Estudios J.Concha ( fundado en 2003) ESO ,...

06 Unidad 6. Cinemática del punto material. Elementos y magnitudes del movimiento

SOLUCIONARIO

Física y Química. 1º Bachillerato 1-27

Actividades 1> Señala las afirmaciones correctas. El movimiento de un coche que se desplaza por unacarretera es respecto de una gasolinera:

a) Rotación

b) Traslación

c) Absoluto

d) Relativo

Solución:

Son correctas las afirmaciones b) y c).

2> Indica si el coche de la actividad anterior, respecto de un camión al que pretendeadelantar, tiene movimiento absoluto o relativo.

Solución:

Es relativo; porque el camión está en movimiento respecto del automóvil.

3> Indica si es falso o verdadero:

a) Se puede estudiar el movimiento prescindiendo del sistema de referencia.

b) El movimiento es un cambio de lugar.

c) Un punto solamente puede tener movimiento de traslación.

d) La Tierra se puede considerar un punto material cuando se mueve alrededor del Sol.

Solución:

a) Falso, porque el sistema de referencia es necesario para estudiar el movimiento.

b) Falso, porque el movimiento consiste en un cambio de posición.

c) Verdadero.

d) Verdadero, porque sus dimensiones son despreciables comparadas con la distancia al Sol.

4> Si una barca de remos se encuentra en mitad de un lago:

a) Tiene movimiento relativo respecto del agua y de la orilla.

b) Tiene movimiento absoluto respecto de la orilla y relativo respecto del agua.

c) La barca solamente tiene movimiento absoluto.

Solución:

Es correcta la afirmación b).

5> Para determinar la posición de un barco en el océano, ¿cuántas coordenadasnecesitas? ¿Qué nombre reciben?

Solución:

Se necesitan dos coordenadas: longitud y latitud.

6> Un coche parte desde un semáforo y se mueve por una calle recta. ¿Cuántascoordenadas necesitas para determinar la posición del automóvil respecto al semáforo?

Solución:

La trayectoria que sigue el coche es una recta. Por tanto, basta una coordenada.

Estudios J.Concha ( fundado en 2003) ESO , BACHILLERATO y UNIVERSIDAD Departamento de Bachillerato Física Química 1º Bachillerato Profesores Javier Concha y Ramiro Froilán

Sector Descubridores 41 y 44 Tres Cantos. 28760 Madrid Telf 91 8049567 www.estudiosjconcha.com [email protected]


SOLUCIONARIO


7> La posición en cualquier instante de una partícula que se mueve en el plano Oxy viene

dada por el vector - 2r(t) = 2ti t j . Se supone que inicia el movimiento cuando empezamos

a contar el tiempo. Calcula:

a) En qué punto inicia la partícula el movimiento.

b) Dónde se encuentra cuando ha transcurrido 1 s.

c) La posición de la partícula cuando t = 2s, t = 4s

d) A qué distancia del punto de partida se encuentra la partícula cuando han transcurrido 4 s.

Dibuja, además, la trayectoria de la partícula.

Solución:

a) Si se inicia el movimiento cuando t = 0, el punto de partida es el origen de coordenadas.

b) Tomando la ecuación que define el vector de posición y sustituyendo t = 1s, obtenemos

(1) 2r i j , es decir, la partícula se encuentra en el punto P1(2,−1)

c) Tomando la ecuación que define el vector de posición y sustituyendo t = 2s, obtenemos

(2) 4 4r i j , es decir, la partícula se encuentra en el punto P2(4,−4). En el instante t = 4s,

(4) 8 16r i j , es decir, P4(8,−16)

d) La distancia se calcula como 2 2 64 256 17,9md x y

8> Las coordenadas del extremo del vector de posición de una partícula móvil son P(2, –1, 0). Si en un instante dado se suponen las siguientes afirmaciones, ¿cuáles de ellas son falsas?

a) La partícula se encuentra en el plano Oxy.

b) La partícula se encuentra en el plano Oyz.

c) El vector de posición es 2r i j

d) Con los datos que se dan no se puede escribir el vector de posición.

Solución:

Son falsas b) y d).

9> El vector de posición de un punto móvil es 2r(t) = ti + t j + k

El punto móvil se encuentra inicialmente en:

a) (0,0,0)

b) (0,1,1)

c) (0,0,1)

¿Cuál es la posición correcta?

El punto se mueve:

a) En el plano Oxy.

b) En un plano paralelo al plano Oxy.

c) En ningún plano.

Solución:

Es correcta la afirmación c), pues se mueve en un plano paralelo al plano Oxy.

10> Carlos sale de su casa a comprar el periódico en una papelería situada a 120 m de la vivienda y luego regresa a su casa. ¿Qué afirmaciones son correctas?

a) Carlos se ha desplazado 120 m.

b) Carlos se ha desplazado 240 m.

c) Carlos no se ha desplazado.




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d) Carlos ha recorrido 240 m.

Solución:

Es correcta la afirmación c) porque, al final del recorrido, la posición es la misma que al principio y la d) porque efectivamente el espacio recorrido es 240 m.

11> Un ciclista se desplaza en línea recta 750 m. Si su posición final está a 1 250 m del punto de referencia, el ciclista inició su recorrido desde una posición situada a:

a) 750 m del punto de referencia.

b) 1 250 m del punto de referencia.

c) 500 m del punto de referencia.

d) No se puede hallar la posición de partida.

Solución:

De la definición de desplazamiento se obtiene que:

x0 = xt – desplazamiento = 1 250 m – 750 m = 500 m.

Estrictamente, y como no nos dan el signo del desplazamiento, también podría haber partido a

2 000 m del punto de referencia:

x0 = xt – desplazamiento = 1 250 m – (–750 m) = 2 000 m

12> Tres partículas, A, B, y C se desplazan desde la posición P1 a la posición P2 siguiendo las trayectorias que se indican en la Figura 6.16.

Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas:

a) Las tres tienen el mismo desplazamiento.

b) Las tres se han movido con la misma rapidez si han empleado el mismo tiempo.

c) Las tres tienen la misma velocidad si han empleado el mismo tiempo.

Solución:

Es correcta la afirmación a) porque las tres partículas tienen el mismo punto de partida y el mismo punto de llegada; es decir, tienen el mismo desplazamiento. Es correcta también la afirmación c), si tenemos en cuenta que la velocidad media es el cociente entre el desplazamiento producido y el tiempo empleado. Sin embargo, si tomamos la velocidad como el espacio recorrido en la unidad de tiempo, la partícula C se ha movido con mayor velocidad.

13> Una vez iniciado el movimiento, ¿el espacio recorrido puede ser cero? ¿Puede ser cero el desplazamiento? Cita un ejemplo en que el espacio recorrido y el desplazamiento tengan el mismo valor.

Solución:

Una vez iniciado el movimiento, el espacio recorrido no puede ser cero:

e = vm t ≠ 0, puesto que vm ≠ 0; t ≠ 0

El desplazamiento puede ser cero. Esto ocurre cuando la posición inicial coincide con la posición final.




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Cuando un objeto cae libremente desde una cierta altura, el espacio recorrido coincide con el desplazamiento.

14> Un ciclista recorre una pista circular de 20 m de radio partiendo del punto O en el sentido que indica la flecha de la Fig. 6.17.

Calcula el espacio recorrido y el desplazamiento:

a) Cuando el ciclista está en el punto A.

b) Cuando se halla en el punto B.

c) Cuando se encuentra en C.

d) Cuando ha dado una vuelta completa.

Solución:

a) Espacio recorrido: 2π 6,28 · 20

31m4 4

R

Desplazamiento: 2 20 2m 28mOA R

b) Espacio recorrido: π R = 63 m

Desplazamiento: 2 40mOB R

c) Espacio recorrido: 3

2π 94m4

R

Desplazamiento: 28mOC

d) Espacio recorrido: 2 π R = 126 m

Desplazamiento: 0mOO

15> La rapidez de un móvil se mide en m/s en el SI, y en la práctica, en km/h. Expresa en m/s la rapidez con la que se mueve un coche que va a 144 km/h.

Solución:

144 km/h · 1 000 m/km · 1/3 600 h/s = 40 m/s

16> Responde a las siguientes cuestiones.

a) Un automóvil toma una curva de 100 m de radio con velocidad constante de 56 km/h.

b) Después de recorrer 30 m de curva, el coche frena, pasando a una velocidad de 10 m/s.

c) Por último, al salir de la curva acelera hasta alcanzar 100 km/h de velocidad.

¿En qué tramos a), b) o c) existe aceleración? ¿Por qué?

Solución:

Existe aceleración en los tramos a) porque la velocidad cambia de dirección; b) porque la velocidad varía en dirección y sentido; c) la velocidad varía en módulo.




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17> En el movimiento de un péndulo, ¿qué elementos de la velocidad se modifican?

Solución:

El módulo, la dirección y el sentido.

18> Un automóvil toma una curva de forma que al principio de ella el velocímetro marca 90 km/h y al final 30 km/h.

a) ¿Tiene aceleración tangencial el coche? ¿Por qué?

b) ¿Tiene aceleración normal? ¿Por qué?

c) ¿Qué tipo de aceleración hubiera tenido el coche si se hubiera desplazado a 30 km/h en toda la curva?

d) ¿Cuánto vale la aceleración media?

Solución:

a) 8m/s

0v

at t

, sí tiene aceleración tangencial.

b) También, por ser 2

n 0v

aR

c) Sólo normal, al no haber variación de velocidad.

d) No se puede hallar, puesto que nos falta el dato del tiempo.

19> Escribe el signo correspondiente a la posición y a la velocidad en los siguientes casos:

a) La partícula de la Figura 6.29 se encuentra en el punto P1, a 20 m del punto O que se toma como referencia.

b) La partícula se halla en P2, a 10 m del punto O.

c) El coche de la Figura 6.25 se aleja del punto O con una rapidez de 20 m/s.

d) Dicho coche se acerca hacia el origen a 2 m/s.

Solución:

a) Signo (+), porque se encuentra en el semieje positivo de OX. La posición sería x = 20 m.

b) Signo (–); porque la partícula se encuentra en el semieje negativo OX. La posición sería, pues, x = –10 m.

c) Signo positivo, porque el móvil se desplaza en el sentido del semieje positivo OX (hacia la derecha); v = 20 m/s.

d) Signo negativo, porque se desplaza en el sentido del semieje negativo OX (hacia la izquierda); v = –2 m/s.

20> Fíjate en la figura e indica qué afirmaciones son falsas:

a) En el tramo OA la velocidad ha sido 0,8 m/s.

b) En el tramo AB la velocidad es 4/5 m/s.

c) En el tramo BC la velocidad es –2 m/s.




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d) En el tramo AB el móvil está parado.

Solución:

Es falsa la afirmación b), porque en el tramo AB el móvil está parado: la posición no varía con el tiempo.

21> Un cuerpo que se mueve en línea recta posee una velocidad que varía con el tiempo, según el diagrama de la Figura 6.39. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas:

a) Durante todo el recorrido ha tenido un MRUA.

b) La aceleración media es 4 m/s2.

c) La velocidad máxima es 72 km/h.

d) La distancia recorrida en los diez primeros segundos es de 100 m.

e) En el intervalo de 0 s a 5 s el cuerpo está parado.

f) En el intervalo de 10 s a 15 s el cuerpo se mueve sin aceleración.

Solución:

Son correctas las afirmaciones: b) Porque la aceleración media ha sido:

22 1 30m/s 10m/s4 m/s

10s 5s 5s

v va

f) Porque en el intervalo de 10 s a 15 s la velocidad es constante.

22> Un vehículo se mueve sobre una pista rectilínea durante 5s con aceleración constante. Sigue con velocidad constante durante 15 s y luego frena de manera constante hasta parar, lo que consigue en 20 s. Dibuja los diagramas a-t y v-t de este movimiento.

Solución:




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23> En la Figura 6.41 está representado el diagrama v-t del movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo.

Tomando para la gravedad el valor –10 m/s2, indica en tu cuaderno qué afirmaciones son

falsas:

a) La aceleración cambia de sentido a los 2 s.

b) La velocidad cambia de sentido a los 2 s.

c) La altura máxima se alcanza a los 2 s.

d) El objeto se encuentra a 10 m del suelo a los 3 s.

e) La máxima altura alcanzada fue de 20 m.

f) A los 4 s llega al suelo.

Solución:

Son falsas las afirmaciones:

a) Porque la aceleración de la gravedad no cambia de sentido: es siempre negativa.

d) Porque a los 3 s se encuentra a 15 m del suelo:

y = v0t + 1/2 gt 2 = 20 m/s · 3 s – 5 m/s

2 · 9s

2 = 15 m

24> Calcula la aceleración centrípeta de un objeto que se mueve sobre una circunferencia de 10 m de radio a 90 km/h.

Solución:

La aceleración centrípeta viene dada por:




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22

225m/s

62,5m/s10m

va

R

25> Una piedra se ata a una cuerda de 1 m de longitud y se la hace girar describiendo circunferencias con una frecuencia exacta de cinco vueltas por segundo. Calcula:

a) La velocidad angular en rpm.

b) La rapidez, en km/h, con que gira la piedra.

c) La aceleración centrípeta a que está sometido el cuerpo.

Solución:

a) 2π

ω 2π 10π 31,42rad/s=300rpmfT

b) La rapidez con que gira será:

v = ω R = 31 rad/s · 1 m/rad = 31 m/s = 112 km/h

c) 2

22

31m/s961m/s

1m

va

R

26> Calcula la velocidad de la barca del Ejemplo 15 en el caso de que el barquero:

a) Reme a favor de la corriente.

b) Reme contra la corriente.

Solución:

a) Las velocidades tienen la misma dirección y sentido. Por tanto, la velocidad resultante será:

v = v1+ v2 = 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s

b) Si rema contracorriente, las velocidades tienen la misma dirección pero sentido contrario, y la velocidad resultante es:

v = v1– v2 = 2 m/s – 1 m/s = 1 m/s

27> Representa gráficamente en tu cuaderno la trayectoria del movimiento definido por:

x = 2 + t 2

y = –1 + 2t

Solución:

t 0 1 2

x 2 3 6

y −1 1 3

28> ¿Cuáles de los siguientes objetos tendrán una trayectoria parabólica aproximada?

a) Una pelota lanzada en una dirección arbitraria.

b) Un avión a reacción.

c) Un paquete que se suelta desde el avión anterior.

d) Un cohete que sale de la plataforma de lanzamiento.

e) La lámpara que se desprende del techo de un vagón del AVE cuando este se mueve a 200 km/h.

Solución:

Los objetos a), c) y e) tienen trayectoria parabólica.




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29> Desde lo alto de una torre de 50 m se deja caer un objeto. En el mismo instante se dispara contra él una bala a 200 m/s desde un punto del suelo situado a 100 m de la base de la torre. ¿Hará blanco la bala? En caso afirmativo, ¿en qué punto?

Solución:

0

0

20

0

0

20

0; 9,8

0; 9,8

0; 50 4,9

0; 9,8

200cosα; 200senα 9,8

100 200 cosα; 200 senα 4,9

b

b

b

a

a

a

g

v t

r t

g

v t

r t t t

Ciencia, tecnología y sociedad 1> Cuando un coche frena bruscamente, ¿qué tipo de movimiento experimenta?

Solución:

El coche derrapa, tiende a cruzarse girando sobre sí mismo.

2> ¿Crees que una vez que el conductor acciona el freno, el vehículo se detiene inmediatamente? ¿Crees que la distancia de frenado depende de la velocidad a la que va el vehículo? ¿De qué otros factores piensas que depende?

Solución:

No, recorre una cierta distancia antes de detenerse, dependiendo de la velocidad que llevaba, del tiempo de reflejo del conducto y del estado de la carretera.

Experiencia de laboratorio 1> ¿La distancia recorrida es la misma en los dos itinerarios? ¿Por qué?

Solución:

No, porque depende de la trayectoria o itinerario que se ha seguido.

2> ¿Qué representa en esta experiencia la distancia entre las dos iglesias? ¿Esta distancia depende del itinerario seguido? ¿Por qué?

Solución:

Representa el desplazamiento. No depende del itinerario seguido, depende exclusivamente de la posición de partida y de la posición de llegada.

3> ¿Cuántas distancias recorridas puede haber? ¿Cuántos desplazamientos?

Solución:

Tantas como itinerarios seguidos. Un solo desplazamiento.

4> Compara los valores del desplazamiento utilizando primero la escala y luego la suma de vectores.




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Solución:

El alumno ha de realizar las dos mediciones y comparar resultados.

5> Observa la Figura 6.60: ¿el desplazamiento 1 2P P coincide con la suma de las distancias

a, b, c , d? ¿Coincide con la suma de los vectores a , b , c , d ?

Solución:

No. Es inferior, D < a + b + c + d, en cambio sí se cumple 1 2PP a b c d

Problemas propuestos 1> Indica qué afirmaciones son verdaderas. La velocidad media de una partícula en un intervalo de tiempo es:

a) El cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo.

b) El cociente entre el espacio recorrido y el intervalo de tiempo.

c) Es igual cualquiera que sea la trayectoria.

d) Depende de la trayectoria.

Solución:

Son correctas las respuestas a) y c), como se deduce de la propia definición de velocidad media.

2> Un automóvil toma una curva de 100 m de radio con una rapidez constante de 36 km/h. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?

a) El coche no tiene aceleración porque su velocidad es constante.

b) El coche tiene aceleración tangencial.

c) La aceleración del coche vale 1,0 m/s2.

Solución:

Las soluciones b) y c) son verdaderas, porque cuando un móvil toma una curva, su vector velocidad cambia de dirección y por esto aparece la aceleración centrípeta, cuyo valor es:

2 22(10 m/s)

1 m/s100 m

va

R

3> En un campeonato de esquí alpino un esquiador realiza el descenso haciendo muchas «eses», mientras que otro lo realiza en línea recta. Señala las afirmaciones falsas:

a) Los dos han realizado el mismo desplazamiento.

b) Los dos han recorrido la misma distancia.

c) Los dos han seguido la misma trayectoria.




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d) Bajaron con la misma velocidad media si tardaron el mismo tiempo.

Solución:

Las afirmaciones b) y c) son falsas, porque es evidente que los dos no corren la misma distancia ni han seguido la misma trayectoria.

4> Un automóvil toma una curva disminuyendo el módulo de su velocidad. Indica qué afirmaciones son verdaderas:

a) Solamente existe aceleración tangencial.

b) Solamente existe aceleración normal.

c) Existen las dos aceleraciones anteriores.

d) La aceleración normal es constante.

Solución:

Cuando un móvil toma una curva disminuyendo la rapidez, aparecen la aceleración tangencial, debida a la variación del módulo, y la aceleración centrípeta, debida a la variación de la dirección.

5> De las siguientes afirmaciones, indica cuáles son falsas:

a) Si la velocidad de un cuerpo es nula, la aceleración también lo es.

b) Si la aceleración de un cuerpo es nula, la velocidad también lo es.

c) La velocidad y la aceleración son vectores que tienen siempre la misma dirección, aunque su sentido puede ser diferente.

Solución:

Se pueden citar ejemplos que demuestran que las tres afirmaciones son falsas.

a) Cuando se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba, su velocidad es cero cuando alcanza el punto más alto. Sin embargo, está sometido a la aceleración de la gravedad. Cuando un péndulo se encuentra en los extremos de la oscilación no tiene velocidad; en cambio, su aceleración es máxima.

b) En el movimiento rectilíneo y uniforme la aceleración es cero; en cambio, la velocidad no lo es.

c) Los vectores velocidad y aceleración tienen distinta dirección en los movimientos curvilíneos.

6> Un avión se ha desplazado 600 km hacia el norte, 1 000 km hacia el sur y 500 km hacia el norte.

a) ¿Cuál ha sido el desplazamiento total del avión?

b) ¿Qué distancia ha recorrido?

c) ¿Cuál ha sido su velocidad media si ha empleado 5 h en el recorrido?

Solución:

El desplazamiento es una magnitud vectorial. Los tres desplazamientos han sido en la misma dirección, pero en sentido contrario.

El desplazamiento total será:

600 km – 1 000 km + 500 km = 100 km hacia el norte.

La distancia es una magnitud escalar. Por tanto, se suman los recorridos anteriores:

600 km + 1000 km + 500 km = 2 100 km

La velocidad con que se ha desplazado es:

100 km/5 h = 20 km/h

7> Una persona está sentada en un banco del parque público. En un momento dado decide dar un pequeño paseo: recorre 100 m hacia el oeste, se para y luego recorre 60 m hacia el este.

a) ¿Cuál es la posición final de la persona respecto del banco?




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b) ¿Cuál es el desplazamiento?

c) ¿Qué espacio ha recorrido?

Solución:

a) 100 m – 60 m = 40 m al oeste del punto de partida.

b) 40 m hacia el oeste.

c) 160 m.

8> Un ciclista acelera durante 10 s pasando de 5,0 m/s a 36 km/h. Calcula su aceleración media.

Solución:

Aplicamos la definición operativa de aceleración media:

2t 0 10 m/s 5 m/s0,5 m/s

10 s

v va

t

9> Una pelota de tenis llega a un jugador con una rapidez de 20 m/s. Este jugador golpea la pelota de manera que esta sale en la misma dirección, pero en sentido contrario, a 35 m/s. Si la pelota ha estado en contacto con la raqueta durante 0,20 s, calcula:

a) ¿Cuánto ha variado la rapidez de la pelota?

b) ¿Cuánto vale el módulo de la aceleración media?

Solución:

a) 2 1 35 m / s – 20 m / s 15 m / sv v

b) 1 2 235 m/s ( 20 m/s) 55 m/s

275 m/s0,2 s 0,2 s

v va

t

2275 m/sa

10> Un automóvil que se mueve en línea recta acelera en un momento dado a razón de 2 m/s

2. ¿Durante cuánto tiempo debe estar acelerando para que el velocímetro pase de 90

km/h a 120 km/h?

Solución:

Incremento de velocidad: 30 km/h = 8,3 m/s

Tiempo empleado: 2

8,3 m/s4,2 s

2,0 m/st

11> Un automóvil, al pasar por un punto A, tiene una velocidad de 128 km/h, y cuando pasa por otro punto B, distante 120 m del anterior, la velocidad es de 35 km/h.

Calcula:

a) El valor de la aceleración.

b) Cuánto tiempo tarda en pasar de A hasta B.

c) A qué distancia de A se detendrá el automóvil.

Solución:

Tomamos el punto A como referencia. Conocemos los siguientes datos:

— Velocidad inicial v0 = vA = 128 km/h = 35,6 m/s

— Velocidad final vt = vB = 35 km/h = 9,7 m/s

— Desplazamiento x = xt – x0 = xB – xA = 120 m

a) La aceleración la obtenemos de: 2 2

0 2tv v ax




SOLUCIONARIO


2 2 2 220 (9,7 m/s) (35,6 m/s)

4,9 m/s2 240 m

tv va

x

b) Tiempo empleado t 0

2

9,7 m/s 35,6 m/s5,3 s

4,9 m/s

v vt

a

c) Se detiene en un punto C, cuando se cumple:

vt = vC = 0

De la ecuación 2 2

0 C A2 ( – )tv v a x x despejamos la distancia entre los puntos A y C.

2 2 2

0C A 2

0 (35,6 m/s)129 m

2 9,8 m/s

tv vx x

a

12> Un avión que parte del reposo acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad de despegue de 75 m/s en 5,0 s.

a) ¿Con qué velocidad en km/h despega el avión?

b) ¿Cuál es su aceleración?

c) ¿Qué longitud de pista ha recorrido hasta despegar?

d) ¿Qué distancia recorre en el último segundo?

Solución:

a) m s 1 km

75 · 3 600 · · 270 km/hs h 1 000 m

b) 2t 0 75 m/s 0 m/s

15 m/s5,0 s

v va

t

c) x = v0 t + 1/2 a t2

= 0,5 · 15 m/s2

· (5,0 s)2

= 188 m

d) x4–5 = 188 m – 0,5 · 15 m/s2

· (4,0 s)2

= 68 m

13> Teniendo en cuenta el diagrama de la figura, indica qué afirmaciones son correctas:

a) En el tramo AB el móvil está parado.

b) En el tramo BC la aceleración es 1 m/s2.

c) La distancia recorrida en el tramo BC es de 50 m.

d) En el tramo BC el movimiento es uniforme.

Solución:

La afirmación correcta es la c).

En el tramo BC el movimiento se realiza con aceleración

2t 0 0 10 m/s1 m/s

10 s

v va

t

Por lo tanto, la distancia recorrida será:

x = v0 t + 1/2 a t2

x = 10 m/s · 10 s – 0,5 · 1 m/s2 · (10 s)

2 = 50 m

Las demás afirmaciones son falsas, porque:

— En el tramo AB el móvil se desplaza con velocidad constante de 10 m/s. Por lo tanto, no está




SOLUCIONARIO


parado.

— En el tramo BC la aceleración no es 1 m/s2, sino –1 m/s

2. Por tanto, el movimiento no es

uniforme.

14> Dado el diagrama de la Figura, indica qué afirmaciones son falsas:

a) En el tramo OA la velocidad ha sido 0,8 m/s.

b) En el tramo AB la velocidad es 0,8 m/s.

c) En el tramo BC la velocidad es –2 m/s.

d) En el tramo AB el móvil está parado.

Solución:

Es falsa la afirmación b), porque en el tramo AB la posición permanece constante. Por tanto, la velocidad es cero.

Las demás afirmaciones son verdaderas:

— En el tramo OA la velocidad media es 4 m/5 s = 0,8 m/s

— En el tramo BC la velocidad es 0 4 m

2 m/s2 s

— En el tramo AB el móvil está parado.

15> Un vehículo viaja por una calle a 50 km/h. De repente un niño atraviesa corriendo la calzada. Si el conductor tarda 0,80 s en reaccionar y oprimir los frenos:

a) ¿Cuántos metros recorrerá antes de empezar a frenar?

b) Una vez que pisa los frenos, ¿podrá parar en 0,50 m, supuesta una aceleración de frenado de –20 m/s

2?

Solución:

a) Durante los 0,8 s el coche se mueve con la velocidad que tenía, y recorrerá una distancia:

x = v t = 13,9 m/s · 0,8 s = 11 m

b) El espacio de frenado se obtiene de la ecuación:

2

2

2 22 2 f 0f 0

2

km 1 000 m 1 h0 50 · ·

h 1 km 3 600 s2 4,8

m2 2 · 20

s

v va x v v x

a

16> Un conductor que viaja de noche en un automóvil a 100 km/h ve de repente las luces de señalización de una valla que se encuentra a 40 m en medio de la calzada. Tarda 0,75 s en pisar el pedal de los frenos y la deceleración máxima del automóvil es de 10 m/s

2.

Calcula:

a) ¿Chocará con la valla? Si es así, ¿a qué velocidad?

b) ¿Cuál será la velocidad máxima a la que puede viajar el automóvil sin que colisione con la valla?

Solución:

a) Distancia recorrida antes de frenar:




SOLUCIONARIO


x = v t = 27,8 m/s · 0,75 s = 20,8 m

Cuando empieza a frenar, la valla se encuentra a una distancia de 40 m – 20,8 m = 19,2 m.

Velocidad del coche después de recorrer esa distancia:

v2 = (27,8 m/s)

2 – 2 · (10 m/s

2) · 19,2 m = 388,84 m

2/s

2

v = 19,7 m/s = 70 km/h

b) Para parar sin colisionar con la valla, el vehículo debe tener la velocidad:

2

00 · 0,75 s + 40 m

2 · 10

vv

2

0v + 15 v0 = 21,76 m/s 78 km/h

17> Un camión y un automóvil inician el movimiento en el mismo instante, en la misma dirección y sentido desde dos semáforos contiguos de la misma calle. El camión tiene una aceleración constante de 1,2 m/s

2, mientras que el automóvil acelera con 2,4 m/s

2. El

automóvil alcanza al camión después de que este ha recorrido 50 m. Calcula:

a) ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar al camión?

b) ¿Qué distancia separa los dos semáforos?

c) ¿Qué velocidad posee cada vehículo cuando están emparejados?

Solución:

a) Tiempo transcurrido desde que se inicia el movimiento hasta ser alcanzado por el automóvil:

x = 1/2 a t 2;

2

2 100 m9,1 s

1,2 m/s

x

a

b) Durante ese tiempo el automóvil ha recorrido la distancia x = x0 + 50 m, siendo x0 la distancia que separa los dos semáforos.

x0 + 50 m = 1/2 · 2,4 m/s2 · (9,13 s)

2

x0 = 50 m

c) Camión: v1 = a1t = 1,2 m/s2 · 9,1 s = 10,9 m/s = 39 km/h

Automóvil: v2 = 2,4 m/s2 · 9,1 s = 21,8 m/s = 79 km/h

18> Dos jóvenes se mueven en la misma dirección, dirigiéndose el uno al encuentro del otro. Inician el movimiento al mismo tiempo desde las porterías de un campo de fútbol con velocidades medias respectivas: v1 = 3,5 m/s y v2 = 5,0 m/s. Sabiendo que el encuentro tiene lugar a 28 m de la posición de partida del primero, determina:

a) El tiempo transcurrido hasta que se encuentran.

b) La longitud del campo de fútbol.

Solución:

a) Tiempo transcurrido 1

1

28 m8 s

3,5 m/s

et

v

Distancia recorrida por el segundo: e2 = v2

t = 5,0 m/s · 8 s = 40 m

b) La longitud del campo de fútbol será: 28 m + 40 m = 68 m

19> Un tren del metro sale de una estación A; acelera a razón de 0,50 m/s2 durante 10,0 s y

luego con 2,0 m/s2 hasta alcanzar la velocidad de 54 km/h. El tren mantiene la misma

velocidad hasta que se acerca a la estación B. En ese momento frena uniformemente hasta pararse en 10,0 s. El tiempo total desde A hasta B ha sido de 60,0 s. ¿Qué distancia hay entre las estaciones A y B?

Solución:




SOLUCIONARIO


Primera fase:

x1 = 1/2 a t2 = 1/2 · 0,5 m/s

2 · (10,0 s)

2 = 25 m

v = a t = 0,5 m/s2 · 10,0 s = 5 m/s

Segunda fase:

2 2 2 2

02 2

(15 m/s) (5 m/s)50 m

2 2 · 2,0 m/s

v vx

a

20> Un compañero te dice: «Lanza una piedra verticalmente hacia arriba con todas tus fuerzas y te diré la altura que has alcanzado utilizando un cronómetro». Lanzas la piedra y tu compañero observa que la piedra tarda 8,0 s en volver al suelo.

a) ¿Con qué velocidad lanzaste la piedra?

b) ¿Qué altura alcanzó esta?

Solución:

La piedra volverá al suelo cuando se cumpla que y = y0 = 0.

Por tanto, la ecuación del movimiento tomará la forma 0 = v0 t + 1/2 g t2

De donde v0 = –1/2 g t = –1/2 · (–9,8 m/s2) · 8 s = 39 m/s

La altura máxima se alcanza cuando vt = 0, y se puede calcular a partir de 2 2

t 0v v = 2 g h

2 2 2

t 0

2

0 (39 m/s) = 78 m

2 19,6 m/s

v vh

g

21> En una de las figuras está representado el diagrama v-t del movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo.

Indica qué afirmaciones son falsas:

a) El diagrama que representa dicho movimiento es B, no es A.

b) La aceleración cambia de sentido a los 2 s.

c) La velocidad cambia de sentido a los 2 s.

d) La altura máxima se alcanza a los 2 s.

e) El móvil a los 3 s se encuentra a 10 m de altura.

f) La altura máxima alcanzada fue de 20 m.

g) A los 4 s llega al suelo.

Datos: g = 10 m s–2

.




SOLUCIONARIO


Solución:

Se pueden citar ejemplos que demuestran que las tres afirmaciones son falsas.

a) Cuando se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba, su velocidad es cero cuando alcanza el punto más alto. Sin embargo, está sometido a la aceleración de la gravedad. Cuando un péndulo se encuentra en los extremos de la oscilación no tiene velocidad; en cambio, su aceleración es máxima.

b) En el movimiento rectilíneo y uniforme la aceleración es cero; en cambio, la velocidad no lo es.

c) Los vectores velocidad y aceleración tienen distinta dirección en los movimientos curvilíneos.

22> Desde lo alto de una torre de altura h se deja caer un objeto. ¿A qué distancia del suelo tendrá una velocidad igual a la mitad de la que tiene cuando llega al suelo?

Solución:

La velocidad instantánea en función del desplazamiento viene dado por 2 20 02 v v g y y .

Tomamos el suelo como sistema de referencia. Se cumple, pues, que 0 00,v y h . Cuando se

encuentra a una altura d del suelo, la velocidad será d 2 ( )v g d h y cuando llega al suelo la

velocidad es f 2 (0 )v g h . Según el enunciado se cumple que d f

1

2v v . Por tanto,

12 ( ) 2 (0 )

2g d h g h ,

de donde, 4(d−h) = −h, es decir, 3

4d h .

23> Lanzas un cuerpo verticalmente hacia arriba, de forma que tiene una velocidad de 8,0 m/s cuando ha alcanzado la mitad de la altura máxima a la que puede subir:

a) ¿Con qué velocidad se lanzó?

b) ¿A qué altura sube?

c) ¿Qué velocidad posee un segundo después de ser lanzado?

Solución:

Tomamos como sistema de referencia el punto de lanzamiento, y0 = 0. Aplicamos la ecuación

2 20 02v v g y y , así,

a) Alcanza la altura máxima cuando v = 0, y = h. Por tanto, se cumple 20 2v gh .

Cuando alcanza la mitad de la altura máxima se cumple: 2 2 2064 m /s 2

2

hv g ,

De ambas ecuaciones se obtiene:

2 2 2 20 0

164 m /s

2v v , de donde v0 = 11,3m/s.

b) Altura máxima, se obtiene despejando h de la ecuación 20 2v gh , es decir,

1286,5m

2·( 9,8)h

c) 20 11,3m/s 9,8m/s ·1s=1,5m/sv v gt

24> Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un puente situado a 35 m del agua. Si la piedra golpea el agua 4,0 s después de soltarla, calcula:

a) La velocidad con que se lanzó.




SOLUCIONARIO


b) La velocidad con que golpeó el agua.

Solución:

Tomamos como punto de referencia el puente. Por tanto, y0 = 0; y = −35m.

a) Resolviendo la ecuación t 20 0

1

2y y v gt se obtiene v0 = 11 m/s.

b) La velocidad con que llega al agua se obtiene de

20 11,3m/s 9,8m/s · 4 28m/sv v gt s

25> Se lanza desde el suelo hacia arriba un objeto al mismo tiempo que se deja caer otro desde una altura de 45 m.

¿Con qué velocidad se debe lanzar el primero para que los dos lleguen al suelo al mismo tiempo?

Solución:

Tomamos como sistema de referencia el suelo. En primer lugar calcularemos el tiempo que tarda

el segundo cuerpo en llegar al suelo utilizando la ecuación t 20 0

1

2y y v gt , siendo y0 = 0;

y = 45m, v0 = 0. Es decir, 210 45 ( 9,8)·

2t , de donde se deduce que t = 3s.

Este tiempo es el que tarda el primer objeto en volver al suelo. En este caso y0 = 0; y = 0 , v0 = 0,

es decir, 2 200 3s 4,9m/s 9sv , por tanto v0 = 15 m/s.

26> Se deja caer una piedra desde el brocal de un pozo y tarda 2,3 s en percibirse el sonido producido por el choque con el agua. Si la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s, ¿a qué profundidad está el agua?

Solución:

Tomamos como sistema de referencia el brocal del pozo y llamamos h a la profundidad pedida. Hay que considerar dos movimientos:

La caída libre de la piedra, definido por la ecuación t 20 0

1

2y y v gt , siendo y0 = −h; y = 0,

v0 = 0.

El movimiento rectilíneo y uniforme del sonido, definido por s(2,3s )y v t

Así, se cumple que

2 2 21( 9,8m/s ) 340m/s (2,3s )

2t t , de donde se obtiene el tiempo que tarda la piedra en

llegar a la superficie del agua, que es t = 2,23s.

La profundidad pedida será 340m/s (2,3s 2,23s) 24mh

27> Desde un punto situado en el extremo de la terraza de un edificio de 55 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad de 30 m/s. Si despreciamos la resistencia del aire, tomamos g = 10m/s

2 como valor de la gravedad y el nivel de la calle

como sistema de referencia, calcula:

a) Dónde se encuentra la pelota 2,0 s después de lanzarla.

b) Qué velocidad posee en ese instante.

c) Cuánto tiempo tarda en alcanzar el punto más alto de la trayectoria

d) Qué altura máxima alcanza.

e) Qué velocidad posee cuando se encuentra a 20m por encima del punto de lanzamiento.

f) Cuánto tiempo tarde en llegar a la calle




SOLUCIONARIO


g) Con qué velocidad llega a la calle.

h) Qué velocidad tiene la pelota cuando se encuentra a 10 m de la calle.

Solución:

Se trata de un problema de caída libre. Tomamos como sistema de referencia el nivel de la calle.

De la ecuación t 20 0

1

2y y v gt se obtiene la posición, y, en cualquier instante. Siendo y0 =

55m y g = −10m/s2:

a) 2 255m 30m/s 2,0s 5m/s 4,0s 95my

b) 20 30m/s 10m/s 2,0s 10m/sv v gt

c) Llegará al punto más alto cuando v = 0. De la ecuación 0v v gt se obtiene t = 3s.

d) La altura máxima viene dada por t 20 0

1

2y y v gt . Cuando t = 3s,

2 255m 30m/s 3s 5m/s 9s 100my

e) La velocidad en función de la posición viene dada por 2 20 02v v g y y , siendo y−y0 = 20 m.

Resolviendo esta ecuación se obtiene v = ±22 m/s.

Hay dos instantes en que la pelota pasa por el punto indicado: cuando sube (v = 22m/s) y cuando baja (v = −22m/s).

f) De la ecuación t 20 0

1

2y y v gt se obtiene el tiempo que tarda en llegar a la calle. Esto

ocurre cuando y = 0. Resolviendo la ecuación, t = 7,5s.

g) El tiempo obtenido en la pregunta anterior lo sustituimos en 0v v gt , resultando v = −45 m/s.

h) De la expresión 2 20 02v v g y y , siendo y = 10m; y0 = 55m, se obtiene v = −42m/s.

28> Desde un globo que se está elevando a 2m/s se deja caer un paquete cuando se encuentra a 60 m de altitud. Calcula:

a) ¿Cuánto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo?

b) ¿Con qué velocidad llega?

c) ¿Dónde se encuentra el globo cuando llega al suelo el paquete?

Solución:

El paquete tiende a subir, por inercia, con la velocidad que tiene el globo en el instante de soltar el paquete. Por tanto, v0 = 2m/s.

a) Tomamos el suelo como sistema de referencia. Es decir, se cumple: y = 0, y0 = 60m.

Sustituyendo estos valores en la ecuación 20 0

1

2y y v t gt , obtenemos t = 3,7 s.

b) De la ecuación 0v v gt se obtiene la velocidad con que llega al suelo, v = −34m/s.

c) El globo asciende con velocidad constante, para hallar su posición utilizamos la ecuación

0 60m 2m/s 3,7s 67my y vt .

29> Un móvil describe una trayectoria circular de 1,0 m de radio 30 veces por minuto. Calcula:

a) El periodo.

b) La frecuencia.

c) La velocidad angular.

d) La velocidad tangencial y la aceleración centrípeta de este movimiento.

Solución:




SOLUCIONARIO


a) Periodo es el tiempo empleado en dar una vuelta.

Por tanto, vale: 60 s

2 s/vuelta30 vueltas

T

b) La frecuencia es inversa del periodo: 1 1

0,5 vueltas/s2 s/vuelta

fT

c) La velocidad tangencial y la aceleración centrípeta son respectivamente:

v = ω R = 3,14 rad/s · 1,0 m/rad = 3,14 m/s

2 22(3,14 m/s)

9,9 m/s1,0 m

va

R

30> Un ciclista parte del reposo en un velódromo circular de 50 m de radio, y va moviéndose con movimiento uniformemente acelerado hasta que, a los 50 s de iniciada la marcha, alcanza una velocidad de 36 km/h; desde este momento conserva su velocidad. Calcula:

a) La aceleración tangencial y la aceleración angular en la primera etapa del movimiento.

b) La aceleración normal en el momento de cumplirse los 50 s.

c) La longitud de pista recorrida en los 50 s.

d) El tiempo que tarda en dar una vuelta a la pista con velocidad constante.

e) El número de vueltas que da en 10 minutos contados desde que inició el movimiento.

Solución:

a) Aplicamos la definición de aceleración tangencial:

20t

10m/s 00,2m/s

50s

v va

t

La aceleración angular será: 3 2α 4 10 rad/sa

R

b) 2 2 2

2n

100m /s2m/s

50m

va

R

c) 22 21

0,1m/s 50s 250m2

e at

d) 2π 314m

31,4s10m/s

Rt

v

e) Espacio recorrido con velocidad constante, 10m/ s (600s 500s) 5 500me vt .

Espacio total: 5500 m + 250 m = 5750 m.

Número de vueltas: 5 750m

º 18,3vueltas314m/vuelta

n

31> Un ventilador gira a 360 rpm. En un momento dado se desenchufa de la corriente y tarda 35 s en pararse. Calcula:

a) ¿Qué aceleración angular tiene?

b) ¿Con qué velocidad gira 15 s después de apagarlo?

c) ¿Cuántas vueltas da hasta que se para?

Solución:

Velocidad angular inicial:




SOLUCIONARIO


0

rev 1 min radω 360 · · 2π 37,7 rad/s

min 60 s rev

a) 2t 0ω ω 0 37,7 rad/s

α 1,1 rad/s35 st

b) 20ω ω 37,7 rad / s – 1,1 rad / s · 15 s 22 rad / st

c) 2 2 20

1 1 vuelta37,7 rad / s – 35 s 0,5 · 1,1, rad/s · (35 s) · 105 vueltas

2 2 radt t

32> Un punto material describe una circunferencia de 2,0 m de radio con aceleración constante. En un punto A de la trayectoria la velocidad es de 0,5 m/s y transcurridos 2,0 s la velocidad en otro punto B es 0,75m/s. Calcula:

a) La velocidad angular en A y B.

b) La aceleración tangencial y la aceleración angular de la partícula.

c) La aceleración normal en los puntos A y B.

Solución:

a) Velocidad angular en A y B: A

0,5m/sω = 0,25rad/s

2m

ω = 0,37rad/s

A

BB

v

R

v

R

b) Aceleración tangencial 2t

0,75m/s 0,5m/s0,12m/s

2s

B Av va

t

.

Aceleración angular 20,12 m/sα 0,06rad/s

2m

a

R

c) Aceleración normal en A y B

22

nA

22

nB

0,125m/s

0,28m/s

A

B

va

R

va

R

33> La aceleración centrípeta de una centrifugadora es seis veces el valor de la aceleración de la gravedad. El radio de giro es 0,15 m. Calcula:

a) La velocidad angular en rpm de la centrifugadora.

b) El periodo y la frecuencia de este movimiento.

Solución:

Si an = 6g, resulta que 6 8,82m/sv gR

a) Velocidad angular

22,97m/sω 19,9 rad/s 1 194 rad/min 1,8 10 rpm

0,15m

v

R

b) 2π 6,28rad

0,32sω 19,9rad/s

T

c) Frecuencia 1

3,15vueltas/sfT




SOLUCIONARIO


34> Una fuente tiene el caño a una distancia vertical del suelo de 0,50 m. El chorro del líquido, que sale horizontalmente, da en el suelo a 0,80 m del pie de la vertical. ¿Con qué velocidad sale el agua?

Solución:

El agua tiene dos movimientos independientes:

— Uno horizontal, debido a la presión, x = v t.

— Otro vertical de caída libre, y = y0 + 1/2 g t2.

De la composición de estos dos movimientos resulta el movimiento parabólico que se observa.

Si tomamos el suelo como referencia, se tiene que: y = 0, y0 =

= 0,50 m. Si eliminamos el tiempo en las ecuaciones anteriores, se obtiene la ecuación cartesiana de la trayectoria parabólica:

2

0

1

2

xy y g

v

De donde despejamos la velocidad:

2 2 2

0

9,8 m/s · (0,80 m)2,5 m/s

2 ( ) 2 (0 0,50) m

g xv

y y

35> Un avión vuela horizontalmente a 900 m del suelo con una velocidad constante de 540 km/h. ¿A qué distancia de la vertical sobre un claro de la selva debe lanzar una caja de ayuda humanitaria para que llegue a su destino?

Solución:

La caja, al abandonar el avión, está sometida a dos movimientos: el del avión y el de caída libre:

x = v t, siendo v = 540 km/h = 150 m/s

y = y0 + 1/2 g t2

Si tomamos el suelo como nivel de referencia y0 = 900 m, y = 0 cuando la caja llega al suelo.

Tiempo que tarda en caer:

0 = 900 m – 0,5 · 9,8 m/s2 · t

2

De donde se obtiene que t = 13,6 s

Luego la distancia será:

x = v t = 150 m/s · 13,6 s = 2 040 m

36> El récord mundial de salto de altura vertical está en 2,44m. ¿Cuál debe ser la velocidad mínima del saltador para sobrepasar dicha altura?

Solución:

En el punto más alto v = 0; despejamos la velocidad inicial en la ecuación 2 2

0 2v v gh

22 2 · ( 9,8 m/s ) · 2,44 m 6,92 m/sv g h

37> El récord mundial de salto de longitud está en 8,95 m. ¿Cuál debe ser la velocidad mínima de un saltador, cuya trayectoria forma un ángulo de 45,0° respecto al suelo, para sobrepasar dicha distancia?

Solución:

Se puede considerar un tiro oblicuo de ecuaciones:

x = v0 cos α t

y = v0 sen α t – 1/2 g t2

Cuando vuelve a tocar el suelo se cumple que y = 0.

El tiempo que el saltador está en el aire:




SOLUCIONARIO


02 sen αvt

g

El alcance horizontal será:

2 2 2

0 0 0 00

2 sen α 2 2 sen α cos α sen 2α cos α

v v v vx v

g g g g , para α = 45º

Luego, la velocidad será 2 8,95 m · 9,81 m/s 9,37 m/sv x g

38> Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 500 m/s batiendo un objetivo situado a 1 200 m en la misma horizontal del punto de lanzamiento. Calcula el ángulo de elevación.

Solución:

Las ecuaciones que rigen el movimiento del proyectil son:

20 0

1senα

2y y v t gt para el movimiento vertical y

0 cosαx v t para el movimiento horizontal.

Cuando el proyectil llega al suelo se cumple:

y = y0; x = 1200m.

Si eliminamos el tiempo en el sistema de ecuaciones anterior, se obtiene la ecuación

0 20 0

2

2 2 20

2 senα sen 2αcosα

1 200m 9,8m/ssen 2α

250 000m /s

vx v v

g g

xg

v

De donde = 1,34º

39> Se lanza desde el suelo una pelota bajo un ángulo de 30° con la horizontal y cae en la terraza de un edificio situado a 30 m de distancia. Si la terraza está a una altura de 10 m, calcula la velocidad con que se lanzó.

Solución:

Cuando la pelota llega a la terraza ha experimentado un desplazamiento vertical 0 10my y , y

un desplazamiento horizontal de x0 = 30m. Por tanto se cumple:

20

0

110m senα

2

30m cosα

v t gt

v t

De la solución de este sistema se obtiene v0 = 29m/s.

40> Un motorista asciende por una rampa de 20° y cuando está a 2,0 m sobre el nivel del suelo «vuela» a fin de salvar un río de 10 m de ancho. ¿Con qué velocidad debe despegar si quiere alcanzar la orilla sin mojarse?

Solución:

Se trata de un tiro oblicuo. Por tanto, el movimiento viene dado por el sistema de ecuaciones siguiente:




SOLUCIONARIO


20 0

0

1senα

2

cosα

y y v t gt

x v t

En este caso y0 = 2,0 m; y = 0; x = 10 m; = 20º. Por tanto, las ecuaciones toman la forma:

20

0

12,0m sen20º 9,8

2

10m cos20º

v t t

v t

Resolviendo el sistema obtenemos v0 = 10 m/s, y el tiempo que tarda en cruzar el río t = 1s.

41> Desde la cima de un acantilado se lanza horizontalmente un proyectil y se observa que tarda 3,0 s en tocar el agua en un punto que dista 60 m de la base del acantilado. Calcula:

a) La altura que tiene el acantilado.

b) Con qué velocidad se lanzó el proyectil.

c) Con qué velocidad llega al agua.

Solución:

Si tomamos el punto de lanzamiento como sistema de referencia, se cumple que y0 = 0; y = −h

(siendo h la altura del acantilado); x = 60m; = 0º.

En este caso las ecuaciones de movimiento toman la forma:

2

0

1

2

60m t

h g t

v

a) De la primera ecuación, para t = 3,0s, se obtiene h = 44m

b) De la segunda ecuación se obtiene 0

60m20m/sv

t

c) La velocidad al llegar al agua tiene dos componentes:

20 m/s

29,4 m/s

36 m/s

x

y

v

v gt

v

42> Una bola que rueda sobre una mesa horizontal de 0,90m de altura cae al suelo en un punto situado a una distancia horizontal de 1,5 m del borde de la mesa. ¿Qué velocidad tenía la bola en el momento de abandonar la mesa?

Solución:

Si tomamos el suelo como sistema de referencia se cumple y0 = 0,90 m; y = 0; x = 1,5 m; = 0º. Las ecuaciones que determinan el movimiento de la pelota toman la forma:

2

0

10 0,90m 9,8m/s

2

1,5 t

t

v

De la primera ecuación se obtiene el tiempo que tarda en llegar al suelo, t = 0,428 s.

De la segunda ecuación se obtiene la velocidad con que abandona la mesa, v0 = 3,5m/s

43> Una jugadora de baloncesto pretende realizar una canasta de tres puntos. Para ello lanza la pelota desde una distancia de 6,5 m y a una altura de 1,9 m del suelo. Si la canasta está situada a una altura de 2,5 m como en la figura, ¿con qué velocidad debe realizar el tiro si lo hace con un ángulo de elevación de 30º?




SOLUCIONARIO


Solución:

De la figura se deduce que y0 = 1,9 m; y = 2,5 m; x = 6,5 m; = 30º. Se trata de un tiro oblicuo. Por tanto, el movimiento viene dado por el sistema de ecuaciones siguiente:

20 0

0

1senα

2

cosα

y y v t gt

x v t

Sustituyendo los valores anteriores y resolviendo el sistema se obtiene v0 = 9,3 m/s.

44> Un atleta quiere batir el récord del mundo de lanzamiento de peso, establecido en 23,0 m. Sabe que el alcance máximo se consigue con un ángulo de 45°. Si impulsa el peso desde una altura de 1,75 m, ¿con qué velocidad mínima debe lanzar?

Solución:

Tomamos como referencia el suelo. En este tiro oblicuo, de acuerdo con el sistema de referencia

elegido, se cumple y0 = 1,75 m; y = 0; x = 23,0 m; = 45º. Del sistema de ecuaciones:

20 0

0

1senα

2

cosα

y y v t gt

x v t

se deduce v0 = 14,5 m.

45> Una jugadora de baloncesto tira a la canasta desde un punto situado a 5,50 m de la vertical de la canasta, que está situada a 3,05 m del suelo. Lanza desde una altura de 1,80 m, con un ángulo de 45º. Una jugadora contraria que está situada a 2,0 m delante de la canasta pretende taponar saltando hasta 2,3 m. ¿Logrará impedir la canasta?

Solución:

Impedirá la canasta si la posición y del balón al pasar por la vertical donde salta la segunda jugadora es inferior a 2,3 m. Es decir, si en el sistema de ecuaciones para x = 3,5m, sucede que y < 2,3 m.

En primer lugar, hallamos la velocidad con que debe lanzar el balón para que este alcance la

canasta. Cuando esto ocurre se cumple y0 = 3,05 m; y = 1,8 m; x = 5,5 m; = 45º.




SOLUCIONARIO


Se trata de un tiro oblicuo definido por el sistema de ecuaciones siguiente:

2

00

1tanα

2 cosα

xy y x g

v

Sustituyendo los valores y despejando v0, tenemos que debe lanzar con una velocidad v0 = 8,35 m/s.

Para ver si la segunda jugadora impide la canasta calculamos, en la ecuación de la trayectoria, el valor de y cuando x = 8,35 m.

2

21 3,51,8 m 3,5 1 9,8m/s 3,6m/s 2,3m

2 8,35m/s 0,5y

. Por tanto, no logrará impedir

la canasta.

46> Un alumno intenta encestar en la papelera una bola de papel. Teniendo en cuenta que está sentado a 5,0 m de ella y que la altura de su brazo estirado y vertical sobre el nivel de la boca de la papelera es de 1,5 m. Calcula:

a) La velocidad con que debe lanzar la bola.

b) El ángulo con que incide la bola en la papelera.

Solución:

Se trata de un lanzamiento horizontal. Tomamos como referencia el punto de lanzamiento y como nivel horizontal la boca de la papelera. Por tanto, y0 = 1,5 m; y = 0; x = 5 m.

a) El movimiento de la bola de papel viene determinado por las ecuaciones de tiro horizontal:

20

0

1

2y y gt

x v t

Al eliminar el tiempo obtenemos la ecuación de la trayectoria

2

0 00

1senα

2

xy y v t g

v

De donde se obtiene que v0 = 9 m/s.

b) La velocidad en cualquier instante es tangente a la trayectoria y tiene dos componentes cuyo cociente nos da la pendiente del vector velocidad.

Al llegar a la papelera estas componentes valen:

5,44m/s

9m/s

5,44m/stanα 0,6 α 31º

9m/s

yx

x

y

x

xv gt g

v

v

v

v

47> En un campo de golf un hoyo está situado a 200 m horizontalmente del punto de lanzamiento y a una altitud de 4,0 m. ¿Cuál debe ser el valor de la velocidad y el ángulo de elevación si la pelota cae junto al hoyo 5,0 s después de ser lanzada?

Solución:

Se trata de un tiro oblicuo en donde y0 = 0; y = 4 m; x = 200 m; t = 5s. Si tomamos como sistema de referencia el punto de lanzamiento, las ecuaciones de movimiento son:




SOLUCIONARIO


2 20 0 0

0 0

1 4 1senα senα m/s 9,8m/s 5 25,3m/s

2 5 2

200mx cosα cosα 40m/s

5s

25,3m/stanα 0,63 α 32,3º

40m/s

y y v t gt v

xv t v

t

48> Una pelota de béisbol abandona el bate a una altura de 1,0 m por encima del suelo y con un ángulo de elevación de 45º, con una velocidad tal que el alcance horizontal hubiera sido 100 m. A la distancia de 90 m del punto de lanzamiento se encuentra una valla de 8,0 m de altura. ¿Pasará la pelota por encima de la valla?

Solución:

Se trata de un tiro oblicuo definido por ecuaciones de movimiento:

20 0

0

1senα para el desplazamiento vertical

2

cosα para el desplazamiento horizontal

y y v t gt

x v t

Si tomamos el suelo como sistema de referencia se cumple y = 0 m y0 = 1m; x = 100 m; = 45º.

En el sistema anterior eliminamos el tiempo y calculamos la velocidad de lanzamiento:

0

2

0

100m;

cosα

1 100m0 1 100m tan45º 9,8m/s

2 cosα

tv

v

De donde se deduce que v0 = 31,4m/s.

Pasará la valla si y > 8m, cuando la pelota se haya desplazado una distancia horizontal de x = 90 m.

El tiempo empleado en recorrer esa distancia es

90m4,1s

31,4m/s 0,7t

La posición de la pelota en ese instante es:

221

1m 90m 91m 4,9 4,1s 9m2

y gt

Sí pasará la valla porque y = 9 m > 8 m.



07 Unidad 7. Dinámica

SOLUCIONARIO


Actividades 1> ¿Qué diferencias encuentras entre las ideas de Aristóteles y las de Galileo sobre el movimiento de los cuerpos?

Solución:

Para Aristóteles, la velocidad de caída de los cuerpos depende de su peso, y un cuerpo no se mueve si no actúa sobre él alguna fuerza.

Según Galileo, todos los cuerpos caen con la misma aceleración, y un cuerpo permanece en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme si no actúan fuerzas sobre él.

2> ¿Qué novedades introduce Galileo en el estudio del movimiento de los cuerpos? ¿Por qué se dice que fue él quien estableció los fundamentos de la Dinámica?

Solución:

Empleó la observación y la experimentación para obtener sus conclusiones. Midió espacios y tiempos, en lugar de basarse en principios filosóficos o creencias religiosas; es decir, introdujo el método científico.

3> Determina la expresión vectorial y el módulo de la resultante de las fuerzas F1 (2, 3) y F2

(−3, 0) expresadas en newtons.

Solución:

2 2 2,3 3,0 1,3 (-1) + 3 = 10 NR R

4> Responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Qué entiendes por sistema de referencia inercial? Pon algún ejemplo de sistemas de referencia inerciales y no inerciales.

b) ¿Cuándo un sistema de referencia es no inercial?

Solución:

a) Un sistema de referencia inercial es un sistema libre, es decir, no está sujeto a interacciones. Un sistema es inercial cuando está en reposo o tiene movimiento rectilíneo y uniforme. Un sistema de referencia ligado a un tren que se mueve en línea recta con velocidad constante respecto al suelo es inercial.

b) En caso contrario, es un sistema no inercial. Un sistema de referencia ligado a una piedra que cae libremente no es inercial, porque la piedra cae con movimiento uniformemente acelerado.

5> Responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Qué entiendes por masa inerte?

b) ¿Por qué cuando un coche frena sus ocupantes se van hacia adelante? ¿Realmente actúa alguna fuerza sobre ellos?

Solución:

a) La masa inerte de un cuerpo es la expresión cuantitativa de su inercia.

b) Cuando un coche frena, sus ocupantes se van hacia delante por inercia, tienden a permanecer en movimiento. Ninguna fuerza real actúa sobre ellos.

6> Sobre una partícula de masa m = 500 g, obligada a moverse en el plano Oxy, actúan las fuerzas F1

= i – 2 j y F2

= 2 i + 4 j expresadas en N.

a) ¿Cuál es la expresión vectorial de la fuerza resultante?

b) ¿Cuál es el módulo de la fuerza resultante?

c) ¿Cuál es el vector aceleración de la partícula?




SOLUCIONARIO


d) ¿Cuál es el módulo de la aceleración?

Solución:

a) 1, – 2 2, 4 3, 2 NF

b) 3 23 + 2 3,6NF

c) (3, 2)

= = = (6, 4) N0,5

Fa

m

d) 2 2 2 = 6 + 4 = 7,2 m sa

7> Calcula el peso en kp y en N de los siguientes cuerpos:

a) Un libro de masa m = 850 g.

b) Una mesa de 12,1 kg de masa.

Solución:

a) P = m g = 0,85 kg · 9,81 m s–2

= 8,34 N = 0,85 kp.

b) P = m g = 12,1 kg · 9,81= 118, 7 N = 12,1 kp.

8> Un coche de 1,4 t, que está parado, arranca y alcanza la velocidad de 81 km h–1

después de recorrer 150 m.

a) ¿Cuánto vale su aceleración supuesta constante?

b) ¿Qué fuerza ha ejercido su motor?

Solución:

a) 2 2 1 2

10 - (22 m s ) = = = 1,7 m s

2 300 m

v va

x

b) F = m a = 1 400 kg · 1,7 m s–2

= 2,4 · 103 N.

9> Piensa y responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Por qué los corredores de atletismo apoyan con fuerza sus pies en los tacos de salida?

b) ¿Por qué al golpear en una pared te haces daño en la mano?

Solución:

a) y b) Ley de acción y reacción de Newton.

10> Un ascensor que transporta un pasajero de 70 kg de masa se mueve con una velocidad de régimen constante, y al arrancar o detenerse lo hace con una aceleración de 1,4 m s

–2. Calcula la fuerza que ejerce el pasajero sobre el piso del ascensor en los

siguientes casos:

a) El ascensor arranca para subir.

b) El ascensor frena y se detiene en la subida.

c) El ascensor desciende a velocidad constante.

Solución:

a) F = P + m a = m (g + a) = 70 kg · (9,8 + 1,4) m s–2

= 7,8 · 102 N.

b) F = m (g – a) = 70 kg · (9,8 – 1,4) m s–2

= 5,9 · 102 N.

c) F = P = m g = 70 kg · 9,8 m s–2

= 6,9 · 102 N.

11> Dos imanes de masas una doble que la otra se repelen mutuamente.




SOLUCIONARIO


a) ¿Qué puedes decir acerca de la fuerza que actúa sobre cada uno de los imanes?

b) Enuncia el principio en que te basas para responder la pregunta anterior.

c) Al dejarlos en libertad, ¿cuál se moverá con mayor aceleración?

Solución:

a), b) Según el principio de acción y reacción, el módulo de la fuerza que actúa sobre los dos imanes es el mismo.

c) Se mueve con mayor aceleración el imán que tiene menor masa.

12> Un cuerpo de 10 kg de masa se encuentra apoyado sobre un plano horizontal. En el sentido del semieje positivo Ox actúa una fuerza horizontal de 80 N y en sentido opuesto otra fuerza horizontal de 40 N.

a) Haz un esquema con todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

b) Calcula el peso del cuerpo y la reacción normal del plano.

c) ¿Cuál es el valor de la aceleración?

Solución:

a) El alumno ha de realizar un plano en el que figuren todas las fuerzas, incluidas la fuerza de gravedad y la normal.

b) P = m g = 10 kg · 9,81 m s–2

= 98,1 N; N = 98,1 N

c) = F

am

; 280 N 40 N

= = 4,0, m s10 kg

a

13> Contesta a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuáles son las unidades del coeficiente de rozamiento?

b) ¿Puede ser mayor que la unidad?

Solución:

a) El coeficiente de rozamiento es adimensional, no tiene unidades.

b) Sí, puede ser mayor que la unidad.

14> Determina el valor de todas las fuerzas que actúan sobre un bloque de 12 kg de masa apoyado sobre una superficie horizontal. Si se le empuja con una fuerza horizontal de 75

N, ¿qué distancia recorre el bloque en 4,0 s partiendo del reposo? Dato: μc = 0,42.

Solución:

P = m g = 12 kg · 9,8 m s–2

= 117,6 N

Fr = μ P = 0,42 · 117,6 N = 49,4 N

2r - 75 N - 49,4 N = = = 2,13 m s

12 kg

F Fa

m

2 2 21 1 = = · 2,13 m s · (4 s) = 17 m

2 2x a t

15> Calcula la aceleración con que desciende un cuerpo al deslizarse por un plano inclinado 25° sobre la horizontal si el coeficiente de rozamiento cinético entre ambos es

μc = 0,350.

Solución:

a = g sen α – μ g cos α = g (sen α – μ cos α) = 9,8 m s–2

· (sen 25° – 0,35 · cos 25°)

a = 1,03 m s–2

16> Responde a las siguientes cuestiones:




SOLUCIONARIO


a) Describe cómo determinarías experimentalmente el coeficiente estático de rozamiento entre dos superficies.

b) ¿Depende la fuerza de rozamiento de la superficie aparente de contacto?

Solución:

a) Mediante un plano inclinado. Determinando el ángulo mínimo necesario (α) para iniciar el

deslizamiento: μe = tg α.

b) La fuerza de rozamiento no depende del área de contacto aparente entre dos superficies, porque realmente solo una pequeña fracción de la superficie entra en contacto real.

17> Un cuerpo de 5,40 kg está situado sobre un plano inclinado 20° sobre la horizontal. El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y el plano es me = 0,400.

a) ¿Desciende el bloque por el plano?

b) ¿Cuál es el ángulo mínimo a partir del cual se inicia el movimiento?

Solución:

a) Px = m g sen α = 5,4 kg · 9,8 m s–2

· sen 20° = 18,1 N

Fr = μ m g cos α = 0,40 · 5,4 kg · 9,8 m s–2

· cos 20° = 19,9 N

No desciende.

b) tg α = μe; tg α = 0,40; α = 21,8°

18> Calcula la fuerza gravitatoria con la que se atraen dos neutrones situados en el núcleo de un átomo a una distancia de 1,10 · 10

–15 m. La masa del neutrón es mn = 1,67 · 10

–24 g.

Solución:

2 11 2 2 27 2–34

2 15 2

6,67 · 10 N m kg · (1,67 · 10 kg) = G = 1,54 · 10 N

(1,1 · 10 m)

mF

R

19> Sabiendo que el periodo de revolución lunar es de 27,32 días y que el radio de la órbita es rL = 3,84 · 10

8 m, calcula:

a) La constante de gravitación universal, G.

b) La fuerza que la Luna ejerce sobre la Tierra y la de la Tierra sobre la Luna.

c) Si un satélite se sitúa entre la Tierra y la Luna a una distancia de la Tierra de RL/4. ¿Cuál es la relación de fuerzas debidas a la Tierra y a la Luna.

Datos: MT = 5,98 · 1024

kg; ML = 7,35 · 1022

kg.

Solución:

a) La fuerza de atracción gravitatoria de la Tierra sobre la Luna es la fuerza centrípeta necesaria para que la Luna gire:

2T LL L2

L

G = ω

M MM R

R ;

2 3 2 3

L L

2

T T

ω 4πG =

R R

M T M

FG = FC

2 8 3–11 2 –2

2 24

4 · 3,14 · (3,84 · 10 )G 6,69 · 10 N m kg

(27,32 · 24 · 3 600) · 5,98 · 10

b) Las fuerzas entre la Tierra y la Luna son iguales y opuestas:

-11 24 2220T L

2 2 16

L

G 6,69 · 10 · 5,98 · 10 · 7,35 · 10 = 1,99 · 10 N

3,84 ·

10

M MF

R

c) Si un satélite se encuentra a una distancia L

4

R de la Tierra, cuando estén alineados la Tierra,




SOLUCIONARIO


el satélite y la Luna, la relación de fuerzas gravitatorias entre la Tierra y la Luna con el satélite será:

TT

2

( )4

s

L

G M mF

R

; L

L2L

3 ( )

4

sG M mF

R

24

T T

22

L L

5,98 · 10 kg 9 9

7,35 · 10 kg

F M

F M ; T L= 73 2 F F

20> Calcula el peso que tendrá una persona de 68,0 kg situada a una altura de 400 km sobre la superficie terrestre.

Datos: RT = 6 380 km, g = 9,81 m s–2

.

Solución:

2 6 2-2T

h 0 2 6 2

T

(6,38 · 10 )= = 9,81 · = 8,69 m s

(R ) (6,78 · 10 )

Rg g

h

Peso: P = m g = 68 kg · 8,69 m s–2

= 591 N

21> La distancia media Tierra-Sol es 1,50 · 108 km. Calcula la masa del Sol.

Datos: G = 6,67 · 10–11

N m2 kg

–2; MT = 5,98 · 10

24 kg.

Solución:

La Tierra tarda un año en dar una vuelta alrededor del Sol; por tanto, su periodo de revolución es:

T = 365 días ·86 400 segundos/1 día = 365 · 86 400 s.

En el movimiento de giro de la Tierra alrededor del Sol, la fuerza centrípeta es igual a la fuerza gravitatoria existente entre el Sol y la Tierra. Igualando ambos valores, podemos obtener la masa del Sol (M) en función de la distancia entre ambos astros (R) y la velocidad lineal de la Tierra (v), siendo m la masa de la Tierra:

2

2

m v G M m

R R ;

2 v RM

G

El valor de v lo obtenemos a partir del valor del periodo de rotación de la Tierra y de la relación entre velocidad lineal y velocidad angular:

2πω v R R

T ;

2 22

2

4π Rv

T

Introduciendo este valor en la fórmula anterior de la masa del Sol, resulta:

2 3 2 11 330

2 11 2 2 2

4π 4π (1,5 · 10 m)2 · 10 kg

6,67 · 10 N m kg · (365 · 86 400 s)

RM

G T

22> Al colgar un cuerpo de masa m = 1,40 kg de sendos muelles se observa que los alargamientos que se producen son 4,20 cm y 19,0 cm, respectivamente. ¿Cuál es el valor de la constante elástica de cada muelle?

Solución:

-2 -2-1 -11,40 kg · 9,81 m s 1,40 kg · 9,81 m s

= 327 N m = 72,3 N mΔ 0,042 m 0,19 m

Fk k

x

23> Un muelle de acero se alarga 2,40 cm al colgarle un bloque de 5,00 kg.

a) ¿Cuál es el valor de la fuerza deformadora?

b) ¿Cuál es su constante elástica?

c) ¿Cuánto se alargaría al colgarle un cuerpo de 12,0 kg?




SOLUCIONARIO


a) F = P = m g = 5 kg · 9,8 m s–2

= 49 N

b) 3 149 N

= = = 2,04 · 10 N mΔ 0,024 m

Fk

x

c) 1

3 1

12 kg · 9,8 m sΔ = = = 0,059 m = 5,9 cm

2 · 10 N m

Fx

k


a) Describe la constitución de un dinamómetro.

b) Basándote en la ley de Hooke, explica su funcionamiento.

Solución:

a) Es un muelle que consta de un índice que marca sobre una escala graduada.

b) El alargamiento del muelle del dinamómetro es proporcional a la fuerza deformadora. Una vez calibrado, permite medir la fuerza que lo deforma.

25> ¿De qué factores depende la velocidad máxima con que un vehículo puede tomar una curva horizontal sin patinar?

Solución:

Depende del coeficiente de rozamiento de los neumáticos con el suelo y del radio de la curva:

= μ v g R

26> Una bola de masa m = 180 g describe una circunferencia sobre una mesa horizontal, sin rozamiento, atada a una cuerda de 1,20 m de longitud y mantiene siempre una velocidad de 6,40 m s

–1. Calcula la tensión de la cuerda y la fuerza centrípeta.

Solución:

22 0,18 kg · (6,40 )

6 ,14 N

1,20 mc

mm v sT F

R

27> Se hace girar en un plano vertical una piedra de masa m = 50 g mediante una cuerda de 50 cm de longitud, dando 120 vueltas por minuto. Calcula:

a) La tensión de la cuerda cuando la piedra está en el punto más alto de la trayectoria.

b) La tensión de la cuerda cuando la piedra está en el punto más bajo.

Solución:

a)

2

2 –2

c 1 1 c

1

rad– ω – 0,05 kg· 4 π 0,5 m – 0,05 kg·9,8 ms

s

3,46 N

F P T T F P m R m g

T

b) T2 = Fc + P = 3,95 N + 0,49 N = 4,44 N

28> Un rifle de masa 4,5 kg dispara una bala de 20 g con una velocidad de 220 m s–1

. ¿Con qué velocidad retrocede el rifle?

Solución:

11b b

r

r

0,02 kg · 220 m s = = = 0,98 m s

4,5 kg

m vv

m

29> Dos vagones de ferrocarril de masas 4 · 104

y 3 · 104 kg ruedan en la misma dirección y

sentido. El vagón menos pesado rueda delante, moviéndose con una velocidad de 0,5 m/s,




SOLUCIONARIO


mientras que el más pesado se mueve a 1 m/s. Llega un momento que chocan y se acoplan. Calcula:

a) La cantidad de movimiento o momento lineal total del sistema antes y después del choque.

b) La velocidad con que se mueven los vagones después del choque.

Solución:

a) Como se trata de un sistema aislado, no sometido a fuerzas exteriores, el momento lineal se mantiene constante; por tanto, su valor es el mismo antes y después del choque:

p = m1 v1 + m2 v2 = 4 · 104 kg · 1 m s

–1 + 3 · 10

4 kg · 0,5 m s

–1 = 5,5 · 10

4 kg m s

–1

b) Como los dos vagones se acoplan después del choque, su velocidad es la misma:

p = (m1 + m2) v’ ;

4 11

4 4

1 2

5,5 · 10 kg m s' 0,79 m s

4 · 10 kg + 3 · 10 kg

pv

m m

30> Una bola de 20 g de masa rueda a 10 m s–1

hacia una bola de 120 g de masa que se encuentra parada. Después del choque, la primera bola rebota con una velocidad de 1,5 m s

–1.

a) ¿Qué velocidad adquiere la segunda bola?

b) ¿En qué dirección y sentido se mueve la segunda bola después del choque?

Solución:

a) m1 v1 + m2 v2 = m1 v’1 + m2 v’2

0,02 kg · 10 m s–1

+ 0,12 kg · 0 = 0,02 kg · (– 1,5 m s–1

) + 0,12 kg · v’2 v’2 = 1,9 m s–1

b) La segunda bola se mueve en la dirección y sentido que tenía la primera bola antes del choque.

Ciencia, tecnología y sociedad 1> ¿En qué leyes fundamentales se basa la propulsión de los cohetes?

Solución:

La propulsión de cohetes se basa en la Tercera ley de Newton y en el Principio de conservación del momento lineal.

2> ¿Por qué los cohetes que operan fuera de la atmósfera deben transportar el combustible y el comburente?

Solución:

Porque fuera de la atmósfera no hay oxígeno.

3> Consultando la bibliografía adecuada e Internet, responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Qué pasa si un cohete no alcanza la velocidad de escape?

b) ¿Cuál es la velocidad de escape en la Luna y en otros planetas?

c) ¿Existe alguna relación entre la velocidad de escape y la existencia de atmósfera en los planetas?

Solución:

a) El cuerpo queda ligado al campo gravitatorio terrestre.

b) Algunas velocidades de escape: Luna: 2,3 km/s; Venus: 10,3 km/s; Marte: 5,0 km/s; Júpiter: 60 km/s; Saturno: 36 km/s, etc.

c) Si la velocidad de escape no es elevada, las moléculas más ligeras escapan de la atracción




SOLUCIONARIO


gravitatoria. La Tierra no tiene en su atmósfera moléculas de hidrógeno o de helio; en cambio, las moléculas más pesadas de oxígeno o nitrógeno no pueden escapar. La Luna no tiene atmósfera, Júpiter retiene al hidrógeno en su atmósfera.

Experiencia de laboratorio 1> ¿Por qué el líquido del nivel se queda atrás y la burbuja de aire, por tanto, se mueve en el sentido del desplazamiento? ¿El movimiento de la burbuja indica el sentido de la aceleración del nivel? ¿Qué sucedería si empujaras un recipiente inmóvil con agua?

Solución:

Por inercia el líquido se queda atrás y la burbuja de aire delante; por tanto, el movimiento de la burbuja indica el sentido de la aceleración del nivel. El agua se derrama en una vasija abierta.

2> ¿Por qué se desplaza la tarjeta? ¿Por qué la moneda no se desplaza horizontalmente y cae al vaso?

Solución:

La tarjeta se desplaza al aplicarle una fuerza. La moneda no se desplaza por inercia y cae al vaso.

3> ¿Por qué el vaso del apartado c) no se desplaza y permanece en su posición?

Solución:

Por inercia.

4> ¿Por qué se rompe la cuerda? ¿Por qué no se rompe en el primer caso? ¿Influye el impulso mecánico en las experiencias realizadas?

Solución:

Con un impulso grande se rompe la cuerda.

5> Enuncia las leyes de Newton que intervienen en estas experiencias.

Solución:

Primera y segunda leyes de Newton de la Dinámica.

Problemas propuestos 1> ¿Por qué te desplazas hacia delante cuando el autobús en el que viajas frena bruscamente?

Solución:

Según el principio de inercia, tiendes a mantener tu movimiento.

2> ¿Por qué no se anulan entre sí las fuerzas de acción y reacción si siempre son iguales y de sentido contrario?

Solución:

Se aplican en cuerpos distintos.

3> Dos imanes se repelen mutuamente. Si la masa de uno es menor que la del otro, ¿cuál experimenta una fuerza mayor? ¿Cuál de los tendrá mayor aceleración?

Solución:




SOLUCIONARIO


La fuerza es igual y opuesta en uno y en otro (acción y reacción). Se mueve con mayor velocidad el imán que tiene menos masa, porque tiene más aceleración.

4> Calcula la fuerza que ejerce sobre el piso del ascensor un hombre de 70 kg de masa:

a) Cuando está en reposo.

b) Cuando asciende a 1,0 m s–2

.

c) Cuando asciende a 5,0 m s–1

.

d) Cuando desciende a 2,0 m s–2

.

Solución:

a) F = P = m g = 70 kg · 9,8 m s–2

= 6,9 · 102 N

b) F = P + m a = m (g + a) = 70 kg (9,8 + 1) m s–2

= 7,6 · 102 N

c) F = P = 6,9 · 102 N

d) F = m (g – a) = 70 kg (9,8 – 2) m s–2

= 5,5 · 102 N

5> Sobre el cuerpo de la Figura 7.41, cuya masa es m = 5,0 kg, actúan las fuerzas que se indican. Calcula:

a) El peso del cuerpo.

b) La reacción normal N.

c) La aceleración del cuerpo.

Solución:

a) P = m g = 5 kg · 9,8 m s–2

= 49 N

b) N = P = 49 N

c) 240 N - 20 N

= = = 4 m s5 kg

Fa

m

6> Un avión de 90 t que está parado arranca y alcanza la velocidad de despegue, 144 km h

–1, tras recorrer 1,6 km por la pista. ¿Qué fuerza, supuesta constante, han ejercido

sus motores?

Solución:

2 2 1 220 (40 m s ) - 0

= = = 0,5 m s2 2 · 1 600 m

v va

x

F = m a = 90 · 103 kg · 0,5 m s

–2 = 4,5 · 10

4 N

7> Una misma fuerza F se aplica a dos cuerpos diferentes de masas m1

y m2. El

primero adquiere una aceleración de 8,0 m s–2

y el segundo de 12 m s–2

. ¿Qué relación existe entre las masas m

1 y m

2?

Solución:




SOLUCIONARIO


m1 a1 = m2 a2 ; -2

1 2

-2

2 1

12 m s = 1,5

8 m s

m a

m a ; m1 = 1,5 m2

8> Un automóvil ejerce una fuerza de tracción de 120 kp y arrastra un remolque con un cable. El automóvil tiene una masa de 800 kg y el remolque 1 000 kg. Si se desprecian los rozamientos, calcula:

a) La aceleración del movimiento.

b) La tensión de la cuerda.

c) La velocidad del conjunto cuando, habiendo partido del reposo, haya recorrido 20 m.

Solución:

a)

11

1 2

120 kp · 9,8 N · kp = = = 0,65 m s

1 800 kg

Fa

m m

b) T = m a = 1 000 kg · 0,65 m s–2

= 650 N

c) 2 1 = 2 = 2 · 0,65 m s · 20 m = 5,1 m sv a s

9> Un carpintero clava un clavo con un martillo de 3,00 kg de masa. La velocidad del martillo en el momento del impacto con el clavo es de 5,00 m/s. Si el clavo se hunde 6,00 mm en la madera, ¿qué fuerza (suponiendo que es constante) opone la madera al movimiento del clavo?

Solución:

2 2 -22 2 3 -20

0

25 m s - = -2,08 · 10 m s

2 2 · 0,0

+ 2

m

06 ax

vv v a

x

F = m a = 3,0 kg · (–2,08 · 103 m s

–2) = –6,24 · 10

3 N

10> Un bloque de masa m = 6,0 kg se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal lisa. Al actuar sobre él una fuerza constante le comunica una aceleración de 8,5 m s

–2. Calcula el valor de la fuerza:

a) Si es paralela a la superficie.

b) Si forma un ángulo de 30º con la horizontal.

Solución:

a) F = m a = 6 kg · 8,5 m s–2

= 51 N

b) Fx = m a = F cos α

1 6 kg · 8,5 m s = = = 59 N

cos α cos 30 º

m aF

11> Dos cuerpos de 400 y 500 g, respectivamente, cuelgan de los extremos de una cuerda inextensible y de masa despreciable que pasa por una polea que suponemos no influye en el problema (máquina de Atwood). ¿Con qué aceleración se moverán? ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

Solución:

221 2 1 2

1 2 1 2

( ) (0,5 kg - 0,4 kg) 9,8 m s = = = = 1,09 m s

0,9 kg

P P m m ga

m m m m

T – m2 g = m2 a

T = 0,4 kg · (9,8 + 1,09) m s–2

= 4,36 N




SOLUCIONARIO


12> Las masas de los cuerpos A y B de la Figura 7.42 son 0,30 kg y 0,20 kg, respectivamente. Considerando que no existen rozamientos, que la cuerda es inextensible y de masa despreciable y que la polea no influye en el movimiento, calcula:

a) La aceleración del sistema.


Solución:

a)

22B

A B

0,2 kg · 9,8 m s = = = 3,9 m s

0,5 kg

m ga

m m

b) PB – T = mB a

T = PB – mB a = mB (g – a) = 0,2 kg · (9,8 – 3,9) m s–2

= 1,2 N

13> Los bloques m1

= 2,0 kg y m2

= 3,0 kg de la Figura 7.43 se apoyan sobre una superficie horizontal sin rozamiento. La fuerza F = 20 N empuja al conjunto de los bloques que están en contacto. Calcula la aceleración del conjunto y las fuerzas de acción y reacción entre los bloques.

Solución:

2

1 2

20 N = = = 4 m s

5 kg

Fa

m m

F – T = m1 a

T = F – m1 a = 20 N – 2 kg · 4 m s–2

= 12 N

T = m2 a = 3 kg · 4 m s–2

= 12 N

14> Un cuerpo de masa m = 3,0 kg está situado sobre un plano inclinado 30º sobre la horizontal sin rozamientos.

a) Dibuja un diagrama con todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

b) ¿Con qué aceleración desciende por el plano?

Solución:




SOLUCIONARIO


a) El alumno ha de realizar un boceto que incluya todas las fuerzas.

b) 2 2x sen 30 º = = = = · sen 30 º = 9,8 m s · 0,5 = 4,9 m s

PF m ga g

m m m

15> Tenemos un niño sentado en un trineo en una pendiente cubierta de nieve. No se desliza, pero empujando con los pies consigue poner en movimiento el trineo, y a partir de ese momento, y sin ayuda por parte del niño, desciende, aumentando continuamente su velocidad. ¿Podrías dar una explicación de lo sucedido?

Solución:

El coeficiente de rozamiento cinético es menor que el coeficiente de rozamiento estático.

16> ¿Puede existir fuerza de rozamiento sobre un objeto en el que la suma de todas las demás fuerzas sea nula? Pon un ejemplo.

Solución:

Sí. Un cuerpo lanzado con una determinada velocidad inicial que se desliza sobre un plano horizontal.

17> Para arrastrar con velocidad constante un piano de 140 kg de masa sobre un suelo horizontal hay que realizar una fuerza de 650 N. Calcula el coeficiente de rozamiento.

Solución:

F = Fr = μ m g; 650 N = μ · 140 kg · 9,8 m s–2

; μ = 0,47

18> Un plano inclinado forma un ángulo de 40º sobre la horizontal. En la parte más alta se abandona un cuerpo para que baje deslizándose. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático es 0,50, averigua si se deslizará.

Solución:

Descenderá si Px > Fr; m g sen α > μ m g cos α; tg α > μ; tg α > 0,5

Como tg 40° = 0,84 > 0,5, descenderá.

19> Una atracción de feria consiste en lanzar un trineo de 2,0 kg por una rampa ascendente que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento es 0,15, ¿con qué velocidad se debe lanzar para que ascienda una altura de 4 m?

Solución:

x r

2

–2

1 1

0

sen α μ m cos α = = = (sen α + μ cos α) =

= 9,8 m s · (sen 30 º + 0,15 · cos 30 º)

6,17 ms ;

= 2 = 2 · ( 6,17 m s ) · 4 m = 7,0 m s

P F m g ga g

m m

a

v a x

20> Un cuerpo de 50 kg está en reposo sobre una superficie horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento vale 0,20 y el estático 0,50. Calcula:

a) La fuerza de rozamiento entre el cuerpo y la superficie.

b) La fuerza mínima necesaria para iniciar el movimiento.

c) ¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento si la fuerza horizontal aplicada es de 40 kp? En este caso, ¿cuánto vale la aceleración?

Solución:

a) El cuerpo está en reposo y no se ejerce ninguna fuerza sobre él: Fr = 0

b) F = Fr = μe m g = 0,50 · 50 kg · 9,8 m s–2

= 245 N




SOLUCIONARIO


c) Como F = 40 kp · 9,8 m s–2

= 392 N, que es mayor que 245 N, el cuerpo llevará un MRUA, y entonces:

Fr = μe m g = 0,2 · 50 kg · 9,8 m s–2

= 98 N

2r 40 · 9,8 N - 98 N = = = 5,9 m s

50 kg

F Fa

m

21> Por un plano inclinado 30º sobre la horizontal se lanza hacia arriba un cuerpo de 5,0 kg con una velocidad de 10 m s

–1, siendo el coeficiente de rozamiento cinético entre el

cuerpo y el plano 0,20.

a) ¿Cuál será la aceleración de su movimiento.

b) ¿Qué espacio recorre hasta que se detiene?

c) ¿Qué tiempo tarda en detenerse?

Solución:

a)

x r

-2 2

sen α μ m cos α = = = (sen α + μ cos α) =

9,8 m s · (sen 30 º 0,2 · cos 30 º ) 6,6m s

P F m g ga g

t m

b)

2 2 1 2

0

2

0 (10 m s ) = = = 7,6 m

2 2 · (-6,6 m s )

v vx

a

c) 1

0

2

0 (10 m s ) = = = 1,5 s

6,6 m s

v vt

a

22> Dos cuerpos m1 = 2,0 kg y m2 = 3,0 kg están unidos por una cuerda de masa despreciable, según se representa en la Figura 7.44. Si los respectivos coeficientes de rozamiento son 0,20 y 0,40, calcula:

a) La aceleración del sistema.


Solución:

a)

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

2 2

2

sen α sen α μ cos α μ cos α = =

2 kg · 9,8 m s · sen 30 º + 3 kg · 9,8 m s · sen 30 º

5 kg

0,2 · 2 kg · 9,8 m s · cos 30 º 0,4 · 3 kg · 9,8

x x y yP P F F m g m g m g m ga

m m m m

22m s · cos 30 º

= 2,18 m s5 kg




SOLUCIONARIO


b) T + m2 g sen α – μ2 m2 g cos α = m2 a

T = m2 a + μ2 m2 g cos α – m2 g sen α

T = 3 kg · 2,18 m s–2

+ 0,4 · 3 kg · 9,8 m s–2

· cos 30° – 3 kg · 9,8 m s–2

· sen 30° = 2,02 N

23> Un bloque de madera de 3,0 kg está situado sobre un plano inclinado 5º sobre la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,50. ¿Con qué velocidad descenderá el bloque por el plano a los 5,0 s de iniciado el movimiento? ¿Te da una velocidad negativa?

Solución:

Px = m g sen α = 3 kg · 9,8 m s–2

sen 5° = 2,6 N

Fr máx = μ m g cos α = 0,5 · 3 kg · 9,8 m s–2

· cos 5° = 14,6 N;

Fr = 2,6 N

No desciende. El valor de la fuerza de rozamiento es igual al de Px, no puede ser mayor.

24> Calcula la fuerza de atracción existente entre dos camiones de 30 t y 24 t que se encuentran aparcados uno al lado del otro a una distancia de 4,0 m. ¿Es mayor o menor que el peso de un filete de ternera de 0,12 kg?

Solución:

-11 2 -2 4 4 31 2

2 2

6,67 · 10 N m kg · 3 · 10 kg · 2,4 · 10 kg 3 · 1 0 N

(

4 m

)

m mF G

d

P = m g = 0,125 kg · 9,8 m s–2

= 1,2, N ; F < P

25> Si tu masa es de 60 kg y te encuentras en la superficie terrestre:

a) ¿Con qué fuerza te atrae la Tierra? ¿Con qué fuerza atraes tú a la Tierra?

b) ¿Qué aceleración te comunica a ti dicha fuerza? ¿Qué aceleración le comunica esa misma fuerza a la Tierra?

c) ¿Te resulta familiar alguno de los valores obtenidos?

Datos: MT = 6 · 1024

kg; RT = 6 370 km.

Solución:

a) F = P = 60 kp = 60 kg · 9,81 m s–2

= 5,89 · 102 N

b) 2589 N

= 9,81 m s60 kg

Fa

m

; 23 2

T 24

T

589 N 9,81· 10 m s

6 · 10 kg

Fa

M

c) La aceleración de la persona es la aceleración de la gravedad terrestre.

26> ¿A qué altura sobre la Tierra debe encontrarse una nave espacial para que el valor de la aceleración de la gravedad sea 9,00 m s

–2?

Datos: MT = 5,98 · 1024

kg; RT = 6 380 km.

Solución:

2T 0T

h 0 T2

T h

= =

( )

R gRg g h R

R h g

6 25

T2

6,38 · 10 m · 9,8 m s = = 2,77 · 10 m = 277 km

9 m sh R

27> Calcula la fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y un astronauta, que con el traje espacial tiene una masa de 120 kg, que se encuentre a 20 000 km de la superficie de la Tierra. ¿Cuál es el valor de g a esa altura?




SOLUCIONARIO


Datos: MT = 5,98 · 1024

kg; RT = 6 380 km.

Solución:

11 2 2 24

1 2n 2 6 2

T

6,67 · 10 kg 5,98 · 10 kg · 120 kg = = 68,8 N

( ) (26,38 · 10 m)

G m m N mF

R h

28> ¿Cuál es la masa y el peso de un cuerpo de 40,0 kg en la Tierra y en la Luna?

Datos: MT = 5,98 · 1024

kg; ML = 7,35 · 1022

kg; RT = 6 380 km; RL = 1 740 km.

Solución:

mT = mL = 40 kg

11 2 2 242T

T 2 6 2

T

6,67 · 10 N m kg · 5,98 · 10 kg = = = 9,8 m s

(6,38 · 10 m)

G mg

R

11 2 2 222L

L 2 6 2

L

6,67 · 10 N m kg · 7,35 · 10 kg = = = 1,62 m s

(1,74 · 10 m)

G mg

R

PT = m gT = 40 kg · 9,8 m s–2

= 392 N

PL = m gL = 40 kg · 1,62 m s–2

= 64,8 N

29> Un planeta esférico tiene un radio de 3 000 km y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6,00 m/s

2. ¿Cuál es su densidad media?

Datos: G = 6,67 · 10–11

N m2 kg

–2.

Solución:

Como el peso de un cuerpo es la fuerza con que el planeta lo atrae, al igualar la fuerza gravitatoria con el peso se obtiene el valor de la aceleración de la gravedad en el planeta, y de ahí la masa del planeta:

2 2 6 223

2 2 11 2 2

6 m s · (3 · 10 m) ; ; 8,1 · 10 kg

6,67 · 10 N m kg

G M m G M g Rm g g M

GR R

La densidad del planeta es el cociente entre su masa y su volumen 34

π 3

R

233 3

6 3

8,1 · 10 kg7,16 · 10 kg m

4π · (3 · 10 m)

3

Md

V

30> El muelle de un dinamómetro se alarga 3,00 cm al colgarle una masa de 100 g. ¿Cuál es su constante elástica?

Solución:

210,1 kg · 9,8 m s

= = = 32,7 N mΔ 0,03 m

Fk

x

31> La longitud de un muelle aumenta 1,00 cm cuando se cuelga de él un objeto A de 1,50 kg de masa.

a) ¿Cuál es la constante elástica del muelle?

b) Cuando se cuelga otro objeto B del muelle, este se alarga 3,00 cm, ¿cuál es la masa de B?

Solución:

a) 2

11,5 kg · 9,8 m s = = = 1 470 N m

Δ 0,01 m

F Pk

g x




SOLUCIONARIO


b) 1 2

2

Δ 1 470 N m · 3 · 10 m = = = 4,5 kg

9,8 m s

k xm

g

32> El sistema de suspensión de un coche incluye cuatro muelles iguales entre los que se distribuye, de manera uniforme, el peso total del vehículo. La deformación máxima proyectada es de 10 cm, y la masa total del coche a plena carga es de 1,5 t. Si el fabricante introduce un margen de seguridad del 20%, ¿cuál debe ser la constante elástica de los muelles?

Solución:

P = m g = 1,5 · 103 kg · 9,81 m s

–2 = 1,47 · 10

4 N

Como el peso se distribuye en cuatro muelles, la fuerza que soporta cada uno es:

1,47 · 104 N/4 = 3,67 · 10

3 N

3 4 -13,67 · 10

= 3,67 · 10 N mΔ 0,1 m

F

kx

Valor que hay que aumentar en un 20%: k = 1,20 · 3,67 · 104 N m

–1 = 4,40 · 10

4 N m

–1

33> El bloque de la Figura 7.45 de 7,0 kg de masa está apoyado sobre un plano inclinado 60º sobre la horizontal y sujeto por un resorte que sufre un alargamiento de 16,4 cm. ¿Cuál es la constante elástica del muelle?

Px = k Δx; m g sen α = k Δx;

22 1 sen α 7 kg · 9,8 m s sen 60 º

= = = 3,6 · 10 N mΔ 0,164 m

m gk

x

34> Un automóvil de 1 500 kg de masa se mueve en un tramo recto con una velocidad de 90,0 km/h e inicia una curva, permaneciendo el trazado horizontal, cuyo radio de curvatura es R = 60,0 m, y manteniendo siempre la misma velocidad tangencial v. Determina la dirección, el sentido y el valor de la fuerza que el asfalto ejerce sobre el automóvil durante el recorrido por la curva.

Solución:

La fuerza centrípeta responsable del movimiento circular es en este caso la fuerza de rozamiento de las ruedas del automóvil con el asfalto.

La dirección de la fuerza centrípeta es perpendicular a la trayectoria circular de la curva y se dirige hacia el centro de la curva. Su valor es:

2 1 24 1 500 kg · (25 m s )

1,56 · 10 N60 m

m vF

R




SOLUCIONARIO


35> Un ciclista toma la curva de un velódromo de 40 m de diámetro con una velocidad de 40 km h

–1. Suponiendo que el rozamiento entre las ruedas y el suelo es

despreciable, calcula el ángulo de peralte para que el ciclista no se salga de la pista.

Solución:

2 1 2

2

(11,11 m s )tg α = = = 0,630 α=32º

20 m · 9,8 m s

v

R g

36> Un vehículo de 100 kg describe una curva de 20 m de radio. El coeficiente de rozamiento del vehículo con el suelo es 0,20. Determina:

a) Si el suelo fuese horizontal, ¿cuál sería la velocidad máxima que podría llevar el vehículo para que no se deslizase lateralmente?

b) Si no hubiese rozamiento, ¿cuál habría de ser el peralte de la curva para que a esa velocidad no se deslizase lateralmente?

Solución:

a) -2 1 0,2 · 9,8 m s · 20 m = 6,3 m sv µgR

b) 2 1 2

2

(6,3 m s )tanα α 11,5º

20 m · 9,8 m s

v

Rg

37> Un cuerpo de 2,0 kg de masa se encuentra sujeto al extremo de una cuerda de 100 cm de longitud, y al girar verticalmente describiendo una circunferencia cuando pasa por el punto más bajo, la tensión vale 100 N. Si en ese momento se rompe la cuerda:

a) ¿Con qué velocidad saldrá despedido el cuerpo?

b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda en el punto más alto?

Solución:

a) 2 2

1 100 N · 1 m 2 kg · 9,8 m s 1 m = ; = = 6,34 m s

2 kg

m v T R m g RT m g v

R m

b) La velocidad en el punto más alto es:

2 1 2 1 1

1 0 = 2 g · 2 = (6,34 m s ) 2 · 9,8 m s · 2 m 1 m sv v R

En el punto más alto: Fc = T + m g; por tanto, como máximo:

2

2c 2

= ; = ; =

m vF m g m g v R g

R

2 1

2 = 1 m · 9,8 m s 3,13 m sv

Como v1 < v2, el cuerpo no describe la circunferencia: T = 0.

38> La Tierra describe una órbita, que puede considerarse circular, alrededor del Sol y tarda un año en dar una vuelta. Suponiendo que el movimiento es circular uniforme, ¿qué fuerza origina el movimiento de la Tierra?

Datos: MT = 5,98 · 1024

kg; distancia de la Tierra al Sol = 149,6 · 106 km.

Solución:

7 12 π rad

= 1,99 · 10 rad s365 · 24 · 3 60

ω 0 s

=

ac = ω2 R = (1,99 · 10

–7 rad s

–1)2 · 149,6 · 10

9 m = 5,92 · 10

–3 m s

–2

Fc = MT ac = 5,98 · 1024

kg · 5,92 · 10–3

m s–2

= 3,54 · 1022

N




SOLUCIONARIO


39> Sobre una masa m actúa una fuerza constante de 250 N durante 15,0 s, transmitiéndole una velocidad de 37,5 m s

–1. Calcula la masa m y la cantidad de

movimiento de la misma al cabo de ese tiempo.

Solución:

F t = Δ(m v) = m v

1

250 N · 15 s = 100 kg

37,5 m s

F tm

v

p = m v = 100 kg · 37,5 m s–1

= 3 750 kg m s–1

40> Un futbolista golpea durante 0,5 s un balón de 1 kg de masa, que se encuentra en reposo, de forma que le imprime una velocidad de 5 m/s. ¿Cuál es el módulo del momento lineal de la pelota antes y después de la patada? ¿Cuál es el impulso sobre la pelota?

Solución:

Como la pelota inicialmente está en reposo, su velocidad v0 = 0, y su momento lineal también es nulo: p0 = m v0 = 0.

El momento lineal después de la patada es: pf = m vf = 1 kg · 5 m/s = 5 kg m/s.

El impulso de la fuerza aplicada al balón es igual a la variación de su momento lineal:

I = F t = m vf – m v0 = 5 kg m/s – 0 = 5 kg m/s = 5 N s

41> Algunos tenistas logran en sus servicios comunicar a la pelota velocidades de 200 km/h. Si la masa de la pelota es de 100 g y el impacto dura 0,15 s, ¿qué fuerza media ha actuado sobre la pelota?

Solución:

2

1

2 0,1 kg · 55,6 m s Δ 0 ; 37N

Δ 0,15 s

mvF t mv F

t

42> Una pelota de 75 g de masa llega a la pared de un frontón con una velocidad de 16 m s

–1 y rebota con una velocidad de 12 m s

–1. El tiempo de contacto con la pared es de 0,030

s. Calcula:

a) La variación que experimenta el momento lineal de la pelota.

b) La fuerza media que actúa sobre la pelota.

Solución:

a) Δp = p2 – p1 = m v2 – (–m v1) = m (v2 + v1) = 0,075 kg · (12 + 16) m s–1

= 2,1 kg m s–1

b) F Δt = Δp ; 1Δ 2,1 kg m s

70 NΔ 0,03 s

pF

t

43> Un astronauta sale de la cápsula espacial y arroja hacia delante un objeto de 0,80 kg con una velocidad de 1,2 m s

–1. Si la masa total del astronauta es de 100 kg, ¿a qué

distancia de la cápsula espacial se encontrará el astronauta al cabo de una hora?

Solución:

m1v1 + m2 v2 = 0,80 kg · 1,2 m s–1

+ 100 v2 ; v2 = –9,6 · 10–3

m s–1

x = –9,6 · 10–3

m s–1

· 3 600 s = –35 m

44> Una madre y su hija, con masas de 60 kg y 45 kg, respectivamente, están paradas en una pista de hielo. La hija empuja a su madre horizontalmente con una fuerza de 40 N durante 0,50 s. Calcula:

a) La aceleración y la velocidad de la madre.

b) La fuerza que actúa sobre la hija, su aceleración y su velocidad.




SOLUCIONARIO


Solución:

a) 240 N

=0,67 m s60 kg

Fa

m

v = v0 + a t = 0,67 m s–2

· 0,5 s = 0,33 m s–1

b) 240 N

40 N = 0,89 m s45 kg

F a

v = –0,89 m s–2

· 0,5 s = –0,44 m s–1

45> Dos bolas de masas m1

= 30,0 g y m2

= 75,0 g se mueven sobre una superficie horizontal lisa de forma que se pueden considerar como partículas libres sin rozamiento. Se dirigen en línea recta una hacia la otra con velocidades de 5,00 y 7,00 m s

–1,

respectivamente. Después del choque, la primera bola rebota con una velocidad de 12,1 m s

–1. ¿Qué velocidad adquiere la segunda bola después del choque?

Solución:

p1 = m1 v1 + m2 v2 = 0,03 kg · 5 m s–1

+ 0,075 kg · (–7 m s–1

) = –0,375 kg m s–1

p1 = p2

–0,375 kg m s–1

= 0,03 kg (–12,1 m s–1

) + 0,075 kg · v'2 v'2 = –0,16 m s–1

46> Una técnica utilizada para determinar la velocidad de una bala consiste en disparar sobre un blanco de modo que la bala se incruste en él, observando el movimiento del blanco tras el choque. Supón que una bala de 17 g de masa, tras incrustarse en un blanco de 1 500 g, hace que el conjunto se mueva con una velocidad de 0,64 m s

–1. En ausencia

de rozamientos, determina la velocidad de la bala antes del impacto.

Solución:

m1 v1 = (m1 + m2) v’

111 2

1

1

( ) ' 1,517 kg · 0,64 m s57 m s

0,017 kg

m m vv

m

47> Un soldado dispara una ametralladora. Las balas, de masa 100 g, salen con una velocidad de 400 m/s. La máxima fuerza que puede ejercer el soldado sujetando la ametralladora es de 200 N. ¿Cuál es el máximo número de balas que puede disparar en un minuto?

Solución:

El momento lineal de cada bala es: p = m v = 100 · 10–3

kg · 400 m s–1

= 40 kg m s–1

.

De acuerdo con el Principio de conservación del momento lineal, el valor del momento lineal de la ametralladora será también 40 kg m s

–1 por cada bala disparada. Para n balas, el momento lineal

de la ametralladora será 40 n kg m s–1

.

El impulso mecánico de la fuerza que ejerce el soldado sobre la ametralladora es igual a la variación de su momento lineal, que antes de disparar es nulo porque la ametralladora está en reposo:

F t = m v – m v0 = 40 n kg m s–1

– 0 = 40 n kg m s–1

= 40 n N s

Al despejar el número de balas n, se obtiene:

200 N · 60 s300 balas

40 40 N s

F tn

48> Una explosión rompe una roca en tres trozos. Dos de ellos, de 1,0 kg y 2,0 kg, salen despedidos en ángulo recto con una velocidad de 12 m s

–1 y 8,0 m s

–1, respectivamente. El

tercero sale con una velocidad de 40 m s–1

.




SOLUCIONARIO


a) Dibuja un diagrama que muestre la dirección y sentido de este tercer fragmento.

b) ¿Cuál es la masa de la roca?

Solución:

a) El tercer fragmento de la roca sale con un ángulo de 37° con el eje OY negativo (233°).

b) 3 30 1 · 12 2 · 8i j m v

m3 v3 = = 20 kg m s–1

2 2 1

3 3 ( 12) (16) 20 kg m sm v

1

3 1

3

20 20 kg m s0,5 kg

40 m sm

v

mT = 3,5 kg

49> Un bloque de 5,0 kg está sostenido por una cuerda y se eleva con una aceleración de 2,0 m s

–2.

a) ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

b) Si después de iniciado el movimiento, la tensión de la cuerda se reduce a 49 N, ¿qué clase de movimiento tendrá lugar?

c) Si se afloja la cuerda por completo, se observa que el bloque continúa moviéndose, recorriendo 2,0 m antes de detenerse. ¿Qué velocidad tenía?

Solución:

a) T – m g = m a

T = m g + m a = m (g + a) = 5 kg · (9,8 + 2) m s–2

= 59 N

b)

2 49 N 5 kg · 9,8 m s 0 (MRU)

5 kg

T m ga

m

c) T = 0 m g = m a v2 – v

20 = 2 a s

0 – v20 = 2 · (–9,8 m s

–2) · 2 m v0 = 6,3 m s

–1

50> Una grúa eleva un peso de 2 000 kp con un cable cuya resistencia a la ruptura es 3 000 kp. ¿Cuál es la máxima aceleración con que puede subir el peso?

Solución:

T – m g = m a

1 22 3 000 kp · 9,8 N kp 2 000 kg · 9,8 m s

4,9 m s2 000 kg

T m ga

m

51> Una barca situada en medio de un canal, con las aguas en reposo, es arrastrada mediante dos cuerdas con las que se ejercen fuerzas de 250 N y 320 N, respectivamente. La primera cuerda forma un ángulo de 60º con la dirección del canal. ¿Qué ángulo debe formar la segunda cuerda con la dirección del canal si la barca se mueve paralelamente a las orillas? ¿Qué fuerza arrastra a la barca?

Solución:

F1x = F1 cos 60° = 250 N · cos 60° = 125 N




SOLUCIONARIO


F1y = F1 sen 60° = 250 N · sen 60° = 217 N

F2y = F1y ; F2y = 217 N = F2 sen α

sen α = Fórmula a = 43°

Fx = F1x + F2x = 125 N + (320 N · cos 43°) = 359 N

52> Un montacargas posee una velocidad de régimen, tanto en el ascenso como en el descenso, de 4,00 m s

–1, tardando 1,00 s en adquirirla al arrancar o en detenerse por

completo en las paradas. Si en el montacargas hay un peso de 800 kp y la masa del montacargas es de 1 000 kg, calcula:

a) La fuerza que ejercerá el cuerpo sobre el piso del montacargas en el instante del arranque para ascender.

b) La misma fuerza cuando se mueve entre pisos a velocidad constante.

c) La misma fuerza en el momento de detenerse durante la subida.

d) La tensión del cable en los tres casos anteriores.

Solución:

a) 1

20 4 m s 04 m s

1 s

v va

t

F1 = m1 (g + a) = 800 kg · (9,8 + 4) m s–2

= 11 040 N

b) a = 0

F1 = m1 g = 800 kg · 9,8 m s–2

= 7 840 N

c) a = –4 m s–2

F1 = m1 (g + a) = 800 kg · (9,8 – 4) m s–2

= 4 640 N

d) T – (P1 + P2) = (m1 + m2) a

T = (m1 + m2) g + (m1 + m2) a = (m1 + m2) (g + a)

1) T = 1 800 kg · (9,8 + 4) m s–2

= 24 840 N

2) T = 1 800 kg · 9,8 m s–2

= 17 640 N

3) T = 1 800 kg · (9,8 – 4) m s–2

= 10 440 N

53> Halla la fuerza constante que hay que aplicar a un cuerpo de 20 kg de masa para:

a) Transmitirle una aceleración de 1,2 m s–2

.

b) Transmitirle una velocidad de 12 m s–1

a los 4,0 s de iniciado el movimiento.

c) Recorrer 450 m en los primeros 15 s.

d) Lo mismo del c) si existe además una fuerza contraria de 35 N.

Solución:

a) F = m a = 20 kg · 1,2 m s–2

= 24 N

b) 1

20

1

12 m s 03 m s

4 m s

v va

t

F = m a = 20 kg · 3 m s–2

= 60 N

c) x = 1/2 a t2 ;

2

2 2

2 2 · 450 m4 m s

(15 s)

xa

t

F = m a = 20 kg · 4 m s–2

= 80 N

d) 80 N + 35 N = 115 N

54> Un ascensor, cuya masa total es 729 kg, sube a una altura de 25 m. A los 2,0 s de arrancar adquiere una velocidad de 1,0 m s

–1. Cuando faltan 2,5 m para llegar a su destino

frena, apareciendo una aceleración negativa de 0,20 m s–2

. Calcula la tensión del cable:

a) En el primer segundo del movimiento.




SOLUCIONARIO


b) Cuando el ascensor recorre el último metro de la subida.

Solución:

a) 1

20 1 m s 00,5 m s

2 s

v va

t

T = m (g + a) = 729 kg · (9,8 + 0,5) m s–2

= 7,5 · 103 N

b) T = m (g + a) = 729 kg · (9,8 – 0,2) m s–2

= 7 · 103 N


a) Indica en qué sentido se mueve el sistema de la Figura 7.46 y calcula con qué aceleración.

b) ¿Qué valor tiene la tensión de la cuerda?

Datos: m1 = 2,0 kg; m2 = 700 g; a = 30º.

Solución:

a) m1 g sen α – m2 g = (m1 + m2) a

2 kg · 9,8 m s–2

· 0,5 – 0,7 kg · 9,8 m s–2

= 2,7 kg · a

a = 1,1 m s–2

b) T – m2 g = m2 a; T = m2 (g + a) = 0,7 kg · (9,8 + 1,1) m s–2

= 7,6 N

56> Dados los cuerpos representados en la Figura 7.47, calcula la aceleración con que se mueven y la tensión de la cuerda. El coeficiente de rozamiento es el mismo para ambos cuerpos y vale 0,200.

Solución:

m1 g sen 30° – T – μ m1 g cos 30° = m1 a

T – μ m2 g = m2 a

57> Un bloque de 5,0 kg se lanza hacia arriba a lo largo de un plano inclinado 37º con una velocidad inicial de 9,8 m s

–1. Se observa que recorre una distancia de 6,0 m y después

desliza hacia abajo hasta el punto de partida. Calcula:




SOLUCIONARIO


a) La fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque.

b) La velocidad de este cuando vuelve a su posición inicial.

Solución:

a) 2 2 1 2

20 0 (9,8 m s )8,0 m s

2 2 · 6 m

v va

x

Fr = Px – m a = – m g sen α – m a = – m (g sen α – a) =

= –5 kg · (9,8 m s–2

· sen 37º – 8 m s–2

) = 10,5 N

b) 2

2x r r sen α 5 kg · 9,8 m s · sen 37º 10,5 N3,8 m s

5 kg

P F m g Fa

m m

12 · ( 3,8) · ( 6) 6,8 m sv

58> Dos bloques de masas m1 = 4,00 kg y m2 = 2,00 kg están unidos por una cuerda inextensible y de masa despreciable y situados sobre un plano inclinado 30,0º sobre la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento con el plano inclinado para ambos bloques vale 0,300, calcula:

a) La fuerza F paralela al plano necesaria para que el sistema ascienda con velocidad constante por el plano inclinado.

b) La tensión de la cuerda que une ambos bloques durante el ascenso.

Solución:

a) Como el sistema asciende a velocidad constante, la aceleración es nula, y la fuerza resultante también debe ser nula.

Teniendo en cuenta que Px = m g sen a, que Fr = m m g cos a y que ΣF = 0, obtenemos las siguientes ecuaciones para las masas m1 y m2:

T – m1 g sen 30° – m m1 g cos 30° = 0; T = m1 g sen 30° + m m1 g cos 30°

F – m2 g sen 30° – T – m m2 g cos 30° = 0

Al introducir el valor de la tensión T en la última ecuación obtenemos el valor de F:

F = m2 g sen 30° + m1 g sen 30° + m m1 g cos 30° + m m2 g cos 30°

Simplificando e introduciendo los correspondientes valores, se obtiene:

F = (m1 + m2) g (sen 30°+ m cos 30°) = (4 + 2) kg · 9,8 m s–2

· (0,5 + 0,3 · 0,866) = 44,7 N

b) Al introducir los correspondientes valores en la ecuación de la tensión, se obtiene:

T = 4 kg · 9,8 m s–2

· 0,5 + 0,3 · 4 kg · 9,8 m s–2

· 0,866 = 29,8 N

59> Si un cuerpo se desliza sobre un plano horizontal con rozamiento, tras ser lanzado con una determinada velocidad inicial, ¿cuáles de los siguientes factores influyen en el tiempo que tarda en pararse?

a) Velocidad inicial de lanzamiento.

b) Masa del cuerpo.




SOLUCIONARIO


c) Naturaleza de los materiales que forman el cuerpo y la superficie del plano.

Solución:

Como hemos visto a lo largo de la Unidad, en un plano horizontal, el peso del cuerpo P y la reacción del plano N tienen el mismo valor numérico, pero sentido contrario. Por este motivo se equilibran y se anulan.

Una vez lanzado el cuerpo, la única fuerza que actúa sobre él es del rozamiento, que se opone al movimiento: Fr = mc N = mc m g.

La aceleración del cuerpo se obtiene a partir de la Segunda ley de Newton de la Dinámica:

μ ; μ cr

c

F m gFa a g

m m m

Como la aceleración es constante, porque lo son mc y g, el movimiento es uniformemente acelerado, lo que nos permite calcular el tiempo que tarda el cuerpo en pararse:

v = v0 + at; 0v vt

a

siendo v = 0, porque el cuerpo se detiene

Al sustituir en la ecuación del tiempo, se obtiene: 0 0 0

μ μ c c

v v vt

a g g

;

a) El tiempo que tarda el cuerpo en pararse es directamente proporcional a la velocidad inicial.

b) La masa del cuerpo no influye.

a) El tiempo es inversamente proporcional al coeficiente de rozamiento cinético; por tanto, sí depende de la naturaleza de las dos superficies en contacto.

60> Un cuerpo de 12,5 kg de masa asciende por el plano inclinado de la Figura 7.48 al aplicarle la fuerza F = 122 N. El coeficiente de rozamiento cinético vale 0,480. Calcula:

a) La aceleración del cuerpo.

b) El tiempo que tarda en recorrer 18,2 m.

Solución:

a) Fx = Px – Fr = m a

F cos 20° – m g sen 30° – μ m g cos 30° = m a

–2 –2 –2 –2

cos 20 – (sen 30 μcos 30 )

122 N· 0,94 – 9,8 ms · 0,5 0,48 · 0,87 9,17 ms – 8,99 ms 0,18 ms

12,5 kg

Fa g

m

b) x = x0 + v0 t + 1

2a t

2 como x0 = 0 y v0 = 0,

21

2x at

2

2 2 · 18,2 m14,2 s

0,2 m s

xt

a




SOLUCIONARIO


61> Se desea subir un cuerpo de m = 4,0 kg por un plano inclinado 15º sobre la horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento cinético entre el plano y el cuerpo m = 0,65. ¿Qué fuerza horizontal mínima se debe aplicar?

a) El cuerpo sube con velocidad constante.

b) El cuerpo sube con una aceleración de 2,0 m s–2

.

Solución:

a) Como la velocidad es constante la aceleración es 0

Fx = Px + Fr ; F cos α = m g sen α + μ (m g cos α + F sen α)

-2 (sen α + μ cos α) 4 kg · 9,81 m s (sen 15° + 0,65 cos 15°) 43,6 N

cos α- μ sen α cos 15° 0,65 sen 15°

mgF

b) Si el cuerpo asciende con aceleración, la segunda ley de Newton nos permite escribir:

Fx – Px – Fr = m a

Al introducir los valores del anterior apartado, se obtiene:

(sen α + μ cos α) 4 · 9,81 · (sen 15° + 0,65 cos 15°) + 4 · 2 53,7 N

cos α μ sen α cos 15° 0,65 sen 15°

m g m aF

62> Para medir la masa de un cierto objeto B, se mantiene junto a un cuerpo A, de 1,2 kg de masa, como indica la Figura 7.49, en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento, con un muelle entre ellos que permanece comprimido mediante una cuerda. Se quema la cuerda, de modo que, al alargarse el muelle, el objeto A se mueve con una velocidad de 2,1 ms

–1 y el objeto B se desplaza con una velocidad de 3,3 ms

–1, en sentido

opuesto. ¿Cuál es la masa de B?

Solución:

Se conserva el momento lineal: mB vB = –mA vA

B

1 ,2 kg · 2,1

0,76 kg

3,3

m

smm

s

63> En el interior de un cohete meteorológico que va a despegar viaja un dispositivo inercial muy delicado que tiene una masa de 200 g y está suspendido de un hilo vertical muy fino cuya resistencia es de 6,4 N. Calcula la máxima aceleración con que puede despegar el cohete sin dañar el dispositivo.

Solución:

-22 6,4 N 0,2 kg · 9,81 m s

; 22 m s0,2 kg

T mgT P m a a

m



08 Unidad 8. Trabajo mecánico y energía

SOLUCIONARIO


Actividades 1> Una grúa levanta un paquete de ladrillos de 500 kg a una altura de 30 m y después

desplaza la carga horizontalmente 10 m. ¿Qué trabajo mecánico realiza en cada movimiento?

Solución:

a) P = m g = 500 kg · 9,8 m s–2

= 4 900 N

W = F h = 4 900 N · 30 m = 1,47 · 105 J

b) W = F Δx cos α = 500 kg·9,8 m s–2

· 10 m · cos 90° = 0

2> Sobre un cuerpo de 4,50 kg de masa se aplica una fuerza que lo desplaza horizontalmente con una velocidad constante de 5,0 m s

–1. ¿Qué trabajo realiza la fuerza

aplicada al cuerpo si recorre 15,0 m? ¿Cuánto vale el trabajo de rozamiento?

Dato: mc = 0,300. S: W = 198 J; Wr = –198 J.

Solución:

Como el cuerpo se desplaza con velocidad constante, la fuerza aplicada al cuerpo debe tener igual módulo y sentido contrario que la fuerza de rozamiento.

El módulo de la fuerza de rozamiento es:

Fr = m g = 0,30 · 4,5 kg · 9,8 m s–2 = 13,2 N

El trabajo realizado por la fuerza aplicada al cuerpo es:

W = F Δx = 13,2 N · 15 m = 198 J

La fuerza de rozamiento actúa en sentido contrario al desplazamiento, y por ello, el trabajo de rozamiento es negativo:

Wr = –198 J

3> Un coche de 1,12 t se mueve con una aceleración constante de 1,50 m s–2

sobre una superficie horizontal en la que la fuerza de rozamiento tiene un valor constante de 220 N. ¿Qué trabajo realiza el motor del coche al recorrer 400 m?

Solución:

F – Fr = ma ; F = ma + Fr = (1,12 · 103 kg · 1,50 m s

–2) + 220 N = 1,9 · 10

3

W = F Δx = 1,9 · 103 N · 400 m = 7,6 · 10

5 J

4> La fuerza aplicada a un cuerpo varía según el gráfico de la figura.

a) ¿Qué trabajo realiza la fuerza en cada tramo?

b) ¿Cuánto vale el trabajo total?

Solución:

a) OA

110 m· 20 N 100 J

2W

WAB = 20 N · 30 m = 600 J

WBC = 0




SOLUCIONARIO


b) WTOTAL = 100 J + 600 J = 700 J

5> Para elevar un cuerpo con una velocidad constante de 2,5 m s–1

se necesita un motor de 3 CV de potencia. ¿Cuál es el peso del cuerpo?

Solución:

1

3 CV · 735,5 W/CV ; 883 N 90 kp

2,5 m s

PP Fv F

v

6> Un cuerpo de 3,8 kg desciende por un plano inclinado 30º sobre la horizontal con velocidad constante. ¿Qué trabajo y qué potencia media se realizan sobre el cuerpo?

Solución:

Como la velocidad es constante, el trabajo y la potencia son nulos.

7> La cabina de un ascensor tiene una masa de 520 kg y transporta cuatro personas de 70 kg cada una. Si asciende con velocidad constante hasta una altura de 24 m en 40 s, calcula:

a) El trabajo realizado para subir la cabina y los pasajeros.

b) La potencia media desarrollada en kW y CV.

Solución:

a) La masa total es 520 kg + 4 · 70 kg = 800 kg. Como el ascensor sube con velocidad constante, la fuerza ejercida contrarresta el peso del conjunto: F = P = m g = 800 kg · 9,8 m s

–2 = 7 840 N

El trabajo realizado es W = F h = 7 840 N · 24 m = 1,9 · 105 J

b) La potencia media en kW es la siguiente:

531,9 · 10

4,7 · 10 W 4,7 kW40 s

WP

t

Como 1 CV equivale a 735,5 W, la potencia media en CV es:

3 1 CV4,7 · 10 W · 6,4 CV

735,5 WP

8> En el mes de julio de 1994, el cometa Shoemaker-Levy chocó con el planeta Júpiter, entrando en su atmósfera a una velocidad de 60 km/s. La masa de los fragmentos del cometa era comparable a la de una esfera de 27 km de diámetro y una densidad semejante a la del agua, es decir, de 1 000 kg/m

3. Calcula:

a) La energía del impacto.

b) El coste de esa energía, tomando como referencia el precio del kW h de origen eléctrico, que es de 0,27 euros.

Solución:

a) Masa del cometa: 34 π

3m V d R d

3

3 3 -3 164 · 3,14 13,5 · 10 m · 10 kg · m = 1,03 · 10 kg3

m

La energía del impacto es la energía cinética del cometa:

2 16 3 -1 2 251 1 · 1,03 · 1 0 (60 · 10 m s ) = 1,8 · 10 J2 2

E m v kg




SOLUCIONARIO


La energía en kW h es: 25

18

6 -1

1,8 · 10 J = 5,0 · 10 kW h3,6 · 10 J

kW h

E

Coste: 18 18euros5,0 · 10 kW h · 0,27 = 1,35 · 10 euros

kW

h

9> Responde a las siguientes cuestiones:

a) ¿Puede ser negativa la energía cinética?

b) Si la energía cinética de un cuerpo se mantiene constante, ¿cuánto vale el trabajo realizado sobre el cuerpo?

Solución:

a) No, porque el módulo de la velocidad está elevado al cuadrado y la masa siempre es positiva.

b) El trabajo es nulo si no varía tampoco ninguna de las otras energías asociadas al cuerpo.

10> Se lanza un cuerpo de 2,4 kg por una superficie horizontal y se detiene tras recorrer 4,0 m. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es 0,35, ¿con qué velocidad se lanzó el cuerpo?

Solución:

Fr = μ m g = 0,35 · 2,4 kg · 9,8 m s–2

= 8,2 N;

Wr = Fr Δx = –8,2 N · 4 m = –32,8 J

Eci + Wr = Ecf; 2 –11

2,4 kg· – 32,8 J 0; 5,2 ms2

v v

11> Al colgar un cuerpo de 10 kg de un muelle vertical se produce un alargamiento de 7,2 cm. Calcula:

a) La constante elástica del muelle.

b) La energía potencial elástica almacenada.

Solución:

a) La fuerza que alarga el muelle es el peso del cuerpo: F = P = m g = 10 kg · 9,8 m s–2

= 98 N

La constante elástica se obtiene a partir de la Ley de Hooke: F = k Δx;

3 1

2

98 Nk 1,4 · 10 N m

Δ 7,2 · 10 m

F

x

b) La energía potencial elástica almacenada es:

2 3 –1 –2 2

pe

1 1k Δx 1,4 · 10 N m · (7,2 · 10 m) 3,6 J

2 2E

12> El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio (posición más próxima al Sol) el cometa está a 8,75 · 10

7 km del Sol, y en el afelio (posición

más alejada del Sol) está a 5,26 · 109

km del Sol. ¿En cuál de los dos puntos tiene el cometa mayor energía potencial gravitatoria?

Solución:

Si M es la masa del Sol, m la masa del cometa, G la constante de gravitación universal y r la distancia existente entre el centro del Sol y el cometa, el valor de la energía potencial gravitatoria del cometa es:




SOLUCIONARIO


p

G

M mE

r

Como la energía potencial gravitatoria es negativa, cuanto más grande sea r mayor será la energía potencial. En nuestro caso, como r en el afelio es mayor que en el perihelio, la energía potencial será mayor en el afelio que en el perihelio.

13> Si, al alargar un muelle, su energía potencial elástica es positiva, ¿será negativa al comprimirlo?

Solución:

También es positiva, porque el acortamiento está elevado al cuadrado.

14> Se deja caer un objeto de 2,0 kg desde 97 m de altura. Calcula:

a) Su energía potencial inicial.

b) Su energía potencial cuando se encuentre a 50 m del suelo.

c) Su velocidad y su energía cinética a 50 m de altura.

Solución:

a) Ep = mgh = 2 kg · 9,8 m s–2

· 100 m = 1,96 · 103 J

b) Ep = 2 kg · 9,8 m s–2

· 50 m = 9,8 · 102 J

c) Ec = 1,96 · 103 J – 9,8 · 10

2 J = 9,8 · 10

2 J ;

12 2 · 980 J = 31,3 m s

2 kg

cEv

m

d) La energía mecánica se mantiene constante: Em = Ec + Ep = 1,96 · 103 J

15> Un péndulo de 1,0 m de longitud se desplaza un ángulo de 12° de su posición vertical de equilibrio, por lo que oscila de un lado a otro. Si se desprecia el rozamiento con el aire, calcula su velocidad cuando pasa por el punto más bajo de su trayectoria.

Solución:

h = 1 – 1 · cos 12° = 1 – 0,98 = 0,02 m

2 12 2 · 9,8 m s · 0,02 m 0,63 m sv g h

16> Una pelota de 65 g de masa golpea la pared de un frontón con una velocidad de 25 m s–1

y rebota con velocidad de 22 m s–1

. ¿Se conserva la energía mecánica de la pelota? Si no es así, ¿qué cantidad de energía cinética ha perdido?

Solución:

–1 2

c1

10,065 kg· (25 ms ) 20,3 J

2E

–1 2

c2

10,065 kg· (–22 m s ) 15,7 J

2E

No se conserva la energía mecánica.

Energía cinética perdida: 20,3 J – 15,7 J = 4,6 J

17> Un bloque de 5,0 kg resbala a lo largo de un plano de 4,0 m de longitud y 30° de inclinación sobre la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento es 0,25, calcula:

a) El trabajo de rozamiento.

b) La energía potencial gravitatoria del bloque cuando está situado en lo alto del plano.

c) La energía cinética y la velocidad del bloque al final del plano.

Solución:

a) Fr = μ m g cos α = 0,25 · 5 kg · 9,8 m s–2

· cos 30° = 10,6 N




SOLUCIONARIO


Wr = Fr Δx = –10,6 N · 4 m = –42,4 J

b) Ep = m g h = 5 kg · 9,8 m s–2

· 2 m = 98 J

c) Ep + Wr = Ec; Ec = 98 J – 42,4 J = 55,6 J

1c2 2 · 56,6, J4,7 m s

5 kg

Ev

m

18> ¿Qué cantidad de energía se libera cuando se convierte en energía 1 g de materia?

Solución:

E = m c2 = 1 · 10

–3 kg · (3 · 10

8 m s

–1)2 = 9 · 10

13 J

19> Un resorte de constante elástica k = 1,2 · 103

N m–1

, colocado horizontalmente, está unido a un cuerpo de 2,0 kg apoyado sobre una superficie horizontal. Cuando el resorte se comprime una longitud de 15 cm y se suelta, el objeto vuelve a pasar por su posición inicial con una velocidad de 3,3 m s

–1. Si toda la energía del muelle ha pasado al cuerpo,

¿cuánta energía se ha perdido en forma de calor por rozamiento?

Solución:

Como el desplazamiento se produce sobre una superficie horizontal, la energía potencial gravitatoria no varía.

Al comprimir, el resorte adquiere energía potencial elástica:

2 3 –1 2

e

1 1k Δx 1,2·10 N m ·(0,15 m) 13,5 J

2 2E

La energía cinética del objeto al pasar por la posición inicial es:

2 –1 2

c

1 1 ·2 kg·(3,3 ms ) 10,9 J

2 2E m v

La energía perdida en forma de calor es la diferencia entre ambas energías:

Wr = Ec – Ee = 10,9 J – 13,5 J = –2,6 J

Ciencia, tecnología y sociedad 1> ¿Qué ventajas e inconvenientes presenta la producción de energía eólica frente a las energías convencionales?

Solución:

Es una energía limpia y renovable, con pocos inconvenientes: ruido, alteración del paisaje, obstáculo para las aves, etc.

2> ¿Qué proyectos conoces para la instalación de aerogeneradores en zonas urbanas?

Solución:

El texto cita algunos como el Bahrain World Center, en el golfo pérsico, el de proyectos de rascacielos giratorios y autosuficientes energéticamente, en los que se genera electricidad mediante energía eólica, gracias a decenas de turbinas dispuestas horizontalmente entre cada piso, o el edificio Aquarius Tower, que está diseñado para canalizar y concentrar el viento en turbinas eólicas.

3> Si la potencia eólica instalada en un parque eólico coincide con la potencia de una central nuclear, ¿producirán necesariamente ambas instalaciones la misma energía eléctrica en un año?

Solución:




SOLUCIONARIO


No. Cuando no hay viento adecuado, los aerogeneradores están parados y no producen electricidad.

4> Realiza en equipo una pequeña investigación sobre la importancia de la energía eólica en España y en el mundo. Para recabar información puedes utilizar revistas de divulgación científica, periódicos, libros, Internet, etcétera.

Solución:

Al ser nuestro país un referente en la generación de energía eólica y disponer de una indutria de fabricación de aerogeneradores bastante extendida, se pueden consultar páginas de fabricantes para obtener dicha información. Por ejemplo, Gamesa, http://www.gamesacorp.com/es/.

Experiencia de laboratorio 1> ¿Es constante el cociente entre la fuerza y el alargamiento? ¿Se cumple la ley de Hooke?

Solución:

Aproximadamente constante. Sí se cumple la ley de Hooke.

2> ¿Coincide este cociente con la pendiente de la recta obtenida en la gráfica? ¿Qué representa el área del triángulo?

Solución:

Debe coincidir aproximadamente. El área representa la energía potencial elástica del muelle.

3> ¿Cuál sería el alargamiento del muelle y la energía potencial elástica si la masa total colgada es de 55 g?

Solución:

Depende de la constante elástica del muelle.

4> ¿Cómo será el alargamiento de un muelle cuya constante elástica sea mayor?

Solución:

El alargamiento será menor.

Problemas propuestos 1> Una vagoneta se encuentra en una vía recta horizontal. Calcula el trabajo mecánico en los siguientes casos:

a) Se ejerce una fuerza constante de 50 N sobre la vagoneta en la dirección de la vía sin que la vagoneta se mueva.

b) Se ejerce una fuerza de 180 N en la dirección de la vía y se recorren 12 m.

c) Se empuja la vagoneta con una fuerza de 200 N que forma un ángulo de 30º con la vía, de modo que recorre 25 m.

Solución:

a) W = 0

b) W = 180 N · 12 m = 2 160 J

c) W = 200 N · 25 m · cos 30° = 4 330 J



http://www.gamesacorp.com/es/


SOLUCIONARIO


2> ¿Qué trabajo se realiza cuando se desplaza un cuerpo a velocidad constante sobre una superficie horizontal sin rozamiento?

Solución:

Nulo, porque F = 0.

3> ¿Qué trabajo mecánico realiza una persona de 60,0 kg cuando sube a una altura de 10,0 m? ¿Qué fuerza ejerce?

Solución:

W = F h = 588 N · 10 m = 5 880 J

F = P = m g = 60 kg · 9,8 m s–2

= 588 N

4> Una grúa desplaza horizontalmente un contenedor de 400 kg de masa una distancia de 20 m sin que haya rozamientos. ¿Qué trabajo realiza?

Solución:

W = 400 kg · 9,8 m s–2

· 20 m · cos 90° = 0

5> ¿Qué trabajo hay que realizar para elevar un cuerpo de 20,0 kg desde una altura de 10,0 m sobre el suelo hasta una altura de 25,0 m? ¿Qué fuerza hay que realizar?

Solución:

W = F (h2 – h1) = 196 N · (25 – 10) m = 2 940 J

F = P = m g = 20 kg · 9,8 m s–2

= 196 N

6> Calcula gráficamente el trabajo realizado por una fuerza que varía de la forma que representa la Figura 8.23, al desplazar un móvil a lo largo de los 4,0 m iniciales.

Solución:

14 m· 6 N 12 J

2W

7> Calcula el trabajo de rozamiento desprendido en forma de calor por un objeto de masa 150 kg que se desliza 12,0 m por el suelo de una nave industrial, con el que tiene un coeficiente de rozamiento 0,25. ¿Y si el suelo estuviera inclinado exactamente 5º?

Solución:

W1 = μ m g Δx = 0,25 · 150 kg · 9,8 m s–2

· 12 m = 4 410 J = 4,41 kJ

W2 = μ m g cos α Δx = 0,25 · 150 kg · 9,8 m s–2

· cos 5° · 12 m = 4390 J = 4,39 kJ




SOLUCIONARIO


8> ¿Qué potencia tiene que ejercer una máquina que levanta 1 000 kg de mineral a una velocidad media de 5,0 m s

–1?

Solución:

P = F v = 1 000 kg · 9,8 m s–2

· 5 m s–1

= 4,9 · 104 W = 49 kW

9> Calcula la energía producida en un año por un parque eólico de 20,0 MW de potencia media. Expresa el resultado en kW h.

Solución:

E = P t = 20 · 106 W · (365 · 24 · 3 600) s = 6,3 · 10

14 J = 1,75 · 10

8 kW h

10> Un camión de 30 t se mueve con una aceleración constante de 1,2 m s–2

sobre una superficie horizontal en la que la fuerza de rozamiento tiene un valor constante de 9,0 · 10

3

N. ¿Qué trabajo realiza el motor del camión al recorrer 100 m?

Solución:

F = m a + Fr = 30 · 103 kg · 1,2 m s

–2 + 9 · 10

3 N = 4,5 · 10

4 N

W = F Δx = 4,5 · 104 N · 100 m = 4,5 · 10

6 J

11> Un bloque de 25 kg de masa se desplaza sobre una superficie horizontal con una velocidad constante de 8,0 m s

–1. El coeficiente de rozamiento del cuerpo con el plano es

0,20. ¿Qué trabajo realiza la fuerza aplicada al cuerpo si recorre 4,0 m en su misma dirección?

Solución:

Fr = μ m g = 0,2 · 25 kg · 9,8 m s–2

= 49 N

W = F Δx = 49 N · 4 m = 196 J

12> Un motor de 18 CV eleva un montacargas de 500 kg a 50 m de altura en 25 s. Calcula el trabajo realizado, la potencia útil y el rendimiento.

Solución:

La fuerza motriz que realiza el trabajo es igual al peso del cuerpo.

El trabajo realizado es igual al trabajo útil:

Wu = F Δx = m g h = 500 kg · 9,8 m s–2 · 50 m = 2,45 · 10

5 J

Potencia útil:

532,45 · 10 J

9,8 · 10 25 s

u

u

WP W

t

Rendimiento:

3

1

9,8 · 10 η 0,74 74%

18 CV · 735,5

u

m

P W

P W CV

13> El consumo de agua de una ciudad es de 4,2 · 103 m

3 diarios, siendo necesario elevarla

a unos depósitos situados a 85 m por encima del río donde tiene lugar la captación. Sin tener en cuenta otras consideraciones, calcula:

a) El trabajo diario que hay que realizar.

b) La potencia total de las bombas que elevan el agua.

Solución:

a) m = V d = 4,2 · 103 m

3 · 1 000 kg m

–3 = 4,2 · 10

6 kg

W = EP = m g h = 4,2 · 106 kg · 9,8 m s

–2 · 85 m = 3,5 · 10

9 J

b) 9

43,5 · 10 J4,05 · 10 W = 55 CV

86 400 s

WP

t




SOLUCIONARIO


14> ¿Puede ser negativa la energía cinética de un cuerpo? ¿Y la potencial gravitatoria?

Solución:

La energía cinética no puede ser negativa porque el módulo de la velocidad está elevado al cuadrado. La energía potencial gravitatoria sí depende del nivel de referencia elegido.

15> Cuando un cuerpo en movimiento choca contra un muelle va perdiendo velocidad hasta que se detiene. ¿Qué sucede con su energía cinética?

Solución:

Se transforma en energía potencial elástica.

16> ¿Cuánto vale la energía cinética de un automóvil de masa 800 kg que se mueve a 35 m s–1

? ¿Cuál es la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de 24 kg situado a 15 m de altura sobre el suelo?

Solución:

2 –1 2 5

c

1 1 800 kg· (35 ms ) 4,9 · 10 J

2 2E m v

Ep = m g h = 24 kg · 9,8 m s–2

· 15 m = 3,5 · 103 J

17> ¿Qué cantidad de energía se encuentra almacenada en un muelle de constante k = 625 N m

–1 que se encuentra comprimido 45 cm?

Solución:

2 –1 2

Pe

1 1 625 N m · (0,45 m) 63 J

2 2E k x

18> Al colgar un cuerpo de 5,00 kg de un muelle vertical se produce un alargamiento de 12,5 cm. Calcula:

a) La constante elástica del muelle.

b) La energía potencial elástica almacenada.

Solución:

a) P = m g = 5 kg · 9,8 m s–2

= 49 N;

149 N392 N m

Δ 0,125 m

Fk

x

b) 2 –1 2

e

1 1 392 N m · (0,125 m) 3,1 J

2 2E k x

19> Desde una altura de 14 m se lanza verticalmente hacia arriba una pelota de 45 g con una velocidad de 15 m s

–1. Calcula:

a) Su energía mecánica cuando alcanza la máxima altura y cuando se encuentra a una altura de 8,0 m sobre el suelo.

b) La velocidad con que llega al suelo.

Solución:

a) –1 2 –2

m c p

10,045 kg· (15 ms ) 0,045 kg·9,8 ms ·14 m 11 J

2E E E . Es la misma.

b) 1c2 2 · 11 J

22 m s0,045 kg

Ev

m




SOLUCIONARIO


20> ¿Qué altura máxima puede alcanzar una pelota de masa m lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 12 m s

–1?

Solución:

c pf

2

1 f

2 1 2

1f 2

;

1m

2

(12 m s )7,3 m

2 2 · 9,8 m s

E E

v m g h

vh

g

21> Un saltador de pértiga de 72,5 kg de masa sobrepasa el listón cuando está colocado a 6,05 m de altura.

a) ¿Cuál es su energía potencial gravitatoria en ese instante?

b) ¿Con qué velocidad llega a la colchoneta, cuya superficie superior está situada a 75,0 cm del suelo?

Solución:

a) Ep = m g h = 72 kg · 9,8 m s–2

· 6,05 m = 4 270 J = 4,3 kJ

b)

2 –2

m c p

–1

1; 4 270 J 72 kg· 72 kg·9,8 ms ·0,75 m;

2

10,2 ms

E E E v

v

22> Un automóvil de 1,4 t inicia el ascenso de una cuesta con una velocidad de 36 km h–1

. Cuando se ha elevado a una altura vertical de 20 m sobre la base de la rampa alcanza una velocidad de 25 m s

–1, invirtiendo para ello un tiempo de 40 s. Calcula:

a) El aumento experimentado por la energía mecánica del coche.

b) La potencia media del motor necesaria para suministrar esa energía.

Solución:

a)

3 –1 2 3 –2

m cf pf ci pi

3 –1 2 5

1Δ – ( ) 1,4 ·10 kg· (25 ms ) 1,4 ·10 kg·9,8 ms ·

2

1·20 m 1,4 ·10 kg· (10 ms ) 6,4 · 10 J

2

E E E E E

b) 5

4mΔ 6,4 · 10 J1,6 · 10 W 16 kW

40 s

EP

t

23> Una masa de 3,0 kg se mueve inicialmente con una velocidad de 5,0 m s–1

. Sobre ella empieza a actuar una fuerza en la dirección y sentido de su movimiento que varía a lo largo del recorrido de la forma que indica la Figura 8.24. ¿Cuánto valdrá su velocidad cuando haya recorrido 20 m?




SOLUCIONARIO


Solución:

1 1

base · altura 20 m· 10 N 100 J2 2

W

2 2

c f i

1 1Δ –

2 2W E m v m v

2 –1 2 –1

f f

1 1100 J 3 kg· 3 kg· (5 ms ) 9,6 ms

2 2v v

24> En la cima de la montaña rusa de la Figura 8.25, el coche con sus ocupantes (masa total 1 000 kg) está a una altura del suelo de 40 m y lleva una velocidad de 5,0 m s

–1.

Suponiendo que no hay rozamientos, calcula la energía cinética del coche cuando está en la segunda cima, que tiene una altura de 20 m.

Solución:

EmA = EmB; EcA + EpA = EcB + EpB

2

cB A 1 2

1 –

2E m v m g h m g h

2 –1 2 –2 5

cB A 1 2

1 1 – 1 000 kg· (5 ms ) 1 000 kg · 9,8 ms 40 – 20 m 2,1 · 10 J

2 2E m v m g h h

25> Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo de 225 g con una velocidad de 100 m s–1

y vuelve al punto de partida con una velocidad de 95 m s–1

. Calcula la fuerza media de rozamiento con el aire si alcanzó una altura de 495 m.

Solución:

Δ Em = Wr = Fr · 2 h; f ic cmr

Δ

2 2

E EEF

h h

f ic cmr

1 2 1 2

Δ

2 2

1 1 · 0,225 kg · (95 m s ) · 0,225 kg · (100 m s )

2 2

2 · 495 m

0,11 N

E EEF

h h




SOLUCIONARIO


26> Una bala de 20 g de masa atraviesa una pared de 12 cm de anchura. La bala incide en la pared con una velocidad de 250 m s

–1 y sale con una velocidad de 120 m s

–1. ¿Qué

resistencia media (fuerza de rozamiento) opone la pared?

Solución:

W = Ecf – Eci = F Δx; 2 2 2 2 2 2

f i3

1 1 ( ) · 0,02 kg · (120 250 ) m s

2 2 4 · 10 NΔ 0,12 m

m v vF

x

27> Se lanza un cuerpo a lo largo de un plano horizontal con una velocidad inicial de 5,0 m s–1

. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es 0,30. ¿Qué distancia recorre hasta pararse?

Solución:

2 –1 2

c

1 1 (5 ms ) 12,5 J

2 2E m v m m

Fr = μ m g = 0,3 · m · 9,8 m s–2

= 2,94 · m J

Ec = Wr; 12,5 · m = 2,94 · m · Δx; 12,5 ·

Δ 4,25 m2,94 ·

mx

m

28> Un cuerpo de 10,0 kg resbala a lo largo de un plano inclinado 30º sobre la horizontal. La longitud del plano es de 7,0 m y el coeficiente de rozamiento 0,30. Calcula:

a) El trabajo de rozamiento.

b) La energía mecánica del cuerpo cuando está en reposo en lo alto del plano.

c) La energía cinética y la velocidad del cuerpo al final del plano.

Solución:

a) Fr = μ m g cos α = 0,3 · 10 kg · 9,8 m s–2

· cos 30° = 25,5 N

Wr = – Fr Δx = –25,5 N · 7 m = –178 J

b) h = 7 m · sen 30° = 3,5 m;

Em = Ep = m g h = 10 kg · 9,8 m s–2

· 3,5 m = 343 J

c) Ec = Ep + Wr = 343 J – 178 J = 165 J

1c2 2 · 165 J5,7 m s

10 kg

Ev

m

29> Un bloque de 5,0 kg desciende desde el reposo por un plano inclinado 30º con la horizontal. La longitud del plano es 10 m, y el coeficiente de rozamiento 0,10. Halla la pérdida de energía a causa del rozamiento y la velocidad del bloque en la base del plano inclinado.

Solución:

Fr = μ m g cos α = 0,1 · 5 kg · 9,8 m s–2

· cos 30° = 4,24 N

Wr = –Fr Δx = – 4,24 N · 10 m = –42,4 J

Ei + Wr = Ef; Eci = 0; h = l sen α = 10 m · 0,5 = 5 m

Epi = m g h = 5 kg · 9,8 m s–2

· 5 m = 245 J

Ef = Ei + Wr = 245 J + (–42,4 J) = 203 J

2

f cf

1f

1 ;

2

2 2 · 203 J9,0 m s

5 kg

E E m v

Ev

m




SOLUCIONARIO


30> Un cuerpo de 3,0 kg de masa inicia el deslizamiento por un plano inclinado desde un punto situado a 4,0 m de altura sobre el suelo. Su energía cinética cuando llega al suelo es de 10

2 J.

a) ¿Se ha conservado su energía mecánica?

b) ¿Cuánto vale el trabajo de rozamiento?

Solución:

a) Em1 = 0 + m g h1 = 3 kg · 9,8 m s–2

· 4 m = 117,6 J

Em2 = 0 + Ec1 = 102 J. No se conserva la energía mecánica.

b) Wr = Em2 – Em1 = 102 J – 117,6 J = –15,6 J

31> Un cuerpo de 2 kg de masa lleva una velocidad inicial de 40 km/h. Si después de 30 s la velocidad es de 10 km/h, ¿cuánto vale, en unidades del SI, la potencia media perdida por el cuerpo?

Solución:

Puesto que la velocidad del cuerpo disminuye, existe una fuerza que lo frena y realiza un trabajo sobre él que es igual a la variación de su energía cinética:

2 2 2 2

2 1 2 1

2 2 2 –2

1 1 1 Δ

2 2 2

12 kg·(2,78 – 11,1 ) m s –115 J

2

cW E m v m v m v v

Como este trabajo se realiza en 30 s, la potencia media es: P = W t = –115 J 30 s = –3,8 W

La potencia media perdida por el cuerpo es 3,8 W.

32> En el punto más elevado de un plano inclinado de 3,0 m de altura como el de la Figura 8.26, se sitúa un cuerpo de 10 kg que se desliza a lo largo del plano. Calcula:

a) La velocidad del cuerpo al pie del plano.

b) Si se mide esta velocidad siempre es menor que la teóricamente prevista, siendo en este caso de 4,8 m s

–1. ¿Cuánto vale el trabajo de rozamiento?

Solución:

a) De acuerdo con el Principio de conservación de la energía mecánica, si no existe rozamiento entre el cuerpo y el plano, la energía potencial gravitatoria del cuerpo en el punto más alto del plano es igual a su energía cinética en el punto más bajo. Esto se debe a que inicialmente el cuerpo está en reposo y al final su energía potencial gravitatoria es cero:

Ep0 = Ecf; 21

2

m g h m v

2 12 2 · 9,8 m s · 3 m 7,7 m sv g h




SOLUCIONARIO


b) La velocidad real es menor; en este caso, 4,8 m s–1

, porque la fuerza de rozamiento, que siempre se opone al movimiento, realiza un trabajo negativo. La energía potencial gravitatoria inicial es:

Ep0 = m g h = 10 kg · 9,8 m s–2

· 3 m = 294 J

La energía cinética en el punto más bajo es:

2 –1 2

cf

1 1 10 kg· (4,8 ms ) 115 J

2 2E m v

Por tanto, el trabajo de rozamiento es:

Ep0 + Wr = Ecf; Wr = Ecf – Ep0 = 115 J – 294 J = –179 J

Este trabajo se convierte en calor que se dispersa en el aire.

33> Un péndulo está formado por una pequeña esfera colgada de un hilo de masa despreciable de 1 m de longitud que se abandona desde una altura h0. Cuando llega a la vertical, el hilo se encuentra con un punto, situado a 0,5 m del punto de suspensión, que hace que se doble el hilo. ¿A qué altura h ascenderá la esfera?

Solución:

Conservación de la energía mecánica: altura = h0.

34> Sobre un bloque de madera de 2,0 kg que se encuentra al comienzo de un plano inclinado 30º se dispara un proyectil de 100 g con una velocidad de 100 m s

–1, que se

incrusta en él. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,10, calcula la distancia que recorre el bloque sobre el plano.

Solución:

m1 v1 = (m1 + m2) v;

111 1

1 2

0,1 kg · 100 m s4,76 m s

2,1 kg

m v

m m

EmA + Wr = EmB; hB = x · sen 30°

2

A B

2

A

21 2A

2 2

1 – μ cosα· senα

2

1– senα μ cosα

2

1

0,5 · (4,76 m s )2 2 m sen α + μ cos α 9,8 m s · 0,5 + 0,1 · 9,8 m s · 0,866

m v m g x m g h m g x

v g x g x

vx

g g

35> Un cuerpo se desliza desde el reposo sin rozamiento por una vía en forma de rizo como indica la Figura 8.27. Calcula:

a) La velocidad del cuerpo cuando pasa por el punto A.




SOLUCIONARIO


b) La velocidad del cuerpo cuando pasa por el punto B.

c) ¿Desde qué altura se debe dejar caer el cuerpo para que al pasar por el punto B la fuerza centrípeta sea igual al peso del cuerpo?

Solución:

a) 2

mC mA c A

1;

2AE E m g h m g h mv

A C A2 ( )v g h h

2 1

A 2 · 9,8 m s · (6 1,5) m 9,4 m sv

b) 2

mC mB C B

1;

2BE E m g h m g h mv

B C B2 ( )v g h h

2 1

B 2 · 9,8 m s · (6 3) m 7,7 m sv

c) Fc = m g; 2

B

m vm g

R ;

2

Bv = R g

2

mh mB B B

1;

2E E m g h m g h mv

B

1

2g h g h Rg

B

1 13m 1,5m 3,75m

2 2h h R

36> Un bloque de 5,0 kg choca con una velocidad de 10 m s–1

contra un muelle de constante elástica k = 25 N m

–1. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie

horizontal es 0,20. Calcula la longitud que se comprime el muelle.




SOLUCIONARIO


Solución:

2 2

mo r mf 0

1 1; μ

2 2E W E mv m g x k x

37> Un bloque de madera está unido al extremo de un resorte, como indica la Figura 8.30. Contra el bloque, de 1,00 kg, se dispara horizontalmente un proyectil de 200 g con una velocidad de 100 m s

–1, que se incrusta en el bloque. Si la constante elástica del muelle

vale k = 200 N m–1

, calcula:

a) La velocidad con que inicia el movimiento del sistema bloque-proyectil después del impacto.

b) La longitud que se comprime el muelle.

Solución:

a) m1 v1 = (m1 + m2) v;

111 1

1 2

0,2 kg · 100 m s16,7 m s

1,2 kg

m vv

m m

b)

1 2 2 2

2 1 2

1 2

1

1 1( ) ;

2 2

( ) 1,2 kg · (16,7 m s )1,29 m

200 N m

m m v k x

m m vx

k

38> Se tiene un plano inclinado 60º respecto a la horizontal, cuya longitud es de 10,0 m. ¿Qué velocidad paralela al plano debe comunicarse a un cuerpo para que este llegue a la parte superior del plano inclinado con velocidad nula?

Dato: el coeficiente de rozamiento vale 0,100.

Solución:

2

1

2

1

1 ;

2

1 – μ cosα

2

rmv W m g h

mv m g x m g h

2

1 μ cosα· senα2

vg x g x

1 2 (μ cos α + sen α)v g x

2 1

1 2 · 9,8 m s 10 m · (0,1 · cos 60º + sen 60º) 13,4 m sv

39> Un coche tiene una potencia de 125 CV y una masa de 1 250 kg. El libro del usuario comenta que la velocidad máxima que puede mantener en llano es de 205 km h

–1. Si lo

lleváramos a un mundo ideal donde no hubiera rozamiento con el aire, ¿cuál sería la velocidad máxima que podría alcanzar el coche si su coeficiente de rozamiento con el suelo es 0,020?




SOLUCIONARIO


Solución:

W 125 CV · 735,5 91 940 W

CVP

Fr = μ m g = 0,02 · 1 250 kg · 9,8 m s–2

= 245 N

P = F v; –1 –191 940 W

375 ms 1 350 kmh245 N

Pv

F

40> Un bloque de 50 kg es empujado por una fuerza que forma un ángulo de 30º, como se indica en la Figura 8.31. El cuerpo se mueve con aceleración constante de 0,50 m s

–2. El

coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el suelo es 0,20. Calcula:

a) El módulo de la fuerza aplicada.

b) El trabajo realizado por esta fuerza cuando el bloque se desplaza 20 m.

c) La energía cinética del bloque cuando se ha desplazado la distancia anterior.

Solución:

a) F cos 30° – μ (m g + F sen 30°) = m a

0,866 F – 0,2 (50 kg · 9,8 m s–2

– 0,2 · 0,5 F) = 50 kg · 0,5 m s–2

F = 161 N

b) W = F Δx cos α = 161 N · 20 m · cos 30° = 2,8 kJ

c) 2 –2

c

1 Δ 50 kg·0,5 ms ·20 m 500 J

2E mv m a x

41> Un proyectil de masa 10 kg se dispara verticalmente desde la superficie de la Tierra con una velocidad de 3 200 m/s. ¿Cuál es la máxima energía potencial que adquiere?

Datos: radio medio de la Tierra RT = 6,37 · 106 m; gravedad en la superficie terrestre, g = 9,8

m/s2.

Solución:

Por el Principio de conservación de la energía mecánica, la máxima energía potencial se alcanza en el punto donde la energía cinética es nula, es decir, cuando el proyectil alcanza su altura máxima. Por tanto, la máxima energía potencial gravitatoria será igual a la energía mecánica del proyectil en el punto de lanzamiento, es decir, en la superficie terrestre:

2

c p Tp m x.

1 G

2á

E E E mv M m R

Siendo M la masa de la Tierra, m la masa del proyectil, G la Constante de gravitación universal, v la velocidad del proyectil en el punto de lanzamiento y RT el radio de la Tierra.

La aceleración de la gravedad en la superficie terrestre es:

2

T

GM

gR

Si introducimos este valor en la ecuación de la energía potencial máxima del proyectil, resulta:




SOLUCIONARIO


2 –1 2 –2 6 8

Tp m x.

1 1 10 kg·(3 200 ms ) –9,8 ms ·10 kg·6,37·10 m=–5,7 · 10 J

2 2á

E mv g m R



09 Unidad 9. Termodinámica física

SOLUCIONARIO

Física y Química. 1º Bachillerato 1−15

Actividades 1> Tenemos un cuerpo A a una temperatura T1 y un cuerpo B a una temperatura T2. Sabiendo que T1 < T2, explica si en algún caso es posible que las moléculas del cuerpo A tengan más energía cinética que las del B.

Solución:

El que un cuerpo esté más frío o más caliente que otro sólo depende de su temperatura, y ésta a su vez de la energía cinética promedio de las partículas que la constituyen. Es decir, esta energía cinética promedio, que es proporcional a la temperatura, será menor en el cuerpo más frío.

Pero la energía cinética total de las moléculas que componen el cuerpo podrá ser mayor. En este caso sólo con que la cantidad material del cuerpo frío sea suficientemente mayor que la del cuerpo caliente. Por ejemplo, un cubo con agua templada tiene mayor energía cinética molecular que una taza de café caliente, aunque la energía cinética promedio de las moléculas de este último, y por ende su temperatura, sean mayores.

2> Se tienen dos sartenes, una de plomo y otra de aluminio, de 200 g de masa. Si ambas están inicialmente a 20 °C y se calienta cada una con 1 000 J, ¿cuál de las dos no podrás tocar con las manos?

Solución:

El calor suministrado proporciona un aumento de temperatura en cada sartén mayor cuanto menor sea el calor específico del metal de que está fabricada (consulta la Tabla 8.1) Así:

Q = 1000 J = m ce (Tf – T0) = 0, 200 kg · 130 J kg–1

K–1

·(Tf – 293 K).

Tf = 331,5 K, es decir 58,5 C alcanzará la sartén de plomo.

Q = 1000 J = m ce (Tf – T0) = 0,200 kg · 895 J kg–1

K–1

· (Tf – 293 K).

Tf = 298,6 K, es decir 25,6 C alcanzará la sartén de aluminio.

Por tanto, no hay que tocar la de plomo, nos quemaríamos.

3> Se tiene una muestra de 120 g de plata y otra también de 120 g de hierro. Inicialmente están a 25 °C y se les transfieren 200 J de energía calorífica. ¿Alcanzarán la misma temperatura al final del proceso? Si entonces se ponen en contacto, ¿se producirán transferencias energéticas en forma de calor?

Solución:

No alcanzarán la misma temperatura, puesto que los calores específicos de ambos son distintos. Dado que el de la plata es menor, la temperatura que alcance será mayor, por lo que posteriormente si se ponen en contacto, ése cederá calor al hierro hasta conseguir el equilibrio térmico.

4> Disponemos de un coche que consume 7,0 L de gasolina (C8H18) por cada 100 km. Averigua:

a) El volumen de oxígeno, medido en condiciones normales, que se necesita para la combustión completa de estos 7,0 L de gasolina y el volumen de dióxido de carbono que se expulsa a la atmósfera a 765 mmHg y 25 ºC.

b) La cantidad de agua que podría calentarse desde 20 ºC hasta 60 ºC con la energía consumida por el vehículo en los 100 km.

Datos: densidad de la gasolina = 0,70 g cm–3

; capacidad calorífica del agua = 4,18 kJ kg–1

K–1

; calor de combustión de la gasolina = 44 · 103 kJ kg

−1.

Solución:

C8H18 + 25 O2/2 → 8 CO2 + 9 H2O

a) m (C8H18) = d V = 0,7 g cm−3

· 7 000 cm3 = 4 900 g




SOLUCIONARIO


8 18 28 18 24 1

8 188 18

1 mol C H 25 / 2 mol O4 900 gC H · 588,9 mol O

1 mol C H10 g mol C H

1 1

21

765 mm Hg 588,9 mol · 0,082 atm L K mol 298 K O 14297,3 L

760 mm Hg atmV V

8 18 28 18 24 1

8 188 18

1 mol C H 8 mol CO4 900 gC H · 376,9 mol O

1 mol C H10 g mol C H

1 1

21

765 mm Hg 376,9 mol · 0,082 atm L K mol 298 K CO 9149,7 L

760 mm Hg atmV V

b) Q desprendido combustión = 4,9 kg de C8H18 · 44 · 107 kJ kg

−1 = 215,6 · 10

7 kJ

Q = m ce T 215,6 · 107 kJ = m · 4,18 kJ kg

−1 K

−1 40 K m = 1,29 kg de agua

5> Una determinada masa de gas oxígeno ocupa un volumen de 2,0 L a 298 K y 1,2 atm de presión. Se la calienta hasta alcanzar 348 K a presión constante. Calcula su densidad al inicio y al final del experimento.

Solución:

La densidad es la relación entre la masa y el volumen, aunque la primera no cambia, el segundo sí lo hace durante el experimento.

pV = n R T pV = (m/Mol) RT m/V = p Mol/RT d = pMol/RT

dinicial = 0,8 atm · 32 g mol−1

/0,082 atm L K−1

mol−1

· 293 K = 1,1 g/L

dfinal = 0,8 atm · 32 g mol−1

/0,082 atm · L K−1

mol−1

· 350 K = 0,9 g/L

6> En un recipiente metálico se tiene un gas monoatómico encerrado a 27 ºC. Calcula a qué temperatura debería estar el gas para que su presión aumente un 45%.

Solución:

Condiciones iniciales: pV = n R (273 +23) K

Condiciones finales: 1,45 p V = n R Tf

Dividiendo ambas expresiones queda: 1/1,45 = 300 K/Tf Tf = 435 K = 162 ºC

7> Se tienen 3,5 g de oxígeno en un recipiente de 2,0 L a 20 °C. La presión atmosférica es de 0,97 atm y la temperatura exterior igual a la interior.

a) Si se abre el recipiente, ¿entra o sale gas?

b) Calcula la cantidad de oxígeno que sale o de aire que entra hasta alcanzarse el equilibrio.

c) Halla la temperatura que debería tener el oxígeno del recipiente para que al abrirlo ni entrara ni saliera gas.

Solución:

a) pV = n R T p · 2L = (3,5 g /32g mol−1

) · 0,082 atm L mol−1

K−1

· 293 K p = 1,3 atm.

Como p (int) > p (ext) sale el oxígeno hasta que se igualan presiones.

b) 0,97 · 2L = (m /32 g mol−1

) · 0,082 atm L mol−1

K−1

· 293 K

m = 2,6 g de O2 queda dentro; por tanto, el oxígeno que sale es 3,5 g − 2,6 g = 0,9 g




SOLUCIONARIO


c) 0,97 atm · 2L = (3,5 g /32g mol−1

) · 0,082 atm L mol−1

K−1

· T T=217 K

Es decir, el recipiente debería estar a −56C para que al abrirlo ni entrase ni saliese gas.

8> Demuestra que la atm L es una unidad de trabajo y calcula a cuántos J equivale.

Solución:

1 atm L = 1 atm · 101 300 N m−2

atm−1

· 1 L · 1 dm3 L

−1 · 10

−3 m

3 dm

−3 = 101,3 N m = 101,3 J

9> Comprueba de forma gráfica y numérica si el trabajo es o no función de estado a partir de la evolución de un sistema que está inicialmente a 1,5 atm y ocupa un volumen de 6 L cuando:

a) Triplicas su presión a volumen constante en una primera etapa, y en una segunda, divides por tres su volumen a presión constante.

b) Divides por tres su volumen a presión constante en una primera etapa y triplicas su presión a volumen constante en una segunda.

Solución:

a) 1ª etapa: p1 = 1,5 atm ; p2 = 4,5 atm ; V1 = 6 L ; V2 = 6 L

W = pΔV = 0

2ª etapa: p2 = 4,5 atm ; p3 = 4,5 atm ; V2 = 6 L ; V3 = 2 L

W = − pΔV = 1 atm · (2L – 6L) = 4 atm L = 4 atm L · 101,3 J atm−1

L−1

= 405,2 J

W total = 0 + 405,2 J = 405,2 J

b) 1ª etapa: p1 = 1,5 atm ; p2 = 1,5 atm ; V1 = 6 L ; V2 = 2 L

W = − pΔV = − 1,5 · (−4 L) = 6 atm L = 6 atm L · 101,3 J atm−1

L−1

= 607,8 J

2ª etapa: p2 = 1,5 atm ; p3 = 4,5 atm ; V2 = 2 L ; V3 = 2 L

W = − pΔV = 0

W total = 607,8 J + 0 = 405,2 J

10> Se calienta helio a presión constante de 273 K a 373 K. Si el gas realiza 20 J de trabajo durante el proceso, ¿cuál es la masa de helio presente?

Solución:

W = −p V = − n R T ; 20 J = m/4,0 0,082 atm L mol−1

K−1

·100 K ; m = 9,76 g

11> Calcula el trabajo realizado contra la presión atmosférica por el hidrógeno formado cuando se disuelven 2 g de magnesio en exceso de ácido clorhídrico diluido a 20 ºC. (Dato: Matómica del Mg = 24).

Solución:

Mg + 2 HCl → H2 + MgCl2

22

1 mol H1 mol Mg2 g Mg · 0,08 mol H

24 g Mg 1 mol Mg

W = −p V = − n R T ; W = − 0,08 mol · 0,082 atm L mol−1

K−1

·293 K ; W = − 2 J

12> En cada caso halla la variación de energía interna del sistema:

a) Cuando absorbe 500 cal y realiza 300 J de trabajo.

b) Cuando absorbe 300 cal y se le aplica 419 J.

c) Cuando se extraen 1 500 cal a volumen constante.

Solución:




SOLUCIONARIO


a) U = Q + W = +500 J – 300 J = + 200 J

b) U = Q + W = +300 J + 419 J = + 719 J

c) U = Q − pV = –1 500 J – 0= –1 500 J

13> Un sistema recibe 5 270 kJ de calor y cede un trabajo de 0,075 kW h. ¿Cuánto varía su energía interna?

Solución:

W = 0,075 kW h = 75 W h = 75 J s−1

· 3 600 s = 270 000 J = 270 kJ

U = + 5 270 kJ − 270 kJ = 5 · 103 kJ

14> En un proceso isobárico se transfieren a un sistema 3 000 calorías, mientras que este realiza un trabajo de 2,5 kJ. Calcula la variación que experimenta su energía interna.

Solución:

ΔU = Q + W ΔU = (3 000 cal · 4,18 J cal−1

) + (– 2500 J ) = 10 040 J

15> Un gas ideal inicialmente a 300 K se somete a una expansión isobárica a 1,5 atm. Si el volumen aumenta de 1 m

3 a 3 m

3, y se transfieren al gas 12,5 kJ de energía térmica,

calcula: la variación de energía interna; su temperatura final.

Solución:

W = –p V = –1,5 atm · (3 L – 1 L) = – 3 atm L

101,3 J – 3 atm L – 303,9 J

1 atm LW

U = + 12,5 · 103 J – 303,9 J = + 12196,1 J = 12,2 kJ

pV0 = nRT0 1,5 atm · 1 L = n · 0,082 atm L mol−1

K−1

· 300 K n = 0,06 mol

pV0 = nRTf 1,5 atm · 3 L = 0,06 mol · 0,082 atm L mol−1

K−1

·Tf Tf = 915 K

16> Un sistema que contiene 2,1 moles de gas oxígeno evoluciona isocóricamente mediante la emisión de calor bajando su temperatura en 15 °C. Calcula la variación que experimenta su energía interna.

Solución:

Cv = 648 J kg−1

K−1

= 648 J · kg−1

· 32 · 10−3

kg mol−1

K−1

= 20,7 J mol−1

K−1

U = Q = n Cv (Tf – T0) = –2,1 mol · 20,7 J mol−1

K−1

15 K = –652 J

17> Calcula el valor del calor específico (Cv) del nitrógeno si durante un proceso en el cual su volumen permanece constante, 16,8 g de este gas desprenden 250 J al descender su temperatura 20 °C.

Solución:

1 1

f 0

16,8 – –250 J mol · –20 K 20,8 J mol K

28v v vU Q n C T T C C

18> Un sistema desprende 2,0 · 105

calorías sin variar su energía interna. Determina el trabajo realizado indicando si lo hace el sistema o el entorno.

Solución:

Si desprende 2 · 105 calorías sin que varíe su energía interna es que se trata de un proceso

isotérmico; luego 0 = Q + W = –2 · 105 cal + W W = 2 · 10

5 cal = 83,7 kJ

Al ser positivo lo realiza el entorno contra el sistema.




SOLUCIONARIO


19> Un sistema lleva a cabo un trabajo de expansión de 450 J mediante una transformación isotérmica. Indica el calor que absorbe o emite este sistema.

Solución:

0 = Q + W = Q – 450 J Q = 450 J (absorbido por el sistema).

Ciencia, tecnología y sociedad 1> ¿Por qué el agua se mantiene líquida en una olla a presión por encima de 100 °C?

Solución:

Porque debe vencer una presión mayor que la atmosférica.

2> ¿Cómo se produce el dióxido de carbono que está encerrado en las botellas de vino espumoso?

Solución:

Se trata de un proceso de fermentación, en este caso de la uva. Los microorganismos procesan los hidratos de carbono y dan como resultado, además del alcohol, gran cantidad de CO2.

3> Comenta el problema medioambiental derivado del tipo de gas encerrado en los tubos de los frigoríficos.

Solución:

El problema medioambiental que pueden generar los antiguos frigoríficos es que contienen CFC en el circuito generador de frío y en las espumas aislantes situadas en todo el perímetro de la carcasa.

Se trata de CFC que hacen las veces de fluido refrigerante, necesario para que el frigorífico funcione como una máquina térmica.

Recordemos que los CFC son compuestos organoclorados muy estables y poco tóxicos, pero que una vez en la atmósfera son capaces de provocar la destrucción de la capa de ozono. Los rayos ultravioletas de la estratosfera liberan los átomos de cloro de los CFC, que reaccionan con las moléculas de ozono, O3 y forman óxidos de cloro.

Por ese motivo en los años 90 fueron prohibidos y sustituidos paulatinamente por otros compuestos con idénticas propiedades.

Experiencia de laboratorio 1> ¿Podrías llenar el globo de otro líquido sin que explote?

Solución:

Cualquier líquido que pase de líquido a vapor a menos de 100oC

2> ¿Por qué utilizamos un huevo cocido para el experimento?

Solución:

Por ser muy flexible

3> Comenta otras «máquinas» diseñadas por Herón de Alejandría.

Solución:

Recomendamos al alumno centrar su búsqueda de información en las páginas web siguientes:

http://www.youtube.com/watch?v=ZUYj1svHVJ4

para la fuente móvil

y

http://www.youtube.co/watch?v=ZOUjGSEXS8g&feature=related



http://www.youtube.com/watch?v=ZUYj1svHVJ4

http://www.youtube.co/watch?v=ZOUjGSEXS8g&feature=related


SOLUCIONARIO


http://www.youtube.com/watch?v=JbTIh6aXxb8&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=uKXheZDdmyw

para otros inventos. Todos espectaculares!

Problemas propuestos

1> ¿A qué temperatura las lecturas de dos termómetros, uno de ellos graduado en escala centígrada y el otro en Fahrenheit, indican la misma lectura?

Solución:

C = (F−32) / 1,8 x = (x−32) / 1,8 x = 40 ºC

2> Comunicamos la misma cantidad de calor a dos cuerpos distintos, de igual masa y que están a la misma temperatura. Explica en qué cuerpo aumentará más la temperatura.

Solución:

Q = m ce (Tf – T0) Tf = T0 + Q / m ce de donde se deduce que el cuerpo cuyo calor específico

sea menor aumentará más el cociente, posteriormente la suma y por ende la temperatura final.

3> Un cuerpo de 200 g de masa cede 420 calorías por medio de un descenso térmico de 20 °C. Indica cuál será su calor específico.

Solución:

Q = m ce (Tf – T0) ; 420 cal · 4,18 J cal−1

= 200 · 10−3

kg · Ce 20 K ce = 440 J kg−1

K−1

4> Indica cuáles de las siguientes afirmaciones referidas al calor son ciertas:

a) Los cuerpos que están calientes poseen calor.

b) El calor es debido a la energía cinética que poseen las partículas del sistema.

c) Podrá existir calor cuando exista diferencia de temperatura entre dos sistemas en contacto.

d) Las sustancias cuyo calor específico sea elevado se calientan despacio y se enfrían también despacio.

Solución:

a) Falsa, puesto que los cuerpos no poseen calor.

b) Falsa, puesto que el calor no depende de la energía cinética molecular.

c) Cierta, puesto que el calor es energía que fluye entre dos sistemas que estando en contacto tengan inicialmente distinta temperatura.

d) Cierta. El calor específico (y la capacidad calorífica) se pueden considerar como la inercia que un cuerpo tiene a una variación térmica. Un elevado valor de estas magnitudes denota la necesidad de altos valores de tránsitos de calor para alterar su temperatura.

Cuando un cuerpo toma calor aumentan sus movimientos traslacionales, rotacionales, vibracionales, interacciones intermoleculares, etc. Por ello los cuerpos que deban distribuir su calor entre todas estas situaciones alterarán difícilmente su temperatura, ya que esta sólo depende de la variación de energía cinética. Así sometidos al mismo tipo de foco calorífico, el agua tardará más tiempo en alterar su temperatura (pues además de movimientos traslacionales tiene otros tipos de movimientos) que un trozo de hierro cuyo movimiento principal traslacional es el de vibración.

5> Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Halla la cantidad de calor necesario para elevar la temperatura de 100 g de cobre desde 10 °C a 100 °C.



http://www.youtube.com/watch?v=JbTIh6aXxb8&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=uKXheZDdmyw


SOLUCIONARIO


b) Suponiendo que a 100 g de aluminio a 10 ºC se le suministra la cantidad de calor del apartado anterior, deduce qué cuerpo, cobre o aluminio, estará más caliente.

Calores específicos: cobre 0,093 cal/g °C y aluminio 0,217 cal/g °C.

Solución:

a) Q = m ce (Tf – T0) = 100 g · 0,093 cal/g ºC · 90 ºC = 837 cal

b) Q = m ce (Tf – T0) 837 cal = 100 g · 0,217 cal/g ºC · T T = 38,6 ºC

Luego, el cobre se calienta más.

6> Se mezclan 50 mL de HNO3(ac) con otros 50 mL de NaOH(ac) y la temperatura del sistema varía de 21 °C a 32 °C. ¿Cuál será el calor desprendido en el experimento?

Datos: densidad de las disoluciones = 1,0 · 103 kg m

–3.

Solución:

Masa disoluciones = d V = 1,0 · 103 kg m

–3 · 100·10

−6 m

3 = 0,1 kg

Q = m ce (Tf – T0) = 0,1 kg · 4,20 kJ kg–1

ºC–1

· 11 ºC = 4,6 kJ

7> Sabiendo que el calor de combustión del butano es de 2 642 kJ mol–1

, determina el número de bombonas de butano (6 kg de butano/bombona) que hacen falta para calentar una piscina de 50 m

3 de 14 a 27 °C.

Solución:

Q = m ce (Tf – T0) = 50 · 103 dm

3 · 1 kg dm

–3 4,18 kJ K

–1 kg

–1 · 13 K = 2,72 · 10

6 J

3 1

1

6 000 g2,72 · 10 kJ 2 642 kJ mol · · nº bombonas nº bombonas 10

58 g mol

8> La Figura muestra la variación térmica experimentada por dos cuerpos metálicos que se calientan de manera uniforme. Sabiendo que sus masas son mA = 162 g y mB = 112 g, calcula el calor específico de cada uno.

Solución:

Se calcula la pendiente de cada recta:

p = T /Q m (A) = 175 C / 12 500 kJ = 0,014 C kJ−1

m (B) = 125C / 12500 kJ = 0,010 C kJ−1

El incremento de temperaturas es el mismo para centígrados que para kelvin, así que emplearemos este último.

ce (A) = Q / mA T = (1/mA )p ce (A) = 1/0,162 kg · 0,014 K kJ−1

= 0,93 kJ kg−1

K−1

ce (B) = Q / mB T = (1/mB )p ce (B) = 1/0,112 kg · 0,010 K kJ−1

= 0,54 kJ kg−1

K−1

9> Un generador eólico tiene una potencia de 120 kW h y funciona durante una media de 10 h al día. Calcula la cantidad de agua a 20 °C que puede calentarse hasta 60 °C con la energía producida por el generador durante una semana.

Solución:

Energía = 120 kw h · 70 h = 8 400 kw h = 8 400 · 103 J s

−1 · 3 600 s = 3 024 ·10

7 J

Q = m ce (Tf –T0) 3 024 · 107 J = m · 4,18 · 10

3 J kg

−1 K

−1 · 40 K m = 1,8 · 10

5 kg

10> Una determinada masa de gas oxígeno ocupa un volumen de 2 L a 298 K y 1,2 atm de presión. Se la calienta hasta alcanzar 348 K a presión constante. Calcula su densidad al inicio y al final del experimento.

Solución:

pV = n R T pV = (m/Mol) R T m/V = p Mol /RT d = p Mol /RT

dinicial = 1,2 atm · 32 g mol−1

/ 0,082 atm · l K−1

mol−1

· 298 K = 1,6 g/L




SOLUCIONARIO


dfinal = 1,2 atm · 32 g mol−1

/ 0,082 atm · l K−1

mol−1

· 348 K = 1,4 g/L

11> Una botella de acero de 10 L contiene aire. La presión exterior es de 760 mm de Hg, y se supone que al calentarse la botella no se dilata apreciablemente. Sabiendo que la densidad del aire en condiciones normales es de 1,293 g/L, calcula:

a) La cantidad de aire que contiene, sabiendo que su temperatura es de 0 ºC y que su presión es de 1 140 mm de Hg.

b) Sin abrir la botella se calienta a 100 ºC. ¿Cuál será ahora su presión interior?

c) Se mantiene la temperatura en 100 ºC y se abre la botella. ¿Qué masa de aire entra o sale?

d) Se cierra de nuevo la botella y se enfría a la temperatura inicial. ¿Cuál será ahora la presión interior?

Solución:

a)

molar

1 1

mol mol;

R R

Mol medio del aire 22,4 L· 1,293 g / L 28,96 g

1140 / 760 atm ·10 L·28,96 gmol19,4 g

R 0,082 atm L mol K 273 K

pV m pm d

T V T

V d

pVm

T

b) ' 1 140 / 760 atm '

' 2,1 atm' 273K 373K

p p pp

T T

c) pV = (m / mol) RT 1 atm · 10 L = (m / 28,96) · 0,082 atm L mol−1

K−1

· 373 K ; m = 9,5 g

Por lo tanto, el aire que sale: m' = 19,4 g – 9,5 g = 9,9 g

d) p · 10 L = (9,5/28,96) 0,082 atm L mol−1

K−1

· 273 K ; p = 0,73 atm

12> Un mol de vapor de agua a 373 K se enfría a 283 K. El calor entregado por el vapor de agua que se enfría lo absorben 10 moles de un gas ideal, y esta absorción de calor ocasiona que el gas se expanda a una temperatura constante de 273 K. Si el volumen final del gas ideal es 20 L, determina su volumen inicial.

Solución:

Q = m ce (Tf –T0) Q = 18 g · 4,18 J g−1

K−1

· 90 K = 6 771,6 J

Isotérmico Q = W W = 6 771,6 J

6 771,6 J = p (20L – V0) ;

pV = n R T p · 20 L = 10 mol · 0,082 atm L mol−1

K−1

· 273 K p = 11,2 atm

0 01

6 771,6 J11,2 atm (20 L – ) 14 L

101,3 J atmLV V

13> Dos recipientes unidos entre sí están separados por una pared que puede retirarse. El primero contiene 10 L de gas nitrógeno a 20 ºC y 1 atm de presión, mientras que el segundo contiene 30 L de gas oxígeno a 20 ºC y 0,7 atm. Determina:

a) El número de moles y moléculas de cada recipiente.

b) La presión del sistema si se quita la pared que los separa.

c) Hacia dónde hay mayor movimiento de moléculas.

Solución:

a) n (N2) = pV / RT = 1 atm · 10 L / 0,082 atm L mol−1

K−1

293 K = 0,42 mol ;

moléculas (N2) = moles · NA = 0,42 mol · 6,022 · 1023

moléculas mol−1

= 2,5· 1023

moléculas




SOLUCIONARIO


n (O2 ) = p'V' / RT' = 0,7 atm · 30 L / 0,082 atm L mol−1

K−1

293 K = 0,87 mol

moléculas (O2) = moles · NA = 0,87 mol · 6,022 · 1023

moléculas mol−1

= 5,2· 1023

moléculas

b) pT = nT R T / VT = (0,42 + 0,87) mol · 0,082 atm L mol−1

K−1

293 K / (10 L + 30 L) = 0,78 atm

c) Se moverán más moléculas de nitrógeno hacia el recipiente del oxígeno que al revés porque la presión de aquel es mayor que la de este.

14> Del calor que se transmite a un sistema, 180 kJ se emplean en realizar un trabajo de expansión, existiendo una presión exterior de 4,50 atm. Calcula la variación de volumen experimentada por el sistema.

Solución:

En un proceso isotermo se cumple que 0 = Q + W.

En este caso el calor es positivo porque lo recibe el sistema, y el trabajo negativo porque lo da, es decir, 0 = 180·10

3 J · (1 atm L /101,3 J) – 4,5 atm V V = 395 L.

15> Dos moles de un gas se expanden manteniendo la presión constante de 700 mm Hg. Calcula el volumen final que ocupa el gas si realiza un trabajo de 525 J.

1 1

0 0 0

700 mm Hg R 2 · 0,082 atm L mol K 293 K 52,2 L

760 mm HgpV n T V V

700 mm Hg ; 525 J 483,6 L

760 mm HgW p V V V

Vf = 483,6 L + 52,2 L = 535,8 L

16> Calcula el trabajo que realiza el sistema cuando se vaporiza 1 L de agua a 100 ºC y presión atmosférica normal. Indica también qué tipo de trabajo es este.

Solución:

1 1 3

1

1 000 g R 0,082 atm L mol K 373 K –1,7 · 10 atm L

18 g molW p V n T

W = –1,7 · 103 atm L · 101,3 J (atm L)

−1 = –1,7 · 10

5 J

17> Un gas ideal evoluciona reversiblemente de un estado inicial A (p, V) a otro final B (p/2, 2V). Explica en qué caso realiza más trabajo: cuando evoluciona de A a B mediante un proceso isotermo o cuando lo hace mediante un proceso compuesto por una primera etapa a volumen constante seguida de otra a presión constante.

Solución:

A (p,V) → B (p/2, 2V)

Si el proceso es isotermo W = n R T Ln V2/V1= n R T Ln 2 = 0,7 n R T

En dos etapas:

1ª etapa V = cte W1 = 0

2ª etapa W2 = p (2V – V) = pV = n R T

W’ = 0 + n R T = n R T

Vemos que W’ > W




SOLUCIONARIO


18> Un gas ideal se encuentra a una presión de 5 atm y ocupa un volumen de 2,5 L a 20 ºC. Dibuja en un diagrama p−V la expansión isóbara producida hasta alcanzar un volumen de 5 L y calcula el trabajo realizado.

Solución:

W = p V = 5 atm · 2,5 L = 7,5 atm L ; W = 7,5 atm L · 101,3 J (atm L)−1

= 760 J

19> Determina la variación de energía interna de un sistema que:

a) Absorbe 150 J de calor y hace un trabajo de 100 J.

b) Desprende 300 J y hace un trabajo de 0,15 kJ.

Solución:

a) U = Q + W = 150 J – 100 J = 50 J

b) U = − 300 – 150 J = –450 J

20> Un cilindro hueco, cerrado por un émbolo móvil que puede deslizarse en él, contiene 2,5 moles de dióxido de carbono a 20 °C. Se calienta a presión constante hasta 80 °C, de manera que el calor solo se emplea en dilatar el gas. Calcula:

a) El calor suministrado al sistema.

b) El trabajo realizado por el gas.

Solución:

a) El calor se obtiene empleando la ecuación correspondiente e incluyendo en ella el dato del calor específico a presión constante que aparece en la Tabla 8.1

Q = m cp (Tf – T0) = 2,5 mol · 44 g mol−1

· 0,832 J g−1

K−1

(353 – 293) K = 5,5 ·103 J

Como es calor dado al sistema, su signo es positivo.

b) El trabajo se calcula empleando su ecuación correspondiente transformada, pues en este caso no conocemos ni la presión ni la variación de volumen.

W = –pV = –n R T = –2,5 mol · 8,31 J mol−1

K−1

(353 – 293) K= –1,3 · 103 J

Al ser un trabajo realizado por el sistema su signo es negativo.

21> Indica la variación que experimenta la energía interna de un sistema en los siguientes casos:

a) Sistema cerrado que realiza un trabajo a expensas de la totalidad del calor que recibe por transferencia.

b) Sistema cerrado de paredes fijas que transfiere calor al entorno.

c) Sistema adiabático sobre el que se realiza un trabajo.




SOLUCIONARIO


d) Sistema adiabático que realiza un trabajo sobre el entorno.

Solución:

a) Si el calor recibido se invierte totalmente en realizar trabajo ΔU = 0.

b) Si el sistema es de paredes fijas, ΔV = 0, por lo que no puede realizar trabajo, y así el calor emitido se realiza a expensas de la energía interna: ΔU = –Q.

c) En un sistema adiabático no hay intercambios de calor con el exterior, es decir Q = 0, por lo que si el sistema recibe energía en forma de trabajo, su energía interna deberá de aumentar en una cantidad igual: ΔU = + W.

d) Siguiendo el mismo razonamiento anterior, en este caso el sistema disminuye su energía interna en una cantidad igual al trabajo realizado: ΔU = –W.

22> Dos moles de oxígeno se expanden a presión constante de 1,5 atm, pasando su volumen de 15 L a 20 L. Sabiendo que Ce = 29,15 J mol

−1 K

−1, calcula:

a) El trabajo realizado por el gas.

b) El calor que toma o cede del exterior.

c) La variación de su energía interna.

Solución:

a) El trabajo se calcula a partir de la variación que experimenta el volumen:

W = –p V = –1,5 atm · (20 L – 15 L) = –7,5 atm L

101,3 J – 7,5 atm L – 760 J

atm LW

b) Para saber el calor es preciso conocer la variación de temperatura experimentada por el sistema:

T0 = p V0 / n R = 1,5 atm · 15 L / 2 mol · 0,082 atm L K−1

mol−1

= 137 K

Tf = p Vf /n R = 1,5 atm · 20 L / 2 mol · 0,082 atm L K−1

mol−1

= 183 K

Ahora: Q = n Cp (Tf – T0) = 2 mol · 29,15 J mol−1

K−1

(183 K – 137 K) = 2,7 · 103 J.

Como es calor es positivo significa que es tomado por el sistema, lo cual coincide con el aumento térmico que has calculado.

c) La variación de energía interna viene dada por el Primer principio:

ΔU = Q + W = 2 664,5 J – 760 J = 1,9 · 103 J

23> Elige la respuesta correcta en relación con un proceso termodinámico:

a) El sistema aumenta su energía interna cuando el calor que cede es más grande que el trabajo que se hace sobre el mismo.

b) El calor liberado por el sistema hacia el entorno se considera positivo.

c) El sistema aumenta su energía interna si el calor que absorbe es mayor que el trabajo transformado en calor por este.

Solución:

a) Q cedido (−) ; W recibido (+) U = Q + W si Q > W U < 0

b) Q cedido (−)

c) Q absorbido (+) ; W cedido (−) U = Q + W si Q > W U > 0

Esta última es la única respuesta correcta en un sistema termodinámico.

24> Cierto volumen V1 de un gas ideal a la presión p1 y temperatura T1 se expande reversiblemente hasta alcanzar un volumen V2 = 2V1. Si esta expansión es isóbara,




SOLUCIONARIO


establece si la energía interna del gas aumenta o disminuye por efecto de esta expansión.

Solución:

En un proceso isobárico se cumple que:

ΔU = Q p + W = n Ce (T2 – T1) – p (V2 – V1)

En nuestro caso:

ΔU = n Ce (T2 – T1) – p (2 V1 – V1) = n Ce (T2 – T1) – pV1

Por otra parte: T1 = pV1 / nR

T2 = pV2 / nR

de donde T1 / T2 = V1 / V2 = V1 / 2 V1 = ½

Así queda:

ΔU = n Ce (2T1 – T1) – pV1 = nCeT1 – pV1 = nCeT1 – nRT1 = nT1 (Ce–R) > 0

25> Dos moles de un gas perfecto monoatómico se expansionan isotérmicamente a 400 K desde una presión inicial de 4 atm hasta 1 atm. Calcula:

a) El trabajo realizado por el gas en J.

b) El calor absorbido en calorías.

c) La variación de energía interna en J.

Solución:

a) Calcularemos el volumen inicial del gas:

pV = n R T ; 4 atm · V = 2 mol · 0,082 atm L K−1

mol−1

· 400 K; V = 16,4 L

El volumen final será: p0 V0 = pf Vf ; 4 atm · 16,4 L = 1 atm · Vf ; Vf = 65,6L

El trabajo realizado por el gas será:

W = –n R T Ln V2/V1= –2 mol · 0,082 atm L K−1

mol−1

· 400 K · Ln 65,6L/16,4 L = –90,9 atmL

101,3 J–90,9 atm L –9 208,2 J

atm LW

b) 1 cal

– – (–9 208,2 J)· 2 202,9 cal 2,2 kcal4,18 J

Q W

c) En todo proceso isotérmico se cumple que U = 0.

26> Calcula el calor intercambiado por un gas ideal en los siguientes casos:

a) Cuando se comprime isotérmicamente mediante un trabajo de 300 J.

b) Cuando experimenta una transformación isócora en la que su energía interna aumenta en 5 kJ.

Solución:

a) Una expansión isotérmica tiene U = 0 0 = Q + W ; Q = –W = –300 J.

b) Una expansión isocórica tiene W = 0 U = Q , es decir Q = 5 kJ.

27> Una cierta cantidad de gas ideal se encuentra en un estado inicial de equilibrio termodinámico, a partir del cual se le puede someter a dos procesos alternativos, suministrándole la misma cantidad de calor Q. En uno de ellos el suministro se hace a volumen constante y en el otro, a presión constante. ¿En cuál de los dos la temperatura




SOLUCIONARIO


final será mayor?

Solución:

En un proceso isocórico se cumple que Q = U, es decir, todo el calor se emplea en producir una

variación de la energía interna que a su vez sólo depende de la temperatura, mientras que en un

proceso isobárico se cumple que Q = U – W, es decir, el calor se emplea en modificar la

energía interna y en producir un trabajo. Por tanto, la variación de energía interna será menor en este caso y con ello la temperatura alcanzada también.

28> Una máquina térmica, cuyo foco caliente está a 110 ºC, toma 80 cal en cada ciclo y cede 60 cal al foco frío. Calcula la temperatura del foco frío.

Solución:

1 2 1 2 22

1 1

- - 383 - 80 cal - 60 calη = = = 287,2 K

80 cal 383

Q Q T T TT

Q T K

Es decir t = 14,2C

29> Halla el rendimiento de una máquina térmica que funciona entre 180 ºC y 35 ºC. Calcula también la temperatura del foco caliente para que el rendimiento sea del 60,0 %, si se mantiene constante la temperatura del foco frío.

Solución:

1 2

1

- 453 K - 308 Kη = 0,32 32%

453 K

T T

T

Si el rendimiento es del 60%, se cumple que:

1 2 11

1 1

- - 308 Kη = 0,6 = 770 K ; 497 C

T T TT t

T T

30> La vaporización de 1 mol de mercurio a 1 atm y 357 ºC —punto de ebullición— absorbe 272,7 J g

−1. Considerando despreciable el volumen del mercurio líquido frente al del vapor,

calcula el calor absorbido, el trabajo y la variación de la energía interna.

Dato: masa atómica del Hg = 201 uma.

Solución:

Q abs = 272,7 J g−1

· 201 g = 55 · 103 J

PV = n R T 1 atm · V = 1 mol · 0,082 atm L mol−1

K−1

630 K V = 51,7 L

W = –1 atm (Vg – Vℓ) ~ –1 atm · 51,7 L = –51,7 atm L

W = –51,7 atm L · 101,3 J (atm L)−1

= –5,24 · 103 J

ΔU = Q + W = 54,8 · 103 J – 5 237,2 J = 49,6 · 10

3 J

31> Un cilindro de 825 cm3

provisto de un émbolo móvil contiene 6,72 g de nitrógeno gaseoso a 25 °C. Se le comunican 32 J de calor de forma que su temperatura aumenta hasta 41,4 °C. Calcula:

a) Los moles de nitrógeno que contiene y la presión inicial.

b) El trabajo realizado.

c) La variación que experimenta su energía interna.

Dato: cv = 740 J kg−1

K−1

.

Solución:

a) Moles de N2 = masa /Mol = 6,72 g / 28 g mol−1

= 0,24 mol

pV = n R T p · 0,825 L = 0,24 mol · 0,082 atm L mol−1

K−1

298 K p = 7,1 atm




SOLUCIONARIO


b) 7,1 atm · Vf = 0,24 mol · 0,082 atm L mol−1

K−1

314,4 K Vf = 0,872 L

W = –7,1 atm (0,872 L – 0,825 L) = –0,33 atm L = –33,8 J

c) U = Q + W = 32 J – 33,8 J = –1,8 J

32> Tenemos 2,0 moles de un gas ideal en un pistón que ocupa un volumen de 10 L a una presión de 4,0 atm. En una primera etapa, se calientan, a volumen constante, hasta que su presión se eleva hasta 8,0 atm. En una segunda etapa, se produce una expansión a temperatura constante hasta que la presión es la inicial, 4,0 atm. Por último, en una tercera etapa, se reduce su volumen, a presión constante, hasta su volumen inicial de 10 L.

a) Representa en un diagrama p−V las tres transformaciones, indicando el término con que se representa cada una y si ha absorbido calor del medio ambiente o lo ha cedido.

b) ¿Cuál ha sido el trabajo total realizado por el gas en el ciclo?

Solución:

a)

Primera etapa: p0 = 4 atm ; V0 = 10 L

pf = 8 atm ; Vf = 10 L

Segunda etapa: p0 = 8 atm; V0 = 10 L

0 0

f f

8 atm · 10 L 4 atm ; V =

4 atmf

p Vp

p

Vf = 20 L

Tercera etapa: p0 = 4 atm ; V0 = 20 L

pf = 4 atm ; Vf = 10 L

La primera etapa es una transformación isocórica en donde se produce un calentamiento externo, tal y como dice el enunciado, luego el sistema absorbe calor del medio. Como toda trasformación isocórica, al no haber variación del volumen, no hay trabajo: W = 0.

La segunda etapa es una transformación isotérmica en donde se produce un aumento de volumen, que en este caso se produce a expensas del calor del sistema (0 = Q + W), luego el sistema también absorbe calor para producir el trabajo de expansión.

En el tercer caso se trata de una compresión isobárica por lo que el sistema cede calor. En esta etapa, y como en una compresión isobárica la temperatura final es menor que la inicial, la variación de energía interna es negativa. Como se produce una compresión, el trabajo es

positivo, ya que se realiza sobre el sistema. Como U = Q + W, para que tengamos una U

negativa con un W positivo es necesario que Q sea muy negativo.

b) Como se trata de un ciclo tenemos que sumar los trabajos que se realizan a lo largo de los tres procesos:




SOLUCIONARIO


W1 = 0 ;

f f2

0 0

– Ln – V Ln – 4 · 20 · 101,3 · Ln 2 – 5 617 JV V

W n R T pV V

W3 = 40 atm L = 4 041,2 J

WT = 0 + (–5 617) + 4 041 = –1 576 J ; realiza un trabajo de 1,6 kJ

33> Medio mol de gas argón ocupa un volumen de 2,0 L a la temperatura de 300 K. Se le somete a un proceso a presión constante, durante el cual se le suministra el calor Q = 210 cal. Determina:

a) La temperatura del estado final.

b) El volumen del estado final.

c) La variación de su energía interna.

d) El trabajo realizado por el gas.

Datos: CV = 12,5 J mol−1

K−1

; Cp = 20,9 J mol−1

K−1

.

Solución:

a) En un proceso isobárico se cumple que: Q = n Ce (Tf −T0):

210 cal · 4,18 J cal−1

= 0,5 mol · 20,9 J mol−1

K−1

(Tf –300 K) Tf = 384 K

b) pV0 = n R T0 p ·2 L = 0,5 mol · 0,082 atm L K−1

mol−1

· 300K ; p = 6,15 atm

Luego aplicamos a las condiciones finales:

pVf = n R Tf 6,15 atm Vf = 0,5 mol · 0,082 atm L K−1

mol−1

· 384K ;Vf = 2,56 L

c) En un proceso isobárico se cumple que:

U = Q + W = 210 cal · 4,18 J cal−1

+ 877,8 J = 1 226,7 J

d) W = p V = 6,15 (2,56 L – 2 L) · 101,3 J (atm L)−1

= 877,8 J



10 Unidad 10. Electricidad

SOLUCIONARIO


Actividades 1> Observa la Fig.10.7 e indica qué fuerzas están mal dibujadas.

Solución:

Por un error en el dibujo, las fuerzas 1 3 8 11, , ,F F F F deben tener sentido contrario al indicado en la

figura.

2> Si la distancia entre dos cargas se duplica, la fuerza de interacción:

a) No se modifica.

b) Se reduce a la mitad.

c) Se reduce a la cuarta parte.

d) Se hace cuatro veces mayor.

Solución:

De acuerdo con la Ley de Joule la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Por tanto, si la distancia se duplica, la fuerza se reduce a la cuarta parte, y es verdadera la afirmación c).

3> De acuerdo con la Fig. 10.8, indica qué afirmaciones son falsas:

a) Las cargas q3 y q4 son del mismo signo.

b) Las cargas q2 y q4 tienen el mismo signo.

c) Las cargas q1 y q4 son del mismo signo.

d) Las cargas q1 y q2 son de signo contrario.

Solución:

De acuerdo con las fuerzas dibujadas, las cargas q2 y q3 tienen signo contrario, porque se atraen. Por la misma razón la carga q4 tiene signo contrario a la carga q3. Por tanto, las cargas q2 y q4 tienen el mismo signo y la carga q1 tendrá signo contrario a q3. Es decir, las cargas q1, q2 y q4 tienen el mismo signo. En consecuencia:

La afirmación a) es falsa.

La afirmación b) es verdadera.

La afirmación c) es verdadera.

La afirmación d) es falsa.




SOLUCIONARIO


4> Dada la distribución de carga que se indica en la Fig. 10.16 dibuja, en el plano del triángulo, el esquema de las líneas del campo eléctrico.

Solución:

5> Cuando dos cargas del mismo signo se separan entre sí, ¿aumenta o disminuye el potencial? ¿Cómo varía el potencial si las cargas anteriores se aproximan?

Solución:

Cuando dos cargas del mismo signo se separan entre sí el trabajo de repulsión lo realiza el campo eléctrico a costa de su energía potencial que disminuye. Si queremos aproximarlas, el trabajo de aproximación lo debe realizar una fuerza exterior. Este trabajo exterior aumenta la energía potencial del sistema.

6> Una gotita de aceite que pesa 1,9·10–15

N está en equilibrio (Fig.10.22) en un campo eléctrico uniforme de intensidad 6,0·10

3 N/C.

a) ¿Qué carga tiene la gota?

b) ¿Cuántos electrones tiene en exceso?

Solución:

Para que haya equilibrio se debe cumplir: Eq = mg

a) 15

19

3

1,9·10 N3,2 10 C

6,0 10 N/C

mgq

E

b) 19

19

3,2 10 C2electrones

1,6 10 C/e

qn

e




SOLUCIONARIO


7> ¿Las lámparas y electrodomésticos de tu casa están conectados en serie o en paralelo? Da tres razones para justificar tu respuesta.

Solución:

Están conectadas en paralelo:

Cada aparato está conectado a la misma tensión de 220 V. Que es la tensión total del circuito.

Cada aparato funciona independientemente de que los demás estén o no funcionando.

Si un aparato se apaga o se funde, los demás no se apagan.

8> Los circuitos A y B de la Fig.10.33 están formados por una batería y dos bombillas iguales.

Señala la afirmación correcta en cada caso:

a) Las bombillas están en serie en A y en B.

b) Las bombillas están en paralelo en A y en B.

c) Están en serie en B y en paralelo en A.

d) Están en serie en A y en paralelo en B.

e) Las bombillas lucen más en A.

f) Lucen más en B.

g) Lucen con la misma intensidad en A y en B.

Si se afloja una bombilla en cada circuito, la otra bombilla:

a) Se apaga en A, pero sigue luciendo en B.

b) Se apaga en A y en B.

c) Se apaga en B, pero sigue luciendo en A.

d) Sigue luciendo en A y en B.

Solución:

Son correctas las afirmaciones:

d) puesto que las bombillas están en serie en A y en paralelo en B.

f) las bombillas lucen más en B, porque están conectadas en paralelo. Si se afloja una bombilla se apagan las demás que estén en serie con ella y seguirán luciendo las que estén en paralelo con la bombilla apagada.

a) se apaga en A pero sigue luciendo en B.

9> ¿Qué resistencia debes conectar en serie con otra de 10Ω a una tensión de 120V para que por el circuito pase una corriente de 2,5 A? ¿Qué caída de tensión se produce en cada resistencia?

Solución:

La resistencia total debe valer 120V

482,5A

VR

I

Se debe conectar, pues, una resistencia:

R=48 Ω–10 Ω=38 Ω

Caída de tensión:

V1=R1I=38Ω·2,5A=95 V




SOLUCIONARIO


V2=R2I=10Ω·2,5A=25 V

10> Dos resistencias de 20 Ω y 30 Ω se conectan en paralelo a una batería de 6,0 V.

a) Dibuja el circuito.

b) Halla la resistencia equivalente.

c) Calcula la intensidad en cada resistencia.

Solución:

a)

b) 1 2

1 1 1 1 1 5

20 Ω 30 Ω 60 ΩR R R

R = 12 Ω

c) 1

1

63,0 A

20 Ω

VI

R

2

2

60,2 A

30 Ω

VI

R

11> Una plancha de 500 W ha estado encendida durante 20 minutos.

a) ¿Qué energía en julios y en kW h ha consumido en la plancha?

b) ¿Cuántas calorías ha irradiado en ese tiempo?

Solución:

a) W = 500 W · 1 200 s = 6 · 105 J

W = 0,5 kW · 1/3 h = 0,17 kW h

b) Q = 6 · 105 J · 0,24 cal/J = 1,4 · 10

5 cal

12> Una batería de 12,0 V de fem y 2,0 Ω de resistencia interna se conecta a una resistencia de 18 Ω. Calcula:

a) La intensidad de la corriente en el circuito.

b) La caída de tensión en la resistencia externa y en la interna.

c) La energía suministrada por la batería en 1 min.

Solución:

a) ε 12,0 V

0,6 A20 Ω

IR r

b) VR= R I = 18 Ω · 0,6 A = 10,8 V

Vr= r I = 2 Ω · 0,6 A = 1,2 V

c) W = ε I t = 12 V · 0,6 A · 60 s = 432 J = 4,3 · 102 J

13> Copia el circuito de la Figura 10.45 e intercala en él los aparatos de medida que te permitan calcular:




SOLUCIONARIO


a) La I que pasa por R1.

b) La I que pasa por R2.

c) La V en R1.

d) La V total del circuito.

Solución:

14> En la Figura 10.46 se muestra una bombilla con un amperímetro y un voltímetro debidamente conectados:

a) Identifica ambos aparatos de medida colocando A en el amperímetro y V en el voltímetro.

b) Si el amperímetro señala 1,25 A y el voltímetro marca 300 V, ¿cuánto vale la resistencia de la bombilla? ¿Qué potencia consume?

Solución:

a)




SOLUCIONARIO


b) 300 V

240 Ω1,25 A

R

P = V I = 300 V · 1,25 A = 375 W

15> Dibuja el esquema del circuito de la Figura 10.43.

Solución:

Ciencia, tecnología y sociedad 1> ¿Por qué dan luz las bombillas? Solución:

En general los cuerpos con punto de fusión alto emiten luz al calentarse. Este fenómeno recibe el nombre de incandescencia. Para que una bombilla de incandescencia emita luz blanca debe tener un filamento con gran resistencia eléctrica para que irradie energía térmica y un elevado punto de fusión.

Las bombillas fluorescentes emiten luz debido al fenómeno luminiscencia: la propiedad que tienen algunas sustancias, epecialmente el fósforo, de emitir luz a baja temperatura.

2> ¿Por qué se funden las bombillas? Solución:

Las bombillas incandescentes se funden cuando el filamento se rompe. Las fluorescentes dejan de emitir luz cuando el fósforo no produce luminiscencia suficiente.

3> ¿Por qué no se deben tocar las bombillas halógenas?




SOLUCIONARIO


Solución:

Porque la grasa de los dedos deteriora el cristal de cuarzo con que están fabricadas, permitiendo el escape del gas contenido en su interior hasta fundirse.

4> ¿Cuál es la diferencia entre bombillas incandescentes y bombillas luminiscentes? Solución:

Las incandescentes emiten luz a alta temperatura; las luminiscentes a baja temperatura.

5> Observa a tu alrededor e intenta localizar algún dispositivo de iluminación que use tecnología LED. Solución:

La tecnología LED tiene multitud de aplicaciones. Por ejemplo:

Luces de posición y cambio de dirección en automóviles

Señales de tráfico

Alumbrado de pantallas de cristal líquido: ordenadores, televisores, aparatos digitales

Mandos a distancia y control remoto: TV, DVD, equipos de aire acondicionado, telefonía movil.

Experiencia de laboratorio 1> ¿Por qué es necesario que el cuerpo que estamos probando esté en contacto con la bombilla y con el borne (+) de la pila? Solución:

Es necesario para que el circuito esté cerrado

2>¿Daría lo mismo si lo pusiéramos en contacto con el polo negativo (–)? ¿Por qué?

Solución:

Daría lo mismo. La única misión de las sustancias que se citan en la experiencia es comprobar si

son buenas o malas conductoras de la corriente eléctrica. La única función que han de cumplir es

formar parte del circuito: sea en el polo positivo, en el negativo o en cualquier otro punto del

circuito.

Problemas propuestos

1> ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas?

a) La Constante de Coulomb vale 9 · 109 y no tiene unidades.

b) La Constante de Coulomb se mide en N m2/C

2.

c) La Constante de Coulomb representa la fuerza de interacción entre dos cargas de un culombio cada una de ellas situadas a un metro de distancia.

d) La Constante de Coulomb en el SI se mide en N m2/C

2.

Solución:

Son falsas las afirmaciones a) y b). Porque la constante de Coulomb sí tiene unidades que

dependen del sistema elegido. En el SI las unidades de esta constante son: N m2/C

2. Por tanto,




SOLUCIONARIO


son correctas las respuestas c) y d).

2> Calcula la fuerza que actúa sobre una carga de 12 μC que se encuentra 15 cm al sur de una carga de –42 μC y 25 cm al oeste de otra carga de 63 μC. ¿Hacia dónde se ve impulsada?

Solución:

2 6 61 2 9 2

12 2 2 4 2

12

N m 42 · 10 C · 12 · 10 CK 9 · 10 · 2 · 10 N hacia el norte

d C 225 · 10 m

q qF

2 6 62 3 9 2

23 2 2 4 2

23

N m 12 · 10 C · 63 · 10 CK 9 · 10 · 1,1 · 10 N hacia el oeste

d C 625 · 10 m

q qF

Fuerza resultante 2 2 2

12 23 = 2,3 · 10 NF F F

3> Calcula el valor del campo eléctrico a 5,5 m de distancia de una carga de 1,8 μC.

Solución:

2 69 2

2 2 2

N m 1,8 · 10 CK 9 · 10 · 5,4 · 10 N/C

C (5,5 m)

qE

d

4> En un dibujo que representa las líneas de fuerza de un campo eléctrico se observa que ninguna de las líneas que salen de la carga A llega a la carga B. ¿Qué conclusión podemos sacar de este hecho?

Solución:

Las cargas son del mismo signo. Las líneas de fuerza salen de la carga positiva y llegan a la carga negativa.

5> ¿Cuánto varía el potencial eléctrico de una carga positiva que se desplaza 50 cm por la acción de un campo eléctrico uniforme de intensidad 24 N/C?

Solución:

El trabajo realizado por el campo es igual a la disminución de la energía potencial:

E r = –ΔV; ΔV = –E r = –24 N/C · 0,5 m = –12 V

6> El potencial eléctrico a una cierta distancia de una carga puntual es de 600 V y el campo eléctrico es 200 N/C:

a) ¿Cuál es la distancia a la carga puntual?

b) ¿Cuál es el valor de la carga?

Solución:

De las expresiones 2

K qE

d y

K qV

d se obtiene la relación entre la intensidad de campo y el

potencial: V = E d

a) 600 V

3 m200 N/C

Vd

E

b) El valor de la carga será 7

9 2 2

600 V · 3 m2 ·10 C

K 9 · 10 N m / C

V dq

7> Se tienen dos cargas eléctricas puntuales de 2 μC y 5 μC (esta última tiene signo negativo) separadas una distancia de 10 cm, calcula el campo y el potencial a 20 cm en línea recta del lado exterior de la carga positiva.




SOLUCIONARIO


Solución:

2 6

9 51

2 2 2

N m 2 · 10 C9 · 10 · 4,5 · 10 N/C

C 4 · 10 mE

2 69 5

22 2 2

N m 5 · 10 C9 · 10 · 5 · 10 N/C

C 9 · 10 mE

5 5 42 1 5 · 10 N/C 4,5 · 10 N/C 5 · 10 N/CE E

2 6 69 4

1 2 2 1 2 1 2

N m 2,0 · 10 C 5 · 10 C9 · 10 · 6 · 10 V

C 2 · 10 m 3 · 10 mV V V

8> Dos cargas eléctricas de 2,0 · 10–8

C y –3,0 · 10–8

C están colocadas, respectivamente, en los puntos P1 (3, 0) y P2 (0, 1). Las coordenadas están expresadas en metros. Calcula el potencial en el punto P3 (2, 2).

Solución:

2 6 89

1 2 2

N m 2,0 · 10 C 3,0 · 10 C9 · 10 · 40 V

2,24 m 2,24 mCV V V

4 1 5 2,24 md

9> ¿Qué cantidad de carga eléctrica ha pasado en un minuto por un conductor por el que circula una corriente de 0,15 A?

Solución:

De la definición de intensidad de corriente se deduce que:

Q = I t = 0,15 A · 60 s = 9 C

10> Teniendo en cuenta la Ley de Ohm, ¿qué proposición es verdadera?

a) Si aumenta el valor de la resistencia, la intensidad de la corriente aumenta.

b) Si aumenta la tensión de la batería, aumenta la intensidad de la corriente.

c) Si disminuye el valor de la resistencia, disminuye la intensidad.

d) Si aumenta el valor de la resistencia, disminuye la intensidad.

Solución:

Según la Ley de Ohm, la intensidad de la corriente es directamente proporcional al valor de la tensión, e inversamente proporcional al valor de la resistencia. De acuerdo con esto, son verdaderas las afirmaciones b) y d).

11> ¿Cuál es la resistencia de un conductor por el que pasa una corriente de 3,1 A cuando se le somete a una diferencia de potencial de 220 V?

Solución:

Aplicamos la Ley de Ohm: 220 V

71 Ω3,1 A

VR

I

12> Calcula cuánto vale la resistencia equivalente a tres resistencias de 20 Ω cuando se asocian:

Solución:

a) En serie.




SOLUCIONARIO


b) En paralelo.

a) En serie R = R1 + R2 + R3 = 60 Ω

b) En paralelo 1 20 Ω6,7 Ω

3 3

RR

13> Un circuito está formado por tres resistencias iguales conectadas como indica la Figura 10.50:

a) Ordena las intensidades I1, I2 e I3 de mayor a menor.

b) Escribe la relación matemática entre dichas corrientes.

c) ¿Qué relación existe entre I2 e I3?

Solución:

I1 es la corriente mayor porque representa la corriente total. Esta corriente se deriva en el punto A. Además, I3 > I2, porque R1 < R2 + R3, y de acuerdo con la Ley de Ohm. Por tanto, se cumple:

a) I1 > I3 > I2

b) I1 = I2 + I3

c) I3 = 2 I2

14> Un circuito está formado por una fuente de tensión (un enchufe), una resistencia, un amperímetro y un voltímetro. Cuando el voltímetro marca 2,1, 4,2, 6,3 y 8,4 V, el amperímetro marca, respectivamente, 0,23, 0,45, 0,68 y 0,90 A.

a) Dibuja el circuito.

b) ¿Se cumple la Ley de Ohm?

c) ¿Cuánto vale la resistencia?

Solución:

a)

b) Se cumplirá la Ley de Ohm si cteV

I

2,1 4,2 6,3 8,49

0,23 0,45 0,68 0,90

c) Por tanto, sí se cumple la Ley de Ohm, la constante de proporcionalidad representa la resistencia. Luego, R = 9 Ω.

15> Calcula las calorías desprendidas en 10 minutos por un calentador eléctrico de resistencia 320 Ω sometido a una diferencia de potencial de 220 V.

Solución:

La energía desprendida por una resistencia viene dada por:




SOLUCIONARIO


2 2(220 ) · 600 s 90750J · 0,24 cal/J = 21,7 kcal

320 Ω

V VW VIt t

R

16> ¿Qué potencia tiene la resistencia del problema anterior?

Solución:

2 2(220 )151 W

320 Ω

V VP

R

17> En tu casa tienes instalados una bombilla de 100 W y un calentador de 40 Ω (Fig. 10.51).

a) ¿Cómo están conectados?

b) ¿Qué corriente pasa por la lámpara?

c) ¿Qué corriente pasa por el calentador?

d) ¿A qué tensión está conectado cada aparato?

e) ¿Qué potencia desarrolla el calentador?

Solución:

a) En paralelo.

b) 100 V

0,5 A220 V

PI

V

c) 220 V

5,5 A40 Ω

VI

R

d) Cada aparato está conectado a 220 V, porque están en paralelo.

e) P = R I2 = 40 Ω · (5,5 A)2 = 1,2 · 10

3 W

18> Una resistencia de 40 Ω a 220 V ha tardado 10 minutos en elevar la temperatura de 2 L de agua desde 20 °C hasta 90 °C. ¿Cuánto vale el rendimiento de la resistencia?

Datos: 2 L de agua para elevar su temperatura de 20 a 90 °C necesitan 140 000 calorías.

Solución:

Energía útil W = 140 000 cal · 4,1868 J/cal = 586 152 J

Energía consumida: 2(220 V)

· 600 s 726 000 J40 Ω

VW t

R

586 152 JRendimiento · 100% 81%

726 000 J

19> Lo que nosotros pagamos a la compañía que nos suministra la corriente eléctrica es:

a) La cantidad de electricidad que nos proporciona.

b) La tensión de nuestros enchufes.

c) La energía que consumen nuestros aparatos.

Elige la respuesta correcta y aplícala al siguiente caso: si una bombilla de 100 W ha estado encendida durante 15 horas, ¿cuánto habrá costado su consumo si el kW h se paga a 0,0792 €?




SOLUCIONARIO


Solución:

Pagamos la energía que consumen nuestros aparatos.

W = P t = 0,1 kW · 15 h = 1,5 kW h

El costo de esta energía es:

1,5 kW h · 0,0792 €/kW h = 0,12 €

20> Una vivienda tiene instalados los siguientes aparatos: un frigorífico de 500 W, un televisor de 100 W, una lavadora de 1 200 W, un lavavajillas de 1 500 W, una plancha de 1 000 W, un horno microondas de 625 W, una aspiradora de 800 W, una cadena musical de 200 W, una batidora de 500 W, 10 bombillas de 60 W y 5 bombillas de 100 W cada una. Calcula:

a) La potencia total instalada.

b) Qué tanto por ciento de la potencia anterior se puede conectar simultáneamente, sin que salten los automáticos, si se tienen contratados 3 000 W.

c) Si el dueño de la vivienda tiene encendida durante 5 horas diarias el 10 % de la potencia instalada, ¿a cuánto ascenderá el recibo de la luz al cabo de dos meses, suponiendo que el kW h se paga a 0,0792 €?

Solución:

a) Potencia total instalada

500 W + 100 W + 1 200 W + 1 500 W + 1 000 W + 625 W +

+ 800 W + 200 W + 500 W + 600 W + 500 W = 7 525 W

b) 3 000 W · 100%

40%7 525 W

c) Costo de la energía consumida:

0,752 kW · 300 h · 0,0792 €/kW h = 18,06 €

21> Calcula la resistencia interna de una pila (ε = 1,5 V) si, al conectarse a una resistencia de 20 Ω suministra una corriente de 70 mA de intensidad.

Solución:

Aplicamos la Ley de Ohm general para un generador de corriente:

ε ε 1,5 V 20 Ω ·0,07 A1,4 Ω

0,07 A

R II r

R r I

,

Donde r es la resistencia interna del generador

22> Indica si hay alguna afirmación falsa en los siguientes enunciados:

a) Los amperímetros se intercalan siempre en el circuito.

b) Los voltímetros se conectan entre los puntos cuya tensión se quiere medir.

c) Los amperímetros se conectan en paralelo y los voltímetros en serie.

d) Los voltímetros se conectan en paralelo.

Solución:

Es falsa la afirmación c). Lo correcto sería lo contrario.

23> Copia el circuito de la Figura 9.51 intercalando los aparatos de medida que te permitan calcular:

a) La corriente que pasa por R1.

b) La corriente que pasa por R2.

c) La tensión en R1.

d) La tensión total del circuito.




SOLUCIONARIO


Solución:

a) El amperímetro A1 permite calcular la corriente que pasa por R1.

b) El amperímetro A2 permite calcular la corriente que pasa por R2.

c) El voltímetro V1 permite calcular la caída de tensión en R1.

d) El voltímetro V permite calcular la tensión total del circuito.

24> Dado el circuito de la Fig. 10.53, donde R1 = 40,0 Ω; R2 = 30,0 Ω y R3 = 20,0 Ω:

a) ¿Cuánto vale la resistencia total del circuito?

b) ¿Qué caída de tensión hay entre los puntos M y N?

c) ¿Cuánto marcará el amperímetro A?

d) ¿Qué cantidad de calor desprende la resistencia R3 en un minuto?

e) ¿Qué potencia consume el circuito?

Solución:

Resistencia equivalente a R2 y R3

2 3MN

2 3

30,0 Ω · 20,0 Ω12,0 Ω

50,0 Ω

R RR

R R

a) Resistencia equivalente del circuito: Re = R1 + RMN = 52,0 Ω

b) VMN = I RMN = 6 A · 12,0 Ω = 72,0 V

c) Intensidad que pasa por R2:

MN2

2

72,0 V2,4 A

30,0 Ω

VI

R

d) 22

3MN

3

72,0 V1 cal 1 cal· · 60 · 3,73 · 10 cal

4,1868 J 20,0 Ω 4,18 J

V

R

e) P = R I2 = 52,0 Ω · 36 A2 = 1,87 · 10

3 W

25> En el circuito de la Figura 10.54, conectado a 200 V, se muestran tres resistencias en paralelo. Calcula:

a) La resistencia total del circuito.

b) La corriente que pasa por R2 y R3.




SOLUCIONARIO


c) La corriente I.

Solución:

R1 = 100 V

R2 = 50 V

R3 = 200 V

1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 7

100 Ω 50 Ω 200 Ω 200 ΩR R R R

200 Ω29 Ω

7R

b) 2

2

200 V4,0 A

50 Ω

VI

R

3

3

200 V1,0 A

200 Ω

VI

R

c) Teniendo en cuenta que 1

1

200 V2 A

100 Ω

VI

R

La corriente total será 1 2 3 7,0 AI I I I

26> El voltímetro V de la Fig. 10.55 marca 45 V. Si las resistencias valen R1 = 15,0 Ω; R2 = 45,0 Ω; R3 = 30,0 Ω y R4 = 100,0 Ω, calcula:

a) ¿Cuánto vale I1?

b) ¿Cuánto vale la diferencia de potencial entre A y B?

c) ¿Qué corriente pasa por R3?

d) ¿Cuánto vale la corriente total I?

e) ¿Cuánto vale la resistencia equivalente del circuito?

Solución:

a) El voltímetro mide la caída de tensión en R1. De acuerdo con la Ley de Ohm:

1

1

45 V3,0 A

15,0 Ω

VI

R




SOLUCIONARIO


b) Hallamos la resistencia total atravesada por I1

R = R1 + R2 = 60,0 Ω

Diferencia de potencial entre A y B:

VAB = R I1 = 60,0 Ω · 3,0 A = 180 V

c) AB

2

3

180 V6,0 A

30,0 Ω

VI

R

d) Corriente total I = I1 + I2 = 9,0 A

e) La resistencia equivalente a R1, R2 y R3 se puede hallar aplicando la Ley de Ohm:

ABAB

180 V20,0 Ω

9,0 Ω

VR

I

Luego la resistencia total del circuito será:

RT = RAB + R4 = 20,0 Ω + 100,0 Ω = 120,0 Ω

27> Un circuito está formado por tres lámparas: A de 60,0 W y B y C de 100,0 W, conectadas a una tensión de 220 V (Fig. 10.56).

a) ¿Cuánto vale la corriente que pasa por la lámpara A?

b) ¿Qué corriente pasa por las lámparas B y C?

c) ¿A qué tensión está conectada cada lámpara?

d) ¿Cuánto vale la resistencia de cada lámpara?

Solución:

Potencia total del circuito:

P = PA + PB + PC = 60,0 W + 100,0 W + 100,0 W = 260,0 W

a) La corriente que pasa por A coincide con la corriente total:

260,0 W1,18 A 1,2 A

220 V

PI

V

b) Las lámparas B y C están conectadas en paralelo. Y al ser iguales se reparten la corriente a partes iguales IB = IC = 0,6 A

c) Tensión de cada lámpara: B

A

B

60 W50 V

1,2 A

PV

I

BB C

B

100 W167 V

0,6 A

PV V

I

d) La resistencia de cada lámpara la podemos calcular a partir de

2VP

R




SOLUCIONARIO


2 2

AA

A

(50 V) 41,6 Ω

60 W

VR

P

2

B C

(167 V) 279 Ω

100 WR R

28> Calcula la resistencia equivalente del circuito de la Figura 10.57. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a y b sabiendo que el amperímetro A marca una corriente de 0,5 A?

Datos: R1 = 8 Ω; R2 = 16 Ω; R3 = 16 Ω; R4 = 20 Ω; R5 = 9 Ω; R6 = 18 Ω; R7 = 6 Ω.

Solución:

a) Resistencia equivalente a R1, R2 y R3

1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 4

' 8 Ω 16 Ω 16 Ω 16 Ω 16 ΩR R R R

16 Ω' 4 Ω

4R

Resistencia correspondiente a la 1.a derivación:

R’’ = R’ + R4 = 24 Ω

b) Resistencia de la segunda derivación:

5 6

1 1 1 1 1 3

9 Ω 18 Ω 18 ΩR R R

76 Ω ; ''' 12 ΩR R R R

Resistencia total del circuito:

T

1 1 1 1 1 3

'' ''' 24 Ω 12 Ω 24 ΩR R R

RT = 8 Ω

La tensión en R’ coincide con la tensión en R1; V’ = R’ I’ = R1 I = 8 Ω · 0,5 A = 4 V

La corriente que pasa por la 1.a derivación será:

' 4 V' 1 A

' 4 Ω

VI

R

La caída de tensión en la 1.a derivación:

V’’ = R’’ I’ = 24 Ω · 1 A = 24 V

Esta caída de tensión coincide con la caída de tensión en la 2.a

derivación. Por tanto, la corriente que circula por esta parte del circuito será:

'' 24 V' 2 A

''' 12 Ω

VI

R

De acuerdo con esto la caída de tensión entre los puntos a, b será:

Vab = R I = 6 Ω · 2 A = 12 V



Estudios J.Concha ( fundado en 2003) ESO ,...

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