Examen: Laboratorio de Física I(Segunda ley de Newton)

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1 Montaje experimental

En el laboratorio se utiliza el montaje mostrado en la Figura (1). Este consta de un riel de aire (elcual permite eliminar fuerzas de fricción) nivelado de manera horizontal, sobre el cual se mueveun deslizador de masa m y longitud L. Atado al deslizador (a través de un hilo/cordón y unapolea sin fricción) se encuentra un portapesas de masa ma que cuelga verticalmente. El sistemacuenta también con dos fotoceldas separadas una distancia D.

Figure 1: Montaje experimental.

Usando el portapesas con una masa fija, sea ma, y soltando el deslizador desde una posición x0 semide el tiempo que tarda el deslizador en cruzar la fotocelda principal (t1), el tiempo que tardael deslizador en cruzar la fotocelda auxiliar (t2) y el tiempo que tarda en recorrer la distancia quesepara las dos fotoceldas (t3). Cada uno de estos tiempos es tomado cuatro veces, y se repite lamedición para diferentes valores de la masa m del deslizador (es decir, se añaden masas a cadalado del deslizador para aumentar la masa total). Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Masa del portapesas, ma = 8g. Longitud del deslizador, L = 13cm.m[g] Tiempo t1[s] Tiempo t2[s] Tiempo t3[s]197 0,352 0,351 0,352 0,352 0,186 0,189 0,188 0,187 0,845 0,848 0,847 0,845247 0,389 0,387 0,390 0,389 0,207 0,209 0,208 0,207 0,943 0,942 0,943 0,941297 0,425 0,427 0,426 0,427 0,228 0,227 0,226 0,227 1,020 1,021 1,019 1,018347 0,465 0,467 0,465 0,458 0,251 0,250 0,253 0,252 1,096 1,093 1,094 1,095397 0,534 0,533 0,532 0,535 0,279 0,280 0,281 0,278 1,172 1,171 1,173 1,170

Tabla 1: Valores experimentales encontrados haciendo uso del esquema mostrado en la Fig. (1)para un valor fijo de ma y diferentes valores de la masa del deslizador. Aquí t1: tiempo quetarda el deslizador en cruzar la fotocelda principal, t2: tiempo que tarda el deslizador en cruzarla fotocelda auxiliar y t3: tiempo que tarda en recorrer la distancia que separa las dos fotoceldas.

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2 Datos y cálculos

1. Usar longitud del deslizador L y los tiempos promedios (t̄1, t̄2) para determinar v1 y v2, lasvelocidades promedio del deslizador al pasar por cada una de las fotoceldas.

2. Usar la ecuación a = (v2 − v1)/t̄3 para determinar la aceleración promedio del deslizador alrecorrer la distancia entre las dos fotoceldas.

3. Completar la siguiente tabla y hacer la debida descripción(No es necesario calcular las incertidumbres, sólo debe indicarse cómo se encontraría cada una).

m[g] t̄1 ± δt̄1[s] t̄2 ± δt̄2[s] t̄3 ± δt̄2[s] v1 ± δv1[cm/s] v2 ± δv2[cm/s] a± δa[cm/s2] 1/a[s2/cm]

Tabla 2:

3 Análisis de datos

1. Usando el esquema de la Figura (1), demostrar que la aceleración del sistema en términosde las masas m,ma y la gravedad g es

a =mag

m+ma. (1)

2. Con los datos de la Tabla (2) hacer una gráfica mostrando 1/a como función de la masa m.

3. ¿Es la gráfica anterior una línea recta? Analizar el comportamiento de 1/a respecto a m.

4. Hacer regresión lineal con los datos de la tabla (2) y encontrar la relación experimental entre1/a y m. Igualmente, encontrar la relación teórica entre 1/a y m.

5. A partir de la regresión lineal anterior determinar el valor experimental de la masa delportapesas ma. Encontrar el error porcentual de dicha predicción y nombrar sus posiblescausas.

6. En el análisis se usa el concepto de velocidad promedio. ¿Qué pasaría con los resultadossi se pudiera determinar la velocidad en todo momento? ¿Los errores aumentarían odisminuirían?

4 Conclusiones y discusión

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Desarrollo

Datos y cálculos

Para completar la tabla (2) con los valores de tiempo promedio y su debida incertidumbre demedición se utiliza la siguiente ecuación:

t̄ =N∑i=1

tiN, (2)

δt =

√√√√ N∑i=1

(ti − t̄)2N − 1

(3)

en donde ti es el valor de tiempo i-ésimo y N es el número de datos tomados. La velocidad en cadafotocelda será igual a la velocidad promedio del deslizador en los intervalos de tiempo medidospor las fotoceldas. Entonces, se calcula como

v =L

t̄, (4)

y su incertidumbre es

δv =1

t̄δL+

L

t̄2δt, (5)

en donde L es la longitud del deslizador, t̄ es el tiempo promedio en alguna de las fotoceltas, δt esla incertidumbre asociada al tiempo y δL es la incertidumbre asociada a L (que en este caso seráδL = 0, 05cm). Por último, para encontrar el valor de la velocidad promedio entre las fotoceldasse usa la ecuación

a =v2 − v1t̄3

, (6)

y para su incertidumbre se usa

δa =δv2 − δv1

t̄3+v2 − v1(t̄3)2

δt3. (7)

en donde v1 es la velocidad promedio en la fotocelda principal, v2 es la velocidad promedio en lafotocelda auxiliar y t̄3 es el tiempo promedio que tarda el deslizador en recorrer las dos fotoceldas.Así, se completa la tabla (2):

m[g] t̄1[s] t̄2[s] t̄3[s] v1[cm/s] v2[cm/s] a[cm/s2] 1/a[s2/cm]

197 0,352 0,187 0,846 39,932 69,519 34,973 0,029247 0,389 0,208 0,942 33,419 62,500 30,871 0,032297 0,426 0,227 1,019 30,516 57,269 26,254 0,038347 0,463 0,251 1,094 28,078 51,793 21,677 0,046397 0,533 0,280 1,171 24,390 46,428 18,820 0,053

Tabla 2: Valores promedios para los tiempos t1, t2 y t3. Adicionalmente, se muestran los resultadospara las velocidades promedio en cada posición de los sensores y la aceleración promedio deldeslizador entre las dos fotoceldas.

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Análisis de datos

1. Encontrar el valor de la aceleración del sistema mostrado en la figura (1) en términos de lamasa del deslizador m, la masa del portapesas ma y la gravedad g.

Debido a que el deslizador se mueve en dirección horizontal, sólo nos interesa la sumatoriade fuerzas en X. Es claro, que la única fuerza que actúa sobre la masa m es la tensiónejercida por la cuerda, por lo tanto

T = ma, (8)

en donde m es la masa del deslizador y a su aceleración. Ahora, sobre el portapesas sóloactúan fuerzas verticales: la tensión de la cuerda y el peso del mismo. Por lo tanto,

T −Wa = maa, (9)

en dondema es la masa del portapesas y a su aceleración. Así, igualando T de las ecuaciones(8) y (9) se obtiene fácilmente que

a =mag

m+ma. (10)

2. Con lo datos de la tabla (2) referentes a las cantidadesm y 1/a es posible obtener una gráfica(Fig. (2)) que muestra la aceleración del sistema como función de la masa del deslizador.

m[g] 1/a[s2/cm]

197 0,029247 0,032297 0,038347 0,046397 0,053

Tabla 3: Datos extraídos de la tabla (2) referentes a la masa del deslizador m y los valorescalculados de 1/a.

3. A partir de la gráfica se pueden inferir varias cosas: primero, la distribución de puntospresenta un comportamiento lineal. Segundo, de acuerdo a la linealidad comentada, setiene que un aumento en la masa del deslizador implica una disminución en la aceleracióndel mismo, i.e., 1/a ∝ m. Por lo tanto, se encuentra de manera experimental una relaciónentre 1/a y m que es coherente con lo enunciado en la segunda ley de Newton, i.e., laaceleración de un cuerpo bajo una fuerza F es inversamente proporcional a su inercia.

4. Efectuando una regresión lineal a los datos de la tabla (3), se obtiene la ecuaciónexperimental que relaciona a 1/a y m:

1

a= (1, 24× 10−4)m+ (2, 772× 10−3), (11)

en donde 1, 24 × 10−4 representa la pendiente de la recta de la Fig. (2) y 2, 772 × 10−3

representa el punto de corte con el eje 1/a de la misma figura.

4

Figure 2: Gráfica que muestra la relación entre 1/a y m; los puntos negros representan los datosexperimentales de la tabla (3) y la línea roja es la gráfica que representa la regresión lineal hechacon los datos experimentales. Se aprecia una relación de tipo lineal creciente que implica lasiguiente proporcionalidad: 1/a ∝ m.

Por otra parte, de la ecuación (10) se tiene que

a =mag

m+ma. (12)

Inviertiendo las fracciones se obtiene

1

a=m+ma

mag, (13)

lo cual nos conduce a la ecuación teórica que relaciona a 1/a y m

1

a=

1

magm+

1

g. (14)

5. A partir de la ecuación (14), se encuentra que la pendiente de la recta (11) es

1, 24× 10−4 =1

mag, (15)

de donde se puede encontrar el valor “experimental” dema. Haciendo un despeje se encuentra(con una cifra decimal) ma = 8, 2g con error porcentual de 2, 5%. Dicho error es bastantepequeño y su causa puede radicar en distintos factores: primero, en todo el proceso se usaroncantidades promedio en lugar de valores instantáneos; segundo, a pesar de haber usado unriel de aire, la presencia de fricción no puede “en general” ser eliminada en el laboratorio;tercero, si bien se intenta nivelar horizontalmente el riel de aire, existen impresisciones porparte de los instrumentos de medida y experimentalistas que impiden una perfecta alineacióna θ = 0; y cuarto, no se está teniendo en cuenta la fricción o resistencia del aire.

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6. Si se usaran los valores instantáneos de las velocidades del sistema, habría sin duda unadisminución en los errores obtenidos, mas no una anulación de los mismos, siempre ycuando se tengan las mismas condiciones iniciales del sistema físico comentadas en el montajeexperimental.

Conclusiones

• Las cantidades que representan la cinemática y la dinámica de un sistema, es decir, la acel-eración a y la fuerza F respectivamente, poseen una relación establecida por Isaac Newtonen su famosa “segunda ley del movimiento de los cuerpos". Dicha ley establece que F = ma,en donde m es la masa del cuerpo. En esta práctica se corroboró dicha relación con bas-tante presición pues la Fig. (2) muestra una relación marcadamente lineal entre 1/a y m, locual se traduce en una relación inversamente proporcional entre a y m. De esta manera, seencuentra que la aceleración que puede adquirir un cuerpo o sistema depende de su masa,haciendo más difícil cambiar su estado de movimiento si el valor de m es considerablementegrande.

• Se encontró, a partir de los datos experimentales, la ecuación que determina el inverso dela aceleración de un cuerpo de masa m que se mueve sobre un riel horizontal sin fricción yque está atado por una cuerda a un cuerpo de masa ma = 8g que cuelga verticalmente. Laecuación explícita encontrada es:

1

a= (1, 24× 10−4)m+ (2, 772× 10−3). (16)

• Se encontró además el valor ”experimental“ de ma = 8, 2g como una manera de observarla aplicabilidad de la ecuación anterior en un movimiento de dos cuerpos unidos por unacuerda tal como se indica en la Fig. (1); el error obtenido es pequeño y sus posibles causasestán enunciadas en el ítem 4 del desarrollo.

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