Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas

Examen Final (Punto 4)

Estadstica

Profesor. Luis Alejandro Msmela Caita

Nombre. David Leonardo Garzn Vanegas

Punto 4

Considere

S 2 =1

n

ni=1

(Xi X

)2Obtenga

EMC (S2)

EMS (S 2)

Solucin.

Para dar solucin al ejercicio propuesto, antes debemos determinar algunos aspectos de S2 y S 2

como: el valor esperado, la varianza y el sesgo, respectivamente.

En efecto, para S2obtenemos:

El valor esperado

E(S2)=

(n 1)2(n 1)2

=2

(n 1)E[(n 1)S2

]=

2

(n 1)(n 1)

= 2

1

La varianza est dada por

V(S2)=

(n 1)2(n 1)2

=

[2

(n 1)]2V

[(n 1)S2

]=

(4

(n 1)2

)[2

(n 1)]

=24

(n 1)

El sesgo est dado por

E(S2) 2 = 2 2 = 0Para S 2, determinamos:

Sabemos que E (S2) = 2, entonces el valor esperado est dado por

E(S 2)= E

[(n 1)n

S2]

=

[(n 1)n

]E(S2)

=(n 1)n

2

Sabemos queX2 = (n1)S2

2tiene una distribucin chi-cuadrado con (n 1) grados de libertad,cuya varianza es 2 (n 1). Por lo tanto la varianza es

V(S 2)= V

[(n 1)n

S2]

=

[(n 1)n

]2V(S2)

=

[(n 1)2n2

] [24

(n 1)]

=24 (n 1)

n2

El sesgo es

E(S 2) 2 = (n 1)2

n 2 =

n2 2 n2n

= 2

n

Finalmente, empleando el resultado

EMC()= V ar

()+[sesgo

()]22

obtenemos que

EMC (S2)

EMS (S 2)=

V ar (S2) + [sesgo (S2)]2

V ar (S 2) + [sesgo (S 2)]2

=

24

(n1)24(n1)

n2+

4

n2

=

24(n1)

4[2(n1)+1]n2

=2n2

(n 1) (2n 1)=

2n2

2n2 3n+ 1Por tanto,

EMC(S2)EMS(S2) =

2n2

2n23n+1 , que es siempre mayor que 1 cuando n es mayor que 1.

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