(14.12) expresa a fr como función de Re solamente y la ecuación 14.4 expresa a f f en función de la rugosidad relativa solamente. Desde luego, la diferencia es que la primera de estas dos ecuaciones se emplea en tubos lisos y la segunda en tubos rugosos. La pregunta que surge es ¿Qué superficie es rugosa?Se ha observado experimentalmente que la ecuación 14.2 describe la variación de f f en un conjunto de valores de Re, aun para los tubos rugosos. Más allá de cierto valor de Re, esta variación difiere de la ecuación correspondiente para los tubos lisos y toma un valor constante determinado por la rugosidad del tubo como lo expresa la ecuación 14.4. La región en la cual f f

varía tanto como Re como con e/D se le llama región de transición. Colebrook* ha propuesto una ecuación empírica que describe la variación de ff en la región de transición:

1

√ f f=4 log10

De

+2.28−4 log10(4.67 De

ℜ√ f f+1)

14.15

La ecuación anterior puede aplicarse a la región de transición para valores superiores al de (D/e)/Re√ f f )=0.1. Para valores inferiores a esté, el factor de fricción es independiente del número de Reynolds y se dice que el flujo es totalmente turbulento. En resumen, las expresiones que aparecen a continuación, expresan la variación del factor de fricción de acuerdo con las condiciones de superficie y flujo especificadas:

Para los flujos laminares (Re˂2300)

f r=16ℜ

14.7

Para flujos turbulentos (tubo liso, Re˂3000),

1

√ f f=4 log10 {ℜ√ f f }<0.40

14.12Para los flujos turbulentos (tubo rugoso, (D/e)/Re√ f f ¿˂0.1¿

1

√ f f=4 log10

De

+2.28

14.14

14.3 FACTOR DE FRICCIÓN Y DETERMINACION DE LA PÉRDIDA DE CARGA EN EL FLUJO DE UN TUBO

A. GRAFICA DEL FACTOR DE FRICCIÓN

Moody ha representado ya una gráfica de un solo factor de fricción basada en las ecuaciones anteriores. La figura 14.1 es una gráfica del factor de fricción de Fanning contra el número de Reynolds en un conjunto de valores del parámetro de rugosidad de e/D.Cuando se usa la gráfica del factor de fricción, figura 14.1 es necesario conocer el valor del parámetro de rugosidad que puede utilizarse en un tubo de un tamaño y material dados. Después de que una tubería o cañería ha estado en servicio durante cierto tiempo, su rugosidad puede cambiar considerablemente, haciendo muy difícil la determinación de e/D. Moody hizo una gráfica, que se encuentra reproducida en la figura 14.2 por medio de la cual se puede determinar el valor de e/D para un tamaño dado en tubería o cañería de un material particular.La combinación de estas dos gráficas permite la evaluación de la pérdida friccional de carga que sufre un tubo de longitud L y diámetro D, por medio de la relación:

hL=2 f fLDv2

g14.3

B. PÉRDIDA DE CARGA DEBIDA A ACCESORIOSLa pérdida de carga debida a la fricción, calculada a partir de la ecuación 14.3 es solamente una parte de la pérdida total de carga que debe vencerse en las tuberías y otros conductos que transporten fluidos. Pueden ocurrir otras pérdidas debido a la presencia de válvulas, codos y otros accesorios que impliquen un cambio, ya sea de dirección del flujo o tamaño del conducto, las pérdidas de carga debidas a estos accesorios son funciones de la geometría del accesorio, del número de Reynolds y de la rugosidad. Como se ha encontrado que las pérdidas en los accesorios, en primera aproximación, son independientes del número de Reynolds, se puede calcular la pérdida de carga de la siguiente manera:

hL=∆Pρ

=K v2

2g14.16

Donde K es un coeficiente que depende del accesorio.Un método equivalente de determinación de la pérdida de la carga en los accesorios es el de introducir una longitud equivalente, Leq, tal que:

hL=2 f fLeqDv2

g14.17

Figura 14.1 El factor de fricción de Fanning en función de Re y D/eFigura 14.2 Parámetros de rugosidad de conductos y tubos

Donde Leq es la longitud del tubo que produce una pérdida de carga equivalente a la que ocurre en un accesorio particular. Se observa que la ecuación (14.17) está en la misma forma que la ecuación (14.13), por lo cual, la pérdida total de carga que sufre un sistema de tubos se puede determinar sumando las longitudes equivalentes de los accesorios a la longitud efectiva total del tubo.

Al comparar las ecuaciones 14.6 y 14.7 se observa que la constante K debe ser igual a 4f fLeq/D. Aunque la ecuación 14.17 aparentemente depende del número de Reynolds a causa de la apariencia del factor de Fanning de fricción, no depende de él. La suposición que se hace en las ecuaciones 14.16 y 14.17 es que el número de Reynolds es lo suficientemente grande como para que el flujo sea totalmente turbulento. Entonces el coeficiente de fricción para un accesorio dado depende solamente la rugosidad del accesorio. En la siguiente tabla aparecen los valores típicos de K y Leq/D.

Tabla 1. Factores de pérdidas debidas a fricción, de varios accesorios para tubos.

Accesorio K Leq/DVálvula de globo, totalmente abierta 7.5 350Válvula de cuña, totalmente abierta 3.8 170Válvula de compuerta, totalmente abierta 0.15 7Válvula de compuerta, abierta ¾ 0.85 40Válvula de compuerta, abierta ½ 4.4 200Válvula de compuerta, abierta ¼ 20 900Codo a 90°, estándar 0.7 32Codo a 90°, de radio corto 0.9 41Codo a 90°, de radio largo 0.4 20Codo a 90°, estándar 0.35 15Tubo en T, conducto con salida lateral 1.5 67Tubo en T, conducto recto 0.4 20

DIÁMETRO EQUIVALENTE

Las ecuaciones se basan en el conducto circular de flujo. Estas ecuaciones pueden usarse para calcular la pérdida de carga en un conducto cerrado de cualquier configuración si se utiliza un “diámetro equivalente” para un conducto no circular de flujo. El diámetro equivalente se calcula de acuerdo a la fórmula:

Deq= 4 sección transversal del área del flujo Perímetro transversal (14-18)

La razón de la sección transversal del área al perímetro mojado se llama radio hidráulico. Se puede verificar que Deq corresponde a D en un conducto circular de flujo. A menudo en los procesos de transferencia aparece un tipo de conducto no circular de flujo, que es el área anular que se encuentra entre dos tubos concéntricos. El diámetro equivalente para esta configuración se calcula de la manera siguiente:

Área de la sección transversal = π4

(D02 – Di

2)

Perímetro mojado= π (D0 + Di)

Deq= 4 π /4 (D02 – D i

2 ) = D0 - Di

4 (D0 + Di)

Este valor de Deq puede usarse ahora, para calcular el número de Reynolds, el factor de fricción y la pérdida de carga, utilizando los métodos y las relaciones que se estudiaron anteriormente para los conductos cerrados.

14.4 ANÁLISIS DE FLUJO EN UN TUBO

Estos análisis son siempre directos pero varían en su complejidad. A continuación se muestran algunos problemas a manera de ejemplo, aunque de ninguna manera los problemas que pueden encontrarse en la práctica de la ingeniería.

Ejemplo 2

Se necesita un cambiador de calor que pueda operar con 0.0576 m3/s de agua que pase a través de un tubo liso cuya longitud equivalente sea 122 m. La caída total de presión es de 103, 000 Pa. ¿Qué tamaño de tubo se necesita?

Solución.

La ecuación pertinente en el problema que estamos resolviendo:

0=P2-P1 + h1g ρ

La cantidad deseada, que es el diámetro, está incluida en el término correspondiente a la pérdida de carga pero no puede despejarse directamente, ya que el factor de fricción también depende de D. si se insertan valores numéricos a la ecuación anterior y se resuelve ésta, se obtendrá:

0=103000Pa1000kg /m3

+2 f r ( 0 .0567πD4 /4 )2 m2

s2⋅122Dmmgg

0=−103+1 .27f rD5

La solución a este problema debe obtenerse por el método de prueba y error. El siguiente procedimiento es uno de los posibles:

1. Suponga un valor de ff.2. Usando este valor de ff , resuelva la ecuación anterior para D.3. Calcule Re con esta D.

4. Verifique el supuesto valor de ff utilizando e/D y la Re que se calculó.5. Repita este procedimiento hasta que concuerden los valores supuesto y calculando de

factor de fricción.

Tomando esto en cuenta el resultado sería 0.132 m.

14.5 FACTORES DE FRICCIÓN CORRESPONDIENTES A UN FLUJO A LA ENTRADA DE UN CONDUCTO CIRCULAR.

El desarrollo y los problemas de la sección anterior se han relacionado con las condiciones de flujo que no cambian a lo largo del eje del flujo. A menudo se encuentra está condición y los métodos anteriormente descritos resultan los parámetros importantes de flujo.

En muchos sistemas reales de flujo está condición nunca ocurre. Se forma una capa límite en la superficie del tubo y su grosor aumenta en forma semejante a aquella en que aumenta en forma semejante a aquella en que aumenta la capa límite en la placa plana. La acumulación de la capa límite en el flujo a través de un tubo puede verse en la figura 14.4.

Figura 14.4 Acumulación de capa límite en un tubo.

Se forma una capa límite en la superficie interior, la cual ocupa una cantidad mayor del área de flujo cuando aumenta el valor de x, que es la distancia medida a partir de la entrada, en dirección de flujo. Al llegar x a un valor determinado, la capa límite ocupa toda el área de flujo. El perfil de la velocidad no cambiará en dirección total del flujo, a partir de este punto y el flujo se transformara en totalmente desarrollado. La distancia, en la dirección del flujo, desde la entrada del tubo hasta donde el flujo se transforma en flujo totalmente desarrollado, se llama longitud de entrada y para ella se utiliza el símbolo Le. Observe que la velocidad de flujo fuera de la capa límite aumenta con x, lo cual requiere para satisfacer la condición de continuidad. En el centro del tubo, la velocidad llega finalmente a un cierto valor de 2ν∞ correspondiente a un flujo laminar totalmente desarrollado.

La longitud de entrada que se requiere para que se forme un flujo laminar un perfil de velocidad totalmente desarrollado, la ha expresado Langhaar* en la forma siguiente:

Le = 0.0575 Re

D

En la cual D representa el diámetro interior del tubo. Esta relación, obtenida de manera analítica, está de acuerdo con el experimento. No existe ninguna relación para predecir la longitud de entrada en un perfil totalmente desarrollado de velocidad turbulenta. Un factor adicional que afecta la longitud de entrada en el flujo turbulento es la naturaleza misma de la entrada. Después

de una distancia mínima, a partir de la entrada, equivalente a 50 diámetros en la dirección del flujo, que se transforma en totalmente desarrollado.

La longitud de entrada correspondiente al perfil de velocidad, difiere considerablemente el gradiente de la velocidad en la pared. Como el factor de fricción está en función de dv/dy en la superficie del tubo, también nos interesa esta longitud inicial.

Existen 2 condiciones en la región de entrada que hacen que el factor de fricción sea mayor cuando el flujo está totalmente desarrollado. La primera de estas condiciones es el enorme gradiente de velocidad en la pared, justamente en la entrada. Este gradiente disminuye en la dirección del flujo, tomándose constante antes de que el perfil de velocidad se transforme en totalmente desarrollado. El otro factor es la existencia de un núcleo de fluido fuera de la capa viscosa, cuya velocidad debe aumentar de acuerdo con la condición de continuidad. El fluido que se encuentra en el núcleo está, por consiguiente, siendo acelerado, produciendo así una fuerza adicional de arrastre cuyo efecto está incorporado al factor de fricción.

El factor de fricción correspondiente al flujo laminar en la entrada del tubo es más alto en la entrada, para luego decrecer en forma continua hasta llegar al valor de flujo totalmente desarrollado. La figura 14.5 es una representación cualitativa de esta variación. La tabla 2 representa los resultados que Lanhgaar encontró del factor de fricción promedio entre la entrada y un punto a una distancia x de la misma.

Figura 14.5 Perfil de velocidad y variación del factor de fricción del flujo laminar en la región de entrada en un tubo.

El factor de fricción, así como el perfil de velocidad correspondiente a un flujo turbulento existente en la región de entrada, son difíciles de expresar.

Aún para velocidades de corriente libre muy altas habrá una porción de la entrada sobre la cual la capa límite será laminar. La configuración de entrada así como el número de Reynolds, afectan la longitud del tubo sobre la cual existe la capa laminar antes de transformarse en turbulenta. En la figura 14.6 aparece una gráfica de factores de fricción de flujo turbulento en la región de entrada semejante a la de la figura 14.5.

Tabla 2. Factor de fricción promedio de flujo laminar a la entrada de un tubo circular.

Es importante percatarse de que en muchas situaciones el flujo nunca es totalmente desarrollado, por lo que el factor de fricción será más alto que el predicho a partir de las ecuaciones correspondientes al flujo totalmente desarrollado o la gráfica de factores de fricción.

Figura 14.6 perfil de velocidad y variación del factor de fricción en el flujo turbulento de la región cercana a la entrada en un tubo.

Figura 14.7 Caída de presión estática debida a la fricción y al cambio de momento a la entrada de un tubo liso, horizontal y circular.

x /Dℜ Fr( xD )

0.000205 0.05300.000830 0.09650.001805 0.14130.003575 0.20750.00535 0.26050.00838 0.3400.01373 0.4610.01788 0.5470.02368 0.6590.0341 0.8450.0449 1.0280.0620 1.3080.0760 1.538