Expresiones racionales

MATE 0008

Departamento de Matemáticas

UPRA

EXPRESIONES RACIONALES

En las matemáticas, la palabra “racional” se asocia a expresiones con forma de fracción; o sea que tienen un numerador y un denominador.

𝑎

𝑏

Expresiones en las cuales el numerador y el denominador son polinomios se conocen como las expresiones racionales.

425

13

Veamos algunos ejemplos.

22

35

yx

yx

52

9

x

x

xx 23

bca

cab

103

842

3

52

2

32 nn

425

13

Manejar expresiones racionales

• Al manejar expresiones racionales debemos

saber realizar las mismas operaciones que

hacemos con las fracciones:

• Simplificar

• Sumar

• Restar

• Multiplicar

• Dividir

425

13

Evaluar una expresión racional

• En una expresión racional podemos sustituir la(s)

variable(s) por cualquier valor excepto por aquellos

que producen 0 en el denominador.

• Ejemplo: Evaluar la expresión 4𝑥+3

𝑥−2 para x=3

• Ejemplo: Evaluar la expresión 3𝑥2−2

5−𝑥 para x=0

425

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Dominio de una Expresión

Racional • Al conjunto de valores numéricos que producen un

valor distinto de 0 en el denominador al sustituirse por la variable en una expresión racional , se le llama el dominio de la expresión.

• Ejemplo: Determinar el dominio de la expresión

2

43

x

xObservamos que

x + 2 = 0

si

x = -2.

Por lo tanto el dominio de esta expresión es el conjunto

de todos los números reales distintos de -2.

425

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Dominio de una Expresión Racional • Al conjunto de valores numéricos que producen un valor

distinto de 0 en el denominador al sustituirse por la variable en una expresión racional , se le llama el dominio de la expresión.

• Ejemplo: Determinar el dominio de la expresión

2

43

x

x

Solución: Observamos que x + 2 = 0 si x = -2.

Por lo tanto el dominio de esta expresión es el conjunto

de todos los números reales distintos de -2.

= {x R | x ≠ -2}.

2

43

x

xDom

En notación de conjunto, escribimos −∞, −2 ∪ −2, ∞ .

425

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Ejemplo: Determinar el dominio de n

n

25

82 2

Observamos que

5 – 2n = 0

si

-2n = -5.

𝑛 =−5

−2

𝑛 =5

2

Dominio de una Expresión

Racional

= {n R | n ≠ 𝟓

𝟐}.

n

n

25

82 2

Dom

En notación de conjunto,

escribimos

−∞,5

2∪

5

2, ∞

425

13

Ejemplos: Determinar el dominio de

n

na

5

82)

2

Dominio de una Expresión

Racional

1545

8)

p

pb

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II. Simplificar Expresiones

Racionales

• Existe una propiedad de la aritmética, que establece

que:

0 c,b

a

bc

ac

Esta es la propiedad que utilizamos para simplificar

fracciones y obtener fracciones equivalentes entre si.

.

425

13

Simplificar expresiones racionales

• Por ejemplo:

27

21

A este proceso de eliminar factores repetidos en

un numerador y un denominador se conoce como

simplificación, reducción o minimalización de

expresiones racionales.

))((

))((

39

37

9

7

425

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• Con las expresiones racionales hacemos algo similar

cuando factorizamos los polinomios en el numerador

y en el denominador, para luego eliminar los factores

en común:

3

2

3

126

a

aa

1. Factorizar el numerador y el denominador

2. Realizar la simplificación

3

2

3

126

a

aa33

26

a

)a(a

2

22

a

)a(

Esta simplicificación es posible porque asumimos

que la variable a nunca es cero.

425

13

Simplificar cada expresión

9

124)

2

x

xa

23

22)

2

3

xx

xxb

30

25)

2

2

yy

yc

425

13

Práctica I.

• Determine el dominio de cada expresión racional.

1)

2)

3)

4)

1

13

a

a

11

25

n

n

y7

3

8

34 x

425

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Práctica I - Soluciones

• Determine el dominio de cada expresión racional.

1)

2)

3)

4)

1a

1a3

11

25

n

n

y37

3

8

34 x

Dom𝟑𝒂+𝟏

𝒂−𝟏 {a R | a ≠ 𝟏}, −∞, 𝟏 ∪ 𝟏, ∞

Dom𝟓+𝟐𝒏

𝒏+𝟏𝟏 {a R | n ≠ -𝟏𝟏} , −∞, −𝟏𝟏 ∪ −𝟏𝟏, ∞ .

Dom𝟑

𝟕−𝟑𝒚 {y R | y ≠

𝟕

𝟑} , −∞,

𝟕

𝟑∪

𝟕

𝟑, ∞ .

Dom𝟒𝒙+𝟑

𝟖 {x R}, −∞, ∞ .

425

13

Práctica II.

9

32

2

x

axax

24

3253

20

1510

yx

yxyx

189

147

x

x

• Simplifique completamente las expresiones racionales.

1) 2) 3)

4) 5) 6) 5

23 6

n

nn

4113

1272

2

rr

rr23

35

xx

xx

425

13

Práctica II - Soluciones

1) o

2) 7

9

3)

4)

5)

6) o

3

x

ax

2

2

4

)32(

x

xyy

3n

6n

1r3

3r

1x

)1x(x 2

2

3

4

32

x

yxy

1x

xx3

Práctica II