Un número impar 2x + 1
3. El 8% de un numero 8x/100
4. Tres números consecutivos x, x+1, x+2
5. Tres números pares consecutivos 2x, 2x + 2, 2x + 4
6. Tres números impares consecutivos 2x + 1, 2x + 3, 2x + 5
7. Un número de tres cifras 100x, 10x, x
8. El triple de un número disminuido en 7 3x – 7
9. La quinta parte de un número aumentado en 3 (x/5) + 3
10. Los ¾ del número anterior (¾) (x - 1)
Importante: Las expresiones anteriores solo presentan un pequeño ejemplo de lo enorme
que es nuestro lenguaje. El lenguaje se vuelve más formal a manera que nos adentramos
en las ciencias.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
41
Ejercicios
Traducir las siguientes expresiones en lenguaje cotidiano a lenguaje algebraico.
1. El triple de una cantidad.
2. La raíz cuadrada de un número.
3. La mitad de un número se disminuye en 6.
4. Al doble de un número se le suman 2.
5. A un número se le resta 14.
6. El cuádruplo de un número.
7. El 20 % de una cantidad.
8. El doble de un número más su triple.
9. La edad de una persona dentro de 15 años.
10. Si a tres veces un número se suma 8, resulta 10.
Relacionar cada expresión algebraica con su traducción al lenguaje algebraico.
____ 1. El anterior de un número
____ 2. El doble de un número, más tres
____ 3. El siguiente de un número
____ 4. El triple del cubo de un número
____ 5. Un número más su cuadrado
____ 6. Cuatro veces un número menos sus dos tercios
____ 7. La mitad de un número menos cuatro
____ 8. Un múltiplo de cinco
____ 9. El cuadrado de un número par
____ 10. El triple de un número menos diez.
Investiga más frases de lenguaje
verbal que puedan ser
interpretadas en lenguaje
algebraico
A) x + x2
B) (2x)2
C) 3x3
D) x – 1
E) x/2 – 4
F) 4x – 2/3x
G) 2x + 3
H) x + 1
I) 5x
J) 3x - 10
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
42
3.5.5. Resolución de Problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Una vez dominada la transformación del lenguaje verbal a lenguaje algebraico, es
momento de resolver problema mediante el planteamiento de ecuaciones algebraicas de
primer grado.
3.5.5.1. Procedimiento para resolver problemas con ecuaciones de primer grado:
1. Comprender y representar:
consiste en la lectura del
problema, determinar las
incógnitas y las operaciones
utilizando el lenguaje
algebraico.
2. Planteamiento: es la
elaboración de la ecuación
algebraica adecuada para
satisfacer las condiciones el
problema y alcance de la
pregunta.
3. Resolver: se basa en resolver la
ecuación planteada mediante
los teoremas para despejar la
incógnita y resolver la ecuación
de primer grado con una
incógnita.
4. Comprobación: se verifica la
validez de la solución o raíz de
la ecuación volviendo
verdadera la información del
problema enunciado.
Comprender
(leer el problema)
Representar
(de lenguaje común a lenguaje algebraico)
Planteamiento (elaborar la ecuación
algebraica)
Resolver
(encontrar el valor de la incognita)
Comprobación
(la solucion cumple las condiciones)
Solucion
NO
NO
SI
SI
Proceso para resolver ecuaciones de primer
grado con una incógnita.
FLUJOGRAMA
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
43
Eje
mp
lo 1
Se desean repartir 16 dólares entre Juan y Pedro de forma que Pedro reciba 4
dólares más que Juan. ¿Cuántos dólares le corresponden a cada uno?
Solu
ción
1. Comprender y representar: la cantidad de dinero será “x” si Pedro
recibe 4 dólares más se representa por x + 4.
Lenguaje verbal Lenguaje algebraico Planteo de la ecuación
Dinero de Juan x x + x + 4 = 16
Dinero de Pedro x + 4
Total de dinero 16
2. Planteamiento: si entre los dos el total es de 16 dólares entonces la
ecuación se refiere a una suma entre la cantidad de dinero de Juan y
la cantidad de dinero de Pedro.
3. Resolver la ecuación: x + x + 4 = 16
Proposiciones Razones
1. x + x + 4 = 16 Dato
2. x + x = 16 - 4 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
3. 2x = 12 Suma de Términos semejantes
4. x = 12/2 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
5. x = 6 Def. de (÷)
• Por lo tanto: Juan tiene 6 dólares, mientras Pedro tiene 10 dólares
4. Comprobación: si x = 6, reemplazando: (6) + (6) + 4 = 16 → 16 = 16.
Observación:
En el afán de facilitar la comprensión de los problemas con
ecuaciones de primer grado, se realizará un estudio por diferentes
casos que se puede encontrar en los problemas.
Con el ejemplo anterior representa
cada paso del proceso en un flugrama.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
44
3.5.6. Problemas con Números
La manipulación de números en los problemas de
ecuaciones de primer grado con una incógnita, ayuda a
comenzar el entrenamiento para resolver los casos
posteriores.
El conjunto numérico donde se encuentren las
cantidades a analizar, depende firmemente del
problema. De no ser aclarado, se asume que el conjunto
es los reales (ℝ).
Ejemplo 1
Si al triple de un número le sumas dicho número, resulta 28. ¿Cuál es ese número?
Solu
ción
1. Comprender y representar: el número buscado será “x”, si me indica el
triple es “3x”.
Lenguaje verbal Lenguaje algebraico Planteo de la ecuación n
Triple de un número 3x 3x + x = 28
Dicho número x
Resulta (=) 28
2. Planteamiento: el problema expresa que al sumar dos números su resultado
es igual a 28
3. Resolver la ecuación: 3x + x = 28
Proposiciones Razones
1. 3x + x = 28 Dato
2. 4x = 28 Suma de Términos semejantes
3. x = 28/4 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
4. x = 7 Def. de (÷)
• Por lo tanto: el número buscado “x” es 7
4. Comprobación: si x = 7, reemplazando: 3(7) + (7) = 28 → 28 = 28.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
45
Ejemplo 3
La suma de dos números es 25, si el mayor excede en 10 unidades al menor. Hallar los
números.
Solu
ción
1. Comprender y representar: el número menor será “x”, y el número mayor
excede en 15 “x+10”
Lenguaje verbal Lenguaje algebraico Planteo de la ecuación
Número menor x x + (x + 15) = 25
Número mayor x +15
Diferencia (-) 25
2. Planteamiento: el problema expresa que al sumar dos números su resultado
es igual a 25
3. Resolver la ecuación: x + (x+15) = 25
Proposiciones Razones
1. x + x + 15 = 25 Dato
2. x + x = 25 - 15 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
3. 2x = 10 Suma de Términos semejantes
4. x = 10/2 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
5. x = 5 Def. de (÷)
Por lo tanto: el número menor “x” es 5 y el número mayor “x + 15” es 20
4. Comprobación: si x = 5, reemplazando: (5) + (5 + 15) = 25 → 25 = 25.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
46
Ejemplo 3
• Cuatro veces un número es igual al número aumentado en 21.
Solu
ción
1. Comprender y representar: el número será “x”, cuatro veces el número es “4x”
y el número aumentado 21 es “x + 21”
Lenguaje verbal Lenguaje
algebraico
Planteo de la
ecuación
El Número x 4x = x + 21
Cuatro veces el número 4x
El número aumentado en 21 x + 21
2. Planteamiento: se expresa un igualdad entre cada expresión algebraica.
3. Resolver la ecuación: 4x = x + 21
Proposiciones Razones
1. 4x = x + 21 Dato
2. 4x - x = 21 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
3. 3x = 21 Suma de Términos semejantes
4. x = 21/3 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
5. x = 7 Def. de (÷)
• Por lo tanto: el número “x” es 7
4. Comprobación: si x = 7, reemplazando: 4(7) = (7) + 21→ 28 = 28.
Importante:
• Un número de dos cifras se componen por unidades y decenas, de tal
manera que 10d + u
• Para invertir las cifras de un número, se debe invertir el orden entre
unidades y decenas. Por ejemplo, si se escribe 35 como 10(3) + 5, al
invertir tendríamos 53 como 10(5) + 3.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
47
Ejemplo 4
En un número de dos cifras, la cifra de decenas excede en 2 a la cifra de las unidades.
Si al número se le disminuye el triple de unidades se obtiene otro número con las cifras
invertidas. Hallar el número.
1. Comprender y representar: la cifra de las unidades será “x”, por lo tanto, la
cifra de las decenas será “x + 2” y el doble de unidades será “2x”
Lenguaje verbal Lenguaje algebraico Planteo de la ecuación
Unidades x
10(x + 2) + x - 3x = 10x + (x + 2) Decenas x + 2
Triple de unidades 3x
El número 10(x + 2) + x
Número invertido 10x + (x + 2)
2. Planteamiento: a el número menos el triple de unidades es igual a el número
invertido
3. Resolver la ecuación: 10(x + 3) + x + 3x = 10x + (x + 3)
Proposiciones Razones
1. 10(x + 2) + x - 3x = 10x + (x + 2) Dato
2. 10x + 20 + x - 3x = 10x + x + 2 Ax. Distrib. (x) con respecto a la (+)
3. 20 + x - 3x = x + 2 T. ax ± b = c ± b ⇔ ax = c
4. x - 3x – x = 2 - 20 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
5. - 3x = - 18 Suma de Términos semejantes
6. 3x = 18 T. - ax = - c ⇔ ax = c
7. x = 18/3 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
8. x = 6 Def. de (÷)
• Por lo tanto: la cifra de las unidades “x” es 6. La cifra de las decenas “x +
2” es 8. El número buscado es 86
4. Comprobación: si el número es 86, reemplazando: 86 – 18 = 68 → 68 = 68.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
48
Ejercicios Propuestos.
Resolver los siguientes problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
1. La suma de un número más su triple es 80. ¿Cuál es dicho número?
2. Dos números consecutivos suman 25. ¿Cuáles son?
3. Tres números consecutivos suman 306. ¿Cuáles son?
4. Dos números cuya diferencia es 14, suman 54. ¿Cuáles son?
5. El doble de un número más 5 unidades es igual al triple del número. ¿Cuál es el
número?
6. Nueve veces un número es igual el número aumentado en 112 ¿Cuál es el número?
7. Hallar el número que aumentado en 56 equivale al triple del número disminuido en
14.
8. La suma de tres números es igual a 340. El primero es el triple del segundo y el
segundo es cuatro veces el tercero.
9. Se tiene un número de dos cifras, tal que, la segunda cifra es el doble de la primera y
al sumar el número más el número que se obtiene al cambiar el orden de sus cifras
es 132 ¿Qué número es?
10. Se tienen dos números de dos cifras, tales que la cifra de las decenas de ambos
números es la misma, la cifra las unidades de uno de ellos es el doble de la primera,
la cifra de las unidades del otro número es el triple de la primera, la suma de los dos
números es 75 ¿Qué números son?
(González & Mancill, 1962) (Baldor, 1960)
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
49
3.5.7. Problemas con cantidades.
Las diversas cantidades pueden ser:
dinero, objetos, frutas, animales, entre
otros. Es todo aquello que pueda ser
contabilizado y expresado mediante
una cantidad real.
Ejemplo 1
Luis, Daniel y Juan ganaron $100 en su trabajo. Luis ganó $ 8 más que Daniel y Juan
ganó el doble de dinero que ganó Daniel. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
Solu
ción
1. Comprender y representar: la cantidad de dinero de Daniel será “x” debido a
que es la base del problema. (no presenta modificaciones en el enunciado)
Personajes Cantidad de dinero Planteo de la ecuación
Daniel $ x
x + (x + 8) + 2x = 100 Luis $ x + 8
Juan $ 2x
Total $ 100
2. Planteamiento: el dinero ganado entre los tres se reparte de la forma que
explica el problema. Por lo tanto, al sumar el dinero de los 3 tenemos $100.
3. Resolver la ecuación: x + (x + 8) + 2x = 100
Proposiciones Razones
1. x + (x + 8) + 2x = 100 Dato
2. x + x + 8 + 2x = 100 T. +(a + b) = a + b
3. x + x + 2x = 100 - 8 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
4. 4x = 92 Suma de Términos semejantes
5. x = 92/4 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
6. x = 23 Def. de (÷)
• Por lo tanto: la cantidad de dinero que gano Daniel es $23. Luis ganó $8
más que Daniel entonces Luis tiene $31 y Juan ganó el doble que Daniel
entonces Juan tiene $46
4. Comprobación: al sumar el de dinero de cada uno 23 + 31 + 46 = 100
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
50
Ejemplo 2
Un granjero A tiene cuatro veces la cantidad de ganado que tiene el granjero B. Si el
granjero A le vende 10 cabezas de ganado al granjero B, entonces tendría el doble.
Solu
ción
1. Comprender y representar: el problema presenta 2 partes, un antes y un
después.
• Antes, el granjero B tiene “x” ganado y el granjero A tiene “4x”.
• Después, el granjero A vende 10 cabezas de ganado: seria “4x - 10”,
mientras que, el granjero B tendría “x + 10”
Personas Antes Después Planteo de la ecuación
Ganado
original
Al vender 10
cabezas
4x – 10 = 2(x + 10)
Granjero A 4x 4x - 10
Granjero B x x + 10
2. Planteamiento: la igualdad se establece con la cantidad de ganado que tiene
el granjero A al vender, que es igual al doble de ganado del granjero B
después.
3. Resolver la ecuación: 4x – 10 = 2(x + 10)
Proposiciones Razones
1. 4x – 10 = 2(x + 10) Dato
2. 4x – 10 = 2x + 20 Ax. Distributivo
3. 4x - 2x = 20 + 10 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
4. 2x = 30 Suma de Términos semejantes
5. x = 30/2 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
6. x = 15 Def. de (÷)
Por lo tanto: el granjero B tiene 15 cabezas de ganado y el granjero A tiene cuatro
veces esta cantidad o sea 60 cabezas de ganado.
4. Comprobación: después de vender las 10 cabezas de ganado.
Granjero A: 60 – 10 = 50
Granjero B: 15 + 10 = 25
El granjero A tiene el doble de cabezas de ganado que el granjero b.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
51
Ejemplo 3
En una ferretería se venden tornillos en cajas de tres tamaños: pequeña, mediana y
grande. La caja grande contiene el triple que la mediana y la mediana 15 tornillos más
que la pequeña. Al comprar una caja de cada tamaño, en total hay 125 tornillos,
¿cuántos tornillos hay en cada caja?
Solu
ción
1. Comprender y representar: la cantidad tornillos de la caja pequeña será “x”
debido a que es la base del problema. (no presenta modificaciones en el
enunciado)
Cajas Cantidad de tornillos Planteo de la ecuación
Pequeña x
x + (x + 15) + 2(x + 15) = 125 Mediana x + 15
Grande 2(x + 15)
Total $ 125
2. Planteamiento: la suma total de los tornillos en las tres cajas compradas es
de 125 tornillos.
3. Resolver la ecuación: x + (x + 15) + 2(x + 15) = 125
Proposiciones Razones
1. x + (x + 15) + 2(x + 15) = 125 Dato
2. x + x + 15 + 2x + 30 = 125 T. +(a + b) = a + b / Ax. Distributivo
3. x + x + 2x = 125 – 15 – 30 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
4. 4x = 80 Suma de Términos semejantes
5. x = 80/4 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
6. x = 20 Def. de (÷)
• Por lo tanto: en la caja pequeña hay 20 tornillos. Por otro lado, en la caja
mediana hay 15 tornillos más, es decir, 35 tornillos y en la caja grande
hay el doble que en la mediana, o sea ,70 tornillos.
4. Comprobación: al sumar la cantidad de tornillos de las tres cajas
20 + 35 + 70 = 125
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
52
Ejemplo 4
Un local comercial de ropa realiza el cierre de caja con $400. Si el vendedor solo tiene
26 billetes de $5 y de $20. ¿Cuántos billetes son de $5? y ¿cuántos son de $20?
Solu
ción
1. Comprender y representar: si en total hay 25 billetes. quiere decir que existe
“x” de billetes de una denominación y “26 – x” cantidad de billetes de otra
denominación.
Billetes Número de
Billetes
Cantidad de
dinero
Planteo de la ecuación
5x + 20(26 - x) = 400 De $5 x 5x
De $20 26 - x 20(26 - x)
TOTAL DE DINERO 400
2. Planteamiento: la cantidad de dinero es el producto entre el valor de cada
billete por el número de billetes pero el total es la suma entre las cantidades
dinero.
3. Resolver la ecuación: 5x + 20(26 - x) = 400
Proposiciones Razones
1. 5x + 20(26 - x) = 400 Dato
2. 5x + 520 - 20x = 400 Ax. Distributivo
3. 5x - 20x = 400 - 520 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
4. - 15x = - 120 Suma de Términos semejantes
5. 15x = 120 T. - ax = - c ⇔ ax = c
6. x = 120/15 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
7. x = 8 Def. de (÷)
Por lo tanto: el vendedor tiene 8 billetes de $5 y (26 – 8 = 18) 18 billetes de $20.
4. Comprobación: al sacar el total de dinero con cada tipo de billete.
De $5: $5(8) = $40
De $20: $20(18) = $360.
En total hay: $400.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
53
Ejercicios Propuestos
Resolver los siguientes problemas con cantidades de ecuaciones de primer grado con
una incógnita.
1. En mi colegio entre chicos y chicas somos 725. Si el número de chicas supera en 45 al
de chicos. ¿Cuántos chicos hay? y ¿cuántas chicas?
2. Tres amigos van de compras. Juan gasta el doble que Alicia y Ana gasta el triple que
Alicia, si entre los tres han gastado $84. ¿Cuánto ha gastado cada uno?
3. Sabiendo que un pantalón es $10 más caro que una camisa y que si compro 4
pantalones y 2 camisas pago $100. ¿Cuánto vale un pantalón y una camisa?
4. Si el salario quincenal de un maestro es de $280 y al cobrar su cheque le entregan
billetes de $50 y de $10, de manera que el número de billetes de $10 es el doble que
el de $50. ¿Cuántos billetes de cada clase se tienen?
5. Un kilo de papas cholas cuesta el doble que un kilo de naranjas. Por 3 kilos de papas
cholas y 5 de naranjas he pagado $11. ¿Cuánto vale el kilo de cada una?
6. Un comerciante de verdura compra una cierta cantidad de tomates a 4 dólares el kilo.
Se le echan a perder 3 kilos y el resto los vende a 10 dólares el kilo. ¿Qué cantidad ha
comprado si la ganancia obtenida es de 90 dólares?
7. En el laboratorio del colegio hay 43 asientos entre taburetes de 3 patas y sillas de 4
patas. El total de patas es 157. ¿Cuántas sillas y taburetes hay?
8. Si compro 5 cuadernos y me sobran $2. Si hubiera necesitado comprar 9 cuadernos,
me habría faltado $1. ¿Cuánto cuesta un cuaderno?
9. Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado $14,30. El videojuego es
cinco veces más caro que el cómic, y éste cuesta el doble que el helado. ¿Cuál era el
precio de cada artículo?
10. Me faltan $1,80 para comprar mi videojuego. Si tuviera el doble de lo que tengo ahora,
me sobrarían $2.00. ¿Cuánto tengo? ¿Cuánto cuesta la revista?
(González & Mancill, 1962) (Baldor, 1960)
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
54
3.5.8. Problemas con edades.
Los problemas con edades son una excelente
aplicación de las ecuaciones de primer grado, así como
de la traducción del lenguaje común al lenguaje
algebraico. En ciertos casos los problemas de edades
presentan de 2 a 3 momentos que son: el pasado, el
presente y el futuro.
Ejemplo1
La edad del padre de Antonio es 28 años y la edad de su hijo es de 6 años. ¿Dentro de
cuántos años la edad de su padre será el doble que la de Antonio?
Solu
ción
1. Comprender y representar: lógicamente Antonio será “x” menor que su padre
quien será “4x”
Personajes Edad actual Edad futura Planteo de la ecuación
Edad del Padre 28 28 + x 28 + x = 2(6 + x)
Edad de Antonio 6 6 + x
2. Planteamiento: el tiempo transcurre igual para ambos, por lo tanto, se le
suman “x” años a cada uno, la igualdad indica que el padre será igual al doble
de la edad de Antonio. (P = 2A).
3. Resolver la ecuación: 28 + x = 2(6 + x)
Proposiciones Razones
1. 28 + x = 2(6 + x) Dato
2. 28 + x = 12 + 2x Ax. Distributivo
3. x - 2x = 12 - 28 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
4. - x = - 16 Suma de Términos semejantes
5. x = 16 T. - ax = - c ⇔ ax = c
• Por lo tanto: debe transcurrir 16 años para que la edad del padre sea el
doble que la de Antonio.
4. Comprobación: Padre: 28 + 16 = 44; Antonio: 6 + 16 = 22. Entonces la edad
del padre es el doble a la de Antonio.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
55
Ejemplo 2
La edad de María es el triple que la edad de Juana dentro de 6 años. ¿Cuáles son las
edades de cada una?
Solu
ción
1. Comprender y representar: la edad desconocida se representa por “y”, el
triple de esa edad será “3y”, mientras que, la edad aumentada 6 años será “y
+ 6”
Representación Edad Planteo de la ecuación
Juana y 3y = y + 6
María 3y
dentro de 6 años y + 6
2. Planteamiento: debido a que se trata de una comparación entre edades,
planteamos la ecuación como una igualdad entre las edades de María y
Juana.
3. Resolver la ecuación: 3y = y + 6
Proposiciones Razones
1. 3y = y + 6 Dato
2. 3y - y = 6 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
3. 2y = 6 Suma de Términos semejantes
4. y = 6/2 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
5. y = 3 Def. de (÷)
• Por lo tanto: Juana tiene 3 años y María tiene el triple, esto es 9 años
4. Comprobación: si y = 3, reemplazando: 3(3) = (3) + 6 → 9 = 9
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
56
Ejemplo 3
La edad de una madre y un hijo suman 50 años y dentro de 12 años la edad de la
madre será el triple de la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno.
Solu
ción
1. Comprender y representar: la madre tiene “x” años, por lo tanto, el hijo debe
tener “50 - x”
Representación Presente Futuro Planteo de la ecuación
Madre x x + 18 x + 18 = 3(62 - x)
Hijo 50 - x 50 – x + 18
2. Planteamiento: se trata de una comparación entre edades, planteamos la
ecuación con el futuro entre las edades de la madre igual al triple de la edad
de su hijo. En el futuro el hijo tiene (50 – x + 12 = 62 - x)
3. Resolver la ecuación: x + 18 = 3(50 – x + 18)
Proposiciones Razones
1. x + 18 = 3(62 - x) Dato
2. x + 18 = 186 - 3x Ax. Distributivo
3. 3x + x = 186 - 18 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
4. 4x = 168 Suma de Términos semejantes
5. x = 168/4 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
6. x = 42 Def. de (÷)
Por lo tanto: la edad actual de la madre es 42 años. La edad actual de su hijo es
de 50 – 42 = 8 años.
4. Comprobación: después de 18 años, cuando el hijo tenga 20 años, la madre
tendrá el triple, o sea 60 años.
Crea un problema de edades con
las edades de tus compañeros.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
57
Ejercicios Propuestos
Resolver los siguientes problemas de edades con ecuaciones de primer grado con una
incógnita.
1. José tiene siete años menos que su prima María y dentro de 15 años la suma
de sus edades será de 35 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
2. La edad de Alicia es el cuádruplo de la de Pablo, pero dentro de 16 años será
solamente el doble. Halla la edad actual de Alicia y de Pablo.
3. Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto, 13, y su padre, 43. ¿Cuántos años han de
transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?
4. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre será
tres veces mayor que la del hijo?
5. Si la edad de María es el triple que la de Pepe y dentro de 10 años será el doble. ¿Cuál
es la edad actual de Pepe y María?
6. Si al quíntuplo de la edad que tenía hace 2 años, le resto el triple de la edad que
tendré dentro de 5 años, obtengo mi edad. ¿Cuál es mi edad actual?
7. Las edades de Luis y Pedro suman 53 años. Si la edad de Pedro es 11 años más que
la de Luis. ¿Qué edad tiene cada uno ahora mismo?
8. Una madre tiene 61 años y su hija tiene 37 años. ¿Cuántos años hace que la edad de
la madre era el triple que la de su hija?
9. Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de
este. Hace cuatro años la edad del padre era el doble que la edad del hijo. Hallar las
edades de ambos
10. Ana tiene 7 años más que su hermano Juan. Dentro de dos años la edad de Ana será
el doble de la de Juan. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad?
(González & Mancill, 1962) (Baldor, 1960)
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
58
3.5.9. Problemas con Perímetros y Áreas
Para resolver problemas con
perímetros y áreas es
indispensable conocer las
fórmulas de áreas para figuras
geométricas.
Simultáneamente, recordar
que el perímetro de una figura
geométrica plana es la suma de sus lados.
Ejemplo 1
Un terreno de forma rectangular está rodeado de una cerca de 150 metros, si el ancho del terreno es
la mitad del largo. ¿Cuáles son las medidas del terreno?
Solu
ción
1. Comprender y representar: la medida base es el largo “x” y de aquí se parte
el ancho que es la mitad x
2.
Dimensiones Representación Planteo de la ecuación
Largo (L) x 150 = 2(x) + 2(
x
2)
Ancho (A) x/2
Perímetro (P) 150
2. Planteamiento: si la cerca rodea al terreno, el problema se refiere al
perímetro. El perímetro de un rectángulo es P = 2L + 2A.
3. Resolver la ecuación: 150 = 2(x) + 2(x
2)
Proposiciones Razones
1. 150 = 2(x) + 2(x
2) Dato
2. 150 = 2x + x Ax. Distributivo
3. 150 = 3x Suma de Términos semejantes
4. 150/3 = x T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
5. x = 50 Def. De (÷) / Ax. Simétrico (=)
• Por lo tanto: el largo mide x = 50 metros; entonces el ancho mide 25 metros.
4. Comprobación: si el perímetro es P = 2L + 2A, reemplazando se tiene:
P = 2(50) + 2(25) → P = 150 metros.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
59
Ejemplo 2
Para la exposición se preparan carteles cuadrados. Si se dibuja un margen 3 centímetros menor que
el lado del cuadrado, se obtiene otro de 135 cm2 menos que el primero. ¿Cuánto mide el lado menor?
Solu
ción
1. Comprender y representar: el lado del cartel (lado mayor) mide “x” mientras
el lado del margen (lado menor) mide “x – 3”
Dimensiones Representación Planteo de la ecuación
Lado mayor (LM) x x2 - (x - 3)2 = 135
Lado menor (lm) x – 3
Diferencia de áreas 135
2. Planteamiento: el área de un cuadrado es A = L2. Si el segundo cuadrado es
135 cm2 menor que el primero, entonces, se refiere a la diferencia de las
áreas. A mayor – A menor = 135
3. Resolver la ecuación: x2 - (x - 3)2 = 135
Proposiciones Razones
1. x2 - (x - 3)2 = 135 Dato
2. x2 - (x2 - 6x + 9) = 135 Binomio al cuadrado
3. x2 - x2 + 6x - 9 = 135 T. - (a - b) = - a + b
4. 6x - 9 = 135 Simplificación de términos semejantes
5. 6x = 135 + 9 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
6. 6x = 144 Suma de términos semejantes
7. x = 144 / 6 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
8. x = 24 Def. De (÷)
• Por lo tanto: el lado mayor mide x = 24 cm y el lado menor mide 21 cm.
4. Comprobación: A mayor = (24 cm)2 = 576 cm2
A menor = (21 cm)2 = 441 cm2
Diferencia = 135 cm2
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
60
Ejemplo 3
La base de un triángulo excede en 5m a su altura, si a cada dimensión se aumentan
2m, el área aumenta en 25m2. ¿Cuáles son las dimensiones del triángulo?
Solu
ción
1. Comprender y representar: al principio la base mide “x” metros, la altura
mide “x + 5”. Al aumentar 2 metros, la base mide “x + 2” y la altura “x + 5+2”.
Elementos Dimensiones + 2m Planteo de la ecuación
Base (b) x x + 2
(x + 2) (x + 7)
2−
(x) (x + 5)
2= 25
Altura (h) x +5 x + 7
Área (A) (x) (x + 5)
2
(x + 2) (x + 7)
2
2. Planteamiento: el área de un triángulo es A = b ∙h
2. Si el segundo triangulo es
25m2 mayor que el primero, entonces. A mayor – A menor = 25
3. Resolver la ecuación: (x + 2) (x + 7)
2−
(x) (x + 5)
2= 25
Proposiciones Razones
1. (x + 2) (x + 7)
2−
(x) (x + 5)
2= 25 Dato
2. (x + 2) (x + 7) - (x) (x + 5)
2= 25 Suma de fracciones
3. (x + 2) (x + 7) - (x) (x + 5) = (25)(2) T. x/a = c ⇔ x = ac; a ≠ 0
4. x2 + 7x + 2x + 14 - (x2 + 5x) = 50 Ax. distributivo
5. x2 + 7x + 2x + 14 - x2 - 5x = 50 T. - (a - b) = - a + b
6. x2 + 7x + 2x - x2 - 5x = 50 - 14 T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
7. 4x = 36 Suma de términos semejantes
8. x = 36 / 4 T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
9. x = 9 Def. De (÷)
Por lo tanto: la base mide x = 9 m y la altura mide 9 + 5 = 14 m, después de
aumentar dos metros, la base medirá x = 11 y la altura 14 + 2 = 16
4. Comprobación: A mayor = 63 m2
A menor = 88 m2
Diferencia = 25 m2
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
61
Ejercicios Propuestos
Resolver los siguientes problemas de perímetros y áreas mediante ecuaciones de
primer grado con una incógnita.
1. El largo de un campo de baloncesto es 8 metros mayor que su ancho, si el perímetro
es de 82 metros, ¿cuáles son las dimensiones del campo?
2. Calcula las dimensiones de una cancha de futbol cuyo perímetro mide 32 m, sabiendo
que de largo mide cuatro veces más que el ancho.
3. En un triángulo, el lado más pequeño es la mitad del mayor y el lado intermedio es
2/3 del mayor, si el perímetro es 180 cm. ¿cuáles serán las medidas de los lados?
4. En una pizza familiar (triángulo isósceles), cada uno de los lados iguales mide 4 cm
más que el lado desigual. Si su perímetro mide 56 cm, ¿cuánto mide cada lado?
5. La vereda de un parque cuadrado es de 2 metros menor que el borde del parque, si
su área interna es de 90m2, ¿cuál es la medida del borde del parque?
6. Un cuadrado mide 16 cm de lado. ¿Cuánto debe aumentar el lado para que su área
aumente en 22 cm2?
7. Un círculo mide 20 cm de diámetro. ¿Cuánto debe disminuir el diámetro para que su
perímetro disminuya en 2 cm?
8. El ancho de un rectángulo excede en 8m a su largo, si a cada dimensión se aumentan
5m el área aumenta en 46m2, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
9. La base de un triángulo es menor por en 10 cm a su altura, si a cada dimensión se
aumentan 20 cm, el área aumenta en 85cm2. ¿Cuáles son las dimensiones del
triángulo?
10. El largo de un rectángulo es el triple de su ancho, si a cada dimensión se disminuye
7m, el área disminuye en 25m2. ¿Cuáles son las dimensiones de la pirámide?
(González & Mancill, 1962) (Baldor, 1960)
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
62
3.5.10. Problemas de Reloj
Para facilitar el análisis de los problemas de reloj, se debe
determinar la velocidad angular (ω = θ
t) de las manecillas del
horero y del minutero. Siendo (ω) velocidad angular, (θ)
desplazamiento angular y (t) tiempo
Es bien conocido que en un reloj analógico la circunferencia
está dividida en 60 partes iguales (minutos) este camino es
el desplazamiento angular recorrido por el minutero en una
hora. Entonces, la velocidad angular del minutero será ωm= 60
h.
En cambio, el camino que el horero
recorre en una hora es únicamente de 5
minutos, de esta manera, la velocidad
angular del horero es ωh = 5
h.
Al determinar la velocidad angular del
minutero con respecto al horero,
despejamos h,
Por lo tanto, en la formula ωm = 12ωh se determina que la velocidad del minutero es 12
veces la velocidad del horero.
Importante:
Con esta fórmula se resolverán los problemas de reloj con
ecuaciones de primer grado con una incógnita, teniendo en cuenta
que la velocidad será la incógnita.
x + n = 12x
Siendo n la cantidad de minutos que debe recorrer el minutero para
cumplir la condición del problema.
h = 60
ωm ; h =
5
ωh Despejando h
h = h Igualando h
60
ωm
=5
ωh
Reemplazando valores
ωm = 12ωh Despejando ωm
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
63
Ejemplo 1
¿A qué hora después de las 3 se sobreponen las manecillas del reloj? S
olu
ción
1. Comprender y representar: el espacio que
recorre el horero será “x”, mientras que, para
que el minutero alcance al horero deberá
recorrer 15 minutos más “x + 15”
Manecillas Representación Ecuación
Horero x x + 15 =
12x Minutero x + 15
2. Planteamiento: teniendo en cuenta la velocidad del minutero
x + n = 12x, se plantea la igualdad con n = 15.
3. Resolver la ecuación x + 15 = 12x
Proposiciones Razones
1. x + 15 = 12x Dato
2. 15 = 12x – x T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
3. 15 = 11x Suma de Términos semejantes
4. 15/11 = x T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
5. x = 1.3636… Def. De (÷) / Ax. Simétrico (=)
Para determinar exactamente el tiempo donde las manecillas se sobreponen, a
la parte decimal 0.36 se la multiplica por 60 segundos, obteniendo:
(0.3636) (60) = 21.816 segundos
• Por lo tanto: el horero marca las 3 y el minutero camina 15 minutos más
“x”. La hora exacta será las 3h 16m 21.816s
Observación:
Hay que tener en cuenta que un ángulo de 30° equivale a 5 minutos.
Así un ángulo de 90° equivale a 15 minutos.
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
64
Ejemplo 2
¿A qué hora después de las 6, forman las manecillas un ángulo de 30º por primera vez? S
olu
ción
1. Comprender y representar: el espacio que
recorre el horero será “x”, por otro lado, para
que el minutero logre un ángulo de 30° debe
haber al menos una diferencia de 5 minutos
entre el horero y el minutero “x + 25”
Manecillas Representación Ecuación
Horero x x + 25 =
12x Minutero x + 25
2. Planteamiento: teniendo en cuenta la velocidad del minutero ωm = 12ωh, se
plantea una igualdad para dicha velocidad.
3. Resolver la ecuación x + 25 = 12x
Proposiciones Razones
1. x + 25 = 12x Dato
2. 25 = 12x – x T. ax ± b = c ⇔ ax = c ∓ b
3. 25 = 11x Suma de Términos semejantes
4. 25/11 = x T. ax = c ⇔ x = c/a; a ≠ 0
5. x = 2.2727… Def. De (÷) / Ax. Simétrico (=)
Para determinar exactamente el tiempo donde las manecillas se sobreponen, a
la parte decimal 0.2727 se la multiplica por 60 segundos, obteniendo:
(0.2727) (60) = 16.362 segundos
• Por lo tanto: el horero marca las 6 y el minutero camina 25 minutos más
“x”. La hora exacta será las 6h 27m 16.362s
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
65
Ejercicios Propuestos
Resolver los siguientes problemas de reloj con ecuaciones de primer grado con una
incógnita.
1. ¿A qué hora después de la 1 se sobreponen las manecillas del reloj?
2. ¿A qué hora después de las 4 se sobreponen las manecillas del reloj?
3. ¿A qué hora después de las 7 se sobreponen las manecillas del reloj?
4. ¿A qué hora después de las 11 se sobreponen las manecillas del reloj?
5. ¿A qué hora después de la 1, forman las manecillas un ángulo de 90º?
6. ¿A qué hora después de las 3, forman las manecillas un ángulo de 60º por primera
vez?
7. ¿A qué hora después de las 5, forman las manecillas un ángulo de 120º por primera
vez?
8. ¿A qué hora después de las 2 se encuentran las manecillas del reloj a 180°?
9. ¿A qué hora después de las 10 se encuentran las manecillas en prolongación?
10. ¿A qué hora después de las 12 se encuentran las manecillas en prolongación por
primera vez?
(Bastidas et al., 2018)
3.5.11. Problemas de Velocidades
- botes – rio + bote
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
66
MISCELÁNEA DE ECUACIONES
Ejercicios
Resolver los siguientes problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
1. Calcula tres números consecutivos cuya suma sea 51.
2. Calcula el número que se triplica al sumarle 26.
3. La tercera parte de un número es 45 unidades menores al doble. ¿Cuál es el número?
4. El triple de un número más 8 unidades es igual al doble del número. ¿Cuál es el
número?
5. Siete veces un número es igual el número aumentado en 82 ¿Cuál es el número?
6. Hallar el número que aumentado en 36 equivale al doble del número disminuido en
14.
7. La suma de tres números es igual a 420. El primero es el triple del segundo y el
segundo es cuatro veces el tercero.
8. Se tiene un número de dos cifras, tal que la segunda cifra es tres veces la primera y
al sumar el número más el número que se obtiene al cambiar el orden de sus cifras
es igual a 252 ¿Qué número es?
9. Sabiendo que un pantalón es $8 más caro que una camisa y que si compro 5
pantalones y 4 camisas pago $110, ¿cuánto vale un pantalón y una camisa?
10. Si el salario quincenal de un maestro es de $480 y al cobrar su cheque le entregan
billetes de $50 y de $20, de manera que el número de billetes de $20 es el triple que
el de $50. ¿Cuántos billetes de cada clase se tienen?
11. Un kilo de papas cholas cuesta cuatro veces más que un kilo de mandarinas. Por 4
kilos de papas cholas y 4 de mandarinas he pagado $18. ¿Cuánto vale el kilo de cada
una?
12. Un comerciante de verdura compra una cierta cantidad de verdes a 2 dólares el kilo.
Se le echan a perder 4 kilos y el resto los vende a 7 dólares el kilo. ¿Qué cantidad ha
comprado si la ganancia obtenida es de 90 dólares?
13. En el laboratorio del colegio hay 21 mesas entre de 3 patas y de 4 patas. El total de
patas es 185. ¿Cuántas mesas existen?
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
67
14. Si compro 3 cuadernos y me sobran $2. Si hubiera necesitado comprar 5 cuadernos,
me habría faltado $1. ¿Cuánto cuesta un cuaderno?
15. ¿Qué edades tiene Roberto sabiendo que dentro de 56 años tendrá el quíntuplo de su
edad actual?
16. Tres hermanos se reparten $13. El mayor recibe el doble que el mediano y este el
cuádruple que el pequeño. ¿Cuánto recibe cada uno?
17. En un rectángulo la base mide 15 cm más que la altura y el perímetro mide 90 cm.
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
18. La mitad de un número multiplicada por su quinta parte es igual a 160. ¿Cuál es ese
número?
19. En una granja hay el doble número de gatos que de perros y triple número de gallinas
que de perros y gatos juntos. ¿Cuántos gatos, perros y gallinas hay si en total son 96
animales?
20. Si al cuádruplo de la edad que tenía hace 3 años, le resto el doble de la edad que
tendré dentro de 6 años, obtengo mi edad. ¿Cuál es mi edad actual?
21. Las edades de Luis y Pedro suman 62 años. Si la edad de Pedro es 12 años más que
la de Luis. ¿Qué edad tiene cada uno ahora mismo?
22. Una madre tiene 52 años y su hija tiene 28 años. ¿Cuántos años hace que la edad de
la madre era el triple que la de su hija?
23. Se distribuyen 420 pruebas en cuatro aulas sabiendo que la primera tiene 60 menos
que la segunda y esta tiene 40 menos que la tercera. Averigua cuántas pruebas tiene
cada una.
24. Un círculo mide 40 cm de diámetro. ¿Cuánto debe disminuir el diámetro para que su
perímetro disminuya en 4 cm?
25. El ancho de un rectángulo excede en 6m a su largo, si a cada dimensión se aumentan
7m el área aumenta en 52m2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
26. La base de un triángulo es menor por en 18 cm a su altura, si a cada dimensión se
aumentan 12 cm, el área aumenta en 80cm2. ¿Cuáles son las dimensiones del
triángulo? ¿A qué hora después de la 1 se sobreponen las manecillas del reloj?
27. ¿A qué hora después de las 6 se sobreponen las manecillas del reloj?
28. ¿A qué hora después de las 8 se sobreponen las manecillas del reloj?
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
68
29. ¿A qué hora después de las 10 se sobreponen las manecillas del reloj?
30. ¿A qué hora después de la 12, forman las manecillas un ángulo de 90º?
31. ¿A qué hora después de las 3, forman las manecillas un ángulo de 120º por primera
vez?
32. El largo de un rectángulo es el doble de su ancho, si a cada dimensión se disminuye
5m, el área disminuye en 21m2. ¿Cuáles son las dimensiones de la pirámide?
33. Un granjero tiene 20 caballos de 9 y 11 años. La suma de sus edades es de 182 años.
¿Cuántos caballos había de cada edad?
34. ¿A qué hora después de las 6, forman las manecillas un ángulo de 30º por primera
vez?
35. ¿A qué hora después de las 5 se encuentran las manecillas del reloj a 60°?
36. ¿A qué hora después de las 11 se encuentran las manecillas en prolongación?
37. ¿A qué hora después de las 1 se encuentran por primera vez?
(Baldor, 1960)(González & Mancill, 1962)(Bastidas et al., 2018)
Bahamonde Mendoza Bryan M. Factorización y Ecuaciones
69
Baldor, A. (1960). Álgebra de Baldor. http://www.algebradebaldor.org/
Bastidas, P. R., Balseca, C. M., Rodríguez, W. M., & Sánchez, M. C. (2018). Teoría de Ecuaciones.
Camacho, J. (2013). Historia de la factorización. prezi.
https://prezi.com/iuwtah0vqrys/historia-de-la-factorizacion/
Delgado Coronado, S. (2015). El papel del lenguaje en el aprendizaje de las
matemáticas. PANORAMA, 9(16), 32. https://doi.org/10.15765/pnrm.v9i16.636
González, M. O., & Mancill, J. D. (1962). Álgebra de Mancil. http://www.algebrademancil.com/
Real Academia Española. (s. f.). factorizar RAE. definicion 1. Recuperado 5 de agosto
de 2020, de https://dle.rae.es/factorizar
REAL ACADEMIA ESPAÑOLA: Diccionario de la lengua española, 23. ª ed., [versión
23.3 en línea]. <https://dle.rae.es> [Recuperado en 05 de agosto de 2019].