Evaluación diagnóstica del ingreso al...
121
Transcript of Evaluación diagnóstica del ingreso al...
2
Evaluación diagnóstica del ingreso al bachillerato
Ciclo escolar 2017-2018
3
Directorio
Mtro. Aurelio Nuño Mayer
Secretario de Educación Pública
Dr. Rodolfo Tuirán Gutiérrez
Subsecretario de Educación Media Superior
Mtro. Daniel Hernández Franco
Coordinador Sectorial de Desarrollo Académico
Ing. Ramón Zamanillo Pérez
Director General de Educación en Ciencia y Tecnología del Mar
Dr. César Turrent Fernández
Director General de Educación Tecnológica Agropecuaria
M. en C. Carlos Alfonso Morán Moguel
Director General de Educación Tecnológica Industrial
Mtro. Carlos Enrique Santos Ancira
Director General del Bachillerato
Dra. Sylvia Beatriz Ortega Salazar
Directora General del Colegio de Bachilleres
M. en C. Enrique Gerardo Macedo Ortiz
Coordinador de Organismos Descentralizados de los CECYTE
4
CONTENIDO
Presentación 5
Propósito 7
Papel del estudiante 7
Papel del docente 7
Descripción del manual del docente “Competencia Matemática”. 8
Guía de uso 9
Iconografía 10
Sesión No. 1 13
Sesión No. 2 28
Sesión No. 3 43
Sesión No. 4 56
Sesión No. 5 70
Sesión No. 6 76
Sesión No. 7 87
Sesión No. 8 99
Sesión No. 9 107
5
Presentación
La Evaluación diagnóstica del ingreso al bachillerato 2017-2018, está destinada a evaluar el nivel de la
competencia lectora y matemática que han alcanzado los estudiantes en su educación básica y que ingresan
a la educación media superior. Brinda información del estudiante, respecto a su capacidad para formular
y resolver problemas, en distintos contextos, con procedimientos, herramientas y conceptos matemáticos,
y también diagnosticar si el estudiante tiene la aptitud para obtener, comprender y manejar información,
así como interpretar y reflexionar sobre el contenido de un texto.
En este sentido, se propone el curso propedéutico como una estrategia de reforzamiento para aquellos
estudiantes que obtengan puntajes que los coloquen como de nivel intermedio y avanzado, y de nivelación
para aquellos estudiantes que se colocan como elementales y básicos.
Para lograr este cometido, se ha estructurado un manual para el docente y uno para el estudiante,
integrados con estrategias de enseñanza y de aprendizaje, destinadas a desarrollar en el estudiante la
competencia matemática y lectora.
Respecto a la competencia matemática, se desarrollarán las 16 habilidades específicas, por medio de
diferentes estrategias de aprendizaje que planteará el docente a cargo del curso, como por ejemplo:
estrategia de aprendizaje basada en problemas contextualizados en lo personal, educativo, social y laboral,
investigación, técnicas de concentración, animación, trabajo en equipo colaborativo, estrategias de
evaluación y técnicas destinadas para que el estudiante conozca y profundice sobre los contenidos que se
requieren en cada habilidad.
En la competencia lectora se reforzarán 10 habilidades específicas, por medio de estrategias basadas en
problemas, de evaluación y la lectura de textos de carácter personal, educativo, social y laboral, entre otras
estrategias de aprendizaje.
COMPETENCIA MATEMÁTICA
Habilidades específicas
1. Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas,
mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.
2. Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa.
3. Resuelve problemas que implican calcular el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.
4. Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro, área y volumen.
5. Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información
diversa, y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables.
6. Resuelve problemas aditivos que impliquen hacer cálculos con expresiones algebraicas.
7. Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes,
escalas, interés simple o compuesto.
8. Resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal o cuadrática de una sucesión.
9. Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepción de la división entre
polinomios.
6
10. Resuelve problemas que impliquen aplicar las propiedades de la congruencia y la semejanza en
diversos polígonos.
11. Expresa algebraicamente una relación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.
12. Resuelve problemas que involucran el uso de ecuaciones lineales o cuadráticas.
13. Determina la medida de diversos elementos del círculo, como circunferencia, superficie, ángulo
inscrito y central, arcos de la circunferencia, sectores y coronas circulares.
14. Aplica el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas seno, coseno y tangente en la resolución
de problemas.
15. Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica el significado de la
media, la mediana, la moda, el rango y la desviación media.
16. Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.
COMPETENCIA LECTORA
Habilidades específicas
1. Identifica la estructura de textos.
2. Identifica las ideas centrales y secundarias de un texto.
3. Comprende el contenido de diversos documentos administrativos, para emplearlo en situaciones
específicas.
4. Selecciona y registra de manera adecuada las fuentes de consulta, de acuerdo con sus propósitos y
temas de interés.
5. Emplea adecuadamente las reglas de puntuación: punto, coma, dos puntos, punto y coma, signos de
exclamación, signos de interrogación, apóstrofe y guión.
6. Emplea la lectura como herramienta para seguir aprendiendo y para comprender su entorno.
7. Utiliza la información para ampliar sus conocimientos y formarse un punto de vista propio.
8. Analiza diversas clases de textos.
9. Analiza los mensajes publicitarios para exponer de forma crítica los efectos en los consumidores.
10. Emplea los textos en forma adecuada para obtener información de distintas disciplinas.
7
Propósito
Del estudiante
Fortalecer su competencia matemática y lectora, a través de su participación en las actividades de
aprendizaje, motivación, creatividad e innovación.
Del docente
Planear y ejecutar estrategias de aprendizaje dirigidas a desarrollar y fortalecer la competencia lectora y
matemática, consideradas como transversales a toda la formación del bachillerato.
Papel del estudiante
Se espera que manifieste actitudes como:
Participación activa.
Iniciativa por aprender.
Interés en cada una de las sesiones.
Responsabilidad en el cumplimiento de las actividades programadas.
Puntualidad.
Disposición para el trabajo en equipo.
Iniciativa por aprender más.
Iniciativa para hablar en público.
Papel del docente
El docente que participe en el curso propedéutico se espera que sea facilitador del aprendizaje, por lo que
es necesario que tenga:
Conocimiento del área en que trabajará.
Dominio de una dinámica grupal.
Sensibilidad para identificar necesidades de atención en los participantes.
Manejo de estrategias de trabajo frente a grupo.
Sentido de responsabilidad.
Capacidad de motivar.
Habilidades para motivar a un grupo de estudiantes de bachillerato.
Además de actitudes personales como: responsabilidad, respeto, tolerancia e iniciativa.
8
Descripción del manual del docente “Competencia matemática”.
El manual es un apoyo pedagógico, que proporciona al docente los elementos necesarios para que imparta
el curso propedéutico y que el estudiante desarrolle la competencia matemática. Está estructurado de
nueve sesiones de 150 minutos, en cada sesión se desarrolla una o dos habilidades específicas por día, con
sus respectivos contenidos, estrategias y actividades de aprendizaje.
Sesión Habilidad específica Tiempo
1
Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa.
80
Resuelve problemas que implican calcular el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.
70
2
Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.
75
Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro, área y volumen.
75
3
Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa, y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables.
70
Determina la medida de diversos elementos del círculo, como circunferencia, superficie, ángulo inscrito y central, arcos de la circunferencia, sectores y coronas circulares.
80
4
Resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal o cuadrática de una sucesión.
60
Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto.
90
5 Resuelve problemas que impliquen aplicar las propiedades de la congruencia y la semejanza en diversos polígonos.
150
6 Aplica el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas seno, coseno y tangente en la resolución de problemas. 150
7
Resuelve problemas aditivos que impliquen hacer cálculos con expresiones algebraicas.
80
Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepción de la división entre polinomios.
70
8
Expresa algebraicamente una relación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.
150 Resuelve problemas que involucran el uso de ecuaciones lineales o cuadráticas.
9
Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica el significado de la media, la mediana, la moda, el rango y la desviación media.
80
Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.
70
9
Guía de uso
Las sesiones están estructuradas en secuencias didácticas, que se organizan en apertura,
desarrollo y cierre. Cada fase se identifica con un icono diferente.
En cada sesión se indica
la habilidad específica
que se desarrollará, para
lograr la competencia.
Indica la sesión que
está programada para
trabajar cada día.
Se especifica el
tiempo destinado
para el desarrollo
de la habilidad.
En cada sesión se abordan los
contenidos indispensables
para el desarrollo de la
habilidad específica.
Docente del curso
propedéutico, revise antes
de iniciar cada día su trabajo
académico, el número de
sesión, la habilidad,
contenidos, tiempo
destinado; lo orientará
sobre lo que enseñará
La fase de apertura está integrada por dos actividades, la primera tiene
como propósito centrar la atención del estudiante, para que se disponga
al nuevo aprendizaje. La segunda pertenece al encuadre de la sesión:
habilidad, contenidos, actitudes, tiempo y ejemplos de aplicación en la
vida cotidiana del estudiante.
Fase de la secuencia didáctica integrada por
cuatro actividades: en la primera, se forma el
objeto de aprendizaje, es decir, recuperación de
saberes previos, y se plantea un problema
contextualizado, ya sea en lo escolar, social,
laboral o personal, que el estudiante tiene que
resolver.
En la segunda actividad se movilizan los recursos
cognitivos y didácticos del estudiante, que le
permiten solucionar el problema. La tercera, la
integra el trabajo independiente en la solución del
problema.
Por último, pertenece a la comunidad de
aprendizaje o trabajo en equipo colaborativo,
donde se comparten los resultados de la solución
del problema y se llegan a acuerdos.
10
En cada actividad, problema o ejercicio, se ha incluido la respuesta para facilitar el desarrollo
de la sesión.
Iconografía
¿Qué aprender? Indica los contenidos que necesita el estudiante dominar y que tendrá que trabajar para desarrollar o reforzar la habilidad específica.
Comunidad de aprendizaje Se presenta cuando se requiera que trabaje en equipo colaborativo el estudiante; en donde interactuará con otros compañeros al elaborar propuestas, realizar tareas y compartir ideas.
Fase de la secuencia didáctica integrada por dos actividades:
en la primera se realiza la plenaria, cuyo propósito es la
apropiación del conocimiento a través de la exposición,
ejercitación y retroalimentación.
En la segunda actividad se realiza la evaluación, para verificar
la adquisición de conocimientos, desarrollo de la habilidad y
el cambio de actitudes.
11
Para aprender más Son recomendaciones de fuentes de información, en donde el estudiante encontrará actividades de aprendizaje, para que profundice en los contenidos de manera independiente para fortalecer su competencia matemática o lectora.
Evaluación Este ícono representa el momento en que se autoevalúa el estudiante, realiza coevaluación o se aplica la heteroevaluación, sobre el avance que ha logrado y pueda afianzar la habilidad específica, además se detectan dificultades en el aprendizaje. Cabe mencionar que la evaluación, permea a todo el proceso de aprendizaje, no es exclusiva de la fase de cierre.
Tiempo Indica los minutos destinados para desarrollar o fortalecer las habilidades específicas de cada competencia.
Para saber más Indica información que el estudiante puede consultar, revisar o analizar para realizar las actividades que se le soliciten. Puede estar integrada de información conocida por el estudiante, pero que no recuerda y que fue abordada en secundaria. Se le proporciona, para que recuerde o refuerce sus conocimientos.
¿Qué enseñar? Indica los contenidos que necesita dominar el estudiante y que el docente tendrá que abordar, para desarrollar o reforzar la habilidad específica.
12
Informar a los estudiantes que al finalizar resolverán la evaluación del curso propedéutico.
Solicitar que, al término del curso, los participantes evalúen, en una escala de 0 a 10, los
siguientes aspectos:
Puntualidad del grupo.
Puntualidad del docente.
Puntualidad individual.
Desempeño grupal.
Desempeño individual.
Cumplimiento de los propósitos del curso.
Dominio de los contenidos, por parte del docente.
Dominio de la dinámica de trabajo, por parte del profesor.
Ambiente grupal.
Instalaciones.
Comentarios finales.
Recomendaciones:
Revise el manual, antes de cada sesión.
Verifique la programación.
Planee las actividades que va implementar.
Tenga a la mano el manual.
Respete los tiempos de cada fase didáctica.
Profundice en los contenidos, de ser necesario.
Muestre actitud positiva, en cada sesión.
Haga participe a los estudiantes de su aprendizaje.
¡Adelante y éxito!
Iniciamos
13
80 minutos
5 minutos
Mencione al grupo lo siguiente:
1. Considera tu cuerpo como una unidad desde tus pies a tu cabeza. 2. Cierra tus ojos y piensa en algo que te haga sentir feliz, trata de mantener ese
pensamiento. 3. Coloca las palmas de tus manos por 10 segundos en la mitad de tu cuerpo, respira
profundamente y suelta el aire lentamente. 4. Coloca las palmas de tus manos por 10 segundos en la cuarta parte de tu cuerpo, respira
profundamente y suelta el aire lentamente. 5. Coloca las palmas de tus manos por 10 segundos en la tercera parte de tu cuerpo, respira
profundamente y suelta el aire lentamente.
Pregunte:
¿Ha sido una experiencia cómoda o agradable? ¿Te has distraído con otros pensamientos u objetos? ¿Pudiste localizar la mitad, la cuarta y la tercera parte de tu cuerpo? ¿Te resultó fácil hacerlo o te costó trabajo localizarlas?
Resuelve problemas que implican
convertir números fraccionarios a
decimales y viceversa.
¿Qué enseñar?
Fracciones
Representación
decimal de una
fracción
Operaciones con
fracciones
Sesión No. 1
Apertura
14
5
minutos
Lea la habilidad específica que se va a desarrollar:
Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa.
Escriba en el pizarrón y explique brevemente, los contenidos a desarrollar:
Fracciones
División
Notación decimal
Operaciones básicas con fracciones
Mencione las actividades a realizar:
Lectura guiada
Actividad
Crucigrama en equipo
Lea la introducción al tema o elabore una con base en su experiencia.
Introducción
Como sabrán, la aritmética es indispensable en muchas actividades dentro y fuera de la
escuela; en particular, las fracciones se usan en un sinfín de situaciones; por ejemplo, al
hacer una compra, decimos medio kilo de tortillas, tres cuartos de queso, un cuarto de
jamón; al decir la hora, son las tres y cuarto, dos y media, cuarto para las tres; al hacer una
repartición, partir un pastel en ocho rebanadas.
Al resolver una fracción, podemos obtener un número entero o un número con punto
decimal, y de modo contrario, cualquier número entero o con punto decimal (racional)
puede ser escrito como una fracción.
Escriba los ejemplos en el pizarrón:
12
5 es equivalente a 2.4
1.5 es equivalente a 3
2
7
8 es equivalente a 0.875
En esta sesión se estudiarán las fracciones, su representación decimal y sus operaciones.
15
25 minutos
Solicite a los estudiantes contestar las preguntas del manual:
1. ¿Puede un número ser representado de diferentes formas? ¿Como cuáles?
2. Escribe un ejemplo.
3. ¿Qué prefieres, operaciones con números fraccionarios, o con números en notación
decimal? ¿Por qué?
4. Resuelve las siguientes operaciones sin usar calculadora o celular:
2.625x1.6 = 4.2
8
5×
7
8=
7
5
5. ¿Qué operación te resultó más sencilla? ¿Por qué?
6. Acomoda los elementos de la división y de la fracción en el lugar correspondiente. Divisor,
Dividendo, Residuo, Cociente, Numerador y Denominador.
DIVISIÓN FRACCIÓN
numerador
denominador
Solicite a varios estudiantes sus respuestas y enfatice en la respuesta a la pregunta seis.
Seleccione a dos alumnos para que lean el capítulo 3 del libro El hombre que calculaba, de
Malba Tahan*, guíe la lectura e indique que, al término, contesten las preguntas.
CAPÍTULO 3
Singular aventura acerca de 35 camellos que debían ser repartidos entre tres árabes.
Beremís Samir efectúa una división que parecía imposible, conformando plenamente a
los tres querellantes. La ganancia inesperada que obtuvimos con la transacción.
Hacía pocas horas que viajábamos sin interrupción, cuando nos ocurrió una aventura
digna de ser referida, en la cual mi compañero Beremís puso en práctica, con gran talento,
sus habilidades de eximio algebrista.
Desarrollo
16
Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres hombres que
discutían acaloradamente al lado de un lote de camellos. Furiosos se gritaban
improperios y deseaban plagas:
- ¡No puede ser!
- ¡Esto es un robo!
- ¡No acepto!
El inteligente Beremís trató de informarse de que se trataba.
- Somos hermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos.
Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed
Namir una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No sabemos, sin
embargo, cómo dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno
propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar
la tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones?
- Es muy simple –respondió el “Hombre que calculaba”-. Me encargaré de hacer con
justicia esa división si me permitís que junte a los 35 camellos de la herencia, este
hermoso animal que hasta aquí nos trajo en buena hora.
Traté en ese momento de intervenir en la conversación:
- ¡No puedo consentir semejante locura! ¿Cómo podríamos dar término a nuestro viaje
si nos quedáramos sin nuestro camello?
- No te preocupes del resultado “Bagdalí” –replicó en voz baja Beremís-. Sé muy
bien lo que estoy haciendo. Dame tu camello y verás, al fin, a que conclusión quiero
llegar.
Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más y le entregué mi hermoso
“jamal”, que inmediatamente juntó con los 35 camellos que allí estaban para ser
repartidos entre los tres herederos.
- Voy, amigos míos –dijo dirigiéndose a los tres hermanos- a hacer una división
exacta de los camellos, que ahora son 36.
Y volviéndose al más viejo de los hermanos, así le habló:
- Debías recibir, amigo mío, la mitad de 35, o sea 17 y medio. Recibirás en cambio la
mitad de 36, o sea, 18. Nada tienes que reclamar, pues es bien claro que sales ganando
con esta división.
Dirigiéndose al segundo heredero continuó:
17
- Tú, Hamed Namir, debías recibir un tercio de 35, o sea, 11 camellos y pico. Vas a
recibir un tercio de 36, o sea 12. No podrás protestar, porque también es evidente que
ganas en el cambio.
Y dijo, por fin, al más joven:
- A ti, joven Harim Namir, que según voluntad de tu padre debías recibir una
novena parte de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro, te daré una novena parte de 36, es
decir, 4, y tu ganancia será también evidente, por lo cual sólo te resta agradecerme el
resultado.
Luego continuó diciendo:
- Por esta ventajosa división que ha favorecido a todos vosotros, tocarán 18 camellos al
primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado (18 + 12 + 4) de 34 camellos.
De los 36 camellos sobran, por lo tanto, dos. Uno pertenece, como saben, a mi amigo
el “Bagdalí” y el otro me toca a mí, por derecho, y por haber resuelto a satisfacción
de todos, el difícil problema de la herencia.
- ¡Sois inteligente, extranjero! – Exclamó el más viejo de los tres hermanos-. Aceptamos
vuestro reparto en la seguridad de que fue hecho con justicia y equidad.
El astuto Beremís –el “Hombre que calculaba”- tomó luego posesión de uno de los más
hermosos “jamales” del grupo y me dijo, entregándome por la rienda el animal que me
pertenecía:
- Podrás ahora, amigo, continuar tu viaje en tu manso y seguro camello. Tengo
ahora yo, uno solamente para mí.
Y continuamos nuestra jornada hacia Bagdad.
*Malba Tahan es un pseudónimo del verdadero autor de la obra: Julio César de Mello e Souza (1895-
1974).
Tahan M. (1985). El hombre que calculaba. Madrid, Europa Ediciones.
Preguntas:
1. ¿Quién es Beremís? R. El hombre que calculaba
2. ¿Qué cantidad, en fracción y número decimal, le corresponde al hermano menor?
R. Treinta y cinco novenos, 3.88
3. ¿Crees que hay un error en la ejecución de las operaciones? R. No
Nota. Explique por qué no hay error en la ejecución de las operaciones.
4. ¿Cuántos camellos se sumaron al reparto? R. Uno
18
Indique al estudiante que realice la siguiente actividad:
Explica cómo el Hombre que calculaba salió beneficiado en el reparto de la herencia, y
justifica tu respuesta con operaciones aritméticas, con fracciones y/o números decimales
(sin usar calculadora o celular).
Antes de realizar la actividad, indique al alumno que complete el siguiente cuadro QQQ.
¿Qué sé, y me ayuda a dar mi explicación?
¿Qué no sé, para justificarla?
¿Qué necesito saber, para explicar y justificar?
Operaciones con fracciones
Conversión de números decimales a fraccionarios
De modo general, para un número no periódico o infinito, multiplicamos por 10a
y dividimos entre 10a; después se simplifica la fracción.
número ×10a
10a
donde a = el número de decimales de dicho número
Ejemplo:
Para el número 2.25
Número de decimales “a” = 2
Entonces 2.25 = 2.25×102
102 =225
100=
9
4
Suma
Cuando se tiene un mismo denominador
común.
a
b+
c
b=
a+c
b
Cuando no se tiene un mismo
denominador común.
a
b+
c
d=
mcm(bd)
b×a+
mcm(bd)
d×c
mcm(bd)
Multiplicación
Directo
a
b×
c
d=
ac
bd
División
Cruzado
a
b÷
c
d=
ad
bc
19
15 minutos
Permita que el estudiante realice su explicación y la justificación.
Motive en todo momento al estudiante.
Acompañe de manera directa a los estudiantes que muestren tener dificultades para
resolver la actividad.
10 minutos
Solicite formar equipos de cinco alumnos para comparar, argumentar y llegar a una misma justificación. Solicite a al menos un equipo exponer su conclusión y las operaciones que permitan evidenciar la ventaja que anticipa el hombre que calculaba.
Con fracciones 35
2+
35
3+
35
9=
315+ 210+ 70
18=
595
18= 33
1
18 Con notación decimal 17.5 + 11.67 + 3.89 = 33.06 Se repartieron 18 + 12 + 4 = 34
20 minutos
Concluya: como se observa, la herencia de 35 camellos no se ejecutó en
su totalidad. Pregunte a los estudiantes si tienen dudas y haga las aclaraciones
correspondientes.
La suma que justificó y anticipó la ventaja vista por el hombre que
calculaba es: 1/2 + 1/3 + 1/9, que es menor a la unidad.
Pida a los equipos resolver el crucigrama, lea la instrucción, explique un ejemplo
utilizando la solución y, cuando concluyan, pida a varios alumnos dar una respuesta
horizontal o vertical.
Cierre
20
Pregunte ¿Qué y cómo hicieron para resolver el crucigrama?
Para resolver el crucigrama, se convirtieron fracciones a decimales y viceversa.
Refuerce los contenidos y habilidades que se abordan y/o recapitule.
Sugerencia: En esta sesión se abordó el uso de las fracciones, en específico la suma de fracciones para resolver la actividad.
Verifique la adquisición de conocimientos, desarrollo de habilidades y cambio
de actitudes, respecto a la competencia. Pregunte ¿Podrías ahora resolver
cualquier problema similar? ¿Cómo lo harías?
Sugiera realizar los ejercicios sobre operaciones con fracciones de los siguientes
sitios web:
https://www.thatquiz.org/es-3/matematicas/fraccion/
https://es.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-
operations/cc-8th-repeating-decimals/e/writing-fractions-as-repeating-
decimals
21
70 minutos
10 minutos
Realice la dinámica “El barco se hunde”.
Solicite que todos los estudiantes se pongan de pie, hagan un poco de espacio en el salón (pueden salir al patio de la escuela) y formen un círculo.
Indique que usted es el capitán del barco y debido a una avería en la proa, el barco está a punto de hundirse, y las lanchas de que se dispone tienen capacidad para un número determinado de pasajeros y no es conveniente desperdiciar lugar, por lo que las lanchas deben estar completamente ocupadas para soltarlas; así mismo, quien se quede sin lancha se ahogará.
Indique usted, como capitán, que gritará el número de pasajeros para cada lancha; entonces, los estudiantes deberán formar grupos con el correspondiente número en cada caso. Simulando que cada grupo es una lancha, los miembros se tomarán de las manos, formarán un círculo y se agacharán una vez esté completo.
Solicite que los alumnos giren y repita en voz alta que el barco salió de viaje con sus pasajeros y en el trayecto sufrió una avería; el barco se hunde y sólo hay lanchas para cuatro, tres, cinco, uno, todos o el número de personas que usted elija.
Repita la actividad para tres o cuatro números más.
Resuelve problemas que implican
calcular el mínimo común múltiplo o
el máximo común divisor.
HABILIDAD ESPECÍFICA
¿Qué enseñar?
Mínimo común
múltiplo (mcm)
Máximo común
divisor (mcd)
Sesión No. 1
Apertura
22
Al terminar la actividad pregunte:
¿Ha sido una experiencia cómoda o agradable? ¿Saliste de tu zona de confort? ¿Interactuaste con nuevos compañeros? ¿Te has distraído con otros pensamientos u objetos al integrarte a una lancha? ¿Cómo puedes hacer para recuperar tu atención y concentración en la actividad?
5 minutos
Lea la habilidad específica que se va a desarrollar.
Resuelve problemas que implican calcular el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.
Escriba en el pizarrón y brinde un panorama general de los contenidos por desarrollar:
Descomposición en factores primos
Mínimo común múltiplo (mcm)
Máximo común divisor (mcd)
Explique, que para desarrollar esta habilidad requiere saber:
Números enteros
Números primos
Explique la utilidad que tiene el uso del mcm y mcd para: 1. Optimizar recursos.
Por ejemplo: Gladys va a preparar hamburguesas y quiere comprar el mismo número de carne que de bollos. La carne la venden en paquetes de 12 unidades y los bollos en paquetes de 8. ¿Cuál es el menor número que tiene que comprar de cada uno? Mencione otros ejemplos de la vida cotidiana del estudiante.
23
10 minutos
En plenaria dirija las siguientes preguntas y explicaciones: ¿De qué tamaño es el grupo? ¿Con qué número de pasajeros (capacidad) de la lancha hubo ahogados? ¿Cuántos ahogados hubo? ¿Con qué concepto matemático se relaciona la cantidad de ahogados? Respuesta: con el residuo de una división.
Indique suponer que el número de pasajeros en una embarcación es de 36; pregunte entonces: ¿En qué números se pueden agrupar los pasajeros en lanchas, sin que haya ahogados?, Es decir, que la división de 36 sea exacta. Respuesta: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.
Explique que, en matemáticas, a los números de la lista anterior se les llama divisores de 36.
Indique que se lleven a cabo las siguientes actividades: 1. Supón que ahora tienes una segunda embarcación, con 42 pasajeros. ¿En qué números se pueden agrupar los pasajeros en lanchas, sin que haya ahogados? Respuesta: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42. 2. Haz una lista, en orden ascendente, de los divisores comunes de 36 y de 42. Respuesta: 1, 2, 3, 6.
Recupere las respuestas y explique que el máximo de estos números ordenados (6) es el máximo común divisor de 36 y 42, en este caso, escribimos mcd (36, 42) = 6
Solicite resolver los siguientes ejercicios:
1. Determina los primeros 12 múltiplos de 3, de 4 y de 6, y ordénalos de forma ascendente. Respuesta: a) Primeros 12 múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33 y 36. b) Primeros 12 múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44 y 48. c) Primeros 12 múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66 y 72.
Todo número entero siempre tiene al menos dos divisores: el 1 y él mismo.
Los números que únicamente tienen como divisores el 1 y él mismo se llama
números primos.
1, 2, 3, 5, 7, 11...
Desarrollo
24
5 minutos
Pregunte al grupo qué necesitan saber para resolver los problemas. ¿Qué propones hacer?
¿Qué sé, y me ayuda a resolver los problemas?
¿Qué no sé, para resolver los problemas? ¿Qué necesito saber?
¿Recuerdas un procedimiento para calcular el mcm y el mcd? ¿Cuál es?
Método de descomposición en factores primos que permite el
cálculo del mcd y del mcm
Ejemplo: Hallar el mcd y mcm de los números 36 y 42. 1. Hallar su descomposición en factores primos. Para ello, se escribe cada uno de los
números, seguido de una línea vertical.
2. Dividir el número entre sus divisores primos, seleccionar los divisores primos de menor a mayor y escribir cada uno de ellos del lado derecho de la línea:
2. Escribe los múltiplos comunes de cada par de números. a) Lista de múltiplos comunes de 3 y 4. Respuesta: {12, 24, 36, ….} b) Lista de múltiplos comunes de 4 y 6. Respuesta: {12, 24, 36, ….} c) Lista de múltiplos comunes de 3 y 6. Respuesta: {6, 12, 18, 24, 30, 36, ….}
Recupere las respuestas y explique que el mínimo valor de las listas anteriores es llamado mínimo común múltiplo; por ejemplo para el inciso b) el mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12, en cuyo caso escribimos mcm(3, 4) = 12.
Plantee los problemas apoyado por la lectura de un alumno. 1. Se quiere partir un pastel de 60 cm. de ancho por 48 cm. de largo, en cuadrados, lo
más grandes posibles, de la misma medida. ¿De cuántos cm de lado deberán ser las porciones?
2. La familia de Juan es muy unida: visitan a los abuelos constantemente, de la siguiente forma: sus papás, cada 15 días, sus hermanos cada 30 días, y él y sus hijos cada 20 días. Ya quedaron en que la próxima vez que coincidan, harán una fiesta.
¿En cuánto tiempo ocurrirá esto?
25
3. Para encontrar el mcm (36, 42), se multiplican todos los factores de uno de los números, y el resultado se multiplica por todos los factores “no repetidos” del otro número: mcm (36, 42) = 2x2x3x3x7 = 252.
4. Para encontrar el mcd (36, 42), se multiplican los factores repetidos: mcd (36, 42) = 2x3 = 6.
10 minutos
Permita que el estudiante resuelva la actividad.
Motive en todo momento al estudiante.
Acompañe, de manera directa, a los estudiantes que muestren tener dificultades para resolver la actividad.
10 minutos
Solicite formar equipos de seis alumnos, para comparar, argumentar y llegar a una solución. Solicite a uno o dos equipos exponer sus argumentos y la justificación de sus soluciones.
En reunión plenaria exponga las soluciones a los problemas. Respuesta, problema 1: Primero se determina la descomposición, en factores primos, de 60 y 48.
Se identifican los factores repetidos en ambos apartados, 2, 2, 3. Y se multiplican; entonces, el mcd (60, 48) = 12. Respuesta, problema 2: Primero se determina la descomposición, en factores primos, de 15, 20 y 30.
26
Se multiplican todos los factores de uno de los números y el resultado se multiplica por todos los factores primos “no repetidos” del otro número; finalmente, el resultado se multiplica por todos los factores primos “no repetidos” del tercer número; entonces, el mcm (15, 20, 30) = 60.
10 minutos
Refuerce los contenidos y habilidades que se abordan y/o recapitule.
Sugerencia. En esta sesión se recuperó el concepto mínimo común múltiplo, entre por lo menos dos números enteros; esto es, las tablas de un número que nos enseñaron en primaria corresponden a los múltiplos de un número. Sí entre dos tablas de dos números distintos identificamos los productos en común, estos números infinitos corresponden a los múltiplos en común, y el menor de ellos es el mcm.
Por otra parte, en la actividad del “barco se hunde” vimos la utilidad del máximo común divisor, ante la necesidad de llenar las lanchas completamente, con el número de pasajeros permitido, con la posibilidad de que haya otro barco que se hunde y tener lanchas con la misma capacidad.
10 minutos
Verifique la adquisición de conocimientos, desarrollo de habilidades y cambio de actitudes, respecto a la competencia.
Solicite que los alumnos describan, individualmente, el concepto de mcm y mcd.
Solicite autoevaluación por medio del cálculo de mcm (18, 28) y mcd (18, 28). Espere dos minutos y después escriba la solución en el pizarrón.
18 2 28 2
9 3 1
3 3
14 7 1
2 7
mcm (18, 28)= 42
mcd (18, 28)= 4
Para finalizar, pregunte sobre el trabajo en equipo:
¿Hubo buena comunicación en el equipo?
Cierre
27
¿Fuiste tolerante, amable y participativo en tu equipo?
¿Surgieron dificultades para plantear los problemas en equipo?
¿Qué hiciste para solventarlas?
¿Te gustaría trabajar en otro momento con el mismo equipo?
¿Terminas esta sesión motivado o desanimado?
Sugiera realizar los ejercicios sobre cm y mcd, de los siguientes sitios:
https://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/max_y_min.pdf
http://www.ematematicas.net/mcdmcm.php?a=1
Solicite el material para la siguiente sesión: un trozo de cartón (una cara de
una caja de zapatos), tijeras, regla, plumón y un trozo de hilo de costura (1
metro).
28
75 minutos
5 minutos
Realice la dinámica “Figuriando”.
Indique al grupo que formará figuras geométricas humanas, para lo cual se requiere la participación de todos. Asegúrese que los estudiantes se sujeten de la mano de tal forma, que los brazos simulen la longitud de los lados y el cuerpo el vértice.
Formen un triángulo (verifique que esté conformado por tres alumnos).
Formen un rombo (verifique que esté conformado por cuatro alumnos).
Formen un hexágono (verifique que esté conformado por seis alumnos).
Formen un dodecágono (verifique que esté conformado por doce alumnos).
Al terminar la actividad pregunte:
Resuelve problemas geométricos que
impliquen el uso de las propiedades
de las alturas, medianas, mediatrices
y bisectrices, en triángulos y
cuadriláteros.
HABILIDAD ESPECÍFICA
¿Qué enseñar?
Representación
gráfica de diferentes
figuras.
Rectas y puntos
notables en el
triángulo.
Sesión No. 2
Apertura
29
¿Qué conocimientos utilizaste para formar las figuras? ¿Te resultó fácil formar las figuras? ¿Por qué?
5 minutos
Lea la habilidad específica que se va a desarrollar.
Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices, en triángulos y cuadriláteros.
Escriba en el pizarrón y muestre un panorama general de los contenidos.
Contenidos a desarrollar: Representación gráfica de diferentes figuras. El triángulo, sus puntos y rectas notables.
Contenidos previos necesarios: Vértice, segmento, plano, punto de intersección, rectas perpendiculares y ángulos.
Lea la introducción al tema o haga usted una introducción con base en su experiencia. Introducción.
Gran parte de los objetos que manipulamos a diario (celulares, cuadernos, lápices, vasos, platos, puertas, ventanas, etcétera) son representaciones geométricas; de estos objetos clasificamos aquellos que están “dentro” de una superficie lisa (plano o plana), es decir, los que están en un espacio de dos dimensiones, por ejemplo: la sombra de un objeto proyectada en el suelo, la cara de una caja, las imágenes de una impresión, el trazo de un cuadrado en una hoja, el trazo de un círculo en una hoja, etcétera. Dentro los objetos en el plano, los polígonos (figuras cerradas, formadas por segmentos de rectas) son los más populares; de estos, el triángulo es el de mayor utilidad, debido a que todo polígono se puede descomponer en triángulos.
En el triángulo podemos ubicar cuatro puntos notables con características particulares, por ejemplo, el circuncentro y el baricentro. Dichos puntos permiten resolver diferentes problemas a partir de rectas notables.
30
25 minutos
En plenaria haga las siguientes preguntas. ¿Cómo son las rectas perpendiculares? Respuesta: forman un ángulo de 90°. ¿Qué es el punto medio de un segmento de recta? Respuesta: el punto que divide el segmento en dos partes iguales. ¿Cómo se llama la recta que divide a un ángulo a la mitad? Respuesta: bisectriz.
Rectas y puntos notables en el triángulo
Recuerda que el punto medio de un segmento de recta cuyos extremos son A y B es aquél que está a la misma distancia de A y B. Medianas y baricentro
La Mediana es un segmento de recta trazado desde un vértice de un triángulo hasta el punto medio de su lado opuesto. A la izquierda mostramos un triángulo cuyos vértices son A, B y C. Si D es el punto medio del lado AC, entonces el segmento que une el vértice B con el punto D será una mediana.
Como te podrás imaginar, en un triángulo habrá tres medianas, una para cada vértice. Lo interesante es que las tres medianas se intersectan en un punto llamado baricentro.
Mediatrices y circuncentro
La recta que es perpendicular a un lado del triángulo en su punto medio se llama mediatriz.
Desarrollo
31
A continuación mostramos un triángulo cuyos vértices son A, B y C. Si D es el punto medio del lado AC, entonces la recta perpendicular a AC que pasa por el punto D será una mediatriz. También habrá tres mediatrices por triángulo, las cuales se intersectan en un punto llamado circuncentro. El nombre de circuncentro se debe a que este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, de la circunferencia pasa por los tres vértices.
Alturas y ortocentro La altura es un segmento de recta perpendicular a un lado, o su prolongación, que pasa por el vértice opuesto al lado.
Fíjate que la altura no siempre intersecta al lado del triángulo. Por su puesto que aquí también hay una altura para cada lado del triángulo y también las alturas se intersectan en un punto llamado ortocentro, las alturas no se intersectan dentro del triángulo; entonces, hay que prolongarlas para ver el punto de intersección.
Bisectrices e incentro La bisectriz es la recta que corta un ángulo exactamente a la mitad. En el caso de un triángulo, la bisectriz corta a la mitad un ángulo interior. Nuevamente, aquí habrá tres bisectrices que se intersectarán en un punto llamado incentro.
32
5 minutos
Antes de comenzar a resolver el problema, solicite al alumno que conteste las preguntas siguientes: ¿A qué figuras geométricas se refiere el problema? ¿Qué trazos de rectas necesitan para ubicar la estatua? ¿Qué trazos de rectas se necesitan para ubicar el faro? ¿Qué es lo primero que harás?
10 minutos
Indique al alumno que resuelva el problema de manera individual.
Oriente y apoye al estudiante en todo momento.
El incentro es llamado así porque es el centro de una circunferencia inscrita al triángulo; esta circunferencia tiene a los lados del triángulo como tangentes.
http://dinamica1.fciencias.unam.mx/Preparatoria8/triangulo/mediatri.html.
Plantee los siguientes problemas apoyado en la lectura de un alumno.
1. En un jardín público de forma triangular, se desea colocar la estatua de un personaje célebre de la Revolución Mexicana, de tal forma que se encuentre igual de alejada de cada orilla del jardín. ¿En qué punto de intersección se ubicará la estatua?
2. En el mismo jardín, además, se desea colocar un faro de luz, de tal forma que su luz se aproveche al máximo, es decir, que el faro se encuentre igual de alejado de cada esquina del jardín. ¿Qué punto de intersección determinará la posición del faro?
3. ¿Qué rectas notables se utilizaron para ubicar los puntos de intersección?
Indique al alumno que la representación del jardín (su plano) es el siguiente triángulo, en el cual hará los trazos.
33
15 minutos
Solicite formar equipos de cinco alumnos a fin de comparar sus resultados y explicar el procedimiento para ubicar los objetos en el jardín.
Indique las instrucciones para la elaboración, por equipo, de un “adorno triangular”.
Materiales: 3 trozos de cartón, tijeras, regla, plumín, lápiz afilado y un trozo de hilo.
1. Recorta un triángulo de cartón (uno por integrante). 2. Traza las tres rectas medianas en cada uno de los triángulos de cartón (usa un
plumón). 3. Ubica el baricentro (centro de gravedad) en cada triángulo. 4. Perfora cada triángulo con la punta de un lápiz afilado, sobre el baricentro. 5. Haz un nudo en el hilo (más grande que las perforaciones), pasa el cabo del hilo
contrario por el orificio de uno de los triángulos. 6. Repite el paso 5 con los otros triángulos (ver figura).
7. Al suspender el adorno, los tres triángulos deberán permanecer equilibrados.
34
5 minutos
Solicite a dos equipos presentar su adorno y evalúe si cumple con el centro de gravedad; en caso contrario explique por qué.
Refuerce los contenidos y habilidades que se abordan o recapitule.
Sugerencia. En esta sesión se recuperó el trazo de las rectas y puntos notables de un triángulo. En el primer problema del jardín logramos encontrar el punto incentro, el cual, está alejado a una misma distancia de cada orilla, lo que equivale a encontrar una circunferencia inscrita al triángulo.
En el segundo problema del jardín logramos hallar el punto circuncentro, el cual está alejado a una misma distancia de cada vértice; dicho problema equivale a encontrar una circunferencia que circunscriba al triángulo. Finalmente empleamos el baricentro para suspender los triángulos de cartón de forma “equilibrada”, sujetos en su centro de gravedad.
5 minutos
Verifique la adquisición de conocimientos, desarrollo de habilidades y cambio de actitudes, respecto a la competencia.
Solicite que cada alumno describa el trazo de una recta mediana.
Pregunte sobre los trazos
¿Qué trazo te fue más complicado? ¿Por qué?
¿Qué trazo te permite determinar el centro de una circunferencia que toque los tres vértices de un triángulo?
¿Qué trazo te permite determinar el centro de una circunferencia que toque los tres lados de un triángulo?
Sugiera ver los videos siguientes:
https://www.youtube.com/watch?v=MAQq5cK-j4s
https://www.youtube.com/watch?v=OnuaOQDEuhU
Cierre
35
75 minutos
5 minutos
Aplique la técnica “Calentamiento matemático” y mencione al grupo lo siguiente: 1. Pónganse de pie, al lado de su lugar. 2. Cierren los ojos y respiren profundamente por la nariz mientras levantan ambos
brazos. 3. Retengan el aire por cinco segundos, y dejen los brazos extendidos hacia arriba. 4. Finalmente, exhalen por la boca con fuerza, griten un número y bajen los brazos al
mismo tiempo.
Repetir esta acción cuatro veces.
Pregunte: ¿Alguien gritó un número negativo? ¿Cuántos números recuerdas, de los que gritaron? ¿Te resulta fácil memorizar números? ¿Cuál es tú número de celular? ¿Cuáles números consideras importantes en tu vida?
5
minutos
Escriba en el pizarrón la habilidad específica que se va a desarrollar.
Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro, área y volumen.
Escriba en el pizarrón los contenidos a desarrollar.
Calcula cualquiera de las variables
que intervienen en las fórmulas de
perímetro, área y volumen.
HABILIDAD ESPECÍFICA
¿Qué enseñar? Fórmulas de
perímetros, áreas
y volúmenes
Sesión No. 2
22 1
Apertura
36
Orden jerárquico de operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces.
Sustitución de valores en las fórmulas.
Definición de variables.
Despeje de variables.
Mencione los ejemplos de aplicación de los contenidos que se abordarán. Ejemplos:
Se calcula el área antes de pintar una superficie, para no tener pintura sobrante y ahorrar dinero.
Se mide el contorno de un terreno, antes de comprar el alambre para cercarlo, se reducen gastos pues se compra sólo el material necesario.
Calcular el volumen de un recipiente de pastel, para producir la mezcla exacta y obtener la ganancia máxima.
10
minutos
Dibuje en el pizarrón las siguientes figuras geométricas o proyéctelas.
Pregunte ¿qué características tienen?
Solicite que marquen el contorno con un color y que pinten de un color diferente la región interna.
Indique que contesten las preguntas que aparecen en el manual y solicite las respuestas. Retroalimente de ser necesario.
1. ¿Qué representa el contorno de las figuras anteriores? a. Perímetro b. Área
2. ¿Cuál de las siguientes unidades le corresponde a la región interna de las figuras
anteriores? a. cm b. cm2
Desarrollo
37
10 minutos
Presente el problema titulado “La fiesta geométrica”.
En un parque se va a construir una alberca rodeada por una zona de descanso, con
cuatro mesas de diferente forma.
Indique al estudiante que identifique y anote el nombre de las seis figuras que observa.
3. ¿Cuál es la diferencia entre perímetro y área? Perímetro: es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica plana. Área: es la cantidad de espacio dentro de los límites de un objeto plano, como un triángulo o un círculo.
Pida que resuelvan las siguientes operaciones aritméticas, sin utilizar calculadora o celular. a. 2+4(3)= 14
Cuando todos los alumnos terminen de resolver el ejercicio, explique, de forma simple, el orden jerárquico para resolver las operaciones aritméticas, y contraste la forma correcta con la incorrecta. Correcto
2+4(3) =2+12
=14 Incorrecto
2+4(3) =6(3) =18
Resuelva la potencia paso a paso, y contraste la forma correcta con la incorrecta. b. 42= 16
Correcto
42=
=4×4
=16 Incorrecto
42=
=4×2
=8
Sustituye los siguientes valores "a=2 m=10 o=5 r=5", en la siguiente fórmula, y resuelve.
A=a+m
o×r=
A=2+10
5×5=2+2×5=2+10=12
38
Cuadrado Triángulo Trapecio
Pentágono Hexágono Rectángulo
Figura Geométrica
Perímetro Área
P=4×a A=a2
P=a+b+c A=b×h
2
P=n×L A=P×ap
2
P=2a+2b
A=a×b
P=B+b+a+c A=
h (B+b)
2
Volumen de cuerpos de superficies planas
39
Modele frente al grupo el cálculo de un perímetro y un área. Ejemplo:
Perímetro Área
P=B+b+a+c
P=3.5+1.5+2.2+2.2
P=9.4 m
A=h (B+b)
2
A=2 (3.5+1.5)
2
A=2 (5)
2
A=10
2
A=5 m2
Presente el problema “Adornando la fiesta”. La mamá de Víctor le va a celebrar su cumpleaños en el parque de su localidad, y te contrata para adornar las mesas, con las siguientes características: Cada mesa deberá tener un mantel de color azul cielo y un listón, alrededor, azul marino.
V = área de la base x h V= (P×ap
2)h
40
1. ¿Cuántos metros de listón necesitas comprar para el adorno de las mesas, sin que haya desperdicio?
2. ¿Cuántos metros de tela necesitas para que los manteles se ajusten perfectamente a la superficie?
10 minutos
Solicite al alumno contestar las siguientes preguntas:
1. ¿Sabes la fórmula para calcular la cantidad de listón para la mesa de forma triangular? a. Sí b. No Cuál
2. La fórmula A=a2 te permite calcular la cantidad de tela que necesitas para la mesa de forma:
a. Cuadrada b. Triangular c. Pentagonal
Verifique la adquisición de conocimientos y, en caso de ser necesario, refuerce los contenidos.
Deje que el estudiante resuelva el problema y que realice las actividades indicadas.
Motive en todo momento al estudiante.
Acompañe de manera directa a los estudiantes que muestren tener dificultades para resolver el problema.
Oriente al estudiante en la solución del problema.
Retroalimente personalmente al estudiante.
Responda los cuestionamientos de los estudiantes.
Solución del problema. ¿Cuántos metros de listón necesitas comprar para el adorno de las mesas, sin que haya desperdicio?
Cuadrado Triángulo Polígono regular Trapecio
P=4×a
P=4×1.5
P=6 m
P=a+b+c
P=1.7+1.7+1
P=4.4 m
P=n×L
P=5×0.8
P=4 m
P=B+b+a+c
P=2.5+1.5+1.8+1.8
P=7.6 m
Metros de listón
6 m+4.4 m+4 m+7.6 m=22 m ¿Cuántos metros de tela necesitas para que los manteles se ajusten perfectamente a la superficie?
41
Cuadrado Triángulo Polígono Regular
Trapecio
A=a2
A=1.52
A=2.25 m2
A=b×h
2
A=1×1.5
2
A=0.75 m2
A=P×ap
2
A=4×0.6
2
A=1.2 m2
A=h (B+b)
2
A=1.5 (2.5+1.5)
2
A=3 m2 Metros de tela
2.25m2+0.75m2+12m2+3m2=18m2
15 minutos
Solicite a los estudiantes que integren equipos de ocho y compartan sus resultados. Posteriormente pida que resuelvan el siguiente problema.
Presente el problema “Todos a la alberca”.
La alberca tiene una profundidad de 1.5 metros.
1. ¿Qué polígono regular se forma en la base de la alberca, y cuántos lados tiene? Polígono: Hexágono Número de Lados: 6 lados
2. ¿Cuál es la fórmula para calcular el volumen de la alberca?
a. V= (P×ap
2) h b. V=a×b×c c. V=a3
3. ¿Qué unidad de medida debe tener el resultado del cálculo del volumen, y por qué?
Respuesta: En cm3, porque se utilizan las dimensiones largo, profundidad y altura. 4. Calcula el volumen de la alberca e incluye el procedimiento.
P=n×L=6×17.4m=104.4 m
V= (P×ap
2) h= (
104.4m×12m
2)×1.5m=939.6 m3
Retroalimente, en todo momento.
42
10 minutos
Coordine la plenaria para que cada equipo comparta sus resultados y experiencias.
Puntualice en los aspectos que ayuden al estudiante a fortalecer la competencia.
Promueva la participación de todos los integrantes del grupo.
Refuerce los contenidos y habilidades que se abordan.
10 minutos
Verifique la adquisición de conocimientos, desarrollo de habilidades y cambio de actitudes, respecto a la competencia.
Pregunte:
¿Qué y cómo hicieron para resolver el problema planteado?
Menciona un ejemplo de aplicación de los contenidos que se abordaron en esta sesión.
Recapitule y retroalimente.
Para profundizar en los contenidos abordados, sugiera investigar y ejercitar, en las siguientes ligas:
khanacademy. Área y perímetro. (2017). https://es.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-area-and-perimeter
khanacademy. El volumen y el área de la superficie. (2017). https://es.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-volume-sa
GeoGebra. Relación de figuras geométricas con sus fórmulas. (2016). https://www.geogebra.org/m/c9WBRXyS
Cierre
43
70 minutos
10 minutos
Solicite que iluminen la siguiente figura mientras escuchan música: Sugerencias:
Música para estudiar, concentrarse y memorizar: https://www.youtube.com/watch?v=K3DyMyd9lwE
Música para estudiar y concentrarse Mozart https://www.youtube.com/watch?v=KUFBqXI52bM
Resuelve problemas que implican
construir círculos y polígonos
regulares, con base en información
diversa, y utiliza las relaciones entre
sus puntos y rectas notables.
HABILIDAD ESPECÍFICA
¿Qué enseñar?
Construir círculos
Construir polígonos
regulares
Puntos notables de
polígonos regulares
Rectas notables de
polígonos regulares
Sesión No. 3
Apertura
44
Pregunte: ¿Cómo se sintieron? ¿Les gusta escuchar música mientras estudian? ¿Por qué?
5 minutos
Anote en el pizarrón la habilidad que se va a desarrollar en la sesión, y explíquela brevemente.
Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares, con base en información diversa, y utiliza las relaciones entre sus puntos y rectas notables.
Indique la importancia que tienen los polígonos en la construcción. Por ejemplo: El Palacio de Bellas Artes, El Palacio de los Deportes, El Pentágono en USA, construcciones modernas, incluso diseños de mandalas, como la figura que acaban de iluminar, cuyo propósito es poder relajarse y combatir el estrés. No sólo en el área de arquitectura se utilizan los polígonos, también están presentes en el diseño de ropa y formación de compuestos químicos, incluso en la naturaleza, algunas flores tiene formaciones de este tipo.
10
minutos
Solicite que llenen la primera columna del cuadro Ra-P-Rp. Que corresponde a la técnica “Respuesta anterior, Pregunta, Respuesta posterior”, la cual permite construir significados en tres momentos basados en preguntas, una respuesta anticipada y una respuesta posterior. Se inicia con preguntas sobre el tema; posteriormente se responden con base en conocimientos previos; acto seguido se procede a revisar el objeto de estudio y se contestan las preguntas, con base en el objeto observado (Herminio, 2005).
Respuesta anterior Pregunta Respuesta posterior
¿Qué es un polígono?
¿Qué polígonos se observan en la figura que iluminaste?
¿A qué clasificación corresponden?
Desarrollo
45
¿Cuáles son los puntos notables de un polígono?
¿Cuáles son las rectas notables de un polígono regular?
¿Cuál es el procedimiento para trazar polígonos regulares?
Permita que los estudiantes expresen dudas o proporcionen más ejemplos.
Presente el siguiente problema:
Para realizar un trabajo escolar, se requiere construir un dodecaedro de 12 cm de radio, con el trazo de todas sus diagonales, ¿cuál es el procedimiento para construirlo? Representa la figura.
Polígono
Un polígono es una figura geométrica plana limitada por un número finito de líneas rectas conectadas, que forman una figura cerrada.
Elementos
Lados
Vértices
Ángulo central <c=360°
n
Clasificación de polígonos
Convexo: todos sus ángulos interiores tienen menos de180º. Por otro método, será convexo si para cualquierpar de puntos del polígono, el segmento que los une estádentro del polígono.
Cóncavo: un ángulo interior tiene más de 180º. Alcontrario del convexo, en el cóncavo existe un par depuntos en que el segmento que los une queda fuera delpolígono.
Equilátero: todos sus lados son iguales.
Equiángulo: todos sus ángulos son iguales.
Regular: todos los lados son iguales.
Irregular: tanto sus costados como susángulos son desiguales.
46
10 minutos
Forme equipos de trabajo de cinco alumnos por mes de cumpleaños, pida que indiquen el mes en que nacieron y vaya integrando los equipos. Si es necesario, incluya a algunos de meses diferentes.
Solicite que construyan el dodecaedro, con el siguiente procedimiento: 1. Traza una circunferencia con el radio indicado.
2. Calcula el ángulo central <c=360°
n=
360°
12=30°
Ángulos interiores <i=180°(n-2)
n
Ángulos exteriores <e=360°
n
Circunferencia inscrita
Circunferencia circunscrita
Apotema
Diagonales d=n(n-3)
2
10 minutos
Solicite la elaboración de un mapa cognitivo de cadena, donde se representen los pasos para resolver el problema.
El mapa cognitivo de cadena se conforma por una serie de recuadros que simulan una cadena continua unida por medio de líneas, donde se coloca la información por jerarquías, partiendo del tema de mayor relevancia al menor, los contenidos se clasifican de manera decreciente; se colocan elipses que emergen de los recuadros para anotar una referencia o característica. (Herminio, 2005). Por ejemplo:
5 minutos
Permita que de manera individual se trace con precisión de la figura.
Acompañe de manera directa a los estudiantes que muestren tener dificultades para resolver el problema.
Oriente al estudiante para resolver el problema.
Retroalimente personalmente al estudiante y responda sus cuestionamientos.
Construcción de
polígonos regulares
Identificar
información
47
3. Ubica los vértices en la circunferencia; utiliza transportador y compás. 4. Traza los lados (unión de vértices).
5. Calcula el número de diagonales d=n(n-3)
2=
12(12-3)
2=54
6. Traza las diagonales.
Supervise la actividad.
Retroalimente a los estudiantes acerca de sus trabajos.
Responda los cuestionamientos de los estudiantes.
Revise que todos los equipos hayan realizado el trazo correcto.
10 minutos
Solicite que cada equipo presente la figura que construyó, comparta sus resultados y su experiencia.
Puntualice en aquellos aspectos que ayuden al estudiante a fortalecer la competencia.
Promueva la participación de todos los integrantes del grupo.
Refuerce los contenidos y habilidades que se abordan.
Recapitule con la importancia de la habilidad en nuestra vida cotidiana.
10 minutos
Solicite que retomen el cuadro Ra-P-Rp, realizado en la fase de apertura, y completen la columna Respuesta posterior.
Respuesta anterior Pregunta Respuesta posterior
¿Qué es un polígono?
¿Qué polígonos se observan en la figura que iluminaste?
¿A qué clasificación corresponden?
Cierre
48
¿Cuáles son los puntos notables de un polígono?
¿Cuáles son las rectas notables de un polígono regular?
¿Cuál es el procedimiento para trazar polígonos regulares?
Pida que lean, de forma voluntaria las respuestas escritas en el cuadro.
Recapitule y concluya con la importancia de los conceptos revisados y el procedimiento utilizado en la construcción de polígonos.
Verifique que todos los estudiantes hayan realizado el trazo correctamente.
Indique que revisen los siguientes sitios.
http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/poligono/ Definición de polígonos.
https://es.wikibooks.org/wiki/Geometr%C3%ADa_Plana/Pol%C3%ADgonos/Elementos_de_un_pol%C3%ADgono Elementos de polígonos.
http://www.dibujotecnico.com/construccion-de-poligonos-regulares-dada-la-circunferencia-circunscrita/ Trazo de polígonos regulares.
Solicite para reforzar la habilidad resolver los problemas que se encuentran en:
https://drive.google.com/open?id=0B4hKoIuJs708TURsZlk5MGNjR1U
49
80 minutos
5 minutos
Aplique la técnica: Botones cerebrales.
Solicite a los alumnos se pongan de pie y sigan las indicaciones: 1. Abre el compás de piernas a la altura de los hombros. 2. Coloca tu mano izquierda sobre el ombligo presionándolo y los dedos restantes
entre la primera y segunda costilla al corazón. 3. Coloca los dedos índice y pulgar de la mano derecha presionando las arterias
carótidas (las que van del corazón al cerebro) que están en el cuello. 4. Apoya la lengua en el paladar.
Indique al grupo mantener ésta posición durante un minuto. Puede utilizar música.
Determina la medida de diversos
elementos del círculo, como
circunferencia, superficie, ángulo
inscrito y central, arcos de la
circunferencia, sectores y coronas
circulares.
HABILIDAD ESPECÍFICA
¿Qué enseñar?
Ángulo central
Ángulo inscrito
Circunferencia
Superficie de círculo
Arco de circunferencia
Sector circular
Corona circular
Sesión No. 3
Apertura
50
Comente algunos de los beneficios de ésta técnica.
Normaliza la presión sanguínea.
Despierta el cerebro.
Estabiliza una presión normal de sangre al cerebro.
Alerta el sistema vestibular.
Aumenta la atención cerebral (Ibarra, 2001).
Pregunte: ¿Cómo se sintieron? ¿Les gustó la actividad? ¿Están dispuestos a poner atención? ¿Qué es lo mejor que pueden hacer el día de hoy? ¿Qué es lo que más les entusiasma?
10
minutos
Anote en el pizarrón la habilidad que se va a desarrollar en la sesión y las palabras clave que le permitan realizar la explicación, resaltando su importancia.
Determina la medida de diversos elementos del círculo, como circunferencia, superficie, ángulo inscrito y central, arcos de la circunferencia, sectores y coronas circulares.
Algunas de las palabras clave, pueden ser: Sector circular Circunferencia Ángulo central Corona circular Arco Ángulo inscrito Círculo
Indique la importancia de ésta habilidad en la vida cotidiana y las diferentes aplicaciones que se tiene con estos elementos.
Por ejemplo:
Permita que los estudiantes expresen dudas o proporcionen más ejemplos.
51
15
minutos
Indique al alumno, que escriba el nombre de cada figura relacionada con los contenidos de la habilidad del día, las palabras clave y las expresiones de cada una de ellas.
Corona circular Sector circular Circunferencia
S=π(R2-r2) S=πr2n0
3600 L=πd
Círculo Ángulo central Ángulo inscrito
S=πr2
<AOB= AB⏞
<AOB=1
2AB⏞
Al concluir recupere las respuestas de los estudiantes, retroalimente de ser necesario.
Corona circular Sector circular Circunferencia
Espacio comprendido entre dos circunferencias
concéntricas.
Porción de círculo comprendido entre dos
radios.
Línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro
punto llamado centro.
S=π(R2-r2) S=πr2no
3600 L=πd
Desarrollo
52
Círculo Ángulo central Ángulo inscrito
Superficie plana limitada
por una línea curva (circunferencia).
Ángulo con vértice en el centro de la circunferencia, su amplitud coincide con el arco
que abarca.
Ángulo con vértice sobre la circunferencia y sus
lados dos secantes.
S=πr2
∠AOB= AB⏞
∠AOB=1
2AB⏞
Arco
Porción de la circunferencia
comprendida entre dos radios.
Ejemplo:
Un pay de limón de forma circular con 16 cm de diámetro, es cortado en 8 partes iguales.
¿Qué superficie tiene cada rebanada?
Solución: 25.12 cm2
Presente el siguiente problema.
Te han contratado para construir la nueva rueda de la fortuna del centro de atracciones
“Colibrí”, ya que la primera se construyó en 1893, por el Ingeniero George Washington
Ferris. El dueño del lugar te solicita que consideres las siguientes especificaciones para
la construcción:
Con una altura de 165 metros.
Debe tener 25 canastillas.
a. ¿Cuál es el tamaño de la circunferencia que tendrá la nueva rueda de la fortuna y poder solicitar el material necesario para su elaboración?
53
10
minutos
Indique al alumno que conteste la siguiente pregunta: ¿Cómo lo vas a solucionar?
Indique que resuelva de manera individual el problema.
Supervise la actividad y motive en todo momento a los estudiantes.
Acompañe de manera directa a los estudiantes que presentan dificultades al resolver el problema.
Retroalimente personalmente al estudiante, y responda sus cuestionamientos. Al terminar:
Seleccione un estudiante para que anote en el pizarrón el proceso utilizado y la respuesta obtenida.
Pregunte a los estudiantes sobre la certeza del resultado y procedimiento utilizado, permita la participación voluntaria.
Solución del problema
a. ¿Cuál es el tamaño de la circunferencia que tendrá la nueva rueda de la fortuna y poder solicitar el material necesario para su elaboración?
L=πd
=π(165)=3.14(165)=518.1 b. ¿Cuál es la amplitud del ángulo central que determina la separación de las canastillas?
∠AOB= AB⏞
∠AOB=360°
25=14.4°
c. ¿A qué distancia estará una canastilla de otra para evitar que choquen? R. 14.4°
15 minutos
Forme equipos de trabajo con cinco integrantes; asigne un número consecutivo a los estudiantes del grupo (de acuerdo al número de integrantes, repita la numeración al tener el número de equipos en el grupo) asigne roles a cada integrante.
Solicite resuelvan los siguientes problemas:
1. Un salón para fiestas de forma circular tiene 7 m de radio y una pista para bailar en el centro de 8 m de diámetro, ¿cuántos metros cuadrados estarán disponibles para colocar las mesas y sillas?
Solución: 50.24 𝑐𝑚2
b. ¿Cuál es la amplitud del ángulo central que determina la separación de las canastillas?
c. ¿A qué distancia estará una canastilla de otra para evitar que choquen?
54
2. Una pizza circular de 20 cm de diámetro se corta en 10 trozos iguales, ¿qué porción representa cada trozo?
Solución: 31.4 𝑐𝑚2
3. Para un trabajo escolar del día de las madres, los alumnos de la secundaria 66, realizarán un marco circular de cartón, como se muestra.
¿Qué cantidad de material utilizarán para la elaboración del marco? (considera 𝜋 =3.14).
Solución: 28.26 𝑐𝑚2
4. Las ruedas de una bicicleta tienen 60 cm de diámetro, ¿cuántas vueltas habrá dado cada una, después de recorrer 301.44 m?
Solución: 160 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
Supervise al grupo y retroalimente, de ser necesario.
Responda los cuestionamientos de los estudiantes.
Integre a los dos primeros equipos que terminen a los demás equipos. Para ello, utilice la técnica “El embajador”. Los integrantes de los primeros equipos que concluyan, son embajadores que se integran a otro equipo, llevan el resultado y explican el procedimiento.
Revise que todos los equipos coincidan con los resultados.
10 minutos
Coordine la plenaria para que cada equipo comparta sus resultados y su experiencia.
Señale la importancia de seleccionar correctamente el elemento al que se refiere cada problema, además de elegir la expresión adecuada para el cálculo.
Puntualice en aquellos aspectos que ayuden al estudiante a fortalecer la competencia matemática.
Cierre
55
Promueva la participación de todos los integrantes del grupo.
15
minutos
Pida que resuelvan el siguiente ejercicio, relacionando correctamente las columnas.
( B ) 1. Longitud del carrusel si el radio es de 3 m.
A. 19.625 m2
( D ) 2. Superficie de una
porción de gelatina si tiene un radio de 12 cm y esta partida en 12 secciones iguales.
B.18.84 cm
( A ) 3 Cantidad de material para
elaborar el mantel de la mesa, sí el radio es de 2.5 m y se desea que sea exacto con los borde de ésta.
C. 9.42 m
D. 37.68 cm2
Para profundizar en los contenidos abordados, sugiera investigar y ejercitar, en las siguientes ligas:
https://www.thatquiz.org/es/previewtest?A/R/J/O/50991286229611
Sector circular
http://www.aulafacil.com/cursos/l10835/ciencia/matematicas/areas-geometricas
Ejercicios resueltos
https://es.khanacademy.org/math/eb-2-secundaria/eb-circulos/eb-los-angulos-centrales-inscritos-y-circunscritos/e/inscribed_angles_1
Ángulos inscritos
http://www.vitutor.com/geo/eso/ac_5e.html
Ejercicios interactivos
56
60 minutos
5 minutos
Para iniciar la sesión, realice la actividad “La pelotita preguntona”. Lance una pequeña pelota de esponja (o bien de papel, improvisada en ese momento), a los integrantes del grupo al azar; indicándoles que al que le toque, responderá brevemente unas preguntas. Pueden ser:
¿Te gusta la escuela? ¿Tú la elegiste? ¿Crees que es una buena opción para seguir estudiando? ¿Por qué? ¿Ya hiciste amigos?
De manera breve concluya motivando al grupo, agradezca la participación.
Mencione los beneficios que les traerá estudiar en su actual escuela.
5
minutos
Lea la competencia.
Resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal o cuadrática de una sucesión.
Explique la utilidad de la competencia en la vida cotidiana. Por ejemplo:
Resuelve problemas que implican
expresar y utilizar la regla general
lineal o cuadrática de una sucesión.
HABILIDAD ESPECÍFICA
¿Qué enseñar?
Análisis de una
sucesión
Expresar la regla
de sucesión
Utilizar una regla
de sucesión
Sesión No. 4
Apertura
57
Las siguientes actividades pertenecen al área de conocimiento de lógica matemática y te ayudarán a reconocer patrones de seguimiento, mejor conocidas como sucesiones numéricas, las cuales pueden ser lineales o cuadráticas, expresadas mediante una regla o fórmula; las puedes utilizar en la solución de un problema. Este tipo de conocimiento es muy utilizado en los videojuegos o en juegos de destreza y habilidad, como por ejemplo: el famoso “Cubo de Rubik”, en todos ellos, la base principal de su desarrollo es una sucesión. En la vida cotidiana, aunque es difícil reconocer, existen de forma natural elementos que hacen alusión a la sucesión, por ejemplo: los postes de luz y del teléfono, están separados siguiendo una regla (sucesión), otro ejemplo es la numeración de las casas, llevan sucesiones, y así podemos seguir mencionando algunas otras.
15
minutos
Solicite al estudiante contestar las preguntas, al concluir, en forma grupal analicen algunas de las respuestas. 1. ¿Sabes qué es una sucesión?
Respuesta: es un conjunto ordenado de números, que siguen una determinada regla.
2. ¿Qué es una sucesión lineal? Respuesta: aquella regla que se sigue para encontrar los elementos de la sucesión, es una expresión lineal o de primer grado.
3. ¿Qué es una sucesión cuadrática? Respuesta: regla que se sigue para encontrar los elementos de dicha sucesión, es una expresión de segundo grado.
4. ¿Cómo se llaman los elementos de una sucesión? Respuesta: se conocen como términos o miembros de la sucesión, incluso la palabra elementos es muy utilizada.
5. ¿Cómo encontrar una regla en una sucesión? Respuesta: tomando en cuenta que puede ser una sucesión aritmética (en la cual la sucesión se obtiene mediante una suma) y una geométrica (cuya sucesión se obtiene mediante una multiplicación), solo es cuestión de encontrar de forma intuitiva una fórmula que se ajuste a la sucesión, sin embargo, existen métodos adecuados para encontrarlas con exactitud.
Desarrollo
58
Sucesión
Si se tiene, una sucesión como la siguiente: 1, 3, 5, 7, 9… es fácilmente observable que los siguientes números serian: 11, 13, 15, etc. La pregunta es ¿cuál es el número que ocupa la posición 200?, nos resultará muy complicado y laborioso escribir toda la sucesión y verificar cuál es el que ocupa dicha posición, para esto es necesario, encontrar una fórmula o una expresión que nos permita obtener el dato sin necesidad de desarrollar todo la sucesión. Primero para hablar el mismo lenguaje, tenemos que n, representa una numeración continua empezando por el número 1, pues este hace alusión a la posición de cada término. Analizando entonces tenemos:
Como observas, tenemos que la constante es 2, este lo multiplicamos por n formándose la expresión 2n, tomando como referencia el primer término de la sucesión (1), tenemos: 2n+( )=1, el paréntesis indica que falta completar la expresión con un número, el cual obtendremos a continuación: Si sustituimos n por 1 nos da:
2(1)+( )=1 Simplificando 2+( )=1
El número que se coloca en el paréntesis, debe ser -1, para que se cumpla la igualdad.
2-1=1
Por lo tanto, la expresión general de la sucesión será:
2n-1 Sustituimos los primeros números que componen n.
2(1)-1=1 2(2)-1=3
59
2(3)-1=5 2(4)-1=7
De esta forma, encontramos el número que está en la posición 200, tenemos:
2(200)-1=399
Para el caso de las cuadráticas, analizamos una sucesión como la siguiente:
1, 4, 9, 16, 25,…
Alguien muy observador, dirá que son los cuadrados de n, y efectivamente lo es, sin embargo, verifiquemos qué pasa si hacemos un análisis como el que se realizó.
Como podrás verificar, la constante apareció hasta el segundo nivel, nos indica que se trata de una expresión cuadrática o de segundo grado, ahora, solo buscaremos de forma intuitiva la expresión; por el momento no es parte del desarrollo de nuestra actividad, el encontrar la expresión, con otro método. Entonces tenemos que la expresión para esta sucesión es: n2 Comprobando para los números dados, se tiene:
(1)2=1 (2)2=4 (3)2=9 (4)2=16 (5)2=25
Si tuviéramos que resolver ¿cuál es el número que está colocado en el lugar 25? Calculamos:
(25)2=625
Solicite a los estudiantes, leer el problema de manera individual.
En un juego de acomodar cubos en forma de pirámide invertida, como se muestra a
continuación:
60
1. ¿Cuál es la expresión general de la sucesión?:
2. Si en el primer nivel, hay un cubo, ¿cuántos cubos tiene el nivel 10?
3. ¿Cuántos cubos exactamente se necesitan para formar la pirámide con 10 niveles?
4. Si la pirámide empieza con 1 cubo en el primer nivel, 3 en el segundo, 5 en el tercero,
7 en el cuarto, etc.
a. ¿Cuál es su expresión?
b. ¿Cuántos cubos tendrá ahora el nivel 10?
c. ¿Cuántos cubos se necesitan para formar la pirámide de 10 niveles?
5 minutos
Antes de resolver el problema indique a los alumnos, contesten las siguientes preguntas: ¿Con la información que ya tienen pueden responder las preguntas relacionadas con las sucesiones? ¿Se necesitan fórmulas, información adicional o algún otro dato? ¿Ya estamos en condiciones de resolver el problema? ¿Cómo lo van a desarrollar? ¿Qué material extra se necesita para lograrlo?
Indique que el único material extra que ocuparán, será una calculadora o celular.
10 minutos
Solicite al estudiante que resuelva el problema de manera individual,
Deje que el estudiante resuelva el problema y realice las actividades indicadas.
Motive en todo momento al estudiante.
Acompañe de manera directa a los estudiantes que observa con dificultades.
Oriente al estudiante en la solución del problema.
Retroalimente personalmente al estudiante.
Responda los cuestionamientos de los estudiantes. Solución al problema:
61
5 minutos
Apoyándose con una técnica, pida a cada representante de equipo, exponga la forma de resolver la sucesión.
Mencione los errores en que hayan incurrido y medidas para evitarlos. También es importante que felicite a los que no tuvieron errores o estos fueron los mínimos a manera de estímulo.
Concluya preguntando (de manera general aunque dirigiéndose a algunos en particular) ¿Qué aprendiste?
10 minutos
Solicite a los alumnos que resuelvan el siguiente ejercicio:
Se tiene la siguiente sucesión: 1
2,
7
2,
13
2,
19
2,
25
2…
a. ¿Cuál es la expresión general de la sucesión?
b. ¿Cuáles son los dos números que siguen?
c. ¿Cuál numero está en la posición 15
Respuestas:
a. 3n-5
2
Pregunta Respuesta
1 N
2 10 cubos
3 55 cubos
4
a 2n-1
b 19 cubos
c 100 cubos
5 minutos
Indique a los alumnos que se reúnan en equipos de seis personas y realicen lo siguiente: 1. Comparen sus respuestas con las individuales, si es necesario, corrijan las individuales.
2. Elijan un representante que escriba los resultados en el pizarrón. 3. Comparen sus resultados con los otros expuestos, si es necesario retroalimenten y
corrijan errores.
Cierre
62
b. 31
2 y
37
2
c. 85
2
Realice a los alumnos las siguientes preguntas:
¿En este último problema, qué fue lo que más se les complicó?
¿Se resolvió con procedimientos semejantes a los que veníamos realizando? ¿Cuáles?
¿Para qué sirve en nuestra vida cotidiana, este tipo de cálculos?
Termine la sesión comentando:
“En general las habilidades se pueden desarrollar, sin embargo muchos ya nacen con ellas, las capacidades se aprenden, la lógica matemática pone en práctica ambas áreas de conocimiento, para lograr un mejor manejo de ellas, es como un deporte, se necesitan practicar. Por eso te dejo dos links en los que podrás encontrar más ejercicios y teoría que te ayude a desarrollar tus habilidades y capacidades, y con esto mejorar en el desarrollo de la lógica matemática”.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html
http://math2me.com/playlist/series-y-sucesiones
63
90 minutos
10 minutos
Aplique la técnica “Un hombre de principios”. Lleve una pelota o globo y colóquese en el centro del aula. Inicie la técnica narrando cualquier historia donde todo debe empezar con una letra, por ejemplo: “Tengo un tío que es un hombre de principios muy sólidos, para él todo debe empezar con la letra P”. Lance la pelota a uno de los estudiantes e indique que complete la oración “por eso su esposa se llama…” permita que dé su respuesta, lance la pelota a otro compañero, diciendo “a ella le gusta comer …”, a otro “su mascota es …”, uno más “se fue a pasear a …” y por último “se encontró un …”.
Pregunte: ¿Cómo se sintieron? ¿Les gusto la actividad? ¿Están dispuestos a desarrollar su competencia matemática hoy? ¿Qué pueden hacer para mejorar tu atención? ¿Qué esperan aportar hoy a la sesión?
Resuelve problemas vinculados a la
proporcionalidad directa, inversa o
múltiple, como porcentajes, escalas,
interés simple o compuesto.
HABILIDAD ESPECÍFICA
¿Qué enseñar?
Proporcionalidad
directa.
Proporcionalidad
inversa.
Proporcionalidad
múltiple
Sesión No. 4
Apertura
64
5 minutos
Anote en el pizarrón la habilidad que se va a desarrollar en la sesión y brevemente explique la importancia en la vida cotidiana y académica. Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto. La narración puede ser: La habilidad específica que se trabajará hace referencia al contenido de proporcionalidad, la cual se clasifica en directa, inversa y compuesta. Para tener éxito y comprenderla, es necesario realizar operaciones básicas de la aritmética como: suma, resta, multiplicación y división, con números reales. La proporcionalidad es muy importante, se aplica de muchas maneras en nuestra vida diaria, por ejemplo: para determinar el costo final de un artículo cuando tiene descuento, también para calcular distancias reales en un mapa a escala, para realizar compras, entre otros.
Permita que los estudiantes expresen dudas o proporcionen más ejemplos.
10 minutos
A través de una lluvia de ideas recupere los conceptos de razón, proporción, clasificación de proporciones y sus características, procedimiento para resolverlas o el teorema fundamental de las proporciones.
Razón
Razón matemática: la comparación entre dos magnitudes o valores, se expresa en forma
de cociente o como relación: a
b ó a:b (se lee “a” es a “b”), donde a y b es cualesquier
número. Proporción: es la igualdad entre dos razones. a
b=
c
d, a:b∷c:d (Se lee “a” es a “b” como “c” es a “d”), los términos a y d se denominan
extremos mientras que b y c son los medios, por ejemplo:
4
2=
12
6, 9:24∷18:48,
7
3=
x
4
Proporcionalidad directa: dos magnitudes son directamente proporcionales, si al producirse el aumento de una de ellas, las cantidades que corresponden a la otra también aumentan en las mismas cantidad y viceversa, sí una disminuye la otra también lo hace en la misma proporción.
Desarrollo
65
Proporcionalidad inversa: dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción. Proporción múltiple: si intervienen tres o más magnitudes, las relaciones proporcionales dos a dos de las magnitudes pueden ser distintas, es decir, puede ser una directa y otra inversa o ambas del mismo tipo. La ley fundamental de las proporciones, establece que el producto de los extremos es igual al producto de los medios a·d = b·c, con ella se pueden resolver gran cantidad de problemas con proporciones, pero es importante primero identificar el tipo de proporción que represente la situación.
10 minutos
Solicite a los alumnos, relacionar las columnas uniendo con una línea, el tipo de proporción que le corresponde a cada ejemplo. Al término, pida a tres estudiantes sus respuestas.
Tipo de proporción Ejemplo
Razón matemática
Un grupo de 15 personas se organizan para realizar limpieza de su comunidad, consideran que en 4 horas la actividad estará concluida, sí el día acordado acuden 10 voluntarios más, ¿en cuánto tiempo terminarán la labor?
Proporcionalidad directa
Cuánto es el 18% de $550,00
Proporcionalidad inversa
Cuatro mangueras tardan 6 horas en llenar una alberca. ¿Cuánto tardarán tres mangueras en llenar la misma alberca?
Al concluir la actividad, presente el problema que tendrán que solucionar, primeramente de manera individual y posteriormente en equipo. Problema: Te han solicitado que seas el padrino de pastel de los quince años de Ángeles, para 500 personas. Para comprar el pastel, buscas en diferentes pastelerías las ofertas en precios y calidad, en tu búsqueda encontraste las siguientes opciones:
Pastelería Costo x 200 personas Descuento
Pastelandia $5 000.00 17%
La Morena $4,300.00 5%
La Guadarrama $4,700.00 15%
66
¿Cuál es el costo total que pagarías en cada pastelería para el número de personas que asistirán a la fiesta de Ángeles? ¿En qué pastelería sale más caro? Si cuentas con un presupuesto de $10,000.00 ¿en qué pastelería, lo tendrás que comprar?
10 minutos
Pregunte al grupo: ¿Qué sé, y me ayuda a resolver el problema?
Indique que resuelva de manera individual el problema planteado.
Acompañe de manera directa a los estudiantes que observa con dificultades para resolver el problema.
Oriente al estudiante para resolver el problema.
Retroalimente personalmente al estudiante y responda sus cuestionamientos. Solución del problema:
Pastelandia Precio con descuento = 5000 - 17%= 4150
Costo Total =200
500=
4150
x
x=4150(500)
200=10375
La Morena Precio con descuento = 4300 - 5%= 4085
Costo Total =200
500=
4085
x
x=4085(500)
200=10212.5
La Guadarrama Precio con descuento = 4700 - 15%= 3995
Costo Total =200
500=
3995
x
x=3995(500)
200=9987
1. ¿En qué pastelería sale más caro?
Respuesta: Pastelandia
2. Si cuentas con un presupuesto de $10,000.00 ¿En qué pastelería lo tendrás que comprar?
Respuesta: en la Guadarrama
67
15 minutos
Forme equipos de trabajo de cinco integrantes, por colores.
Pregunte por su color favorito y reúna a los participantes de cada equipo de acuerdo al color de su preferencia, asigne roles a
cada integrante.
Indique a los equipos verificar que todos hayan obtenido el mismo resultado en la revisión del problema presentado.
Supervise la actividad y retroalimente en todo momento.
Asigne uno de los siguientes problemas para ser resuelto por cada equipo:
¿Cuánto es el 18% de $550,00? Solución: $99.00
Cuatro mangueras tardan 6 horas en llenar una alberca. ¿Cuánto tardarán tres mangueras en llenar la misma alberca?
Solución:4.5 horas
Un grupo de 15 personas se organizan para realizar limpieza de su comunidad, consideran que en 4 horas la actividad estará concluida, sí el día acordado acuden 10 voluntarios más, ¿en cuánto tiempo terminarán la labor?
Solución:2.4 horas
Una persona tiene la presión arterial muy baja, el médico sabe que 2 mg. de cierta medicina aumenta en promedio 3 unidades de presión. Sí el médico quiere aumentar la presión 22 unidades ¿Cuántos miligramos de medicina debe recetar?
Solución:14.66mg
Para hacer una obra en 84 días se emplean 46 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitan para hacer la misma obra en 14 días?
Solución: 276 obreros
En una receta de pan se necesita 3 tazas de leche por cada 5 tazas de harina ¿Cuántas tazas de leche se necesitan sí se han puesto 18 tazas de harina?
Solución: 4.8 tazas, 44
5𝑡𝑎𝑧𝑎𝑠
Un grupo de 20 excursionistas llevan provisiones para 15 días. Si al momento de partir el grupo aumenta a 25 excursionistas, ¿para cuántos días les alcanzarán las provisiones?
Solución: 12 días
68
En un mapa 1
4 de pulgada representan 7 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros representaría
5 pulgadas? Solución:140km
Sí en la construcción de una calle se emplearon 10 obreros y se terminó en 20 días, ¿En cuántos días hubieran realizado 40 obreros la misma construcción?
Solución: 5 días
Un electrodoméstico tiene precio de lista $4900, sí se encuentra en promoción con el 5% de descuento ¿Cuál es su precio final?
Solución:$4655
15 minutos
Coordine la plenaria para que cada equipo comparta sus resultados y su experiencia.
Puntualice en aquellos aspectos que ayuden al estudiante a fortalecer la competencia.
Promueva la participación de todos los integrantes del grupo.
Refuerce los contenidos y habilidades que se abordan.
15 minutos
Verifique la adquisición de conocimientos, desarrollo de habilidades y cambio de actitudes, respecto a la competencia.
Solicite elaboren un cuadro sinóptico, que muestre las características de los diferentes tipos de proporciones. Proporcionalidad directa:
Ejemplos Proporcionalidad Proporción inversa:
Ejemplos
Proporcionalidad múltiple: Ejemplos
Pida que resuelvan los siguientes problemas y comparen, entre ellos sus resultados.
Cierre
69
1. Para alimentar 2 perros se necesitan 1.5 kg de alimento semanalmente, ¿cuántos kilogramos de alimento se necesitan para alimentar 5 perros?
Solución: 3.75kg
2. Sí 4 personas tardan 8 días en cosechar un terreno, ¿cuántas personas se necesitan para hacerlo en 2 días?
Solución: 16 personas
Para profundizar y ejercitar, en los contenidos abordados, sugiera investigar en los siguientes sitios:
http://www.definicionabc.com/ciencia/proporcionalidad.php Definición y clasificación de proporciones
http://www.ejerciciosweb.com/proporcionalidad/compuesta.html Problemas resueltos de proporcionalidad múltiple
http://www.vitutor.com/di/p/a_11.html Conceptos y ejemplos de tipos de proporciones
https://es.khanacademy.org/math/mx-math-by-grade/eb-1-semestre-bachillerato/eb-ecuaciones-lineales-y-desigualdades-3/eb-razones-y-proporciones-8/e/proportions_1 Ejercicios para practicar la solución de proporciones
https://www.thatquiz.org/es-3/matematicas/fraccion/ Ejercicios para practicar cálculo de porcentajes
70
125 minutos
10 minutos
Aplique la técnica de “Cuerpo congruente”. Indique a los alumnos se pongan de pie al lado de su lugar, cierren los ojos y los mantengan cerrados hasta que finalice la actividad. A continuación, con las manos toquen sus orejas, luego sus ojos, sus piernas, sus pies, sus brazos, sus hombros, su cabello, sus rodillas y su corazón. Para finalizar respiren profundamente, sosteniendo la respiración por cinco segundos y exhalen con fuerza.
Pregunte: ¿Qué partes de su cuerpo se encuentran en pares? ¿Qué partes de su cuerpo que se mencionaron no se encuentran en pares?
10 minutos
Explique la habilidad específica que se va a desarrollar. Resuelve problemas que impliquen aplicar las propiedades de la congruencia y la semejanza en diversos polígonos.
Mencione los contenidos que se requieren para el desarrollo de la habilidad específica: Operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
Resuelve problemas que impliquen
aplicar las propiedades de la
congruencia y la semejanza en
diversos polígonos.
HABILIDAD ESPECÍFICA
¿Qué enseñar?
Congruencia y
semejanza
Sesión No. 5
Apertura
71
A
x
4 10
4 8
10
B C
Mencione ejemplos contextualizados y reales, de la aplicación de los contenidos que se abordarán. Ejemplos: 1. Las alas de un avión deben tener la misma forma y tamaño, de lo contrario el avión
no podrá volar. 2. Se dibujan mapas a escala para representar la geografía de un lugar. 3. Se realizan maquetas a escala de los edificios antes de su construcción. 4. Se puede calcular la altura de objetos sin necesidad de medirlos directamente y tener
el riesgo de caer.
15 minutos
Introduzca a los estudiantes en los siguientes contenidos: criterios de congruencia y semejanza en diversos polígonos.
Indique que observen las figuras que se encuentra en su manual, pídales colorear de azul las figuras que tiene la misma forma y tamaño, de color verde las figuras que tiene la misma forma, pero distinto tamaño.
Indique al alumno que realice lo siguiente: 1. Observen los dos pentágonos, ¿la medida de sus lados es la misma?, ¿sus ángulos
tienen la misma medida?
2. Observen los dos triángulos de la última fila, ¿la medida de sus lados es igual?, ¿los ángulos internos cambian al reducir o aumentar su tamaño?
40 minutos
Presente el ejercicio “Pez congruente y semejante”, modele su solución.
Indique a los alumnos que observen los triángulos A, B y C que forman al pez
Desarrollo
72
Pregunte.
1. ¿Cuáles son iguales o congruentes?
Respuesta: B y C
2. ¿Qué triángulos son semejantes, es decir tiene la misma forma pero distinto tamaño?
a) A y B b) B y C
Explique que “El lado del triángulo que mide 10 unidades y el que mide 4 unidades, son correspondientes y semejantes. Entre ambos lados existe una razón de semejanza, la cual se obtiene al dividir el lado más grande entre el más pequeño.
Pregunte 3. ¿Cuál es la razón de semejanza?
r=10
4=2.5
4. ¿Qué otros lados son correspondientes?
Respuesta: el que mide ocho unidades y el lado que tiene una “x”.
a. ¿Se puede calcular su razón de semejanza?
Respuesta: no, porque no se puede realizar la división.
8
x=?
Explique “Si los triángulos son semejantes, es decir tiene la misma forma, no es necesario volver a calcular la razón de semejanza”.
Pregunte 5. ¿Cuál es la medida del lado “x”?
x=8
2.5 ∴ x=3.2
10
8
x
4
x
4
10
8
73
6. ¿Se puede aplicar lo anterior en otras figuras geométricas semejantes además del
triángulo? Respuesta: si
Explique los tres criterios de semejanza para los triángulos.
Criterios de semejanza
15 minutos
Presente el problema “La maqueta”.
Problema: Los alumnos de segundo grado realizarán una réplica proporcional de una pirámide, la cual debe tener una base de 0.2 m.
1. ¿Los triángulos son congruentes o semejantes? 2. Cuál es la razón de semejanza? 3. ¿Cuál es la medida del lado “x”?
Indique al alumno que lo resuelva, de manera individual.
Deje que el estudiante resuelva el problema.
Motive en todo momento al estudiante.
Acompañe de manera directa a los estudiantes que se observan con dificultades para resolver el problema.
40 m 0.2 m
50 m 50 m
x
74
Oriente al estudiante en la resolución del problema.
Retroalimente personalmente al estudiante.
Responda los cuestionamientos de los estudiantes.
Solución del problema 1. ¿Los triángulos son congruentes o semejantes?
Semejantes 2. ¿Cuál es la razón de semejanza?
r=40 m
0.2 m=200
3. ¿Cuál es la medida del lado “x”?
x=50 m
200 ∴ x=0.25 m
20 minutos
Solicite a los estudiantes reunirse en equipos de cinco.
Indíqueles compartir sus resultados del problema “La maqueta”, después deberán de resolver la siguiente actividad, en forma colaborativa.
Problema “La altura de la bandera”. Una persona parada en el Zócalo observa la bandera a las 10 de la mañana y tiene la curiosidad de saber cuánto mide de altura el asta bandera. Los datos con los que cuenta son: la distancia de la sombra del asta bandera, su propia altura y la longitud de su sombra.
1. ¿Cuál es la razón de semejanza?
r=20 m
0.8 m=25
1.85 m
x
20 m 0.8 m
Cierre
75
15 minutos
Verifique la adquisición de conocimientos, desarrollo de habilidades y cambio de actitudes, respecto a la competencia.
Pregunte: ¿Qué y cómo hicieron para llegar a resolver el problema planteado?
Menciona un ejemplo de aplicación de los contenidos que se abordaron en esta sesión.
Sugiera investigar para profundizar en los contenidos abordados y ejercitar, en las siguientes ligas:
khanacademy. Introducción a la semejanza de triángulos (2017).
https://es.khanacademy.org/math/eb-3-secundaria/eb-semejanzas/eb-semejanza-en-triangulos/v/similar-triangle-basics
khanacademy. Postulados o criterios para semejanza de triángulos (2017).
https://es.khanacademy.org/math/eb-3-secundaria/eb-semejanzas/eb-semejanza-en-triangulos/v/similarity-postulates
khanacademy. Resuelve triángulos semejantes avanzados. (2017).
https://es.khanacademy.org/math/algebra-basics/core-algebra-geometry/copy-of-triangle-similarlity/e/solving_similar_triangles_2
2. ¿Cuál es la medida del lado x?
x=1.85 m ×25 ∴ x=46.25 m
Indique a los estudiantes, comparar sus resultados con otro equipo.
Retroalimente de ser necesario.
76
150 minutos
10
minutos
Aplicar la técnica de “Triángulos flotantes” Indique al alumno que se ponga de pie al lado de su lugar, dibuje un triángulo en el aire con cada mano como lo muestran las figuras, empezando en la punta superior y siguiendo las flechas. Repetir la acción tres veces. Guíe con la siguiente instrucción: hacia abajo, al centro y de regreso al punto de inicio.
Ahora formen los siguientes triángulos empezando en la punta inferior y siguiendo las flechas. Repetir la acción tres veces. Guíe con la siguiente instrucción: hacia arriba, al centro y de regreso al punto de inicio.
Mano
Derecha
Mano Izquierda
Aplica el teorema de Pitágoras y las
razones trigonométricas seno, coseno
y tangente en la resolución de
problemas.
HABILIDAD ESPECÍFICA
¿Qué enseñar?
Teorema de
Pitágoras
Razones
trigonométricas
Sesión No. 6
Apertura
77
Pregunte. ¿Alguien identifica que tipo de triángulo fue el que se trazó en el aire? ¿Qué tipos de triángulos recuerdas? ¿Dónde podemos encontrar este triángulo en nuestro entorno?
5 minutos
Explique la habilidad específica que se va a desarrollar. Aplica el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas seno, coseno y tangente en la resolución de problemas.
Mencione los contenidos que se requieren para el desarrollo de la habilidad específica. Sustitución de valores en fórmulas. Despeje variables. Teorema de Pitágoras Razones trigonométricas
Mencione ejemplos contextualizados y reales de la aplicación de los contenidos que se abordarán.
Ejemplos:
Los egipcios utilizaron el teorema de Pitágoras con un triángulo rectángulo de 3, 4 y 5 unidades por lado, para trazar ángulos de 90º sobre terrenos.
Con las razones trigonométricas se puede determinar la altura de objetos que están fuera de nuestro alcance.
40 minutos
Indique al alumno que coloree de azul el triángulo rectángulo.
Mencione el teorema de Pitágoras y haga la relación con la siguiente figura.
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Mano
Derecha
Mano Izquierda
Desarrollo
78
Dicha relación puede expresarse en términos de áreas:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Analice y explique el siguiente ejemplo.
Indique a los alumnos que sustituyan el valor de los catetos y la hipotenusa de los
siguientes triángulos en la fórmula del teorema de Pitágoras.
O
M
N
13
5
12
132= 12
2+ 5
2
G
F H
17
8
15
172= 15
2+ 8
2
Y X
Z
6
7.21
4
7.212= 6
2+ 4
2
A
B
C
3
5
4
52= 4
2+ 3
2
B
A C
a Cateto
b Cateto
c Hipotenusa c2=a2+b2
79
Indique que sustituyan y calculen el valor de la hipotenusa en los siguientes triángulos.
Explique que para conocer el valor de los catetos se utilizan las siguientes fórmulas.
Pida al alumno que calcule el valor del cateto “b”.
Mencione al alumno que otra forma de conocer los lados del triángulo rectángulo es
utilizar las razones trigonométricas, pero primero es necesario definir cuál es el cateto opuesto y adyacente de acuerdo al ángulo indicado.
B
A C
8
b
6
b = 8 2- 6
2
b = 64 - 36
b = 28
b =5.29
B
A C
a Cateto
b Cateto
c Hipotenusa
a2=c2-b2
b2=c2-a2
S
T
R r
7
5
r= 7 2+ 5
2
r= 49 + 25
r= 74
r=8.6
G
F H
h
8
15
h= 15 2+ 8
2
h= 225 + 64
h= 289
h=17
80
Solicite a los estudiantes que coloquen H (hipotenusa), CO (cateto opuesto) y CA (cateto
adyacente) en los siguientes triángulos considerando el ángulo agudo (menor de 90º).
Complemente la explicación mencionando que: Las razones trigonométricas son la comparación de los lados del triángulo rectángulo, llamadas seno, coseno y tangente.
seno A=CO
H coseno A =
CA
H tangente A=
CO
CA
Explique el ejemplo y solicite a los alumnos que realicen la siguiente actividad.
T
S
R
CO
H
CA
O
M
N
H
CO
CA
G
F H
H
CA
CO
Y X
Z
CA
H
CO
B
A C
CO Cateto
Opuesto
CA Cateto
Adyacente
H Hipotenusa
B
A C
CA
CO
H
81
Explique qué: Para obtener el Cateto Opuesto, Adyacente y la Hipotenusa a partir de las funciones trigonométricas, es necesario realizar algunos despejes, como se muestra en el ejemplo:
sen A=CO
H ∴ CO=H× sen A
Pida que con base en el ejemplo realice los siguientes despejes. Ejemplo.
sen A=CO
H ∴ H=
CO
sen A
cos A=CA
H ∴
CA= H× cos A
tan A=CO
CA ∴
CO= CA× tan A
cos A=CA
H ∴ H=
CA
cos A
tan A=CO
CA ∴ CA=
CO
tan A
sen A= 4
41
cos A = 5
41
tan A = 4
5
B
A C
CO=4
CA=5
H= 41
Ejemplo:
sen B= 10
149
cos B = 7
149
tan B = 10
7
B
A C
7
10
149
Actividad: completa las razones
trigonométricas considerando el ángulo
B.
82
10
minutos
Presente el problema. “Mesa firme” En el taller de carpintería de tu escuela, recibieron la solicitud para realizar 20 mesas reforzadas para reparaciones mecánicas en un taller automotriz. Para dar más estabilidad a las mesas se colocarán soportes como se muestra en la figura. Se solicita de tus conocimientos para calcular las dimensiones que deben tener los cuatro soportes de varilla metálica y el total de material que se va utilizar.
a) ¿Cuál es la longitud que debe tener un soporte, incluye tú procedimiento?
b) Los soportes serán de metal, por lo que se tiene que comprar una varilla metálica, ¿Qué longitud debe tener para que alcance para los cuatro soportes?
c) Si la longitud de cada varilla es de 2 m ¿Cuánto material se deberá comprar para el número de mesas solicitadas sin que sobre material?
15 minutos
Antes de comenzar con la solución del problema solicite al alumno que conteste las siguientes preguntas:
1. ¿Qué contenido utilizarías para resolver el problema?
a) Razones trigonométricas b) Teorema de Pitágoras
2. ¿Qué lado del triángulo tienes que calcular?
a) La Hipotenusa b) El Cateto
3. ¿Cuál es la fórmula que vas a utilizar para determinar la longitud del soporte, escríbela?
c2=a2+b2
Indique que resuelva el problema de manera individual
Deje que el estudiante resuelva el problema y que realice las actividades indicadas.
Motive en todo momento al estudiante.
Acompañe de manera directa a los estudiantes que se observan con dificultades para resolver el problema.
Oriente al estudiante en la resolución del problema.
Responda los cuestionamientos de los estudiantes.
Solución del problema a) ¿Cuál es la longitud que debe tener un soporte, incluye tú procedimiento?
Soporte
20 cm
15 cm
83
c=√a2+b2=√202+152= 400+225= 625=25 cm
b) Los soportes serán de metal, por lo que se tiene que comprar una varilla metálica, ¿qué longitud debe tener para que alcance para los cuatro soportes?
25 cm×4=100 cm tener la varilla
c) Si la longitud de cada varilla es de 2 m ¿cuánto material se deberá comprar para el número de mesas solicitadas sin que sobre material?
100 × 20=2000 cm de varilla
Se requieren 10 varillas
20
minutos
Solicite a los estudiantes reunirse en equipos de cinco, para resolver los ejercicios.
1. “Tirolesa”. Para construir una tirolesa, se necesita conocer la longitud de un cable de acero que va atado de lo alto de un edificio de 16 metros (punto B), a otro extremo que se encuentra a una distancia de 30 metros de la base del edificio (punto A).
a) Escribe la fórmula que vas a utilizar para calcular la longitud del cable de acero.
c=√a2+b2
b) Calcula la longitud del cable. Incluye el procedimiento de forma ordenada.
c=√a2+b2=√162+302= 256+900= 1156=34 m
c) Adiciona 4 metros porque se ocuparán 2 metros extra por extremo.
34 m+4 m=38 m
d) Si se tiene un cable de 40 metros, ¿será suficiente cable?
Respuesta: sí, porque se tiene 40 m y se necesitan 38 m, tendremos dos metros de sobra.
A C
B
30 m
16 m
Edificio
Cable
84
2. “Copa” Se ha encontrado una copa muy antigua, de la cual se desea conocer la altura de la parte interior para poder realizar una copia exacta y exhibirla en un museo. Se tiene la siguiente información.
a) ¿Qué contenido utilizarías para resolver el problema?
a) Razones trigonométricas b) Teorema de Pitágoras
b) ¿Qué lado del triángulo tienes que calcular?
a) Cateto Opuesto b) Cateto Adyacente c) Hipotenusa
c) ¿Cuál es la fórmula que vas a utilizar?
CA=CO
tan A
d) Calcula la altura de la parte interior de la copa. Incluye el procedimiento de forma
ordenada. Considera que tan 30° =1
3.
CA=CO
tan A=
4
1
3
=4 3=6.92 cm
Indique a los estudiantes compartan su trabajo con otro equipo y retroalimenten de ser necesario.
x
4 cm
30º
85
20 minutos
Coordine la plenaria para que cada equipo comparta sus resultados y experiencias.
Puntualice en aquellos aspectos que ayuden al estudiante a fortalecer la competencia.
Promueva la participación de todos los integrantes del grupo.
30 minutos
Solicite al estudiante que realice el siguiente ejercicio y registre sus resultados en el manual. Este extraño animal tiene la propiedad que su pata cuadrada roja, tiene la misma superficie que todas sus otras partes rojas.
Aplica el teorema de Pitágoras donde expresa la relación en términos de áreas
para explicar por qué, la pata cuadrada roja, tiene la misma superficie que todas sus otras partes rojas. Teorema de Pitágoras. Como el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Solución: se debe aplicar repetidamente el teorema de Pitágoras con las áreas de los cuadrados.
Cierre
86
La suma del área de los cuadrados del nivel 1 es igual al área del cuadrado del nivel 0 La suma del área de los cuadrados del nivel 2 es igual al área del cuadrado del nivel 1 La suma del área de los cuadrados del nivel 3 es igual al área del cuadrado del nivel 2 La suma del área de los cuadrados del nivel 4 es igual al área del cuadrado del nivel 3 Por lo tanto tenemos 2 cuadrados del nivel 2= 1 nivel 1 2 cuadrados del nivel 3= 1 nivel 2 4 cuadrados del nivel 4= 1 nivel 2 Por lo tanto la pata cuadrada roja, tiene la misma superficie que todas sus otras partes rojas.
Fuente: https://anagarciaazcarate.files.wordpress.com/2016/02/extraterrestreprofesorado.pdf Recuperado el 16 de junio de 2017.
Sugiera investigar para profundizar en los contenidos abordados y ejercitar, en las siguientes ligas:
khanacademy. Introducción al teorema de Pitágoras. (2017) https://es.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geometry-pythagorean-theorem/geo-pythagorean-theorem/v/the-pythagorean-theorem
khanacademy. Problemas de introducción al teorema de Pitágoras. (2017)
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Nivel 4
Nivel 0
87
80 minutos
5 minutos
Pida a los estudiantes que se coloquen en círculo, ya sea de pie o sentados.
Explique que existen tres órdenes: “naranja”, “banana” y “círculo”. Si es “naranja“, la persona debe decir el nombre del compañero que tiene sentado a la izquierda, si es “banana” el del compañero de la derecha y, finalmente, si es “círculo”, todos los integrantes del grupo deben cambiarse de lugar.
Colóquese en el centro del círculo, señale a un estudiante y dígale una de las tres órdenes.
Repita el ejercicio por lo menos cinco veces.
Involucre a todos los integrantes del grupo en la actividad.
Para finalizar la actividad, pregunte:
¿Se sienten un poco más relajados? ¿Ha sido una experiencia cómoda o agradable? ¿Estás dispuesto a dar lo mejor de ti?
Resuelve problemas aditivos que
impliquen efectuar cálculos con
expresiones algebraicas.
HABILIDAD ESPECÍFICA
¿Qué enseñar?
Términos semejantes
Adición y
sustracción de
términos semejantes
Polinomios
Sesión No. 7
Apertura
88
5 minutos
Lea la habilidad específica que se va a desarrollar:
Resuelve problemas de carácter aditivo, que impliquen efectuar cálculos con expresiones algebraicas.
Escriba en el pizarrón y explique los contenidos por desarrollar:
Términos semejantes
Suma y resta de expresiones algebraicas
Introduzca al grupo en el tema de la sesión.
Introducción El álgebra es la rama de las matemáticas cuyo objetivo es la generalización de las operaciones aritméticas, mediante la utilización de números, letras y signos, se conoce como una expresión algebraica. Las expresiones algebraicas se utilizan constantemente en la vida cotidiana, por ejemplo:
El índice de masa corporal (IMC).
Determinar el área de un campo de fútbol (rectángulo).
Cálculo de porcentajes.
En esta sección se estudiará la adición de expresiones algebraicas, que consistirá en la agrupación y reducción de términos semejantes.
10
minutos
Indique a los estudiantes completar el siguiente cuadro, y que conteste las dos preguntas.
Término Coeficiente Literal o variable Exponente
x4
7y3
5z
¿Qué son los términos semejantes? ¿Cómo puedo unir términos algebraicos?
Al término de la actividad, solicite los resultados y refuerce: Un término está compuesto por un coeficiente, una literal y un exponente. Por ejemplo:
3x4, “3” es el coeficiente “x” es la literal o variable “4” es el exponente
Desarrollo
89
10 minutos
Con la información que se proporcionó, pregunte: ¿Qué más saben de los términos semejantes? Si encuentro un término que tiene los mismos elementos, pero en otro orden, ¿los puedo sumar o restar? Sí _____ No_____ ¿Por qué?_______________________________________
Escriba en el pizarrón los siguientes términos y pregunte:
2mn2ñ, 2n2mñ 3
5 ñmn2, 8mn2ñ
¿Los siguientes términos son semejantes? ¿Por qué?___________________________________________________________ Suma las cuatro expresiones anteriores, ¿cuánto daría?
2 + 2 + 3
5 + 8 =
63
5 con las mismas variables: mn2ñ
Términos semejantes
Recuerda que los términos semejantes, son las expresiones algebraicas que pueden juntarse, si cumplen con la condición de ser iguales en literal y grado (exponente), aunque tengan distinto coeficiente. Si tenemos objetos con las mismas características, ¿es posible realizar la adición? Veamos algunos ejemplos: Si tienes dos manzanas rojas y las sumas con tres manzanas rojas, nos dará, por supuesto, cinco manzanas rojas. Si hay dos manzanas verdes y las sumamos con seis manzanas verdes, tendremos ocho manzanas verdes. Simbolizando
+ = o bien 2m + 3m = 5m
Si tenemos tres manzanas verdes y las sumamos con dos manzanas amarillas, no podemos decir que tenemos cinco manzanas verde-amarillas; aunque se parecen, no comparten exactamente las mismas características. En otro caso, tenemos dos manzanas, dos piñas y tres peras; si las queremos sumar, no hay una palabra que describa el resultado de esta suma. Simbolizando
+ + = ? O bien 2m + 3pe + 2pi = ?
Los términos semejantes deben ser iguales en forma, aunque no lo sean en número.
90
10 minutos
Solicite que resuelvan las siguientes sumas de polinomios, al concluir recupere los resultados y retroalimente. a) 6xyz + 4x2y4z3 + 5xyz + 2 x2y4z3 + 4x2z3y4 + 3yzx =
Respuesta: 14xyz + 10x2y4z3
b) 2
5 mn2 +
3
4 n2m-
1
3 m2n-2mn2+3m2n=
Respuesta: -17
20mn2+
8
3m2n
c) (2x2y -3x3y2 + 5x2y3) + (4x2y – 10x2y3 + 2x3y2) – (2x3y2 – x2y) =
Respuesta: 7x2y -3x3y2 -5x2y3
Presente el problema
Tu abuelito tiene una mueblería, necesita que le ayudes a calcular las ganancias del primer trimestre del año, para poder aumentar o mantener sus precios. Te reporta que en el mes de enero vendió dos recámaras, tres hornos de microondas y una pantalla de 42 pulgadas; en febrero vendió un comedor, dos pantallas de 42 pulgadas; una sala; por último, en marzo, un horno de microondas, una sala y una recámara. Considera que cada mes paga $200.00 de luz, $150.00 de agua y $2,500.00 de salario mensual a un ayudante. Si tu abuelo necesita una ganancia mensual de $15,000.00 ¿Qué le sugieres?
Artículo Precio de compra Precio de venta
Recámara $5,500.00 $9,700.00
Sala $3,000.00 $5,200.00
Comedor $4,000.00 $7,000.00
Pantalla de 42” $4,500.00 $8,700.00
Horno de microondas $900.00 $1,600.00
Determina la expresión algebraica que representa las ventas de cada mes.
Determina la expresión algebraica que representa las ventas del primer trimestre del año.
¿Cuál es la ganancia total por las ventas, en el primer trimestre del año?
15 minutos
Indique al estudiante que complete el siguiente mapa mental.
3x2+ 4xy
+ 2y2+ 4y3
– 8x2+
91
Solicite al estudiante que resuelva el siguiente problema, de manera individual.
Deje que el estudiante resuelva el problema y que realice las actividades indicadas.
Motive en todo momento al estudiante.
Acompañe de manera directa a los estudiantes que se muestran tener dificultades para resolver el problema.
Oriente al estudiante para resolver el problema.
Retroalimente personalmente al estudiante y aclare sus dudad.
Responda los cuestionamientos de los estudiantes. Solución al problema: Enero 2r+3h+p
Febrero c+2p+s Marzo h+s+r
3r+4h+3p+2s+c Precio de compra= 3(5500)+4(900)+3(4500)+2(3000)+4000= 43,600.00
Precio de venta=3(9700)+4(1600)+3(8700)+2(5200)+7000= 79,000.00 Gasto trimestral= $2850.00 X 3= 8550.00 Ganancia trimestral= 79,000-43600- 8550= 26,850.00 Ganancia mensual= 26,850.00/3= $8950.00
10 minutos
Forme equipos de trabajo de cinco integrantes, con el propósito de compartir sus resultados siguiendo las indicaciones:
Muestren las respuestas de los ejercicios y comparen si coinciden.
En el caso de que coincidan, revisen cómo llegaron al resultado.
En caso de haber diferencias, revisen qué se hizo mal.
Determinen la forma en que se deben trabajar las adiciones de polinomios.
92
10
minutos
En plenaria, motive a dos o tres equipos para que compartan sus experiencias con todo el grupo.
Pregunte ¿qué fue lo más difícil de superar?
Puntualice los aspectos que ayuden al estudiante a fortalecer la competencia.
Recuerden que: En la expresión 3x4,
“3” es el coeficiente “x” es la literal o variable “4” es el exponente
Para poder realizar las adiciones, los elementos deben tener las mismas características, es decir, misma literal y mismo exponente, aunque diferente coeficiente. Finalmente, el coeficiente sólo nos indica la cantidad de objetos que tenemos.
Promueva la participación de todos los integrantes del grupo.
5 minutos
Verifique la adquisición de conocimientos, desarrollo de habilidades y cambio de actitudes, respecto a la competencia, con un nuevo ejercicio, en el cual se llegue al resultado con rapidez. Ejercicio:
(14x2y+3x2-5y+14) + (-7x2y-5x2+8y-10)
Para finalizar, pregunte.
¿Cuáles son los pasos para hacer la suma de polinomios?
Sugiera al estudiante utilizar las siguientes ligas para profundizar en los contenidos.
https://es.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-polynomial-expressions/add-subtract-poly-two-var/e/adding-and-subtracting-polynomials-2
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/polinomios-sumar-restar.html
Cierre
93
70 minutos
5 minutos
Inicie la sesión, utilizando la siguiente técnica “Cuando yo era adolescente”. La intención es generar empatía con el alumno. Narre sus vivencias de cuando era adolescente (de forma breve), con la intención de romper el hielo. Pida a un alumno que narre alguna de sus vivencias, sobre lo vivido en primaria o secundaria, después haga las siguientes preguntas: ¿Qué etapa fue mejor, primaria o secundaria? ¿Es diferente a lo que viven en este momento? ¿Cómo han cambiado, desde por ejemplo los 10 años a los años que tienen ahora? ¿Cuál fue tu mejor experiencia en la secundaria?
Puede decirles que narren alguna anécdota o travesura, que hayan hecho durante esos periodos y que les resulte graciosa.
5
minutos
Lea la habilidad específica que se va a desarrollar:
Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepción de la división entre polinomios.
Resuelve problemas multiplicativos
con expresiones algebraicas a
excepción de la división entre
polinomios.
HABILIDAD ESPECÍFICA
¿Qué enseñar?
Simplificación de
polinomios
Producto de
polinomios
Sesión No. 7
Apertura
94
Mencione lo siguiente: Las actividades que están a punto de desarrollar, pertenecen al área del conocimiento de Álgebra, en el apartado de operaciones básicas, no son ajenas a tu vida cotidiana, pues en todo momento las tenemos en mente, por ejemplo: cuando caminamos, comemos, viajamos y una infinidad de cosas más, basta con mencionar la expresión, “¿cuánto le debo? son 13 pesos, cóbrese” (dando un billete de 50), inmediatamente empiezas a calcular el cambio que te dará, esto es la resolución de una ecuación muy simple, que incluye operaciones básicas; o bien cuando necesitas un trabajo escolar y reparten actividades, tiempos costos y demás, invariablemente tendrás que hacer uso de algún elemento algebraico, que contenga variables y operaciones.
10 minutos
Para recuperar los conocimientos previos realice lo siguiente: escriba en el pizarrón una expresión algebraica y dos operaciones, una suma y un producto. En la expresión, señalen sus elementos y en las operaciones indique los procedimientos que deben de hacerse. Por ejemplo: Expresión algebraica: -2x3 En donde los elementos son (-) signo, (2) coeficiente, (x) literal y (3) exponente. Operaciones propuestas:
3x+2y-5x+4y= Proceso: Agrupa términos semejante 3x-5x=-2x 2y+4y=6y Resultado: -2x+6y
(x-y)(2x+3y)= siendo su solución: 2x2+xy-3y2 Proceso: Multiplica el primer término de la primera expresión algebraica por cada elemento de la segunda expresión algebraica. x(2x+3y)=2x2+3xy Multiplica el segundo término de la primera expresión algebraica por cada elemento de la segunda expresión algebraica. -y(2x+3y)=-2xy-3y2 Simplifica: 2x2+xy-3y2
Desarrollo
95
Procedimiento de operaciones algebraicas
Recuerda que una expresión algebraica o monomio, está constituida por cuatro elementos básicos:
a) Signo: puede ser negativo (-) o positivo (+), si este no aparece al inicio de la expresión, se considera positivo.
b) Literal: es un número cualquiera, si en una expresión no aparece literal, se considera como uno (1), o bien si al realizar una operación te da como resultado 1 como literal, debes omitirlo.
c) Coeficiente: es una letra cualquiera del abecedario, aunque comúnmente se utilizan las primeras y las últimas.
d) Exponente: número colocado en el extremo superior de una literal, igual que en el caso del coeficiente, si no aparece es 1, y si es el resultado de una operación, no se coloca.
Operaciones básicas algebraicas
Suma y resta: recuerda que estas dos operaciones pueden incluirse en una sola, puesto que sus procedimientos son iguales, como verás a continuación: En cuyo caso sólo bastará con sumar o restar los coeficientes según sea el caso, por ejemplo:
2b-3c2+a-5b+6c2+a2=
En esta expresión, sólo se pueden sumar los elementos con b y c2 respectivamente, los demás se conservan igual, por no ser términos semejantes o por no tener en la expresión otro término semejante con cual sumarse, así entonces la solución será:
-3b+3c2+a+a2
Nota. No olvides que al sumar y restar los coeficientes la regla es: “signos iguales se suman y se conserva el mismo signo, signos diferentes se restan y se conserva el signo del número mayor”. Multiplicación o producto: se puede presentar de tres maneras: a) Monomio por monomio: en donde se puede proceder en el orden siguiente: primero
multiplica los signos, luego los coeficientes, a continuación, sólo bastará con sumar sus exponentes conservando las literales, ejemplo:
(2x)(-3x2)= -6x3
Regla de oro
“Sólo se pueden sumar o restar los términos que tengan las mismas
literales, elevadas a los mismos exponentes, llamados términos
semejantes”.
96
b) Monomio por polinomio: para este caso, cada elemento del polinomio deberá
multiplicarse por el monomio, siguiendo la regla del inciso a, ejemplo:
(a)(2b - a3)= (a)(2b)+a(-a3)= 2ab - a4
c) Polinomio por polinomio: ahora el procedimiento de esta operación será, multiplicar
cada elemento de un polinomio, por cada elemento del otro polinomio, recordando que al término de este, si en la suma que resulte, existen términos semejantes, éstos deben de simplificarse, ejemplo:
(3x-2y2)(x+3y)=(3x)(x)+(3x)(3y)+(-2y2)(x)+(-2y2)(3y) 3x2+9xy-2xy2-2y3
Si observas, en la suma final no existen términos semejantes.
10
minutos
Ponga en movimiento lo que acaba de revisar, introduciendo el siguiente problema: Marcos quiere comprar una alberca inflable, en forma de hexágono regular, que vio en el centro comercial “Las gaviotas”. Para tomar la decisión, necesita conocer el espacio que ocupará para instalarla en el jardín de su casa, cuyas dimensiones son: 20a-35b. Las dimensiones de la alberca están representadas por las expresiones, como se observan en el esquema:
1. ¿Qué expresión se utiliza para obtener el perímetro (contorno) de la alberca? 2. ¿Cuál es la expresión que se utiliza para calcular la superficie de una de las caras laterales? 3. ¿Marco podrá comprar la alberca? Sí No Por qué
No olvides tomar en cuenta la ley de los signos, aplicable a la multiplicación
y división.
“Signos iguales es positivo (+), signos diferentes es negativo (-)”.
97
10 minutos
Pida que solucionen el problema de manera individual y registren en la tabla el desarrollo y los resultados.
Deje que el estudiante resuelva el problema y que realice las actividades indicadas.
Motive en todo momento al estudiante.
Acompañe de manera directa a los estudiantes que presentan dificultades al resolver el problema.
Oriente al estudiante para resolver el problema.
Retroalimente personalmente al estudiante.
Desarrollos y resultados
1. ¿Qué expresión se utiliza para obtener el perímetro (contorno) de la alberca?
2. ¿Cuál es la expresión que se utiliza para calcular la superficie de una de las caras laterales?
R=6(3ª-5b)=18ª-30b (tomar en cuenta que le alumno podría sumar la expresión 3a-5b, repitiéndola 6 veces)
R=(3a-5b)(a+b)=3a2-2ab-5b2
3. ¿Marcos podrá comprar la alberca? Sí X No Por qué: Marcos cuenta con el espacio suficiente para instalar la alberca en su jardín.
10 minutos
De la instrucción a los alumnos para que formen equipos de cinco y elijan a un representante, que expondrá sus soluciones y desarrollos en el pizarrón.
Solicite que en equipo, comparen sus respuestas con los demás compañeros, y debatan sobre el procedimiento que siguieron para obtener los resultados.
5 minutos
Antes de comenzar a resolver el problema, pregunte: ¿Se tiene la información necesaria para responder las preguntas? ¿Cómo lo solucionarían?
Perímetro= 18ª-30b Superficie= 3a2-2ab-5b2
98
5 minutos
Compare los resultados, si es necesario retroalimenten y corrija errores.
Pida a tres equipos que escriban en el pizarrón el desarrollo realizado en cada uno de los cálculos, indicándoles si fuera necesario los errores en los que hayan incurrido, también es importante que felicite a los que no tuvieron errores o estos fueron los mínimos a manera de estímulo.
10 minutos
Finalmente, pida que resuelvan en equipo las siguientes operaciones de polinomios. Al finalizar intercambien sus manuales con otro equipo para su evaluación. (2x-5)(2x+5) = (3y+2x)(3y+2x)= (2a-5)(2a+3)= (6x+4y)(7x-8y-9z)= (14x)(x+2y-3z)=
Respuestas: 4x2-25 9y2+12xy+4x2 4a2-4a-15 42x2-20xy-54xz+32y2-36yz 14x2+28xy-42xz
Pregunte: En estos últimos ejercicios, ¿se resolvió con procedimientos semejantes a los que veníamos realizando? ¿Para qué sirven en nuestra vida cotidiana este tipo de cálculos? Concluya con lo siguiente: “El álgebra es la herramienta más poderosa de que se valen las matemáticas para su desarrollo, en especial las operaciones básicas algebraicas, constituyen un aspecto fundamental, por lo que, es de vital importancia, conocer sus características, elementos, propiedades y forma de realizarlas, para de esta manera lograr un óptimo entendimiento y aprendizaje, que te permita acceder a conocimientos más elaborados en futuros cursos de esta asignatura”.
Para reforzar y ejercitar lo aprendido, consulte las siguientes ligas:
http://math2me.com/playlist/algebra/terminos-y-polinomios
http://www.ematematicas.net/polinomios.php
Cierre
99
150 minutos
10 minutos
Inicie la sesión con la técnica “Recordar momentos virtuosos de la infancia”. Instrucciones: Una vez que se ha dado el saludo y hecho contacto visual con los estudiantes, se pide a éstos que se levanten de su banca, estiren los brazos y piernas y se vuelvan a sentar. Ahora, cerrando los ojos, van a recordar un gran momento que hayan vivido en su infancia, el cual les causó una gran emoción y felicidad. Se pide a los alumnos que sientan otra vez esa emoción, y luego que se vean desde fuera, es decir, que imaginen a ese nin@
Expresa algebraicamente una
relación lineal o cuadrática entre dos
conjuntos de cantidades.
Resuelve problemas que involucran el
uso de ecuaciones lineales o
cuadráticas.
HABILIDAD ESPECÍFICA
¿Qué enseñar?
Ecuaciones lineales o de
primer grado
Despejes
Ecuaciones de segundo
grado o cuadráticas
Solución de ecuaciones
cuadráticas por fórmula
general
Sesión No. 8
Apertura
100
cómo está feliz y que lo vean en su imaginación. Ahora, con un respiro profundo abren los ojos y se preparan para trabajar.
Pregunte: ¿Cómo se sienten en este momento? Si una respuesta es positiva, mencione, quédate con ese sentimiento o emoción, y si es negativa, diga, haz lo necesario por cambiarla a positiva, a través de la imaginación. ¿Estás dispuesto a permanecer con actitud positiva?
5
minutos
Mencione lo siguiente: La habilidad de hoy es igual de importante que las demás, debes saber que las ecuaciones representan en la vida la herramienta que te apoyará a encontrar valores perdidos, estabilidad en las acciones, tomar decisiones con fundamento, ganar más dinero, y muchos otros beneficios que te desarrollarán como profesional. Hay que recordar, que una ecuación contiene algo escondido que hay que encontrar, utilizando un procedimiento adecuado para llegar al resultado buscado. Las ecuaciones, sea cual sea su forma, se rigen por procedimientos matemáticos que hay que recordar y aplicar para lograr su solución, y por ahora solo veremos las de primer grado o lineales que representan una línea recta y las de segundo grado o cuadráticas conocidas como parábolas. Los procedimientos para resolver una y otra, aunque son similares, tienen sus diferencias al momento de resolverlas.
40
minutos
Solicite al alumno que conteste las siguientes preguntas, y al concluir recupere las respuestas en plenaria y retroalimente.
1. ¿Cómo puedo diferenciar una ecuación de primer grado con una de segundo grado? 2. ¿Todas se resuelven igual? No 3. ¿Qué más saben de las ecuaciones? 4. ¿Recuerdan cómo es la gráfica de cada una de ellas? Las de primer grado, son líneas, las de segundo grado, curvas llamadas parábolas. 5. ¿Se pueden resolver las ecuaciones cuadráticas si no están igualadas a cero, con la fórmula general? No, entonces, siempre es importante que en caso de que la ecuación no esté igualada a cero, se haga.
Indique al alumno que revise el texto de ecuaciones de primer grado, ya que se aborda la identificación y solución de ecuaciones de primero y segundo grado que le permitirán resolver los ejercicios que se encuentran al final de la lectura.
Desarrollo
101
Ecuaciones
Ecuaciones de primer grado con una variable Una ecuación se reconoce porque siempre vamos a notar un signo de “igualdad” entre dos cantidades, como por ejemplo:
23x3 + 3x2 = 34x, 5 = 3x8, 6m3 = 1
Las anteriores son ecuaciones de diversos grados, el cual se determina por el número del exponente que tienen, el primer ejemplo, es de tercer grado; el segundo ejemplo de octavo grado y el tercer ejemplo de tercer grado. Una ecuación representa un problema de la vida real, como por ejemplo: Claudia desea comprar cinco cuadernos para sus materias de la escuela, y le han dicho que va a pagar $125.00, pero no ha escuchado cuánto cuestan cada uno, entonces podemos construir (modelar) una ecuación muy sencilla para encontrar el precio buscado, entonces: Definimos siempre una variable (que siempre será el valor buscado), y construimos el modelo matemático.
5x = 125
Regularmente, nuestra variable será “x”, pero podemos definir otra letra, que por conveniencia serán las últimas de nuestro alfabeto. La forma de resolver esta ecuación, o cualquier otra de primer grado, es mediante el despeje de su variable, es decir dejar sola a dicha variable. Para dejar sola a la variable, tomemos en cuenta que se van a realizar operaciones contrarias a las que están indicadas, por ejemplo, si está multiplicando, pasará dividiendo, si está sumando, restando y así con todas las operaciones. Resolviendo la ecuación del ejemplo, entonces:
5x = 125
Paso 1. Para dejar sola a x, tenemos que quitar el “5”, que está multiplicando, por lo que pasará dividiendo del otro lado de la igualdad.
x= 125
5= 25, lo que nos da el valor buscado, es decir, el precio de cada cuaderno es de
$25.00 Es importante, que siempre que resolvamos un problema, utilicemos las herramientas matemáticas, sin olvidar dar la respuesta en las unidades que nos han preguntado, en el caso del ejemplo, nos preguntaron cuánto costó cada cuaderno. Por lo tanto, la respuesta es: “el precio de cada cuaderno es de $25.00”. Veamos un ejemplo más complejo: De un problema real, se ha modelado la siguiente ecuación:
102
3m + 2m = 4 – m
En este caso, podemos observar que está la misma variable en tres ocasiones. Para resolver sabemos que los términos semejantes se pueden juntar, por lo tanto, procedemos con los siguientes pasos: Paso 1. Sumar semejantes de un mismo lado: 5m = 4 – m Paso 2. Pasar todas las variables de un solo lado, casi siempre se hace del izquierdo, recordando hacer la operación contraria: 5m + m = 4 Paso 3. Nuevamente juntar semejantes: 6m = 4
Paso 4. Quitar el 6 para dejar sola a “m”: m=4
6=
2
3
Siempre que se pueda, simplificar los resultados. Ahora, también suelen presentarse ecuaciones más complejas aún, incluso con paréntesis. La manera de proceder es realizar las operaciones indicadas, primero lo que hay dentro del paréntesis (si se puede) y luego afuera. Al final, se despeja la variable que buscamos, como ya lo hemos visto, veamos un ejemplo:
2y + 3(4y – 2y )= 2 – 5y
Paso 1. Restar lo que está en el paréntesis:
2y + 3( 2y )= 2 – 5y
Paso 2. Multiplicar: 2y + 6y = 2 – 5y
Paso 3. Simplificar semejantes
8y = 2 – 5y 8y + 5y = 2
13y = 2
Paso 4. Despejar la variable
y= 2
13
Ecuaciones de segundo grado con una variable Las ecuaciones de segundo grado, como ya hemos visto se reconocen porque alguno de sus términos, en una incógnita, tiene un exponente “2”. Estas ecuaciones son modelos e un problema de la vida real, y regularmente están representando algún movimiento de objetos diversos. Vamos a poner un ejemplo: La ecuación x2 + 2x -15 = 0 es una cuadrática. Hay diversos métodos que nos permiten resolver una ecuación cuadrática, pero el que utilizaremos en esta actividad es la fórmula
103
general de segundo grado: x=-b±√b2-4ac
2a , observa que aquí se piden tres letras, “a”, “b” y
“c”, que son justamente los coeficientes de x y el término independiente. En la ecuación x2 + 2x -15 = 0, el coeficiente de x2 es “1”, que no se escribe pero ahí está, el coeficiente de x es 2 y el término independiente es -15, por lo que a=1, b=2 y c=-15 (no olvidar que también se toman los signos). Lo que vamos a hacer, es sustituir estos valores en la fórmula, como sigue:
𝑥 = −2∓√(2)2−4(1)(−15)
2(1) =
−2∓ 4+60
2=
−2∓ 64
2=
−2∓8
2
En este momento, podemos separar dos resultados, tomando en un signo (cualquiera) y haciendo la operación, luego el otro.
x1= -2+8
2=
6
2=3
x2=-2-8
2=
-10
2= -5
Ten cuidado siempre con los signos, pues un error ya no nos da el resultado correcto. En todas las ecuaciones cuadráticas se deben identificar las letras a, b y c, sólo que en algunas no se tienen a la vista, por ser “uno” o por estar ausente “0”. Entonces, “a” siempre existe, no puede ser igual a cero porque entonces ya no sería cuadrática, “b” puede ser cualquier número, incluso cero, y pasa lo mismo con “c”, en cuyo caso, se pone el cero en la misma ecuación general. Recuerda que la multiplicación por cero es “cero”.
20 minutos
Pida resolver las siguientes ecuaciones lineales o cuadráticas, al concluir solicite a varios estudiantes la solución.
a) 3x = 6 x= 2
b) 3m +2m = 4m +1 m=1
c) 8y – (3y +4) = 4y +2y y=-4
d) 2x2 + 6x + 4 = 0 x1= -2 x2 = -1
e) 3x2 + 18x + 15 = 0 x1 = -5 x2 = -1
f) 5𝑥+1
3=
𝑥−2
2 x=-
8
7
g) 4x2 – 20x -56 = 0 x1 = -7 x2= 2
h) 2p + 3(p-5) -2 = 2p + 4(p-3) + 3 p= -8
104
10 minutos
Lea el problema que tendrán que resolver. Adrián hizo un viaje a Acapulco en coche, consumió 20 litros de gasolina. En el trayecto
hizo una escala para desayunar, hasta ese momento había consumido 2
3 partes de la
gasolina que tenía el depósito y para finalizar su trayecto, consumió la mitad de la gasolina que le quedaba al depósito. Antes de llegar a su destino hay una desviación que debe de tomar, pero como iba distraído en el celular, se vio forzado a frenar de manera inmediata a una distancia de 40 pies para detener el automóvil y evitar pasarse. a) ¿Cuántos litros de gasolina tenía el depósito? b) ¿Cuántos litros consumió en cada etapa? c) ¿Cuál era la velocidad del automóvil antes de frenar? Si la fórmula para calcular la
distancia, d=1
10x2 donde x es la velocidad del automóvil en millas por hora, antes
de frenar.
Pregunte: ¿Qué ecuaciones necesitas para resolver el problema? ¿Qué procedimientos vas a seguir para solucionar el problema?
20 minutos
Indique que solucionen el problema de manera individual.
Deje que el estudiante resuelva el problema y que realice las actividades indicadas.
Motive en todo momento al estudiante.
Acompañe de manera directa a los estudiantes que se observan con dificultades para resolver el problema.
Oriente al estudiante para resolver el problema.
Retroalimente personalmente al estudiante.
Responda los cuestionamientos de los estudiantes.
Solución al problema a). Litros de gasolina que tenía el depósito
1ª etapa 2
3x
2ª etapa 1
2(x-
2
3x)=
1
2∙
1
3x=
1
6x
2
3x+
1
6x=20
4x+x=120 5x=120 x=24
b) Litros consumidos en cada etapa
1ª etapa 2
3×24=16
2ª etapa 1
6×24=4
c) Velocidad del automóvil es
105
40=1
10x2
x2-400=0 x1=20 x2=-20 La velocidad del automóvil es 20 millas
20 minutos
Forme equipos de trabajo de cinco integrantes.
Integrados en equipos indique lo siguiente:
Muestren las respuestas del problema y comparen si éstas coinciden con el resto del equipo.
En el caso de que coincidan, revisen cómo es que llegaron al resultado.
En caso de haber diferencias, revisen qué es lo que salió mal, tal vez un signo, una operación aritmética o una distracción.
Al concluir elaboren el procedimiento para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas.
Retroalimente en todo momento.
10 minutos
En plenaria, motivar a dos o tres equipos para que compartan sus experiencias con todo el grupo, y que enfaticen qué fue lo más difícil de superar.
Pregunte al grupo la utilidad de las ecuaciones lineales y cuadráticas en su vida cotidiana.
Puntualice en aquellos aspectos que ayuden al estudiante a fortalecer la competencia.
Recuerde que:
Una ecuación se reconoce por el exponente mayor que tiene la variable, de ahí se debe utilizar el procedimiento adecuado para resolvela.
Despejar significa dejar sola a la incógnita.
La ecuación general de segundo grado demanda tres variables, por fuerza; a, b y c, aunque b y c pueden valer cero.
Para utilizar la fórmula general de segundo grado, la ecuación debe estar igualada a cero, si no es así, se hace lo necesario para que esté en esa forma.
Cierre
106
15 minutos
Pida que resuelvan los siguientes problemas y comparen sus resultados. 1. El papá de Paulo tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la del hijo? Respuesta:
Años = x 35+x=3(5+x) 35+x=15+3x 20=2x x=10
2. Un parque rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho, está rodeado por un camino de arena uniforme. ¿Cuál es el ancho de dicho camino si se sabe que su área es de 540 m2?
Respuesta:
(50+2x)∙(34+2x)-50(34)=540
4x2+168x-540=0 x2+42x-135=0 x1 = 3 y x2 = -145 El ancho del camino es 3 m
Para profundizar en los contenidos abordados, sugiera investigar y ejercitar en las siguientes ligas:
https://es.khanacademy.org/search?page_search_query=ecuaciones%20lineales
https://es.khanacademy.org/search?search_again=1&page_search_query=ecuaciones+cuadraticas
107
80 minutos
5 minutos
Seleccione la música que permita al estudiante relajarse, reprodúzcala. Al concluir, pregunte lo siguiente: ¿Les gustó la música? ¿La conocen? ¿Escuchan música para relajarse? ¿Qué tipo de música prefieren? ¿Cuál es su grupo o cantante favorito? ¿Escuchan música para estudiar o hacer tareas?
5
minutos
Presente la habilidad específica que se desarrollará en la sesión.
Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica el significado de la media, la mediana, la moda, el rango y la desviación media.
Mencione al grupo lo siguiente: Las actividades que desarrollarás en la sesión pertenecen al área de conocimiento de Estadística, y te ayudarán a calcular la media, la mediana y la moda, conocidas como medidas de tendencia central, así como dos de las medidas de dispersión: rango y
Lee y representa información en
diferentes tipos de gráficas; calcula y
explica el significado de la media, la
mediana, la moda, el rango y la
desviación media.
HABILIDAD ESPECÍFICA
¿Qué enseñar?
Medidas de tendencia
central
Media
Mediana
Moda
Medidas de dispersión
Rango
Sesión No. 9
Apertura
108
desviación media. Para ello será necesario que pongas total atención y manejes las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. Esta actividad se aplica en contextos sociales, laborales e incluso en tu entorno escolar, ¿quién no ha intentado obtener su promedio de calificaciones en alguno de los periodos a evaluar? o bien, quién no se ha preguntado ¿cuantos “dieces” hubo en el salón? o también ¿cuál fue la calificación más alta y cuál la más baja? Todo esto, que usas de manera común, hace referencia a la estadística, pero también la utilizas en muchos otros aspectos de tu vida diaria por ejemplo, con las respuestas anteriores puedes saber cuál es la preferencia en música, en los textos informativos puedes saber el promedio del salario mínimo, el máximo nivel de contaminación, etc.
10 minutos
Pregunte, mediante alguna técnica grupal (lluvia de ideas, discusión dirigida, tarjetas con preguntas al azar, etc.), lo siguiente:
1. ¿Cómo se define la media?
Respuesta: es cifra representativa de una cantidad de datos: lo que conocemos como promedio.
2. ¿Qué es la mediana?
Respuesta: es el dato central de la distribución, el que queda justo en el medio, cuando el conjunto de datos está ordenado.
3. ¿Qué es la moda?
Respuesta: es el dato que aparece más veces. 4. ¿Qué son las medidas de tendencia central?
Respuesta: son los datos que tienden a encontrarse en la parte media del conjunto: la media, la mediana y la moda.
5. ¿Qué es el rango?
Respuesta: es la diferencia entre el valor más alto y el más pequeño. 6. ¿Qué calcula la desviación media?
Respuesta: el grado de dispersión de los datos (qué tan separados están los valores entre ellos).
Al término de la actividad, exponga los procedimientos para obtener los cálculos estadísticos necesarios.
Desarrollo
109
Medidas de tendencia central y dispersión
Media: x̅=∑ xi
ni=1
n Nos indica que es la suma de todos los datos, entre el número de datos.
Mediana: x̃=n+1
2 El número que nos dé, será su posición (en un ordenamiento de datos
ascendente). Moda: bastará con revisar qué dato se repite más veces.
Rango: Ls-Li Es la resta del valor más bajo, del más alto.
Desviación media: ∑ |x̅-xi|
ni=1
n Es la sumatoria del valor absoluto de la diferencia entre la
media y cada uno de los datos, dividido entre el número total de datos. Donde el significado de los símbolos es: n.- número total de datos Σ.- Suma de datos Valor absoluto: indica que al término de la operación no se toma en cuenta el signo: si sale un valor negativo, simplemente se elimina dicho signo.
15 minutos
Presente el problema, solicite al estudiante que lo analice. El maestro de educación física necesita formar la selección de básquetbol que participará en el torneo intercolegial del estado, por lo que debe elegir a los más aptos; además de su habilidad, es importante la altura de sus integrantes, ya que los participantes en dicho torneo tienen una altura arriba de 1.60 m. Con este dato, el maestro decide medir a los estudiantes interesados en formar parte de la selección. Obtuvo los siguientes datos:
Nombre Estatura en metros
Juan 1.60
Pedro 1.70
José 1.65
Luis 1.67
Jorge 1.66
Esteban 1.67
Fernando 1.61
Pablo 1.59
Emiliano 1.56
Cristian 1.58
Joel 1.57
¿Quiénes integrarían la selección, considerando la estatura que requiere el entrenador? ¿Cuál es el promedio de altura del equipo? ¿Quién está a la mitad entre los más altos y los más bajos de los seleccionados?
110
¿Qué jugador es el más pequeño y cuál el más alto? ¿Cuántos tienen la misma estatura? ¿Cómo puedes saber si el equipo es dispar en sus estaturas, y cómo se calcula?
Antes de que el grupo comience a resolver el problema, pregunte lo siguiente:
¿Tienen toda la información necesaria para responder las preguntas del problema? ¿Se necesitan fórmulas, información adicional u algún otro dato? ¿Cuál? ¿Cómo lo van a resolver? ¿Qué material extra necesitan para lograrlo?
Medidas de tendencia central y dispersión
Media Ejemplo:
¿Cuál es la media de las edades de Andrea y sus primos? La media de las edades de Andrea y sus primos se calcula:
Media=3+5+6+8+9+9+9
7=
49
7=7
La media de edad es 7 años.
Mediana Para el cálculo de la mediana ordenamos los datos de menor a mayor.
Ejemplo: Calcular la mediana del conjunto de datos:
111
Moda
Ejemplo1: ¿Cuál es el dato que más se repite en el ejemplo de Andrea y sus primos? El dato que más se repite es el 9, es el que tiene mayor frecuencia absoluta (3 veces).
Rango
Ejemplo: Se preguntó a nueve familias cuántas bicicletas tenían en total; dieron las respuestas ordenadas en la siguiente tabla:
No. de bicicletas 0 1 2 3
Frecuencia absoluta 1 5 2 1
¿Cómo se determina el rango? Se resta el dato menor al mayor: 3 - 0 = 3; por lo tanto el rango sería 3. Si el conjunto de datos que se recolecta es muy numeroso o si el rango es muy amplio, es conveniente agruparlos y ordenarlos en intervalos o clases. La amplitud o tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor del rango entre la cantidad de intervalos que se desea obtener. Fuente: http://www.portaleducativo.net/octavo-basico/790/mediamodamedianayrango. Recuperado el 06 de junio de 2017.
Desviación media
Ejemplo: Calcular la desviación media de la distribución:
112
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Fuente: http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_14.html. Recuperado el 06 de junio de 2017
20
minutos
Indique al alumno que resuelva el problema, que utilice la siguiente tabla, y que no olvide desarrollar las operaciones aplicando las fórmulas, además de responder a las preguntas.
Indique al estudiante que puede usar calculadora o teléfono celular, para hacer las operaciones.
Deje que el estudiante resuelva el problema y que realice las actividades indicadas.
Motive en todo momento al estudiante.
Acompañe de manera directa a los estudiantes que muestran tener dificultades para
resolver el problema.
Oriente al estudiante para resolver el problema.
Retroalimente personalmente al estudiante.
Responda los cuestionamientos de los estudiantes.
Resultados estadísticos
Concepto Estadístico Fórmula Resultado
Media
�̅� =∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑛 q �̅� =
Mediana �̃� =
𝑛 + 1
2
�̃� =
Moda
Dato que se repite más veces
�̂� =
Rango
𝐿𝑠 − 𝐿𝑖 R=
Desviación media
∑ |�̅� − 𝑥𝑖|𝑛𝑖=1
𝑛
Dm=
Solución del problema:
¿Cuál es el promedio de altura del equipo? 1.65 metros.
113
10 minutos
Realice una plenaria, en la cual cada representante de equipo exponga, brevemente, cómo resolvieron el problema.
De ser necesario, corrija los errores; también es importante que, a manera de estímulo, felicite a los que tuvieron respuestas correctas o errores mínimos.
Pregunte al grupo ¿Qué aprendieron?
10 minutos
Proporcione a los estudiantes una serie de seis datos, con los cuales obtendrán las medidas de tendencia central y las de dispersión.
Pida que le entreguen los desarrollos y los resultados, en una hoja. Datos Se tienen los pesos (en kg) de seis bebés recién nacidos: 2.800, 3.100, 2.580, 3.250, 2.800 y 2.670 Obtén las medidas de tendencia central y su dispersión. Respuestas:
x̅=2.866
x̂=2.800 x̃=2800 Rango=0.67 Dm= 0.2053
Para finalizar, pegunte al grupo: ¿En este último problema, cuánto dio la media? ¿Se resolvió con procedimientos semejantes a los que veníamos utilizando?
¿Quién está a la mitad entre los más altos y los más bajos de los seleccionados? Jorge. ¿Qué jugador es el más pequeño y cual el más alto de los seleccionados? Juan y Pedro, respectivamente ¿Cuantos tienen la misma estatura? Dos: Luis y Esteban ¿Cómo puedes saber si el equipo es dispar en sus estaturas, y cómo se calcula? Por medio de la desviación media, y se calcula con la fórmula que estudiaste con anterioridad, lo que da como resultado: Dm=0.03, que el grado de dispersión es muy bajo, pues tienen estaturas muy semejantes.
5 minutos
Indique a los alumnos que se integren en equipos de cinco y realicen las acciones que se enumeran a continuación: Compartan los resultados; de ser necesario, corrijan.
Cierre
114
¿Para qué podría servirnos en nuestra vida cotidiana este tipo de cálculos?
Haga un comentario final: “La estadística es una rama muy amplia, y estos son sólo algunos de los conocimientos básicos que un estudiante debe tener.
Para reforzar conocimientos sugiera revisar la siguiente liga y resolver los ejercicios anexos.
http://math2me.com/playlist/estadistica Ejercicios para reforzar conocimientos. 1. Al arrojar un dado 15 veces, se obtuvieron los siguientes datos:
6 2 4 1 2 4 3 3 2 1 6 5 6 3 4 2. Las calificaciones de diez estudiantes del idioma inglés fueron:
8.7 8.6 8.5 8.7 8.6 8.7 8.6 8.1 7.7 8.5 3. El peso, en Kg, de 13 estudiantes:
56 61 64 70 72 69 75 74 77 76 74 78 70
4. Al contar el número de autos que cruzan una caseta de cuota, por minuto, se obtienen los siguientes datos:
10 7 4 2 6 4 2 4 6 2 8 5. Las calificaciones de un estudiante, en seis exámenes, son:
8.4 9.1 7.2 6.8 8.7 7.8 6. Diez medidas de diámetro de un cilindro, en centímetros, fueron registradas como:
3.88 4.09 3.92 3.97 4.02 3.95 4.03 3.92 3.98 4.06 7. Se tienen los siguientes números, tomados al azar del 1 al 10.
5 3 6 5 4 5 2 8 6 5 4 8 3 4 5 4 8 2 5 4
8. En un hospital se seleccionó una muestra aleatoria de 20 pacientes; sus edades son:
64 68 75 77 90 65 69 83 73 88 91 84 62 76 82 88 75 90 65 70
115
70 minutos
5
minutos
Para iniciar la sesión, aplique la técnica “Juego de los colores”. Instrucciones: Indique a los alumnos que formen un círculo y se numeren del 1 al 3. Explique que el número 1 = amarillo, el 2 = azul y el 3 = rojo. Mencione que al decir un color (amarillo, azul, rojo), los alumnos con el número correspondiente pasan al centro. Después de tres intentos, incremente la atención de los alumnos estableciendo las siguientes condiciones 1 y 2 =verde, 1 y 3 =naranja, 2 y 3 = violeta y todos con los brazos levantados = arcoíris. Seguir el juego ahora diciendo los colores compuestos alternando con los colores simples. Al final diga: arcoíris.
Pregunte: ¿Ha sido una experiencia cómoda o agradable? ¿Te has distraído con otros pensamientos u objetos? ¿Te fue fácil asociar el color con el número que te correspondía? ¿Puedes poner todo tu interés en la clase?
Calcula la probabilidad de eventos
complementarios, mutuamente
excluyentes e independientes.
HABILIDAD ESPECÍFICA
¿Qué enseñar? Probabilidad empírica
Probabilidad clásica
Espacios muestrales
Sesión No. 9
Apertura
116
5 minutos
Escriba en el pizarrón la habilidad específica correspondiente. Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.
Mencione la introducción. Introducción Todos hemos vivido muchas experiencias en donde lo que tengo que hacer es una suposición, a partir de situaciones que ya he conocido antes o cuando nos están dando información y podemos deducir con cierta facilidad lo que va a suceder. Esto que hemos experimentado, en las matemáticas se llama probabilidad. En la vida, se presentan fenómenos que nos ponen a pensar que es posible encontrar respuestas a ciertas interrogantes a partir de cierta información, pero no podríamos decir con exactitud lo que sucederá; es entonces cuando estamos recurriendo a la herramienta matemática, que como ya se dijo se conoce como probabilidad. En la probabilidad se pretende descubrir qué pasará con un fenómeno, cómo lo podemos manipular para conseguir respuestas, descubrir posibilidades de conocer el futuro, es decir, inferir.
20
minutos
Con una lluvia de ideas, solicite la respuesta a las siguientes preguntas.
Guíe la actividad de tal forma que al concluir queden escritas las respuestas correctas, en el pizarrón. 1. ¿Qué es la probabilidad?
Respuesta: puede definirse como el grado de incertidumbre de que algo suceda, respecto a una afirmación. O como la posibilidad de que algo ocurra.
2. ¿Qué es un espacio muestral? Respuesta: es el conjunto de todas las posibilidades que han de ocurrir respecto a una afirmación.
3. ¿Qué es un evento? Respuesta: es un suceso o acontecimiento que tiene características previamente seleccionadas.
4. ¿Qué es un experimento? Respuesta: prueba que consiste en provocar un fenómeno en condiciones determinadas.
Desarrollo
117
Mencione al grupo que la manera empírica de manejar la probabilidad es simplemente decir:
*Es muy probable que llueva mañana. *Tengo grandes posibilidades de pasar el examen. *Creo que mi próximo hijo va a ser mujer. Con esta forma de trabajar la probabilidad no podemos tomar decisiones adecuadas por lo que es necesario hacer uso de la probabilidad clásica.
Probabilidad clásica o de Laplace Esta forma de trabajar la probabilidad está sustentada en trabajo matemático, y podemos decir de ella que: Considera que la probabilidad de un evento A es igual al cociente del número de casos favorables del evento (n), entre el número total de casos posibles (N), es decir:
P(A)=n
N
Esta corriente, pone de manifiesto que todos los eventos tienen la misma oportunidad de ocurrir, por ejemplo, al tirar un dado solo puede caer una cara, cualquiera de las seis, por lo que la probabilidad de que caiga uno, dos, tres, cuatro, cinco o seis puntos es la misma.
Se escribe de la siguiente manera:
P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6) = n
N=
1
6
La probabilidad tiene varios aspectos que se deben considerar para realizar correctamente los cálculos, porque los eventos no solo aparecen como si no tuviera nada que influya en ellos, hay muchos factores; por ejemplo, qué pasa si saco de una bolsa objetos y sigo calculando probabilidades cada vez con menos objetos, o qué pasa si al hacer un experimento cambia el resultado de otro. Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si éstos no tienen resultados en común, es decir, no pueden obtenerse dos eventos con la misma característica; si lanzo una moneda al aire no puede caer sol o águila al mismo tiempo; o bien, si lanzamos un dado sólo caerá una cara de las seis, no pueden caer dos o más al mismo tiempo. .
118
Ejemplo:
En una clase hay 10 a lumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 44 a lumnos, encontrar la probabil idad de que el alumno que fal ta:
a) Sea Hombre p(hombre)=15
45=
1
3=0.33
b). Sea mujer morena p(mujer morena)=20
45=
4
9=0.44
c). Sea hombre o mujer p(hombre ∪ mujer)=1
5 minutos
Presente el problema. A los alumnos de 3º de la primaria “Club de leones” se les va a realizar una prueba de atención y les proporcionan un paisaje en donde tienen que colorear del mismo color todos los conejos ocultos, para ello metemos en un saco oscuro 20 colores diferentes y de las mismas características.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante saque el color rojo? b) Si en vez de 20 colores diferentes, se embolsan 5 rojos, 4 verdes, 3 amarillos, 6 azules
y 2 naranjas, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar un color sea amarillo?
c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar un color verde?
20 minutos
Antes de resolver el problema pregunte:
¿El espacio muestral son todas las posibilidades de tener una situación con las mismas características?
Respuesta: sí, como en el ejercicio de los colores, el espacio muestral es 20, en un volado el espacio muestral es 2, o en un dado el espacio muestral es 6.
¿Es posible que la probabilidad de un evento determinado sea mayor a la unidad? Respuesta: no, no es posible.
¿Qué quiere decir que una probabilidad es cero?
119
Respuesta: que no puede ocurrir bajo ninguna circunstancia.
¿Y entonces, qué será si la probabilidad es 1? Respuesta: que va a ocurrir con certeza.
Indique que resuelvan el problema de manera individual.
Deje que el estudiante resuelva el problema y que realice las actividades indicadas.
Motive en todo momento al estudiante.
Acompañe de manera directa a los estudiantes que se observan con dificultades para resolver el problema.
Oriente al estudiante para resolver el problema.
Responda los cuestionamientos de los estudiantes. Solución del problema
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante saque el color rojo?
Todas las probabilidades de sacar cualquier color es de P(Color)=1
20
b) Si en vez de 20 colores diferentes, se embolsan 5 rojos, 4 verdes, 3 amarillos, 6 azules
y 2 naranjas, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar un color sea amarillo? En este caso, como hay 3 amarillos en un total de 20 colores, entonces:
P(amarillo)=3
20=0.15
c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar un color verde?
P(verde)=4
20=0.2
10 minutos
Forme equipos de trabajo de 5 alumnos y dé las siguientes indicaciones:
Muestren las respuestas de los ejercicios a sus compañeros y comparen si éstas coinciden. En el caso de que coincidan, revisen cómo es que llegaron al resultado. En caso de haber diferencias, revisen qué es lo que salió mal.
Concluya la forma en que se deben trabajar la probabilidad clásica.
Retroalimente en todo momento.
120
5 minutos
Pida que resuelvan los siguientes ejercicios.
1. Paulina juega voleibol y futbol. La probabilidad de que se lesione
jugando voleibol es de 0.1. La probabilidad de que se lesione jugando
futbol es de 1
10
¿Cuál evento es más probable? Respuesta: ninguno. Ambos eventos son igualmente probables.
2. Bruce llamará por teléfono a una persona de sus contactos de manera aleatoria.
Tiene 25 contactos en total. 20 de esos contactos son personas de su vecindario. ¿Cuál es la probabilidad de que bruce llame a una persona que no es de su vecindario? Respuesta: 0.2
3. Tanto Felipe como Enzo olvidaron estudiar para su examen de ciencias. La
probabilidad de que Felipe apruebe el examen es de 0.19. La probabilidad de que
Enzo apruebe el examen es de 1
4
¿Quién es más probable que apruebe el examen? Respuesta: Enzo aprueba el examen
Fuente: https://es.khanacademy.org/math/probability/probability-geometry/probability-basics/e/understanding-probability
Solicite el intercambio de manuales por filas, proporcione las respuestas correctas e indique evalúen a sus compañeros.
Para profundizar en los contenidos abordados, sugiera revisar los videos en las siguientes ligas:
https://www.youtube.com/watch?v=9ajsVEo9GUY
https://www.youtube.com/watch?v=gQo4B03dFZs
Cierre
121
Evaluación diagnóstica del ingreso al bachillerato 2017-2018
Coordinadores y dirección estratégica Pedro Daniel López Barrera Asesor de Innovación Educativa, CoSDAc.
Delia Carmina Tovar Vázquez Subdirectora de Innovación, CoSDAc.
Janet Pamela Domínguez López Subdirectora de Desarrollo Académico, CoSDAc.
Paulo Sergio Camacho Cano Subdirector de Divulgación, CoSDAc.
Asesoría técnico-pedagógica Gladys Elizabeth Mata García Jorge Antonio Gómez Santamaría Maura Torres Valades Manuel Gerardo Romero Guadarrama Víctor Adrián Lugo Hernández Tels. 3601 1000, Ext. 64353, 64352, 64359, 64250 y 64355 Página web: http://www.cosdac.sems.gob.mx
Diseño de portada Edith Nolasco Carlón Desarrollo de Software Javier Jiménez Iglesias Miguel Ángel Juárez González
Dirección Técnica y responsable de la evaluación
Asesoría académica
DGETI Emiliano Cruz Sánchez Tels. 3600 4350, Ext. 60773, 60772, 60787 Página web: http://www.dgeti.sep.gob.mx Juan Gerardo Orellana Suárez juangerardo.orellana @dgeti.sems.gob.mx
María de la Luz Téllez Aguilar Martha Julia Aguilar Rodríguez Griselda Luna Ramos María del Rosario Hernández Sánchez Dante Alejandro Jaramillo de León Marcos Cervantes Maciel
DGETA Francisco Calderón Cervantes Tels. 3601 1000 y 3601 1097, Ext. 62369 Página web: http://www.dgeta.sep.gob.mx Nereyda Vite Alejandrez nereyda.vite @dgeta.sems.gob.mx
DGECyTM Víctor Manuel Rojas Reynosa Tel. 3601 1000 y 3601 1097, Ext. 64096 Página web: http://www.dgecytm.sep.gob.mx [email protected]
CECYTE Raúl García Rubio Tel. 3600 4350, Ext. 60546 [email protected] Laura Yolanda Valencia Sánchez [email protected]
COBAE Sylvia Beatriz Ortega Salazar Página web: http://www.cbachilleres.edu.mx 56244100, Ext. 4450
Alejandro Nava Camacho Amalia Trinidad Lojero Velásquez Julio Lagunes Yáñez
DGB Tel. 3601 1097, Ext. 63262 Página web: http://www.dgb.sep.gob.mx Jaime Ayala Galindo [email protected]
Se autoriza la reproducción total o parcial de este documento, siempre y cuando se cite la fuente y no se haga con fines de lucro.
Secretaría de Educación Pública
Subsecretaría de Educación Media Superior
Coordinación Sectorial de Desarrollo Académico
2017
