EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH

Dr. Luis Miguel Galindo

“The gods love the obscure and hate the obvious”Brihadaranyaka UpanishadBrihadaranyaka Upanishad

“When I say a Word it is supposed to meanWhen I say a Word, it is supposed to mean exactly what I want it to mean, nothing more,

nothing less”nothing less

Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas

INTRODUCCIÓN:

“I have heard it said that too much academicresearch is focused on finding very preciseanswers to irrelevant questions”

Carol Alexander (2001)

Dr. Galindo

MODELOS GARCH

1 ARCH( )1. ARCH(ρ):

(1) 22110

2ttt e...e α++α+α=σ

10

110

00ttt

,,,e...e

≥αα⟩α

α++α+ασ

ρ

ρ−ρ−

K

( )20 tt

t ,NIe σ∼

Dr. Galindo

MODELOS APLICADOS:

2. GARCH(ρ,q):

(5) ∑ ∑ −− ++=q

itijtjt ew1 1

222ρ

ασβσ= =j i1 1

Dr. Galindo

MODELOS GENERALES:

El GARCH es estacionario:

∑ ∑ρ

= =

⟨α+β1 1

1i

q

jji

1 1i j

Dr. Galindo

MODELOS APLICADOS:

1. GARCH(1,1):

(4)(4)

La varianza condicional es función de:

21

21

2−− ++= ttt ew βσασ

• Constante• Noticias sobre la volatilidad del periodo previop p

• La varianza pronosticado del periodo anterior:2

1:ARCH −te

21:GARCH −tσ

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MODELOS APLICADOS:

3. GARCH-M:

(6.1) ( ) tttt exy ++= 2' log σχθ

4. Regresores en la ecuación de varianza:

(6.2) πασβσ

ρ'222titijt

q

jt zew +++= ∑∑ −−11 i

jj

j ∑∑==

Dr. Galindo

MODELOS GENERALES:

4. Integrated GARCH : IGARCH

CCon ∑ ∑ρ

= =

=β+α1 1

1i

q

jji

La varianza incondicional es infinita

Dr. Galindo

MODELOS GARCH:

IGARCH:

Con y suponiendo que :1=β+α χ=β

(7) ( )10

1 21

21

2

≤≤+−+= −−

χχσχσ ttt ew

Tipo de cambio: media y varianza no estacionariaC 0 ⇒ IGARCH i il EWMA

10 ≤≤ χ

Con w = 0 ⇒ IGARCH similar a EWMA

Dr. Galindo

EXTENCIONES DEL GARCH

La varianza condicional ( ) de et debe ser no negativa2tσ

Imponiendo restricciones en los coeficientes se obtieneque las variables y sean positivas2e 2σque las variables y sean positivas

Alternativas:

ite − tσ

• ABSGARCHEGARCH• EGARCH

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EXTENCIONES DEL GARCH

O ió E ti l GARCH l i l d ó+ −Opción: Estimar el GARCH normal incluyendo ó pero no ambos

+−1te −1te

Dr. Galindo

EXTENCIONES DEL GARCH: ABSGARCH

5. ABSGARCH

El modelo absoluto GARCH utiliza |et|

GARCH(ρ,q):

ρq(1) ∑∑

ρ

=−

=− σβ+α+α=σ

1j

2jtj

q

1iit10

2t |e|

Al remplazar |et-i| por entonces los errores muygrandes disminuyen su importancia

21te −

Dr. Galindo

EXTENCIONES DEL GARCH: TARCH

Glosten, Jagannathan y Runkle (1993) (GJR) desarrollan un modelo que permite asimetrías

6. Modelo GJR ó TARCH:

(1) 1t2

1t2

1t2

1t102t ee −−−− Γγ+βσ+α+α=σ

Donde: Гt-1 = 1 si et-1 < 0 = 0 en otro caso= 0 en otro caso

Dr. Galindo

EXTENCIONES DEL GARCH: TARCH

En el caso donde exista “leverage effect” (existe mas l tilid d íd d i ) 0volatilidad con caídas de precios) γ>0

Con γ distinto de 0 existe asimetría.

Condición de no negatividad:0,0,0 110 ≥γ+α≥β≥α≥α 110

Dr. Galindo

MODELOS GENERALES:

GJR GARCH (Gl t J th R kl 1993)GJR-GARCH: (Glosten, Jagannathan Runkle, 1993):

(1) ( )δ+α+β+=ρ

= =−−−−∑ ∑

1 1

21

2

i

q

jjtjttjtjitit eDehwh

⎩⎨⎧

≥⟨

=−

−− 00

01

1

11

t

tt esi

esiD

Dr. Galindo

MODELOS APLICADOS:

TARCHTARCH

(1) 2222 Ieewq

ktktkitijtjt +++= −−−−∑ ∑ ∑ρ γ

γασβσ

casootroen00si11 1 1

yeI tt

j i kktktkitijtjt

⟨=−

= = =∑ ∑ ∑

Con γ1>0 malas noticias incrementan la volatilidad(leverage effect)(leverage effect)

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TGARCH

EXTENCIONES DEL GARCH

TGARCH:

Threshold GARCH:

(1) ∑∑∑ρ

−−−

−++

+ σβ+α+α+α=σ1j

jtj

q

1iiti

q

1i1ti0t ee

1. para et-1 > 0o para et 1 > 0

11 −+− = tt ee

=== 1j1i1i

p t-1

2. para et-1 < 0≥0

11 −−− = tt ee

o para et-1 ≥0

Dr. Galindo

d l i l GA C ( GA C ) ( l

EXTENCIONES DEL GARCH: EGARCH

Modelo exponencial GARCH (EGARCH) (Nelson,1991)

Características:

1. Modela el . Ello asegura que sea)log( 2tσ 2

tσg qpositiva porque incluso con un número negativo en ellado derecho, el antilog lo hace positivo

)g( t t

2. Permite efectos asimétricos

3 Problema: es necesario asegurarse que todos los3. Problema: es necesario asegurarse que todos losvalores sean positivos

Dr. Galindo

MODELOS APLICADOS:

7 EGARCH:7. EGARCH:

(1) ( ) ( ) ∑∑ ∑ −−− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

γρ

σγ

σασβσ 22 )(loglog kt

k

qit

ijtjteeabsw

Leverage effect?:

= −= = −⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ σσ 11 1 k ktj i it

0⟨γg

El impacto es asimétrico si

0⟨iγ

0≠iγ iγ

Dr. Galindo

EXTENCIONES DEL GARCH: EGARCH

• EGARCH utiliza errores normalmente distribuidos(e ) y GED y logs que garantiza resultado positivo(et) y GED y logs que garantiza resultado positivo

• El dividir a los errores por et por la desviaciónestándar condicional (σt) se obtienen los shocksestándar condicional (σt) se obtienen los shocksestandarizados

• El otro término se obtiene de incluir el valor absolutode los shocks estandarizados

• Esta especificación permite que shocks positivos oti t f t dif i d Ef tnegativos tengan efectos diferenciados Efectos

asimétricos⇒

Dr. Galindo

MODELOS GENERALES:

8. FIGARCH

bi lGARCH con cambio estructural:

(1) 2 β+α+++ heDwDwh( )

9. Components GARCH : CGARCH:1111111 −−++ β+α+++= tt!RRt heDwDwh K

(1)

bi i l d i lttt umv +=

mt = cambios ocasionales de nivel

Dr. Galindo

MODELOS GENERALES:

(21.2) += − η1 tttt qmm

( )⎩⎨⎧

−=

ρρ

1adprobabilidcon1adprobabilidcon0

tq ( )⎩ ρp

Dr. Galindo

MODELOS GENERALES:

(27.3) ( ) ( ) ( )( )2

1112

1 −−−− −+−=− tttttt mhmemh βα

m = tendencia variable en el tiempo o el componente

( )12

11 −−− −++= tttt hePmwm φ

mt tendencia variable en el tiempo o el componente permanente en volatilidad

Dr. Galindo

MODELOS APLICADOS:

9. CGARCH

( ) ( )(9) ( ) ( )( ) ( )2

12

11

21

21

2

−−−

−−

−+−+=

−+−+=−

tttt

tttt

ewmwm

wwewm

σφρ

σβασ

Variables transitorias = Impacto en el C.P. en volatilidadVariables permanentes = Impacto en el nivel del L P de la

( ) ( )111 −−− tttt φρ

Variables permanentes = Impacto en el nivel del L.P. de lavolatilidad

Efecto asimétrico TARCHqt = es la volatilidad de L.P.

Dr. Galindo

MODELOS GENERALES:

10. Quadratic GARCH : QGARCHQ Q

(19)

( ) 12

1 −− β+γ−α+= ttt hewh

Dr. Galindo

MODELOS GENERALES:

10. Regime Switching GARCH : RS-GARCH

(23) 111

21111 ++= −−−−−−− tttttttt shseswssh βα

régimen=ts

Dr. Galindo

MODELOS GENERALES:

11. Asymmetric Dynamic covariance (Abc)y y ( )

(24.1)

( )1ttt mee −++= μγ

(24.2)

( )th0,N~te

iitiith θ=(24.3)

iitiit

ijtijjjtiitijtijt hhPh θφ+=

Dr. Galindo

MODELOS GENERALES:

(25)jttittijtiijtijt ghhgeeabHbw '

11''

11'

1'

−−−−− ++++= Kθ

1.VECH: P12= 0

2 BEKK2. BEKK

3. FARCH

10 1212 == φP

Dr. Galindo

PRUEBAS DE ASIMETRIA

2. Prueba del signo y el tamaño del sesgo (Engle y Ny,1993)

2.1. Prueba del sesgo del signo

1. Definir a como una dummy que toma el valord 1

−ts

de 1Si y 0 en otro caso

H φ 00ˆ 1 <−tu

H0: φ = 0

(26) ttt vse ++= −−110

2 φφ

Dr. Galindo

PRUEBAS DE ASIMETRIA

2.2. Prueba del sesgo del tamaño:

1. Definir una variable dummy dependiente

(27) ttt vse ++= −−110

2 φφ

Dr. Galindo

3 P b i l d l i l ñ d l

PRUEBAS DE ASIMETRIA

3. Prueba simultanea del signo y el tamaño del sesgo

Definiendo: −−

+− −= 11 1 tt ss

(28)11 tt

ttttttt vesesse ++++= −+−−

−−

−− 113112110

2 φφφφ

H0: φ1 = 0 “Sign bias” (importa el signo)H0: φ 2 = φ 3 = 0 “Size bias” (importa la magnitud)

⇒⇒

Prueba conjunta: TR2 de (21.3) con χ2(3):

H0: No existen efectos asimétricos

Dr. Galindo

GARCH MULTIVARIADOS

11. Objetivo: Cuantificar las relaciones entre lavolatilidad de varias variablesvolatilidad de varias variables

Modelo GARCH multivariado⇒ Modelo GARCH multivariado⇒

( )Ntttt yyyy ,...,, 21=

La varianza condicional: Ht tiene las varianzas en la

( )Ntttt yyyy , ,, 21

La varianza condicional: Ht tiene las varianzas en ladiagonal

Dr. Galindo

GARCH MULTIVARIADOS

Modelo VECH:

(29) ( ) ( )∑∑=

−−− ++=ρ

β1

10 )()(

iit

hi

q

itith

ih

th HveceevecAAvecHvec

Donde:

son los términos de error asociados alas medias condicionales de

( )ntttt eeee ,...,, 21=Nttt yyy ,...,, 21las medias condicionales de Nttt yyy , ,, 21

Dr. Galindo

ió i i l 2 (d i bl )

GARCH MULTIVARIADOS

Representación matricial: N = 2 (dos variables)

⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡ 20h(30)

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

+⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−

−

12*

11

211

232212

131211

012

011

12

11

tt

t

t

t

eee

aaaaaa

aa

hh

H = varianza condicional asociada con y

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ −

212333213

02222 tt eaaaah

H11t = varianza condicional asociada con y1t

H12t = covarianza condicional entre los errores

H22t = varianza condicional con y2t

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GARCH MULTIVARIADOS

Representación diagonal (reduce el número deparámetros):parámetros):

(31) ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

+⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

+⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

=⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ −− 11111

21111

0

01111

0000

0000 ttt

hh

bb

eee

aa

aa

hh

(31)⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

+⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

+⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

=⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −

−

−

−−

122

112

33

22

212

1211

33

22

022

12

22

12

0000

0000

t

t

t

tt

t

t

hh

bb

eee

aa

aa

hh

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ió ( i d fi id

GARCH MULTIVARIADOS

Representación BEKK: (asegura una matriz definidapositiva)

(32) ∑ ∑= =

−−− ++=q

i i

iiitiiititit HAeeAAH

1 1

**1*1*0

ρ

ββi i1 1

⎥⎤

⎢⎡⎥⎤

⎢⎡⎥⎤

⎢⎡

+⎥⎤

⎢⎡

=⎥⎤

⎢⎡ −−−

*12

*111211

211

*12

*11

012

0111211 aaeeeaaaahh ttttt

⎤⎡⎤⎡⎤⎡

⎥⎦

⎢⎣⎥⎦

⎢⎣⎥⎦

⎢⎣

+⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣ −−−

*12

*11112111

*12

*11

*22

*21

2121211

*22

*21

022

0212221

bbhhbb

aaeeeaaaahh

tt

ttttt

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−

−−

*22

*21

1211

122121

112111

*22

*21

1211

bbhhbb tt

tt

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CONSIDERACIONES GENERALES

1. Modelos ARCH suponen que los shocks positivos ynegativos tienen el mismo efecto por que dependennegativos tienen el mismo efecto por que dependendel cuadrado de los shocks pasados

2. El modelo ARCH es bastante restrictivo2. El modelo ARCH es bastante restrictivo3. El modelo ARCH no explica las fuentes de

variación4. EL modelo ARCH tiende a sobrepredecir la

volatilidad porque responde lentamente a shocksi l d f taislados fuertes

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EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH

Dr. Luis Miguel Galindo