El Legado Matemtico de Leonhard Eulera Trescientos Aos de su NacimientoUNIVERSIDAD AUTNOMA METROPOLITANADr. Jos Lema LabadieRector GeneralDr. Oscar A. Monroy HermosilloRector de la Unidad IztapalapaDr. Adrin de Garay SnchezRector de la Unidad AzcapotzalcoM. en C. Jos ngel Rocha MartnezDirector de la Divisin de Ciencias Bsicas e Ingeniera, AzcapotzalcoDra. Vernica Medina BauelosDirectora de la Divisin de Ciencias Bsicas e Ingeniera, IztapalapaDr. Mario Pineda RuelasJefe del Departamento de Matemticas, UAMIztapalapaEl Legado Matemtico de Leonhard Eulera Trescientos Aos de su NacimientoAlfonso Anzaldo MenesesJoaqun DelgadoFelipe Monroy PrezEditores Quedarigurosamenteprohibida,sinlaautorizacinescritadelostitularesdel ,bajolassancionesestablecidasenlasleyes,lareproduccin parcial o total de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendiendo la reprografa y el tratamiento informtico. El Legado Matemtico de Leonhard Euler a Trescientos aos de su Nacimiento 2007, Alfonso Anzaldo Meneses, Joaqun Delgado, Felipe Monroy Prez D.R. 2007 por Innovacin Editorial Lagares de Mxico, S.A. de C.V. lamo Plateado No. 1, Int. 402 Fracc. Los lamos Naucalpan, Estado de Mxico C.P. 53230 Telfono: (55) 5240-1295 al 98 Email: editor@lagares.com.mx Diseo de Portada: Alfonso Anzaldo Meneses ISBN: 978-970-773-375-6 Primera edicin octubre, 2007 IMPRESO EN MXICO / PRINTED IN MEXICO ndice generalPrefacio VII1. Vida y obra de Leonhard Euler 1Jos Luis Huerta Flores y F. Monroy-Prez1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. La gura de Leonhard Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Esbozo biogrco de Leonhard Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1. Basilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2. San Petersburgo I (1727-1741). . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.3. Berln (1741-1766) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.4. San Petersburgo II (1766-1783) . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Las matemticas de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Opera omnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142. El problema de los dos centros jos 21Joaqun Delgado y Martha lvarez Ramrez2.1. Euler y el problema de los dos centros jos . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3. La integral de energa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4. La integral de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5. De motv corporis (1766) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.1. Movimiento hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.2. Movimiento elptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.3. Solucin completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6. Integrales elpticas y lemniscatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.7. El problema de las curvas algebraicas (1768) . . . . . . . . . . . . . 462.7.1. Reduccin de la ecuacin integral . . . . . . . . . . . . . . . 472.8. La ecuacin integral reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.8.1. La ecuacin integral para = 2, = 1 . . . . . . . . . . . . 522.8.2. La ecuacin integral para = 3, = 1 . . . . . . . . . . . . 532.8.3. La ecuacin integral para , enteros . . . . . . . . . . . . . 54II NDICE GENERAL2.9. De motv corporis (1767) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.10. La solucin de Jacobi de los dos centros jos . . . . . . . . . . . . . 572.10.1. La ecuacin de HamiltonJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . 572.10.2. Coordenadas elpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583. La hidrodinmica de Euler 65Jorge A. Esquivel Avila y Marisela Guzmn Gmez3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2. La obra de Euler en mecnica de uidos . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.1. Descripciones material y espacial . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.2. Conservacin de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.3. Balance de la cantidad de movimiento. . . . . . . . . . . . . 733.2.4. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.5. Ecuacin de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2.6. Paradoja de Euler-DAlembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3. Un problema del milenio en hidrodinmica . . . . . . . . . . . . . . 834. Euler y la cuerda vibrante 91Gulmaro Corona Corona y Salvador Arellano Balderas4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.1. Sobre el siglo XVIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.2. Antecedentes del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2.3. Solucin de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2.4. Solucin de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.5. La controversia entre Euler y DAlembert . . . . . . . . . . . 974.2.6. La solucin de Daniel Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 984.2.7. El trabajo de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.2.8. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3. La cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4. La ecuacin de Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065. Euler y la funcin zeta 113J. Cruz Sampedro, S. Hernndez H. y M. Tetlalmatzi M.5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2. La funcin zeta y los nmeros primos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.3. Irracionalidad y trascendencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.4. Irracionalidad, un mtodo reciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138NDICE GENERAL III6. Euler y la teora de nmeros 147V. Janitzio Meja Huguet y Arturo Cueto Hernndez6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.2. La teora de nmeros antes de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.3. Euler en la teora de nmeros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.3.1. Nmeros perfectos y amigables . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.3.2. Nmeros de Mersenne y Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.3.3. Generalizacin del pequeo teorema de Fermat . . . . . . . . 1636.3.4. Sumas innitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.3.5. El problema de Basilea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.4. Despus de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.4.1. Nmeros perfectos y primos de Mersenne . . . . . . . . . . . 1726.4.2. Nmeros de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757. Las curvas elsticas de Euler 181A. Anzaldo-Meneses y C. Romero-Melndez7.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.2. Marcos mviles en hipersupercies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.3. El principio mximo de Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.4. Curvas elsticas en R2, S2 y H2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.5. El pndulo y las integrales elpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.6. Elsticas en el plano Euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1927.7. Elsticas en la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.8. Elsticas en el plano hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978. El mtodo de los mximos y los mnimos 205H. N. Nez Ypez y A. L. Salas Brito8.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2058.1.1. El principio de mnima accin. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088.2. El mtodo de los mximos y los mnimos. . . . . . . . . . . . . . . . 2098.2.1. El mtodo variacional de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . 2098.2.2. El clculo variacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2108.2.3. La resolucin general de problemas variacionales. . . . . . . 2128.2.4. Las ecuaciones de Euler-Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . 2168.2.5. La curva de longitud mnima. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2168.3. Ejemplos del uso del clculo variacional. . . . . . . . . . . . . . . . 2178.3.1. El principio de mnima accin. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.3.2. Determinismo versus teleologa. . . . . . . . . . . . . . . . . 2198.4. La descripcin cuntica de la realidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2198.4.1. La amplitud cuntica de 1 a 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.4.2. Integrales de Feynman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2218.4.3. El principio de mnima accin, demostrado. . . . . . . . . . . 222IV NDICE GENERAL8.4.4. La vlidez del principio de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . 2238.5. El legado del clculo de variaciones de Euler. . . . . . . . . . . . . . 2238.5.1. La derivada funcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2248.5.2. Una serie de potencias funcional. . . . . . . . . . . . . . . . 2268.5.3. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2278.5.4. Un poco ms de formalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2278.6. Conclusin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279. Estabilidad mediante funcionales 231L. Aguirre y P. Seibert9.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2329.2. Sistemas dinmicos y semidinmicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339.3. Conceptos de estabilidad. Criteriode Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2349.4. Generalizacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.4.1. Deniciones y notaciones generales. . . . . . . . . . . . . . . 2359.4.2. Funciones de Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2369.4.3. Condiciones sucientes para la estabilidad. . . . . . . . . . . 2369.4.4. El primer teorema inverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2379.4.5. El segundo teorema inverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2389.4.6. Acotacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.5. Regiones de transicin y conjuntosde permanencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24410. Euler y el Anlisis Matemtico 249Jaime Navarro y David Elizarraraz Martnez10.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24910.2. El concepto de funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25010.3. Las funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210.3.1. Las funciones logaritmo y exponencial . . . . . . . . . . . . 25210.3.2. Funciones seno y coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25510.4. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25710.4.1. Series trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26010.5. Aplicacin de la frmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26210.5.1. La Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.5.2. La transformada de ventana de Fourier . . . . . . . . . . . . . 26310.5.3. La transformada del wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26410.6. La frmula de reconstruccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26510.7. Transformadas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26610.7.1. El kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26710.7.2. El kernel de la transformada del wavelet. . . . . . . . . . . . 26910.8. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270NDICE GENERAL V11. El papel de Euler en el Anlisis Complejo 273L.F. Resndis O. y L. M. Tovar S.11.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27311.2. Los nmeros imaginarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27411.3. La funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27711.4. La n-sima suma parcial de la exponencial . . . . . . . . . . . . . . . 28011.5. La funcin gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28811.6. Las funciones p-circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29512. Caminos eulerianos y la frmula de Euler 305G. Rodrguez Snchez y F.J. Zaragoza Martnez12.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30512.2. Los puentes de Koenigsberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30612.2.1. Caminos y circuitos eulerianos. . . . . . . . . . . . . . . . . 30712.2.2. Grcas dirigidas eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30912.2.3. Grcas mixtas eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31012.2.4. El problema del cartero chino . . . . . . . . . . . . . . . . . 31112.2.5. Problemas abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31312.3. La frmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31712.3.1. Grcas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31712.3.2. Poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32012.3.3. Grcas en otras supercies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32312.3.4. Problemas abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 PrefacioLa asociacin de matemticas de Estados Unidos1, declar el 2007 como el aode Euler, en conmemoracin del tricentenario del gran matemtico suizo LeonhardEuler, nacido en Basilea el 15 de abril de 1707. Esta declaratoria ha sido acompaa-da por diversas iniciativas alrededor del mundo que incluyen conferencias, congresosde sociedades cientcas, ediciones de libros, visitas guiadas, actividades culturales,conciertos, etc. Sobresale la intensa actividad auspiciada por la academia de cienciassuiza: Leonhard Eulers 300 Geburtstag-Basel 20072, que a lo largo del ao ha llevadoa cabo celebraciones pblicas en los pases en los que Euler vivi y ense, compe-tencias de matemticas desde el nivel de secundaria, el congreso anual de la academiadedicado a Euler, etc. Se ha publicado una historieta: Ein Mann, mit dem man rechnenkann3, para acercar la gura de Euler a un pblico ms amplio y la ocina de correossuiza ha cancelado un timbre postal conmemorativo.La fascinacin que produce la vida y la obra de Leonhard Euler no se circunscri-be a la comunidad matemtica. La histria de un hombre que public ms de 30 000pginas durante su vida, mas de la mitad de ellas despues de haber perdido la vistacompletamente, es cautivante. Su obra es monumental, no solo es reconocido como elmatemtico ms productivo de todos los tiempos, sino tambin como el de ms pop-ularidad y proyeccin social, equiparndose histricamente con las guras de GalileoGalilei, Isaac Newton y Albert Einstein.Leonhard Euler fue un universalista y un cosmopolita, vivi y ense en los prin-cipales centros de produccin intelectual de su tiempo, reexion y escribi sobregrandestemasdesupoca: construccinydiseodebarcoseinstrumentospti-cos, cartografa, astronoma, fsica, losofa, msica, religin, etc., y por supuesto,matemticas.El genio matemtico de Euler es incuestionable, mucha de la matemtica tal ycomo se escribe hoy en da se debe a l, existen en la literatura decenas de objetosmatemticos que llevan su nombre: ecuaciones, integrales, nmeros, constantes, dia-1MAA. Mathematics Association of America2El tricentenario de Leonhard Euler-Basilea 20073Un hombre con quien contar, Elena Pini (animacin), Alice Heyne (investigacon) y Andreas K. Heyne(texto).VIII Prefaciogramas, ngulos, etc. Incursion prcticamente en todas las ramas de la matemticaque se cultivaron en su tiempo: clculo, ecuaciones diferenciales, lgebra, teora denmeros, clculo de variaciones, topologa, etc., para algunas de estas ramas l trazlos principios fundamentales.La academia de ciencias suiza estableci en 1907 la comisin de Euler, con la en-comienda de compilar la obra del gran Euler, incluyendo correspondencia, notas, dia-rios, manuscritos, etc. La coleccin fue denominada Opera Omnia, y su publicacinse inici en 1911, cuenta a la fecha con 76 volmenes y no ha sido an concluida, estaobra monumental no tiene paralelo en la historia de la ciencia.Contrariamente a la imagen de un hombre de ciencias que se recluye y se aislade todo para producir conocimiento en la soledad de su estudio, Euler fue un genioque abraz la vida con pasin. Es sabido, a partir de lo que escribieron sobre l suscontemporneos, que fue un hombre que disfrut de la vida plenamente: se cas dosveces, procre y educ a los cinco hijos que le sobrevivieron, procursiempre el bienestar de su familia, dise y construy juegos cientcos para sus hijosy sus nietos, armaba que fue sosteniendo a uno de sus bebs en brazos, mientraslos otros jugaban a sus pies, como lleg a sus mejores descubrimientos matemticos,practic ajedrz ms all del esparcimiento, disfrut de la msica y la literatura, etc.En el espritu de rendir un modesto homenaje al gran Euler a los trescientos aosde su nacimiento, se publica el presente libro, en el cual se exponen en forma concisa yamena, temas de diversas ramas de la matemtica pura y aplicada en la cual la inuen-cia de Leonhard Euler persiste. Los autores de los captulos son investigadores quecultivan activamente los temas sobre los que escriben. Los conceptos se exponen enforma panormica y expositoria, con abundantes ejemplos y aplicaciones, sin perder elrigor y la calidad cientca. El libro est dirigido a un pblico amplio, con una culturamatemtica mediana, que adems de matemticos y estudiantes de matemticas, in-cluye a profesionistas y estudiantes de ingeniera y ciencias. El volumen contiene docecaptulos todos ellos escritos alrededor de la matemtica de Euler y su proyeccin enalgunos temas de la matemtica contempornea.En la contribucin de J.L. Huerta Flores y F. Monroy Prez, se resumen algunosaspectos importantes de la vida de Euler. Dada la magnitud y el alcance de la obradeEuler,seabordansomeramentesoloaquellosaspectosrelacionadosconelpre-sente volumen. Se situa histrica y geogrcamente su poca y se resalta el ambienteacadmico que propici el pleno desarrollo de las capacidades de Euler. Tambin sedestaca el perl humanista de Euler como una constante a lo largo de toda su vida, ascomo su muy especial inters por incidir en la sociedad de su tiempo desde su que-hacer cientco. Se resalta que, siendo considerado como maestro en el sentido msamplio de la palabra, su inters en realizar investigacin bsica fue fundamental en suvida y en el desarrollo de las ciencias modernas. Esto es, la investigacin conditio sinequa non para la docencia. Adems de mencionar algunos de sus logros acadmicosan hoy vigentes, se hace referencia especca al estado actual de la edicin de susobras por parte de la academia de ciencias suiza que se inici a principios del sigloIXpasado y que est lejos de encontrarse concluida.El captulo escrito por J. Delgado y M. lvarez Ramrez presenta algunos aspec-tos de la mecnica celeste en los que la inuencia del gran Euler ha sido signicativa.No hay que olvidar que Euler fue un practicante consumado de la astronoma, visita-ba regularmente el observatorio Kunstkamera de San Petersburgo, donde permanecapor prolongadas horas de observacin y se involucraba en la construccin y diseo detelescopios. El captulo presenta una visin autorizada del problema de los dos cen-tros jos y lleva a cabo una cuidadosa reconstruccin de clculos originales de Euler,introduce la integral de energa y la llamada integral de Euler y analiza las diferen-tes soluciones: elpticas e hiperblicas. Desglosa partes del motv corporis de Euler,abundando en el uso de las integrales elpticas y las lemniscatas. Estudia las diferentessoluciones incluyendo las de Jacobi as como las llamadas ecuaciones de Hamilton-Jacobi.En el captulo de J. A. Esquivel vila y M. Guzmn Gmez, se hace un detalladoestudio histrico de las ecuaciones de Euler de la hidrodinmica para uidos no vis-cosos. Es mencionado el gran inters que Euler tuvo por este tema y sus numerosasaportaciones durante toda su vida. A esto hay que aadir la gran importancia prcticade las mencionadas ecuaciones, tan solo los logros de Euler sobre este tema lo hu-bieran hecho famoso. Euler desarroll los conceptos bsicos para poder enunciar lasecuaciones respectivas, lo cual era un problema nada trivial para cuerpos deformableshaciendo a un lado dicultades conceptuales errneas imperantes en su tiempo. For-mul, por ejemplo, una relacin para el balance de la cantidad de movimiento que fuecentral en el desarrollo ulterior. En sus trabajos fueron sentadas las bases para la pos-terior teora cintica de los gases. Adems, entre sus logros se encuentra la obtencinpor vez primera de una ecuacin de onda para la propagacin del sonido. Sus estudiosdejaron numerosas preguntas abiertas que an hoy en da son estudiadas por su granrelevancia para la descripcin de cuerpos deformables.ElcaptulodeG.CoronaCoronayS.ArellanoBalderasintroduceotrodelostemas clsicos de Euler: la cuerda vibrante. Es reconocido que este problema ha ins-pirado generaciones enteras de fsicos y matemticos y es considerado como uno delos problemas motores del desarrollo conceptual de la sica-matemtica, incluyen-do lo que hoy en da es llamada la ciencia no-lineal. Los autores proporcionan uninteresante recuento histrico incluyendo la controversia DAlambert-Euler sobre laregularidad de soluciones y el concepto mismo de solucin de una ecuacin en deri-vadas parciales. El captulo desarrolla las ideas de Euler hacia temas contemporneosde la fsica-matemtica como la ecuacin de Schrdinger y temas relacionadosLos trabajos de Cueto y Meja y de Cruz, Hernndez y Tetlamatzi abordan la con-tribucin de Euler a la teora de nmeros que fue extenssima. Cueto y Meja colocanen perspetiva los resultados de Euler con los resultados ms antiguos descubiertos porlos griegos, hindues y chinos: nmeros amigables y perfectos, primos de MersenneX Prefacio(tambin las pias histricas) y el pequeo teorema de Fermat. Al nal se presentanalgunos resultados actuales sobre los primos de Mersenne. Como se sabe, a sugerenciade Goldbach, al principio reticente pero despus con gran mpetu, Euler dedica granparte de su tiempo a probar resultados no demostrados por Fermat. Cruz, Hernn-dez y Tetlamatzi abordan principalmente los orgenes de la funcin zeta de Riemannconectada profundamente con los nmeros primos. Esta funcin es un caso de muchosotros que l plante en los ahora llamados productos de Euler. Uno de los problemasan abiertos a nuestra fecha se relaciona con las races de esta funcin que dice: Laparte real de todo cero no trivial de la funcin zeta de Riemann es 1/2. Euler consigueprobar la irracionalidad de (2) entre otras cosas, lo cual se analiza en este captulo.En el trabajo de Anzaldo y Romero se presenta una generalizacin de la curvaelstica que se reera a la forma que una viga delgada toma al ser sometida a unacompresin en sus extremos. Ellos consideran las ecuaciones de la elstica en espaciosde curvatura constante. A partir de un principio variacional se deducen las ecuacionescuya solucin se obtiene mediante el principio mximo de Pontryagin y los marcosde referencia mviles de SerretFrenet. Algunas curvas en estos espacios se presentanpor primera vez.En el captulo escrito por Nez y Salas, los autores esbozan didcticamente lasaportaciones de Euler al clculo de variaciones. Es mostrado como entendi Euler alprincipio de mnima accin para resolver numerosos problemas de dinmica y ms ancomo ley natural bsica. Dicho principio fue desarrollado de manera importante porLagrange, siendo, no obstante, fundamental la contribucin de Euler para hacer dichosmtodos ampliamente aceptados en medios acadmicos. Luego de mostrar diversasaplicacionesdelclculovariacionallosautoressealanqueenFsicamodernalosmtodos variacionales son tambin de gran importancia, en especial en la formulacinde las llamadas integrades de trayectoria de la mecnica cuntica. Este captulo nalizacon la mencin del estudio de la teora de problemas estocsticos mediante el uso delclculo funcional estrechamente ligado al clculo variacional.Ubicndose en la tradicin de los principios variacionales a la manera de Euler, L.Aguirre y P. Seibert presentan un captulo sobre la funcin de Lyapunov y la estabi-lidad de sistemas dinmicos. Los autores exhiben un enfoque novedoso por medio defuncionales, lo que les permite generalizar la teora a sistemas dinmicos abstractos.La inuencia de Leonhard Euler en el anlisis matemtico es uno de los ejemploscontundentes de la ubicuidad y la atemporalidad de la obra de un genio, la notacinf(x), lafrmulamgicaei+ 1 =0, losngulosdeEuler, lanotacinparalasseries, las funciones trigonomtricas, etc., y otras tantas gemas que encontramos ennuestros libros de texto universitarios, se deben a Euler. Los captulos de J. Navarro yD. Elizarraraz Martnez y de L. Resendis O. y L. M. Tovar, discuten esta inuencia.Los primeros abundan sobre el anlisis real en tanto que los segundos lo hacen sobreel anlisis complejo. Estos dos captulos presentan en forma amena algunos de losXItemas fundamentales del anlisis en un contexto histrico, y hbilmente conducen dela mano al lector a terrenos actuales de la investigacin como lo son la transformadadel wavelet y las funciones p-circulares.En el captulo nal del volumen, elegantemente escrito por G. Rodrguez S. y F.Zaragoza M., se presenta uno de los resultados ms conocidos de Euler en la teorade grcas, conocido como el problema de los puentes de Koenigsberg. Se revisa lateora de las grcas eulerianas y generalizaciones como el problema del cartero chino(o el problema chino del cartero). Se presenta tambin el desarrollo de la frmula queliga vrtices, caras y aristas de un slido y por qu existen exactamente cinco slidosplatnicos.La breve resea de los captulos del libro que hemos presentado en los parrafosanteriores, deja ver un trabajo de alta calidad acadmica que conjuga la presentacinamenadelosconceptosconelrigorcientcoentornoalamatemticacultivadapor Leonhard Euler. Como editores de este volumen queremos agradecer a todos losautores que en forma entusiasta participaron en la elaboracin de los captulos y nonos queda mas que invitar al lector a sumergirse en el mundo fascinante de la guradel gran Euler, y repetir con emocin lo que algun da expres P. S. Laplace:. . . led a Euler, led a Euler, que l es el maestro de todos nosotros !ALFONSO ANZALDO MENESESJOAQUN DELGADO JIMNEZFELIPE MONROY PREZAzcapotzalco, Mxico D.F., noviembre de 2007 Captulo 1Vida y obra de Leonhard EulerJos Luis Huerta Flores 1y F. Monroy-Prez 2ResumenSepresentanenestecaptuloalgunosaspectosrelevantesdelavidayla obra del matemtico suizo Leonhard Euler. No se pretende un ensayobiogrco exhaustivo ni una descripcin completa de su obra cientca,la cual es monumental y de una gran profundidad losca. Parte impor-tante de la matemtica tal y como se conoce hoy en da, encuentra susfundamentos en las ideas desarrolladas por Euler. Este captulo presentaalgunos aspectos de estas ideas y el impacto histrico de ellas. Al nalse desglosa una descripcin de la famosa Opera omnia, recoleccin dela obra de Leonhard Euler a cargo de una comisin de la academia deciencias suiza.1.1. IntroduccinLa actividad matemtica en el periodo que va del Renacimiento al siglo XVIII secaracteriza, entre otras cosas, por el hecho de que ningn grupo nacional se mantuvoa la cabeza por un tiempo prolongado, como sucedi con la antigua Grecia o con elmundo rabe en la edad media. Del siglo XIV al siglo XVIII, los centros de actividad1Area de Anlisis Matemtico y sus Aplicaciones, Departamento de Ciencias Bsicas, UAM-Azcapot-zalco, hfjl@correo.azc.uam.mx2Area de Anlisis Matemtico y sus Aplicaciones, Departamento de Ciencias Bsicas, UAM-Azcapot-zalco, fmp@correo.azc.uam.mx2 Vida y obra de Leonhard Eulermatemtica se localizaron entre Alemania, Italia, Francia, Holanda, Inglaterra y Suiza,siendo este ltimo el hogar de la familia Bernoulli, que se registra en la historia de laciencia como una familia que ha tenido entre sus miembros a un nmero poco usualde matemticos y hombres de ciencia de gran calibre[1].La familia Bernoulli estuvo integrada inicialmente por los hermanos Jacob Bernou-lli (1654-1705) y Johann Bernoulli (1667-1748), quienes entre otras cosas hicieronnotar el poder del clculo de Newton y Leibniz y lo aplicaron creativamente a unagran diversidad de problemas. De 1687 hasta su muerte Jacob estuvo a cargo de lactedra de matemticas en la Universidad de Basilea. En 1697 Johann fue profesor dela universidad de Groningen y a la muerte de su hermano lo reemplaz en su puesto.Los hermanos mantuvieron una permanente comunicacin siempre salpicada con unaamarga rivalidad.Johann Bernoulli fue ms prolco que su hermano, pero se distingui por poseeruna personalidad irascible y celosa. Fue reconocido como un gran educador que en-riqueci el clculo y difundi su poder en el resto de la Europa. La historia registra quefueron las lecturas de clculo de Johann Bernoulli las que se recopilaron en el primerlibro de texto de clculo: lAnalyse des inniment petits pour lintelligence des lignescourbes, publicado en 1696 por el matemtico francs Guillaume Franois Antoine,Marquis de lHpital, (1661-1704).3Johann Bernoulli procre tres hijos, Nicolaus (1695-1726), Daniel (1700-1782)y Johann II (1710-1790), todos ellos ganaron reconocimiento como matemticos ycientcos distinguidos del siglo XVIII. Un recuento de la obra de los Bernoulli rebasalos alcances de este captulo, la literatura sobre esta distinguida familia de cientcoses abundante y diversa, al lector interesado recomendamos leer la entrada Bernoullidel Diccionario Histrico de Suiza, enciclopedia publicada bajo los auspicios de laAcademia Suiza de Humanidades y Ciencias Sociales, y de la Academia Suiza deHistoria[2].El matemtico suizo ms signicativo del siglo XVIII, y sin duda de todos lostiempos, fue Leonhard Euler (1707-1783), nacido en Basilea. En los primeros aos desu formacin, Euler mantuvo contacto regular con Johann Bernoulli, para ese entoncesel matemtico ms renombrado de toda Europa. Johann Bernoulli reconoci desde elprincipio el genio matemtico de Euler y lo estimul, considerndolo siempre comosu discpulo predilecto, este contacto fue indudablemente decisivo en la formacinmatemtica del gran Euler. Las relaciones de Euler con el clan Bernoulli incluy laamistad que de por vida mantuvo con los los hermanos Nicolaus y Daniel Bernoulli.Presentamos en este captulo algunos rasgos biogrcos de Leonhard Euler, y des-cribimos algunos aspectos sobresalientes de su obra matemtica, no pretendemos unaexposicin exhaustiva, ni una contribucin enteramente original sino un modesto ho-menaje al gran Euler en la celebracin de su tricentenario.3De ah que el mtodo de Bernoulli para la evaluacin de lmites de formas indeterminadas por mediode diferenciaciones repetidas sea erroneamente conocido como la regla de lHpital.1.2 La gura de Leonhard Euler 31.2. La gura de Leonhard EulerEscribir sobre los aspectos signicativos de la vida entera de una persona de laestatura intelectual de Euler puede resultar en una simplicacin grosera. Sin embar-go, en torno a la vida y obra de Euler existe una buena cantidad de libros ensayos yartculos de una excelente calidad acadmica que ayudan a emprender con decoro estatarea.Sin excluir otras fuentes recomendamos al lector los textos siguientes, los cualeshan sido ampliamente consultados en la elaboracin de este captulo: el libro de W.Dunham[3], Euler, the master of us all, obra que presenta en forma amena y rigu-rosa una recoleccin na de la vida y obra de Euler. El libro editado por W. Dunham[5], The genius of Euler, reexions on his life and work, publicado por la AsociacionMatemtica de Amrica,(MAA, por sus siglas en ingls), en ocasin al tricentenariode Euler, texto que conjunta a connotados matemticos, historiadores y hombres deletras,4quehanescritoendiferentespocas,sobrelaguradeEuler.EllibrodeV.S.Varadarajan[6], Euler through time: a new look at old themes, texto que presentala obra matemtica de Leonhard Euler en la perspectiva de la matemtica contem-pornea.Por otro lado, existe un documento testimonial autobiogrco imprescindible, unasuerte de curriculum vitae breve, el cual fue dictado por el mismo Euler a su hijoJohhann Albretch en su segunda estancia en San Petersburgo. Recomendamos am-pliamente la lectura de ese documento el cual aparece en el libro de E. A. Fellman[7], en una traduccin libre del alemn al ingls.Leonhard Euler no solamente fue el matemtico ms productivo de todos los tiem-pos, sino fue tambin un cosmopolita en el sentido ms amplio del termino, vivi susprimeros veinte aos en Basilea, tuvo dos estancias de impresionante actividad cien-tca en San Petersburgo por ms de treinta aos y vivi un cuarto de siglo en Berlin.La fama mundial que Euler alcanz en vida puede ser comparada con la que en sumomento gozaron Galileo, Newton o Einstein.Aunque en la mitad de su vida lleg a ser un hombre rico, mantuvo siempre unapresencia sencilla y una vida modesta en cuanto al aspecto material. Profes ortodoxa-mente su religiosidad, manteniendo siempre una actitud tolerante y una honestidad in-telectual a toda prueba. Contrariamente a las costumbres de algunos de los cientcosde su tiempo, nunca se envolvi en disputas sobre la autora de resultados matemticosy ms aun se distingui por su generosidad en este aspecto.LaproduccinmonumentaldeEulerestligadaasuprominentememoriayasu poderosa capacidad de concentracin. Es sabido que aun a edad avanzada podadeleitar reuniones familiares recitando literalmente de memoria, cualquier verso delaneidadeVirgilio, yquerecordabaapiejuntillasminutasdereunionesdelaAcademia aos despus de celebradas, por no mencionar el poder de clculo matemti-co que poda llevar mentalmente para despus dictarle a sus colegas. Su amigo D.4El texto incluye entre otros, ensayos de C. Truesdell, A. Weyl y G. Polya.4 Vida y obra de Leonhard EulerThibault (1733-1807), hombre de letras francs, lo describi como alguien que puederealizar impresionantes clculos mentales ...con un nio en sus rodillas y un gato sobresus hombros,...El siglo XVIII bien puede considerarse, matemticamente hablando, el siglo deEuler, la matemtica que se cultiv durante el siglo XIX gir, en buena medida entorno a la obra de Euler. Incluso en la actualidad, algunos de los temas que l trat ysobre los cuales dilucid las ideas seminales, siguen generando inters. Entre los temasque Euler estudi, para algunos de los cuales el sent los fundamentos deben incluirseentre otros, el clculo diferencial e integral, el clculo de variaciones, las funcioneslogartmo, exponencial y trigonomtricas, las ecuaciones diferenciales parciales y or-dinarias, las funciones e integrales elpticas, las integrales hipergeomtricas, la teorade nmeros y el lgebra, las series y productos innitos, la mecnica de partculas y decuerpos slidos, la ptica, la hidrosttica, la hidrodinmica, la astronoma, la topologay la teora de grcas, ver [6].El quehacer matemtico de Euler estuvo siempre ligado a la ciencia aplicada y ala ingeniera de su tiempo. Fue el fundador de la mecnica analtica, calcul el efectoperturbativo de cuerpos celestes sobre la rbita de un planeta, calcul las trayectoriade proyectiles en diversos medios. Su teora sobre el oleaje marino y sobre el diseode barcos, ayud signicativamente a la navegacin de su poca. 5Estudi la acstica,la propagacin del sonido y la teora musical. Contribuy al diseo de instrumentospticos, de telescopios y microscopios. Aplic la ecuacion diferencial del movimientode un uido ideal, descubierta por l mismo, al estudio del ujo sanguneo en el cuer-po humano. La qumica, la geografa y la cartografa no le fueron ajenas, realiz unmapa de Rusia. Escribi textos sobre mecnica, lgebra, anlisis, geometra analti-ca y diferencial, clculo de variaciones, etc. Su nombre aparece en diversas ramasde la matemtica, hay frmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler,integrales Eulerianas, etc. [8].Euler se distingui tambin como un gran comunicador del conocimiento cient-co, como lo demuestra la coleccin de cartas que envi a la princesa de Anhalt Dessaucon el propsito de instruirla en aspectos bsicos de la ciencia y la losofa. Estascartas fueron escritas en francs, para entonces lengua franca de la realeza europea, yfueron compiladas por primera vez por los matemticos franceses Silvestre FranoisLacroix (1765-1843), y Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet (MarquisdeCondorcet, 1743-1794)bajoel ttulo: Lettresuneprincessedllemagne. Surdivers sujets de physique et de philosophie. Desde entonces ha sido traducido a variosidiomas y es sin lugar a dudas uno de los textos ms populares de lo que hoy llamamosdivulgacin cientca.Podra esperarse que la actividad cientca de Euler reejada en miles de pginasdiseminadas en libros, memorias, ensayos, cartas y artculos de investigacin, se rea-liz a expensas de otros intereses y gracias a un enorme sacricio personal. Nada ms5Escribi dos tratados completos sobre el tema, Scientia Navalis, (1749). Thorie complte de la con-truction et de la manvre des vaisseaux, (1773).1.3 Esbozo biogrco de Leonhard Euler 5lejos de la verdad, puede armarse que Leonhard Euler fue un individuo que viviy goz la vida en todo su esplendor. Mantuvo relaciones de amistad personal msall del quehacer intelectual con artistas, hombres de letras y cientcos, incluyendodesde luego a los Bernoulli. Fue admirador de la literatura francesa y polemiz conlsofos de la talla de Voltaire y dAlembert. Encontr tiempo para socializar con larealeza rusa y prusiana de su poca. En una carta enviada a su amigo, el religiososuizo Johann Kaspar Wettstein (Basilea, 1695-1759), con quien sostuvo un abundanteintercambio epistolar6, puede leerse: En cuanto a mi investigacin puedo hacer loque yo quiero,..., los reyes me llaman su profesor y yo pienso que soy el hombre msfelz del mundo, frase que reeja el estado espiritual de Euler.Vivi un matrimonio de cerca de cuarenta aos con su primera esposa, KatharinaGsell, hija de un pintor suizo, con quien procre trece hijos de los cuales slo cincosobrevivieron7, contrajo segundas nupcias con su cuada poco despus de enviudar,procursiempre el bienestar de su familia, dise y construy juegos cientcos para sus hijosy nietos. Practic ajedrz ms alla del esparcimiento. En una carta dirigida a su amigo,el matemtico Prusiano Christian Goldbach, (Knigsberg, 1690-1764), se lee: ...poraqu el ajedrez es jugado apasionadamente, estoy tomando lecciones con alguien quejuega extremadamente bien, pero estoy llegando al punto de ganarle la mayora de laspartidas, en otro momento le describe el llamado Knights Tour: ... un caballo debemoverse por los 64 cuadrados del tablero de ajedrz de tal forma que cada cuadradoes visitado una sola vez 8.1.3. Esbozo biogrco de Leonhard EulerDescribimosenestaseccinalgunosrasgosbiogrcosrelevantesdeEulerenlas cuatro etapas de su vida: Basilea, Suiza en el periodo de 1707 a 1727, primeraestancia en San Petersburgo, en el periodo de 1727 a 1741, ingreso a la Academia deCiencias de Berlin, Prusia en el periodo de 1741 a 1766, y la segunda estancia en SanPetersburgo del ao 1766 hasta su muerte en 1783.1.3.1. BasileaLeonhard Euler naci el 15 de abril de 1707 cerca de Riehen, casero pintorescoen los lmites de la municipalidad de Basilea, una de las trece repblicas que integra-ban la Suiza de esa poca. Casi nada se sabe sobre su madre, Margaretha Bruckner6La correspondencia completa entre L. Euler y J. K. Wettstein , se puede consultar en ingls enhttp://www.math.dartmouth.edu/ euler/correspondence7Euler armaba que fue sosteniendo a uno de sus bebs en brazos, mientras los otros jugaban a sus pies,como lleg a sus mejores descubrimientos matemticos.8Euler estaba as formulando a travs del juego, el problema de los caminos Hamiltonianos sobre gr-cas.6 Vida y obra de Leonhard Euler(1677-1761), salvo que descenda de una familia de acadmicos y religiosos. Su padrePaulus Euler9(1670-1745), estuvo enrolado en la Universidad de Basilea y al trminode los estudios propeduticos, studium generale, eligi la teologa (protestante) comosu campo de estudio en la Facultad de Filosofa. En 1693 obtuvo el sacri ministeriicandidatus, y se convirti en el Ministro de Riehen. Se involucr en buena medida enla actividad matemtica de su poca, por ejemplo en 1688 particip en el debate Posi-tiones mathematic de rationibus et proportionibus, conducido por Jacob Bernoulli.Paulus Euler dio a su hijo sus primeras enseanzas, bsicamente latn y griego, ylo alent en el estudio de las matemticas que desde temprana edad apasionaron alpequeo Leonhard. A los trece aos se enrol en la universidad y en el primer bienioatendi el curso obligatorio de matemticas dictado por Johann Bernoulli, que incluaentre otros temas geometra y aritmtica prctica y terica. En esta poca Euler reciten latn un discurso a sus compaeros estudiantes, titulado declamatio: de arithmeticaetgeometria, dondemostrevidenciadesusolvenciaenlatnysuinnatotalentomatemtico.Para satisfacer los deseos de su padre estudi teologa en la Facultad de Filosofa,lo que le permiti un contacto ms cercano con Johann Bernoulli10y sus hijos Nico-laus, Daniel y Johann I, con quienes mantuvo una amistad duradera. Indudablementeestecontactofueestimulanteenel futuroEuler, ensurecoleccinautobiogrcapuede leerse el siguiente prrafo11:En 1720 fu admitido en la Universidad como estudiante pblico, dondepronto encontr la oportunidad de lograr la cercana con el famoso pro-fesor Johann Bernoulli, quien tuvo la gentileza de ayudarme en las cien-cias matemticas. Por sus multiples compromisos, l descart categrica-mente lecciones privadas: sin embargo, me dio un consejo an ms ben-co, el cual consisti en que yo revisara por mi cuenta algunos de loslibros ms difciles de matemticas y trabajara sobre ellos con diligen-cia, y dondequiera que yo encontrara alguna objecin o dicultad, l meofreci libre acceso a l cada sabado por la tarde, y tuvo la amabilidad dedilucidar sobre las dicultades recolectadas, esto sucedi con tal ventajaque cuando l resolva una de mis objeciones otras diez desaparecan alinstante, lo cual es ciertamente el mejor mtodo para avanzar sostenida-mente en las ciencias matemticas.Euler complet sus estudios en 1726 e inici sus investigaciones independientesinmediatamente. Public sus primeros dos ensayos cientcos a los 18 y 19 aos, sobrede uno de estos trabajos iniciales publicado en el acta eruditum de Leipzig, Bernoulli9La raz del nombre EULER, pronunciado oiler proviene del vocablo germnico ouwe, pequea praderahumeda, y ouweler, propietario de tal pradera.10Para entonces ya considerado el indiscutible princeps mathematicorum, despus de la muerte de Leib-niz (1716), y el retiro de Newton.11Traduccin libre del ingls al espaol por parte de los autores de este captulo.1.3 Esbozo biogrco de Leonhard Euler 7describi profeticamente a Euler como . . .un joven que posee el ms afortunado de lostalentos, hemos visto la sencillez y la pericia con las que l ha penetrado los camposms secretos de las matemticas sobre nuestros auspicios.1.3.2. San Petersburgo I (1727-1741)A principios del siglo XVIII, Rusia, bajo la direccin del Zar Pedro I, el grande,est en franca expansin. En 1724 toma la decisin de fundar la Academia de Cien-cias de San Petersburgo. Para ello trae a personalidades de diferentes pases de Eu-ropa. Su idea es crear una academia que pueda rivalizar con las academias de Pars yBerln. En 1727 Euler llega a la Academia, donde se encuentra con sus compatriotasde Basilea, Jacob Hermann y Daniel Bernoulli y meses ms tarde conoce al matemti-co y diplomtico Christian Goldbach (1690-1764). En diciembre de ese ao Goldbachplantea a Euler la armacin de Pierre Fermat (1601-1655) de si los nmeros de la for-ma 22p1, p primo son tambin primos, lo que acerca a Euler a los trabajos de Fermaten teora de nmeros. La extensa correspondencia que hubo entre Euler y Goldbach alo largo de 35 aos, deja ver a este ltimo como un excelente matemtico inspirador.De Pars, invitado personalmente por el Zar Pedro I, llega el clebre astrnomoy gegrafo Joseph-Nicols Delisle (1688-1768) a establecer el Observatorio de SanPetersburgo. Aos ms tarde dirigir el Departamento de Geografa de la Academia.Delisle, considerado como el fundador de la Escuela Astronmica de San Petersburgo,invita en 1735 a Euler a colaborar con l en varios proyectos cartogrcos.En el ao 1734 Euler anuncia uno de sus primeros triunfos que le dan una gransolidez a su reputacin como genio matemtico al obtener la suma,

k=11k2=26.Esta suma ya la haban intentado Pietro Mangoli (1625-1686), los hermanos Bernoulli,Jacob y Johann y G.W. Leibniz. En esta poca Euler utilizaba el smbolop para elnmero=3.14159265...,peroenesaocasinutilizelsmbolocqueeraelquesu maestro Johann Bernoulli usaba. Ms tarde, en su libro Introductio in analysisininnitorum (1748) utiliza el smbolo mismo que seguimos usando hasta el da dehoy.NotasydiariosdeLeonhardcuandotenaentre18y19aosmuestranquelamecnica era una de sus pasiones. Los rcords de diez aos del Observatorio de SanPetersburgo muestran que Euler estaba entre las personas que regularmente tomabanmedidas. Estas observaciones permitieron a Delisle y Euler precisar el instante delmedio da. Sin duda Euler domin los mtodos de la observacin astronmica. En1735 Euler publica Computandi aequationen meridiei.A Euler le fascinaban las manchas solares. El mtodo de Delisle usado para elclculo de las trayectorias de las manchas solares es considerado como el comienzo8 Vida y obra de Leonhard Eulerde la mecnica celeste. La biblioteca privada de Delisle muestra que Euler le ayuda determinar las trayectorias de cometas utilizando mtodos analticos. Para el ao de1736 Euler hace su tratado de Mechanica en dos volmenes: en el primer volumen sehabla del movimiento libre de una masa puntual en el vaco y en un medio con fric-cin, mientras en el segundo se estudia el movimiento forzado de una masa puntual,movimiento de un punto en una supercie, teora de supercies y geodsicas.1.3.3. Berln (1741-1766)La situacin de inestabilidad poltica en Rusia y la muerte de Catalina I en 1740hace que Euler acepte la invitacin de Federico II de Prusia, para dirigir la academiaprusiana de ciencias. Euler es recompensado generosamente por la academia de SanPetersburgo de la cual continua como miembro. Durante los siguientes 25 aos, Eulerenviar la mitad de sus artculos a San Petersburgo para su publicacin. Ms de 100memorias fueron enviadas a esta ciudad mientras se publicaron otras 125 en Berln.En 1740 Philip Naud (1684-1747) cuestiona a Euler sobre el nmero de manerasen las que un entero dado puede ser representado como una suma de enteros. Esteproblema de la partitio numerorum y otros relacionados hacen que Euler desarrolletoda una teora de nmeros en la dcada de 1740 a 1750. En esta teora obtiene unafrmula para nmeros primos.(pk) =pk+11p1, p primoEn Berln se publican varias de sus obras maestras. La aparicin de Methodus in-veniendi lineas curvas maximi minimive propietate gaudentes, sire solutio problrmatisisoperimetrici latissimo sensu acepti (1744) es todo un acontecimiento en el desarrollodel Clculo de Variaciones. El libro contiene la ecuacin de EulerLy ddx_Ly

_= 0frmula que apareci desde 1736. De acuerdo con Constantin Carathodory (1873 -1950), editor de este libro, como parte de la Opera Omnia es uno de los trabajos msbellos que se hayan escrito. En el libro hacen su aparicin una clase de superciesnotables, las llamadas supercies minimales. El libro titulado Introductio in analisininnitorum (1744) es otra obra que va a tener gran inuencia a lo largo del siglo XIX.En el primer volumen se discute ampliamente el concepto de funcin, mientras que enel segundo hay una clara y bella exposicin de las funciones circulares, exponencialesy logartmicas. Un segundo tratado de mecnica aparece en 1765, la mecnica del cuer-po slido, Theoria motus corporum solidorum donde aborda con un nuevo enfoque lamecnica puntual destacndose el poder de los vectores. Las ecuaciones de Euler parael movimiento de un cuerpo rgido an hoy en da est entre los ejemplos de sistemasdinmicos en un grupo de Lie.1.3 Esbozo biogrco de Leonhard Euler 9Cuando Euler llega a Berln se encuentra en la presidencia de la academia a Pierre-Louis Moreau de Maupertius (1658-1759). Euler mantuvo una relacin cordial conMaupertiusyestuvosiempreenlamejordisposicindecolaboracinconlasre-sponsabilidadesdelaacademia. AlamuertedeMaupertius, Eulerocupadefactola presidencia de la academia, tomando responsabilidades que iban desde adminis-trar presupuesto hasta vigilar invernaderos. Sin embargo el Rey Federico II nunca lereconoci ttulo alguno a Euler como presidente de la academia de ciencias.El Rey prusiano no senta ning n afecto hacia Euler, incluso se rera a l de maneradespectiva como su cclope matemtico, haciendo una cruel referencia a la perdida desu ojo derecho en el ao de 1738. Federico II ofreci a Jean Le Rond DAlembertla presidencia de la academia de ciencias, y dAlembert accede a entrevistarse con elRey en Berln, pero no para aceptar el ofrecimiento, sino para recomendarle a Eulercomo la persona idnea que debe ocupar el cargo.Todo esto hace que Euler tome la desicin de salir de Berln, y envie una cartaal secretario de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, solicitando su regreso.En un principio Federico rechaza la solicitud de Euler, sin embargo, es muy fuertela presin que ejerce la Zarina Catalina II, quien deseaba restaurar la Academia deCiencias de San Petersburgo1.3.4. San Petersburgo II (1766-1783)Euler qued casi totalmente ciego en 1771. Alrededor de 400 memorias fueronescitas en esta segunda estancia a su regreso en San Petersburgo, lo que vendra acomponer casi la mitad de su obra.En este periodo, Euler tiene varios colaboradores, entre ellos su hijo Johann Al-bretch. Sin duda, las bases para el logro de tal hazaa fueron su memoria prodigiosay una formidable capacidad para hacer grandes clculos. En esta poca complet sutrabajo sobre el movimiento de la luna y aparecen tres libros: Dioptrica (1769-1721),tres volmenes de Instituciones calculi integralis (1768-1770) y su tratado de lgebraVollstndige Anleitung zur Algebra (1770).Euler, segn algunos crticos, parece ignorar el concepto de convergencia, sin em-bargoensultimoartculode1783, elaodesumuerte, contieneelgermendelconcepto de convergencia uniforme. Su ejemplo fue utilizado por Niels Henrik Abel(1802-1829) en 1826Su esposa Catalina muere en 1773, y tres aos ms tarde se casa con su cuadaAbigail Gsell. Euler muere de una hemorragia cerebral en 1783. El da de su muertetodava hizo clculos sobre el planeta Urano, descubierto el 13 de marzo de 1781 porWilliamHerschel.Ensumesadetrabajohabanclculosmatemticosrelativosalvuelo de globos, estimulado quiz por las noticias acerca del ascenso de globos poraire caliente.Sus restos estn ahora en el cementerio de San Lzaro, en el monasterio Alexan-dreNevskienSanPetersburgocolocadoscercadelatumbadeMijalVaslievich10 Vida y obra de Leonhard EulerLomonsov (1711-1765)A manera de resumen dibujamos en forma sucinta la linea del tiempo de los mo-mentos relevantes de la vida de Euler como lo plantea V.S. Varadarajan. Es importantetener en mente lo que a continuacin describimos:1707 Nace Leonhard Euler en Abril 15 en Basilea, Suiza.1725 Se establece la Academia de Ciencias de San Petersburgo, a iniciativa del ZarPedro el Grande.1727 Euler se establece en San Petersburgo como profesor adjunto de matemticas, ainvitacin de los Bernoulli.1733 Daniel Bernoulli regresa a Basilea y Euler ocupa la Ctedra de Matemticas.Euler contrae matrimonio y compra una casa.1735 Euler resuelve el problema de la suma de la serie 1n2, y adquiere una repu-tacin internacional.1738 Pierde la visin del ojo derecho despus de una enfermedad.1741 Revuelta poltica en Rusia. Euler deja San Petersburgo, se establece en Berlncomo miembro de la academia de ciencias de Berln.1762 Catherine II toma el poder en Rusia e inicia gestiones para traer de regreso aEuler a San Petersburgo.1766 Euler regresa a San Petersburgo y su vista comienza a deteriorarse.1771 Euler queda casi completamente ciego.1783 Euler muere en San Petersburgo el 18 de Septiembre.1.4. Las matemticas de EulerCompilar en forma completa las contribuciones de Euler a las matemticas rebasalos alcances de este captulo, mencionaremos algunos aspectos que consideramos re-levantes y recomendamos al lector el glosario euleriano presentado por diversos au-tores, incluyendo el consejo editorial de Mathematics Magazine publicada por la MAA[9].Aunquemuchosdelossmbolosusadosactualmentenollevansunombre,nopodemos dejar de mencionar que fue l quien introdujof(x) para las funciones, para las sumatorias, x, 2x, . . . para los incrementos, i para1, e para la base delos logartmos naturales, etc.1.4 Las matemticas de Euler 11Figura 1.1: ngulos de EulerLos ngulos de Euler.Son los ngulos que se usan para jar las direccciones de un sistema de coor-denadas nuevo (x

, y

, z

) con respecto a uno viejo (x, y, z). Se dene la lneanodal como la interseccin entre los planosx

y

yxy. Los ngulos son lossiguientes: el ngulo entre los ejes z y z

, el ngulo entre el eje x y la lneay elngulo entre el eje x

y la lnea . (Ver gura, teorema de Euler para la rotacinde sistemas coordenados).La caracterstica de Euler.Para un poliedro se dene el nmero = V E +F,dondeVes el nmero de vrtices,Eel nmero de aristas yFel nmero decaras. De forma ms generalizada, para un complejo simplicial n-dimensionalK la caracter stica de Euler (o Euler-Poncair) est denida por: =n

i=0(1)is(i)donde sies el nmero de simplejos i-dimensionales en KLa constante de Euler.Se dene como el lmite12 Vida y obra de Leonhard Euler =lmn_1 + 12 + 13 + +1n ln n_,Euler calcul este nmero con 16 decimales, cabe mencionar que a la fecha nose sabe si es un nmero irracional. Este nmero puede tambin ser denidopor medio de la siguiente integral =_0etln t dt.Los nmeros de Euler En.Se denen por medio de la siguiente serie1cos z=

n=0(1)nE2n(2n)!z2n.Los nmeros de Euler An,k.Si Hn() es la funcin racional de denida por la funcin generadora1 et=

n=0Hn()tnn!, ,= 1,entonces los nmeros de Euler An,k se denen por el polinomio( 1)nHn() =n

k=1An,kk1.La primera integral de Euler, (la funcin beta)B(z, w) =_10tz1(1 t)w1dt, Re(z) > 0, Re(w) > 0.La segunda integral de Euler, (la funcin Gamma)(z) =_0ettz1dt, Re(z) > 0,estas funciones estn relacionadasB(z, w) =(z)(w)(z +w).1.4 Las matemticas de Euler 13Polinomios de EulerLos polinomios En(x) estn denidas por el desarrollo de la funcin2textet1=

n=oEn(x)tnn!, [t[ < Los polinomios de Bernoulli son denidos por la funcin generadora,textetl=

n=0Bn(x)tnn!,hay muchas ecuaciones que relacionanEn(x) yBn(x). Algunas propiedadesde los polinomios de Euler son las siguientes:E

n(x) = nEn1(x),En(x + 1) +En(x) = 2xnm

k=1(1)mkkn=12(En(m+ 1) + (1)mEn(0))Productos de Euler.Bajo ciertas condiciones, las series de Dirichlet:F(s) =

n=1f(n)nss real o complejo, tienen una representacion como producto formal como:F(s) =

primosFp(s),llamado producto de Euler; las funcionesFp(s) = 1 +f(p)ps+f(p2)p2s+f(p3)p3s+son llamados factores de Euler. El primer ejemplo es la funcin zeta, para lacual f(n) es la funcin constante 1 (ver abajo identidad de Euler). Otro ejemploderivado de sto es:14 Vida y obra de Leonhard Euler(2s)(s)=

p_1 ps1 P2s_=

p_1 +1ps_=

p(1 ps+p2sp3s+ ) =

n=1(n)ns,donde(n)=(1), con denida como ki=1isin=p11...pkkes lafactorizacin en primos de de nFuncin de Euler.Para cada entero positivo n, (n) es denido como el nmero de enteros posi-tivos menores que n, primos relativos con n. Si p1, p2, ..., pkson los distintosfactores primos de n, entonces(n) = nk

i=1_1 1pi_.Identidad de Euler(Funcin zeta).Para R(s) > 1,(s) =

n=11ns=

p_1 1ps_1,el producto tomado sobre todos los nmeros primos.1.5. Opera omniaLeonhardi Euleri Opera Omnia. Edicin de la obra de Leonhard Euler a cargo de lacomisin Euler de la Academia de Ciencias Suiza, en colaboracin con distinguidosespecialistas de todo el mundo. Este trabajo inici en 1911 y est cerca de ser conclui-do. Originalmente fue publicado por la casa editorial de B.G. Teubner de Leipzig yBerlin, y en la actualidad es publicado por la editorial Birkhuser de Boston y Basilea.Series prima: Opera mathematica.Esta es la serie I, contiene los trabajos de lo que puede llamarse matemticas puras.Esta serie consta de 29 volmenes.Vollstndige Anleitung zur Algebra.I-1 (651 pginas, 1911). Ed. Heinrich Weber, con suplementos de1.5 Opera omnia 15Joseph Louis Lagrange.Commentationes arithmeticae. Contribuciones a la teora de los nmeros.I-2 (611 pginas, 1915). Ed. Ferdinad Rudio.I-3 (543 pginas, 1917). Ed. Ferdinad Rudio.I-4 (431 pginas, 1941). Ed. Rudolf Fueter.I-5 (374 pginas, 1944). Ed. Rudolf Fueter.Commentationes algebraicae ad theoriam aequationum pertinentes.I-6 (509 pginas, 1921). Eds. Ferdinand Rudio, Adolf Krazer yPaul Stckel.Commentationesalgebraicaeadtheoriamcombinationumet probabilitatumperti-nentes.I-7 (580 pginas, 1923). Ed. Louis Gustave du Pasquier.Introductio in Analysin Innitorum.12I-8 (392 pginas, 1922). Eds. Ferdinand Rudio, Adolf Krazer.I-9 (403 pginas, 1945). Eds. Andreas Speiser.Instituciones calculi differentialis.I-10 (676 pginas, 1913). Ed. Gerhard Kowalwski.Instituciones calculi integralis.13I-11 (462 pginas, 1913). Eds. Friedrich Engel y Ludwig Schlesinger.I-12 (542 pginas, 1914). Eds. Friedrich Engel y Ludwig Schlesinger.I-13 (508 pginas, 1914). Eds. Friedrich Engel y Ludwig Schlesinger.Commentationes analyticae ad theoriam serierum innitarum pertinentes. Contribu-ciones a la teora de series y productos innitos, valores de zeta y temas relacionados.I-14 (617 pginas, 1925). Eds. Carl Boehm y Georg Faber.I-15 (722 pginas, 1922). Ed. Georg Faber.I-16-1 (355 pginas, 1933). Ed. Carl Boehm.I-16-2 (332 pginas, 1935). Ed. Carl Boehm.Commentationes analyticae ad theoriam integralium pertinentes.I-17 (457 pginas, 1914). Ed. August Gutzmer.I-18 (475 pginas, 1920). Eds. August Gutzmer yAlexander Liapounoff.I-19 (494 pginas, 1932). Eds. Alexander Liapounoff, Adolf Krazer yGeorg Faber.Commentationes analyticae ad theoriam integralium ellipticorum pertinentes. Traba-jos relacionados con las integrales elpticas.I-20 (371 pginas, 1912). Ed. Adolf Krazer.I-21 (380 pginas, 1913). Ed. Adolf Krazer.12Existe una traduccin al ingls de estos dos volmenes titulada: Introduction to Analysis of the innite,Book I, (1988), Book II (1990). Traducida por J.D. Blanton y publicada por Springer-Verlag.13Existe una traduccin al ingls de la primera parte titulada: Foundations of Differential Calculus. Tra-ducida por J.D. Blanton y publicada por Springer-Verlag, 2000.16 Vida y obra de Leonhard EulerCommentationes analyticae ad theoriamaequationumdifferentialiumpertinentes. Tra-bajos relacionados con las ecuaciones diferenciales.I-22 (420 pginas, 1936). Ed. Henri Dulac.I-23 (455 pginas, 1938). Ed. Henri Dulac.Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive propietate gaudentes sive solu-tion problematis isoperimietrici latissimo sensu accepti. Trabajos relacionados con elclculo de variaciones.I-24 (308 pginas, 1952). Ed. Constantin Carathodory.Commentationes analyticae ad calculum variationum pertinentes. Trabajos relaciona-dos con el clculo de variaciones.I-25 (343 pginas, 1952). Ed. Constantin Carathodory.Commentationes geometricaeI-26 (362 pginas, 1952). Ed. Andreas Speiser.I-27 (400 pginas, 1954). Ed. Andreas Speiser.I-28 (381 pginas, 1955). Ed. Andreas Speiser.I-29 (488 pginas, 1956). Ed. Andreas Speiser.Series secunda: Opera mechanica et astronomica.Esta es la serie II, contiene los trabajos dedicados a la astronoma y a la mecnica.Esta serie consta de 31 volumenes.Mechanica sive motus scientia analytice expositaII-1 (417 pginas, 1912). Ed. Paul Stckel.II-2 (460 pginas, 1912). Ed. Paul Stckel.Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum ex primis nostrae cognitionis prin-cipiis stabilita et ad omnes motus qui in huiusmodi corpora cadere possunt accomo-dataII-3 (327 pginas, 1948). Ed. Charles Blanc.II-4 (359 pginas, 1950). Ed. Charles Blanc.Commentationes mechanicaeII-5 (326 pginas, 1957). Ed. Joachim Otto Fleckenstein.Commentationes mechanicae ad theoriam motus punctorum pertinentesII-6 (302 pginas, 1957). Ed. Charles Blanc.II-7 (326 pginas, 1958). Ed. Charles Blanc.Mechanica corporum solidorumII-8 (417 pginas, 1965). Ed. Charles Blanc.II-9 (441 pginas, 1968). Ed. Charles Blanc.Commentationes mechanicae ad theoriam exibilium et elasticorum pertinentesII-10 (451 pginas, 1947). Eds. Fritz Stssi y Henri Favre.II-11-1 (383 pginas, 1957). Eds.Fritz Stssi y Ernst Trost.II-11-2 (435 pginas, 1960). Ed. Clifford Ambrose Truesdell.Commentationes mechanicae ad theoriam uidorum pertinentesII-12 (288 pginas, 1954). Ed. Clifford Ambrose Truesdell.II-13 (375 pginas, 1955). Ed. Clifford Ambrose Truesdell.1.5 Opera omnia 17Neue Grundstze der ArtillerieII-14 (484 pginas, 1922). Ed. Friedrich Rober Sherrer.Commentationes mechanicae ad theoriam machinarum pertinentesII-15 (318 pginas, 1957). Ed. Jakob AckeretII-16 (327 pginas, 1979). Eds. Charles Blanc y Pierre de Haller.II-17 (312 pginas, 1982). Eds. Charles Blanc y Pierre de Haller.Scientia navalisII-18 (427 pginas, 1967). Ed. Clifford Ambrose Truesdell.II-19 (459 pginas, 1972). Ed. Clifford Ambrose Truesdell.Commentationes mechanicae et astronomicae ad scientiam navalem pertinentesII-20 (275 pginas, 1974). Ed. Walter Habicht.II-21 (241 pginas, 1978). Ed. Walter Habicht.Theoria motuum lunae, nova methodo petractata.II-22 (412 pginas, 1958). Ed. Leo Courvoisier.Sol et luna.II-23 (336 pginas, 1969). Ed. Joachim Otto Fleckenstein.II-24 (326 pginas, 1991). Ed. Charles Blanc.Commentationes astronomicae ad theoriam perturbationum pertinentesII-25 (331 pginas, 1960). Ed. Max Schrer.II-26 (En preparacin)II-27 (En preparacin)Commentationes astronomicae ad theoriam motuum planetarum et cometarum perti-nentesII-28 (332 pginas, 1959). Ed. Leo Courvoisier.Commentationes astronomicae ad praecessionem et nutationem pertinentesII-29 (420 pginas, 1961). Ed. Leo Courvoisier.Sphrische Astronomie und parallaxeII-30 (351 pginas, 1964). Ed. Leo Courvoisier.Komische PhysikII-31 (En preparacin)Series tertia: Opera physica, Miscellanea.Esta es la serie III, contiene los trabajos dedicados a la fsica y temas relacionados.Esta serie consta de 12 volumenes.Commentationes physicae ad physicam generalem et ad theoriam soni pertinentesIII-1 (591 pginas, 1926). Eds. Eduard Bernoulli, Rudolf BernoulliFerdinand Rudio y Andreas Speiser.Rechenkunst. Accesserunt commentationes ad physicam generalem pertinentes et mis-cellaneaIII-2 (431 pginas, 1942). Eds. Edmund Hoppe, Karl Matter yJohann Jakob Burckhardt (Dioptrica).III-3 (510 pginas, 1911). Ed. Emil Cherbuliez.III-4 (543 pginas, 1912). Ed. Emil Cherbuliez.18 Vida y obra de Leonhard EulerCommentationes opticae.III-5 (395 pginas, 1963). Ed. Andreas Speiser.III-6 (396 pginas, 1963). Ed. Andreas SpeiserIII-7 (247 pginas, 1964). Ed. Andreas SpeiserIII-8 (266 pginas, 1969). Ed. Max Herzberger.III-9 (328 pginas, 1973). Eds. Walter Habicht y Emil Alfred Fellman.Magnetismus, Elektrizitt, und WrmeIII-10 (En preparacin)Lettres une princesse dAllemagne. Primera parteIII-11 (312 pginas, 1960). Ed. Andreas Speiser.Lettres une princesse dAllemagne Accesserunt: Rettung der gttlichen OffenbarungEloge dEuler par le marquis de Condorcet. Segunda parteIII-12 (312 pginas, 1960). Ed. Andreas Speiser.Series quarta. A: Comercium epistolicum. Esta es la serie IV. Esta serie consiste de 9volumenes de correspondencia de Euler. Descriptio commercii epistolici. 14Beschreibung, Zusammenfassung der Briefe und Verzeichnisse.IV-A-1 (684 pginas, 1975). Eds. Adolf P. Juskevic y Vladimir I. Smirnovy Walter Habicht.Commercium cum Johanne (I) Bernoulli et Nicolao (I) Bernoulli.IV-A-2 (747 pginas, 1998). Eds. E.A. Fellman y G.K. MikhailovIV-A-3 y IV-A-4 (En preparacin).Correspondance de Leonhard Euler avec A.C. Clairaut, J.dAlembert et J.L. Lagrange.IV-A-5 (611 pginas, 1980). Eds. Adolf P. Juskevic y Rene Taton.Correspondance de Leonhard Euler avec P.-L.M. de Maupertius et Frdric II.IV-A-6 (456 pginas, 1986). Eds. P. Costabel, F. Winter,A.T. Grigorjian y A. P. Juskevic.IV-A-7, IV-A-8 y IV-A-9 (En preparacin).Series quarta. B: Manuscripta. Esta serie se encuentra actualmente en preparacin,consistir de aproximadamente siete volumenes que incluirn manuscritos a la fechano publicados, notas, diarios, etc.14Dos volumenes de correspondencia cientca de Euler con Goldbach, los Bernoullis y otros, han sidoeditado por P.H. Fuss Corresponden Mathematique et Physique, Vols. I II. The Sources of Sciences JonsonReprint Corporation, 1968Bibliografa[1] BOYER C.B., A History of Mathematics, John Wiley and Sons, Inc., 1968.[2] DHS, Dictionnaire Historique de la Suisse, Editions Gilles Attinger, Hauterive,ISBN 2-88256-133-4, 2002.[3] DUNHAM W., Euler, Journey Through Genius, John Wiley and Sons, Inc., 1990.[4] DUNHAM W., Euler, The master of all us, Mathematical Association of America,Dolciani Mathematical Expositions, No. 22, 1999.[5] DUNHAM W. ED., The genius of Euler. Reexions on his life and work, Math-ematical Association of America, Dolciani Mathematical Expositions, No. 22,2007.[6] VARADARAJAN V.S., Euler through time: a new look at old themes, AmericanMathematical Society, 2006.[7] FELLMAN E.A, Leonhard Euler, Birkhuser Verlag, BaselBostonBerlin, 2007.[8] KLINE M., Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford univer-sity press, 1972.[9] ANDERSONK. ETAL., Euler glossary, Mathematics Magazine, 56, 315325,November 1983. Captulo 2El problema de los dos centrosjosJoaqun Delgado 1y Martha lvarez Ramrez 2ResumenEl problema de los dos centros jos fue introducido por Euler como unmodelo simplicado del problema de los tres cuerpos. En este trabajo seanalizan los trabajos de Euler sobre los dos centros jos catalogados co-mo E301, E328 y E337 del ndice Enestrm (ver referencias al nal deeste trabajo). A continuacin un resumen de estos trabajos: Primero Eulerencuentra las integrales de energa y la ahora llamada integral de Euler yreduce el problema a una ecuacin integral, que involucra integrales aho-ra llamadas elpticas. Euler da la solucin completa dando explcitamentela solucin general de esta ecuacin integral, por lo que puede armarseque fue el primero en resolver el problema de los dos centros jos. En lostrabajos citados, estudia los casos restringidos cuando una de las masases cero y el caso de masas iguales.Bajo ciertas condiciones sobre losvalores de las integrales de energa y de la integral de Euler prueba quelassolucionespuedenserhiperblicasoelpticas. EnE337, Euleren-cuentracondicionessucientesparaquelacurvasolucinenalplanode conguracin sea algebraica. Aos ms tarde AdrienMarie Legendre1Departamento de Matemticas, UAMIztapalapa, jdf@xanum.uam.mx2Departamento de Matemticas, UAM-Iztapalapa, mar@xanum.uam.mx22 El problema de los dos centros josgeneralizar a este resultado al encontrar familias ms generales de curvasalgebraicas y no algebraicas, en su obra monumental Trait des fonctionselliptiques et des intgrales eulriennes, tomo III. Con el n de colocar encontexto los mtodos usados por Euler para resolver la ecuacin integraldel problema de los centros jos, se revisan dos de las contribuciones msimportantes de Euler en la teora de las integrales elpticas: el clculo dela longitud de arco de 1/4 de la elipse (E028) y el teorema de adicin delas integrales elpticas, comenzando con el caso particular de la longitudde arco de la lemniscata (E251) y en toda su generalidad para integraleselpticas (E345). El problema espacial de los dos centros jos fue resuel-to por Jacobi y generalizado para n centros jos, incluyendo una fuerzaelstica dirigida al centro, usando el mtodo hoy conocido de la ecuacinde HamiltonJacobi. Se presenta de manera resumida la solucin del pro-blema plano de dos centros jos, mediante la separacin de la ecuacinde HJ en coordenadas elpticas confocales.2.1. Euler y el problema de los dos centros josEn [5] Euler menciona que en vista de la dicultad de resolver el problema delos tres cuerpos, es conveniente intentar resolver problemas ms sencillos. Euler ata-c dos de ellos con xito asombroso: En el problema colineal de 3 cuerpos, consigueencontrarlassolucionesmssencillasenlasqueloscuerpossemuevendeformahomottica conservando la razn entre sus distancias. Tal conguracin se llama unaconguracin central. Euler muestra que an este caso sencillo est lejos de poderser resuelto completamente. Posteriormente muestra que este tipo de soluciones sepueden generalizar al problema de los tres cuerpos en el que cada uno sigue una rbitacircular Kepleriana partiendo de una conguracin central con condiciones inicialesde velocidad convenientes. Los detalles en relacin al problema colineal de tres cuer-pos puede verse en en [2]. El otro problema ms sencillo que Euler estudi fue el de uncuerpo siendo atrado por dos masas jas, problema que se conoce como el Problemade los 2 centros jos. Citando a Euler3:He aqu un problema que parece tan importante como difcil. Conviene al dadehoy, quelaAstronomaseallevadaalmsaltogradodeperfeccin, siseencontrara un medio de determinar el movimiento de tres cuerpos, que se atraenmutuamente en razn inversa del cuadrado de sus distancias. Sin embargo todoslos aportes que los Gemetras han hecho hasta ahora para este efecto han sidointiles, han encontrado al nivel del Anlisis obstculos invencibles, a pesar delgran progreso que se ha hecho en este estudio. Por lo tanto todos los pasos quese puedan dar para llegar a esta gran meta sern muy importantes. Desde este3Traduccin libre de la introduccin del original en francs [5]2.2 Ecuaciones de movimiento 23punto de vista, me he aplicado a la cuestin de dos cuerpos jos, en el que sebusca el movimiento de un tercero que es atrado siguiendo la ley mencionada.El objetivo de este trabajo es revisar la contribucin de Euler a la resolucin delProblema de los 2 centros jos y comentar sobre investigaciones recientes y generali-zaciones del problema. El anlisis se basa principalmente en los trabajos [3],[4] , [5]y colateralmente [6]. En la medida de lo posible vamos a seguir la notacin de losartculos originales de Euler, haciendo los comentarios respectivos. La razn es msprofunda de lo que parece, pues revela mucho de la manera de pensar de Euler. Cabemencionar que en 17861787, fecha de las obras citadas, Euler iniciaba la teora delas integrales elpticas. Es por ello que para entender en detalle el enfoque de Euler aeste problema es necesario revisar simultneamente su contribucin a esta teora [6],[7], [8]2.2. Ecuaciones de movimientoEuler considera dos cuerpos jos de masas A y B separados una distancia a, y uncuerpo de masa M siendo atrada por los cuerpos jos con una ley de atraccin inversaal cuadrado de la distancia. La notacin se muestra en la Figura 2.1. Las distancias alos punto jos sonvv = xx +yy, (1)uu = (a x)(a x) +yy. (2)En el siglo XVIII se acostumbraba usar la notacin vv v2, uu u2, etc. la notacinde exponentes vn, un, etc. se acostumbraba para potencias mayores de 2 o potenciasde expresiones complejas entre parntesis y esta es la notacin que sigue Euler entodossustrabajos;sinembargoenlosucesivousaremoslanotacincompactadeexponentes, pues rpidamente las expresiones se complican dicultando an ms lalectura en los originales de manera innecesaria.Las ecuaciones de movimiento sonddx = 2g dt2_Axv3B(a x)u3_, (3)ddy = 2g dt2_Ayv3+Byu3_(4)La notacin es sucientemente clara para indicar las segundas derivadas respecto deltiempo del lado izquierdo y las componentes horizontal y vertical de la fuerza sobreel cuerpo de masa M del lado derecho. La constante gravitacional se denota por 2g.Ms adelante se har uso de las siguientes relaciones que se obtienen de la ley delos senos en el tringulo de la Figura 2.1:v =a sin sin( +), & u =a sin sin( +), (5)24 El problema de los dos centros josFigura 2.1: Notacin en el problema de los dos centros josy para las componentes de las fuerzasAxv3=Acos v2, Ayv3= Asin v2,B(a x)u3=Bcos u2, Byu3=Bsin u2,(6)2.3. La integral de energaEuler encuentra dos integrales primeras de las ecuaciones de movimiento: la in-tegral de energa y otra integral que es una combinacin de las velocidades de reade los radios vectores respecto de los centros jos, llamada ahora la integral de Euler.Para Euler una integral primera signica una relacin funcional entre las diferencialesde primer orden dx, dy y dt, digamos f(dx, dy, dt) = 0. Debido a que las ecuacionesde movimiento (3,4) son dos ecuaciones diferenciales de segundo orden, en dos varia-bles es suciente encontrar una integral funcionalmente independiente de la energag(dx, dy, dt) = 0, lo cual signica que la matriz jacobiana_fdxfdyfdtgdxgdygdt_tenga rango dos. El razonamiento es el siguiente: de las dos integrales primerasf(dx, dy, dt) = 0g(dx, dy, dt) = 0se puede eliminar por ejemplo dt para obtener una relacin implcita h(dx, dy) = 0,que es una ecuacin diferencial para la trayectoria en el espacio de conguracin xy.2.4 La integral de Euler 25En el problema de los centros jos, esta se reduce a una ecuacin integral de la formaP(x, y)dx +Q(x, y)dy =0. LoqueesmssorprendenteesqueEulerconsigueseparar las variables despus de varios cambios de coordenadas.La integral de energa la obtiene Euler de la manera como se acostumbra ahora:Multiplicando la ecuacin (3) por dx, la ecuacin (4) por dy y sumando se obtiene2dxddx + 2dy ddy = 4gdt2_A(xdx +ydy)v3B((a x)dx +ydy)u3_= 4gdt2_Advv2Bduu2_.donde a partir de (1) y (2) se usan las relaciones vdv=xdx + ydy, udu = (a x)dx +ydy. Integrando esta diferencial exacta se obtienedx2+dy2= 4gdt2_Av+Bu+Ca_(7)donde la constante de integracin 4gC/a se identica con la energa. Es interesanteremarcarelusoambivalentedelsmbolodt2enlasecuacionesdemovimiento(3,4) donde denotan segundas derivadas respecto det y en (7) como el cuadrado de ladiferencial de dt, (dt)2.La integral de energa se puede escribir tambin en trminos de los ngulos , mostrados en la Figura 2.1, usando las relaciones entre el elemento de arco en carte-sianas y en polaresdx2+dy2= dv2+v2d2= du2+u2d2. (8)Por ejemplodv2+v2d2= 4gdt2_Av+Bu+Ca_. (9)2.4. La integral de EulerEuler comienza por considerar las siguientes combinaciones a partir de las ecua-ciones de movimiento que dan diferenciales exactasxddy yddx = d(xdy ydx)= 2gdt2_Bayu3_= 2gBa dt2sin u2, (10)(a x)ddy +yddx = d((a x)dy +ydx))= 2gdt2_Aayv3_= 2gAa dt2sin v2(11)26 El problema de los dos centros josdonde se usaron las relaciones (6). Las cantidades (10) y (11) son las velocidades delas reas barridas por los radios vectores de la partcula M respecto de cada uno de loscentros atractores. Se pueden escribir en trminos de d, d ya que (ver Figura 2.1)x = v cos , (a x) = ucos (12)y = v sin = usin , (13)por lo tanto, usando (10) y (11)d(v2d) = d(xddy yddx) = 2gBa dt2sin u2,&d(u2d) = d((a x)dy +ydx) = 2gAa dt2sin v2.Multiplicando la primera ecuacin por u2d, la segunda por v2d y sumando se ob-tiene la siguiente diferencial exactau2d d(v2d) +v2d d(u2d) = 2ga dt2(Ad sin Bd sin )que despus de integrar dav2u2d d = 2ga dt2(Acos +Bcos +D) (14)donde D es una constante de integracin.La integral de Euler se puede escribir tambin como(xdy y dx)((a x)dy +y dx) = 2ga dt2_Axv+B(a x)u+D_; (15)en efecto, v2du2d son las velocidades angulares de los radios vectores AM, BMde la Figura 2.1 respectivamente, luego v2du2d = (xdyy dx)((ax) dy+y dx)y el lado derecho de (15) se obtiene usando (12) y (13).La expresin (15) ser retomada ms adelante para obtener la solucin completaen la seccin 2.5.3.Ahora se puede eliminar dt de (9) y (14) para obtenera(dv2+v2d2)(Acos +Bcos +D) = 2v2u2d d_Av+Bu+Ca_, (16)o de manera equivalentea(dx2+dy2)_Axv+B(a x)u+D_=2(xdy ydx)((a x)dy +ydx)_Av+Bu+Ca_(17)2.5 De motv corporis (1766) 27La cuadratura (16) se puede expresar en trminos de slo dos variables indepen-dientesysusdiferenciales, porejemplouvo. Eulermuestraquelaprimeraopcin es muy engorrosa as que escoge eliminar a du y dv y expresar la cuadraturaen trminos de , y sus diferenciales. Veamos el desarrollo.Euler usa (16) con dv2+ v2d2=dx2+ dy2, de acuerdo a (8) y usando nueva-mente las relaciones (5) para obtenerdx2+dy2=a2(d2sin2 +d2sin2 2d d sin cos( +))sin4( +),que se deber multiplicar por (Acos +Bcos +D) para obtener el miembro izquier-do de (16); falta eliminar u y v del lado derecho de (16), pero nuevamente de (5)v2u2=a4sin2 sin2sin4( +),que deber multiplicarse por_Asin( +)sin +Bsin( +)sin +C_ 1a.para obtener el miembro derecho de (16). Despus de una simplicacin ardua aunquedirecta, se llega ad2sin2 +d2sin2= 2d d sin sin Acos +Bcos +Dcos cos +E sin sin Acos +Bcos +D. (18)donde E = C D. Se abreviaP = Acos +Bcos +Dcos cos +E sin sin ,Q = Acos +Bcos +D.De (18) se despejad sin d sin =P _P2Q2Q(19)2.5. De motv corporis (1766)El problemaqueenfrentaEuler esencontrar explcitamentelasolucindelaecuacin de Pfaff4(18). En el trabajo al que se hacer referencia en esta seccin, Euler4Johan Friederich Pfaff, admirador de Euler y maestro de Gauss; sin duda su contribucin ms im-portante, de 1815, se reere a la reduccin de un ecuacin diferencial parcial a un sistema de ecuacionesordinarias conocido como el mtodo de caractersticas. Su trabajo fu apreciado y retomado por la escuelade Cartan.28 El problema de los dos centros josresuelve casos particulares; en especial le interesa investigar si existen soluciones enforma de secciones cnicas; ello motivado por las soluciones Keplerianas conocidasen el problema de 2 cuerpos. Euler sostiene que el problema de los centros jos po-dra tomarse como punto de partida para comenzar a entender el problema de los trescuerpos. Existen trabajos recientes en los que se encuentran soluciones peridicas alproblema restringido de tres cuerpos como perturbaciones del problema de los centrosjos; en las primeras misiones espaciales se le di mucha importancia, pero este tipode rbitas resultaron de poca utilidad prctica.En 16 op. cit., Euler menciona que en vista de la dicultad de resolver las ecua-ciones completas analizar los casos en los que la masa de uno de los primarios A oB es nula. El siguiente pasaje en latn puede entenderse sin dicultadCumnullaviapateathuiusmodiaequationesresoluendi, contemplemurcasus,quiubus resolutio est in potestate, qui fund, quando vel A = 0, vel B= 0.HaciendoB=0 en (10) se obtienexdy ydx=const.dt, que se escribe demanera conveniente abajo. Haciendo lo mismo en la relacin de energa (7) se obtiene(en el original falta el exponente 2 en dt2)dx2+dy2= 4g dt2_Av+Ca_(20)(xdy ydx)2= 4gFa dt2(21)De estas relaciones se puede eliminar dt. El resultado se expresa en trminos de losngulos como se mostr anteriormente hasta obtenercot + cot =A+M cos +N sin 2F sin (22)El caso A = 0 es anlogo:cot + cot =A+M

cos +N

sin 2F sin (23)Es interesante ver cmo muestra que la integracin da secciones cnicas en el casorestringido B = 0: Eliminando dt de (20) y (21) se tieneFa(dx2+dy2) = (xdy y dx)2_Av+Ca_o bienFa(dv2+v2d2) = v4d2_Av+Ca_de dondeFadv2= v4d2_Ca+Av Fav2_2.5 De motv corporis (1766) 29Tomando raiz cuadradadvv2Fa = _Ca+Av Fav2que se puede reducir haciendo el cambio de variable auxiliar1v=za y en consecuenciadz = d_C +AzFz2o bien + = arc cos2Fz aA2+ 4CF.Volviendo a la variable v obtiene nalmentev =2FaA+A2+ 4CFcos que es la ecuacin polar de una cnica.2.5.1. Movimiento hiperblicoEuler considera el caso de masas igualesA=By energa e integral de Eulernulas D=E= 0. Prueba que el movimiento es hiperblico como se muestra en laFigura 2.3: C es el punto medio del segmento AB, [AB[ = a = 2b y z es la distanciadel pie de la perpendicular MPa C. La ecuacin de la hiprbola esy2=b2c2c2(z2c2). (24)La deduccin es como sigue: Partiendo de la relacin fundamental (18) con D =E = 0 y masas iguales A = B,d2sin2 +d2sin2 = 2d d sin sin que se factoriza como (d sin d sin )2= 0, de donde d sin = d sin . Sepa-rando variables e integrando, ln tan12 = ln tan12 +cte., o bienmtan 12 = ntan 12conm, n constantes; por lo tanto las tangentes de lo semingulosBAMyABMestn en proporcin constante:30 El problema de los dos centros josFigura 2.2: Relacin entre tan y tan12Ita vt tangentes semissum algulorumBAMetABMperpetuo eindemrationem seruent.5Usando la relacintan 12 = (1 cos )/ sin (25)(vase la Figura 2.2) y la misma para el ngulo se obtienem(1 cos ) sin = n(1 cos ) sin ,y ya que (12) cos =xv, sin =yvy cos =axu, sin =yu, entoncesm(vx)yvu=n(ua+x)vuo bienm(v x) = n(u a +x). (26)Nuevamente el lgebra de Euler es exquisita:Del teorema de Pitgoras alplicado a los rectngulos APMy BPMde la Figu-ra 2.1, se obtienen las expresionesx =a2+v2u22a, a x =a2+u2v22a.Al sustituirlas en (26) danm(u2(a v)2) = n(v2(a u)2),m(u +v a)(u +a v) = n(v +u a)(v +a u),5Se deja como ejercicio al lector probar que esta propiedad es una denicin equivalente de la hiprbola.Ms adelante se usar la propiedad de que el producto de las tangentes de los semingulos BAM y ABMes constante para la elipse. Los autores no encontraron referencia alguna de esta propiedad general de lascnicas que parece poco conocida, sino es que francamente olvidada.2.5 De motv corporis (1766) 31que al dividir entre u + v a nos da una primera ecuacin que deben satisfacer u yv. La otra ecuacin se obtiene de (26). Resumiendo, debe satisfacerse el sistema deecuaciones para u y v:u v =(n m)am+nnu mv = na (n +m)x(observe que la primera igualdad es la denicin de la hiprbola). Al resolver da(n m)u =(m2+n2)am+n(m+n)x(n m)v =2mnam+n (m+n)x.Al tomar el cuadrado de la ltima ecuacin(n m)2y2+ (n m)2x2=4m2n2a2(m+n)2 4mnax + (m+n)2x.Despejando y2,(n m)2y2=4m2n2a2(m+n)2 4mnax + 4mnx2=4m2n2a2(m+n)2+ 4mn(x2ax) 4mn(a2)2=4m2n2a2(m+n)2+ 4mn(x a/2)2mna2=4m2n2a2(m+n)2mna2(m+n)2+ 4mn(x a/2)2= mna2(n m)2(m+n)2+ 4mn(x a/2)2= 4mn(x b)2 4mnb2(n m)2(m+n)2donde b = a/2. Simplicandoy2=4mn(x b)2(n m)24mnb2(m+n)2.El factor 4mn4mn=(m + n)2 (n m)2=b2 c2y haciendob=m + n,c = n m, z = x b, entonces se puede escribiry2= (b2c2)_(x b)2c21_.32 El problema de los dos centros josFigura 2.3: Movimiento hiperblico para masas igualeso bienz2c2 y2b2c2= 1que es la ecuacin de una hiprbola con centro en el punto medioC, semiejecydistancia del foco al centro = b.Euler analiza si en el caso de masas iguales se puede dar el movimiento elptico.Partiendo de (24) obtieney dy =b2c2c2z dzdy =z dzz2c2b2c2cPor lo tantodx2+dy2= dz2+dy2=dz2(b2z2c4)c2(z2c2). (27)De la Figura 2.3,v2= (b +z)2+y2, u2= (b z)2+c2(28)y usando (24) para calculary2y por tanto 1/vy 1/u se obtiene, de la relacin deenerga (7) con C = D +E = 0, A = B,dx2+dy2= 4Ag dt2_cbz c2+cbz +c2_=8Abcgz dt2b2z2c4(29)2.5 De motv corporis (1766) 33de donde la rapidez (celeritas) en el vrtice de la hiprbola z = c es igual adx2+dy2dt=22Abgb2c2. Por lo tanto la hiprbola se convierte en elipse si c > b, pero esto implicaraque la velocidad fuera imaginaria.La ley de movimiento se obtiene comparando (27) con (29); de ah8Ab cg dt2=dz2(b2z2c4)2c2z(z2c2)2c t_2Abcg =_dzb2z2c4_z(z2c2)= b2_z2dz_z(z2c2) c4_dz_z(z2c2).La primera integral se puede hacer notando que d_z(z2c2) =3z2c22z(z2c2), luego_z2dz_z(z2c2)=23_z(z2c2) + 13c2_dz_z(z2c2)por lo que el tiempo queda expresado explcitamente como2ct_2Abcg =23b2_z(z2c2) + 13c2(b23c2)_dz_z(z2c2)(30)por lo que falta tan slo integrar_dzz(z2c2)que no se puede exhibir como la cuadratu-ra de un crculo o hiprbola.6Esta ltima integral la resuelve Euler en un caso especial, introduciendo nueva-mente el ngulo BAM=. Recordando que x =v cos , y=v sin y de (25), sesigue que tan12 =1cos sin =vxy=vb+zy. Tambinv2= (b z)2+y2= b22bz +z2+b2c2c2(z2c2)=b2c2z22bz +c2=b2z22bc2z +c4c2=(bz c2)2c2v =bz c2c. (31)6Euler se reere a que el resultado no se puede expresar en trmino de funciones trigonomtricas ohiperblicas.34 El problema de los dos centros jossustituyendo v de (31), y2de (24), se tienetan 12 =v b +zy=bzc2cb +zy=bz c2bc +cz_(b2c2)(z2c2)=(b +c)z c(b +c)_(b2c2)(z2c2)=(b +c)(z c)_(b2c2)(z2c2)=_b +cb c z cz +cPor lo tanto,tan 12 =_b +cb c z cz +cde donde se obtiene7sin212cos212=b +cb cz cz +c(b c)(z +c) sin212 +c(b c) sin212 == (b +c)z cos212 c(b +c) cos212_(b c) sin212 (b +c) cos212z == c_(b +c) cos212 + (b c) sin212_(b c) sin212 (b +c) + (b +c) sin212z == c_(b +c) (b +c) sin212 + (b c) sin2127En el escaneado del original, las lineas verticales se pierden con frecuencia, causando que muchossignos + aparezcan como . Hemos rehecho las deducciones algebraicas intermedias con el n de tenerlas expresiones correctas2.5 De motv corporis (1766) 35_2b sin212 b cz = c_b +c 2c sin212_c +b(1 2 sin212)z = c_b +c(1 2 sin212)[c +b cos ] z = c [b +c cos ]z =c(b +c cos )c +b cos (32)Se sigue entonces de (31) y de la ltima expresin quev =bz c2c=bc(b+c cos )c+b cos c2c=bc(b +c cos ) c2(c +b cos )c(c +b cos )=b2c c3c(c +b cos )v =b2c2c +b cos (33)yz2c2=c2(b +c cos )2(c +b cos )2c2(c +b cos )2(c +b cos )2=c2(b +c + (b +c) cos )(b c + (c b) cos )(c +b cos )2=c2(b +c)(1 + cos )(b c)(1 cos )(c +b cos )2=c2(b2c2)(1 cos2)(c +b cos )2=c2(b2c2) sin2(c +b cos )2_z2c2=c sin b2c2c +b cos (34)_z(z2c2) =_c(b +c cos )c +b cos

c sin b2c2c +b cos =c sin b2c2_c(b +c cos )(c +b cos )3/2(35)36 El problema de los dos centros josLas expresiones (34), (33),(32),(31), (30) coinciden con las que aparecen en 26 y 28 del original [3], pero aparece un signo incorrectamente en el clculo de ladiferencial dz calculada a partir de (32),dz = c(b2c2)d sin (c +b cos )2(errado)Lo que es peor, la expresin paradzz2c2= d_b2c2(errado) (36)parece totalmente errnea. Este paso invalida todos los pasos consecuentes; as queseguiremos la deduccin por nuestra cuenta, comentando la expresin correspondienteque aparece en el original.La diferencial dz a partir de (32) esdz =c(b2c2) sin (c +b cos )2(37)que junto con (34) dadzz2c2=c(b2c2) sin (c +b cos )2

c +b cos c sin b2c2=db2c2c +b cos (38)que es la expresin correcta, en vez de (36) (se podra pensar que la falta del deno-minador en (36) es un error tipogrco, pero los clculos subsecuentes en el originalhacen pensar que esto no es as). Procedamos entonces por nuestra cuenta; de (38) y(32) se siguedz_z(z2c2)=db2c2c +b cos

c +b cos _c(b +c cos )==db2c2_(c +b cos )c(b +c cos )(39)La ley de movimiento de acuerdo a (30), y usando (35) y (38)2ct_2Abcg =23b2_z(z2c2) ++13c2(b23c2)_dz_z(z2c2)=23b2c sin b2c2_c(b +c cos )(c +b cos )3/2++13c2(b23c2)_db2c2_(c +b cos )c(b +c cos )2.5 De motv corporis (1766) 37o bien2t2Abgb2c2=23b2sin b +c cos (c +b cos )3/2+13(b23c2)_d_(c +b cos )(b +c cos ). (40)Euler en cambio obtiene la relacin [ 27, op. cit.]2t2Abgb2c2=23b2sin b +c cos (c +b cos )3/2 13(b23c2)_d_(c +b cos )_(b +c cos ). (41)La cantidad k 22Abgb2c2es la rapidez de Men el vrtice de la hiprbola (celer-itas). En el caso que b2= 3c2, el segundo trmio se anula y la expresin anterior sereduce akt =23b2sin c +b cos b +c cos c +b cos =2c sin (1 +3 cos ) 3 + cos 1 +3 cos .Simplicando, k = 2_Ag3c= 2_3Agb; o bien de manera breve usando (30)t2Abcgc=_z(z2c2).En este caso la posicin de M para un tiempo dado t satisface la ecuacin cbicaz2c2z =2Acgt2c2=2Agt23c. (42)Esta ltima expresin concide con la original [ 28, op. cit], debido a que el trminoincorrecto en (41) se anula en el caso b2= 3c2.2.5.2. Movimiento elpticoEn el caso de masas iguales A = B y valor de las integrales de Euler y de energaiguales a cero,D=E=0, se prob que existe el movimiento hiperblico. Eulerinvestiga ahora la posibilidad de movimiento elptico. El anlisis sigue la metodologageneral:1. Probar que existe el movimiento elptico.38 El problema de los dos centros jos2. Determinar las condiciones que deben satisfacer los valores de las integralesprimeras y las masas.3. Encontrar la ley de movimiento, de ser posible.Euler comienza por imponer la condicin necesariatan 12 tan 12 = m (cte.) (43)de donde,m =1 cos sin

1 cos sin (44)=v b +zy

u b zyo bien my2= (v b +z)(u b z). Por otro ladoy2= v2(b z)2= (v b +z)(v +b z) (45)y2= u2(b +z)2= (u b z)(u +b +z)de donde, dividiendo cada ecuacin con la precedente para eliminar y2, se sigueu b z = m(v +b z)v b +z = m(u +b +z)Sumando miembro a miembro, se obtieneu +v =2(1 +m)b1 m 2cdonde m =cbc+b, y 2c es el axem transversum (eje mayor). De manera similar v2u2= 4bz que al dividir entre u+v de la ltima expresin, da uv = 2bz/c. Se tieneentonces el sistema lineal para u, v:u +v = 2cu v =2bzc(observe que la primera ecuacin dene una elipse), cuya solucin es v=c bz/c,u = c +bz/c; al sustituir este valor de v en la primera ecuacin de (45) se obtieney2=c2b2c2(c2z2) o bienz2c2+y2c2b2= 1 (46)que es la ecuacin de una elipse, supuesto c > b, es decir m > 02.5 De motv corporis (1766) 39Tomando logaritmos en (43)ln tan12 + ln tan12 = ln my derivando, se tienedsin +dsin = 0, o biend sin d sin = 1, que comparando con (18)implicaPP2Q2Q= 1, de donde P +Q = 0, o sea(A+B)(cos + cos ) +D +Dcos cos +E sin sin = 0, (47)pero de la relacin (43), y usando (44) se tiene(1 cos )(1 cos )sin sin = m =c bc +bde donde el producto sin sin puede despejarse y sustituirse en (47) para obtenerm(A+B)(cos + cos ) + mD + mDcos cos E(cos + cos ) + E + E cos cos = 0.Como esta igualdad debe darse para todo , , necesariamenteE = m(A+B) & D = Emes decirE =c bc +b(A+B) & C = D +E =2bc +b(A+B). (48)Estas son las relaciones que deben satisfacer los valores de las integrales y las masas.La ley de movimiento, la obtiene Euler derivando la ecuacin de la elipse (46)dy = zdzc2z2c2b2cpor tanto, ya que dx = dz,dx2+dy2= dz2+dy2=dz2(c4b2z2)c2(c2z2). (49)La relacin anloga a (29) para el caso elptico, se obtiene a partir de la relacinde energa (7) y de (28)dx2+dy2= 4gdt2_Av+Bu+C2b_= 4gdt2_Acc2bz+Bcc2+bz A+Bc +b_40 El problema de los dos centros josFigura 2.4: Soluciones hiperblicas, elpticas y una trayectoria tpica del problema delos dos centros jos.donde en la ltima expresin se us la segunda igualdad en(48). Simplicando,dx2+dy2=4bgdt2_A(c +z)(c2+bz) +B(c z)(c2bz)_(c +b)(c4b2z2). (50)De (49) y (50) se obtiene4bc2gdt2b +c=dz2(c4b2z2)2(c2z2) (A(c +z)(c2+bz) +B(c z)(c2bz))por tanto integrando,2ct_bgb +c=_(c4b2z2)dz_(c2z2) (A(c +z)(c2+bz) +B(c z)(c2bz)),(en el original aparece:2ct_bgb +c=_(c4b2z2)dz_(c2z2) (A(c2+bz) +B(c z)(c2bz))).ver la gura2.4.2.5.3. Solucin completa