1) Demostrar por Inducción:

Verificamos para n=1

Se verificó para n=1

Planteamos la hipótesis de inducción, suponemos que se verifica para n=k:

Intentaremos demostrar la tesis de inducción, o sea, que se verifica para n=k+1:

Demostración:

Prop. Σ Hipótesis y Prop. (!) Factor Común Prop. R

Con lo que queda demostrado Prop. (!)

2) Desarrollar y encontrar la mínima expresión de:

Por el desarrollo del binomio de Newton, tenemos que:

Por lo que nuestro desarrollo sería:

Desarrollamos el triángulo de Pascal hasta n=5 para obtener los coeficientes de nuestro desarrollo:

1 n=0

1 1 n=1

1 2 1 n=2

1 3 3 1 n=3

1 4 6 4 1 n=4

1 5 10 10 5 1 n=5

Por lo que tenemos:

La mínima expresión es:

3) Negar:

Su negación es:

4) a) Obtener las soluciones complejas y graficar:

A partir de la fórmula de De Moivre, podemos deducir otra para la obtención de raíces de números complejos. Si n es un entero positivo y z es cualquier número complejo, entonces la raíz n-ésima de z se define como cualquier número complejo w que satisface la ecuación: De donde resulta:

Desarrollo:

Sea entonces, , tenemos que y

Con n=3 se deduce que:

Para k=0

Para k=1

Para k=2

Como observamos, las tres raíces complejas son equidistantes, ya que están separadas por una distancia de ⅔π radianes (120°) sobre la circunferencia de radio aproximado de 1,122462048 (módulo de las sol. complejas) con centro en el origen.

b) Demostrar que: C Dem: Sea

Por otro lado:

Ambos desarrollos culminan igual, por lo que la ecuación inicial se verifica para todo número complejo w.

5) Demostrar por inducción sobre n:

(La expresión derecha es múltiplo de 2)

Verificamos para n=1:

Efectivamente 4 es múltiplo de 2.

Hipótesis de inducción:

Asumimos que al verificarse para k, el polinomio se puede expresar como múltiplo de 2.

Tesis de inducción:

Demostración:

(por Hip.) (múltiplo de 2)

6) Sean y

a)

b) Determinar si son ortogonales:

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