expo1-consideraciones estadisticas
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Consideraciones EstadsticasDepartamento de Ingeniera Mecnica
Diseo de Elementos de Mquinas II
Profesor: Jos Bienvenido Pimentel
Omar Nova Peralta 11-0497 ID: 1045284
Fernando Adan Gonzlez Pea 11-0364 ID: 1045151
Argenis Joaqun Suriel Hernndez 10-1088 ID: 1044248
Jacobo Jos Len Pea 11-0407 ID: 1045194
Mircoles 21 de Mayo del 2014
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La estadstica es una ciencia formal y
una herramienta que estudia el uso y
los anlisis provenientes de una
muestra representativa de datos,
busca explicar las correlaciones y
dependencias de un fenmeno fsico o
natural, de ocurrencia en
forma aleatoria o condicional.
Estadstica
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Conceptos Variable aleatoria: Es una variable estadstica cuyos
valores se obtienen de mediciones en algn tipo de experimento aleatorio.
Espacio muestral: consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.
Muestra: una muestra es un subconjunto de casos o individuos de una poblacin estadstica.
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Tablas
Espacio muestral
de un lanzamiento
de dados.
Distribucin de
probabilidad.
Distribucin de
probabilidad
acumulada.
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Grficas
Distribucin de
frecuenciasDistribucin de
frecuencias acumulada.
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Media aritmtica
la media aritmtica es el valor
caracterstico de una serie de datos
cuantitativos objeto de estudio que
parte del principio de la esperanza
matemtica o valor esperado, se
obtiene a partir de la suma de todos
sus valores dividida entre el nmero
de sumandos.
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Varianza
Es la medida de las diferencias con la
media elevadas al cuadrado.
Por qu al cuadrado?
Elevar cada diferencia al cuadrado
hace que todos los nmeros sean
positivos (para evitar que los nmeros
negativos reduzcan la varianza)
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Desviacin estndar
Es la raz cuadrada de la varianza.
Por qu la raz cuadrada?
Porque la varianza hace que las
diferencias grandes se destaquen
mucho, adems de que el resultado
final queda en las unidades de
medidas deseadas (las de la media).
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Coeficiente de variacin
El coeficiente de variacin esla relacin entre la desviacintpica de una muestra ysu media.
Se utiliza cuando se desea hacerreferencia a la relacin entre eltamao de la media y lavariabilidad de la variable.
Su frmula expresa la desviacinestndar como porcentaje de lamedia aritmtica, mostrando unamejor interpretacin porcentualdel grado de variabilidad que ladesviacin tpica o estndar
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EjemploEjemplo 20-1. Cinco toneladas de varilla de 2
pulgadas de acero 1030 rolado en caliente se
deben almacenar
en un lugar de trabajo. Nueve piezas de prueba
tensil de geometra estndar se han maquinado
desde ubicaciones aleatorias en diversas varillas.
En el informe de pruebas, las resistencias
tensiles finales estn dadas en kpsi. En orden
ascendente (no necesariamente), se muestran en
la tabla 20-3. Encuentre la media x, la
desviacin estndar sx, y el coeficiente de
variacin Cx
a partir de la muestra, de tal manera que sean
stos las mejores estimaciones de la poblacin
madre (el almacenamiento que la planta
convertir en productos).
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Distribuciones de Probabilidad
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Distribucin uniforme
FDP FDA
Media y Desviacin
estndar
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Distribucin Normal
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Distribucin Normal La integral de la transformada se tabula en la tabla A-10. La variante de
transformacin z se encuentra normalmente distribuida, con una media de cero y una desviacin estndar y variancia iguales a la unidad. Esto es, z = N(0, 1). La probabilidad de una observacin menor que z es () en el caso de valores negativos de z, y 1 () cuando se trata de valores positivos de z en la tabla A-10.
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Distribucin Lognormal En ocasiones, las variables aleatorias tienen las siguientes dos
caractersticas:
La distribucin es asimtrica alrededor de la media.
Las variables slo tienen valores positivos.
Tales caractersticas descartan el uso de la distribucin normal. Existen otras distribuciones que son potencialmente tiles en tales situaciones, una de las cuales es la distribucin lognormal.
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Distribucin Lognormal
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Distribucin WeilbullLa expresin de la confiabilidad es el valor de la funcin de densidad acumulativa
complementaria
de la unidad. Para Weibull este valor es tanto explicito como simple. La confiabilidad
dada por la distribucin Weibull de tres parmetros es
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Distribucin Weilbull
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Distribucin Weilbull
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Ejemplo
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Solucin Para x = :
Utilizando la tabla A-34 se buscan los valores de la funcin Gamma
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Solucin = 1 ()
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Solucin Para y = :
Utilizando la tabla A-34 se buscan los valores de la funcin Gamma
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Solucin = 1 ()
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Ejemplo
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Solucin
Se calcula la media y la desviacin estndar
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Solucin Se obtienen luego la media y desviacin estndar secundarias
Luego se define la FDP lognormal
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Solucin Para calcular la vida en la que el 10% de los cojinetes fallarn bajo carga
estable se transforma a la variable z:
=ln
ln = + = 15.292 + 0.496
A partir de la tabla A-10 se busca el valor de z para el cual 10% de los cojinetes fallan.
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Solucin
Se busca el valor de z para el cual el debe ser 0.1. Por lo tanto el valor de z es negativo y es igual
al valor de Z para el cual el valor
de es 0.1. Interpolando de la tabla se obtiene que z = -1.282.
Por lo tanto:
ln = 15.292 + 0.496 1.282 = 14.66 = 2.33 106
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Propagacin del Error.
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En el diseo de mecnico los mtodos para controlar lacalidad se encuentran profundamente arraigados en eluso de la estadstica y los diseadores ingenierilesnecesitan un conocimiento estadstico para cumplir conlos estndares de control de calidad. Por ejemplo, en laecuacin del esfuerzo axial,
=
Podemos observar que tanto la fuerza F como el rea Ason variables aleatorias. Cuando se resuelve laecuacin, se dice que los errores inherentes en F y A sepropagan a la variante del esfuerzo .
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Esto se puede escribir como
z = x + y
La media seria dada como:
z = x + y
La desviacin estndar sigue el teorema de Pitgoras.De esta manera, la desviacin estndar tanto de lasuma como de la resta de variables independientes es:
z = (x2 + y
2)1/2
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ProblemaResuelto.
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Regresin lineal
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Regresin lineal
El mtodo habitual y el que se empleara para nuestros fines de diseoconsidera una lnea recta la mejor si minimiza los cuadrados de lasdesviaciones de los puntos de datos con respecto a la lnea.
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Regresin lineal
Considerando un conjunto N de puntos de datos (xi, yi). En general, la lneade mejor ajuste no intersecara un punto de datos. En consecuencia se puedeescribir:
donde = yi y es la deviation entre el punto dado y la lnea.
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Regresin lineal
La suma de los cuadrados de las desviaciones esta dada por:
Minimizando a , se igualan a cero los resultados de derivar parcialmente conrespecto a m y a b.
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Regresin lineal
Esto produce dos ecuaciones simultaneas de la pendiente y la intercepcinen y denotadas como respectivamente. Resolviendo estasecuaciones:
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Regresin lineal
Un coeficiente de correlacin con el intervalo -1 < r < 1 se ha concebidopara mostrar que tan bien se correlacionan x y y entre si. La formula es:
donde son las desviaciones estndar de las coordenadas x y yde los datos.
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Regresin lineal
Las desviaciones estndar de son:
donde
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Ejemplo de regresin lineal
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Solucin del Ejemplo
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Solucin del Ejemplo
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Solucin del Ejemplo
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Solucin del Ejemplo