“Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria”

“UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA”

“FACULTAD DE INGENIERIA”

“Escuela profesional de Ingeniería Civil”

TEMA: Examen de Unidad

ASIGNATURA: Matemática I

ALUMNO: Gustavo Polo Luque

DOCENTE: Ing. Roberto Montesinos Moreno

AULA: A-101

CICLO: I

FECHA: 26 de Mayo

Tacna – Perú

2013

Solucionario Examen de Unidad

Matemática I – Unidad III – 2013-I

Práctica No. 02 – Matemática Básica – Unidad III Página 1

1.- Hallar derivada de la función implícita tg (x2+ y2 )+ex

2

+ey2

=0

tg (x2+ y2 )+ex2

+ey2

=0

(tg (x2+ y2 )+ex2

+e y2)'=(0)'

(tg (x2+ y2 ))'+(e x2 )'+(ey

2 )'=0

(tg (x2+ y2 ))'+(e x2 )'+(ey

2 )'=0

sec2 (x2+ y2 ) . (x2+ y2 )'+ex2

. (x2 )'+e y2

. ( y2 )'=0

sec2 (x2+ y2 ) [ (x2 )'+ ( y2 )' ]+ex2.2 x ( x )'+e y2

.2 y ( y )'=0

sec2 (x2+ y2 ) [2x+2 y ( y )' ]+ex2 .2 x+ey2 .2 y ( y )'=0

(2 x ) (sec2 (x2+ y2 ))+(2 y y ' ) (sec2 (x2+ y2 ))+ex2

.2 x+e y2

.2 yy '=0

2 y y' [(sec2 (x2+ y2 ))+e y2 ]=−(2 x ) (sec 2 (x2+ y2 ))−ex

2

.2 x

2 y y' [(sec2 (x2+ y2 ))+e y2 ]=−2 x [ (sec2 (x2+ y2 ))+ex

2 ]

y '=−2x [(sec2 (x2+ y2) )+ex

2 ]2 y [(sec 2 (x2+ y2 ))+e y

2 ]

y '=−x [ (sec2 (x2+ y2 ))+ex

2 ]y [ (sec2 (x2+ y2 ))+e y

2 ]

2.- Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento; así como los máximos y mínimos de

y=3 x4−10 x3−12x2+10 x+9

i. Se deriva la función y=f (x )

y '=(3 x4−10x3−12x2+10x+9 )'

y '=(3 x4 ) '− (10x3 )'−(12x2 )'+ (10x )'+(9 )'

Práctica No. 02 – Matemática Básica – Unidad III Página 2

y '=3 (x4 ) '−10 (x3 )'−12 (x2 )'+10 (x )'

y '=3(4 x3)−10(3 x2)−12(2x )+10

y '=12 x3−30 x2−24 x+10

ii. Se iguala la derivada a 0. y '=0

(½) 12 x3−30x2−24 x+10=0

6 x3−15 x2−12x+5=0

NO SE PUEDE EFECTUAR

3.- Derivar y= (1+ ln(senx ))4

y= (1+ ln(senx))4

y '=[ (1+ ln (senx ) )4 ]'

y '=4 (1+ln ( senx ) )3 . (1+ ln (senx ) )'

y '=4 (1+ln ( senx ) )3 . [ (1 )'+( ln (senx ) )' ]

y '=4 (1+ln ( senx ) )3 .[ ( senx )'

sen x ]y '=4 (1+ln ( senx ) )3 .[ cos xsen x ]y '=4 (1+ln ( senx ) )3 .cot x

y '=4cot x (1+ ln (senx ) )3

Práctica No. 02 – Matemática Básica – Unidad III Página 3

4.- Derivar y=senx−cosxsenx+cosx

y= senx−cosxsenx+cosx

ln y=ln senx−cosxsenx+cosx

ln y=ln (senx−cosx )−ln(senx+cosx)

( ln y )'=( ln (senx−cosx ) )'−( ln (senx+cosx ) )'

y '

y=

(senx−cosx )'

sen x−cosx−

(senx+cosx )'

senx+cosx

y '

y=

(senx )'−(cos x )'

senx−cosx−

( senx )'+ (cos x )'

senx+cosx

y '

y= cos x+sen xsenx−cosx

− cos x−sen xsenx+cosx

y '

y= cos x+sen xsenx−cosx

+ sen x−cos xsenx+cosx

y '

y=

(cos x+sen x ) ( senx+cosx )+( senx−cosx ) (senx−cosx )( senx−cosx ) (senx+cosx )

y '

y=2 (cos x ) ( sen x )+cos2 x+sen2 x−2 (cos x ) (sen x )+cos2 x+sen2 x

(senx−cosx ) (senx+cosx )

y '

y= 2

(senx−cosx ) ( senx+cosx )

y '= 2

2 (cos x ) ( sen x )+cos2 x+se n2 x

y '= 22 sen x cos x+1

y '= 2sen2 x+1

Práctica No. 02 – Matemática Básica – Unidad III Página 4

5.- Hallar puntos máximos y/o mínimos si los hay de la

función y=(x2−5 )3

125

i. Se deriva la función y=f (x )

y=(x2−5 )3

53

y=( x2−55 )3

y '=3( x2−55 )2

.( x2−55 )'

y '=3( x2−55 )2

.[ 5 ( x2−5 )'−(x2−5 ) (5 )'

52 ]y '=3( x2−55 )

2

.[ 5 ( x2 )'− (5 )'

25 ]y '=3( x2−55 )

2

.[ 5(2 x)25 ]y '=3( x2−55 )

2

.[ 2x5 ]ii. Se iguala la derivada a 0. y '=0

0=3( x2−55 )2

.[ 2 x5 ](x2−5 )2

25=0

(x2−5 )2=0

x2=5

x=√5∧ x=−√5∧ x=0

Práctica No. 02 – Matemática Básica – Unidad III Página 5

iii. Se analiza cada punto crítico: x=−√5

−2←√5→−3

f '(−2)=3(−22−55 )2

.[ 2(−2)5 ]f '(2)=3(−15 )

2

. [−45 ]f '(2)=3( 125 ) .[−45 ]f ' (2 )=−12

125=−0.096

f '(−3)=3(−32−55 )2

. [ 2(−3)5 ]f '(2)=3( 45 )

2

. [−65 ]f '(2)=3( 1625 ) .[−45 ]f ' (2 )=−192

125=−1.536

x=0

−1←0→1

f '(1)=3 (12−55 )2

.[ 2(1)5 ]f '(1)=3 (−45 )

2

. [ 25 ]Práctica No. 02 – Matemática Básica – Unidad III Página 6

f '(1)=3 (1625 ) .[ 25 ]f ' (1 )= 96

125=0.768

f ' (−1 )=−0.768

x=√5

2←√5→3

f '(2)=3( 22−55 )2

.[ 2(2)5 ]f '(2)=3(−15 )

2

. [ 45 ]f '(2)=3( 125 ) .[ 45 ]f ' (2 )= 12

125=0.096

f '(3)=3( 32−55 )2

.[ 2(3)5 ]f '(2)=3( 45 )

2

. [ 65 ]f '(2)=3( 1625 ) .[ 45 ]f ' (2 )=192

125=1.536

Práctica No. 02 – Matemática Básica – Unidad III Página 7

∴ x=0 será únicamenteun puntomínimo

6.- Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva

x= 3 tt2+1

; y= 3 t 2

t 3+1; parat=2

Hallando x1

x= 3 t

t2+1

x=3(2)22+1

x=65

Hallando y1

y= 3 t2

t 3+1

Práctica No. 02 – Matemática Básica – Unidad III Página 8

y=3(2)2

23+1

y= 43

Hallando la derivada y ’=m

y ’=y ’ ( t )x ’ ( t )

y ' (t )

y= 3 t2

t 3+1

y ' (t )=( 3 t 2t3+1 )'

y ' (t )=(t 3+1 ) (3 t2 )'−(3 t 2 ) ( t3+1 )'

(t 3+1 )2

y ' (t )=(t 3+1 ) (6 t )−(3 t2 )(3 t 2)

(t 3+1 )2

y ' (t )=6 t4+6 t−6 t 4

(t 3+1 )2

y ' (t )= 6 t

(t 3+1 )2= 427

x ' (t )

x ' (t )=( 3 tt 2+1 )'

x ' (t )=(t 2+1 ) (3 t )'−(3 t ) (t 2+1 ) '

(t 2+1 )2

x ' ( t )=(t 2+1 ) (3)−(3 t )(2t)

(t 2+1 )2

Práctica No. 02 – Matemática Básica – Unidad III Página 9

x ' ( t )=3 t2+3−6 t2

(t 2+1 )2

x ' (t )=3−3 t2

(t 2+1 )2=−925

∴ y ’=y ’ (t )x ’ (t )

=

427−925

y ’=−100243

Recta tangente:

y− y1=m (x−x1 )

y−(5−√2)=−23 (x−(−3√2−82 ))

3 y−3 (5−√2)=−2(x−(−3√2−82 ))3 y−15+3 √2=−2x−3√2−8

2 x+3 y+6 √2−7=0

Recta normal:

y− y1=−1m

(x−x1 )

y−(5−√2)=32 (x−(−3√2−82 ))

2 y−2(5−√2)=3(x−(−3√2−82 ))2 y−10+2√2=3 x+ 9√2+24

2

2 y−10+2√2=6 x+9√2+242

Práctica No. 02 – Matemática Básica – Unidad III Página 10

4 y−20+4√2=6 x+9√2+24

0=6 x−4 y+5√2+44

Práctica No. 02 – Matemática Básica – Unidad III Página 11