8/18/2019 Examen álgebra superior

1/2

Facultad de Ciencias

Primer Examen Parcial

Álgebra Superior II, Grupo 4037Prof. Rolando Gómez Macedo

Adj. Rolando Corona Jiménez

Nombre:Nota:

Cada respuesta debe ser debidamente  justificada 

, de otra forma  no ser´ a evaluada 

.Instrucciones:

Para evaluar se deben elegir 4 y solamente 4 de los 5 ejercicios.

1. (25 puntos) Definición: Sean  a, b ∈  N. Se dice que  a  divide a  b  si existe  k ∈  N   tal que  ak =  b.Lo que se denota por  a |  b.

(a) Demuestre que   |  es una relación de orden, en el sentido reflexivo, es decir es un orden  ≤en  N. (12.5 puntos)

(b) Muestre que 4     n2 + 2. (Pista: Use el algoritmo de la división entre los números  n  y 4)(12.5 puntos)

2. (25 puntos) Definición: Sean  a ∈  Z. Se dice que  a  es par si 2  |  a.

(a) Calcule (90, 21). (12.5 puntos)

(b) Calcule (a, a + 2). (Pista: Considere el caso  a  par y  a  impar) (12.5 puntos)

3. (25 puntos) Decida si las siguientes ecuaciones diofánticas tienen solución. Y en caso de haber-las, calcule el conjunto solución.

(a) 90x + 21y = 5. (12.5 puntos)

(b) 90x + 21y = 9. (12.5 puntos)

4. (25 puntos) Demuestre que existen una infinidad de números compuestos.(Pista: use el corola-rio inmediato del teorema fundamental de la aritmética que vimos en clase)

5. (25 puntos) Sea p un número primo y  x  ∈  Z  tal que x  |  pα donde α  ∈  N. Demuestre que x  =  pβ

para algún  β  ∈  N. (Pista: diferencie entre el caso  x = 1 y  x = 1 y use el teorema fundamentalde la aritmética)

Los puntos del siguiente ejercicio pueden ser usados para subir la calificacíon de cualquierexamen parcial del semestre.

Ejercicio extra   (10 puntos) Sean  a, b, c  ∈   Z   y sea   ax +  by   =   c  una ecuación diofántica. SiS   =   {(x0, y0)   ∈   Z ×  Z   |   ax0  + by0   = 0}   el conjunto de soluciones a la ecuación homogénea y(x1, y1) ∈  Z × Z  es una solución particular a  ax + by  =  c, demuestre que el conjunto de solucionesde  ax  + by =  c  está dado por (x1, y1) + S   := {(x1, y1) + (x0, y0) ∈  Z × Z |  (x0, y0) ∈  S }.

Marque en el siguiente recuadro que ejercicios desea que le sean evaluados

Calificar pregunta 1 2 3 4 5 Total

Puntos 25 25 25 25 25 100

Puntuación

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Cada respuesta debe ser debidamente   justificada , de otra forma   no ser´ a evaluada .

Instrucciones:

Para evaluar se deben elegir 4 y solamente 4 de los 5 ejercicios.

1. (25 puntos) Definición: Sean  a, b ∈  N. Se dice que  a  divide a  b  si existe  k ∈  N   tal que  ak =  b.Lo que se denota por  a |  b.

(a) Demuestre que   |  es una relación de orden, en el sentido reflexivo, es decir es un orden  ≤en  N. (12.5 puntos)

(b) Muestre que 4     n2 + 2. (Pista: Use el algoritmo de la división entre los números  n  y 4)(12.5 puntos)

2. (25 puntos) Definición: Sean  a ∈  Z. Se dice que  a  es par si 2  |  a.

(a) Calcule (90, 21). (12.5 puntos)

(b) Calcule (a, a + 2). (Pista: Considere el caso  a  par y  a  impar) (12.5 puntos)

3. (25 puntos) Decida si las siguientes ecuaciones diofánticas tienen solución. Y en caso de haber-las, calcule el conjunto solución.

(a) 90x + 21y = 5. (12.5 puntos)

(b) 90x + 21y = 9. (12.5 puntos)

4. (25 puntos) Demuestre que existen una infinidad de números compuestos.(Pista: use el corola-rio inmediato del teorema fundamental de la aritmética que vimos en clase)

5. (25 puntos) Sea p un número primo y  x  ∈  Z  tal que x  |  pα donde α  ∈  N. Demuestre que x  =  pβ

para algún  β  ∈  N. (Pista: diferencie entre el caso  x = 1 y  x = 1 y use el teorema fundamentalde la aritmética)

Los puntos del siguiente ejercicio pueden ser usados para subir la calificacíon de cualquierexamen parcial del semestre.

Ejercicio extra   (10 puntos) Sean  a, b, c  ∈   Z   y sea   ax +  by   =   c  una ecuación diofántica. SiS   =   {(x0, y0)   ∈   Z ×  Z   |   ax0  + by0   = 0}   el conjunto de soluciones a la ecuación homogénea y(x1, y1) ∈  Z × Z  es una solución particular a  ax + by  =  c, demuestre que el conjunto de solucionesde  ax  + by =  c  está dado por (x1, y1) + S   := {(x1, y1) + (x0, y0) ∈  Z × Z |  (x0, y0) ∈  S }.

Marque en el siguiente recuadro que ejercicios desea que le sean evaluados

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