Temas * Ecuaciones trigonométricas

* Ecuaciones exponenciales

Ecuación trigonométrica

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo

En el post de hoy vamos a aprender a resolver ecuaciones trigonométricas, que como su nombre indica son ecuaciones que tienen en su expresión contienen razones trigonométricas.Para la resolución de todas las ecuaciones trigonométricas tendremos en cuenta la circunferencia goniométrica, por tanto, para cada razón trigonométrica habrá dos soluciones entre 0° y 360°. Ademas todas las soluciones se repiten en cada vuelta. Por tanto a la solución particular que busquemos, podemos añadir también la suma o resta de 360°.

CASO 1:En primer lugar, comenzaremos por los casos más simples, es decir, ecuaciones de primer grado y donde solo intervenga una razón trigonométrica.Ejemplo 1. Pasos para resolver la ecuación cos x= 1.1º. En primer lugar, siempre tenemos que despejar la razón trigonométrica. Como en este caso ya esta despejada, vamos al siguiente paso.2º. Una vez que ya tenemos nuestra razón trigonométrica, aplicaremos la función inversa. Como en este caso se trata del coseno, tendremos que hacer el arcocoseno de 1:cos x = 1~ x =arccos(1)~ x = 0±3

Ejemplo 2: Resuelva la ecuación 2senx-2=-1.1º. Comenzamos despejando nuestra incógnita como si se tratara de una ecuación normal; en este caso la incógnita es senx: senx=1/2.2º. Realizamos la función inversa, el arcoseno de 1/2, y recordamos que según la ecuación goniométrica habrá dos ángulos donde el sen valga 1/2, uno en el primer cuadrante y otro en el segundo, luego obtendremos dos soluciones:x1=30°±360° y x2=150°±360°.

CASO 2:Vamos a continuar por las ecuaciones de segundo grado en las que también hay únicamente una razón trigonométrica. Este tipo de ecuaciones las resolveremos mediante un cambio de variable, donde a la razón trigonométrica con la que estemos trabajando la llamaremos t.Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 1º. En primer lugar realizamos el cambio cos x = t, y resolvemos la ecuación de segundo grado obtenida:

2º. Una vez que tenemos los valores de t, tenemos que deshacer el cambio, y obtenemos una ecuación del primer tipo, por tanto puede llegar a haber hasta cuatro soluciones :– Si t=senx=3, no hay solución, ya que tanto el seno como el coseno son funciones cuyo recorrido va entre -1 y 1.– Si t= senx=1/2, x1=30°±360° y x2=150°±360°

Por último vamos a estudiar las ecuaciones donde intervengan más de una razón trigonométrica. Para poder resolverlas, las tendremos que convertir en una de los casos anteriores y para ello tendremos que aplicar las identidades trigonométricas conocidas que nos relacionan el seno con el coseno, coseno con tangente, seno con tangente… Recuerda que la cosecante es la inversa del seno y la secante la del coseno. 

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Ecuaciones exponenciales

Se denomina ecuación exponencial aquella en la cual la incógnita aparece únicamente en los exponentes de potencias para ciertas bases constantes.1 La incógnita se halla en un exponente de un o unos de los términos. Es decir, un número (u otra variable) está elevada a la incógnita a despejar, normalmente representada por x. Para resolver dichas ecuaciones se recurren a las propiedades de la potenciación, radicación, de logaritmos y cambio de la incógnita por otra.

ejemplo 2 \cdot 7^{x + 2} + 7^x = 33957\,

Vamos a escribirla así:

2 \cdot (7^x) \cdot 7^2 + (7^x) = 33957

Aplicamos el cambio de variable, y escribimos:

7^x = a\,

Ahora, al reemplazar, se tiene:

2a \cdot 49 + a = 33957\,

Despejamos a\,:

99a = 33957\,

a = \frac{33957}{99}\,

a = 343\,

Ahora, recordemos que a = 7^x\,, luego:

343 = 7^x\,

7^3 = 7^x\,

3 = x\,

ejemplo ecuaciones exponenciales SOLUCIÓN

Tenemos en cuenta que

Podemos reescribir la ecuación como

Por tanto,

Ecuación exponencial Se denomina ecuación

exponencial aquella en la cual la incógnita aparece únicamente en los exponentes de potencias para ciertas bases constantes.1La incógnita se halla en un exponente de un o unos de los términos. Es decir, un número (u otra variable) está elevada a la incógnita a despejar, normalmente representada por x. Para resolver dichas ecuaciones se recurren a las propiedades de la potenciación, radicación, de logaritmos y cambio de la incógnita por otra.

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