EVALUACIÓN FINANCIERA DE PROYECTOS DE INVERSION - ARTURO INFANTE VILLAREAL - CAP 11 AL 12

as dificultades queorigina la escasezde capital 11Cuando hay limitaciones en las disponibilidades de capital, en uno 0 variosperiodos, surge una clase de problemas que se conocen con el nombre genericode problemas de racionamiento de capital (capital budgeting problems).

La naturaleza y forma de abordar estos problemas se aprecia mejor al es-tudiar una situacion simple como la enfrentada por la compafiia PANAJA-CHEL, ante la decision de invertir en el portafolio puesto a su consideracion,que se resume en el grafico 11.1.

La tasa de in teres de oportunidad de esta empresa es iop yen el momentoinicial, antes de invertir en los anteriores proyectos, cuenta con las siguientesrestricciones de dinero:

Qo Maxima cantidad de dinero disponible en 0Q I Maxima cantidad de dinero disponible en 1Q2 Minima cantidad de dinero que debe acumular en 2, para atender

otras obligaciones.

El criterio que sigue la PANAJACHEL es maximizar el VPN de todas lasinversiones.

Apoyandonos en toda la informacion anterior podemos ilustrar la formamo se abordan estos problemas, que son tipicos, frecuentes y muy inte-

ntes.

230 Evaluacidn de Proyectos

o22

Proyecto A

o 2 2

$do

Proyecto C

Grafico 11.1

Proyecto B

Proyecto 0

El punto de partida 10 constituye el calculo del VPN de cada una de las al-temativas disponibles, que simb61icamente arroja los siguientes resultados:

VPN(iop)A

VPN(iop)B

a>O/3>0

VPN(iop)c

VPN(iop)D

8 < 0

0>0

De acuerdo con el criterio que caracteriza al valor presente neto, comoa, /3 y 0 son mayores que cero, la cornpafiia se puede sentir tentada a ase-verar que los proyectos A, B Y D son convenientes y que el proyecto C no 10es, ya que '8 es menor que cero.

La anterior afirmaci6n es estrictamente cierta s610 cuando no existen res-tricciones de capital que originan interdependencias entre los proyectos.Por ejernplo, es posible que el proyecto C sea aconsejable a pesar de tener unVPN negativo, porque al contribuir con $ C1 en un momento critico en el cual

La escasez de capital 231

los fondos totales disponibles son muy limitados, permite que se emprendanotros proyectos muy rentables.

Apartemonos ahora brevemente de la situaci6n que enfrenta la PANA-JACHEL, para centrar la atenci6n en 105 dos proyectos que aparecen en elgrafico 11.2, con la intenci6n de aclarar los ultimos comentarios hechos.

$180

$50t-__,1

TIR = 100%$100$100

TIR = 80%

Proyecto I Proyecto P

Grafico 11.2

Si la tasa de interes de oportunidad es 30%, el proyecto les una oportunidadextraordinaria de ganar 80% y por consiguiente debe adelantarse. En contras-te, el proyecto P es un prestamo cuyo interes efectivo es 100%, que excedeampliamente al 30% de oportunidad y por consiguiente no debe tomarse.Todo 10 anterior es correcto hasta cuando afiadimos restricciones en lasdisponibilidades de dinero. Por ejemplo, que en el momenta 0 s610 hay $50disponibles para invertir.

La ultima informaci6n cambia todas las cosas y determina que la decisi6n sedeba estudiar con otra luz, ya que en las nuevas condiciones la unica formacomo se puede emprender el proyecto I es tomando el prestamo P, aunque estesea muy costoso. La pesquisa se orienta ahora a establecer si el atractivo de I estan grande como para compensar el altisimo costo de P.

Colocando en un mismo dibujo 105flujos asociados con los proyectos I y P,se obtiene el flujo de dineros del grafico 11.3.

En este caso la rentabilidad resultante de emprender simultaneamente losdos proyectos (que es la unica forma de llevar a cabo el proyecto I) es 60%, demodo que vale la pena tomar el prestamo P aunque sea muy costoso, porques610 asi se puede aprovechar una oportunidad de inversi6n que rinde el 80%.Al final se gana s610 el 60%, pero este rendimiento es muy bueno si se 10compara con el 30% de oportunidad.

$180

$50

$80

1---t$50

o~----------------~

$100 TIR = 60%$100

Proyecto I + P Proyecto I + P

Grafico 11.3

Podemos ahora regresar al ejemplo de la CompaiiiaPANAJACHELparareiterar que el haber establecido que 0',"{3 Y .0. > 0 y lj < 0 no permiteadoptar decisi6n alguna respecto a los proyectos en consideraci6n, sino quees preciso tener en cuenta las interdependencias que generan las restriccionesde dinero.

11.1 La formulaci6n del problemadel racionamiento de capital

Para ilustrar el proceso de formulaci6n maternatica del problema del racio-namiento del capital, es necesario apoyarnos, una vez mas, en el ejemplo dela PANAJACHEL.

Como $ Qo, es la maxima suma de dinero disponible para inversi6n en elmomento 0, la cantidad que la empresa invierta ahora en el conjunto de pro-yectos, no debe exceder de $ Q o. Si se adelantaran todos los proyectos, lainversi6n total en el momento 0, que llamaremos 10, seria:

$10 = $ao + $bo + $co - $do

La ultima cantidad aparece con signo negativo porque el proyecto D pro-duce dinero en el momenta 0, en lugar de requeririo.

Si $ Qo > $10, seria entonces posible (en 10 que respecta alas restriccio-nes del periodo) adelantar todos los proyectos. Pero si $ Qo < $10 simple-mente el dinero no a1canzaria y entonces no se podrian acometer todos los


proyectos simultanearnente. En esta ultima situacion para poder establecer10 que es po sible hacer, se deben definir las siguientes variables 1:

x I= 0 Cuando el proyecto A no se lleva a caboA = 1 Cuando el proyecto A si se lleva a cabo

De manera similar se definen las variables XB, Xc Y XD•

Apoyandonos en esta definicion de variables podemos afirmar, entonces,que XAaO es la cantidad de dinero que se invierte en el proyecto A en el mo-mento O. Si el proyecto A se emprende, XA = 1 y la cantidad XAao es igual a1 Xao = $ao; pero si el proyecto A no se lleva a cabo, entonces XA = 0 yXAao = $0.

Al hacer un raciocinio igual para los demas proyectos, podemos establecerque la cantidad total que se invierte en el momento 0 se puede representar, enterrninos generales, mediante la siguiente ecuacion:

XAao + Xeb» + Xcco - Xnd«

Debemos exigir, para cumplir con la restriccion existente, que tal inversionno sobrepase el valor Qo. Esto 10 podemos especificar mediante la siguienterelacion de desigualdad:

Ahora nuestro problema consiste en determinar cuales de las X se hacenigual a 1 y cuales se igualan a cero.

La situacion se complica, sin embargo, porque tal decision se debe adoptarteniendo en cuenta que existen otras restricciones en otros periodos. En par-ticular, en el periodo 1 solo se dispone de $ QI para invertir, por 10 cual espreciso que se cum pla la siguiente igualdad:

Cantidades reque-ridas por los pro-yectos que consu-men dinero en elmomenta I.

Cantidades produci-das por los proyec-tos que Iiberan dine-ro en 1.

Cantidad de dine-ro que sobra en 0 yse pasa a 1.

y $ II debe ser menor 0 igual que $ QI, donde $11es la cantidad neta de dineroque se invierte en 1.

I. La definicion de las variables es arbitraria y su raz6n de ser se hace evidente mas adelante.

234 Evaluacion de Proyectos

La relaci6n anterior escrita en terrninos matematicos es:

$11 = XAal + XBbl - Xecl - XDdl + So < $ QI

donde $So = Qo - [XAao + XBbo + Xeco - XDdo] representa la canti-dad de dinero disponible en 0 que no se usa en tal periodo y se guarda parautilizarlo en el siguiente periodo.

La restricci6n que aparece en el periodo 2 es de otra naturaleza, ya que alli serequiere que los proyectos produzcan una minima cantidad de dinero. Estaexigencia se puede presentar de la siguiente manera:

Cantidades produci-das par 105 proyec-tos que liberan di-nero en 2.

Cantidades produci-das par 105 proyec-tos que consumendinero en 2.

+Dinero sobrantedel periodo ante- > $ Q2rior.

10 cual puesto en terrninos matematicos resulta ser:

donde $ SI es la cantidad de dinero que no se usa en el periodo 1,0 sea que,$SI = QI - [XAal + XBbl - So - XeCl - XDdl].

En este momento hemos precisado todas las restricciones que se debencumplir simultaneamente y que determinan 10 que es posible hacer; en re-sumen son:

XAaO + XBbo + Xeco - XDdo +So=$Qo

XAal + XBbl - Xecl - XDdl - So + Sl $QI

XAa2 + XBb2 - Xec2 - XDd2 + SI > $Q2

donde:

XA = 0; 1 ; XB = 0 ; 1 ; Xc = 0; 1 ; XD = 0 ; 1

Para resolver el problema de viabilidad, es decir, de cuales inversiones sepueden emprender al mismo tiempo, tenemos que encontrar los valores deXA, XB, Xc Y XD que cumplen con todas las restricciones.

Por 10 general existe un gran mimero de posibilidades que cumplen contodas las restricciones y a cada una de tales combinaciones de valores de las X,la llamamos utui solucionfactible 0 viable del problema.zCual de tales solucio-nes es la mas conveniente? Tal pregunta nos conduce a enfrentarnos con elproblema de optima/idad, que se aborda asi:


Como a, {3, ~ y n son los VPN de los proyectos A, B, C YD respectiva-mente, el VPN de la inversion total que se emprenda es en terrninos generales:

ya que si, por ejemplo, adelantamos los proyectos A y C solamente, entonces:XA = XB = 1 Y Xc = XD = 0 y al reemplazar estos valores en la ecua-

cion del VPN obtenemos:

VPNT = a + ~

Como nuestro deseo es obtener el valor presente neto total mas grandeposible, desde el pun to de vista maternatico esto 10 logramos al maximizar elvalor del VPN T, 0 sea,

En este deseo de maximizacion estamos restringidos por las limitaciones Qo,QI y Q2, por 10 cual el problema total de optimizacion es: encontrar los va-lores de XA, XB, Xc Y XD, que solo pueden ser 0 a 1, tales que maximicen elvalor del VPN T, donde:

y que cumplan con TODAS las restricciones que siguen:

XAao + XBbo + Xcco - XDdo + So $Qo

XAal + XBbl - XCc1 - XDdl - So + SI $QI

XAa2 + XBa2 - XCc2 - XDd2 + SI > $Q2

A este problema se Ie conoce con el nombre del problema de la programacionlineal entera, que recibe el calificativo de "entera" porque las variables (X's)solo pueden asumir dos valores, que son numeros enteros: 1 a O.

11.2 Un ejemplo nurnerlco

Consideremos ahora el ejemplo que surge en tomo a una escogencia de fuen-tes de financiacion. La MALIBU LTDA. necesita $100000 y ha identificadodos fuentes de fondos que tienen las caracteristicas que muestra el grafico 11.4.


$100 000 $100 000

2 3 2 3oo

$70000

$125000

Proveedores Corporaci6n

TIR = 0.20 TIR = 0.25

Graflco 11.4

Como el interes de oportunidad de la MALIBU es 0.22, entonces:

VPN (0.22) = $2751.80Proveedores

VPN (0.22) = -$ 6126.70Corporacion

Lo anterior indica que el prestamo de Proveedores es conveniente para laMALIBU ya que tiene un VPN > 0 y que el de la Corporacion es muy caroporque su VPN es < O.

Si los dos prestamos fueran completamente independientes, es decir, siemprender uno de ellos 0 no hacerlo no tuviera repercusion alguna en la de-cision de acometer el otro, entonces hasta aqui llegara nuestro analisis.

Sin embargo, la presencia de restricciones puede dar origen a la necesidad deampliar el analisis mas alla de 10 indicado directamente por el criterio deevaluacion del valor presente neto. Tal es la situacion cuando surgen lassiguientes restricciones en el caso de la MALIBU LTDA: en el momenta 1 solose puede repagar un maximo de $40 000; en el momenta 210s pagos no debenexceder de $ 20000 yen el momento 3 los pagos deben ser inferiores a $ 90000.

En estas condiciones no se puede tomar el prestamo de Proveedores porqueimplica una erogacion de $70 000 en el momento 1 cuando 10 maximo posible

-


es $40 000. El prestarno de la Corporacion tampoco se puede contratar porqueen los momentos 2 y 3 requiere pagos que exceden 10 maximo perrnitido. Enconsecuencia, ninguno de los dos prestamos se puede contratar, a menos quese busque la manera de combinarlos para no exceder las restricciones. Si partedel dinero proviene de los Proveedores y parte de la Corporacion, el problemase convierte en establecer la cornbinacion optima y con el fin de establecerla sedefinen las siguientes variables:

Xc Fraccion del prestamo de $100000 proveniente de la Corporacion

Xp Fraccion del prestamo de $100000 proveniente de los Proveedores

Xc puede asumir cualquier valor positivo, 10 mismo que Xp. Por ejemploXc = 0.74 quiere decir que se toman $ 74000 en prestarno de la Corporacion.

En estas condiciones las restricciones son, en el momento 1:

$ 25000 Xc + $70000 x, < $40000

Reembolso de 10 prestadoen la Corporacion, en el mo-mento 1.

Reembolso en el momentoI de 10 prestado de los Pro-veedores.

Maxima cantidad que se pue-de pagar en el momento 1.

en el momenta 2:

25000 Xc + 20000 x, < $20000

en el momento 3:

125000 Xc + 48 OOOXp < $90000

ademas, se debe garantizar que la cornpafiia reciba los $100 000 que necesita:

+Lo prestado en la Corpora-cion (fracci6n de $100 000).

La prestado de los Provee-dores (fracci6n de $ 100 000).

Debe ser igual a 10 requeri-do ($100 000).

El problema consiste entonces en encontrar aquellos valores de Xc y Xp

que maximizan el VPN del prestamo total y que cumplen con todas las res-~~on~. .

238 EJla/lUlcion de Proyectos

En resumen, 10 que debe hacer la MALIBU LTDA. es encontrar los valoresde X, y Xp que maximizan la ecuacion:

-6 126.70X, + 2761.80Xp

y que no violan ninguna de las siguientes relaciones

25 000 X, + 70000Xp < 40000

25 000 Xc + 20 000 Xp < 20 000

125 000 X, + 48000Xp < 90000

X, + Xp = 1

X, > 0 x, > 0

l~ _

La anterior formulacion corresponde al modelo de la programacion linealsimple, que resulta mucho mas facil de resolver que el de la programacion linealentera, que vimos con anterioridad. La diferencia reside en que ahora losvalores de las X pueden ser cualquier numero positivo, entero 0 fraccionario, yno solo uno 0 cero.

La ecuacion que se maximiza recibe el nombre de funcion objetivo y elconjunto de desigualdades y ecuaciones que no se deben violar, recibe elnombre de conjunto de restricciones.

Cuando el problema de programacion lineal tiene solo dos variables 0 dosrestricciones, se puede representar y resolver graficarnente, como 10 mostrare-mos ahora. Cuando su tamafio es mayor, es necesario acudir a un procedi-miento iterativo de solucion muy poderoso, que tiene el nombre de algoritmosimplex. Este procedimiento es poderoso porque garantiza que al seguirlo sellega a la solucion optima en un numero relativamente pequefio de iteraciones.

Como el problema de racionamiento de capital de la MALIBU LTDA.solo tiene dos variables, X,Xp, podemos representarlo y resolverlo grafica-mente. Para hacerlo, debemos antes recordar algunos conceptos elementalesde la geometria.

11.3 La representaclen grafica del problemade la proqramaclen lineal

Cuando se tiene un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones, esposible representar sobre el la ecuacion aX\ + bX2 = c al medirsobre un eje


el valor de Xl y sobre otro el de X2• La representacion de esta ecuacion es unalinea recta que posee las caracteristicas que sen ven en el grafico 11.5 (si supo-

c cnemos que - > 0 y - > 0).

a b

t X,I

Grafico 11.5

Como cada punto en el plano corresponde a un valor especifico de Xl y X2,

la recta 1 - 1 corresponde a todo el conjunto de puntos del plano quecumplen con la relacion aXl + bX2 = c, y la desigualdad aXl + bX2 > cincluye a todos los puntos que estan en 0 por debajo de la ecuacion aXl + bX2 =c; por este motivo, la desigualdad divide a todo el plano en dos partes: unamitad constituida por los puntos que estan hacia la derecha de la ecuacionaXl + bX2 = C Y la otra mitad integrada por los puntos que estan haciala izquierda de la ecuacion y sobre ella misma.

Graficamente se puede ver que la desigualdad excluye 10s puntos que estanen la region sombreada de la derecha en el grafico 11.6.

Cuando las variables deben cumplir simultaneamente con dos desigualda-des, por ejemplo:

y


+ x,

aX, + bX2 ::::; C

+

Gr:ifico 11.6

esto delimita una region constituida por los puntos que no estan excluidos porninguna de las dos desigualdades. Tal region de puntos conforma el conjuntode posibles combinaciones de Xl Y X2 que cumplen con las dos desigualda-des, y por este motivo recibe el nombre de conjunto de combinaciones posibles

o factibles, 0 simple mente region defactibilidad. Si £ > 0 y s. > 0, laa' b'

forma de la region de factibilidad correspondiente alas dos desigualdadesde arriba es algo asi como 10 que se observa en el grafico 11.7.

Si a la anterior region de factibilidad Ie afiadimos las restricciones Xl > 0y X2 > 0, entonces se delimita una region de factibilidad similar a la que seencuentra en los problemas de programacion lineal, tal como se ve en el grafi-co 11.8

Si aplicamos las ideas anteriores al caso de la MALIBU LTDA., debemos,ante todo, recordar que el siguiente es el conjunto de restricciones que enfrentatal empresa:

25000Xc + 70000Xp < 40000

25 000 Xc + 20 000 Xp < 20 000

125000Xc + 48000Xp < 90000Xc + X; = 1

>0x, > 0


Regionfactible

+

Graflco 11.7

y entonces podemos establecer graficamente la naturaleza de cada una de di-chas restricciones (vease el grafico 11.9).

Grafico 11.8


+

1. 25000Xc + 70000Xp :::: 40000\+, x,

I~1 6

I I

1.0- 1.0

2. 25000 x, + 20000x, -s 20000

3. 125000Xc + 48000x, :::90000

-----al Xp".------1.87-1.0

+


4.

+

5.

+

Grafico 11.9

Si colocamos en un mismo dibujo (grafico 11.10) todas las restriccionesanteriores, encontramos la region de factibilidad.

EI lector debe recordar que esta region incluye todas las combinacionesde Xc y Xp que cumplen con las cinco restricciones y debe notar que nohemos tornado en cuenta todavia la restriccion:

Xc + X; = I

Es muy importante advertir que esta ultima restriccion excluye todos lospunt os que no coinciden con la linea recta determinada por la ecuacion. Poreste motivo, la verdadera region de factibilidad de la MALIBU LTDA. es el


Region de factibilldad

+

Grafico 11.10 Region de factibilidad de la MALIBU LTDA., incompleta

segmento de Ia recta Xc + Xp = 1 que yace dentro de Ia region de factibilidadestablecida en el grafico 11.11. Si superponemos esta recta, nos encontramoscon Ia situacion del grafico 11.11.

+

Grafico 11.11 Region de factibilidad de la MALIBU LTDA., cuando se debentomar $100 000.00 en prestamo

EI grafico 11.11 muestra c1aramente que ningun punto de Ia recta Xc + Xp =esta dentro de Ia region de factibilidad, 10 cual sefiala que el problema no

tiene solucion factible; es decir, que no existe ninguna cornbinacion deXc y Xp capaz de cumplir con todas Ias restricciones.


El area de factibilidad inc1uye pues, todas las combinaciones de prestamosprovenientes de proveedores y corporaci6n que simultanearnente cumplen conlas cinco primeras restricciones (las del tope de egresos y no negatividad).Desafortunadamente ninguno de los puntos del area de factibilidad cumplecon la restricci6n ultima, vale decir, con Xc + Xp = 1, la cual garantiza quese toman exactamente $100000 en prestamo de las fuentes disponibles, cum-pliendo simultaneamente con las restricciones de egresos y con las dos de nonegatividad.

Si la cantidad total que la MALIBU LTDA. debe tomar en prestamo no es$100000 sino $ 80000, la situaci6n es la que aparece en el grafico 11.12.

0.9

0.6

0.5

0.4 x, = 50000Xp = 30000 ,

\',\ "\ ',\ ,,,,,,-,,,,

0.3Regi6n defactibilidad

0.2

0.1

\\\\

0.1 0.2 0.3 0.6 0.7 0.80.4 0.5

Grafico 11.12 Region de factibilidad de fa MALIBU LTDA., cuando se deben tomaren prestamo $80000.00

-$6126.70 (0.36) + $2751.80 (0.44) = -$994.82


E1 grafico 11.12 muestra el area de factibilidad determinada por las restric-ciones que limitan los egresos durante los tres momentos 0, 1, 2, las dosrestricciones de no negatividad y 1a restriccion Xc + Xp = 0.8 que garantizaque solo se toman en prestamo $ 80000. A diferencia de 10 que ocurrio antes,parte de 1a linea Xc + Xp = 0.8 esta ahora situada en la region de factibi-lidad.

Tal porcion de la recta es 1a que aparece como una linea continua yrepresenta las unicas combinaciones de Xc y Xp que se pueden tomar enprestamo. Por ejemplo, en el grafico 11.12 se ha destacado la combinacionXc = $ 50000 y Xp = $ 30000, como una de las combinaciones posib1es.

Ahora que es factible contratar el emprestito, 1a MALIBU LTDA. enfrenta1a decision de escoger una cornbinacion de Xc y Xp de las inc1uidas en la lineacontinua, es decir, de las que cumplen con todas las restricciones. La combina-cion que esta en el extremo derecho de 1a porcion factib1e de 1alinea Xc + Xp =0.8, es Xc = 0.36 y Xp = 0.44.

E1 VPN de tal combinacion es:

La cornbinacion que esta situada en el extremo izquierdo de la parte factiblede la linea Xc + Xp = 0.8, es Xc = 0.66 y Xp = 0.14.

El VPN de esta cornbinacion es:

-$6126.70 (0.66) + $2751.80 (0.14) = -$3 658.37

El VPN de todas las combinaciones que estan situadas entre los puntosextremos anteriores, esta comprendido entre - $ 994.82 y - $ 3 658.37 (debidoa que e1 VPN de la cornbinacion es una funcion lineal de Xc y Xp). Enconsecuencia, ninguna cornbinacion de prestarnos factible es deseable porquetodas tienen un VPN total < O. De nuevo rechazamos los prestamos, pero poruna razon diferente: porque no son convenientes desde el punta de vistafinanciero.

11.4 EI rnetodo grafico de soluci6n del problemade la programaci6n lineal, ilustradocon un ejemplo numerlco del racionamientode capital

La empresa ARTESANOS LTDA. tiene frente a sf dos proyectos de inversion.uno de ellos re1acionado con la fabricacion de sanda1ias y el otro con la


fabricaci6n de bolsos de mujer. Esta empresa tiene limitaciones de capital, por10cual debe ser muy cuidadosa sobre la manera como invierte sus muy escasosrecursos.

Los proyectos tienen los flujos de dinero por unidad fabricada (en el caso delas sandalias una unidad es un par) del grafico 11.13.

$362.09

o

$190.43

22

$100 $100 $100

Sandalias Balsas

Grafico 11.13

La fabricaci6n de cualquiera de los dos articulos se demora 1 mes y la ventase produce un mes despues de fabricado el articulo. En el caso de las sandalias,el costa total de fabricaci6n es $ 200 por par, de los cuales $ 100 se debenpagar de inmediato para comprar la materia prima y los restantes $100 al finaldel mes, ya que ellos constituyen basicarnente el pago de la mana de obrarequerida. En el caso de los bolsos, la erogaci6n que se requiere de inmediatoes de s610 $25, ya que la materia prima requerida es menos costosa. La manade obra, que tarnbien vale $100, se paga al final del meso La ARTESANOSLTDA. usa una tasa de interes de oportunidad de 2% mensual, de modo queca1cula 10 siguiente: -

VPN(0.02)Sandalias = $150 y VPN(0.02)Bolsos = $60

Estos calculos muestran que cada par de sandalias fabricado le produce alacompafiia un VPN de $150 y cada bolso un VPN de $60. Aunque 10s dos


proyectos son atractivos por tener un VPN > 0,10 es mas la fabricaci6n desandalias, por ser su valor presente neto mucho mas grande que el de los bol-sos.

Si esto fuera todo, la ARTESANOS LTDA. deberia dedicarse a producirsandalias exclusivamente. Sin embargo, y como se habia indicado desde uncomienzo, existen limitaciones de capital que complican las cosas: en elmomento s610 se dispone de $ 2400 y dentro de un mes s610 se podran gastar$4000. Ademas el dinero que no se gaste de inmediato no podra guardarsepara dentro de un mes, porque el auditor de la empresa exige, entonces, que sepaguen otros compromisos apremiantes.

En estas condiciones ya no es claro que 10aconsejable sea producir sandaliasexclusivamente, porque este articulo consume mucho dinero ($100 por par) enel momento 0, que es precisamente cuando el efectivo es mas escaso. Nosencontramos frente a un problema de racionamiento de capital, que requierela definici6n de las siguientes variables:

Xs = NQ de par.es de sandalias que se fabrican

X B = NQde bolsos que se fabrican

Las restricciones son:

1.La cantidad de dinero requeridaen el momento 0 para la fabrica-ci6n de sandalias.

+La cantidad de dinero requeridaen el momento 0 para la fabrica-ci6n de bolsos.

No debe ser mayor de $ 2400. En terminos matematicos:

100Xs + 25 XB < 2400

La cantidad de $ requerida en 1para fabricar sandalias. + La cantidad de $ requerida en 1

para fabricar bolsos.2.

No debe superar a $4000. En terrninos matematicos:

100Xs + 100XB < 4000

3. S610 se pueden fabricar cantidades positivas de sandalias 0 de bolsos, 10cual en terminos matematicos se representa asi:

Xs > 0


Como e.1objetivo de la ARTESANOS LTDA. es maximizar el VPN de todasu operacion, esta empresa busca que la suma del VPN proveniente de lassandalias fabricadas mas aquel resultante de los bolsos fabricados, sea 10 masgrande posible; maternaticamente el objetivo es entonces:

Maximizar VPNTolal = 150Xs + 60XB

El problema que debe resolver la empresa del ejemplo es, en resumen,encontrar los valores de Xs y XB (esto es otra manera de decir encontrarcudntos pares de sandalias y cudntos balsas debe fabricar) de tal manera que:

maximicen la suma: 150 Xs + 60 XB

y que cum plan con las siguientes restricciones:

100Xs + 25XB < 2400

100Xs + 100XB < 4000

Xs > 0; XB > 0

Este es un problema de prograrnacion lineal estandar, cuya region defactibilidad ya sabemos como determinar.

En el grafico 11.14 aparece dicha region de factibilidad yalgunas lineas delVPN total, que permiten establecer la solucion optima, la cual resulta serXs = 18.67 pares de sandalias y XB = 21.33 bolsos. El VPN de esta soluciones $4080.30, que es el maximo que se puede obtener con las limitacionesexistentes. Veamos como se llega a los resultados anteriores:

El VPN T es una funcion lineal de Xs y X B, cuyo valor aumenta a medidaque hay desplazamientos hacia la derecha, .en la familia de las rectas 150 Xs +60 XB = k.

Asi, cuando k = $ 3 000, la recta correspondiente esta bastante cerca delorigen y cuando k = $ 6 000, la recta correspondiente se ha alejado conside-rablemente, tal como se puede apreciar en el grafico 11.14. Por otra parte,vemosquehaymuchospuntosenlarecta 150Xs + 60XB = $3000queesmnsituados dentro del area de factibilidad, pero no hay ningun punto de la recta150 Xs + 60 XB = $6000 dentro de tal area. Esto quiere decir que existenmuchas combinaciones de Xs y XB que cumpliendo con las restricciones,producen un valor presente neto total igual a $3000.00, pero que no existeninguna cornbinacion que cumpliendo las restricciones, produce un VPNtotal de $ 6000.00

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50


Xs

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Xs·3=18.67

......,.,( 100Xs + 100X.=4 000JI " ...•.• ,

.•........_VPN = 9000 = 150 xs+ 60X.Optima ' .•..

Xs =21.33

Gnifico 11.14 La regi6n de factibilidad y la determinacion del optima programa deproduccion de la empresa ARTESANOS LTDA.

Si examinamos la recta 150 Xs + 60 XB = $4080.30, vemos que solo unpunta de ella coincide con el area de factibilidad: el pun to de contacto con elvertice nororiental de dicha area, que corresponde a Xs= 18.67 y XB= 21.33.Tal punta es la solucion optima, porque cualquier desplazamiento de la rectadel VPN hacia la izquierda incluye otros puntos factibles pero tiene unVPN Total menor que $ 4080.30 Ycualquier desplazamiento hacia la derecha yano incluye ningiin punto factible.

EI procedimiento grafico de solucion que hemos ilustrado envuelve dospartes:

1. La determinacion del area de factibilidad y

2. La identificacion del maximo valor del VPN que se puede alcanzar dentrode tal area de factibilidad.

Es importante advertir que este metoda grafico de solucion solo tiene valordidactico, ya que es practicable cuando existen solamente dos variables (0 dosrestricciones). En la vida real, los problemas casi siempre exceden este tamafioy por tal motivo se deben resolver mediante el procedimiento iterative delmetoda Simplex. Ellector interesado en conocer detalles de este procedirnientodebe referirse a un libro de programacion lineal, de los cuales se incluyen en labibliografia los mejores, en concepto del autor.

_____________________ ---=L:..::Q--=e:..::sc=Qsezde capital 2 -1

11.5 EI costa de oportunidaden la proqramaelen lineal

En el problema de la prograrnacion lineal el concepto de costa de oportunidadadquiere un significado muy preciso que se identifica con los llamados preciossombra (shadow price) 0 valores implicitos (implicit price) que se usan en laevaluacion econornico-social de proyectos.

El significado precise de este concepto se desprende del siguiente razona-miento: el maximo valor de la funcion objetivo -el maximo VPN en nuestrocaso- depende de la region de la factibilidad, la cual a su vez depende delvalor de las restricciones impuestas al problema. Estas restricciones consti-tuyen, en esencia, el impacto que tienen los recursos escasos requeridos por elproyecto.

En la medida en que aumenta el maximo valor de la funcion objetivo, esdecir, que el proyecto se torna mas rentable, aumenta el valor de los recursosque permiten llevarlo a cabo, y se hacen mas criticos y valiosos aquellosrecursos que operan como restricciones 0 limitaciones. El costa de oportuni-dad depende entonces de 10 limitante que sea el recurso y de 10 productivo quesea el proyecto.

Como veremos a continuacion, mediante el ejemplo de la ARTESANOSLTDA., la identificacion del costa de oportunidad resulta ser, tarnbien, unproblema de programacion lineal.

Los recursos escasos en esta situacion son las disponibilidades de dinero enel momento actual y dentro de un meso Aunque se trata de dinero en amboscasos, como este aparece en distintos momentos, las restricciones son diferen-tes y por este motivo tales sumas aparecen en esencia como recursos distintos,con diferente costa de oportunidad.

Para establecer el monto del costa de oportunidad en cada caso, ayudamucho proceder como si los recursos escasos se fueran a vender, ya que en estasituacion, el costa de oportunidad coincidiria con el minimo precio de ventaaceptable. Esto es cierto porque al vender los recursos ya no se podriaernprender el proyecto y por consiguiente, se perderia la oportunidad de gozarde los beneficios producidos por este,

Si la empresa ARTESANOS LTDA., vendiera los recursos criticos que leperrniterr producir los bolsos y sandalias, es decir $ 2400 actuales y $4000dentro de un mes y si 1T'o es el precio de cada $ actual y 1T'1 el precio de cad a$ dentro de un mes, la compafiia de nuestro ejemplo recibiria (ahora) por laventa de sus recursos criticos, la siguiente cantidad:

2400 1T'o + 4000 1T'1


Para fijar los precios ITa y IT!, la empresa debe tener en cuenta que $100actuales y $100 dentro de un mes Ie permiten fabricar un par de sandalias, 10cualle produce un beneficio en VPN de $150. Esto Ie indica que el total quedebe percibir por la venta de la combinacion $100 actuales + $100 dentro deun mes, no puede ser inferior a $150. En terrninos matematicos 10 anterior sepuede expresar asi:

100 ITa + 100 IT! > 150

Siguiendo un razonamiento similar en relacion con la fabricacion de bolsos,podemos establecer que:

25 ITa + 100 IT! > 60

Como ITa y IT! son los precios, ellos deben ser > 0, por 10 cualla determi-nacion del costo de oportunidad del dinero actual y del dinero dentro de unmes, ITa y IT! respectivamente, resulta de resolver el siguiente problema deprograrnacion lineal:

Min. 2400

100

25

4000 IT!

100

100

ITa +ITa +ITa +

IT! > 150

IT! > 60

>0

IT! >0

ITa

donde la funcion objetivo se minimiza para poder encontrar el minimo precioal cual se pueden vender los recursos, sin perder.

La solucion grafica de este problema se encuentra en el grafico 11.15, dondese puede apreciar que su solucion optima es ITa * = $ 1.20 y IT! * = $ 0.30.Tales cantidades constituyen el costo de oportunidad de los recursos, y debeninterpretarse de una manera cuidadosa por haber sido ca1culadas a partir delvalor presente neto de cada alternativa.

Si recordamos que el VPN constituye el valor extraordinario de la alternati-va en dinero actual, entonces el costo de oportunidad de los recursos derivadosdel VPN, se debe necesariamente interpretar como el valor extraordinario 0

prima que ellos tienen para su poseedor. Por 10 anterior, para la empresaARTESANOS LTDA., cad a peso actual tiene un valor extraordinario de$ 1.20, de modo que en caso de cederlo 10 venderia en $ 2.20 y cada peso dentrode un mes tiene un valor extraordinario de $0.30 y un correspondiente preciode venta de $ 1.30.

Cuando se examinan cuidadosamente los problemas de programacion li-neal que permiten determinar los niveles optimos de produccion (grafico 11.14)


7TO

3

2\

y los costos de oportunidad de los recursos (grafico 11.15), se puede apreciarque existe una relacion entre las estructuras de estos dos problemas.

oC\J \

.o~

Region defactibilidad

Grafico 11.15 La determinacion del valor de oportunidad de los recursos escasos queposee la campania ARTESANOS LTDA.

100 7TO+ 1007r, = 150

+---r-~r---~--~------~--------~~------~~,\ 2 3

\ ,_ 2 400 7TO+ 4000 7T1= 4080.307T1' = 0.30 '- 2400 7TO+ 4000 7T1= 2400,

Para ilustrar la naturaleza de tal relacion examinemos una vez mas la situa-cion de la cornpafiia ARTESANOS LTDA.

Problemas que se han estudiado

Max. 150Xs + 60XB Min. 2400 7To+ 4000 7r,

100Xs + 25XB S 2400 1007To7r,2:15O

100Xs + 100 XB S 4000 257T07r,2: 60

Xs 2:0 7ro 2:0

XB 2: 0 7T, 2:0

A. Niveles optimos de produccion B. Costo de oportunidad


Se puede advertir 10 siguiente:

I. Los coeficientes de la funcion objetivo del problema A son los valores delas restricciones del problema By viceversa.

2. Las filas de coeficientes de las variables en las desigualdades del problemaA, son las columnas de coeficientes de las variables en el problema B yviceversa.

Estas relaciones aparecen siempre en los problemas de programacion linealy por este motivo, al problema A se le conoce con el nombre de problemaprimitivo y al B con el nombre de problema dual. Adernas, todo primitivo tienesu dual correspondiente, de modo que el problema dual asociado con el dual esel problema primitivo.

Uno de los teoremas mas importantes en la teoria de la programacio n lineales el Ilarnado Teorema de la Dualidad, el cual sefiala que el valor cptimo de lafuncio n objetivo del problema primitivo es igual al valor optimo de la funcionobjetivo del problema dual (esto es estrictamente cierto solo cuando losproblemas son factibles). Este teorema seiiala, en el caso de la ARTESANOSLTDA., que el maximo VPN que puede obtener es $4080.30 (optimo delproblema primitivo) y que el minimo valor de oportunidad que puede asignara sus recursos es $4080.30 (optimo del problema dual). Si ellector medita unmomento sobre este resultado, se dara cuenta que es evidentemente logico.

Despues de esta breve incursion en la teoria de la prograrnacion linealvolvamos al problema del racionamiento de capital para presentarlo en suforma mas general.

11.6 EI problema del racionamiento de capitalen forma general

La manera general de presentar el problema del racionamiento de capital sesustenta en la siguiente definicion de variables:

X; = Nivel al cual se emprende el proyecto i (el valor de Xi va de 0 a infi-nito teoricamente),

(Si Xi = 87.34, por ejemplo, eso quiere decir que el proyecto ise emprende a nivel 87.34, 10 cual puede significar fabricar 87.34toallas 0 invertir $ 87.34 0 comprar 87.34 tarros de pintura, segunsea la naturaleza del proyecto 1. En terrninos generales hay n pro-yectos disponibles.


VPNi = VPN del proyecto i cuando este se lleva a cabo a nivel unitario.

aj; i = Cantidad de dinero que requiere (0 que produce si el signo es -) elproyecto i en el momento j. Por ejemplo a3.4 = 40 quiere de-cir que el proyecto 4 requiere $ 40 en el momento 3, cuando se em-prende a nivel unitario.

Qj = Maxima cantidad de dinero disponible para inversion en el mo-mento j (si el signo de Qj es negativo, esto se interpreta como la can-tidad que deben producir los proyectos en tal momento). Hay mmomentos.

Con base en las anteriores definiciones el problema general de racionamien-to del capital es:

Encuentre los valores de Xl, X2, X3, ... , Xn, tales que maximicen la suma:

y que simultanearnente cum plan con todas las restricciones siguientes:

allX1 + al2X2 + al3X3 + + alnXn < Ql

a21Xl + a22X2 + a23X3+ + a2nXn < Q2

a3lX1 + a32X2 + a33X3 + + a3nXn < Q3

amlX1 + am2X2 + am3X3+ + amnXn < Qm

X; >O(i= 1,2, ,n)

Cualquier problema de racionamiento de capital se puede estructurar alcolocar en la forrnulacion anterior, los valores de los parametres del proble-ma especifico.

11.7 Algunas situaciones especiales de escogenciaentre proyectos interrelacionados

1. Situacion en que adernas de haber limitacion de recursos, algunos proyec-tos son mutuamente exc1uyentes entre S1.

256 EvaJUilcion de Proyectos

Consideremos la situacion en la cual hay cuatro proyectos que com pi-ten por recurs os de inversion, de los cuales dos son mutuamente exclu-yentes:

Proyectos A B C D Dinerodispon.

Inversi6n inicial -10000 -20000 -15000 -12000 25000Inversi6n en 1 ana - 5000 + 10000 + 5000 - 7000 5000Producido en 2 afios +20000 + 15000 + 15000 + 10000 -15000Producido en 3 anos + 12000 + 20000 + 10000 + 20000 No hay res-

tricci6n.

Los proyectos B y D son mutuamente excluyentes.Para resolver el problema debemos calcular el VPN de cada proyecto

y plantear el siguiente problema de prograrnacion lineal entera:

que cumpla con las siguientes restricciones:

10000XA + 20000XB - 15 000 Xc + 12000XD $; 25000

5000XA + 10 OOOXB - 5 000 Xc + 7000XD $; 5000

20000XA + 15000XB + 15 000 Xc + 10000XD ~ 15000

XB + Xc $; 1

Xc = 0.1 XD = 0.1

Como las variables estan definidas para asumir el valor 0 cuando no seemprende el proyecto y el valor I cuando si se lleva a cabo, la restriccionXB + XD < 1 impide que se emprendan simultaneamente los proyectos By D, porque en tal eventualidad XB = 1, XD = 1 Y XB + XD = 2,10cual contravendria la citada restriccion.

2. Situacion en la cual ademas de existir limitaciones en los recursos hayproyectos que se deben emprender simultaneamente.


En el caso anterior si los proyectos Bye son complementarios, estoimplica que al emprender el uno tarnbien se debe llevar a cabo el otro; paraenfrentar esta situacion es necesario eliminar la restriccion

XB + Xc < 1

y sustituirla por la restriccion:

la cual establece que si Y, = O,XAdebeserigualacero,ysiXB = I,XAdebeser igual a 1.

11.8 La integracion de 10 planteado por lamicroeconomia y la proqramaclon matematlca

Cuando estudiamos el problema de optimizar el producido de una planta,nos encontramos con el principio microeconornico CM = 1M. Y cuandoexaminamos el problema combinatorio que genera la existencia de restric-ciones nos enfrentamos con un problema de programacion lineal.

Veamos en don de tiene cabida cad a enfoque mediante un ejemplo muysimple:

La compafiia CRIST AL CARROMOTORES que produce el SIMCARROenfrenta las siguientes funciones de demanda y costos mensuales:

CT = 10 + 20Q

IT = 40 Q _ .!.. Q22

+ CM

+ 1M 40 - Q

20

La CRISTAL maximiza sus utilidades cuando:

CM = 20 = 40 - Q = 1M

es decir, cuando Q* = 20. Para poder vender esta cantidad la CRISTALdebe fijar un precio de:

IT = pQ 40 Q - .!.. Q2 + p = 40 - .!.. Q2 2


1o sea p = 40 - "2 (20) = 30 + p* = 30

Las utilidades optimas resultan ser:

U» = 40 Q - ~ Q2 - 10 - 20Q2

20Q - ~ Q2 - 102

$190

Esto sefiala que la empresa debera producir 20 SIMCARROS por mes ycada uno 10 debe vender en $ 30.

Supongamos que para fabricar cada SIMCARRO requiere 100 horas-hombre de mano de obra y US$10 de materiales importados. Si la disponibili-dad de mana de obra es 1 500 horas-hombre por mes y la de d6lares es deUS$180, l,cuantos SIMCARROS debe fabricar ahora?

Primero que todo vemos que no puede fabricar 20 SIMCARROS porqueentonces gastaria 20 X 100 = 2000 horas-hombre que es superior a la canti-dad total disponible y consumiria US$ 10 X 20 = US$ 200 que tarnbien ex-cede la disponibilidad de d61ares.

Matematicamente el problema es entonces:

Max. 20Q - .!.. Q2 - 102

sujeto a que se cumplan lassiguientes restricciones (s.a.): lOQ < 180

100Q < 1500

Q>O

donde las restricciones se reducen a:

o < Q < 15

EI problema es entonces

1 2Max. 20 Q - - Q - 102

s.a. o < Q < 15

t» escasez de capital 259

Este es un problema de programaci6n cuadratica, que se puede resolverpor la tecnica de los multiplicadores de Lagrange 0 por alguno de los algo-ritmos existentes para abordar esta c1ase de problemas.

En nuestro caso establecimos que el maximo valor de la funci6n objetivoocurre cuando Q = 20, y por esto la funci6n U( Q) es creciente hastaQ = 20, y en consecuencia la soluci6n del problema plante ado es:

Q* = 15 U* = 177.5

La situaci6n se complica y se convierte en un verdadero problema deprogramaci6n matematica cuando se puede fabricar otro tipo de vehiculo,digamos el DARTON, que tiene las siguientes caracteristicas de produccion:

CT 15 + 40 Q + CM = 40

IT 80 Q - Q2 + 1M = 80 - 2 Q

CM = 1M + 40 = 80 - 2 Q + Q* = 20

p Q = 60 Q - 2 Q2 + p = 80 - 2 Q

+ p* = 40

U = 80Q - Q2 - 15 - 40Q = 40Q - Q2 - 15 ; U = 385*

Si cad a DARTON requiere 140 horas-hombre y US$20 de materia1es im-portados, l.cuantas uuidades se deben fabricar?

El problema es:

Max. 40Q - Q2 - 15

s.a. 140 Q < 1500

20Q < 180

Q > 0

donde las restricciones se reducen a:

o <Q< 9

y el problema se convierte en:

Max. 40 Q - Q2 - 15

s.a. 0 < Q < 9


cuya solucion optima es:

Q* = 9 U* = 264

lQue ocurre si se pueden fabricar SIMCARROS y DARTONES? lCwin-tos se deben fabricar de cada tipo?

Si Xs = # de Simcarros y # de Dartones,

entonces el problema matematico resulta ser:

122Max. (20 Xs - - Xs - 10) + (40 Xd - Xd - 15)2

s.a. 100 Xs + 140 XD < 1500

10 Xs + 20 XD < 180

Xs, XD > 0

el cual es un problema de programacion cuadratica con costo fijo, que resultamas dificil de resolver.

PROBLEMAS

11.1 Ala consideracion de un importante inversionista se han puesto dos at-ternatlvas de inversi6n con los siguientes flujos de caja asociados:

Flujo de Caja Alternativa A Alternativa B

to - 5 - 15t, - 0.125 1t, + 4.875 + 84tlO +60.250 +232

donde las cifras presentadas son miles de d61ares y corresponden a ca-da unidad de inversi6n.

a) Si la tasa de interes de oportunidad es nula y s610 se dispone deUS$300 000 en el momento to. l,cuantas unidades de inversi6n de


cada alternativa se deben acometer, teniendo en cuenta que es po-sible emprender fracciones de tales unidades de inversion?

b) Si adernas de 10 planteado en a), solo se cuenta con US$15 000 en elmomento t.. icual es la inversion optima? Resuelva utilizando laproqrarnacion lineal.

(R: 24 unidades de A y 12 de B.)

c) Si la tasa de interes de oportunidad es del 30% anual, icomo variala inversion optima?

d) iExiste una tasa de interes de oportunidad positiva, para la cual lainversion optima indica un mismo nurnero de unidades de cada al-ternativa? Demuestre la existencia 0 inexistencia de tal tasa de inte-res y en caso positivo diga cual es ella.

e) iComo varia la decision optima cuando la disponibilidad de dineroen t2 aumenta a US$50 ODD?

f) Ante la existencia de estas posibilidades de inversion, icual es elvalor de oportunidad del dinero disponible en to Y t, para la situa-cion b)?

(R: US$ 7200 Y US$192 ODD,respectivamente.)

g) iQue significado tienen las cifras que constituyen la respuesta a laanterior pregunta? iCual es el valor de oportunidad del dinero dis-ponible en to y tl para la situacion planteada en la pregunta e)?

11.2 Josefina Ruiz ha recopilado la siguiente informacion en el mercadobursatil sobre un conjunto de acciones de bajo, mediano y alto riesgo:

Valor Dividendo Valorizaci6nAcci6n Riesgo anual

unitario anual%

1 Alto s 10 $ 2 202 Alto 12 3 183 Bajo 20 1 104 Mediano 8 2 55 Alto 13 3 226 Bajo 40 3 127 Bajo 30 3 108 Mediano 25 6 89 Alto 100 30 9

10 Mediano 70 14 7

Como Josefina desea maximizar el VPN de su portafolio de inversionempleando su tasa de interes de oportunidad del 26% anual, ella desea


establecer cuanto debe invertir en cada accion para alcanzarsu objetivo,teniendo en cuenta las siguientes consideraciones adicionales:

- el dividendo anual se recibe dentro de un ano, 10 mismo que lavalorizacion.

- no desea invertir mas del 40% de su dinero en acciones pertenecien-tes a una misma categoria de riesgo, ni mas del 10% en una mismaaccion.

- en la actualidad dispone de $1.000.000 y por motivos de liquidez,necesita que el portafolio de inversion Ie produzca por 10 menos$ 200.000 de dividendos.

a) Formule el problema de proqrarnacion lineal que produce la soluci6noptima.

b) l,Como se ve afectada la anterior torrnulacion cuando se conoce queJosefina requiere obtener una valorizacion anual de su portafilio quesea superior al 15%?

c) Formule el problema que Ie permita calcular a Josefina el valor deoportunidad de los dividendos que ella debe recibir dentro de un ano.Explique el significado precise de este valor de oportunidad.

11.3 a) Dibuje el gratico correspondiente al problema de proqrarnacion cua-dratlca inmediatamente anterior, con un valor de la funci6n objetivoigual a 200.

b) Determine graticamente cual es el volumen optirno de produccion deSINCARROS y DARTONES Y las utilidades maxirnas.

La evaluaclonde proyectos cuandono hay certidumbreplena 12Existen proyectos de inversion en los cuales es posible suponer que no hay niriesgo ni incertidumbre, sin que al hacerlo se incurra en un serio error. Porejemplo, si tomamos dinero en prestarno de un banco, es altamente probableque las cantidades que debemos reembolsar y las fechas en que debemoscancelar estos abonos, resulten ser las mismas que pactamos con el banco alnegociar el credito. Esto acontece porque una alteracion de estas condicionessolo podria provenir de cambios sustanciales en eI entorno, los cuales nosuelen ocurrir durante la corta vida de un prestamo de este tipo, a menos quedesde un comienzo se hayan detectado nubarrones en el horizonte politico yeconomico. De este modo, si la situacion es normal, el desarrollo del prestamobancario, con mucha seguridad, sera igual al previsto inicialmente. Hablamosentonces de un proyecto cierto, en el cual todos sus componentes se comportancomo constantes.

Pero existen tambien proyectos de inversion en los cuales los flujos futurosde dinero y sus fechas de ocurrencia son inciertos y por ende, no se puedeignorar la presencia del riesgo 0 incertidumbre, en la adopcion de la respectivadecision. Los componentes inciertos 0 riesgos se comportan entonces comovariables de azar, cuyas distribuciones de probabilidad podemos conocer(caso en el cual hablamos de riesgo) 0 ignorar (caso en el cual hablamos deincertidumbre). Cuando afirmamos que conocemos la distribucion de proba-bilidad, queremos decir que el tipo de distribucion y los parametres que ladefinen, son de nuestro conocimiento.


12.1 Analisis cuando no hay certidumbre

Analicemos a continuaci6n una secuencia de ejemplos que ilustran la naturale-za de los problemas que surgen y los tipos de analisis que se requieren cuandose carece de certidumbre.

12.1.1 EI analisls de sensibilidad

Comenzamos esta secuencia de ejemplos con una ilustraci6n tomada de la vi-da real, con cifras de mediados de 1985. El ejemplo muestra el analisis consis-tente en examinar las variaciones del resultado de interes, al modificar las va-riables inciertas que se han identificado como estrategicamente significativas.A esta modalidad de analisis se la conoce con el nombre de Andlisis de sensibi-lidad.

En los Llanos Orientales colombianos se considera la plantaci6n de 1 000hectareas de palma africana en dos eta pas de 500 ha cada una de ellas, con undesfase de un afio entre siembra y siembra. Para financiar el proyecto seobtienen creditos del Fondo Financiero Agropecuario (Ley Sa.) por $67.5millones para cada etapa de 500 ha y se negocia la tierra con un esquema depagos semestrales durante dos afios.

Como los dineros provenientes del credito se reciben en su totalidad alcomienzo y se consumen gradualmente a 10 largo del tiempo, se hace necesarioreinvertir 10s sobrantes temporales de manera segura y liquida. Por esta raz6n,se supone que el rendimiento que se puede extraer a estos dineros es de s6lo el30% anual.

Luego de hacer un laborioso flujo de fondos en el cual se incorpora tanto elimpacto del credito como de la reinversi6n de 10s sobrantes, se llega alsiguiente resumen que muestra el panorama de ingresos y egresos que enfrentael inversionista, quien inicialmente se muestra muy preocupado por establecercual es la rentabilidad de esta inversi6n.

Ai'ioFlujo

AnoFlujo

Ai'ioFlujo

- ($millones) ($ millones) ($ millones)

0 -25.00 7 88.00 13 248.001 -19.53 8 36.00 14 320.002 -16.25 9 295.00 15-22 415.003 0 10 305.004 0 11 300.005-6 0 12 293.00

l

Evaluacion sin certidumbre 265

Al computar la TIR del proyecto, el inversionista establece que esta es iguala 44.02% anual, la cual resulta altamente atractiva, sobre todo cuando ad-vierte que el flujo de fondos esta conformado por partidas con valor referido almomento inicial, es decir, que no se ha incorporado el efecto de la inflacion.

Si incluyera una inflacion del 12% semestral, es decir del 25.44% anual, laTIR anual seria entonces = 0.4402 + 0.2544 + 0.4402 X 0.2544 = 0.8065,que despues de inflacion, continuaria siendo indudablemente alta.

Como en la estructuracion del flujo de fondos la reinversion de los sobrantesdel credito de ley Sa. se hizo con una tasa del 30% anual, esto implica el uso deuna tasa de interes con inflacion, que torna inconsistente el flujo calculado. Poresta razon nuestro amigo debe repetir ellaborioso calculo del flujo de fondos,afectando explicitamente con la inflacion a todas aquellas partidas que sufresu impacto. co-.::-

Como tarnbien existen dudas sobre el nivel de produccion esperado de la~plantacion, el recalculo del flujo de fondos se somete a un andlisis de sensibi-.-.lidad, variando simultanearnente el indice de produccion y la tasa dinflacion.

Cuando la inflacion semestral es del 12% y el indice de produccion es 0.8 (10cual significa que la produccion es solo el 80% de la estimada originalmente)se llega al siguiente flujo de fondos, el cual tiene una TIR anual igual al 71.03%, .'que tarnbien es muy alta, a pesar de la desfavorable suposicion respecto al in-dice de produccion, En este punto el inversionista pod ria darse por satisfe- 0cho y proceder a emprender el proyecto con gran alegria y optimismo.

Ano FlujoAno

Flujo Alio Flujo($ millones) ($ millones) ($ millones)

0 -25.00 11 2390 17 111091 -19.53 12 3258 18 139352 -16.25 13 4274 19 174803-8 0 14 5427 20 219279 904.00 15 7061 21 22029

10 1813.00 16 8856 22 25624

--'Z CO

< CO0V")0.::loW

r'

Sin embargo, como es un hombre cuidadoso, se interesa por examinar lossaldos con los cuales termina cada semestre para verificar como se comporta elproyecto ante los requerimientos de fondos, es decir, ante su liquidez. AIhacerlo advierte que en un buen numero de ellos el signa no solo es negativo,sino que la magnitud del saldo rojo es apreciable, tal como se muestra acontinuacion.


Semestre Saldo al terminar Semestre Saldo al terminarel semestre el semestre

5 $ 43.72 millones 10 -$348.36 millones6 -22.10 11 -312.767 -104.35 12 -258.548 -212.94 13 1.069 -274.02 14 -312.71

Lo anterior le revela que el resultado de in teres critico no se refiere a larentabilidad del proyecto, sino a su falta de liquidez durante periodos prolon-gados. Par este motivo precisa ampliar el analisis de sensibilidad para cubrir

Inf. 1.12 Prod. 8

400 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

300 •••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •••

200 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

~ 100c:o.s'"o'"Q)Q.

<8- -100

- 200 ••••••••••••••••••••••••

-400 ••••••••••••••••••••••••••••.••••••••••••••••••••••••••••••••

Jun. Dic. Jun. Dic. Jun. Dic. Jun. Dic.1988 1988 1989 1989 1990 1990 1991 1991

Semestre

Gnifico 12.1 Sensibilidad de los saldos con los costos

% Costo

• Cost. 7

<> Cost. 8

• Cost. 9

o Cost. 1


Inf. 1.15 Prod. Prod. 8400 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

E

300 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

200 .........•.......•.......••...•.•....•....•..•.•.

~ 100c~

U>oU>(J)

Q. -100~

-200

-300 ••••••••••••••••••••••••

-500 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Jun. Die. Jun. Die. Jun. Die. Jun. Die.1988 1988 1989 1989 1990 1990 1991 1991

Semestre

Grafico 12.2 Sensibilidad de los saldos can los costas

% Costo

Cost. 7

Cost. 8

• Cost. 9

o Cost. 1

una gama amplia de combinaciones de las variables inciertas criticas (inflacione indice de produccion), alas cuales decide tambien afiadir el indice de costos.

Los graficos 12.1 y 12.2 constituyen un ejemplo de este analisis, dondese aprecia que para un indice de produccion fijo (0.8), el indice de cost oses mucho mas sensible que la inflacion. Ademas, de mantenerse el costaestimado inicial (1.0) para cualquiera de 10sniveles de inflacion considerados(12%, 15% semestraI), eI fndice de produccion 0.8 IIeva a resultados catastr6fi-cos en terminos de liquidez.

Pasamos ahora a ilusrrar otras maneras de tratar la incertidumbre y elriesgo, pertenecientes al terreno de los llamados enfoques analiticos.


12.1.2 Un negoclo de ganaderia con certldumbre plena

Consciente del buen resultado financiero que produce la inversion en el ga-nado de engorde, Nepomuceno Giron, importante ganadero de los LlanosOrientales colombian os, se encuentra estudiando una posible operacion deceba de novillos. Para tal efecto, emprende un analisis de 10que acontece con elengorde de un animal, que de acuerdo con su gran experiencia toma dos afios yque con los precios actuales, requiere un desembolso de $10 000 para adquirirla res flaca. Esta, una vez cebada, se puede vender en $ 20 000.

Como la tasa de interes de oportunidad de Nepomuceno es del 40% anualpara este tipo de negocios, su analisis financiero en las condiciones de certi-dumbre plena es

VPN(0.40) = -$10 000 + (1/1.4)2 20000 = $204

10 cual muestra que el negocio es rentable.

12.1.3 EI proyecto de Nepomuceno Gir6ncuando no existe plena certidumbre

Luego de haber adelantado el anterior analisis, nuestro amigo ganaderoreflexiona un poco y piensa que a pesar de su experiencia no tiene plenacertidumbre ni sobre el valor del ganado flaco, ni sobre el valor de las resesgordas. Entre los datos mas ciertos se encuentra el precio del ganado flaco en elmomento, que oscila entre $ 8 500 y $ 11 000 por cabeza. La cifra mas inciertaes el precio de venta de las reses gordas, porque este es una variable cuyo valordepende de una multiplicidad de factores, entre los cuales se destacan lamagnitud de la oferta de ganado cebado en el momento de la venta, el est adoen que se encuentran las vias que unen al Llano con Bogota y el nivel general deprecios del pais, en ese entonces. Apoyandose en su larga experiencia y enalgunas indicaciones sobre el posible nivel futuro de precios que le hansuministrado algunos amigos economistas, Nepomuceno concluye que elprecio de venta futuro de cada novillo gordo, en pesos corrientes, es una cifraque oscila entre $17000 y $ 23000.

La primera dificultad que enfren ta ahora nuestro amigo es la de establecer elprecio de adquisicion del ganado flaco, que oscila entre $ 8 500 y $ 11 000.Como el rango de variacion de estas cantidades no es tan grande, Nepomucenono afronta una situacion tan diflcil, aunque debe decidir si adopta unaposicion pesimista, en cuyo caso utilizaria la cifra de $ 11 000, un criteriaoptimista que 10 llevaria a utilizar la cifra de $ 8 500,0 un criterio promedio, que10 animaria a emplear la cifra promedio de $ 9750.

Evaluacidn sin certidumbre 269

12.2 Las posiciones frente al riesgo

Los criterios anteriores ilustran los extremos dentro de los cuales las personastienden a tomar sus decisiones financieras, cuando aparecen elementos incier-tos. Algunos, muy cautelosos y pesimistas, prefieren adelantar todo su analisiscon el supuesto de que los peores resultados son los que inexorablemente van aocurrir, motivo por el cual esta clase de decisor optaria por utilizar, en elejemplo en consideracion, el precio mas desfavorable para la compra delganado, que es $ 11 000.

En el otro extremo aparecen aquellos individuos que son francamenteoptimistas, que gozan corriendo riesgos y se comportan como si los mejoresresultados siem pre fueran a ocurrir. Para ellos $8 500 seria indudablemente elprecio que se deberia emplear para valorar la compra del ganado flaco.

Entre estas dos actitudes aparece la que muestra la mayoria de las personas,que no son ni pesimistas extremos, ni optimist as declarados; son individuosque sopesan los buenos con los mal os resultados y tienden, por esta razon, autilizar promedios para adoptar sus decisiones. Esta c1ase de persona em-plearia una cifra entre $ 8 500 y $ 11 000 para valorar el costa de adquisicion deun novillo flaco.

Estudiemos ahora 10 que acontece cuando se adelanta el analisis siguien-do cada uno de los tres criterios mencionados, empezando con el de la per-sona completamente pesimista.

Si Nepomuceno Giron fuera un pesimista rotundo, natural mente esperariaque el precio de compra fuera el mas alto y el de venta el mas bajo. En estascondiciones su estimativo para el valor de compra seria $11000 y el de ventade las reses gordas, de solo $ 17 000.

Las anteriores cifras conforman el proyecto de inversion del grafico 12.3

$17000

o2 anos

$11000

Grafico 12.3


donde se puede calcular muy facilmente que, en las condiciones pesimistas, elVPN (0.40) es igual a - $ 2326.

En contraste, si Nepomuceno enfrenta las decisiones financieras con unsentimiento francamente optimista, el proyecto de engorde de ganado, ante susojos aparece como el del grafico 12.4.

$23000

o2 alios

$8500

Grafico 12.4

donde las cifras registradas provienen de suponer que el precio de compra es elmas bajo y el de venta, el mas alto. El VPN (0.40) en las circunstanciasoptimistas resulta ser + $ 3 234.

Finalmente, si nuestro amigo llanero adopta la actitud de promediar aritrne-ticamente los posibles resultados, el proyecto aparece con la estructura delgrafico 12.5, que arroja un VPN (0.40) igual a + $454.

En este momenta se complica la decisi6n para quien no acoja estrictamentealguno de los tres criterios presentados, porque el enfoque pesimista indica

$20000

o2 alios

$9750

Grafico 12.5


que el proyecto no se debe emprender, y los otros dos criterios seiialan que si esconveniente realizarlo.

12.3 La evaluaci6n de proyectosen condiciones de riesgo

Anotabamos en la parte introductoria de este capitulo que la carencia decertidumbre tiene dos grandes escenarios: el del riesgo y el de la incertidumbre.El primero se relaciona con aqueUas situaciones en las cuales no se conoce elvalor exacto que tienen ciertos elementos del proyecto, pero si la distribucionde probabilidades de la cual provienen los valores que ellos muestran. Elescenario de la incertidumbre es mas vago, ya que alli se ignoran las caracteris-ticas del proceso probabilistico que da al valor de los elementos inciertos.

12.3.1 EI engorde de ganado cuando hay rlesgo

El proyecto de Nepomuceno Giron se convierte en un problema de decisionesde inversion en condiciones de riesgo, cuando averigua que-la partida queaparece en el momenta cero, Qo (precio de compra del ganado flaco) y la queaparece en el momento dos, Q2 (precio de venta del ganado gordo), sonvariables de azar con las siguientes distribuciones de probabilidad:

00 p(Oo) 02 P(02)

-$8500 1/8 + $17 000 1/4-10000 1/2 19000 1/8-11000 3/8 20000 1/4

21000 1/423000 1/8

Se debe observar que la informacion anterior define el proceso que generalos montos especificos que asumen las variables Qo y Q2, para cada realiza-cion del proyecto. Si este se repite, los val ores que apareceran en las ocasionesiguientes probablemente seran diferentes a los observados en la primera,

aunque el proceso generador de los mismos permanezca inmodificado.


12.3.2 EI criterio del valor esperado

En una situacion con riesgo como la anterior, surge una nueva posicion ante latoma de decisiones que caracteriza a quienes emplean el valor esperado de lasvariables de azar que se deben manejar. Esta posicion es similar a la adoptadapor el decisor que utiliza los valores promedios, con la diferencia que en estecaso, el promedio se calcula sopesando cada uno de los posibles valores de lavariable de azar, con su probabilidad de ocurrencia.

Siguiendo este tren de pensamiento, el valor que se incluiria para Qo seria suvalor esperado, que se calcula asi:

E[ Qo] = - 8500(1/8) - 10000(1/2) - 11000(3/8) = -$10 187.50

y, analogamente, el valor asignado a Q2 seria:

E[Q2] = 17000(1/4) + 19000(1/8) + 20000(1/4) + 21000(1/4)

+ 23000(1/8) = $19750

En estas circunstancias, ante los ojos del seguidor del valor esperado, elproyecto apareceria estructurado tal como 10 muestra el grafico 12.6, arro-jando un valor presente neto para i = 0.40, igual a - $110.97, cuya negati-vidad sefiala la inconveniencia de adelantar la inversion.

$19750

o2 arias

$10187.50

Gratico 12.6

Los decisores que se guian exclusivamente por el criterio del valoresperado,proceden implicitamente como si este indicador fuera la unica caracteristica dela variable de azar que se debe tener en cuenta. La realidad es que el valoresperado constituye solo una de las mediciones relevantes que se hacen en


torno a las variables de azar, siendo otra muy importante, la magnitud de ladispersion de los resultados que ellas pueden asumir, medida a traves de ladesviacion estdndar 0 de la varianza.

Es indudable que en el proceso de decidir acerca de inversiones cuando hayriesgo, interesa no solo examinar los valores centrales de los elementos incier-tos (valor esperado), sino tambien los montos referentes ala desviacion queexiste respecto alas tendencias centrales (desviacion estandar). Noes 10 mismouna variable de azar con una baja dispersion (cuando la dispersion es nula, lavariable se convierte en una constante) que otra con una amplia variabilidad.Un ejecutivo seguramente preferira una inversion que muestra cierta TIR conuna varianza reducida, que otra con la misma TIR pero con una varianzamayor.

La relacion que existe entre la desviacion estandar (a) y la varianza (VAR) essimplemente que la primera es igual a la raiz cuadrada de la segunda. Ladesviacion estandar de la variable Q, aQ, se define como

donde Q» es el k-valor que puede asumir la variable Q.En la situacion que venimos analizando, la desviacion estandar del precio

de adquisicion del ganado flaco, Qo, es:

a2Qo = [{QOl - E[Qo]}P(QOl) + {Q02 - E[QO]}P(Q02) +{Q03 - E[Qo]} p( Q03) J2

= [{-8 500 - (-10 187.5)}118 + {-1O 000 - (-10 187.5)}112 +{-ll 000 -(-10 187.5)}3/8]2

oo« = $788.09

y la desviacion estandar del precio de venta de las reses cebadas es:

aQ2 = $1920.29

Las cifras anteriores muestran que la dispersion de los valores que puedeasumir el precio del ganado gordo es bastante mayor que la variabilidadcorrespondiente al precio del ganado flaco: (aQ2 = $1920.29 vs. o Q« =

788.09).


12.3.3 EI valor presente neto tratadocomo una variable de azar

Cuando examinamos el concepto de rentabilidad en el capitulo 4, sefialamosque el VPN de un proyecto en terrninos generales, es una sumatoria de lasiguiente naturaleza

VPN(i) ~ [11(1 + i)]j a,j

donde Qj es el flujo de caja que aparece en el momento j y [11(1 + »r es elfactor de descuento de Qj, cuando i es la tasa de interes.

Cuando las partidas que conforman el proyecto no son constantes sino va-riables de azar, nos encontramos con que el VPN es una combinacion lineal deun conjunto de variables de azar, de la siguiente naturaleza:

donde las Q son variables de azar y las C son coeficientes, representadospor 10s factores de descuento. Para un determinado valor de i, los factores dedescuento son un simple numero, es decir, una constante.

En estas condiciones, el VPN tambien es una variable de azar, cuyo cornpor-tamiento depende de las caracteristicas de las distribuciones de las Q y de lainterrelacion que ellas guardan entre si. .

Dos variables son independientes cuando el valor asumido por una de ellasno depende del valor que muestra la otra, y viceversa. Por ejemplo, Qo Y Q2son independientes si el precio del ganado flaco no afecta el precio del ganadogordo dentro de dos afios, y viceversa. En este caso, la probabilidad deobservar el resultado Qo = -$8500 Y Q2 = $21000 es simplemente iguala multiplicar la probabilidad de obtener Qo = -$8 500 por la probabilidadde obtener Q 2 = $ 21 000, 10 cual expresado en terrninos generales es: p [Q 0 yQ2] = p[QO]P[Q2]. Si las variables son dependientes 10 anterior no escierto.

En la situacion con riesgo que enfrenta Nepomuceno Giron, el VPN(0.40)tiene la distribuci6n de probabilidades que aparece en la tabla 12.1, cuandoQo y Q2 son variables independientes. El VPN(0.40) que se registra en dichatabla, es el que resulta cuando se hacen los calculos respectivos con la pareja devalores para Qo y Q2 que aparecen en cada fila; este valor presente neto tieneuna probabilidad de ocurrencia igual a la que muestra la pareja de valores dela fila para Qo y Q2.


Tabla 12.1 Distribucion de probabilidades del VPN cuandoi = 0.40

Qo Q2 p[Qo Y Q,J = p[QoJp[Q,J VPN(0.40)

- 8500 17000 (1/8) (1/4) = 1/32 173.46- 8500 19000 (1/8)(1/8) = 1/64 1 193.88- 8500 20000 (1/8) (1/4) = 1/32 1704.08- 8500 21000 (1/8)(1/4) = 1/32 2214.28- 8500 23000 (1/8) (1/8) = 1/64 3234.69-10000 17000 (1/2) (1/4) = 1/8 -1326.53-10000 19000 (1/2)(1/8) = 1/16 - 306.12-10000 20000 (1/2) (1/4) = 1/8 204.08-10000 21000 (1/2) (1/4) = 1/8 714.28-10000 23000 (1/2) (1/8) = 1/16 1734.69-11000 17000 (3/8) (1/4) = 3/32 -2326.53-11000 19000 (3/8) (1/8) = 3/64 -1306.12-11000 20000 (3/8)(1/4) = 3/32 - 795.92-11000 21000 (3/8) (1/4) = 3/32 - 285.72-11000 23000 (3/8)(1/8) = 3/64 734.69

Por ejemplo, cuando Qo es igual a -$10 000 y Q2 es igual a $21000,el VPN (0.40) resulta igual a $714.28. La probabilidad de ocurrencia deQo = -10 000 y Q2 = 21000 es igual a p[Qo = -10000] P[Q2 =21000] =(112)(114) = 118, cifra que tambien representa la probabilidad que tiene elVPN (0.40) de asumir el valor $714.28.

Conociendo la distribucion de probabilidades del VPN(0.40), es posiblebacer afirmaciones de contenido probabilista, de gran interes. Una de lasinquietudes del decisor es la de saber cual es el valor esperado del valorpresente neto para poder adoptar su determinaci6n. Sopesando todos losvalores que puede asumir el valor presente neto con sus respectivas probabili-dades de ocurrencia, obtenemos su valor esperado:

E[VPN(0.40)] = 173.46(1132)+ 1193.88(1164)+ 1 704.08(1132)+ ... +

734.69 (3/64)

= -110.97

que se hubiera podido ca1cular mas facilmente apoyandonos en la siguienterelaci6n que cumplen los valores esperados del conjunto de variables inde-pendientes Xl, X2, X3, ... , Xn:


Si Y = CIXI + C2X2+ C3X3+ ...+ e-x; y las c's con constantes, entonceses cierto que E[y] = cIE[xt] + c2E[X2] + c3E[X3] + ...+ cnE[xn]. Ennuestro ejemplo la ecuacion que se desprende de la anterior relacion es:

E[VPN(0.40)] = (1) E[Qo] + (1/1.4)2 E[Q2] = -10 187.50 + (0.51) 19750

= -$110.97

10 cual indica que al incorporar explicitamente toda la informacion probabilis-ta, el proyecto no es aconsejable.

Este mismo resultado 10 habiamos obtenido antes de calcular la distribu-cion de probabilidades del valor presente neto, pero 10 novedoso es que ahorapodemos abordar preguntas del siguiente tipo: l,cual es la probabilidad quetiene el proyecto de resultar exitoso? i,Cual es su probabilidad de producir una"prima" superior a $ 2 OOO?La primera pregunta se relaciona con establecer laprobabilidad de obtener un VPN(0.40) > 0, la cual, utilizando la informa-cion consignada en la tabla 12.1, es:

p[VPN(OAO) > 0] = p[VPN(0.40) = 173.46] + p[VPN(0.40) = 1193.88] +

p[VPN(0.40) = 1 704.08] + p [VPN (0040) = 2 214.28]

+ p[VPN(0.40) = 3234.69] + p[VPN(OAO) = 204.08]

+ p[VPN(0.40) =714.28]+ p [VPN (0.40) = 1 743.69]

+ p[VPN(0.40) = 734.69]

= 1/32 + 1/64 + 1/32 + 1/32 + 1/64 + 1/8 + 1/8 + 1/16

+ 3/64 = 31/64

= 0048

La probabilidad resultante es indudablemente muy baja y para muchosserviria como indicacion de la inconveniencia de emprender este proyecto.

La segunda pregunta se responde asi:

p[VPN(0.40) > 2000] = p[VPN(0.40) = 2214.28] + p[VPN(0.40) = 3234.59]

= 1/32 + 1/64 = 3/64

= 0.047

que tarnbien muestra la considerable improbabilidad de obtener los resulta-dos altamente exitosos inherentes allogro de un VPN superior a $2000.


12.3.4 Decisiones con riesgo que utilizanla distribuci6n normal *

El profesor Frederick S. Hillier de la Universidad de Stanford en Californiaaborda el tema de la evaluacion de proyectos con riesgo de una manerageneralizada, refiriendolo fundamentalmente al caso en el cuallas variables deazar pueden asumir valores continuos

Hillier propone un proyecto de inversion en el cual 10s diferentes flujosde fondos (las Q) tienen una distribucion normal de probabilidades, de ma-nera tal que Qj esta distribuido normalmente con media J.Lj y desvia-cion estandar OJ siendo ambos parametres conocidos.

Graficamente esto quiere decir que el proyecto en lugar de tener la estructu-ra cierta del grafico 12.7, muestra el tipo de riesgo del grafico 12.8, que se ca-

00 0, 02 03 tv OnL~ ~IL_ ~IL_ ~I_____ ~------~In periodos

Grafico 12.7

a

o~----~~~--~---+----------~--j nperiodos

Grafico 12.8

• Esta secci6n requiere alguna familiaridad del lector con el manejo de la distribucion normal deprobabi/idades.


racteriza por la presencia de distribuciones normales de probabilidad, enlugar de los valores constantes de los flujos de caja.

Aunque la suposici6n de normalidad respecto a la distribuci6n de probabili-dades de las Q no se cumple con frecuencia, la experiencia muestra que latendencia general de las variables que conforman los ingresos y egresos de unproyecto de inversi6n es la de poseer una distribuci6n simetrica yen forma decampana, similar a la normal. Pero 10 mas importante es que el VPN por seruna combinaci6n lineal de variables de azar, tiende a ser una nueva variablealeatoria con distribuci6n normal, a medida que el numero de Q aumenta,independientemente de la distribuci6n de probabilidades de las Q (Teoremadel limite central). Esto quiere decir que entre mas periodos tenga el proyecto,mayor sera la normalidad del VPN sin que tenga tanta importancia ladistribuci6n de los ingresos y egresos que 10 producen.

Lo anterior debe precisarse sefialando que si las Q son variables aleatoriasmutuamente independientes con medias y varianzas finitas, 0 identicarnentedistribuidas 0 perfectamente correlacionadas, entonces y de acuerdo con elTeorema de Linderberg, el teorema del limite central se cumple y el VPN tieneuna distribucion aproximadamente normal, siempre y cuando el numero deperiodos sea grande. Este es un resultado indudablemente poderoso y util.

Las suposiciones sobre la inten;elaci6n probabilista que guardan las Q en-tre sf se ubican en dos extremos: 1) que son mutuamente independientes y 2)que estan completamente correlacionadas, 10 cual quiere decir que si algoafecta al flujo de caja de un periodo, esta misma circunstancia afectara losflujos de caja de los demas periodos en forma enterarnente similar. En terrni-nos maternaticos, existe plena correlaci6n si, por ejemplo, cuando el flujoasociado con el periodo 7 muestra el valor Q7 = f.L7 + 80.307, el flujo decualquier otro periodo j muestra el valor f.Lj + 80.3 OJ. Entre estas dossituaciones extremas se ubican aquellos casos en los cuales algunas de las Qestan correlacionadas y otros son independientes entre si.

f.LvPN(i) = ~ f.Lj/(1 + i)ij

12.3.5 La distribuci6n del VPN cuando las Qson independientes

Cuando los flujos de fondos son independientes entre si, el VPN tiene unadistribuci6n aproximadamente normal con media J.lvPN igual a:

donde f.Lj es la media del flujo que aparece en el periodo j y que hemos ve-nido llamando Qj; y con desviaci6n estandar OVPN igual a:

Evaluacion sin certidumbre 2 9

02

VPN = L [0;1(1 + njr}

donde OJ es la desviacion estandar del flujo Qj.Si en el caso de Nepomuceno Giron, las variables Qo y Q2 en lugar de pre-

sentar las distribuciones discretas anteriormente anotadas, se comportarancomo distribuciones normales con las siguientes caracteristicas:

Qo ~ N{J.Lo = -10 000 ; 00 = 800}

Q2 ~ N{J.L2 = 20000 ; 02 = 1900}

de acuerdo con 10 expuesto, el VPN calculado con una tasa de descuento del40%, tendria la siguiente distribucion normal de probabilidades:

VPN(0.40) ~ N{J.LvPN(0.40) = 204.08 ; J.LvPN(0.40) = 1256.87}

J.LVPN(0.40) = -10 000(1) + 20000(111.4)2 = 204.08donde:

Y 02 VPN(0.40) = 640000(1)1 + 3610 000(111.4)4 = 1579712.5

OVPN(0.40) = 1256.87

En estas nuevas circunstancias vemos que por ser la media del VPN igual a$ 204.08, el proyecto es atractivo desde el punto de vista del criterio del valoresperado. Pero son muchas las aseveraciones nuevas que ahora podemoshacer. Por ejemplo, la respuesta alas dos preguntas anteriores referentes a laprobabilidad de exito del proyecto y a la probabilidad de obtener una primasuperior a $2000, ahora se responden asi:

La primera:

p[VPN(0.40) > OJ = p[z > (0 - 204.08)/1256.87J = p[z > -0.1623)

= 1 - 0.4364 = 0.5636

donde z es la variable asociada con la distribucion normal estandarizada quese encuentra tabulada en el apendice 2 (ver pagina 297) y que guard a la si-guiente relacion con cualquier variable Q que tenga una distribucion normalcon media J.LQ y desviacion estandar 0 Q :

z = (Q - J.LQ)/o Q

p[ -1052.77 < VPN(0.40) < 1460.95] = 0.68

p[-2309.66 < VPN(0.40) < 2717.82] = 0.95 y

p[ - 3566.53 < VPN (0.40) < 3974.69] = 0.997


y la segunda pregunta tiene esta respuesta:

p[VPN(OAO) > 2000] = p[z > (2 000 - 204.08)/1 256.87] =p[z > 14288]

= 1 - 0.9236 = 0.0764

Las dos probabilidades encontradas afiaden informacion muy valiosa parala toma de la decision, porque si bien es cierto que el proyecto es convenientedesde el punto de vista escueto del valor esperado por ser este positivo(+$204.08), tambien 10 es el hecho de que la probabilidad de obtener un VPNsuperior a cero es solo un poco mas del cincuenta y seis por ciento, 10 cualimplica que existe casi un cuarenta y cuatro por ciento de probabilidad defracasar. Ademas, la probabilidad de obtener un rotundo exito (si definimosque un exito rotundo ocurre cuando el valor de la "prima" es superior a$2000) es solo de un 7.64%.

Podriamos tarnbien calcular, con facilidad, los interval os de confiabilidadpara diferentes niveles, como por ejemplo 68%, 95% y 99.7%, que en el casode la distribucion normal son:

p[J.LQ - 1 aQ < Q < J.LQ + 1 aQ] = 0.68

p[J.LQ - 2aQ < Q < J.LQ + 2aQ] = 0.95

p[J.LQ - 3aQ < Q < J.LQ + 3aQ] = 0.997

y que en el caso especifico del VPN(0.40) que venimos examinando, resultanser

12.3.6 La distribuci6n del VPN cuando las Qestan completamente correlacionadas

Estos intervalos se deben interpretar como la probabilidad que tiene el in-tervalo de inc1uir al VPN (0040), en una ejecucion particular del proyecto. Porejemplo, existe una probabilidad del 95% de que el VPN (0040) delproyecto enuna realizacio n especifica del mismo, este comprendido entre -2309.66 Y2717.82.

Cuando los flujos de caja estan plenamente correlacionados entre si, el VPNtiene una distribucion normal de probabilidades con las siguientes caracte-risticas:


y

f.l VPN (i) = ~ f.l)/(1 + i)JJ

aVPN(i) = I a;l(l + i)JJ

Debe advertirse que la media del VPN es identica a la que se obtiene cuandolos flujos de caja son independientes entre si. No acontece 10 mismo con ladesviacio n estandar que es diferente en los dos casos.

Retornando al ejemplo del engorde de ganado, si se utilizan los mismosdatos de la seccion anterior pero se modifica la interrelacion entre Qoy Q 2, en el sentido de que ahora cualquier variacion en el precio del ganadoflaco tiene una repercusion directamente proporcional en el precio neto de lasreses gordas, entonces se advierte que el VPN (0.40) tiene la siguiente distri-bucion normal:

VPN ~ N{f.lVPN(O.40) = 204.08 aVPN(O.40) = 1769}

habiendose obtenido la desviacion estandar mediante el compute que sigue,el cual se apoya en la formula presentada anteriormente:

aVPN(0.40) = ao/1.4 + a2/1.42 = 800 + 1900/1.96 = 1 769

Se debe resaltar que la magnitud de la desviacion estandar del VPN es ma-yor cuando las Q estan plenamente correlacionadas, que cuando son mutua--mente independientes.

En las nuevas circunstancias de plena correlacion, la probabilidad de obte-ner un resultado exitoso al emprender el proyecto es:

p[VPN(0.40) > 0] = p[z > (0 - 204.08)/1.769] = p[z > -0.1153] = 0.5458

probabilidad que resulta inferior a la que se obtuvo anteriormente, en condi-ciones de independencia entre los flujos de fondos (0.5458 vs. 0.5636).

12.3.7 La distribuci6n del VPN cuando las Qestan parcial mente correlacionadas

Para analizar el caso de la correlacion parcial, se requiere descomponer cadaQ en un componente independiente y en otras partes plenamente correla-cionadas con sus contrapartes correspondientes en las otras Q. Los compo-nentes que resultan de la fragmentacion de cada Q, deben ser mutua mente


independientes. Es decir, el flujo que aparece en el periodo j, se debe poderfragmentar asi:

Qj = q j + rj + Sj + fj + ...

donde las nuevas variables qj, rj, Sj, Ij,"" deben ser mutuamente indepen-dientes entre si y estar distribuidas normalmente. Ademas, con excepcion de qj,deben guardar una correlacion perfecta con las contrapartes que aparecencomo resultado de la fragmentacion de los flujos correspondientes a los otrosperiodos. En otras palabras, el conjunto de variables r», r" rs, r3,'" r; debeestar plenamente correlacionado entre si, 10 mismo que los conjuntos So, SI,

S2, S3,"" s; Y to, tl, f2' 13, ... , In·En estas condiciones la distribucion normal del VPN tiene los siguientes

parametres:

J..LVPN(i) = L J..LQj/(1 + ii = L (J..Lqj + J..Lrj + J..Lsj+ a1j + ...)/(1 + i/j j

2a VPN(i)

Para ilustrar numericamente este caso, supongamos que Nepomuceno Gi-ron identifica los siguientes componentes en la conformacion de los precios delganado, tanto flaco como gordo:

qo + r« + So

q: + rz + S2

(precio del ganado flaco en el periodo 0)

(precio del ganado gordo en el periodo 2)

donde q» y q: son independientes entre si; ro y rz estan plenamente co-rrelacionadas, 10 mismo que So 10 esta con S2. Son mutuamente independien-tes qo, r» y So, 10 cual tarnbien acontece con q2, r2 y S2.

Si las distribuciones normales de estas nuevas variables son

qo - N{J..Lqo = - 5000

q2 ~ N{J..Lq2 = 10000

r» - N{J..Lro =-8000

aqo 800}

aq2 1900}

aro = 200}


r2 ~ N{P,r2

= 6000 Ur2 = 400}

So ~ N{P,so = 3000 USo = 100}

S2 ~ N{p's = 4000 US2 = SOD}2

.1entonces, emp1eando las f6rmulas presentadas se obtiene:

P,VPN (OAO) = (- 5 000 - 8 000 + 3 000) + (10 000 + 6000 + 4000)/( 1.4)2

204.08

y a2VPN(OAO) = [20002 + (3000)2/(l.4iJ + [200 + 400/(1.4)2J2

+ -[100 + 500/(1.4)2J2

= 939713 + 163282 + 126097 1 229 092, de modo talque

aVPN(O.40) = 1 108.64

En consecuencia, podemos afirmar ahora que cuando existe corre1aci6nparcial entre el precio actual del ganado flaco y el precio futuro del ganadogordo, en las condiciones planteadas con anterioridad, el VPN (0.40) tiene lasiguiente distribuci6n normal de probabilidades:

VPN(0.40) ~ N{P,VPN(OAO) = 204.08 ; UVPN(OAO) = 1108.64}

En estas nuevas condiciones la probabilidad de emprender el proyecto yobtener resultados exitosos, es:

p[VPN(0.40) > OJ= p[z > (0 - 204.08)/1108.64J =p[z > -0.184J = 0.573

12.3.8 La distribuci6n de probabilidadesde la tasa interna de rentabilidad

El profesor Hillier prop one un metodo para identificar la distribuci6n deprobabilidades de la TIR, que es bastante ingenioso e inusitadamente sencillo.EI metodo se sustenta en advertir que

p[VPN(i) < OJ = p[TIR < iJ

Tabla 12.2 Distrfbucion acumulada deprobabilidades para elproyecto del engorde de ganado


10 cual es cierto porque observar que el valor presente para una determinadatasa de interes es inferior acero, equivale a observar que la tasa interna derentabilidad del proyecto es inferior a la tasa de interes que se utiliz6 en elcalculo del valor presente (ver el capitulo sobre rentabilidad).

El procedimiento de identificaci6n de la distribuci6n acumulada de proba-bilidades de la TIR se hace entonces evidente, ya que consiste simplemente enrepetir el calculo de la p[VPNU) < 0], para diferentes valores de i.

Bajo ciertas condiciones que no tienen validez general (cuando son cons-tantes para todos los valores de la tasa de interes, tanto la primera derivadade J.LVPN (i) respecto ai, como la desviaci6n estandar del VPN) se puede de-mostrar que la TIR y el VPN estan identicamente distribuidos, aunque conparametres distintos. Pero aun sin la demostraci6n anterior, el conocimientode la distribuci6n acumulada de probabilidades de la TIR es suficiente parahacer poderosas aseveraciones de tipo probabilista como las que presentare-mos a continuaci6n.

Si Nepomuceno Gir6n desea conocer cual es la probabilidad de obtener unarentabilidad superior al 40% en el negocio del engorde de ganado, debe antetodo identificar la distribuci6n acumulada de la TIR de este proyecto. Comoya se anot6, esto 10 puede hacer computando la p[VPN (i) < 0] para diferen-tes valores de la tasa de interes i, con 10 cual construye la tabla 12.2.

i p[VPN(i) < 0) = p[TIR < i)

0.10 00.20 0.00590.30 0.09180.35 0.22960.40 0.43640.45 0.65540.50 0.82890.60 0.97720.70 0.99850.80 1

.. -

La pregunta ya se habia respondido previamente, cuando se estableci6 quep [VPN (0.40) > 0] = 0.573. Pero ahora con la distribuci6n acumulada de


probabilidades estamos en capacidad de contestar inquietudes mas compli-cadas, tales como determinar los limites de la rentabilidad que se espera ob-tener con probabilidad 0.95.

pEL < TIR < U] = 0.95

Si hacemos L = 0.2 y U = 0.6, utilizando las cifras consignadas en latabla de la distribuci6n acumulada, obtenemos:

p[0.20 < TIR < 0.60] = 0.9713

Si en lugar de 0.20 asignamos a LeI valor 0.30, la situaci6n resultante es:

p[0.30 < TIR < 0.60] = 0.8854

10 cual nos indica que el valor de L debe estar entre 0.20 y 0.30, acercandosemas a la primera de estas dos cifras.

Para enfrentar situaciones como la anterior, es conveniente utilizar la re-presentaci6n grafica de la distribuci6n acumulada, tal como se presenta en elgrafico 12.9 para el caso del engorde de ganado:

1.00

0.90

0.80es"0s 0.70::J

~ 0.60oto~ 0.50"0

~ 0.40'"s 0.30Il:

0.20

0.10

O.OO~-"""-O'::;;;""""-"'T""-"T"'""-~-r--.....,r---r---r---r--.....,r----r-....,0.10 0.50 0.700.60 0.800.20 0.30 0.40

Graffeo 12.9


Una forma de establecer la distribucion de probabilidad de laTIR, cuandoexisten razones suficientes para creer que esta es normal, es precisar en elgrafico 12.9 el valor de i parael cualla probabilidad acumulada es igual a 0.50.Tal valor de i es la medida de la TIR, es decir J.LTIR, que en el grafico resultaser 0.415 aproximadamente. Para calcular la desviacion estandar de la TIRcalculamos el intervalo de confiabilidad de mas 0 menos una U, que sabemostiene una probabilidad de 0.68. Sobre el eje vertical medimos en tome a 0.50un rango de probabilidad acumulada de 0.68, que resulta comprendido entre0.84 y 0.16. Con estos ultimos valores nos trasladamos al eje horizontal don-de constatamos que a ellos corresponden i = 0.505 e i = 0.325, respecti-vamente. Queda muy facil establecer ahora que UTIR = 0.505 - 0.415 = 0.09,con 10 cual se precisa que

TIR - N{J.LTIR = 0.415; UTIR = 0.09}

12.3.9 EI uso de la dlstrtbuclon beta II

Qz

Con frecuencia los analistas se encuentran con poca informacion respectoa la distribucion de probabilidades de los flujos de caja, y solo se sienten ani-mados a presentar estimativos optimistas, pesimistas y mas probables. Enestas situaciones es de utilidad acudir a la distribucion beta II, que es pare-cida a la normal, pero que tiene las colas truncas, tal como se aprecia en elgrafico 12.lO.

~~-----------------+~------------4-~Q

f[Q]

Grafico 12.10

Evaluacion sin certidllmbre 287----------------------------------------------

Tanto la media como la varianza de esta distribuci6n se pueden calcularaproximadamente con facilidad, empleando las siguientes relaciones:

E[Q] = (QA + 4QM + Qz)/6 = J..LQ

a2Q = [(Qz - QA)/6]2

donde Q A es el estimativo pesimista de Q, Q B es el optimista y Q M es el masprobable valor de Q. Es mas confiable este estimativo de la media que el dela varianza.

Con los parametres asi calculados, es posible adelantar el analisis apoyan-dose en el Teorema del limite central, que para las Q distribuidas con la betaII, tiene bastante validez.

Si nuestro amigo ganadero opta por suponer que los precios, adernas de serindependientes, se comportan probabilistamente de acuerdo con una distri-buci6n beta II, y adicionalmente cuenta con los siguientes estimativos:

Q Pesimista Mas probable Optimista

-$1100017000

-$ 850023000

-$1000020000

puede entonces establecer que J..LQo = (- 8500 - 40000 - 11 000)/6 =-9917.

y

aQo = (-8500 + 11000)/6 = 417;

J..LQ2 = (23000 + 80000 + 17 000)/6 = 20000

a Q2

= (23000 - 17000)/6 = 1000.

Con estos datos, la distribuci6n normal del VPN (0040) presenta los si-guientes parametres:

y

2J..LvPN(0.40) = -9917 + 20000(1.4) = 287

4 1/2aVPN(O.40) = [173889 + 1000 000/(l.4)] = 659,

con 10 cual la probabilidad de obtener exito resulta ser

p[VPN(OAO) > 0] = p[z > (0 - 287)/659] = p[z > -004355] = 0.668 .

• ',;"I


12.4 La evaluaclon de proyectos en condicionesde incertidumbre

La evaluacion de proyectos en condiciones de incertidumbre, se caracterizapor la carencia de informacion sobre los procesos probabilistas que generan10s valores especificos que asumen las Q. No implica esto ignorancia com-pleta ni la ausencia de experiencia 0 intuicion sobre la naturaleza y magnitudde tales valores especificos. La incertidumbre indica, mas bien, que existecierto grado de ignorancia y que el primer paso del analisis debe ser el de pre-cisar tal ignorancia.

Existen varios principios que sirven de ayuda para abordar el analisis de laincertidumbre, los cuales procedemos a examinar:

12.4.1 EI principia de la razon insuficiente (Laplace)

Este principio establece que cuando no existe evidencia contraria, se puedesuponer que todos 10s valores futuros son igualmente pro babies. El proceso deaplicacion de este principio se inicia con la identificacion de 10s valoresposibles que pueden asumir 10sflujos de caja y se continua con la asignacion dela misma probabilidad de ocurrencia para cad a uno de 10s valores posibles. Sise trata de valores continuos y no discretos, al rango de valores posiblessimplemente se le asigna una distribucion uniforme de probabilidades.

12.4.2 EI principia Maximin a Maximax

Este principio ya 10 u tilizamos en la parte inicial del capitulo cuando presen-tamos el enfoque pesimista. Sin embargo, para comprenderlo en su concep-cion mas amplia debemos pensar que estamos analizando varios proyectoscon el proposito de escoger el mejor entre ellos y que, para cada proyectohemos ca1culado el VPN pesimista. El principio Maximin dice que debemosescoger aquel proyecto que muestra el mayor VPN pesimista, es decir, quedebemos buscar maximizar el minimo VPN.

Una variacion de este principio es la de asumir la posicion opuesta, que llevaa ca1cular los VPN optimistas y a escoger el proyecto que muestre el mayorvalor. El principio se llamaria entonces Maximax (maximizar el maximo).

12.4.3 EI principia de Hurwicz

Parece claro que la mayoria de 10s inversionistas actuan con criterios interme-dios entre el pesimista Maximin y el optimista Maximax. Un criterio interme-


dio entre estos dos extremos es e1 principio de Hurwicz, que se apoya en unaesca1a que mide e1 grado de optimismo entre cero y uno, asignando cero a1extrema pesimista y uno al optimista. E1 metoda propone que se identifique elgrado de optimismo del inversionista, que sera el numero A, comprendidoentre 0 y 1 y que para cad a proyecto se multiplique el VPN optimista por A yel VPN pesimista por (I-A). La suma

(A)VPNoPlimisIO + (l-A)VPNpesimislo = medida de Hurwicz

y se escoge el proyecto que tenga la mayor medida de Hurwicz.Se debe advertir que cuando A = 1 este principio es identico al Maximax y

cuando A = 0 es igual al Maximin.

12.4.4 EI principio de Savage

E1 uso de este principio requiere computar para cada proyecto una medida depenalizacion que se apoya en el calculo de 10s VPN para 10s diferentes posi-bles valores de 10s flujos de caja. A manera de ejernplo, si se consideraran co-mo posib1es solo 10s VPN optimista, promedio y pesimista, 1a penalizacionse calcularia examinando primero 10s VPN optimistas con el proposito deidentificar al mayor de elIos, para 1uego calcular a R (opt)j' que es la penaliza-cion del proyecto j cuando se presentan 1as condiciones optimistas.tutilizan-do 1a siguiente relacion

R (opt)j = Max VPN opt - VPN optj

de manera similar se calcula la penalizacion cuando se presentan las condicio-nes promedias:

R(prom)j = Max VPN prom - VPN promj

y las circunstancias pesimistas:

R(pes)j = Max VPNpes - VPN peSj

En este momento se cuenta con penalizaciones para cada proyecto y cadatipo de condiciones (optimista, promedia, pesimista). Se establece entonces lapenalizacion maxima de cada proyecto y se escoge el proyecto que presente 1aminima penalizacion maxima.

Un ejernplo numerico ayuda a comprender 10 expuesto: supongamos queexisten 4 proyectos que muestran 10s siguientes VPN segun el grado de opti-mismo:

u

ou -

co

V)at:u.J>


Valor Presente Neto

Proyecto Pesimista Promedio Optimista

1 -2 1 32 -1 0 13 -7 3 54 0 1 2

Cuando operan las condiciones pesimistas la penalizaci6n es igual a lacolumna de valores pesimistas del VPN, porque entre ellos el maximo valor eso (correspondiente al proyecto 4). Si se presenta la situaci6n pesimista y seescoge el proyecto 1, se obtiene un VPN = - 2, que comparado con el maximoVPN que se hubiera podido obtener en condiciones pesimistas (cero), produceuna penalizaci6n de 2.

Cuando surgen las condiciones promedias, la comparaci6n se debe hacercontra 3 que es el mayor VPN prom, y cuando se presenta la situaci6n optimis-ta la penalizaci6n se establece contra 5 que es el mas grande VPN opt.

Siguiendo el anterior procedimiento se llega al siguiente conjunto de penali-zaciones

Penalizaciones

Proyecto Pesimista Promedio Optimista Max. Penaliz.

1 2 2 2 22 1 3 4 43 7 0 0 74 0 2 3 3

Como se busca minimizar la penalizaci6n, se debe emprender el proyecto 1,cuya maxima penalizaci6n de 2 es inferior alas maximas penalizacionesde los otros proyectos.

PROBLEMAS

12.1 Considere las siguientes alternativas de inversi6n:


Proyecto

Flujo A B

Qo -US$10000 -US$10 000QI + 10 000 aQ2 + 10000 + 21000

a) Si la tasa de interes de oportunidad es igual aI20%, (,cual es la alterna-tiva mas conveniente desde el punta de vista financiero?

b) Dibuje la curva del VPN vs. i para cada proyecto, sobre un mismo qra-fico. (,Cual es la TIR para cada proyecto? (,Cual es el criterio generalde escogencia entre estas dos alternativas?

c) Si los flujos del proyecto B son constantes, 10 mismo que el flujo delproyecto A en el momento cero pero los otros flujos del proyecto Atienen la siguiente distribucion:

Q IA ~ N {J..L = 10 000 ; 0 = SOD}

Q 2A ~ N {J..L = 10 000 ; 0 = 1 OOO}

Y si iop = 0.20 Y Q IA es independiente de Q2A- (,cual es la varianzay el valor esperado del proyecto A? iDel proyecto B?

(R: J..LA = 5280; OA = 809.81; J..LB = 4582.4; OB = 0.)

d) (,Cual es la probabilidad que tiene el proyecto A de resultar conve-niente? (,Cual es la probabilidad que tiene A de resultar mas con-veniente que B?

(R: 0.8051.)

e) Si adernas, Q2B ~ N{J..L = 21 000 ; 0 = 1DO} Y iop = 0.20, (,cual esla probabilidad que tiene el proyecto A de resultar mas atractivo queel B? Responda la anterior pregunta cuando las Q de cada proyectoestan perfectamente correlacionadas.

(H: 0.7643.)

f) Para las ultirnas condiciones dibuje en un mismo gratico la distribu-cion acumulada de probabilidades para la TIR de A y de B. (,Queob-servaciones y recomendaciones haria usted al inversionista?

•


12.2 EI gerente de la empresa IVOMAC enfrenta las siguientes alternativasde inversion:

Flujo

Alt. 00 01 02 03 04 Os 06I -100 0 0 +100 0 0 +500II -120 +40 +40 + 40 0 0 +100III - 80 +30 +30 + 30 + 30 + 30 + 30IV - 50 -50 0 0 +100 +100 +100

a) Si las 0 de cada alternativa son variables de azar mutuamente inde-pendientes y distribuidas normal mente con media igual al valor deQ presentado en el fl ujo anterior y desviacion estandar igual a 10 paralos flujos del momento 0, igual a 15 para los que aparecen en el mo-mento 1, 20 para los ubicados en 2 y aSIsucesivamente hasta Ilegar aa = 40 para las 0 que aparecen al final del sexto periodo, icual esla probabilidad de obtener un rendimiento superior aI28%, (que es eliop). con cad a una de las alternativas? iCual es entonces la mejoralternativa?

b) Responda las anteriores preguntas cuando las 0 de cada alternatlvaestan perfecta mente correlacionadas.

c) iQue sucede cuando las 0 de cada alternativa estan parcialmentecorrelacionadas, de manera tal que el 50% de su valor es indepen-diente y el restante 50% esta perfectamente correlacionado con sucontraparte en las dernas O? Suponga que la desviacion estandartanto de la porcion independiente como de aquella que esta per-fectamente correlacionada, es igual al 45% de la desviacion estandarque tenia la 0 original.

d) Para cada alternativa, icual es el intervalo de confiabilidad del 95%para la TIR, cuando se presentan las anteriores condiciones de co-rrelacion parcial?

12.3 EI gerente de la IVOMAC tiene serias dudas sobre la validez de la su-posicion de normalidad en la distribuclon de probabilidades de las 0que aparecen a partir del momento 1. Prefiere suponer que estas varia-bles siguen una distribucion beta II, con los siguientes estimativos:


Flujo

0, O2 03 O. Os 06Alt. Pes. Prob. Opt. Pes. Prob. Opt. Pes. Prob. Opt. Pes. Prob. Opt. Pes. Prob. Opt. Pes. Prob. Opt.

I 0 100 150 40 500 600II 30 40 50 20 40 60 10 40 70 80 100 200III 20 30 40 20 30 40 20 30 40 20 30 40 20 30 40 20 30 40IV -70 -50 -40 10 100 150 50 100 150 70 100 150

En estas nuevas condiciones, icual es el ordenamiento preferencialde las alternativas:

a) Siguiendo el criterio del valor esperado.

b) Siguiendo el criterio de maximizar la probabilidad de tener exito, esdecir de obtener una TIR > iop.

c) Siguiendo el criterio de Hurcwiz cuando A = 0.40.

d) Siguiendo el criterio de Savage.

12.4 Cuando se present6 el concepto de la verdadera rentabilidad, se estudi6el proyecto de inversion en el Rio Apaporis que enfrentaba Alirio Guz-man, el cual tenia las siguientes caracteristicas:

o2 7

US$500000

Se encontr6 que TIR = 0.20 > iop = 0.10 Y que TVR = 0.144.Se presentan ahora nuevas circunstancias relacionadas con las dudas

que tiene Alirio sobre el nurnero de periodos en que puede explotar sunegocio turistico, ya que estima que n puede ser 9, 10 u 11 alios, con lassiguientes probabilidades: p [n = 9] = 3/8; P [n = 10] = 1/2 Y P [n =11] = 1/8. Los flujos de cada aliofuturo siguen siendo US$119260.

(-1

+ 2 j~1 k~1 J.LQiJ.LQk(1/1 + i)j+kJ p(n = t)


a) Con esta nueva informacion, l,cual es el E[VPN(O.20)] y cual la pro-babilidad de tener exito, si los flujos de caja se comportan comoconstantes?

b) l,Cual es la respuesta alas dos preguntas anteriores cuando las Qno son constantes sino variables de azar normal mente distribuidascon media igual a 119260 Y desvlacion estandar = 10 000 Y mutua-mente independientes? PISTA: cuando el nurnero de periodos n esuna variable de azar, el valor esperado del VPN se obtiene a partir delvalor esperado del VPN "cuando n asume un valor especifico t",de acuerdo can la siguiente relaci6n:

J.1.vPN (i) = E [VPN (i)] = ~ E[VPN (i)ln = t] p(n = t) =I

; [jto

J.LQA1/1 + oj p(n = t) Y

a2VPN(i) = E[VPN(i)2] - [E[VPN(i)]]2.

12.5 Apoyandose en la pista del problema anterior demuestre que:

Apendice 1

Nota sobre el calculo de los parametrosde la distribuci6n del VPN cuando hay riesgo

1. Distribuci6n del VPN cuando los flujos de cajason mutuamente independientes

Como las Q son variables de azar mutuamente independientes y el valoresperado de una constante multiplicada por una variable de azar es igual ala constante multiplicada por el valor esperado de la variable, entonces escierto que:

E[VPN(i)] = L E[ Qi](111 + (Ii

fJ, YPN(i)

La varianza de una constante multiplicada por una variable de azar, esigual al cuadrado de la constante multiplicado por la varianza de la varia-ble de azar. En consecuencia, como las Q son mutuamente independien-tes:

a2YPN(i) = L a' QJ(lIl + i)i]2i

L a\;/111 + i)2ii

2. Distribuci6n del VPN cuando los flujos de cajaestan correlacionados entre si

EI valer esperado no sufre modificaci6n respecto al caso anterior. En cuan-to a la varianza, el analisis se complica un poco porque ahora:

n-J n

aYPN(i) = L a2Q/1I1 + i)2i + 2 ~ L COY Qj,Qk(lIl + ii+kj j=O k=j+i

donde

de modo tal que cuando las variables son mutuamente independientes, lacovarianza es igual a cera. Cuando esto no acontece nos apoyamos en ad-vertir que la varianza se puede expresar de la siguiente manera altema:

o mas simple mente a VPN(i)


n =! n

a2VPN(i) = ! a2 Q/Ill + i/i + 2! ! Pjka Qja Qk(1I1 + ir+k

j j= 0 k=j+i

don de P Jk es el coefieiente de correlaci6n entre Qj y Q k.

Cuando las variables son mutuamente independientes Pjk = 0, por 10cual desaparece el segundo terrnino en la expresi6n de la varianza. Cuan-do las Q estan perfectamente correlacionadas, Pjk = 1, y

n-! n

a2VPN(i) = ~ 02 Q[(l/1 + iy]2 + 2 ~ ~ a Q/111 + i)J aQk(l/1 + i)k

j J J=O k=J+!

10 cual es igual a:

Apendlce 2La dlstrlbuclon normal acumulada

fz1

F(z) =

~_M~

o Z

2/2e-z dz

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359

.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753

.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141

.3 .61·79 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517

.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879

.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224

.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549

.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7704 .7734" .7764 .7794 .7823 .7852

.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133

.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .83891.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621

l.l .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .88301.2 .8849 .8869 .8.888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .90151.3 .9032 .9049 .9.066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .91771.4 .9192 .9207 .9222 9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .93191.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .944'1

1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .95451.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .96331.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .97061.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .97672.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817

2.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .98572.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .98902.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9909 .9911 .9913 .99162.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .99362.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .9952

2.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .99642.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .99742.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .99812.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .99863.0 .9987 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .9990

3.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .99933.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .999533 .9995 .9995 9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .99973.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998

EVALUACIÓN FINANCIERA DE PROYECTOS DE INVERSION - ARTURO INFANTE VILLAREAL - CAP 11 AL 12

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