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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR

Decanato de Estudios de Postgrado

Coordinación de Ingeniería Eléctrica

ESTUDIO, DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE

NUEVAS ESTRATEGIAS DE CONTROL DEL UPFC EN

REDES DE MEDIA Y ALTA TENSIÓN

Trabajo de Grado

Realizado por:

Ing. Rogelio A. Orizondo M.

Maestría en Ingeniería Eléctrica

Sartenejas, Julio de 2006

iii

AGRADECIMIENTOS

Al Dios de los cristianos, su Madre y su Iglesia, que me dieron y me seguirán dando fortaleza.

A mis padres quienes se entregaron para que yo culminara este trabajo.

Al profesor Roberto Alves, por toda su asesoría y consejos.

iv

ESTUDIO, DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE NUEVAS ESTRATEGIAS

DE CONTROL DEL UPFC EN REDES DE MEDIA Y ALTA TENSIÓN

Realizado por:

Ing. Rogelio A. Orizondo M.

RESUMEN

Las redes de transmisión de media y alta tensión han experimentando (y continuarán haciéndolo) grandes cambios debido al aumento en la demanda de energía eléctrica, a la incorporación de nuevas fuentes de generación no convencionales, a las nuevas formas de gestión (mercados eléctricos, interconexión de sistemas) y también debido al aumento de cargas y equipos que emplean la electrónica de potencia. Los denominados Sistemas de Transmisión Flexibles en Corriente Alterna (FACTS) son una variedad de equipos basados en electrónica de potencia que pueden otorgar una amplia flexibilidad a los modernos sistemas de transmisión de energía. Uno de los dispositivos FACTS más completos y prometedores, que muestra mayores posibilidades de regulación, es el Controlador Unificado de Potencia (UPFC). En este trabajo de grado, en primer lugar, se describe el UPFC, sus aplicaciones y zonas de operación; y se presentan los modelos desarrollados de régimen permanente y transitorio del mismo. En segundo lugar se describen las estrategias y modelos de los sistemas de control convencionales del UPFC. Se describen los modelos desarrollados bajo dos plataformas de simulación (ATP, MATLAB-Simulink) que permiten el análisis detallado de distintos tipos y estrategias de control. Luego se proponen, describen y estudian novedosos sistemas de control del Controlador Unificado de Potencia, basados en lógica difusa. El uso de las estrategias de control propuestas, basadas en la lógica difusa, así como otros métodos modernos de control permiten mejorar de manera importante las respuestas dinámicas del sistema, como se demuestra en los estudios y simulaciones realizadas. Se concluye que el controlador propuesto presenta ventajas comparativas sobre los controladores convencionales.

Palabras claves: UPFC, control, modelos de simulación, transitorios.

v

INDICE GENERAL

AGRADECIMIENTOS ............................................................................................................................................ III RESUMEN................................................................................................................................................................. IV INDICE GENERAL....................................................................................................................................................V INDICE DE FIGURAS Y TABLAS .......................................................................................................................VII 1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................................................................................1 2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y OBJETIVOS ..............................................................................7

2.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................................................................... 7 2.2 OBJETIVOS ...................................................................................................................................................... 7

3 ANTECEDENTES..............................................................................................................................................9 3.1 ESTUDIOS DE LOS CONTROLADORES: ............................................................................................................ 12 3.2 CONTROLADORES BASADOS EN LÓGICA DIFUSA:........................................................................................... 15 3.3 CONTROL DIFUSO APLICADO A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA. ........................................................... 17 3.4 PROGRAMAS DE SIMULACIÓN MÁS EMPLEADOS. ........................................................................................... 18 3.5 OTRAS APLICACIONES ................................................................................................................................... 19

4 MODELACIÓN DEL UPFC ...........................................................................................................................20 4.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................. 20 4.2 MODELACIÓN DEL UPFC EN VARIABLES PRIMITIVAS ................................................................................... 21 4.3 MODELACIÓN EMPLEANDO LAS FUNCIONES DE CONMUTACIÓN .................................................................... 25 4.4 UN MODELO DEL UPFC MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE PARK ................................................................ 34 4.5 MODELO DEL UPFC MEDIANTE FUNCIONES DE CONMUTACIÓN CON LA TRANSFORMADA DE PARK.............. 36

5 ESTRATEGIAS DE CONTROL CONVENCIONAL ..................................................................................41 5.1 ESQUEMAS DE CONTROL CONVENCIONAL POR CANCELACIÓN DE POLOS Y CEROS......................................... 41

5.1.1 Esquema de control tipo 1:...................................................................................................................... 43 5.1.2 Esquema de control tipo 2:...................................................................................................................... 46 5.1.3 Esquema de control tipo 3:...................................................................................................................... 47

6 ESTRATEGIAS DE CONTROL EMPLEANDO LÓGICA DIFUSA.........................................................51 6.1 BASES DE LA LÓGICA DIFUSA ........................................................................................................................ 51 6.2 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO DEL CONTROLADOR PROPORCIONAL DIFUSO. .................................... 56

6.2.1 El controlador proporcional integral difuso. .......................................................................................... 57 6.2.2 Ajuste de los controladores difusos tipo proporcional. ........................................................................... 62 6.2.3 Ajuste de los controladores difusos tipo Proporcional Integral. ............................................................. 66

7 RESULTADOS .................................................................................................................................................67

vi

7.1 DESCRIPCIÓN DE LAS SIMULACIONES DESARROLLADAS BAJO SIMULINK Y ATP........................................ 67 7.2 PRUEBAS DE ENERGIZACIÓN: ........................................................................................................................ 71 7.3 PRUEBAS DE CARGA ...................................................................................................................................... 76

8 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES..............................................................................................81 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................................................................86 ANEXO A: LÍMITES OPERATIVOS EN UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN MEDIA.....................................97 ANEXO B: LAS TRANSFORMADAS DE PARK Y CLARKE..........................................................................107 ANEXO C: DETALLES DE LA MODELACIÓN EN VARIABLES PRIMITIVAS. .......................................114 ANEXO D: MODELACIÓN EN PRIMITIVAS CON LAS FUNCIONES DE CONMUTACIÓN..................121 ANEXO E: DETALLES DE LA MODELACIÓN MEDIANTE LA TRANSFORMADA. DE PARK............129 ANEXO F: MODELACIÓN CON FUNCIONES DE CONMUTACIÓN. .........................................................138 ANEXO G: DETALLES DE LAS ESTRATEGIAS DE CONTROL CONVENCIONALES. ..........................147 ANEXO H: ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS DE INFERENCIA DIFUSOS. ....................................................154 ANEXO I: LISTADOS DE LOS ARCHIVOS ATP..............................................................................................169

vii

INDICE DE FIGURAS Y TABLAS

Figura 1 Diagrama del Controlador Unificado de Potencia instalado en Kentucky, EE.UU.......... 2

Figura 2 Vista aérea del Controlador Unificado de Potencia instalado en Kentucky, EE.UU........ 2

Figura 3 Un diagrama unifilar del UPFC ...................................................................................... 22

Figura 4. Circuito equivalente para el enlace de continua............................................................. 24

Figura 5 Equivalente circuital de un convertidor en el sistema eléctrico de potencia................... 27

Figura 6 Señales de referencia trifásicas. ...................................................................................... 28

Figura 7 Las funciones de conmutación trifásicas, para la condición descrita en la figura 6. ...... 29

Figura 8 Detalle de la función de conmutación durante un periodo de la onda portadora. ........... 29

Figura 9 Equivalente circuital de la ecuación del sistema (38-1).................................................. 42

Figura 10 Equivalente circuital de la ecuación del sistema (38-2)................................................ 42

Figura 11 Diagrama de bloques general, para las variables controladas....................................... 44

Figura 12 Valores de las ganancias para el controlador y la función de transferencia.................. 46

Figura 13 Esquema general de un controlador difuso genérico. ................................................... 52

Figura 14 Dos funciones de pertenencias triangulares. ................................................................. 53

Figura 15 Mapeo del universo de discurso usando 3 funciones de pertenencia triangulares........ 54

Figura 16 Tres funciones de pertenencia de salida triangulares. ................................................... 55

viii

Figura 17 Arquitectura general en diagrama de bloques, de un controlador difuso Proporcional

Integral........................................................................................................................................... 57

Figura 18 Esquema general de un controlador difuso genérico Proporcional Integral. ................ 58

Tabla 1 Matriz de inferencia para el método del centroide modificado........................................ 60

Tabla 2 Vértices del controlador difuso de 3 reglas. ..................................................................... 63

Figura 19 Área de control para el controlador difuso.................................................................... 64

Tabla 3 Vértices del controlador difuso de 3 reglas para la función de pertenencia PP. .............. 65

Figura 20 Detalle del área de control para el controlador difuso de 7 reglas. ............................... 65

Figura 21 Detalle del archivo fuzzyPI1.ADP visualizado con ATPDraw .................................... 68

Figura 22 Archivo cupfc_ffuj.ADP visualizado en ATPDraw ..................................................... 69

Figura 23 Detalle del archivo difuso_PI_7reglas_d.MDL visualizado con SIMULINK.............. 69

Figura 24 Archivo cupfc_ffujita_d.MDL visualizado con SIMULINK........................................ 70

Figura 25 Detalle del archivo cupfc_ffujita_d.MDL visualizado con SIMULINK ...................... 70

Tabla 4 Resultados de la prueba de energización.......................................................................... 71

Figura 26 Respuesta a lazo cerrado de la potencia activa, ante un escalón en la referencia de

potencia activa, para el esquema de control convencional tipo 1.................................................. 71


potencia activa, para el esquema de control difuso tipo 1. ............................................................ 72

ix





Figura 30 Respuesta a lazo cerrado de la potencia reactiva, ante un escalón en la referencia de








Figura 34 Respuesta ante una referencia de P = 100 <Mw> de la potencia activa, en 2 líneas

paralelas, para el esquema de control difuso tipo 1....................................................................... 76




paralelas, para el esquema de control convencional tipo 3............................................................ 77



x

Figura 38 Respuesta ante una referencia de P = 100 <Mw> de la potencia reactiva, en 2 líneas








Figura 42 Modelo de una línea de transmisión media................................................................... 97

Figura 43 Modelo de una línea de transmisión media con la inclusión del UPFC...................... 100

Tabla 5 Leyes de control para un SID de 3 reglas....................................................................... 157

Tabla 6 Leyes de control para un SID de 5 reglas....................................................................... 157

1

1 INTRODUCCIÓN

El concepto de un controlador unificado de flujo de potencia (UPFC), fue propuesto inicialmente

por el profesor Gyugyi, de la Siemens Transmisión & Distribution FL, en 1991.

Los controladores llamados unificados, basan su operación en diferentes configuraciones de

convertidores. Estas configuraciones ofrecen al menos tres posibilidades. En un caso, el

convertidor está en serie y el otro en paralelo, respecto a la línea de transmisión. Tal arreglo se

conoce con el nombre de Controlador Unificado de Potencia (UPFC). Si los convertidores están

en serie con la línea de transmisión se le llama Controlador de Flujo de Potencia Interlínea

(IPFC). Ambos convertidores también pueden conectarse en paralelo, en diferentes sistemas.

La instalación del primer Sistema de Transmisión Flexibles en Corriente Alterna tipo

unificado, fue terminada en 1997 en la subestación Inez, en Kentucky - EE.UU, (Figura 1 y 2).

Este UPFC incrementa la transferencia de potencia y mantiene las tensiones en una zona de fuerte

demanda industrial donde convergen las fronteras de 3 estados de la unión norteamericana:

Kentucky, Ohio y Virginia Occidental.

2

Figura 1 Diagrama del Controlador Unificado de Potencia instalado en Kentucky, EE.UU

Figura 2 Vista aérea del Controlador Unificado de Potencia instalado en Kentucky, EE.UU.

Los enlaces de CC en alta tensión (HVDC) son otra posibilidad para hacer frente al problema

del control de la potencia. Sus desventajas son que los costos de las estaciones convertidoras son

Línea de transmisión Transformador serie

Transformador paralelo

Inversor paralelo Inversor serie

Línea de transmisión Transformador serie

Transformador paralelo

Inversor paralelo Inversor serieInversor paralelo Inversor serie

3

una componente muy fuerte de la inversión total, por lo que este tipo de enlaces solo son

preferidos sobre una solución en CA para distancias muy largas. Otra dificultad de estos enlaces

es la complejidad de establecerlos de forma multiterminal. Requieren esquemas de control y

protección que intercambien información entre todos los terminales convertidores, reduciendo la

confiabilidad en caso de fallas.

Eventualmente, cuando se alcancen los límites térmicos de los materiales con que se construyen

los cables y líneas de transmisión, serán necesarios nuevos materiales, con límites térmicos más

elevados, y pérdidas menores. Será el campo ideal de aplicación de los superconductores de alta

temperatura (HTS).

El UPFC es un equipo que en teoría es muy versátil y con múltiples aplicaciones. Si bien

todavía no es un equipo comercial ya que solamente existe una aplicación concreta en el mundo,

sin embargo es uno de los sistemas que en principio presenta enormes posibilidades y múltiples

aplicaciones en los sistemas eléctricos de potencia tanto en los niveles de transmisión, como en

subtransmisión y quizás también en distribución.

En este trabajo especial de grado se describe el UPFC, sus aplicaciones y zonas de

operación; y se presentan los modelos desarrollados de régimen permanente y transitorio

(pequeña señal) del mismo. En segundo lugar se describen los modelos y las estrategias

desarrolladas de los sistemas de control convencionales, descritos en la bibliografía del UPFC, así

4

como la modulación por ancho de pulso que se emplea para el encendido y apagado de los

transistores de potencia en cada uno de los convertidores.

Luego se proponen, describen y estudian otros sistemas de control con estrategias basadas en

inteligencia artificial (lógica difusa). Los criterios de ajustes están basados en procedimientos

analíticos deducidos de las cláusulas del proceso de inferencia. Se describen las metodologías

para el ajuste de controladores difusos del tipo Proporcional y Proporcional Integral. La

metodología empleada para el proceso de defuzificación de estos controladores no

convencionales es el método del razonamiento simplificado que resulta muy sencilla de

implementar.

Estos modelos para el equipo y las estrategias de control han sido desarrollados y simulados

bajo dos plataformas: el ATP/EMTP y el MATLAB/SIMULINK, que permiten el análisis

detallado de distintos tipos y estrategias de control.

El uso de las estrategias de control propuestas, basadas en la lógica difusa permite mejorar de

manera importante las respuestas dinámicas del sistema, como se demuestra mediante los

estudios y simulaciones realizadas. Los controladores propuestos presentan ventajas

comparativas sobre los controladores convencionales. El sistema de potencia bajo estudio con el

UPFC bajo estas estrategias de control se ajusta a los requerimientos de flujos de potencia activa

y reactiva en la línea de transmisión.

5

Este libro está estructurado de la siguiente manera: El capítulo 2, está dedicado a plantear el

problema de los sistemas de control para el equipo bajo estudio. En el capítulo 3 se expone en

forma condensada los antecedentes de este trabajo de investigación. Muestra una recopilación de

los trabajos más significativos publicados hasta el momento de la redacción de este trabajo.

El capítulo 4 trata sobre la propuesta, desarrollo y deducción de 2 modelos completos para el

UPFC. En principio y para todos los modelos, los convertidores pueden operar bajo cualquier

estrategia de modulación por ancho de pulso (PWM). Se desarrollan 2 modelos en variables

primitivas. Un modelo emplea como variables de estado las corrientes del sistema eléctrico de

potencia asociadas con la operación del equipo (4.4). El otro modelo propuesto emplea también

como variables de estado, los índices de modulación asociado a la operación PWM de los

convertidores (4.5). Posteriormente se aplican técnicas adicionales para que los modelos

deducidos se conviertan en lineales e invariantes en el tiempo. Estas técnicas son en estricto

orden de aplicación: la transformada de Fourier y la transformada modal de Park.

Algunas de las propuestas de control convencionales más importantes, publicadas hasta

ahora, se presentan en el capítulo 5. El capítulo 6 presenta un resumen de la teoría sobre sistemas

de inferencia difusos (6.1). Luego describe con todo detalle una familia de controladores basados

en esta teoría, así como las estrategias de ajuste para este tipo de controladores no convencionales

(6.2).

6

Los resultados de las simulaciones se presentan en el capítulo 7 para 2 escenarios: la energización

del equipo (7.2) y pruebas de carga (7.3); las conclusiones y recomendaciones en presentan en el

capítulo 8.

7

2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y OBJETIVOS

2.1 Planteamiento del problema

Una posible solución para mejorar y optimizar el empleo de las redes, en subtransmisión y

transmisión son los FACTS (Sistemas de Transmisión Flexibles en Corriente Alterna), una

variedad de equipos basados en electrónica de potencia que pueden otorgar una amplia

flexibilidad a los modernos sistemas de transmisión de energía. Uno de los más versátiles es el

UPFC. Este equipo puede controlar simultáneamente o en forma selectiva, los parámetros y

variables del sistema de potencia, i.e. impedancia, tensiones, corrientes y ángulos de potencia.

Por tanto, puede controlar independientemente los flujos de potencia activa y reactiva en una

línea de transmisión.

2.2 Objetivos

El objetivo general de este trabajo ha consistido en desarrollar modelos del UPFC bajo

distintas plataformas de simulación con la finalidad de poder simular el UPFC de forma

detallada, como parte de un sistema eléctrico de potencia; en especial simular los sistemas de

control tanto locales (de los puentes convertidores) así como el control general del sistema para

proponer, analizar y estudiar nuevas estrategias de control del sistema.

Entre los objetivos específicos podemos mencionar:

8

Desarrollar modelos detallados del UPFC usando MATLAB/SIMULINK y también el

programa ATP/EMTP. Los modelos en MATLAB/SIMULINK permiten el estudio detallado del

UPFC y sus sistemas de control. Sin embargo, la ventaja del uso del programa ATP/EMTP

consiste en que el UPFC se puede incorporar a un modelo muy completo y general de cualquier

sistema eléctrico de potencia que se desee analizar, incorporando así la dinámica de todo el

sistema. La modelación se hará empleando la transformada de Park. El modelo del equipo en

variables transformadas (DQ) es más apropiado para poder establecer de forma más sencilla el

control de los convertidores que conforman el UPFC.

• Estudiar los sistemas y estrategias de control convencionales del UPFC descritos en la

bibliografía e incorporarlos a los modelos.

• Estudiar las estrategias de control basadas en la inteligencia artificial específicamente la

basada en la teoría del control difuso. y su aplicación al UPFC, así como las ventajas

comparativas de estos controladores difusos respectos a las estrategias convencionales.

• Proponer, simular y validar nuevas estrategias de control para cumplir distintos objetivos

propuestos: como por ejemplo maximizar o establecer valores específicos de flujos de

potencia activa y reactiva, mejorar la calidad del servicio eléctrico en los niveles de

transmisión, garantizar la estabilidad transitoria y la estabilidad dinámica del SEP.

9

3 ANTECEDENTES

Existe una amplia y bien profusa literatura sobre el UPFC. Desde que fue propuesto por N.G.

Hingorani y L. Gyugyi a principios de la década pasada (1990), el equipo ha sido objeto de una

amplia e intensa investigación que ha involucrado casi todas las áreas de la ingeniería eléctrica

que se relacionan con los FACTS.

Se presenta a continuación una breve revisión bibliográfica sobre los temas claves de este

trabajo: el UPFC: sus aplicaciones, configuraciones topológicas, modos de modulación, y

modelos; las estrategias de control convencionales y no convencionales, las estrategias de control

basadas en inteligencia artificial, la aplicación de controladores basados en la lógica matemática

difusa en ingeniería eléctrica y específicamente en aplicaciones para FACTS y el UPFC.

También se reseña el empleo de diferentes programas de simulación y otras aplicaciones para el

UPFC.

Existen varias propuestas de modelación del equipo, cuando se le incluye en el problema de

flujo de carga. En este sentido se han dirigido varias tesis a nivel de pregrado, ver [62], [65], que

han permitido estudiar más en profundidad las zonas operativas y aplicaciones del equipo en el

SEP. Existe una gran cantidad de trabajos a este respecto.

10

Un trabajo interesante sobre las condiciones de ubicación óptima se encuentra en[18]. [19]

propone modelos para la incorporación de este equipo en un flujo de carga y para la

determinación del tamaño óptimo del UPFC usando criterios derivados del flujo de potencia,[19].

Una línea de investigación sobre sus potencialidades en sistemas de subtransmisión y

transmisión se inició a principios de la década de 1990: [6], [16], [21], [23], [25], [32]. Estos

trabajos finalmente derivaron en la publicación del libro “Understanding FACTS, Concepts and

Technology of Flexible AC Transmission Systems” por parte de N.G. Hingorani y L. Gyugyi

[70], patrocinado por IEEE Power Engineering Society. En nuestra casa de estudios, se han

realizado algunas contribuciones a este respecto, [58], [65]. [21] trata sobre las consideraciones

de la instalación del UPFC en la subestación eléctrica Inez en EUA y del STATCOM en [25]. La

continuación de estos trabajos publicados por Gyugyi et al, para analizar el comportamiento del

UPFC ya instalado se presenta en [32].

Por otra parte, las aplicaciones del equipo para problemas de estabilidad transitoria y

amortiguamiento de oscilaciones de potencia, también han recibido un tratamiento especial por

parte de los investigadores: [10], [30], [35] y [36]. [30] presenta diferentes esquemas y modos de

control para el control del flujo de potencia y para la estabilidad del sistema. [35] propone

algunas estrategias de control convencional diseñados para mejorar la estabilidad del sistema. En

[36] se desarrolla un modelo linealizado (Philips Heffron) para analizar el impacto del equipo en

estudios de estabilidad.

11

En comparación con los estudios anteriores, hay pocos trabajos que presenten un modelo

completo del equipo: [14], [17], [39], [41], [45], [48]. Se ha presentado una modelación muy

completa y en baja frecuencia en variables de estado, con la presentación de un modelo en

pequeña señal y otro modelo para el estado estacionario en [14]. Por otra parte, un estudio del

modelo a lazo abierto del convertidor en paralelo (Statcom) se presenta en [17] y un modelo en

frecuencia para el régimen permanente en [39]. También [48] se propone un modelo matemático

completo y se estudia en detalles las características operativas en régimen permanente. En estos

últimos 4 trabajos, se proponen la modelación mediante una transformada modal muy usada en

ingeniería eléctrica, la transformada de Park. Uno de las primeros ejemplos publicados en este

sentido es [4].

No todos los trabajos publicados plantean la transformada de Park para resolver modelos del

equipo en variables de estado. Por ejemplo, [41] propone una herramienta matemática llamada

matriz de conversión, para la modelación del UPFC. La aplicación de una herramienta

matemática para analizar la operación del equipo en condiciones operativas desbalanceadas se

muestra con todo detalle en la referencia [45]. Uno de los primeros trabajos para la modelación

de un convertidor tipo rectificador se halla en [3], empleando otra transformada modal, algo más

general que la matriz de Park.

Se han publicado una serie de trabajos sobre diversas topologías circuitales y esquemas de

modulación para la operatividad del equipo: [24], [26], [34], [43], [50]. Un artículo muy útil para

12

propósitos comparativos es [46], donde se estudian varias configuraciones con modelación por

ancho de pulso senoidal (SPWM por sus siglas en inglés). [44] también es muy útil porque

propone un circuito auxiliar imprescindible para poder efectuar las simulaciones de los modelos

con transformadas modales, el seguidor de fases (PLL por sus siglas en inglés). En el trabajo [42]

se analiza el enlace de continua y su contribución para la transferencia de energía al SEP.

Propone una forma de dimensionar el capacitor, empleando este criterio.

3.1 Estudios de los controladores:

Casi todos los esquemas de control presuponen una modelación del equipo en el dominio

transformado, mediante alguna transformada modal, como la Park.

Algunos de los trabajos que han propuesto y estudiado las características dinámicas de

controladores basados en la teoría clásica de control son [5], [7], [8], [9], [20], [27], [33], [40],

[57], [64]. Uno de los primeros trabajos que desarrolla varias estrategias convencionales basadas

de la transformada de Park es [5]. En ese caso, los controladores solo se aplican para el Statcom.

[7], [8] y [9] proponen controladores convencionales para convalidar esquemas no

convencionales. [20] propone 2 estrategias de control: uno convencional basado en la cancelación

de polos y ceros, y otro de carácter predictivo. En [27] se propone un controlador por

realimentación de variables de estado solo para el Statcom.

13

En [33] se describen de forma extensa y detallada las estrategias de control convencional

matricial. Desde el punto de vista de las variables transformadas, cada convertidor tiene 2

variables de estado. Por tanto, cada convertidor se comporta como un sistema MIMO. El trabajo

resume todos los controladores publicados hasta entonces y provee la deducción del sistema de

ecuaciones para comprender el funcionamiento del controlador.

Por otra parte, existen una amplia y variada gama de controladores de última generación

empleados en la industria de control de sistemas. Estos controladores son no lineales o incorporan

en su estructura segmentos alineales de operación.

Tales controladores ofrecen ventajas comparativas respecto a sus pares convencionales.

Cuando son incluidos en la estructura del convencional, mejoran en general la respuesta dinámica

del equipo ante condiciones diversas de operación.

Algunos trabajos que han publicado esquemas modernos de control aplicados al equipo son:

[7], [8], [9], [15], [31], [49], [51]. En la universidad hay algún antecedente nivel de pregrado

[63].

Una clasificación de estos controladores puede ser la siguiente:

1. controladores conmutados (a frecuencia fija), [2],

2. controladores por banda de histéresis, [59],

3. controladores PID bilineales,

4. controladores óptimos, [51],

14

5. reguladores LQG (regulador o controlador cuadrático lineal), [15], [38],

6. observadores y estimadores de estado,

7. filtros Kalman,

8. controladores adaptivos,

9. controladores H-infinito, [7], [8], [9],

10. controladores numéricos y controladores digitales [49].

Por ejemplo, en [15] se comparan varias estrategias de modulación de los convertidores para

minimizar pérdidas por conducción, armónicas y el tamaño del capacitor. El sistema de control

propuesto es no convencional del tipo Control Lineal Cuadrático.[15]Una estrategia de control no

lineal óptimo [51], se implementa para controlar el flujo de potencia, y eliminar armónicas y

flickers de tensión.

En general, estos esquemas permiten lograr objetivos adicionales para el sistema, como

incrementar la velocidad de respuesta ante demanda de potencia o disminuir el contenido

armónico, más allá del alcance obtenido mediante los controladores convencionales.

Controladores basados en inteligencia artificial (IA):

1. controladores difusos (fuzzy logic controllers), [11], [12], [61], [66].

2. controladores con redes neurales (artificial neural network controllers) [52], [54], [55],

[56] y

3. controladores híbridos (dual controllers), supervisores difusos [38], [53].

15

3.2 Controladores basados en lógica difusa:

El profesor Lotfi A. Zadeh de la Universidad de California en Berkley presentó su primera

publicación acerca de la teoría de la matemática difusa (ver [1]). En la década del 70 la teoría de

la lógica difusa se aplicó con éxito para el diseño de controladores en procesos industriales. Estos

procesos industriales involucran sistemas no lineales con variaciones en función del tiempo. Con

lo que se llegó a la conclusión de que los controladores basados en la lógica difusa tienen

ventajas comparativas respecto a los controladores convencionales, cuando son aplicados en

proceso industriales con este tipo de alinealidades. De hecho este es su campo de aplicación

idóneo: los sistemas no lineales, con variaciones operativas importantes en el tiempo y con

variabilidad en sus parámetros de diseño. Estos controladores mejoran la controlabilidad de los

sistemas que presentan tales características y mejoran su comportamiento transitorio y de

régimen permanente.

Los controladores difusos se emplean en procesos industriales donde no se conoce con

certeza la interacción de los diferentes estados del sistema. Para ajustar los controladores

convencionales es preciso describir matemáticamente el proceso industrial. En cambio, es posible

ajustar los parámetros del controlador difuso para obtener respuestas temporales y frecuenciales

muy aceptables, aun cuando no se pueda modelar o describir mediante ecuaciones todo el proceso

a controlar.

16

Los controladores difusos también son útiles cuando los controladores convencionales tienen

un desempeño muy inferior al buscado. En tales casos, la mano de obra humana sustituye

segmentos del proceso industrial controlado. Debido a la naturaleza de la lógica matemática para

los conjuntos difusos, el controlador difuso puede reproducir las órdenes de los operadores

humanos mediante variables de carácter lingüístico, y tomar decisiones análogas a las del

operador humano. Con ello se reduce los posibles errores en que el un operador humano

inexperto pueda incurrir.

En este caso, el controlador difuso traduce todo el conocimiento que usa el operador

humano, mediante las variables lingüísticas, así como las acciones de control que el operador

ejerce sobre el proceso. Desde el punto de vista matemático, estas variables lingüísticas son una

versión de sistemas alineales que puede emplear el controlador difuso para realizar las acciones

sobre el proceso controlable.

Los controladores basados en la lógica difusa también presentan una alta flexibilidad para su

implementación tecnológica. Casi cualquier tecnología puede adaptar su arquitectura para

aplicaciones con este tipo de controlador, como fue el caso de los sistemas electrónicos

analógicos o los microprocesadores actuales tales como los DSP, en el campo del control digital.

Prácticamente cualquier software conocido puede implementar tales controladores. Por su

sencillez, pueden adoptar esquemas de control con muchas variantes y grados de sofisticación.

Esta característica le permite un ajuste fácil y rápido de sus parámetros de diseño.

17

En [1] se muestra una muy extensa revisión bibliográfica, tanto de la lógica matemática

difusa como su aplicación a la teoría general de los controladores difusos. El trabajo también

plantea una metodología general de ajuste para controladores difusos. Los trabajos [11] y [12]

también han desarrollado metodologías generales para el ajuste de controladores difusos,

llamados también Sistemas de Inferencia Difusos (SID). La ventaja de este SID está en el método

de defuzificación, porque emplea un algoritmo muy sencillo de implementar, [11].

3.3 Control difuso aplicado a sistemas eléctricos de potencia.

La industria eléctrica no es una excepción al avance de las aplicaciones de la lógica

matemática difusa. Muchos algoritmos muy complejos han sido desarrollados e implementados

con eficiencia y en tiempo real mediante la lógica difusa.

Algunas aplicaciones de la teoría de control difuso en el ámbito de la ingeniería eléctrica son:

estabilidad del voltaje, estabilidad dinámica, amortiguamiento de oscilaciones de potencia,

análisis transitorio, simulaciones de sistemas eléctricos, estudios de flujo de carga y predicción de

la demanda de carga.

La lógica difusa se ha empleado en el análisis de estabilidad transitoria y dinámica de

sistemas de potencia con SVC y en el diseño de controladores supervisores para estabilizadores

18

de tensión. Incluso se ha desarrollado un sistema de inferencia difuso (SID) para la coordinación

de varios dispositivos FACTS con el objeto de controlar y coordinar las acciones del UPFC, el

SVC y los AVR de los generadores en la subestación Inez, en EUA [66] . En ese trabajo se ha

reportado la elevación de los límites de estabilidad y de la capacidad de transmisión del sistema,

así como una mayor disponibilidad de potencia reactiva.

3.4 Programas de simulación más empleados.

Los programas de simulación más utilizados para implementar los modelos del UPFC y sus

sistemas de control son el MATLAB/SIMULINK y el ATP/EMTP. Algunos trabajos reportan el

empleo de otros simuladores como el PSPICE o NETOMAC [40], [41]. MATLAB emplea

menos líneas de código que el ATP/EMTP, su código es expandible y la formulación de las

ecuaciones es menos restrictiva que el ATP/EMTP. Sin embargo, su principal desventaja es la

velocidad de procesamiento. Por otra parte, el ATP/EMTP es más rápido que MATLAB. Otra

ventaja adicional es que se trata de un programa que incluye modelos casi para todos los

elementos de un sistema de potencia. Por tanto, de forma relativamente sencilla se pueden

simular sistemas completos con toda su dinámica.

Los trabajos [26] y [64] emplean SIMULINK como plataforma para implementar las

estrategias de control convencional. [39] y [65] desarrollan varios modelos en régimen

permanente. Si bien en el trabajo de grado [65] se presentan y convalidan modelos para la

19

inclusión del equipo en programas de flujo de carga, el trabajo [39] implementa un modelo

completo en variables transformadas de Park, DQ, en un sistema de 4 barras.

3.5 Otras aplicaciones

El UPFC se puede emplear como aislador o filtro de componentes armónicas [13], para

aplicaciones en baja tensión y media tensión. Una generalización de las aplicaciones del UPFC

donde se le emplea como filtro activo o como controlador de potencia y regulación en tensión es

[60]. En esta tesis doctoral desarrollada por Aredes, se generaliza las aplicaciones del equipo

empleando la teoría PQ para el control de potencias, aunque no plantea en uso de la transformada

vectorial espacial[47].

La conexión a varios nodos del sistema también es factible, y provechosa desde el punto de

vista económico, como se indica en [37]. El libro clásico de N.G. Hingorani y L. Gyugyi [70] sin

embargo lo considera un equipo independiente, tratándolo en un capítulo aparte (capítulo 9,

IPFC).

20

4 MODELACIÓN DEL UPFC

4.1 Introducción

En este capítulo se proponen dos modelos completos del UPFC en variables de estado. Para

todos los modelos los convertidores operan bajo cualquier estrategia general de modulación por

ancho de pulso (PWM). Estos 2 modelos son deducidos en variables primitivas.

Un modelo emplea como variables de estado las corrientes del sistema eléctrico de potencia

y se muestra su desarrollo en la sección 4.2. También se propone modelar la conmutación de los

transistores de ambos convertidores (rectificador e inversor, respectivamente) mediante una

función matemática. Esto deriva en la aparición de los índices de modulación, asociado a la

operación PWM, en las variables de estado de los convertidores; se deduce en la sección 4.3.

Posteriormente, en las secciones 4.4 y 4.5 se emplea una transformada modal (en este trabajo, se

emplea Park) para que los modelos deducidos sean invariantes en el tiempo.

21

4.2 Modelación del UPFC en variables primitivas

La Figura 1 muestra el esquema de conexión al SEP de un controlador unificado de flujo de

potencias, UPFC. El equipo está ubicado en un punto de la línea de transmisión y se conecta a

través de dos transformadores, uno en paralelo y otro en serie a la línea. El transformador en

paralelo se conecta a un inversor que opera como rectificador. El enlace de continua lo conforma

un conjunto de condensadores y alimenta otro inversor cuya tensión es transformada e inyectada

en serie a la línea de transmisión. Cada inversor está conformado por dos transistores (IGBT’s)

con diodos en antiparalelo por cada fase.

El objetivo de esta sección es deducir un modelo completo del UPFC en variables primitivas.

La modelación se plantea con un sistema de dos barras como el que se muestra en la Figura 3.

Este modelo se desarrolla en variables de estado que son las corrientes que pasan por el

transformador serie y el transformador en paralelo, así como la tensión del enlace capacitivo. El

equipo está ubicado en una porción de la línea de transmisión que une a dos barras del SEP,

,S RV V . Se conecta en derivación a través de un transformador cuya impedancia es p pR j Lω+ , y

posteriormente se conecta en serie a través de otro transformador de potencia que inyecta la

tensión del inversor cVΔ . En el enlace de continua normalmente existe un condensador que

permite la operación del puente inversor y el intercambio de potencia activa entre el

transformador en derivación y el transformador en serie. Las tensiones y p cV VΔ son producidas

22

por el esquema de modulación empleado por los inversores en paralelo y en serie

respectivamente. El equipo se encuentra en una posición χ de la línea de transmisión corta. La

tensión en el punto de conexión es PV . La porción de la línea de transmisión hacia la barra S tiene

impedancia ( )R j Lχ ω+ y la porción de la línea de transmisión que mira a la barra R tiene una

impedancia equivalente ( )( )1 R j Lχ ω− + .

Figura 3 Un diagrama unifilar del UPFC

Las ecuaciones de este circuito equivalente son las siguientes:

[ ]( )S T Sv v z iχ− = 1.

( ) [ ]( )1T C R Rv v v z iχ− − = − 2.

( )1 Rχ− ( )1 Lχ−

C

SVRVCVΔ

PV

TVSi

pi

Ri

C

Rχ Lχ

pR

pL

P

UPFC

( )1 Rχ− ( )1 Lχ−

C

SVRVCVΔ

PV

TVSi

pi

Ri

C

Rχ Lχ

pR

pL

P

UPFC

23

[ ]( )P T P Sv v z i− = 3.

Donde:

[ ]0 0

0 00 0

R Lpz R Lp

R Lp

+⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

4.

0 00 00 0

p p

p p p

p p

R L pz R L p

R L p

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎡ ⎤ = +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥+⎣ ⎦

5.

Donde, dpdt

= es el operador derivativo, y χ es la posición que el UPFC tiene respecto a la

línea de transmisión.

Realizando las sustituciones apropiadas (ver ANEXO C) las ecuaciones en función de las

variables de estado son las siguientes:

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ]

1 1

1

1 1

P P P P

S R P C

P R P R

P P P P C R

P P S

L L pi R R i

v v v v

L L L pi L L R i

L R LR i L L v v

L v L v

χ χ χ χ

χ χ χ

χ χ χ χ

χ χ

χ

⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − = − − − +⎣ ⎦⎣ ⎦⎪⎪+ − + − + + −⎪⎪⎪⎨ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − = − + −⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + − + + +⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪+ +⎪⎩

6.

La Figura 4 muestra el detalle del enlace de corriente continua. Este involucra el filtro

capacitivo y los polos positivos y negativos que conectan simultáneamente al convertidor en

paralelo y al convertidor en serie. El filtro capacitivo se encarga de mantener la tensión, y

24

garantizar la operación mediante alguna técnica de modulación por ancho de pulsos (PWM). Una

forma de modelar el enlace de continua es a partir del balance de potencias.

Figura 4. Circuito equivalente para el enlace de continua.

La ley de corrientes en el enlace se expresa en términos de las corrientes de la figura.

3 4 1 2cc cc cc cci i i i− = + 7.

Esta ecuación constituye el balance de potencia activa en el enlace.

( )2 t tcc

cc cc p p R ccc

vCv pv i v i vR

= − + − 8.

Esta ecuación representa el intercambio de potencia activa entre el convertidor en paralelo

(Statcom), y el convertidor en serie, (SSSC). Durante el régimen permanente, las pérdidas por

conmutación de los 2 convertidores son suplidas por un diferencial entre estas potencias. Si no se

modelan las pérdidas por conmutación, no habría diferencia y por tanto, las potencias

intercambiadas por los convertidores serían idénticas.

Durante un evento transitorio, se puede producir una perturbación en el sistema de potencia.

Este desbalance produce una elevación de la tensión, en caso de ser positiva, o una disminución

de la tensión, en caso de ser negativo. La elevación de la tensión en el enlace puede ser

C

3cci 4

cci

ccR1 2 cc cci iccV+

−C

3cci 4

cci

ccR1 2 cc cci iccV+

−

25

provocado por una contribución positiva de potencia procedente del Statcom o por una

contribución negativa de potencia procedente del SSSC. Una disminución de la tensión puede ser

provocada por una contribución negativa de potencia procedente del Statcom o una contribución

positiva del SSSC.

Una contribución de potencia positiva para el Statcom significa que la potencia fluye del

convertidor en paralelo al enlace de continua. Una contribución de potencia positiva para el SSSC

significa que la potencia fluye del enlace de continua a la línea de transmisión.

Realizando las sustituciones apropiadas en la ecuación (4.8), la ecuación que falta para

completar la modelación del UPFC en variables primitivas es (ver ANEXO C):

( )( ) ( )( )( )1 2 2cccc pa pb pa pb ra rb ra rb

cc cc

vpv v v i i v v i iCR Cv

= − + + + − + + 9.

4.3 Modelación empleando las funciones de conmutación

El proceso de conmutación, tanto del convertidor rectificador como del convertidor inversor,

puede ser modelado empleando funciones de conmutación. Estas funciones modelan

matemáticamente el evento de la conducción o de la apertura del transistor (o su diodo en

antiparalelo).

26

En esta sección se propone y desarrolla un modelo del UPFC empleando estas funciones de

conmutación. Una vez propuesta la modelación completa, se obtiene un modelo discontinuo y

variante en el tiempo. Sin embargo, para obtener un modelo analítico y poder estudiar el

comportamiento en régimen transitorio y/o permanente, es necesario un modelo continuo. Para

pasar a un modelo continuo, se aplica la transformada de Fourier. Con la aplicación de esta

transformada se obtienen dos modelos, uno en baja frecuencia y otro en alta frecuencia.

Ambos modelos son no lineales y variantes en el tiempo. Dado que en este trabajo sólo se

profundiza en detalle el modelo en baja frecuencia, éste se transforma y linealiza alrededor de un

punto de operación. Al final de esta sección se obtiene un modelo completo del UPFC en

variables de estado primitivas y transformadas, con los índices y las fases de las ondas de

modulación por ancho de pulso de ambos convertidores involucradas.

A continuación se presenta los detalles de las funciones de conmutación para el caso de un

convertidor, bien sea el ubicado en serie o en paralelo al sistema eléctrico. Sea el sistema con la

topología circuital que se muestra en la Figura 5:

27

Figura 5 Equivalente circuital de un convertidor en el sistema eléctrico de potencia.

La ecuación matricial que modela la interacción de este convertidor con la línea trifásica es:

( )( )

( )

1 1

2 2

3 3

0 00 00 0

a a

b b

c c

e v z p ie v z p ie v z p i

⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

10.

( )iz p R Lp= + es la impedancia por fase entre el convertidor y la fuente. Esta resistencia incluye

el valor de la resistencia interna del transformador, por fase, así como la resistencia promedio de

pérdidas por conducción de los elementos semiconductores, por fase.

Sean Ta+ Tb+ Tc+ los elementos semiconductores conformados por el transistor de potencia

en configuración antiparalelo respecto a los diodos de potencia. Sea, 1 1d = cuando el

conmutador Ta+ esté cerrado, lo cual indica que el transistor está cerrado o bien el diodo que está

en antiparalelo. Entonces, 1 0d = significa que el conmutador Ta+ se encuentra abierto, lo cual

indica que el transistor está abierto así como también el diodo que está en antiparalelo. Por tanto

R

L

R

L

R

L

ccV

+

−

C ccR

1i 2i 3i

1e 2e 3e

av bv cvTa + T

b+T

c +

R

L

R

L

R

L

R

L

R

L

R

L

ccV

+

−

C ccR

1i 2i 3i

1e 2e 3e

av bv cvTa + T

b+T

c +

28

se puede establecer una función general de conmutación, ( )iD t . Esta función que está

relacionada con la señal del circuito de modulación, se puede obtener al comparar una onda de

referencia modulante (modulating wave) con otra, llamada onda portadora (carrier wave). La

Figura 6 muestra tres señales de referencia, una por cada fase del sistema de potencia, que sirven

para generar el juego de ondas trifásicas balanceadas por parte del convertidor.

Figura 6 Señales de referencia trifásicas.

La Figura 7 muestra cómo se generan las funciones de conmutación ( ), ( ) y ( )a b cD t D t D t ,

para el segmento de las señales de modulación que se destaca en la Figura 6.

Se puede observar que las funciones de conmutación son simétricas y centradas en π <rad> o

2CT <seg.>. Esta propiedad se mantiene siempre que la frecuencia de la onda portadora sea

mucho mayor que la frecuencia de la onda modulante (o moduladora). La Figura 7 muestra en

detalle las funciones de conmutación en un período de la onda portadora, cT .

π6

π2

θ

controlAV controlBV controlCV

π6

π2

θ

controlAV controlBV controlCV

29

Figura 7 Las funciones de conmutación trifásicas, para la condición descrita en la figura 6.

Estas funciones de conmutación se pueden expresar analíticamente como sigue:

( )( )

( )( ) ( ) ( )

0 10

1 2

1 1 1

c ii

i c

i i c i

t dD t

d t

D t d t d

ω π

π ω π

π ω π

⎧ ≤ ≤ −⎪= ⎨+ ≤ ≤⎪⎩

= − ≤ ≤ +

11.

Figura 8 Detalle de la función de conmutación durante un periodo de la onda portadora.

controlAVcontrolCVcontrolBV

CT +

AT +

BT +

Tc t

01

01

01

t

controlAVcontrolCVcontrolBV

CT +

AT +

BT +

Tc t

01

01

01

t

π( )1 id π− ( )1 id π+ ctω

iD1

π( )1 id π− ( )1 id π+ ctω

iD1

30

Se puede observar que id es el valor promedio de la función ( )iD tω en el período de la onda

portadora, cT .

Al igual que el primer modelo en variables primitivas, y dado que las funciones de

conmutación varían con el tiempo, este sistema de ecuaciones tiene la característica de ser

variante en el tiempo. Más aún, el hecho de que las funciones de conmutación cambien su valor

bruscamente indica que el sistema de ecuaciones es discontinuo, pues las soluciones que se

pueden obtener tendrían validez sólo en el periodo de estudio.

Para obtener un sistema de ecuaciones continuo se aplica la transformada de Fourier a las

funciones de conmutación, ( )iD tω . La aplicación de la transformada de Fourier conduce a un

sistema generalizado de ecuaciones, con términos que pueden ser considerados en baja frecuencia

y otros términos que se consideran de alta frecuencia (ANEXO D). Se considera baja frecuencia

cualquier término asociado a la frecuencia de operación del sistema y frecuencia alta a los valores

armónicos que surgen tras la aplicación de la transformada de Fourier.

El modelo general, luego de la aplicación de la transformada de Fourier queda:

[ ] ( ) [ ]( ) [ ]( )BF HF BF HFBF HFz p x x A A x x B u+ = + + + 12.

Los modelos en variables de estado, en alta y baja frecuencia, se pueden expresar así:

31

[ ] ( ) [ ]( )HF BFHFz p x A x= 13.

[ ] ( ) [ ]( ) [ ]( )BF BFBFz p x A x B u= + 14.

Las ecuaciones que modelan el UPFC con estas funciones de conmutación se presentan en las

(4.15), (4.16) y (4.17) respectivamente. Una deducción completa sobre las ecuaciones se realiza

en el ANEXO D.

Tanto el modelo en baja frecuencia como el de alta frecuencia son continuos y en

consecuencia son resolubles analíticamente. Sin embargo, ambos modelos son dependientes del

tiempo. Para poder obtener ecuaciones más sencillas, se puede aplicar una transformación que sea

solidaria con la frecuencia de operación de la onda de modulación. Cualquier transformada modal

empleada en la ingeniería eléctrica puede ser útil para este propósito. En este trabajo se propone

el enfoque tradicional seguido en otras publicaciones: la transformada de Park.

32

( )( )( )( )( ) ( )

( )( )

( )

( )( )

( )

111 1

cos

1 2cos2 31

4cos3

cos2cos

2 314cos3

P P PP P

p

pcc p

P

p

c

ccc c

P

c

pi R R iL L L L

t

mv t

L L

t

tmv t

L L

t

χ χχ χ χ χ

ω ϕ

πω ϕχ χ

πω ϕ

ω ϕχ πω ϕ

χ χπω ϕ

⎡ ⎤− −−= + +⎢ ⎥

+ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

−⎛ ⎞− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ − −⎜⎝

( )( ) ( )( )1

1 1S RP P

v vL L L L

χ χχ χ χ χ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎞⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15.

33

( )( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )

( )( )

( )

11

cos2cos

2 314cos3

cos

cos21

PR R P P

PP

c

P ccc c

P

c

p

pcc p

P

R Lpi i R R iL L LL L L

tL L mv t

L L L

t

t

mv t

L L

χ χχ χχ χ

ω ϕχ πω ϕ

χ χπω ϕ

ω ϕ

χ ω ϕχ χ

⎡ ⎤−⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥⎢ ⎥ + −+ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎡ ⎤ ⎜ ⎟− + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

−

⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟+ −⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )( )( ) ( )( )

23

4cos3

1 1

p

P PR S

P P

t

L L Lv vL L L L L L

π

πω ϕ

χχ χ χ χ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ++ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+ − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 16.

( )

( )

cos

2cos2 3

4cos3

cos2cos

2 34cos3

p

t pcccc p p

cc

p

C

t cR C

C

t

mvpv i tCR C

t

tmi tC

t

ω ϕ

πω ϕ

πω ϕ

ω ϕπω ϕ

πω ϕ

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

17.

34

4.4 Un modelo del UPFC mediante la transformada de Park

En esta sección se presenta un modelo del UPFC y su relación con el sistema eléctrico de

potencia usando la transformada modal de Park. Se puede emplear la transformada de Park

porque al examinar los modelos en variables primitivas de las secciones anteriores, se obtuvieron

dos sistemas de ecuaciones en variables de estado, cuyas fuentes forzantes varían en función del

tiempo y son no lineales. En ambos casos, se puede aplicar una transformada que sea solidaria

con la frecuencia de operación del sistema eléctrico de potencia.

La representación en variables de estado primitivas tiene una expresión general de la forma:

[ ] [ ] [ ]abc abc abc abcpx A x B u E w= + + 18.

La aplicación de cualquier transformada implica que:

abc dq

abc dq

abc dq

x C x

u Cu

w Cw

ο

ο

ο

=

=

=

19.

Sustituyendo en la ecuación matricial, se tiene:

( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )dq dq dq dqp C x A C x B Cu E Cwο ο ο ο= + + 20.

Por tanto, el modelo en variables de estado transformada tiene esta expresión general:

35

dq dq dq dqdq dq dqpx A x B u E wο ο ο οο ο ο⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 21.

La deducción en detalles de este modelo se muestra en el ANEXO E. Si se desean mayores

detalles sobre la transformada modal de Park, se puede consultar el ANEXO B.

Las matrices del sistema de ecuaciones en el dominio transformado quedan como se muestra en

las ecuaciones (4.22) y (4.23):

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]( )( )

( )( )

[ ]

[ ]

( )

2 2 2 211 12

5 5 2 2 2 221 22

1 1 1 1 1

11

12

21

22

0000

01

01

0 00 0

1

dq

rd rq pd pq cc

P P

P

P P

P

p

P

a a

A a a

f f f f fi i i i v

rLa

rL

L r LrL L L

aL r Lr

L L L

a

r rL

a

ω

ω

χ χχ χ

χ χχ χ

χ χ

× ×

× × ×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦− − −

=( )( )

( )( )( )

1

11

p

P

L

r rL L

ωχ χ

χ χω

χ χ

⎡ ⎤⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

22.

36

[ ]

11 12

11 12

5 4 21 22

21 22

1 1 1 1

0 00 0

0 00 0dq

cd cq pd pq

b bb b

b bB

b bf f f f

v v v v

×

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

23.

4.5 Modelo del UPFC mediante funciones de conmutación con la

transformada de Park.

Por otra parte, si se aplica la transformada modal de Park al sistema de ecuaciones en

variables de estado, empleando las funciones de conmutación, se obtienen las ecuaciones (4.24),

(4.25) y (4.26):

( )( ) [ ] ( )( )( ) [ ] ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )'21

111 1

cos1 3 sin

2 210

cos3 sin

2 210

P P Pdqo dqodqo dqoP P

o p

pcc o p

P

o cc

cc o cP

S d

p i R R iL L L L

mv

L L

mvL L

b v

χ χχ χ χ χ

ϕ ϕ

ϕ ϕχ χ

ϕ ϕχ ϕ ϕ

χ χ

⎡ ⎤−−⎡ ⎤ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦ + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤+ ⎣ ⎦ ( )'22 Rqo dqo

b v⎡ ⎤+ ⎣ ⎦

24.

37

( )( )

( )( )

cos3 sin

2 20

cos3 sin

2 20

o p

t pcccc p o p

cc

o ct c

R o c

mvpv iCR C

miC

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= − + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

25.

[ ]( )( ) [ ] ( ) [ ] ( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )

11

cos3 sin

2 213

2 2

cos3 sin

2 21

dqo PR R P Pdqo dqo

PP

o cP c

cc o cP

o p

pcc o

P


L L mvL L L

mv

L L

χ χχ χχ χ

ϕ ϕχ

ϕ ϕχ χ

ϕ ϕχ ϕ

χ χ

⎡ ⎤− ⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+ −+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎛ ⎞⎜ ⎟−⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎛ ⎞− + ⎛ ⎞+ − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞

+ −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦( )

( ) ( )' '11 12

32 2

p

R Sdqo dqob v b v

ϕ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

26.

38

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

'11

'12

'21

'22

01

;0

1

01

01

01

;0

1

1 01

101

P

P

dqP

P

p

P

dqp

P

P

dq

P

P

dq

P

L LL L L

bL L

L L L

LL L L

bL

L L L

L Lb

L L

L Lb

L L

χχ χ

χχ χ

χ χ

χ χ

χχ χ

χχ χ

χχ χ

χχ χ

⎡ ⎤− +⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ − +⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤

⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤

⎢ ⎥+ −⎢⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ −⎢

+ −⎢⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥

27.

Si el sistema es trifásico, y está balanceado a secuencia positiva, es decir:

( ) 2 42 cos ,cos ,cos3 3

t

Rabc R R R Rv V t t tπ πω ϕ ω ϕ ω ϕ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 28.

( ) 2 42 cos ,cos ,cos3 3

t

Sabc S S S Sv V t t tπ πω ϕ ω ϕ ω ϕ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 29.

Las tensiones transformadas son:

39

( ) ( )3 cos sinDQ

tR o oR R Rv V ϕ ϕ ϕ ϕ⎡ ⎤⎣ ⎦= − − − 30.

( ) ( )3 cos sinDQ

tS o S o SS Vv ϕ ϕ ϕ ϕ⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦ 31.

Este sistema es no lineal e invariante en el tiempo. Para linealizarlo, se puede obtener las

soluciones del régimen permanente y de pequeña señal. Para ello, se considera un vector de

perturbación alrededor de un punto de operación en régimen permanente, es decir se tiene las

ecuaciones siguientes:

El vector de estados es:

µ

¶

rr r

pp p

cc cc cc

ii Iii I

v V v

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

$

32.

Las variables de control son:

¶

µ

¶

¶

c c c

c c c

p p p

p p p

m M m

m M m

ϕ ϕ

ϕ ϕ

⎧ = +⎪⎪ = Γ +⎪⎨

= +⎪⎪

= Γ +⎪⎩

33.

Donde las fuentes pueden perturbar el sistema de potencia y al funcionamiento del equipo:

40

µ

µR R R

S S S

v V v

v V v

⎧ = +⎪⎨

= +⎪⎩ 34.

El modelo de pequeña señal queda así:

µ

¶[ ] µ

¶[ ] µ [ ]

[ ] µ [ ] [ ]

r r r rSS mp p

p pp p p pdq dq dq

cc cccc cc

r rrmc c

c cp pdq dqs

cc cc

i i I Ip A A m Ai i I I

V Vv v

I Iv

A m A BI Iv

V V

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+ + + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

$ $

$

$$

$

35.

Con la ecuación (4.36) se pueden obtener expresiones generales para la operación del régimen

permanente del UPFC. Tales expresiones no han sido obtenidas en el presente trabajo.

[ ] [ ] [ ]0r

rSS

pdqs

cc

IV

A BIV

V

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥

= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

36.

Las soluciones infinitas de esta ecuación han de coincidir con la resolución de las ecuaciones

derivadas del modelo fasorial correspondiente. Esta última resolución publicada en [57] y [58], se

muestra desarrollada con todo detalle en el ANEXO A.

El modelo que considera las funciones de conmutación es discontinuo, dada la naturaleza de

estas funciones. La aplicación de la transformada de fourier permite obtener dos submodelos, en

baja y alta frecuencia. Luego de la aplicación de alguna transformada, el modelo en baja

frecuencia se convierte en invariante en el tiempo pero es aun no lineal, de forma que es

necesario conocer el punto de operación en régimen permanente para linealizarlo.

41

5 ESTRATEGIAS DE CONTROL CONVENCIONAL

5.1 Esquemas de control convencional por cancelación de polos y ceros.

Cada convertidor del UPFC está ubicado en una porción del SEP que puede ser modelado

según la ecuación de estado:

1 2

1 2

1 2

0 0

10 0

0 0

a a a a

b b b b

c c c c

RLi i v v

Rp i i v vL L

i i v vRL

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

37.

Donde los subíndices 1 y 2 representan en el caso del convertidor serie del UPFC las tensiones de

las barras S y T respectivamente. Para el convertidor paralelo del UPFC, las barras del SEP son T

y P respectivamente, como se muestra en la Figura 3.

La aplicación de la transformada modal de Park a la ecuación (37) origina el sistema:

1 2

1 2

1d d d d

q q q q

Ri i v vLpi i v vR L

L

ω

ω

⎡ ⎤−⎢ ⎥ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−⎢ ⎥⎣ ⎦

38.

Se puede ver que este sistema de ecuaciones está acoplado mediante el término ω . Es

posible representar estas ecuaciones mediante los equivalentes circuitales que se muestran en la

Figura 9 y en la Figura 10 respectivamente.

42

Figura 9 Equivalente circuital de la ecuación del sistema (38-1).

El vector ( )'

1 1 d qv v corresponde en el dominio transformado a un vector de tensiones

trifásicas en el SEP. Para el caso del convertidor serie del UPFC, este vector de tensiones es el

correspondiente a la barra S. Para el caso del convertidor paralelo del UPFC, este vector

corresponde a la barra T. Por otra parte, el vector ( )'

2 2 d qv v corresponde en el dominio

transformado a otro vector de tensiones trifásicas. Para el caso del convertidor serie del UPFC,

este vector de tensiones es el correspondiente a la barra T. Para el caso del convertidor paralelo

del UPFC, este vector corresponde a la barra P.

Figura 10 Equivalente circuital de la ecuación del sistema (38-2).

qiω

diR L +−

12dvΔ

qiω

diR L +−

12dvΔ

diω

qiR L+ −

12qvΔ

diω

qiR L+ −

12qvΔ

43

5.1.1 Esquema de control tipo 1:

El vector de fuentes forzantes ( )'

1 2 1 2 d d d qv v v v− − del sistema en el dominio transformado

puede ser reescrito como:

1 2

1 2

0 10

d d d d

q q q q

x i v vx i v vL

ωω

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −−⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39.

Donde ( )' d qx x es el nuevo vector forzante. Así, el sistema de ecuaciones en variables de estado

(39) se puede expresar así:

0

0

d d d

q q q

Ri i xLpi i xR

L

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−⎢ ⎥⎣ ⎦

40.

Esta forma de redefinir las fuentes forzantes constituye un tipo de realimentación en

variables de estado. De esta forma se ha logrado desacoplar los términos cruzados en la ecuación

de estados, ω , y que están asociados a las fuentes de tensión dependientes de las corrientes

presentes en los modelos equivalentes circuitales.

Al aplicar la transformada de Laplace a ambos circuitos equivalentes, queda:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

d d d

q q q

RsI s I s x sLRsI s I s x sL

= − +

= − + 41.

44

Por tanto las funciones de transferencia a lazo abierto del sistema son:

( )( )

( )( )

1qd

d q

I sI sRx s x s sL

= =+

42.

A partir de esta realimentación, es posible proponer otra realimentación adicional, del tipo:

( ) ( )

( ) ( )

*

*

id p d d

iq p q q

kx s k i ip

kx s k i ip

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞

= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

43.

Esta realimentación adicional se puede representar mediante 2 diagramas de bloques, análogos al

que se muestra en la Figura 11.

Figura 11 Diagrama de bloques general, para las variables controladas.

Estos dos controladores le corresponden al convertidor serie y otro par de controladores le

corresponden al convertidor en paralelo. Desde el punto de vista de las variables de estado, las

ecuaciones de realimentación corresponden a las ecuaciones:

* *

*

* *

*

00

00

cd cd rd rd

cq cd rq rq

pd pd pq pq

pq pd pq pq

v g i iv g i i

v g i iv g i i

Δ ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

44.

( )pG scontrolador convencionalG( )r s ( )e s ( )y s( )u s

∑ ( )pG scontrolador convencionalG( )r s ( )e s ( )y s( )u s

∑∑

45

Las funciones de transferencia a lazo cerrado se calculan como:

( )( )

( )( ) 2

q p id

d qp i

I s k s kI sRX s X s s k s kL

+= =

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

45.

Este sistema tiene una ecuación característica de grado 2, con un cero finito ubicado en

i

p

ksk

= − y otro cero ubicado en el infinito. Si se quiere la cancelación de un polo con el cero

finito, es posible plantear la búsqueda de una relación entre las ganancias proporcionales e

integral del controlador. Al forzar esta relación de cancelación, se obtiene que las ganancias

proporcionales e integrales tiene que cumplir la relación: i pRk kL

= .

En este caso, la función de transferencia a lazo cerrado es:

( )( )

( )( )

q pd

d q p

I s kI sX s X s s k

= =+

46.

Por tanto, si se fija el valor de la ganancia proporcional, se conoce el valor de la constante

integral. Por ejemplo, si 1pk

T= , entonces se tiene que 1

ik R LT

= . La función de transferencia

del controlador proporcional / integral queda como:

( ) ( )1 i pc

T s k kG s

s+

= 47.

46

El diagrama de bloques queda como se muestra en la Figura 12.

Figura 12 Valores de las ganancias para el controlador y la función de transferencia.

La ventaja de esta estrategia de ajuste es que puede ser controlado el sistema a lazo cerrado.

Pero su desventaja principal consiste en que si la cancelación entre el polo y el cero no es

perfecta, el sistema no tiene el comportamiento dinámico deseado.


Para considerar los efectos de las fuentes de tensión dependientes de las corrientes, es posible

replantear el esquema de realimentación según las ecuaciones siguientes:

* *

*

* *

*

0 00 0

0 00 0

cd rdcd rd

cq rqcd rq

pd pd rdrd

pq pd rqrq

v ig iv ig i

v g iiv g ii

ωα

ω

ωα

ω

Δ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

48.

Donde el valor del coeficiente α puede oscilar entre 0 y 1.

( )1

s R L+

( )1 T s R L

s

+( )r s ( )e s ( )y s( )u s∑

( )1

s R L+

( )1 T s R L

s

+( )r s ( )e s ( )y s( )u s∑∑

47


El esquema de control matricial busca realimentar 4 de las 5 variables de estado del sistema.

En este esquema de realimentación las ecuaciones de control de las variables de estado son:

* *

*

* *

*

cd cd cc rd rd

cq cc cd rq rq

pd pd pc pq pq

pq pc pd pq pq

v g g i iv g g i i

v g g i iv g g i i

Δ ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

49.

Al considerar el sistema en el dominio transformado, las ecuaciones para el convertidor en serie y

en paralelo del UPFC son:

cd rd

cq rq

pd p p p pq

pq p p p pq

v iR Lp Lv iL R Lp

v R L p L iv L R L p i

ωω

ωω

Δ⎡ ⎤ + − ⎡ ⎤⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥Δ +⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

50.

Si se considera que los vectores transformados de las tensiones de los convertidores

'cd cqv v⎡ ⎤Δ Δ⎣ ⎦ 'pd pqv v⎡ ⎤⎣ ⎦ , que sus valores de referencia '*

cd cqv v⎡ ⎤Δ Δ⎣ ⎦ '*

pd pqv v⎡ ⎤⎣ ⎦ son iguales, y que

las matrices de control tienen ganancias proporcionales de la forma:

* *

*

* *

*

cd rs qs rd rd

cq ps rs rq rq

pd rp qp pq pq

pq pp rp pq pq

v k k i iv k k i i

v k k i iv k k i i

Δ − ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

51.

Entonces es posible sustituir la ecuación (50-1) en (49-1) para obtener las funciones de

transferencia completa. Para el convertidor en serie, estas funciones son:

48

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

* *1 2

2

2 22

* *3 4

2

2 22

2

2

rs rd qs rqrd

rs ps qsrs

ps rd rs rqrq

rs ps qsrs

k Ls a I k Ls a II s

R k L k L kR kL s s

L L

k Ls a I k Ls a II s

R k L k L kR kL s s

L L

ω ω

ω ω

+ − +=

⎛ ⎞+ + + ++⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + +=

⎛ ⎞+ + + ++⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

52.

Donde los términos o coeficientes valen:

( ) ( )

( ) ( )

1

2

3

4

rs rs qs ps

rs rs

rs rs

rs rs ps qs

a R k k L k k

a Rk Lka Rk Lk

a R k k L k k

ω

ωω

ω

= + + +

= −= −

= + + +

53.

En este caso, la ecuación característica del sistema a lazo cerrado es:

( ) ( ) ( )( )2

22

2 rs ps qsrs R k L k L kR ks s

L Lω ω+ + + ++

+ + 54.

Lo cual indica que se trata de un sistema de 2 orden. Al hacer el análogo de la ecuación

característica, con la ecuación normalizada de la teoría de control clásico, se tiene que, para

2 22 n ns sξω ω+ + las raíces de la ecuación son:

21 2

1 2

, 1,

n n

d

s s js s j

ξω ω ξα ω

= − ± −

= − ±

Por tanto la frecuencia natural no amortiguada es:

49

( ) ( )( )2rs ps qs

n

R k L k L k

L

ω ωω

+ + + += 55.

El factor de amortiguamiento relativo se expresa como:

( ) ( )( )2rs

rs ps qs

R k

R k L k L kξ

ω ω

+=

+ + + + 56.

La denominada frecuencia de amortiguamiento o frecuencia amortiguada es:

( )( )ps qsd

L k L k

L

ω ωω

+ += 57.

La constante de amortiguamiento del sistema se calcula como:

rs

Lk R

τ =+

58.

El valor de la constante rsk en función de ,ps qsk k es:

( )( )21

ps qsrs

L k L kk R

ω ω ξ

ξ

+ += −

− 59.

Estas ecuaciones indican que el término rsk ( rpk ) contribuye a debilitar más el acople que

existe entre las variables de estado, durante el régimen permanente. El término rsk ( rpk ) actúa

como una resistencia adicional a la línea de transmisión. Esta resistencia no tiene efectos sobre la

frecuencia amortiguada, aunque eleva la frecuencia natural del sistema. También eleva el

50

amortiguamiento al disminuir la constante de tiempo correspondiente y elevar el factor de

amortiguamiento del sistema.

Al desacoplar el efecto que tiene la tensión de eje directo sobre la corriente en cuadratura y

análogamente, el efecto que tiene la tensión en cuadratura sobre la corriente de eje directo, se

disminuye la potencia activa y reactiva que son inyectadas por las tensiones de eje directo y en

cuadratura respectivamente, que son consecuencia del acople fuerte que poseen las variables de

estado transformadas.

51

6 ESTRATEGIAS DE CONTROL EMPLEANDO LÓGICA

DIFUSA

La sección 6.1 es una introducción a la teoría de la lógica difusa. La sección 6.2 está dedicada a

deducir procedimientos para ajustar una familia de controladores difusos.

6.1 Bases de la lógica difusa

La lógica difusa es un sistema lógico que provee un marco matemático para manejar las

incertidumbres asociadas con los sistemas cognoscitivos humanos, como el razonamiento y el

pensamiento. El pensamiento humano opera más con símbolos que con valores exactos, por lo

que la lógica difusa busca simular el pensamiento humano.

Los controladores difusos permiten diseñar leyes de control en función de las variables

lingüísticas. Esta característica le permite controlar sistemas que posean no linealidades, así como

sistemas cuyos puntos de operación implican la presencia de funciones no lineales.

A fin de poder determinar cómo se mejora el diseño del controlador difuso, es necesario conocer

el comportamiento del controlador difuso, así como sus componentes.

52

Un controlador difuso tiene 5 componentes: la etapa de normalización de la entrada, el

proceso de fuzificación, la inferencia, el proceso de defuzificación y la denormalización de la

salida, como se observa en la Figura 13.

Figura 13 Esquema general de un controlador difuso genérico.

Etapa de normalización:

La entrada al proceso de normalización suele ser una señal que es equivalente a la diferencia

entre el valor de referencia (de corriente en el dominio transformado) y el valor de salida actual

del sensor. La normalización del error consiste en la obtención de una señal ( )ne t que oscile

entre los valores de {-1 1} respectivamente, para todo el rango o zona de operación posible, de la

señal del error ( )e t . Esta normalización de todo el rango o zona operativa del variable error ( )e t ,

puede ser implementada mediante una ganancia apropiada. La zona operativa requiere el

conocimiento del proceso a controlar.

Fuzificación:

La entrada al proceso de fuzificación es la variable ( )ne t , cuyos valores oscilan entre {-1 1}.

La fuzificación transforma el valor actual de ( )ne t en valores lingüísticos. Los valores

( )e t ( )ne t Efp Sfp ( )u t( )nu tNormalizacion Fuzificacion Inferencia Defuzificacion Denormalizacion

Base del conocimiento

( )e t ( )ne t Efp Sfp ( )u t( )nu tNormalizacion Fuzificacion Inferencia Defuzificacion Denormalizacion


53

lingüísticos se expresan matemáticamente mediante funciones de pertenencia. Dado que estas

funciones de pertenencia operan sobre la entrada del controlador, se les denomina funciones de

pertenencia de entrada Efp .

Las funciones de pertenencia tiene que cumplir algunos requisitos mencionados en el aparte

anterior: para que puedan desempeñarse en el controlador difuso. Un análisis riguroso o detallado

puede escapar a los objetivos de este trabajo, aunque se enuncian a continuación: 1) Que sean

convexas, y, 2) su rango o imagen esté entre {0 y 1}.

Las Efp implementadas en el presente trabajo son triangulares. La base del triángulo

descansa sobre una parte del universo de discurso y el valor pico que determina la altura del

triángulo siempre tiene como valor 1. La Figura 14 muestra 2 funciones de pertenencia de

entradas triangulares, para una partición del universo de discurso.

Figura 14 Dos funciones de pertenencias triangulares.

El universo de discurso está conformado por todos los valores posibles de la variable ( )ne t .

Por tanto, la zona operativa normalizada constituye el universo de discurso para las funciones de

pertenencia de entrada Efp . Es una práctica muy común entre los ingenieros de control de

e

μ

1

e

μ

1

54

procesos usar un número impar de Efp . Una Efp se ubica simétrica al centro del área operativa

normalizada y las restantes n-1 Efp se distribuyen desde centro hasta cubrir todo el universo de

discurso, usualmente en forma de simetría bilateral. La Figura 15 muestra la partición del

universo de discurso para tres 3 Efp triangulares.

Figura 15 Mapeo del universo de discurso usando 3 funciones de pertenencia triangulares.

En esta figura se puede observar cómo están distribuidas las funciones de pertenencia. Estas

funciones de pertenencia mapean el dominio de tal forma que la suma de los grados de

pertenencia para cualquier valor de ne es igual a 1. Por tanto, sólo 2 funciones de pertenencia

están activas para todos y cada una de los valores de la variable de entrada. Para el caso de la

figura, si 0.25ne = , entonces las funciones de pertenencia activas son respectivamente Z y MA ,

y: fp1 fp2 fp1 fp2µ =0.5 µ =0.5 µ +µ =1

Inferencia

La inferencia es una función que determina unívocamente las funciones de pertenencia de

salida, dada las funciones de pertenencia de entrada. Las funciones de pertenencia de salida Sfp

e

μ

Efp MB

Efp Z

Efp MA

1

e

μ

Efp MB

Efp Z

Efp MA

1

55

son las mostradas en la Figura 16. La inferencia es una función lingüística que asigna una función

de pertenencia de salida a una función de pertenencia de entrada.

Figura 16 Tres funciones de pertenencia de salida triangulares.

En el caso mostrado, la inferencia es:

E S1 n nR : si e es fp MB entonces u es fp MB ∨

E S2 n nR : si e es fp Z entonces u es fp Z ∨

E S3 n nR : si e es fp MA entonces u es fp MA

Defuzificación.

La defuzificación determina la salida ( )nu t , transformando las reglas activas en un valor

numérico. Existen muchos métodos de defuzificación. Un método muy sencillo es el centroide

modificado, o método del razonamiento simplificado.

u

μ

Sfp MB

Sfp Z

Sfp MA

1

u

μ

Sfp MB

Sfp Z

Sfp MA

1

56

Denormalización.

La denormalización consiste en obtener una señal ( )u t , que oscile entre los valores {-k k}

respectivamente, para todo el rango de operación posible de la señal del controlador normalizado

( )nu t que oscila entre {-1 1}.

Base del Conocimiento

La base del conocimiento es el conjunto de informaciones y dependencias de variables de

carácter cualitativo y cuantitativo sobre el comportamiento del sistema a controlar. Que se

traduce en la elaboración de las reglas en el proceso de inferencias, y que determina algunos

aspectos del proceso de fuzificación y defuzificación, respectivamente.

6.2 Análisis en el dominio del tiempo del controlador proporcional difuso.

Un controlador difuso de tres reglas tiene una ley de control cuya forma general cumple con la

ecuación:

( ) ( ) [ ]( ) [ ] [ ]( )

; ,

; ,1 1,

1; 1

p n n

i n

n

u t k e t e a a

u t C e a a

u t e

= ∈ −

= ∈ ∪ − −

= ≥

60.

Un controlador difuso con 5 reglas tiene una ley de control que cumple con la expresión:

( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( )

; ,

; ,1 1,

1; 1

p n n

p n i n

n

u t k e t e a a

u t k e t C e a a

u t e

= ∈ −

= + ∈ ∪ − −

= ≥

61.

57

Por tanto es posible aplicar los siguientes criterios para ajustar los valores de este controlador

difuso:

1) Emplear un valor inicial de oC suficientemente elevado para aumentar la velocidad de

respuesta de la salida y la salida respectivamente, y lograr una disminución del tiempo de

subida.

2) Usar un valor inicial de pk comparable al de iC , para disminuir o amortiguar las

oscilaciones y contrarrestar el valor elevado de oC , inicialmente usado para elevar la

respuesta del sistema.

3) Si las constantes iC son subsecuentemente reducidas, y las ganancias pik

subsecuentemente elevadas, es posible reducir las oscilaciones y simultáneamente

contribuir con la reducción del tiempo de subida de la respuesta.

4) El controlador difuso proporcional se comporta como un controlador PD de la teoría

clásica convencional.

5) El valor final de iC debe ser nulo, para no incrementar el error durante el régimen

permanente.

6.2.1 El controlador proporcional integral difuso.

Figura 17 Arquitectura general en diagrama de bloques, de un controlador difuso Proporcional Integral.

( )pG sPIcontrolador difusoG

( )r s ( )e s ( )y s( )u s

∑ 1s( )e s

s

( )pG sPIcontrolador difusoG

( )r s ( )e s ( )y s( )u s

∑∑ 1s( )e s

s

58

Figura 18 Esquema general de un controlador difuso genérico Proporcional Integral.

El controlador difuso puede ser concebido como se muestra en la Figura 18. Este

controlador, como su homólogo clásico, Figura 17, tiene dos entradas y una salida. Las entradas

son el error y la integral del error. La ley de control general para este controlador es:

( ) ( ) ( )I p iu t k e t k e t C= + +∫ 62.

, donde los valores de y i p ik k C dependen de los valores centrales de las funciones de

pertenencia para el error y las funciones de pertenencia para la integral de la señal de error.

El esquema para un controlador difuso como el propuesto en la Figura 17 con sus diferentes

etapas se observa en la Figura 18. En general, se discrimina en 5 etapas:

1) Etapa de normalización,

2) Fuzificación,

3) Proceso de inferencia,

4) Defuzificación, y

5) Denormalización.

Etapa de Normalización:

( )e t ( )ne t EfpSfp ( )u t( )nu tNormalizacion Fuzificacion

Inferencia Defuzificacion Denormalizacion


( )e t p ( )ne t p

Efp pNormalizacion Fuzificacion

( )e t ( )ne t EfpSfp ( )u t( )nu tNormalizacion Fuzificacion

Inferencia Defuzificacion Denormalizacion


( )e t p ( )ne t p

Efp pNormalizacion Fuzificacion

59

La entrada al proceso de normalización son las señales de error y su integral. El error se

calcula como el valor deseado de la señal de salida menos el valor actual de la señal de salida. Su

integral se calcula como la suma del valor actual de la señal de salida con los anteriores dividido

por el tiempo transcurrido. Las constantes de normalización, una por cada señal de entrada, deben

calcularse para garantizar que la zona operativa para el valor del error y su integral estén en por

unidad.

Fuzificación:

Si Ne es el número de reglas para la señal de entrada “error”, y Nie es el número de reglas

para la señal de entrada “integral del error”, entonces es una práctica común usar el mismo

número de reglas. Por tanto se considera Ne = Nie y se fija el número de reglas en 7. Los valores

de los grados de pertenencia para las 2 reglas activadas por la señal de error son:

11

1 1

i ii i

i i i i

E e e EE E E E

μ μ++

+ +

− −= =

− − 63.

Por tanto, los valores de los grados de pertenencia para las 2 reglas activadas por la señal de la

integral del error son:

11

1 1

j jj i

j j j j

E Ie Ie E

E E E Eμ μ+

++ +

− −= =

− −∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

64.

Inferencia:

Cada regla del proceso de inferencia necesita procesar la información del error como de la

integral del error. Por tanto, el número de reglas para la inferencia será de Ne*Nie. Si el número

de reglas es 7, el número de reglas para el proceso de inferencia es igual a 49.

60

Dado que cada señal de entrada tiene activada generalmente 2 reglas, el número total de reglas

activas es igual a 4. Estan reglas activas son:

i,j n i j n i,jnR : si e es E e es E entonces u es U ∧ ∨∫ ∫

i+1,j n i+1 j n (i+1),jnR : si e es E e es E entonces u es U ∧ ∨∫ ∫

i,j+1 n i j+1 n i,(j+1)nR : si e es E e es E entonces u es U ∧ ∨∫ ∫

i+1,j+1 n i+1 j+1 n (i+1),(j+1)nR : si e es E e es E entonces u es U∧ ∫ ∫

El proceso de inferencia se resume en la siguiente matriz.

Δe\e Ng Nm Np Z Pp Pm Pg

Ng Ng Ng Ng Ng Nm Np Z

Nm Ng Ng Ng Nm Np Z Pp

Np Ng Ng Nm Np Z Pp Pm

Z Ng Nm Np Z Pp Pm Pg

Pp Nm Np Z Pp Pm Pg Pg

Pm Np Z Pp Pm Pg Pg Pg

Pg Z Pp Pm Pg Pg Pg Pg

Tabla 1 Matriz de inferencia para el método del centroide modificado.

61

Defuzificación

El método empleado es el del razonamiento simplificado. La ecuación aplicada a este caso es:

1, 1

regla n regla m regla n,mregla n regla n,1

1, 1

regla n regla n regla m1 ,

* **

*

n i m jN

n i m jnN n i m j

n n i m j

uuu

μ μμ

μ μ μ

= + = +

= === + = +

= = =

= =∑∑

∑ ∑ 65.

Esta ecuación se puede reescribir como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

, 1 1 , 1 , 1 1 1 1 , 1

1 1 1 1

i j i j j ii i j j i j i j i j

i j j ii j i j

u u u uu

μ μ μ μ μ μ μ μ

μ μ μ μ μ μ μ μ+ + + + + + + +

+ + + +

+ + +=

+ + + 66.

Al sustituir los valores de los grados de pertenencia y las funciones de pertenencia de salida

en esta ecuación, se halla una expresión de la ley de control para el controlador difuso del tipo

proporcional integral. Algunos términos de la ley de control afectan la señal del error, como

también la integral del error. Un tercer término de la ley de control afecta el producto de la señal

y su integral y el último término es independiente de las señales de entrada.

Dado que la ley de control para el controlador difuso del tipo proporcional integral es la

ecuación (62), los valores de las constantes y I p ik k C son:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 ,, 1 1 , 1 1 ,

1 1

j j i ji j i j i jI

i i j j

E U U E U UK

E E E E

++ + + +

+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=− −

∫ ∫∫ ∫

67.

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )1 ,1 , 1 , 1 , 1

1 1

i i i ji j i j i jP

i i j j

E U U E U UK

E E E E

++ + + +

+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=− −∫ ∫

68.

62

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )1 1 1 ,1 , 1 1 , , 1

1 1

i j j i j i j ji j i j i ji

i i j j

E E U E U E E U E UC

E E E E

+ + ++ + + +

+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=− −

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫

69.

Resaltan tres conclusiones:

1) Los valores de Ik dependen esencialmente de la diferencia entre valores centrales de las

funciones de pertenencia asociadas a la integral del error.

2) Los valores de pk dependen esencialmente de la diferencia entre valores centrales de las

funciones de pertenencia asociadas al error.

3) Los valores de iC serán nulos si hay equidistancia entre las funciones de pertenencia de

las entradas y salidas.

6.2.2 Ajuste de los controladores difusos tipo proporcional.

Los controladores difusos del tipo proporcional que se proponen en esta metodología tienen

7 reglas. Por tanto, el número de incógnitas a calcular son 4, y son los valores centrales de las

funciones de pertenencia de entrada PP y PM, así como los valores centrales de las funciones de

pertenencia de salida PPS y PMS. Los valores centrales para valores negativos de la señal de

error cumplen con la condición de simetría bilateral. Si bien son 4 las incógnitas a calcular, los

grados de libertad disponibles son 2, pues una vez determinado un par, los otros quedan

determinados por la superficie de control.

El número de funciones de pertenencia con valores centrales ajustables mediante esta

metodología se puede calcular con la expresión: # 32

reglas − , donde el factor 3 indica que hay

63

tres funciones de pertenencia que están fijas en -1, 0 y 1 respectivamente y el factor 2 para

cumplir con la restricción de bilateralidad.

El 1er paso para el ajuste de los controladores difusos consiste en implementar un controlador

difuso base, cuya ecuación o ley de control sea ( ) ( )u t e t= , con el número de reglas a usar, en

este caso 7 reglas. Este controlador tiene los valores centrales de las funciones de pertenencia de

entrada y salida equitativamente distribuidos. En esta condición se calculan las ganancias para la

normalización y denormalización. Para la normalización es necesario hallar k tal que el error sea

normalizado para todo el área de operación. En la implementación es posible hallar esta constante

como el valor ( )( )

1max e t

. Para la denormalización es necesario hallar 'k tal que se cumpla la

especificación del sobrepico máximo. También es posible calcular ''k tal que la respuesta sea

críticamente amortiguada, dejando el control del máximo sobrepico al controlador. En el cálculo

de las dos últimas constantes, es posible emplear cualquier técnica teórica, como el lugar

geométrico de las raíces, si se conoce la función de transferencia.

El objetivo del diseño es disminuir el tiempo de subida y mantener el sobrepico máximo,

Para maximizar el valor de la constante oC , se ajusta un controlador difuso de 3 reglas cuyos

vértices están ubicados en:

N Z B

E -a 0 a

U -1 0 1

Tabla 2 Vértices del controlador difuso de 3 reglas.

64

Para a = 0 se tiene la respuesta más rápida con el mayor sobrepico posible. En la condición a = 1

se tiene un controlador con 0pk = . Por tanto, la familia de respuestas posibles va entre un

controlador base y un controlador conmutable. Por tanto, se puede hallar un valor de a tal que

satisfaga una condición del error en régimen permanente (RP).

En la Figura 19 se observa el área obscurecida, entre la superficie de control del controlador

base y el controlador para la condición del RP. La superficie de control para el controlador de 7

reglas estará ubicada en esta área. El valor central de la función de pertenencia PP debe estar

sobre la recta superior y el valor central de la función de pertenencia PM debe estar sobre la recta

inferior. Esto garantiza que los valores de iC disminuirán a medida que el error se reduzca.

También garantiza que los valores de pk sean más altos para errores más pequeños.

Figura 19 Área de control para el controlador difuso.

en

un

1

-1

-1a

-a

1 en

un

en

un

1

-1

-1a

-a

1

1

-1

-1a

-a

1

65

Para hallar los vértices de la función de pertenencia PP se procede a ajustar otro controlador de

tres reglas con las siguientes características:

N Z B

e -ab 0 Ab

u -b 0 B

Tabla 3 Vértices del controlador difuso de 3 reglas para la función de pertenencia PP.

Cuya ley de control es:

( ) ( )1u t e ta

=

Se halla el valor de b para mantener la condición del régimen permanente. El siguiente valor

central es mayor que el anterior, es decir vale la restricción c > b. Finalmente se halla el valor de

c para mantener la condición de máximo sobrepico, Figura 20.

Figura 20 Detalle del área de control para el controlador difuso de 7 reglas.

en

un

1

1

-1

-1

a

-a

ba

bc

c en

un

en

un

1

1

-1

-1

a

-a

ba

bc

c 1

1

-1

-1

a

-a

ba

bc

c

c

c

66

6.2.3 Ajuste de los controladores difusos tipo Proporcional Integral.

El objetivo del ajuste es obtener los valores centrales de las funciones de pertenencia de

entrada y salida: E E E E S SPP , PM , PP , PM , PP , PM∫ ∫ .

Para iniciar el proceso de ajuste del controlador difuso es necesario abrir el lazo de control

integral y para un controlador de 7 reglas base, se calcula la constante de normalización tal que el

error sea llevado a por unidad. Este valor es:

( )( )1

max e t.

Para la denormalización se halla la constante ik tal que se cumplan las condiciones de

máximo sobrepico, por ejemplo la condición de una respuesta críticamente amortiguada. En esta

condición se ajusta un controlador difuso de 7 reglas.

Luego de este ajuste, se procede a cerrar el lazo integral y se calcula la constante de

normalización para la señal integral del error, manteniendo equidistantes las funciones de

pertenencia para la integral del error.

67

7 RESULTADOS

7.1 Descripción de las simulaciones desarrolladas bajo SIMULINK y ATP

Las bases de datos de este trabajo fueron implementadas mediante dos programas de

simulación ampliamente utilizados en el área: SIMULINK y ATP/EMTP.

En principio, los modelos del equipo así como las estrategias de control convencional y los

sistemas de inferencia difusos asociados, fueron implementados en su totalidad empleando el

ATP/EMTP con TACS (Transient Analysis of Control System). En una segunda etapa, los

archivos realizados con el programa ATP/EMTP fueron implementados en SIMULINK 5.0, sin

mayores dificultades. El programa SIMULINK 5.0 genera archivos con extensión MDL y

ofrecen conectividad con interfases gráficas y con MATLAB. Además posee módulos de cálculo

para armónicas e indicadores de calidad de servicio eléctrico.

ATPDraw™ es un preprocesador gráfico del programa ATP/EMTP. Es usado para crear y

editar archivos de circuitos, con las mismas librerías que contiene el ATP/EMTP. La entrada es

un archivo gráfico con extensión ADP. La salida de esta interfase gráfica es un archivo que puede

correr en el ATP/EMTP con extensión ATP. H.K.Høidalen del SINTEF/EFI (Trondheim,

Noruega) inició su desarrollo en 1990 y efectúa en la actualidad su mantenimiento. Los derechos

de autor fueron obtenidos entre 1996 y 1997.

68

La última versión desarrollada para Windows Winxx (3.4) por O.G.Dahl, de Dahl Data Design

puede obtenerse (royalty-free) vía ftp en la Universidad de Chicago.

La Figura 21 muestra un archivo tipo ADP generado mediante el programa ATPDraw. En

este archivo se simuló un modelo de SID tipo Proporcional Integral con 7 reglas. El resultado de

este archivo es un listado que puede correr en el ATP y que se muestra en el ANEXO I.

La Figura 22 muestra un archivo tipo ADP que simula un UPFC con una estrategia de

controladores difusos en configuración matricial. El sistema eléctrico asociado a la simulación

consta de una barra infinita que alimenta una carga con dos líneas en paralelo. Estas líneas en

paralelo están modeladas en configuración π . El UPFC se ubica en una de estas líneas en

paralelo. El resultado de este archivo también se muestra en el ANEXO I. Los resultados de la

corrida para la prueba de energización se muestran respectivamente en la Figura 29 y en la Figura

33; para la prueba de carga se muestra respectivamente en la Figura 37 y en la Figura 41.

Figura 21 Detalle del archivo fuzzyPI1.ADP visualizado con ATPDraw

69

Figura 22 Archivo cupfc_ffuj.ADP visualizado en ATPDraw

La Figura 23 muestra un archivo tipo MDL generado mediante el programa SIMULINK. En

este archivo también se simuló un modelo de SID tipo Proporcional Integral con 7 reglas.

Figura 23 Detalle del archivo difuso_PI_7reglas_d.MDL visualizado con SIMULINK

70

La Figura 24 muestra un archivo tipo MDL que simula un UPFC con una estrategia de

controladores difusos en configuración matricial, una réplica del simulado con el ATP. La figura

25 muestra un detalle del archivo mostrado, donde se visualiza los módulos de control para

ambos convertidores (“convertidores”) y los módulos que generan los pulsos de disparos para los

semiconductores (“PWM Discrete”).

Figura 24 Archivo cupfc_ffujita_d.MDL visualizado con SIMULINK

Figura 25 Detalle del archivo cupfc_ffujita_d.MDL visualizado con SIMULINK

71

7.2 Pruebas de energización:

Resultados de la Prueba de Energización

Tipo de ControladorMáximo

sobrepico <%>

Tiempo de establecimiento

<s>

Error permanente

<%>

Oscilación máxima <Mvar>

Tiempo de establecimiento

<s>

Error permanente

<%>Convencional directo 21,7 5,00E-02 < 1 20 6,00E-02 < 1

Convencional matricial 13,04 5,00E-02 < 1 -25 2,00E-02 < 1SID directo 15,62 5,00E-03 < 1 6 8,00E-03 < 5

SID matricial 17,39 5,00E-03 < 1 -15 8,00E-03 < 1

P <p.u.> = 1 = 115 <Mw> Q <p.u.> = 0

Tabla 4 Resultados de la prueba de energización.

Figura 26 Respuesta a lazo cerrado de la potencia activa, ante un escalón en la referencia de potencia activa,

para el esquema de control convencional tipo 1.

(file upfc_cd.pl4; x-var t) factors:offsets:

10,00E+00

t: PREFS 2E80,00E+00

t: PSERIE 10,00E+00

0 10 20 30 40 50[ms]0

30

60

90

120

150

*106

72


para el esquema de control difuso tipo 1.



(file upfc_fcd.pl4; x-var t) factors:offsets:

10,00E+00


t: PSERIE 10,00E+00

0 10 20 30 40 50[ms]0

30

60

90

120

150

*106

(file upfc_cfujita.pl4; x-var t) factors:offsets:

10,00E+00


t: PSERIE 10,00E+00

0 10 20 30 40 50[ms]0

30

60

90

120

150

*106

73



Figura 30 Respuesta a lazo cerrado de la potencia reactiva, ante un escalón en la referencia de potencia activa,


(file upfc_cd.pl4; x-var t) t: QREFS t: QSERIE 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10[s]

-5

0

5

10

15

20

*106

(file upfc_ffujita.pl4; x-var t) factors:offsets:

10,00E+00


t: PSERIE 10,00E+00

0 10 20 30 40 50[ms]0

30

60

90

120

150

*10 6

74





(file upfc_fcd.pl4; x-var t) t: QREFS t: QSERIE 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10[s]

-3.0

-1.5

0.0

1.5

3.0

4.5

6.0

*106

(file upfc_cfujita.pl4; x-var t) t: QREFS t: QSERIE 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10[s]

-30.0

-22.5

-15.0

-7.5

0.0

7.5

15.0

*106

75



(file upfc_ffujita.pl4; x-var t) t: QREFS t: QSERIE 0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20[s]

-15

-10

-5

0

5

10

*106

76

7.3 Pruebas de carga

Figura 34 Respuesta ante una referencia de P = 100 <Mw> de la potencia activa, en 2 líneas paralelas, para el

esquema de control difuso tipo 1.



(file cupfc_cd.pl4; x-var t) t: P t: PPAR 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10[s]0

40

80

120

160

200

*106

(file cupfc_fcd.pl4; x-var t) t: P t: PPAR 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10[s]0

40

80

120

160

200

*106

77


esquema de control convencional tipo 3.



(file cupfc_cfujita.pl4; x-var t) t: P t: PPAR 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10[s]0

40

80

120

160

200

*106

(file cupfc_ffuj.pl4; x-var t) t: P t: PPAR 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10[s]0

40

80

120

160

200

*106

78

Figura 38 Respuesta ante una referencia de P = 100 <Mw> de la potencia reactiva, en 2 líneas paralelas, para

el esquema de control convencional tipo 1.


el esquema de control difuso tipo 1.

(file cupfc_cd.pl4; x-var t) t: Q t: QPAR 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10[s]

-15

-5

5

15

25

35

*106

(file cupfc_cfujita.pl4; x-var t) t: Q t: QPAR 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10[s]

-50.0

-37.5

-25.0

-12.5

0.0

12.5

25.0

37.5

50.0*106

79


el esquema de control convencional tipo 3.


el esquema de control difuso tipo 3.

(file cupfc_fcd.pl4; x-var t) t: Q t: QPAR 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10[s]

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30*106

(file cupfc_ffuj.pl4; x-var t) t: Q t: QPAR 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10[s]

-15

-5

5

15

25

35

*106

81

8 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

• Se han desarrollado, analizado y comprobado dos modelos del UPFC tanto para el análisis

de régimen permanente como de régimen transitorio. Dichos modelos pueden ser

incorporados a programas profesionales para el análisis de régimen permanente como de

régimen transitorio.

• Se han implementado y analizado distintas estrategias de control de UPFC y se ha

propuesto un conjunto de nuevas estrategias de control basados en la lógica difusa. Tales

estrategias de control muestran ventajas comparativas sobre las otras.

• En este trabajo se presenta el desarrollo completo de dos modelos del UPFC en variables

de estado, para un sistema de dos barras en una línea de transmisión corta, considerando

el nivel de cortocircuito de los sistemas así como los parámetros de la línea de

transmisión.

• Se presentan los modelos desarrollados en régimen permanente y transitorio (pequeña

señal). Los modelos desarrollados pueden ser incorporados a cualquier red de potencia

con un mayor número de nodos y ramas.

• Ambos modelos en variables de estado pueden ser convertidos en invariantes en el tiempo

mediante alguna transformada. La empleada en el presente trabajo es la transformada

82

modal de Park. Esta transformada facilita el uso del modelo con sistemas de controles

convencionales y no convencionales.

• El modelo que considera las funciones de conmutación, permite relacionar directamente

la operación del equipo con los índices de modulación de ambos convertidores.

• Se desarrollan y presentan los modelos desarrollados, las simulaciones y la

implementación de 3 estrategias de control convencionales y los correspondientes

empleando inteligencia artificial (lógica difusa), bajo dos plataformas ATP/EMTP y

MATLAB/SIMULINK.

• Entre las estrategias de control convencional, el esquema de control matricial es el más

completo, porque considera la naturaleza MIMO del sistema bajo control y porque su

comportamiento dinámico es mucho mejor que en el caso de controladores que suponen la

inexistencia de acoples entre las variables de control transformadas (SISO).

• Estas simulaciones indican que es posible controlar el UPFC mediante sistemas de

inferencia difusos. Estos controladores basados en lógica matemática difusa pueden

emular el comportamiento de los controladores clásicos, con ventajas en la respuesta

dinámica del equipo.

• Se propone, modela y verifica una metodología para el ajuste de la familia de

controladores o sistemas de inferencia difusos del tipo Proporcional Integral. La

verificación del comportamiento en condición permanente es verificada, pues estos

controladores cumplen con los parámetros dinámicos y el error en estado estacionario que

exhiben es nulo.

83

• El esquema de defuzificación empleado es el denominado “método del razonamiento

simplificado”, que resulta mucho más sencillo de implementar que otros esquemas de

defuzificación cuya regla consiste en el cálculo de centroides. Este método del

razonamiento simplificado, más similar en concepción a los esquemas de los sistemas de

inferencia difuso Takagi-Sugeno y Tsukamoto, permite calcular la salida del controlador

con menor costo computacional que los anteriores.

• Los SIDs tienen ventajas significativas sobre los controladores convencionales porque la

velocidad de respuesta es de al menos un orden de magnitud más rápido que los anteriores

sin degradación de otros parámetros dinámicos y porque no requieren de la información

sobre el equipo ni el sistema eléctrico de potencia en el que se encuentra, por lo que se

puede considerar a los SID ajustados más robustos que los anteriores.

Recomendaciones.

1. Continuar el desarrollo del modelo de UPFC en baja y alta frecuencia. Una línea de

trabajo debería ser la deducción de las ecuaciones de tensiones y corrientes armónicas

inyectadas por el equipo, usando el modelo en alta frecuencia, bajo algún esquema de

modulación, bien sea el senoidal o bien sea el vectorial. Otra línea de trabajo más sencilla

puede desarrollar el modelo en baja frecuencia y convalidar sus resultados con los

modelos de operación del UPFC en una línea de transmisión.

2. Desarrollar un sistema de inferencia difuso o un supervisor difuso para el enlace de

continua.

84

3. Implementar esquemas híbridos para el equipo. Se proponen 2 líneas de trabajo: uno

basados en la combinación de esquemas de control convencional o no convencional, junto

con un sistema de inferencia difuso o supervisor difuso; otro basado en una red neural

(otra familia de sistemas basados en inteligencia artificial) alimentando un sistema de

inferencia difuso o supervisor difuso.

4. En caso de emplear alguna red neural, ésta debería estar dedicada a la identificación de

los parámetros de la línea de transmisión (o bien las característica de la máquina

sincrónica). De hecho esta ya es una línea de investigación autónoma ( [52], [53], [54],

[55] ). Toda vez que no se han obtenido los niveles de sensibilidad ante los parámetros de

la línea de transmisión, el corazón de las ventajas adicionales obtenidas con el controlador

convencional matricial puede descansar sobre el conocimiento más preciso de los

parámetros de la línea de transmisión.

5. Una línea de trabajo más pequeña, (que puede ser desarrollada mediante un tópico

especial, por ejemplo) es estudiar la sustitución de los controladores empleados en el

seguidor de fases (PLL) mediante algún controlador difuso sencillo de 5 reglas.

6. Si se desea implementar plataformas experimentales, sería recomendable iniciar con un

prototipo que emplee un rectificador no controlado en cascada a un inversor. Los

esfuerzos intelectuales para las etapas de medición, filtrado, transformación, control, y la

modulación por ancho de pulso deberían estar concentrados en la operación del inversor

en serie a la línea (SSSC) que emplee el prototipo en la plataforma.

85

7. Este esfuerzo se puede aplicar por separado para la implementación en plataforma de un

prototipo de controlador tipo STATCOM. La etapa final debería ultimar los detalles del

control en el enlace capacitivo es decir el control de su tensión, para mantener operativa la

estrategia de modulación por ancho de pulso escogida.

86

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics

Vol. 20, no. 2, pp. 404-435, Mar. 1990.

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"Analysis of a PWM AC to DC Voltage Source Converter Under the Predicted Current Control with a Fixed

Switching Frequency." en

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Vol.27, no.4, pp. 756-764, Jul. 1991.

[3] R Wu, S. B. Dewan, G. R. Slemon.

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87

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ANEXO A: Límites Operativos en una línea de transmisión

media.

Figura 42 Modelo de una línea de transmisión media.

Para el régimen permanente, se considera la tensión en la barra S S S Sv v θ= y en la barra R

R R Rv v θ= . La impedancia serie es LZ R jX= +& , y la impedancia en derivación es 1cX j

Cω= .

Entonces, la potencia aparente enviada por el sistema S se calcula mediante la expresión:

( )L CSS SS v I I∗

= +& 70.

Por otra parte, la potencia recibida por el sistema R se calcula como:

( )L CRR RS v I I∗

= −& 71.

Donde las expresiones para las corrientes en función de las tensiones son:

S RL

v vIZ−

=&

SCS

c

vIjX

=−

RCR

c

vIjX

=−

respectivamente.

SV RVLi

R LX

CX CXCSiCRi

SV RVLi

R LX

CX CXCSiCRi

98

Al desarrollar la expresión A.1, se puede obtener expresiones para la potencia activa y reactiva

enviada por el sistema S:

( ) ( )22 2 2 2cos sinL

S S S R S R S R S RL L

R XP V V V V VR X R X

θ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + −⎣ ⎦⎣ ⎦+ + 72.

( ) ( )2

22 2 2 2cos sin SL

S S S R S R S R S RL L C

VX RQ V V V V VR X R X X

θ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − − −⎣ ⎦⎣ ⎦+ + 73.

Si se considera la línea de transmisión corta, la admitancia en derivación se puede despreciar, y

las expresiones anteriores se simplifican a:

( ) ( )22 2 2 2cos sinL



θ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + −⎣ ⎦⎣ ⎦+ + 74.

( ) ( )22 2 2 2cos sinL


X RQ V V V V VR X R X

θ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦⎣ ⎦+ + 75.

Donde sólo la expresión de la potencia reactiva se modifica, como se de esperar.

Para el caso de una línea de transmisión sin pérdidas, se obtienen las expresiones bien conocidas

para la potencia activa y la potencia reactiva enviadas desde una barra:

( )1 sinS S R S RL

P V VX

θ θ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ 76.

( )21 cosS S S R S RL

Q V V VX

θ θ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ 77.

99

Al desarrollar la expresión 71, se puede obtener expresiones para la potencia activa y reactiva

recibida por el sistema R, similares a las obtenidas para el sistema S:

( ) ( )22 2 2 2cos sinL

R S R S R R S R S RL L


θ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + −⎣ ⎦⎣ ⎦+ + 78.

( ) ( )2

22 2 2 2cos sinL R

R S R S R R S R S RL L C

X R VQ V V V V VR X R X X

θ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − − +⎣ ⎦⎣ ⎦+ + 79.

Las ecuaciones 70 y 71 así como las ecuaciones 78 y 79 describen circunferencias en el plano Q

P. En el caso de las primeras dos ecuaciones, se puede emplear el cambio de variables:

( ) ( )2 2 2 2

sin ;cos Lz z

L L

R XR X R X

θ θ− −= =

+ +

De manera que las ecuaciones 70 y 71 se pueden expresar como:

( )0 2 2sinS R

S S Z SR

L

V VP PR X

θ θ− = −Δ+

80.

( )0 2 2cosS R

S S Z SR

L

V VQ QR X

θ θ− = −Δ+

81.

El centro de la circunferencia y el radio son:

2 2 2

0 02 2 2 2 2 2; ;S L S S S R

S SL L c L

RV X V V V VP Q RadioR X R X X R X

= = − =+ + +

Para el caso de las ecuaciones 78 y 79 se propone el siguiente cambio de variable:

( )tan zL

RX

θ =

100


( )0 2 2sinS R

R R Z SR

L

V VP PR X

θ θ− = + Δ+

82.

( )0 2 2cosS R

R R Z SR

L

V VQ QR X

θ θ− = + Δ+

83.

El centro de la circunferencia y el radio son:

2 2 2

0 02 2 2 2 2 2; ; S RR L R R

R RL L c L

V VRV X V VP Q RadioR X R X X R X− −

= = + =+ + +

84.

Régimen permanente del UPFC, en una línea de transmisión media.

Figura 43 Modelo de una línea de transmisión media con la inclusión del UPFC

En el caso de que se incluya el UPFC se considera la tensión en la barra D como D D Dv v θ= . La

tensión inyectada por el equipo en serie a la línea de transmisión es UPFC Iv v θΔ = Δ .

La nueva potencia enviada por el sistema S se puede calcular como la expresión en 70:

SV DV RVLi

R LX

CX CXCSiCRi

SV DV RVLi

R LX

CX CXCSiCRi

101

( )UPFCL CSS SS v I I

∗= +& 85.

Esta potencia se modifica por la porción aportada por el UPFC:

UPFC UPFCS S SS S S= + Δ& & & 86.

Esta porción se puede calcular mediante la expresión:

UPFCS S

c

v vS vZ jX

∗⎛ ⎞Δ Δ

Δ = −⎜ ⎟−⎝ ⎠&

& 87.

Donde las expresiones de la potencia activa y reactiva son:

( ) ( )2 2 2 2

1cos sinUPFC LS S SI S SI

L L c

R XP VV VVR X R X X

θ θ⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = Δ Δ + + Δ Δ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +⎝ ⎠

88.

( ) ( )2 2 2 2

1 cos sinUPFC LS S SI S SI

L c L

X RQ VV VVR X X R X

θ θ⎛ ⎞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = − Δ Δ + Δ Δ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +⎝ ⎠ 89.

Estas expresiones pueden ser reducidas empleando 2 cambios de variables sucesivos:

2 2 2 2

1; L

L L c

R Xa bR X R X X

= = −+ +

' ' '

2 2 2 2cos ;sin ; tanz z z

b a aba b a b

θ θ θ= = =+ +


( )22

2 2 2 2

1 cosUPFC LS S S SI

L L c

R XP P VVR X R X X

θ⎛ ⎞⎛ ⎞

− = + − Δ Δ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 90.

102

( )22

2 2 2 2

1 sinUPFC LS S S SI

L L c

R XQ Q VVR X R X X

θ⎛ ⎞⎛ ⎞

− = + − Δ Δ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 91.

Por tanto, sobre cada punto de las potencias que se pueden transmitir a través de la línea, la

operación del UPFC puede generar otro lugar geométrico que constituye una circunferencia. El

radio de esta circunferencia se calcula como:

22

2 2 2 2

1LS

L L c

R Xradio VVR X R X X

⎛ ⎞⎛ ⎞= + − Δ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

92.

De forma análoga, la potencia aportada al sistema R se calcula como:

( )UPFCL CRR RS v I I

∗= −& 93.

Esta potencia también se modifica por la porción aportada por el UPFC:

UPFC UPFCR R RS S S= + Δ& & & 94.

Esta porción se puede calcular mediante la expresión:

UPFCR R

vS vZ

∗⎛ ⎞Δ

Δ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

&&

95.

Las expresiones de la potencia activa y reactiva adicionales son:

( ) ( )2 2 2 2

1cos sinUPFC LR R RI R RI

L L c

R XP VV VVR X R X X

θ θ⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = Δ + + Δ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +⎝ ⎠

96.

103

( ) ( )2 2 2 2

1 cos sinUPFC LR R RI R RI

L c L

X RQ VV VVR X X R X

θ θ⎛ ⎞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = − Δ + Δ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +⎝ ⎠ 97.

Un cambio de variable de la forma:

'' '' ''

2 2 2 2cos ;sin ; tanL

z z zLL L

X R RXR X R X

θ θ θ= = =+ +

Permite que las ecuaciones 96 y 97 se pueden expresar como:

( )2 2

cosUPFC RR R RI

L

VVP PR X

θΔ− = Δ

+ 98.

( )2 2

sinUPFC RR R RI

L

VVQ QR X

θΔ− = Δ

+ 99.

Por tanto, sobre cada punto de las potencias que se pueden recibir en la barra R a través de la

línea, la operación del UPFC puede generar otro lugar geométrico que constituye una

circunferencia. El radio de esta circunferencia se calcula como:

2 2R

L

VVradioR XΔ

=+

100.

Potencia Inyectada desde la Barra de Conexión del UPFC (barra D).

En la Figura 43, la potencia inyectada desde la barra de conexión del UPFC, barra D, se puede

calcular con la expresión:

( )UPFCL CSD DS v I I

∗= +& 101.

Esta potencia también se puede expresar como:

104

( )*UPFC UPFCL CSD SS v I I S= Δ + +& & 102.

Sin embargo, es preferible desarrollar esta expresión en función de la potencia en la barra de

envío, barra S. Por tanto, se puede expresar 102, sustituyendo la ecuación 86.

( )*UPFC UPFCL CSD S SS v I I S S= Δ + + + Δ& & & 103.

Sustituyendo y separando esta ecuación, se tiene:

( ) ( )

( )

22 2

2 2

2 2

+ 2 cos cos

+ sin

D SL

S IS R IRL

LR IR

L

RP P VR X

R V V VR X

X VVR X

θ θ

θ

Δ = + Δ ++

⎡ ⎤Δ Δ − Δ⎣ ⎦+

⎛ ⎞⎡ ⎤Δ Δ⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎝ ⎠

104.

( ) ( )

( )

22 2

2 2

2 2

2 2

1

2 1 cos cos

sin

LD S

L C

L LS IS R IR

L L C

R IRL

XQ Q VR X X

X R XV V VR X X X

R VVR X

θ θ

θ

⎛ ⎞Δ = + − Δ +⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞++ Δ − Δ − Δ⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞

⎡ ⎤− Δ Δ⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎝ ⎠

105.

Para evitar la dependencia de 2 ángulos diferentes, a saber e IS IRθ θ , se puede expresar las

ecuaciones anteriores en función de un ángulo, ISθ .

105

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 cos sin cos

sin cos sin

D SL

LS R SR R SR IS

L L

LR SR R SR IS

L L

RP P VR X

R XV V V VVR X R X

R XVV VVR X R X

θ θ θ

θ θ θ

= + Δ ++

⎡ ⎤+ Δ − Δ + Δ Δ Δ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦⎡ ⎤

+ Δ Δ + Δ Δ Δ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

106.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2

22 2

2 2 2 2

2 1 cos sin cos

1

sin cos sin

L LS R SR R SR IS

L L C L

LD S

L C

LR SR R SR IS

L L

X R X RV V V VV

R X X X R X

XQ Q VR X X

X RVV VVR X R X

θ θ θ

θ θ θ

+Δ − − Δ − Δ Δ Δ

+ ++

⎛ ⎞= + − Δ +⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎡ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎤⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎢ ⎥

⎣ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎦⎡ ⎤

+ Δ Δ − Δ Δ Δ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

107.

Estas ecuaciones representan el lugar geométrico de una elipse en el plano QP. Dos cambios de

variable permiten mostrar que se trata de una parametrización de una elipse. Si las ecuaciones

anteriores se reescriben como:

( ) ( )2 2 1 21 2 2 2 2 2

1 2 1 2

cos sinD O IS ISa aP P a a

a a a aθ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + Δ + Δ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

108.

( ) ( )2 2 1 21 2 2 2 2 2

1 2 1 2

cos sinD O IS ISb bQ Q b b

b b b bθ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + Δ + Δ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

109.

Entonces se proponen los siguientes cambios de variables:

2 21 2 21 1 22 2 2 2

11 2 1 2

cos ;sin ; tan ;a a aa a a r a a

aa a a aθ θ θ= = = = +

+ +

2 21 2 22 1 22 2 2 2

11 2 1 2

cos ;sin ; tan ;b b bb b b r b b

bb b b bθ θ θ= = = = +

+ +

106

Con lo que las ecuaciones 108 y 109 se pueden expresar como:

( )1 cosD O IS aP P r θ θ= + Δ − 110.

( )2 sinD O IS bQ Q r θ θ= + Δ − 111.

Estas ecuaciones son una parametrización de una elipse, cuyo centro se ubica en o oP Q . Estas 2

ecuaciones, en el plano D DP Q responden a la ecuación general

( ) ( )( ) ( )2 2D O D O D O D Oa P P b P P Q Q c Q Q d− + − − + − = . Esta ecuación corresponde a una elipse que

se encuentra inclinada respecto al eje de las abscisas.

107

ANEXO B: Las Transformadas de Park y Clarke.

La matriz de transformación de Clarke es:

[ ] 11

1 112 2

2 3 303 2 2

1 1 12 2 2

C −

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

112.

Y su inversa se escribe:

[ ]1

11 02

2 1 3 13 2 2 2

1 3 12 2 2

C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

113.

Esta matriz es hermitiana, es decir, C1-1= C1

t pues la inversa de la matriz es igual a la transpuesta

conjugada.

Para un vector de tensiones trifásicas se tiene:

11

1

abc

abc

v C v

v C vαβο

αβο

−⎧ =⎪⎨

=⎪⎩ 114.

Y para un vector de corrientes trifásicas se tiene:

11

1

abc

abc

i C i

i C iαβο

αβο

−⎧ =⎪⎨

=⎪⎩ 115.

108

Lo que significa:

( )( )( )

1 112 2

2 3 303 2 2

1 1 12 2 2

a

b

o c

v v tv v tv v t

α

β

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

116.

( )( )( )

11 02

2 1 3 13 2 2 2

1 3 12 2 2

a

b

c o

v t vv t vv t v

α

β

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

117.

Suponiendo cualquier vector trifásico de tensiones balanceadas a secuencia positiva, por ejemplo:

1 1 12 42 cos 2 cos 2 cos3 3

t

fasev V V Vπ πθ θ θ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 118.

( )1 1 12 42 cos 2 cos 2 cos3 3

t

lineai I I Iπ πθ ψ θ ψ θ ψ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 119.

Donde V e I son los valores RMS de la tensión y corriente a transformar. Con 1 1tθ ω ϕ= + ,

donde 1ϕ es el ángulo de desfase arbitrario para las tensiones. ψ es la diferencia angular entre la

tensión y la corriente, es decir, el ángulo del factor de potencia.

Por tanto, el signo del factor de potencia se considera: 0 Capacitivo0 Inductivo

ψψ≥≤

.

109

Entonces, al aplicar la transformada a los vectores de tensión y corriente se obtiene para el vector

de tensiones:

1 13 2 cos 2 cos 02 2

t

v V Vαβοπθ θ⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

120.

Para el vector de corriente se tiene:

( )1 13 2 cos 2 cos 02 2

t

i I Iαβοπθ ψ θ ψ⎡ ⎤⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

121.

Esta transformada convierte un sistema trifásico de tensiones o de corrientes que son función del

tiempo, a un sistema ortogonal y bifásico, homónimo. En este caso, la secuencia cero no está

presente.

La transformada de Park para llevar un sistema ortogonal bifásico a un sistema solidario con la

frecuencia de operación del sistema es:

[ ]0 0

12 0 0

cos sin 02 sin cos 03

0 0 1c

θ θθ θ−

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

122.

[ ]0 0

2 0 0


0 0 1c

θ θθ θ

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

123.

Esta matriz es hermitiana pues C2-1= C2

t pues la inversa de la matriz es igual a la transpuesta

conjugada.

110

Con 0 0tθ ω ϕ= + , donde 0ϕ es un ángulo arbitrario, para la transformada de Park. Al aplicar la

transformada de Park a los vectores de tensión y corriente transformados en el sistema ortogonal

αβ , es decir:

12

2

dq

dq

v C v

v C vο αβο

αβο ο

−⎧ =⎪⎨

=⎪⎩ 124.

( )( )( )

0 0

0 0


0 0 1

d

q

o o

v v tv v tv v t

α

β

θ θθ θ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

125.

( )( )( )

0 0

0 0


0 0 1

d

q

o o

v v tv v tv v t

α

β

θ θθ θ

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

126.

Entonces, al aplicar la transformada de Park a los vectores de tensión y corriente en el dominio de

la transformada αβ :

1 13 2 cos 2 cos 02 2

t

v V Vαβοπθ θ⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 127.

Y el vector de corrientes:

( )1 13 2 cos 2 cos 02 2

t

i I Iαβοπθ ψ θ ψ⎡ ⎤⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

128.

Por tanto, el vector de tensiones en el dominio transformado de Park es:

( ) ( )0 1 0 13 cos sin 0t

dqv V Vο ϕ ϕ ϕ ϕ⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦ 129.

111

Donde las componentes en directo y en cuadratura se definen como:

0t

dq d qv v vο ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ 130.

Para el vector de corrientes en el dominio transformado de Park se tiene:

( ) ( )0 1 0 13 cos sin 0t

dqi I Iο ϕ ϕ ψ ϕ ϕ ψ⎡ ⎤= − − − − −⎣ ⎦ 131.

Donde las componentes en directo y en cuadratura se definen como:

0t

dq d qi i iο ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ 132.

Las componentes en directo y cuadratura tienen la siguiente referencia:

q

q

0 0 Capacitivo

0 0 Inductivo

i

i

ψ

ψ

≥ ⇒ ≥

≤ ⇒ ≤.

La transformada de Park lleva un sistema bifásico y ortogonal de tensiones o corrientes, a un

sistema bifásico homónimo, que es solidario con la frecuencia angular del vector primitivo.

Un caso particular al aplicar la transformación, es considerar el ángulo de la transformada, para

que coincida con el ángulo de las tensiones. En este caso se obtiene para el vector de tensiones:

3 0 0dqov V⎡ ⎤= ⎣ ⎦ 133.

( ) ( )3 cos 3 sin 0dqoi I Iψ ψ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ 134.

La transformada de Park para llevar un sistema trifásico a un sistema solidario con la frecuencia

de operación del sistema es:

112

[ ]

0 0 0

12 0 0 0

2 4cos cos cos3 3

2 2 4sin sin sin3 3 3

1 1 12 2 2

c

π πθ θ θ

π πθ θ θ−

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 135.

[ ]

0 0

2 0 0

0 0

1cos sin2

2 2 2 1cos sin3 3 3 2

4 4 1cos sin3 3 2

c

θ θ

π πθ θ

π πθ θ

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 136.

Cálculo de Potencia en el Dominio Transformado

La potencia activa y la potencia reactiva en el dominio transformado se definen como:

d d q q

q d d q

P v i v i

Q v i v i

= +

= − 137.

Se definen así para hacerla coincidir con la definición clásica de potencia reactiva que se emplea.

Por tanto, si las tensiones en el dominio transformado son:

( ) ( )1 0 1 03 cos 3 sin 0dqov V Vϕ ϕ ϕ ϕ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ 138.

Y las corrientes transformadas son:

( ) ( )1 0 1 03 cos 3 sin 0dqoi I Iϕ ϕ ψ ϕ ϕ ψ⎡ ⎤= − + − +⎣ ⎦ 139.

113

La potencia activa también se puede calcular como:

* *t tabc abc dqo dqop i v i v⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 140.

Utilizando la definición de la ecuación, se obtiene:

( )( )

3 cos

3 sin

P VI

Q VI

ψ

ψ

=

= − 141.

Considerando el signo del factor de potencia, se tiene que: 0 Q 0 Capacitivo0 Q 0 Inductivo

ψψ≥ ⇒ ≤≤ ⇒ ≥

.

Es posible conocer las corrientes en el dominio transformado de Park, conociendo las tensiones

transformadas y las potencias en la barra. El sistema a resolver es:

d d q q

q d d q

P v i v i

Q v i v i

= +

= − 142.

Que se puede expresar matricialmente como:

d q d

q d q

v v i Pv v i Q⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 143.

Despejando el vector t

d qi i⎡ ⎤⎣ ⎦ , se tiene:

1d d q

q q d

i v v Pi v v Q⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−Δ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 144.

114

ANEXO C: Detalles de la Modelación en Variables Primitivas.

Las ecuaciones del circuito equivalente de la Figura 3 son las siguientes:

[ ]( )S T Sv v z iχ− = 145.

( ) [ ]( )1T C R Rv v v z iχ− − = − 146.

[ ]( )P T P Sv v z i− = 147.

Donde:

[ ]0 0

0 00 0

R Lpz R Lp

R Lp

+⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦ 148.

0 00 00 0

p p

p p p

p p

R L pz R L p

R L p

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎡ ⎤ = +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥+⎣ ⎦

149.

Donde p es el operador de derivada en función del tiempo ddt

, y χ es la posición que el UPFC

tiene respecto a la línea de media tensión corta.

La ley de Kirchoff de corrientes dice que:

P S Ri i i− = 150.

115

Como la corriente del sistema S puede ser expresada en función de las corrientes que pasan por

ambas fuentes de tensión ideales, se tiene:

[ ]( )( ) [ ]( )( )[ ]( )( ) [ ]( )

S C R R P

P S P P R

v v v z i z i

v v z z i z i

χ

χ χ

⎧ − − = −⎪⎨

− = + −⎪⎩ 151.

Estas son las ecuaciones dinámicas que modelan el controlador unificado con una línea de

transmisión corta. Sin embargo, para expresar las ecuaciones en función de las variables de

estado se tiene:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ]

2 2

2 2

]

1

P P P P

S R P C

P R P R

P P P P C R

P P S

L L L pi R R R i

v v v v

L L L L pi L L L R i

L R LR i L L v v

L v L v

χ χ χ χ

χ χ χ

χ χ χ χ

χ χ

χ

⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − = − − + +⎣ ⎦⎣ ⎦⎪⎪+ − + − + + −⎪⎪⎪⎨ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − = − + −⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + − + + +⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎪+ +⎩ 152.

Estas ecuaciones escritas de forma más cómoda quedan como se indica a continuación:

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ]

1 1

1

1 1

P P P P

S R P C

P R P R

P P P P C R

P P S

L L pi R R i

v v v v

L L L pi L L R i

L R LR i L L v v

L v L v

χ χ χ χ

χ χ χ

χ χ χ χ

χ χ

χ

⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − = − − − +⎣ ⎦⎣ ⎦⎪⎪+ − + − + + −⎪⎪⎪⎨ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − = − + −⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + − + + +⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪+ +⎪⎩

153.

116

Se pueden estudian varios casos particulares:

1χ = , lo que implica que el UPFC está ubicado al final de la línea de transmisión corta:

Entonces las ecuaciones se pueden reescribir como:

[ ]( ) [ ]( ) ( ) ( )

[ ]( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] [ ]

1 1

P P P P R P C

P R P R P P P

P C R P P S

L pi R i v v v

LL pi L R i L R LR i

L L v v L v L v

⎧ = − + − + + −⎪⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + −⎨ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪

⎡ ⎤⎪ + − + + + +⎣ ⎦⎩ 154.

O bien:

( )

( )

( )

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

P P P R P CP P P P

R R P PP

C R P SP P

pi R i v v vL L L L

pi R i R R iL L L

v v v vL L L L

⎧ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + + −⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎪ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎡ ⎤⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎪

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ + − + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎩ 155.

0χ = , es decir que el UPFC está ubicado al principio de la línea de transmisión corta, en el

sistema S:

[ ]( ) [ ]( ) ( )

[ ]( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

1P P P P S P

P R P R P C R P S

L pi R i v v

LL pi L R i L v v L v

⎧ = − + − +⎪⎨

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + +⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ 156.

O bien:

117

( )

( )

1 1 1

1 1 1

P P P S PP P P

R R C R S

pi R i v vL L L

pi R i v v vL L L

⎧ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − +⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎪ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎪ = − + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ 157.

12

χ = , el UPFC está ubicado al 50 % de la línea de transmisión corta:

( ) ( )

( )

( ) ( ) [ ]

1 1 1 14 4 2 2

12

1 14 4

1 1 1 12 2 2 2

P P P P S R

P C

P R P R

P P P P C R P P S

L L pi R R i v v

v v

L L L pi L L R i

L R LR i L L v v L v L v

⎧⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − − + − + −⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪⎪ ⎛ ⎞+ + −⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎨⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎪

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ − + − + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎩

⎪⎪

158.

Despejadas las variables de estado quedan:

118

( ) ( )

( )

( )

11 14

1 1 12 24 4 4

1 1 ;1 124 4

1 12 2

14

P

P P S R

P P P

P C

P P

R R

P P

P

P

R Rpi i v v

L L L L L L

v vL L L L

Rpi iL

L R LRi

L L L

L

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤− − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + − + − +⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + −⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

−⎢ ⎥⎢ ⎥+ +

⎛ ⎞⎢ ⎥+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+ − ( )1 12 21 1 14 4 4

PP

C R P S

P P P

L L Lv v v vL L L L L L L L L

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎪⎩ 159.

Así se tienen los modelos en variables de estado primitivas, para cualquier posición del equipo en

la línea de transmisión corta.

Por otra parte, el enlace de corriente continua involucra el filtro capacitivo y los polos positivos y

negativos que conectan simultáneamente al convertidor en paralelo y al convertidor en serie. El

filtro capacitivo se encarga de mantener la tensión por encima de un valor crítico, para mantener

la operación mediante la modulación por ancho de pulsos (PWM). Una forma de modelar el

enlace de continua es a partir del balance de potencias.

La ley de corrientes en el enlace se expresa en términos de las corrientes de la Figura 4.

119

3 4 1 2cc cc cc cci i i i− = + 160.

Se sustituye la expresión de la potencia intercambiada por el capacitor y la consumida por la

resistencia que modela las pérdidas por conmutación de los convertidores en serie y en paralelo,

se tiene:

3 4cc cc cc

cccc

vi i CpvR

− = + 161.

Esta ecuación constituye el balance de potencia activa en el enlace.

Por otra parte, la potencia activa que intercambia los convertidores con el sistema de potencia es

igual:

ca ccStatcom Statcomca ccSssc Sssc

p p

p p

=

= 162.

3 3

tt P P

P P cccc

i vi v v i iv

= ⇒ = 163.

4 4

tt R c

R c cccc

i vi v v i iv

= ⇒ = 164.

Sustituyendo las ecuaciones 163 y 164 en la ecuación 161, se tiene la ecuación de potencia:

( )2 t tcc

cc cc p p R ccc

vCv pv i v i vR

= − + − 165.

Esta ecuación, rescrita queda:

120

( )1 t tcccc p p R c

cc cc

vpv i v i vCR Cv

= − + − 166.

Además, se tiene que:

t

P P pa pa pb pb pc pci v v i v i v i= + + 167.

t

R R ra ra rb rb rc rci v v i v i v i= + + 168.

En ausencia de secuencia cero, las ecuaciones se rescriben:

( )( )2t

P P pa pb pa pbi v v v i i= + + 169.

( )( )2t

R R ra rb ra rbi v v v i i= + + 170.

Sustituyendo las ecuaciones 169 y 170 en la ecuación 166, se obtiene la ecuación que falta para

completar la modelación del UPFC en variables primitivas.

( )( ) ( )( )( )1 2 2cccc pa pb pa pb ra rb ra rb

cc cc

vpv v v i i v v i iCR Cv

= − + + + − + + 171.

Esta ecuación es no lineal. Por lo que es necesario aplicar alguna herramienta para linealizarla.

121

ANEXO D: Modelación en primitivas con las funciones de

conmutación.

Las funciones de conmutación se expresan analíticamente como:

( )( )

( )( ) ( ) ( )

0 10

1 2

1 1 1

c i

i c

i c i

t dDi t

d t

Di t d t d

ω π

π ω π

π ω π

⎧ ≤ ≤ −⎪= ⎨+ ≤ ≤⎪⎩

= − ≤ ≤ +

172.

Se puede observar, examinando la Figura 8 que id es el valor promedio de la función ( )iD tω en

el período de la onda portadora, cT .

La aplicación de las LKV al sistema conduce al sistema de ecuaciones 173:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

12 2

12 2

12 2

cc ccL s s

cc ccL s s

cc ccL s s

v ve R Lp i D t R i D t R i



⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 173.

Que rescrito queda:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1

2 2 2

3 3 3

121212

cc

cc

cc

e R Lp i D t v

e R Lp i D t v

e R Lp i D t v

⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

174.

122

Si se impone la condición adicional de que la secuencia cero no existe en el sistema de tensiones

y corrientes trifásicas, es necesario añadir la ecuación 175:

( )3

1

1 12 3cc cc i

iv v D t

=

= ∑ 175.

Sustituyendo la ecuación 175 en la terna anterior, se tiene:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3

1 1 11

3

2 2 21

3

3 3 31

13

13

13

L i cci

L i cci

L i cci

e R Lp i D t D t v

e R Lp i D t D t v

e R Lp i D t D t v

=

=

=

⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞

= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑

∑ 176.

Así se tienen las ecuaciones de tensión para las tres fases del convertidor.

La ecuación que relaciona el circuito de alterna con el circuito de continua es:

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3cc

cccc

vi D t i D t i D t CpvR

+ + = + 177.

Por tanto, el sistema de ecuaciones que modela el convertidor tipo Statcom o tipo SSSC queda:

123

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

1

2

3

3

11

31

21 2

33

31

1 2 3

0 0 00 0 00 0 00 0 0

10 03

10 03

10 03

1

cc

c ii

c ii

c icci

c c ccc

iLiL

piLvC

R D t d

iR D t d

ii

R D t d v

D t D t D tR

ω

ω

ω

ω ω ω

=

=

=

⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟

⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞

− − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎛ ⎞− − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎜ ⎟ +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎜ ⎟− − − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

∑

∑

1

2

3

0

eee

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

178.

Al igual que el modelo en variables primitivas, y dado que las funciones de conmutación varían

con el tiempo, este sistema de ecuaciones tiene la característica de ser variante en el tiempo. Aun

más, el hecho de que las funciones de conmutación cambien su valor bruscamente del valor cero

a uno, hace que el sistema de ecuaciones sea también discontinuo.

Para transformar un sistema de ecuaciones discontinuo en continuo, se aplica la transformada de

Fourier a las funciones de conmutación, ( )iD tω .

La expresión general de la transformada de fourier aplicada a una función general es:

( ) ( ) ( )01 1

sin cosn nn n

f t a a n t b n tω ω ω∞ ∞

= =

= + +∑ ∑ 179.

Donde los valores de , y o n na a b se calculan a partir de las siguientes expresiones:

124

( )( )

( )

( ) ( )

1

01

12

021 sin

i

i

d

c id

n

nn i

a d t d

a

b ndn

ωπ

ππ

+

−

= =

=

= −

∫

180.

Por tanto, la función de conmutación se puede expresar de la forma:

( ) ( ) ( ) ( )1

21 sin cosni i i c

nD t d nd t n t

nω ω

π

∞

=

= + −∑ 181.

También se deduce que:

( ) ( ) ( ) ( )3

1 1 1 1

21 sin cosni i i c

n n i nD t d nd t n t

nω ω

π

∞ ∞ ∞

= = = =

= + −∑ ∑ ∑∑ 182.

Sustituido en la ecuación 183, que tiene la forma general:

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]1 2 3 1 2 3; ; 0t tccz px A x A u x i i i v u e e e= + = =

183.

Con:

125

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

3

11

3

21

3

31

1 2 3

1 0 0 00 0 0

0 1 0 00 0 0

; ;0 0 1 00 0 0

10 0 00 0 0

10 03

10 03

;10 03

1

cc

c ii

c ii

c ii

c c ccc

LL

z BL

CR

R D t d

R D t dA

R D t d

D t D t D tR

ω

ω

ω

ω ω ω

=

=

=

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞

− − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎛ ⎞− − −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥− − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

∑

∑

184.

La matriz A se puede rescribir como:

BF HFA A A= + 185.

La primera matriz, BFA , está asociada con los términos en baja frecuencia del sistema. La matriz

HFA agrupa los términos de alta frecuencia que no serán considerados en el presente trabajo. Las

matrices son:

126

3

11

3

21

3

31

1 2 3

14

24

34

41 42 43

10 03

10 03

;10 031

0 00 0

;0 0

0

ii

ii

BF

ii

cc

HF

R d d

R d dA

R d d

d d dR

R aR a

AR a

a a a

=

=

=

⎡ ⎤⎛ ⎞− − −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞

− − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥− − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

∑

∑

186.

Donde los términos de la matriz de alta frecuencia tienen las siguientes expresiones:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

41 1 11

42 2 21

43 3 31

21 sin cos

21 sin cos

21 sin cos

n

cn

n

cn

n

cn

a t d nd n tn

a t d nd n tn

a t d nd n tn

ω ωπ

ω ωπ

ω ωπ

∞

=

∞

=

∞

=

= + −

= + −

= + −

∑

∑

∑ 187.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3

14 11 1

3

24 21 1

3

34 31 1

2 11 sin sin cos3

2 11 sin sin cos3

2 11 sin sin cos3

n

i cn i

n

i cn i

n

i cn i

a t nd nd n tn

a t nd nd n tn

a t nd nd n tn

ω π π ωπ

ω π π ωπ

ω π π ωπ

∞

= =

∞

= =

∞

= =

⎧ ⎫= − +⎨ ⎬

⎩ ⎭

⎧ ⎫= − +⎨ ⎬

⎩ ⎭

⎧ ⎫= − +⎨ ⎬

⎩ ⎭

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ 188.

El sistema de ecuaciones queda:

[ ] ( ) [ ]( ) [ ]( )BF HF BF HFBF HFz p x x A A x x B u+ = + + + 189.

127

Los modelos en variables de estado, en alta y baja frecuencia, se pueden expresar así:

[ ] ( ) [ ]( )HF BFHFz p x A x= 190.

[ ] ( ) [ ]( ) [ ]( )BF BFBFz p x A x B u= + 191.

Por otra parte, el valor promedio de la onda modulante ( )id tω tiene la expresión:

( ) { } 2 1cos 12 3 2

ii

md t t i πω ω ϕ⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

192.

Siempre que las ondas modulantes tengan la forma:

( ) { }control i2cos 13iv t m t i πω ω ϕ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ 193.

Por tanto, las expresiones contenidas en la matriz A de baja frecuencia son:

( )3

11

1

32

21

33

31

1 cos3 2

1 2cos3 2 3

1 4cos3 2 3

ii

ii

ii

md d t

md d t

md d t

ω ϕ

πω ϕ

πω ϕ

=

=

=

⎛ ⎞− − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

∑

∑ 194.

Por tanto, en el caso de los convertidores relacionados a través de un enlace en CC, se tiene para

las tensiones alternas del Statcom y del SSSC:

128

( )

( )

1

2

3

31 2

0 0 cos2

20 0 cos

2 34

0 0 cos2 3

1 2 1 4 1 1cos cos cos

2 2 2 3 2 2 3 2

BF

cc

mR t

mR t

Am

R t

mm mt t t

R

ω ϕ

πω ϕ

πω ϕ

π πω ϕ ω ϕ ω ϕ

− − −

− − − −

=− − − −

− + − − + − − + −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

195.

129

ANEXO E: Detalles de la Modelación mediante la

Transformada. de Park.

La representación en variables de estado primitivas tiene una expresión general de la forma:

[ ] [ ] [ ]abc abc abc abcpx A x B u E w= + + 196.

La aplicación de cualquier transformada implica que:

abc dq

abc dq

abc dq

x C x

u Cu

w Cw

ο

ο

ο

=

=

=

197.

Sustituyendo en la ecuación matricial, se tiene:

( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )dq dq dq dqp C x A C x B Cu E Cwο ο ο ο= + + 198.

Que reescrito queda:

dq dq dq dqdq dq dqpx A x B u E wο ο ο οο ο ο⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Donde se definen las matrices:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]

1 1

1

1

dq

dq

dq

A C A C C p C

B C B C

E C E C

ο

ο

ο

− −

−

−

⎡ ⎤ = −⎣ ⎦

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

199.

Donde las matrices siguientes son de interés:

130

[ ] [ ]10 0

0 00 0 0

C p Cω

ω−−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

200.

[ ] [ ][ ] [ ]1C A C A− = 201.

0 00 00 0

p

p pdqo

p

rR r

r

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ 202.

[ ]0 0

0 00 0

dqo

rR r

r

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 203.

La transformada modal de Park aplicada al primer sistema de ecuaciones en variables primitivas

deducidas en la sección 4.1 produce un sistema de ecuaciones en el dominio transformado:

131

( )( ) [ ] ( )( )( ) [ ] ( )

[ ] [ ] ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

[ ] [ ]

1

1

111 1

11 1

11 1

1


P dqo

P Cdqo dqoP P

S Rdqo dqoP P

R dqodqo

p i R R iL L L L

C p C i

v vL L L L

v vL L L L

p i R CL

χ χχ χ χ χ

χχ χ χ χ

χ χχ χ χ χ

−

−

⎡ ⎤−−⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟+ − + −⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤ = − −⎣ ⎦ [ ]

( )( ) [ ] ( ) [ ] ( )

( )( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

11

1 1

1 1

R dqo

PP Pdqo dqo dqo

PP

PC Pdqo dqo

P P

P PR Sdqo dqo

P P

cccc

cc

p C i

L R R iL LL L L

L Lv v

L L L L L

L L Lv vL L L L L L

vpvCR

χ χχ χχ χ

χ χχ χ χ χ

χχ χ χ χ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤

+ − +⎢ ⎥+ −+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= −1 t t

p p R Cdqo dqodqo dqocc

i v i vCv

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ −⎪ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎝ ⎠⎩

204.

El primer término de la primera ecuación de este sistema se puede reescribir así:

132

( )( ) [ ] ( )( )( ) [ ] [ ] [ ]

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

1111 1

10

1

10

1

10 0

1

P dqo dqoP P

p

P

p

P

p

P

R R C p CL L L L

rL L

r rL L

r rL L

χ χχ χ χ χ

χ χω

χ χ

χ χω

χ χ

χ χχ χ

−⎡ ⎤−−− − =⎢ ⎥

+ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− − −⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

205.

El primer término de la segunda ecuación del sistema de ecuaciones () en el dominio

transformado se puede reescribir así:

[ ] [ ] [ ]10

1 1 00 0

dqo

r LR C p C L r

L Lr

ωω−

−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

206.

El sistema de ecuaciones en el dominio de la transformada modal de Park se puede escribir en

forma más compacta como:

[ ] [ ] [ ]4 1 4 1 4 1 4 1

4 4 4 4 4 4r r c rdq dq dq

p p p s dqdq dq dq

i i v vp A B E

i i v v

× × × ×× × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

207.

Donde las matrices son:

133

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ]

[ ]( )( )

( )( )

[ ]

[ ]

( )( )( )

( )( )( )

2 2 2 24 4 11 12

2 2 2 221 22

11

12

21

22

01

01

0 00 0

11

11

dq

P P

P

P P

P

p

P

p

P

a aA

a a

rLa

rL

L r LrL L L

aL R LR

L L L

a

rL L

ar

L L

ω

ω

χ χχ χ

χ χχ χ

χ χω

χ χ

χ χω

χ χ

× ××

× ×

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− − −⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

208.

[ ]

11 12

4 4 11 12

21 22

21 22

0 00 0

0 00 0

dq

b bb b

Bb b

b b

×

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

209.

[ ]

11 12

4 4 11 12

21 22

21 22

0 00 0

0 00 0

dq

b eb e

Eb e

b e

×

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

210.

Los coeficientes valen:

134

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

11 12

21 22

;1 1

1;1 1

P

P P

P P

L Lb b

L L L L L

b bL L L L

χ χχ χ χ χ

χχ χ χ χ

− += =

+ − + −

−= =

+ − + −

211.

( )( )( )( )( )12 22

1;

1 1P

P P

Le eL L L L L

χχ χ χ χ

− −= =

+ − + − 212.

Para calcular las funciones de transferencia, a partir de un sistema de ecuaciones LIT en variables

de estado, se procede así:

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )

px t A x t B u t E w t

y t C x t D u t H w t

= + +

= + + 213.

( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]{ }[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]{ }[ ]1 1y s C s I A B D U C s I A E H w

− −= − + + − + 214.

De donde, por ahora, se considera la contribución de las perturbaciones igual a 0.

( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]{ }[ ]1y s C s I A B U

−= − 215.

Con las matrices:

( ) [ ] [ ] [ ]1 2 3 4 ; 1; 0ty t x x x x C D= = = 216.

, para poder observar todas las variables de estado.

Así, pues, las funciones de transferencia para este sistema, que es LIT y MIMO, son:

135

( ) [ ] [ ][ ] [ ]

1

11 122 2 2 2

11 1211 122 2 2 2

21 2221 22

21 22

0 01 0 1 00 00 1 0 1

1 0 1 0 0 00 1 0 1 0 0

b bb ba a

y s sb ba a

b b

−

× ×

× ×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

217.

En general el sistema se puede expresar de la forma:

SS serie/seriePP paralelo/paralelo

dd dq dd dqd d

qd qq qd qqd dSS SP

d ddd dq dd dq

q qqd qq qd qqPS PP

g g g gir vcg g g gir vc

ip vpg g g gip vpg g g g

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

→→

218.

Por otra parte se tiene:

( ) ( )1cccc pd pd pq pq rd cd rq cq

cc cc

vpv i v i v i v i vCR Cv

⎡ ⎤= − + + − +⎣ ⎦ 219.

( )1 , , , , , , , ,rd rq pd pq rd rq sd sqf pf i i i i v v v v t= 220.

Por tanto:

( ) ( )

1 1 1 1

12

; ; ; ;

1 1

cqo pdo pqocdo

rd cco rq cco pd cco pq cco

pd pd pq pq rd cd rq cqcc cco cc

v v vvf f f fi Cv i Cv i Cv i Cv

f i v i v i v i vv Cv CR

∂ ∂ ∂ ∂= − = − = =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤= + − + −⎣ ⎦∂

221.

Donde:

1 1 1 1; ; ; ;rqo pdo pqordo

cd cco cq cco pdo cco pq cco

i i iif f f fv Cv v Cv v Cv v Cv∂ ∂ ∂ ∂

= − = − = =∂ ∂ ∂ ∂

222.

136

Ahora las matrices del sistema de ecuaciones quedan:

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]( )( )

( )( )

[ ]

[ ]

( )

2 2 2 211 12

5 5 2 2 2 221 22

1 1 1 1 1

11

12

21

22

0000

01

01

0 00 0

1

dq

rd rq pd pq cc

P P

P

P P

P

p

P

a a

A a a

f f f f fi i i i v

rLa

rL

L r LrL L L

aL r Lr

L L L

a

r rL

a

ω

ω

χ χχ χ

χ χχ χ

χ χ

× ×

× × ×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦− − −

=( )( )

( )( )( )

1

11

p

P

L

r rL L

ωχ χ

χ χω

χ χ

⎡ ⎤⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

223.

[ ]

11 12

11 12

5 4 21 22

21 22

1 1 1 1

0 00 0

0 00 0dq

cd cq pd pq

b bb b

b bB

b bf f f f

v v v v

×

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

224.

137

[ ]

11 12

11 125 4

21 22

21 22

0 00 0

0 00 00 0 0 0

dq

b eb e

E b eb e

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

225.

Las funciones de transferencia adicionales son:

3 41 2 SS serie/seriePP paralelo/para

dd dq dd dqdd

qd qq qd qqd SS SPd

d dd dq dd dqd

q qd qq qd qqPS PP qcc

g g g girvcg g g girvc

ip g g g g vpip g g g g vpv g gg g

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

→→ lelo

226.

Así queda establecido un modelo linealizado del UPFC en el dominio de las variables

transformadas.

138

ANEXO F: Modelación con Funciones de Conmutación.

Si se aplica la transformada modal de Park al sistema de ecuaciones en variables de estado,

empleando las funciones de conmutación, se tiene:

dq dq dq dqdq dq dqpx A x B u E wο ο ο οο ο ο⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 227.

Donde se definen las matrices:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]

1 1

1

1

dq

dq

dq

A C A C C p C

B C B C

E C E C

ο

ο

ο

− −

−

−

⎡ ⎤ = −⎣ ⎦

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

228.

O bien, con las ecuaciones que usan las funciones de conmutación:

( )( ) [ ] ( )( )( ) [ ] ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )'21

111 1

cos1 3 sin

2 210

cos3 sin

2 210


o p

pcc o p

P

o cc

cc o cP

S d

p i R R iL L L L

mv

L L

mvL L

b v

χ χχ χ χ χ

ϕ ϕ

ϕ ϕχ χ

ϕ ϕχ ϕ ϕ

χ χ

⎡ ⎤−−⎡ ⎤ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦ + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤+ ⎣ ⎦ ( )'22 Rqo dqo

b v⎡ ⎤+ ⎣ ⎦

229.

139

[ ]( )( ) [ ] ( ) [ ] ( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )

11

cos3 sin

2 213

2 2

cos3 sin

2 21

dqo PR R P Pdqo dqo

PP

o cP c

cc o cP

o p

pcc o

P


L L mvL L L

mv

L L

χ χχ χχ χ

ϕ ϕχ

ϕ ϕχ χ

ϕ ϕχ ϕ

χ χ

⎡ ⎤− ⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+ −+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎛ ⎞⎜ ⎟−⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎛ ⎞− + ⎛ ⎞+ − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞

+ −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦( )

( ) ( )' '11 12

32 2

p

R Sdqo dqob v b v

ϕ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

230.

( )( )

( )( )

cos3 sin

2 20

cos3 sin

2 20

o p

t pcccc p o p

cc

o ct c

R o c

mvpv iCR C

miC

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= − + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

231.

El sistema de ecuaciones en el dominio de la transformada modal de Park se puede escribir en

forma más compacta como:

[ ] [ ]

5 1 5 1

5 15 5 5 4

r rr

p pdq dqs dq

cc ccdq dq

i iv

p A Bi i vv v

× ×

×× ×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

232.

Donde las matrices son:

140

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]( )( )

( )( )

[ ] ( )( )( )

2 2 2 2 2 111 12 13

5 5 2 2 2 2 2 1'21 22 23

1 2 1 231 32

11

12

13

1

01

01

32 21

dq

cc

dq

P P

P

dqP P

P

P cdq

P

a a a

A a a a

a aCR

rLa

rL

L r LrL L L

aL r Lr

L L L

L L maL L L

ω

ω

χ χχ χ

χ χχ χ

χχ χ

× × ×

× × × ×

× ×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎛− + ⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠

( )( )

( )( )( )( )

[ ]

[ ]

( )( )( )

( )( )( )

[ ] ( )

21

22

23

cossin

cos32 21 sin

0 00 0

11

11

cos31 2 2

o c

o c

o pp

P o p

dq

p

P

dqp

P

ocdq

P

mL L

a

r rL L

ar r

L L

maL L

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕχχ χ ϕ ϕ

χ χω

χ χ

χ χω

χ χ

ϕ ϕχχ χ

⎞⎛ ⎞−+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ − −⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − − −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− − −⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

⎛ ⎞ −− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( )

( )( )( )

[ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

31

32

sin

cos1 31 2 2 sin

3 cos sin2 2

3 cos sin2 2

c

o c

o pp

P o p

co c o cdq

po p o pdq

mL L

maC

ma

C

ϕ ϕ

ϕ ϕ

χ χ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞+⎜ ⎟− −⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦ 233.

141

[ ]

' '11 12

5 4 ' '21 22

0 0 0 0dq

b b

B b b×

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

234.

Los coeficientes valen:

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

'11

'12

'21

'22

01

;0

1

01

01

01

;0

1

1 01

101

P

P

dqP

P

p

P

dqp

P

P

dq

P

P

dq

P

L LL L L

bL L

L L L

LL L L

bL

L L L

L Lb

L L

L Lb

L L

χχ χ

χχ χ

χ χ

χ χ

χχ χ

χχ χ

χχ χ

χχ χ

⎡ ⎤− +⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ − +⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤

⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤

⎢ ⎥+ −⎢⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ −⎢

+ −⎢⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥

235.

Si el sistema es trifásico balanceado a secuencia positiva, es decir:

( ) 2 42 cos ,cos ,cos3 3

t

Rabc R R R Rv V t t tπ πω ϕ ω ϕ ω ϕ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 236.

142

( ) 2 42 V cos ,cos ,cos3 3

t

Sabc S S S Sv t t tπ πω ϕ ω ϕ ω ϕ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 237.

Entonces, las tensiones transformadas son:

( ) ( )3 cos sint

Rdq o oR R Rv V ϕ ϕ ϕ ϕ⎡ ⎤⎣ ⎦= − − − 238.

( ) ( )3 cos sint

Sdq S o S o Sv V ϕ ϕ ϕ ϕ⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦ 239.

Este sistema es no lineal e invariante en el tiempo. Para linealizarlo, se puede obtener las

soluciones del régimen permanente y de pequeña señal. Para ello, se considera un vector de

perturbación alrededor de un punto de operación en régimen permanente, es decir se tiene las

ecuaciones siguientes:

El vector de estados es:

µ

¶

rr r

pp p

cc cc cc

ii Iii I

v V v

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

$

240.

Y donde las variables de control son:

¶

µ

¶

¶

c c c

c c c

p p p

p p p

m M m

m M m

ϕ ϕ

ϕ ϕ

⎧ = +⎪⎪ = Γ +⎪⎨

= +⎪⎪

= Γ +⎪⎩

241.

Donde las fuentes pueden perturbar el sistema de potencia:

143

µ

µR R R

S S S

v V v

v V v

⎧ = +⎪⎨

= +⎪⎩ 242.

Sustituyendo estas ecuaciones en el sistema de variables de estado, queda:

µ

¶

[ ] [ ] ±

[ ] [ ] ±

± ±

µ

¶

[ ]

5 52 12 2 2 25 1 5 15 111 12 13

2 12 2 2 221 22 23

1 2 1 2

31 321

r rr

p pp

cc dqcc ccdq dq

cc dq

d

a a ai iIp a a ai iI

Vv va aCR

B

××× ×

× ××

×× ×

× ×

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

+

$ $

4 14 15 4 r r

qs sdq dq

V v

V v

××

×⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤⎜ ⎟+ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

$

$

243.

Con las submatrices definidas como:

° ( )( )( )

µ ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

µ ( ) ( )( ) ( )

°( )

13

23

cos sin3

1 2 2 sin cos

cos sin3

1 2 2 sin cos

1

co c o cP c c

dqP co c o c

po p o pp p

P po p o p

c

dqP

L L M ma

L L L

M m

L L

M ma

L L

ϕ ϕ ϕχ

χ χ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕχ

χ χ ϕ ϕ ϕ

χ

χ χ

− Γ + − Γ− + += +

+ − − − Γ + − Γ

− Γ + − Γ++

+ − − − Γ + − Γ

− +=

+ −

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎣ ⎦

$

$

$

$

µ ( ) ( )

( ) ( )

( )

µ ( ) ( )( ) ( )

cos sin3

2 2 sin cos

cos sin1 3

1 2 2 sin cos

co c o cc

co c o c

po p o pp p

P po p o p

M m

L L

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

χ χ ϕ ϕ ϕ

− Γ + − Γ+

− − Γ + − Γ

− Γ + − Γ++

+ − − − Γ + − Γ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

$

$

$

$

244.

±¶

( ) ( ) ( ) ( )

±¶

( ) ( ) ( ) ( )

31

32

3 cos sin sin cos2 2

3 cos sin sin cos2 2

c co c c o c o c c o cdq

p po p p o p o p p o pdq

M maC

M ma

C

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

+ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = − −Γ + −Γ − −Γ + −Γ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = −Γ + −Γ − −Γ + −Γ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

$ $

$ $

245.

Este sistema se puede reducir en las siguientes submatrices:

Un modelo de pequeña señal:

144

µ

¶[ ] µ

¶[ ] µ [ ]

[ ] µ [ ] [ ]

r r r rSS mp p

p pp p p pdq dq dq

cc cccc cc

r rrmc c

c cp pdq dqs

cc cc

i i I Ip A A m Ai i I I

V Vv v

I Iv

A m A BI Iv

V V

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+ + + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

$ $

$

$$

$

246.

Y el modelo en régimen permanente es:

[ ] [ ] [ ]0r

rSS

pdqs

cc

IV

A BIV

V

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥

= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

247.

Donde las matrices están definidas así:

[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

11 12 13

21 22 23

31 32

13 13

23 23

31 32 31 32

13 13

23 2

31 32

1

0 0 0 0

0 0 ; 0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 ; 0 0

0

SS

dq

cc

mp p

mp mp p p

dq dqmp mp p p

mc c

mc mc c

dq dqmc mc

a a AA a a A

A ACR

A A

A A A A

A A A A

A A

A A A A

A A

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ][ ] [ ] [ ]

3

31 32 0

c

c cA A

ϕ

ϕ ϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

248.

145

[ ] ( )( )( )

( )( )

( )( )( )( )

[ ] ( )( )( )

( )

13

23

cos3sin2 21

cos3 2 21 sin

cos3sin1 2 2

1 1

o cP c

o cP

o pp

P o p

o cc

o cP

P

L L MAL L L

ML L

MAL L

L L

ϕχϕχ χ

ϕχχ χ ϕ

ϕχϕχ χ

χ χ

⎛ ⎞ ⎡ ⎤−Γ− + ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ − −Γ+ − ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎡ ⎤−Γ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎢ ⎥− −Γ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎛ ⎞ ⎡ ⎤−Γ− ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ − −Γ+ − ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠

++ −

( )( )

[ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

31

32

cos32 2 sin

3 cos sin2 2

3 cos sin2 2

o pp

o p

co c o c

po p o p

M

MAC

MA

C

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

⎡ ⎤−Γ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥− −Γ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − −Γ − −Γ⎣ ⎦

⎡ ⎤= −Γ − −Γ⎣ ⎦

249.

[ ] ( )( )( )

[ ] ( )( )( )

[ ] [ ]

[ ] ( ) ( )

13

23

31

32

cos1 3 ;1 2 2 sin

cos1 1 31 2 2 sin

0 0

1 3 cos sin2 2

o pmp

dqP o p

o pmp

dqP o p

mp

dq

mpo p o pdq

AL L

AL L

A

AC

ϕχχ χ ϕ

ϕ

χ χ ϕ

ϕ ϕ

⎡ ⎤−Γ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎢ ⎥⎝ ⎠ − −Γ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎡ ⎤−Γ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎢ ⎥⎝ ⎠ − −Γ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

=

⎡ ⎤= −Γ − −Γ⎣ ⎦

250.

[ ] ( )( )( )

[ ] ( )( )( )

[ ] [ ]

[ ] ( ) ( )

13

23

31

32

sin3 ;1 2 2 cos

sin1 31 2 2 cos

0 0

1 3 sin cos2 2

o pp pdq

P o p

o pp pdq

P o p

p

dq

po p o pdq

MA

L L

MA

L L

A

AC

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕχχ χ ϕ

ϕ

χ χ ϕ

ϕ ϕ

⎡ ⎤−Γ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎢ ⎥−Γ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎡ ⎤−Γ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎢ ⎥−Γ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦

=

⎡ ⎤= −Γ −Γ⎣ ⎦

251.

146

[ ] ( )( )( )

( )( )

[ ] ( )( )( )

[ ] ( ) ( )

[ ] [ ]

13

23

31

32

cos1 3 ;sin2 21

cos1 3sin1 2 2

1 3 cos sin2 2

0 0

mc p o cdq

o cP

mc o cdq

o cP

mco c o cdq

mc

dq

L LA

L L L

AL L

AC

A

χ ϕϕχ χ

ϕχϕχ χ

ϕ ϕ

− + ⎛ ⎞ ⎡ ⎤−Γ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ − −Γ+ − ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎡ ⎤−Γ− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ − −Γ+ − ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎡ ⎤= − −Γ − −Γ⎣ ⎦

=

252.

[ ] ( )( )( )

( )( )

[ ] ( )( )( )

[ ] ( ) ( )

[ ] [ ]

13

23

31

32

sin3 ;cos2 21

sin3cos1 2 2

1 3 sin cos2 2

0 0

c p o ccdq

o cP

c o ccdq

o cP

co c o cdq

c

dq

L L MAL L L

MAL L

AC

A

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

χ ϕϕχ χ

ϕχϕχ χ

ϕ ϕ

− + ⎛ ⎞ ⎡ ⎤−Γ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ −Γ+ − ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎡ ⎤−Γ− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ −Γ+ − ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎡ ⎤= − −Γ −Γ⎣ ⎦

=

253.

147

ANEXO G: Detalles de las Estrategias de Control

Convencionales.

Se analiza a continuación las funciones de transferencia:

Caso 0rs qsk k= = , la tensión *cqvΔ controla la corriente di .

En este caso, se tiene para la matriz de control:

* *

*

0 00

cd rd rd

cq ps rq rq

v i iv k i i

Δ ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

254.

Las funciones de transferencia quedan:

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

*

2

22

*2

2

22

2

2

ps rd

rd

rs ps qsrs

ps psrd

rq

rs ps qsrs

k ILI s

R k L k L kR ks s

L L

k Rks I

L LI s

R k L k L kR ks s

L L

ω

ω ω

ω ω

=⎛ ⎞+ + + ++⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠=⎛ ⎞+ + + ++⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

255.

En el caso de ( )rqI s , el cero está ubicado en 1LR

= y afecta poco la dinámica del sistema. Por

otra parte, la aplicación del teorema de valor inicial para ambas corrientes en el dominio

transformado conduce a:

148

( ) ( )( )* 1 20lim

d

psrd Is s ps

LksI s

R L k Lωω ω=→

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ + + 256.

( ) ( )( )* 1 20lim

d

psrq Is s ps

RksI s

R L k Lω ω=→⎡ ⎤ =⎣ ⎦ + +

257.

De estas ecuaciones se observa que para un valor de psk dado, el valor de ( )di ∞ es mayor que

( )qi ∞ y la relación entre los valores es el cociente L Rω . Por tanto, en este caso se puede

controlar la potencia activa inyectada por el convertidor en serie a la línea de transmisión. Sin

embargo, la tensión de referencia *cqvΔ inyecta una componente de la corriente qi .

Caso 0rsk = :

La tensión *cqvΔ controla la corriente di .

La tensión *cdvΔ controla la corriente qi .


* *

*

00

cd qs rd rd

cq ps rq rq

v k i iv k i i

Δ ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

258.

Las nuevas funciones de transferencia se pueden expresar así:

149

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

* *

22 2

2

* *

22 2

2

2

2

qs rd qs rqrd

ps qs

ps ps rd ps qs rqrq

ps qs

L k I k Ls R II s

R L k L kRL s sL L

k Ls Rk I L k k II s

R L k L kRL s sL L

ω

ω ω

ω

ω ω

+ − +=

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + +=

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

259.

De forma similar al caso anterior, el cero de ( )rqI s está ubicado en 1LR

= y afecta poco la

dinámica del sistema. La aplicación del teorema de valor inicial para ambas corrientes en el

dominio transformado permite conocer su valor en t →∞ .

( ) ( )( )( )* 1 20

limd

qs psrd Is s ps qs

L k ksI s

R L k L k

ω

ω ω=→

+⎡ ⎤ =⎣ ⎦ + + +

260.

( ) ( )( )* 1 20lim

d

psrq Is s ps qs

RksI s

R L k L kω ω=→⎡ ⎤ =⎣ ⎦ + + +

261.

Para una referencia de corriente de eje directo, se observa que para un valor de psk dado, el valor

de ( )di ∞ es mayor que ( )qi ∞ , y la relación entre estos valores de régimen permanente es el

cociente ( )qsL k Rω + . Para este caso y usando esta referencia, se puede controlar la potencia

activa inyectada por el convertidor en serie a la línea de transmisión.

Para una referencia de corriente de eje en cuadratura, se observa que para un valor de qsk dado, el

valor de ( )di ∞ es menor al de ( )qi ∞ , y la relación entre estos valores de régimen permanente es

150

el cociente ( )psL k Rω− + . En este otro caso y con la referencia de corriente de cuadratura, se

puede controlar la potencia reactiva inyectada por el convertidor en serie a la línea de

transmisión. Para este caso, es posible controlar las potencias activas y reactivas en la línea de

transmisión. Sin embargo permanece, tanto durante el evento dinámico, como durante el

comportamiento en régimen permanente, un acople entre las corrientes de eje directo y de

cuadratura. Por tanto, una corriente de eje directo de referencia induce una componente pequeña

pero importante de corriente en cuadratura, y por tanto, de potencia reactiva.

Caso 0qs psk k= = :

La tensión *cdvΔ controla la corriente di .

La tensión *cqvΔ controla la corriente qi .


* *

*

00

cd rs rd rd

cq rs rq rq

v k i iv k i i

Δ ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

262.

Las funciones de transferencia son:

151

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

* *

2

2 22

* *

2

2 22

2

2

rs rs rs rd rs rqrd

rs ps qsrs

rs rd rs rs rs rqrq

rs ps qsrs

k Ls R k k I Lk II s

R k L k L kR kL s s

L L

Lk I k Ls R k k II s

R k L k L kR kL s s

L L

ω

ω ω

ω

ω ω

+ + +=

⎛ ⎞+ + + ++⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

− + + +=

⎛ ⎞+ + + ++⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

263.

El cero está ubicado en 1rs

LR k+

= y afecta poco la dinámica del sistema. La aplicación del

teorema de valor inicial para ambas corrientes en el dominio transformado permite conocer su

valor en t →∞ :

( ) ( )( ) ( )* 1 2 20

limd

rs rsrd Is s rs

R k ksI s

R k Lω=→

+⎡ ⎤ =⎣ ⎦ + +

264.

( )( ) ( )* 1 2 20

limd

rsrq Is s rs

LksI sR k L

ωω=→

−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ + + 265.

( )( ) ( )* 1 2 20

limq

rsrd Is s rs

LksI sR k L

ωω=→

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ + + 266.

( ) ( )( ) ( )* 1 2 20

limq

rs rsrq Is s rs

R k ksI s

R k Lω=→

+⎡ ⎤ =⎣ ⎦ + +

267.

Si se cumple la ecuación ( )rs rs rsR k k Lkω+ = entonces es posible controlar la componente de

corriente con su tensión correspondiente. Por tanto la ganancia rsk ha de ser elevada.

Control matricial.

152

En este caso, la matriz de control es:

* *

*cd rs ps rd rd

cq qs rs rq rq

v k k i iv k k i i

Δ ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

268.

Los ceros se ubican en:

( ) ( ) 1rs

rs rs qs ps

Rk sR k k L k kω

++ + +

269.

( ) ( ) 1rs

rs rs ps qs

Rk sR k k L k kω

++ + +

270.

1qs

qs rs

Lks

Rk Lkω+

− 271.

1ps

ps rs

Lks

Rk Lkω+

− 272.

Si las ganancias de los controladores están mal ajustadas, es posible que los dos últimos ceros

puedan afectar la dinámica del sistema. Los cero en las funciones de transferencia a lazo cerrado

pueden elevar el máximo sobrepico y disminuir el tiempo de levantamiento de la respuesta

dinámica.

La aplicación del teorema del valor inicial para conocer el régimen permanente de las variables

de estado conduce a las siguientes 4 ecuaciones:

( )( ) ( )

( ) ( )( )* 1 20lim

d

rs rs qs psrd Is s rs qs ps

R k k L k ksI s

R k L k L k

ω

ω ω=→

+ + +⎡ ⎤ =⎣ ⎦ + + + +

273.

153

( )( ) ( )( )* 1 20

limd

ps rsrq Is s rs qs ps

Rk LksI s

R k L k L k

ω

ω ω=→

−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ + + + +

274.

( )( ) ( )( )* 1 20

limq

rs qsrd Is s rs qs ps

Lk RksI s

R k L k L k

ω

ω ω=→

−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ + + + +

275.

( )( ) ( )

( ) ( )( )* 1 20lim

q

rs rs ps qsrq Is s rs qs ps

R k k L k ksI s

R k L k L k

ω

ω ω=→

+ + +⎡ ⎤ =⎣ ⎦ + + + +

276.

154

ANEXO H: Análisis de los sistemas de inferencia difusos.

Análisis Introductorio.

Un proceso de fuzificación poco conocido es el método del razonamiento simplificado o

conocido también con el nombre de método del centro de masa modificado. El método consiste

en ponderar los grados de pertenencia de entrada y los valores centrales de las funciones de

pertenencia de salida, para determinar la salida defuzificada. La ecuación defuzificadora es:

regla n regla n1

regla n1

*N

nN

n

uu

μ

μ

=

=

=∑

∑ 277.

Es decir:

1 1 2 2

1 2

......

n n

n

u u uu μ μ μμ μ μ+ + +

=+ + +

278.

Donde:

N es el # de reglas propuestas.

regla nμ Es el grado de pertenencia de la enésima función de pertenencia de entrada, regla nu , es el

valor central de la enésima función de pertenencia de salida.

Con esta metodología, esta ecuación se implementa generalmente con las 2 reglas activas. Por

tanto, la ecuación 277, se rescribe:

155

regla n regla n1 i i i+1 i+1

i i+1regla n

1

*N

nN

n

uu uu

μμ μμ μμ

=

=

+= =

+

∑

∑ 279.

, donde i, i+1, son las reglas activas; i i+1μ μ son los grados de pertenencia de las funciones de

pertenencia iésima e iésima +1 respectivamente. i i+1u u son los valores centrales de los vértices

de las funciones de pertenencia de salida iésima e iésima +1 respectivamente.

La ecuación que relaciona a iμ y la variable de control, e , para la iésima regla es:

( ) [ ]1i 1

1

; ,ii i

i i

E ee e E EE E

μ ++

+

−= ∈

− 280.

La ecuación que relaciona i+1μ y la variable de control, e , para la siguiente regla es:

( ) [ ]i+1 11

; ,ii i

i i

e Ee e E EE E

μ ++

−= ∈

−, Con esta partición del universo de discurso, se cumple que

fp1 fp2 µ +µ =1 [ ]1,i ie E E +∀ ∈ .

Supóngase que las reglas de salida son:

i n i n iR : si e es E entonces u es U ∨

i+1 n i+1 n i+1R : si e es E entonces u es U

Con esta base de conocimiento, el proceso de inferencia está concluido. Falta convertir la salida

del proceso de inferencia, que son funciones de pertenencia, a los valores numéricos

156

correspondientes. Este último proceso llamado defuzificación, se realiza con el método del

razonamiento simplificado:

( ) 1 1 1 1

1 1

i i i i i i

i i i i

U U E U EUu e eE E E E

+ + + +

+ +

− −= +

− − 281.

, que en forma general, se puede expresar como: ( ) p iu e k e C= + , donde iC y pk se pueden variar,

ubicando los extremos de las funciones de pertenencia, de entrada y salida, respectivamente.

Cuando se emplean tres reglas para el controlador difuso proporcional con la ecuación anterior,

se tienen las conclusiones que se muestran en la tabla siguiente.

Vértice o valor

central de las

funciones de

pertenencia de

entrada

Vértice o valor

central de las

funciones de

pertenencia de

salida

Ley de control

"-1, 0 ,1" "-1, 0 ,1" ( ) ( ) [ ]; 1,1n nu t e t e= ∈ −

"-a, 0 ,a" "-1, 0 ,1" ( ) ( ) [ ]

( ) [ ]( ) [ ]

1 ; ,

1; ,1

1; 1,

n n

n

n

u t e t e a aa

u t e a

u t e a

= ∈ −

= ∈

= − ∈ − −

157

"-a, 0 ,a" "-b, 0 ,b" ( ) ( ) [ ]

( ) [ ]( ) [ ]

; ,

; ,1

; 1,

n n

n

n

bu t e t e a aa

u t b e a

u t b e a

= ∈ −

= ∈

= − ∈ − −

Tabla 5 Leyes de control para un SID de 3 reglas.

Para un controlador difuso tipo proporcional de 5 reglas se tiene:

Valor central

de las

funciones de

pertenencia

de entrada

Valor central

de las

funciones de

pertenencia

de salida

Ley de control

"-1,-a , 0 ,a,1" "-1,-b , 0 ,b,1"

( ) ( ) [ ]

( ) ( ) [ ]

( ) ( ) [ ]

; ,

1 1 ; ,11 11 ; 1,1 1

n n

n n

n n

bu t e t e a aa

b bu t e t e aa ab a bu t e t e aa a

= ∈ −

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ∈ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Tabla 6 Leyes de control para un SID de 5 reglas.

Para que pk sea constante en todo el intervalo de operación, el numerador y el denominador

deben ser constantes. Por tanto, la diferencia entre valores centrales adyacentes debe ser

constante para todos los intervalos, es decir, Ei+1-Ei.= Ei+2-Ei+1 y simultáneamente Ui+1- Ui = Ui+2-

Ui+1. 1 2 1- -i i i iE E E E+ + += … 1 2 1- -i i i iU U U U+ + += …

158

Si pk es constante en todo el intervalo de operación, entonces se cumple también que:

1 1- 0i i i iE U EU+ + = , lo que implica que 1 1i i

i i

E UE U+ += . Esta ecuación indica que los valores centrales

de las FPE se encuentran equidistantes con los valores centrales de las FPS. Por tanto, también la

constante de la ganancia a lazo abierto del controlador difuso proporcional es nula para todo el

intervalo de operación.

El efecto de la modificación de las funciones de pertenencia de salida sobre el controlador son las

siguientes:

Si el rango de operación es [ ],ne a a∈ − , la salida es directamente proporcional a la diferencia

entre los valores centrales internos de las FPS e inversamente proporcional a los valores centrales

internos de las FPE. Si [ ] [ ]1, ,1ne a a∈ − − ∪ , la salida es directamente proporcional a la diferencia

entre los vértices externos de las FPS e inversamente proporcional a la diferencia entre los

valores centrales externos de las FPE.

Análisis en el dominio del tiempo del controlador proporcional difuso.

Un controlador difuso de tres reglas tiene una ley de control cuya forma general cumple con la

ecuación:

159

( ) ( ) [ ]( ) [ ] [ ]( )

; ,

; ,1 1,

1; 1

p n n

i n

n

u t k e t e a a

u t C e a a

u t e

= ∈ −

= ∈ ∪ − −

= ≥

282.

Un controlador difuso con 5 reglas tiene una ley de control que cumple con la expresión:

( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( )

; ,

; ,1 1,

1; 1

p n n

p n i n

n

u t k e t e a a

u t k e t C e a a

u t e

= ∈ −

= + ∈ ∪ − −

= ≥

283.

Se considera el controlador proporcional difuso, discutido en la sección anterior, cuya ecuación

puede ser expresada de la forma:

( ) ( )p iu t k e t C= + 284.

La respuesta ante el escalón unitario de un sistema normalizado de 2do orden a lazo cerrado con

esta ley de control es:

( ) ( ) ( )( )

( )

' ' ' 2 1

2

'' ' ' 2

2

11 sin 1 ' cos '1 '

+ sin 1 ' ; ' 11 '

tnu t

ti nn

y t e t

C e tKp

ξ ω

ξ ω

ω ξ ξξ

ω ω ξ ξξ

− −

−

= − − + +−

− ≤−

285.

Donde se definen las constantes:

'' nn

p pK Kωξξ ω= = 286.

160

siempre que los polos de la respuesta en frecuencia sean complejos. La primera parte de la

respuesta corresponde a la acción del controlador proporcional clásico. El segundo término de la

ecuación corresponde a la acción constante del controlador.

Para el caso especial en que la constante pk sea nula, el controlador difuso mantiene el sistema a

lazo abierto. La respuesta ante el escalón unitario es:

( )( )

( )20 2 2 1

2ti

kp nCy t t e ξωξωξ

−= = + − 287.

En el caso de que 0iC = , entonces la salida del controlador es proporcional a la señal del error.

Por tanto, el controlador difuso se comporta exactamente igual que su versión clásica. La

respuesta ante el escalón unitario es:

( ) ( )( )' ' ' 2 10 2

11 sin 1 ' cos '1 '

tC ny t e tξ ω ω ξ ξ

ξ− −

= = − − +−

288.

Estas son las tres posibles respuestas que exhibiría un sistema de 2do orden normalizado ante un

controlador difuso con las características precisadas en la ecuación.

Si la acción de control se inicia con las condiciones iniciales nulas, entonces el controlador difuso

opera sobre el sistema en general con la siguiente ley de control:

( ) iu t C= 289.

La respuesta temporal ante el escalón unitario es por tanto:

( )( )

( )20 12 2 1 ; 0

2ti

kp nCy t t e t tfξωξωξ

−= = + − ≤ ≤ 290.

161

Al finalizar el periodo con esta porción del controlador, el sistema ha sido llevado al valor:

( )( )

( )120 1 12 2 1

2tfi

kp nCy tf tf e ξωξωξ

−= = + − 291.

El sistema ha sido llevado con una velocidad:

( ) ( )20 1

2nti n

kpCpy t e ξωωξ

−= = − 292.

La velocidad con la que el sistema se mueve antes de que la acción del controlador cambie a:

( ) ( )p iu t k e t C= + 293.

se obtiene evaluando la expresión anterior al finalizar el periodo:

( ) ( )120 1 1

2ntfi n

kpCpy tf e ξωωξ

−= = − 294.

La acción de la primera etapa del controlador difuso lleva al sistema a una condición en la que el

error disminuye, acercando la respuesta al valor en régimen permanente. Por tanto, el controlador

aplica la ley de control de la ecuación 293 cuando el valor del error ha disminuido lo suficiente

para entrar en la zona de operación de esta porción del controlador.

Las condiciones iniciales válidas para la nueva porción del controlador son:

( ) ( )( ) ( )

1

1

0

0

y y tf

py py tf

=

= 295.

La respuesta temporal ante un escalón unitario es:

162

( )

( ) ( )( )( ) ( )

' '' 2 1

2

' '' 2

'2

1

0 1 sin 1 ' cos '1 '

0 sin 1 '

1 '

i

p

ti

np

t

nn

Cy tK

Ce y tK

pye t

ξ ω

ξ ω

ω ξ ξξ

ω ξωξ

−−

−

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪+ − + − + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟− ⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭⎧ ⎫

+ + −⎨ ⎬− ⎩ ⎭

296.

Donde la primera parte corresponde al valor en régimen permanente del sistema, en caso de

permanecer esta porción del controlador. La segunda parte es la respuesta oscilatoria del sistema.

Si el objetivo del sistema de control difuso es reducir las oscilaciones, entonces es necesario

reducir los términos:

( )

( )'

0 1

0

i

p

n

CyK

pyω

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 297.

Si el valor de la respuesta en la transición de la primera a la segunda ley de control, ( )0y , se

eleva, acercándose al valor de referencia, la amplitud de la oscilación que se calcula con la

ecuación 297 se ve reducida. Se logra un efecto similar al elevar el valor de pk , para un valor de

iC fijo. Así que resulta recomendable comenzar con un valor de pk suficientemente alto. La

contribución de pk es mayor a ( )0y para amortiguar esta porción de las oscilaciones en la

respuesta del sistema. Por otra parte, un decremento en la constante iC contribuye a la

disminución del amortiguamiento.

La peor condición para la expresión del segundo factor en la ecuación 296 es:

163

2 p

Ckξ

298.

Si el valor de pk es comparable a la ganancia del controlador a lazo abierto, entonces las

oscilaciones del 2do término pueden reducirse aún más. Por otra parte, para elevar la velocidad de

la respuesta es necesario elevar el valor de la ganancia a lazo abierto, pues la velocidad de la

respuesta así como el valor de la respuesta antes de pasar a la 2da ley de control son directamente

proporcionales a éste.

Por tanto es posible llegar a dos conclusiones respecto a esta transición:

1) Emplear valores elevados de iC , para aumentar la velocidad de respuesta de la salida y la

salida respectivamente,

2) Usar valores elevados de pk , comparables a los de iC , para disminuir o amortiguar las

oscilaciones y contrarrestar el valor elevado de iC , inicialmente usado para elevar la

respuesta del sistema.

Estas conclusiones son similares si el sistema se inicia con el controlador operando con la ley de

control:

( ) ( )1 1pu t k e t C= + y pasa a otra ley de control como: ( ) ( )2 2pu t k e t C= + .

Es este caso, la solución para el segundo tramo de la transición es:

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

2

2

' '' 2 1 ' 22

1 2 2 2 2 2'22 22

1

0 0 1 sin 1 ' cos ' sin 1 '

1 '

p

t

n np n

Cy tK

pye Cy t tK

ξ ω

ω ξ ξ ω ξωξ

−−

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪+ − + − + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟− ⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

299.

164

Los valores de 1pk y 1C empleados en la transición anterior pueden garantizar valores cercanos a

la referencia para la respuesta del sistema. Al igual que la transición precedente, se tiene que los

factores que contribuyen a las oscilaciones del sistema son:

( )

( )

21

2

1'2

0 1

0p

n

CyK

pyω

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 300.

Dado que inicialmente se usó un valor elevado de 1C , parece plausible que 2C sea menor a 1C , a

medida que la respuesta del sistema se acerca cada vez más al valor referencial. Aún más, para

que se reduzca las oscilaciones en la ecuación 299, es necesario que la disminución en 2C esté

acompañada por un aumento en el valor de 2pk .

Se deducen conclusiones muy similares para la transición de la ley de control:

( ) ( )2 2pu t k e t C= + a ( ) ( )3pu t k e t= .

Resaltan por tanto las siguientes conclusiones:

3) Para lograr una disminución del tiempo de subida, es necesario emplear inicialmente un

valor inicial de Co suficiente para elevar la velocidad de la respuesta del sistema.

4) Si las constantes iC son subsecuentemente reducidas, y las ganancias pik

subsecuentemente elevadas, es posible reducir las oscilaciones y simultáneamente

contribuir con la reducción del tiempo de subida de la respuesta.

5) El controlador difuso proporcional se comporta como un controlador PD de la teoría

clásica convencional.

6) El valor final de iC debe ser nulo, para no incrementar el error durante el régimen

permanente.

165

El controlador Proporcional Integral difuso.

Este controlador, como su homólogo clásico, tiene dos entradas y una salida. Las entradas son el

error y la integral del error. La ley de control para este controlador es:

( ) ( ) ( )I p iu t k e t k e t C= + +∫ 301.

, donde los valores de y i p ik k C dependen de los valores centrales de las funciones de

pertenencia para el error y las funciones de pertenencia para la integral de la señal de error.

El esquema para un controlador difuso se discrimina en 5 etapas:

1) Etapa de normalización,

2) Fuzificación,

3) Proceso de inferencia,

4) Defuzificación, y

5) Denormalización.

Etapa de Normalización:

La entrada al proceso de normalización son las señales de error y su integral. El error se calcula

como el valor deseado de la señal de salida menos el valor actual de la señal de salida. Su integral

se calcula como la suma del valor actual de la señal de salida con los anteriores dividido por el

tiempo transcurrido. Las constantes de normalización, una por cada señal de entrada, deben

calcularse para garantizar que la zona operativa para el valor del error y su integral estén en por

unidad.

166

Fuzificación:

Si Ne es el número de reglas para la señal de entrada “error”, y Nie es el número de reglas para la

señal de entrada “integral del error”, entonces es una práctica común usar el mismo número de

reglas. Por tanto se considera Ne = Nie y se fija el número de reglas en 7. Los valores de los

grados de pertenencia para las 2 reglas activadas por la señal de error son:

11

1 1

i ii i

i i i i

E e e EE E E E

μ μ++

+ +

− −= =

− − 302.

Por tanto, los valores de los grados de pertenencia para las 2 reglas activadas por la señal de la

integral del error son:

11

1 1

j jj i

j j j j

E Ie Ie E

E E E Eμ μ+

++ +

− −= =

− −∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

303.

Inferencia:

Cada regla del proceso de inferencia necesita procesar la información del error como de la

integral del error. Por tanto, el número de reglas para la inferencia será de Ne*Nie. Si el número

de reglas es 7, el número de reglas para el proceso de inferencia es igual a 49.

El proceso de inferencia se resume en la matriz que se muestra en la tabla 1.

Dado que cada señal de entrada tiene activada generalmente 2 reglas, el número total de reglas

activas es igual a 4. Estas reglas son:

i,j n i j n i,jnR : si e es E e es E entonces u es U ∧ ∨∫ ∫

167

i+1,j n i+1 j n (i+1),jnR : si e es E e es E entonces u es U ∧ ∨∫ ∫

i,j+1 n i j+1 n i,(j+1)nR : si e es E e es E entonces u es U ∧ ∨∫ ∫

i+1,j+1 n i+1 j+1 n (i+1),(j+1)nR : si e es E e es E entonces u es U∧ ∫ ∫

Defuzificación

El método empleado es el del razonamiento simplificado. La ecuación defuzificadora aplicada a

este caso es:

1, 1

regla n regla m regla n,mregla n regla n,1

1, 1

regla n regla n regla m1 ,

* **

*

n i m jN

n i m jnN n i m j

n n i m j

uuu

μ μμ

μ μ μ

= + = +

= === + = +

= = =

= =∑∑

∑ ∑ 304.

Esta ecuación se puede reescribir como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

, 1 1 , 1 , 1 1 1 1 , 1

1 1 1 1

i j i j j ii i j j i j i j i j

i j j ii j i j

u u u uu

μ μ μ μ μ μ μ μ

μ μ μ μ μ μ μ μ+ + + + + + + +

+ + + +

+ + +=

+ + + 305.

Al sustituir los valores de los grados de pertenencia y las funciones de pertenencia de salida en

esta ecuación, se halla una expresión de la ley de control para el controlador difuso del tipo

proporcional integral. Algunos términos de la ley de control afectan la señal del error, como

también la integral del error. Un tercer término de la ley de control afecta el producto de la señal

y su integral y el último término es independiente de las señales de entrada.

Dado que la ley de control para el controlador difuso del tipo proporcional integral es:

168

( ) ( ) ( )I p iu t k e t k e t C= + +∫

, los valores de las constantes y I p ik k C son:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 ,, 1 1 , 1 1 ,

1 1

j j i ji j i j i jI

i i j j

E U U E U UK

E E E E

++ + + +

+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=− −

∫ ∫∫ ∫

306.

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )1 ,1 , 1 , 1 , 1

1 1

i i i ji j i j i jP

i i j j

E U U E U UK

E E E E

++ + + +

+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=− −∫ ∫ 307.

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )1 1 1 ,1 , 1 1 , , 1

1 1

i j j i j i j ji j i j i ji

i i j j

E E U E U E E U E UC

E E E E

+ + ++ + + +

+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=− −

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫

308.

Resaltan tres conclusiones:

1) Los valores de Ik dependen esencialmente de la diferencia entre valores centrales de las

funciones de pertenencia asociadas a la integral del error.

2) Los valores de pk dependen esencialmente de la diferencia entre valores centrales de las

funciones de pertenencia asociadas al error.

3) Los valores de iC serán nulos si hay equidistancia entre las funciones de pertenencia de

las entradas y salidas.

169

ANEXO I: Listados de los archivos ATP

Archivo tipo ATP, de un controlador PI difuso, generado con ATPDraw.

BEGIN NEW DATA CASE C -------------------------------------------------------- C Generated by ATPDRAW Marzo, Domingo 5, 2006 C A Bonneville Power Administration program C Programmed by H. K. Høidalen at SEfAS - NORWAY 1994-2001 C -------------------------------------------------------- POWER FREQUENCY 60. C Proporcional Integral difuso C C C dT >< Tmax >< Xopt >< Copt > 5.E-5 10. 500 1 0 0 0 0 0 1 0 TACS HYBRID /TACS 98N31 56+XX0177 1. -1000 0 -1 1 -0.2 0 9999. 98P31 56+XX0177 1. 0.2 0 1 1 1000 0 9999. 98N2P11 =N2*P11*N12 98N2 56+XX0194 1. -1 0 -0.667 1 -0.334 0 9999. 98N1 56+XX0194 1. -0.667 0 -0.334 1 0 0 9999. 98Z 56+XX0194 1. -0.334 0 0 1 0.334 0 9999. 98N1P11 =N1*P11*Z2 98N2N21 =N2*N21*N32 98N2N11 =N2*N11*N32 98N2Z1 =N2*Z1*N22 98N1N21 =N1*N21*N32 98N1N11 =N1*N11*N22 98N1Z1 =N1*Z1*N12 98ZN21 =Z*N21*N22 98N3 56+XX0194 1. -1000 0 -1 1 -0.667 0 9999. 98ZN11 =Z*N11*N12 98ZZ1 =Z*Z1*Z2

170

98U1 =N3N31+N2N31+N1N31+ZN31+P1N31+P2N31+P3N31 98ZP11 =Z*P11*P12 98P1 56+XX0194 1. 0 0 0.334 1 0.667 0 9999. 98P2 56+XX0194 1. 0.334 0 0.667 1 1 0 9999. 98N2P21 =N2*P21*Z2 98N1P21 =N1*P21*P12 98ZP21 =Z*P21*P22 98P1N21 =P1*N21*N12 98P1N11 =P1*N11*Z2 C PLANTA 2Y +OUT 45. 1. 45. 18. 1. 98E =1-Y 98P1Z1 =P1*Z1*P12 98P1P11 =P1*P11*P22 98P1P21 =P1*P21*P32 98P2N21 =P2*N21*Z2 98P2N11 =P2*N11*P12 98P2Z1 =P2*Z1*P22 98P2P11 =P2*P11*P32 98P2P21 =P2*P21*P32 98N21 56+XX0177 1. -1 0 -0.2 1 -0.03 0 9999. 98N11 56+XX0177 1. -0.2 0 -0.03 1 0 0 9999. 98Z1 56+XX0177 1. -0.02 0 0 1 0.02 0 9999. 98P11 56+XX0177 1. 0 0 0.03 1 0.2 0 9999. 98P21 56+XX0177 1. 0.03 0 0.2 1 1 0 9999. 98U2 =N3N21+N2N21+N1N21+ZN21+P1N21+P2N21+P3N21 98U3 =N3N11+N2N11+N1N11+ZN11+P1N11+P2N11+P3N11 98U4 =N3Z1+N2Z1+N1Z1+ZZ1+P1Z1+P2Z1+P3Z1 98U5 =N3P11+N2P11+N1P11+ZP11+P1P11+P2P11+P3P11 98U =U1+U2+U3+U4+U5+U6+U7 98N22 =-0.8 98N12 =-0.6 98Z2 =0 98P12 =0.6 98P22 =0.8 98P3 56+XX0194 1.

171

0.667 0 1 1 1000 0 9999. 98N32 =-1 98P32 =1 98N2P31 =N2*P31*P12 98N1P31 =N1*P31*P22 98ZP31 =Z*P31*P32 98P1P31 =P1*P31*P32 98P2P31 =P2*P31*P32 98U6 =N3P21+N2P21+N1P21+ZP21+P1P21+P2P21+P3P21 98N2N31 =N2*N31*N32 98N1N31 =N1*N31*N32 98ZN31 =Z*N31*N32 98P1N31 =P1*N31*N22 98P2N31 =P2*N31*N12 98U7 =N3P31+N2P31+N1P31+ZP31+P1P31+P2P31+P3P31 98P3P11 =P3*P11*P32 98N3P11 =N3*P11*N22 98P3N21 =P3*N21*P12 98P3N11 =P3*N11*P22 98P3Z1 =P3*Z1*P32 98N3N21 =N3*N21*N32 98N3N11 =N3*N11*N32 98N3Z1 =N3*Z1*N32 98P3P21 =P3*P21*P32 98N3P21 =N3*P21*N12 98P3P31 =P3*P31*P32 98N3P31 =N3*P31*Z2 98P3N31 =P3*N31*Z2 98N3N31 =N3*N31*N32 C Derivada, Ge 1XX0177 +XX0176 1. -1. 1. 1. 1. 1.E-6 C Integral 1XX0176 +E 1. 1. 1. C Gie 0XX0194 +XX0176 4. C KI 0OUT +U 1.3 33N31 33P3 33XX0177 33N2 33N1 33Z 33Y 33OUT 33N3 33N21 33N11 33Z1 33U 33XX0176 33XX0177 33XX0194 33OUT C 1 2 3 4 5 6 7 8 C 345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 /SOURCE 14XX0045 0 169.7 60. -90. -1. 1. /BRANCH

172

XX0045 150. 3 /INITIAL /OUTPUT BLANK TACS BLANK BRANCH BLANK SWITCH BLANK SOURCE BLANK INITIAL BLANK OUTPUT BLANK PLOT BEGIN NEW DATA CASE BLANK

Archivo tipo ATP, del UPFC controlado mediante un SID tipo 3, generado con

ATPDraw.

BEGIN NEW DATA CASE C -------------------------------------------------------- C Generated by ATPDRAW Marzo, Domingo 5, 2006 C A Bonneville Power Administration program C Programmed by H. K. Høidalen at SEfAS - NORWAY 1994-2001 C -------------------------------------------------------- C Sistema con fuente, 2 líneas en paralelo, una de las cuales C tiene un UPFC, y carga. C C dT >< Tmax >< Xopt >< Copt > 2.E-6 .5 60. 5000 1 0 0 0 0 0 1 0 TACS HYBRID /TACS 98PUPFC =IA*(VSA-VSSA)+IB*(VSB-VSSB)+IC*(VSC-VSSC) 98QUPFC =(IA*(VSB-VSSC)+IB*(VSC-VSSA)+IC*(VSA-VSSB))/SQRT(3) 91IPARC 1. 91IPARB 1. 91IPARA 1. 91IA 1. 91IB 1. 91IC 1. 98P =IA*VRA+IB*VRB+IC*VRC 98PPAR =IPARA*VRA+IPARB*VRB+IPARC*VRC 98Q =(IA*(VRB-VRC)+IB*(VRC-VRA)+IC*(VRA-VRB))/SQRT(3) 98QPAR =(IPARA*(VRB-VRC)+IPARB*(VRC-VRA)+IPARC*(VRA-VRB))/SQRT(3) 90VRA 1. 90VRB 1. 90VRC 1. 98VRRMS 66+XX0058 60. 98XX0058 =VRA-VRB C Valor en pu. 1 pu = 200 MVA 98PREFS =1 C Valor en pu. 1 pu = 200 MVA 98QREFS =0 C Valor en pu. 1 pu = 200 MVA 98QREFP =0 98XX1363 =(SCS) 98XX1361 =(SBS) 98XX1355 =(SAS) 98XX1349 =(.NOT.SAS) 98XX1351 =(.NOT.SBS) 98XX1353 =(.NOT.SCS)

173

91ISA 10. 91ISB 10. 90VSSA 10. 90VSSB 10. 90VSSC 10. 99IDREFS =3*(PREFS*VRD+QREFS*VRQ)/(VRD**2+VRQ**2) 99IQREFS =3*(PREFS*VRQ-QREFS*VRD)/(VRD**2+VRQ**2) 98SAS =MAS.GT.VTRI 98SBS =MBS.GT.VTRI 98SCS =MCS.GT.VTRI 99EVR =VRA/(230E3/SQRT(3))-YVR 88BVR =TAVR*EVR 88TAVR =-SIN(PDPVR) 0DWVR +DVR 10. 1AVR +DPVR 1. 1. 1. 0.01 88WDWVR =DWVR+OMEGAR 88XX1455 =DELTAT*WDWVR 0DVR +BVR 10. 88PDPVR 65+XX1455 88DPVR =PDPVR-PVR 99XX1469 =DELTAT*OMEGAR 88PVR 65+XX1469 88CVR =EVR*TVR C Este PLL sigue cosenoidales. 88TVR =COS(PDPVR) 88XX1465 =DELTAT*GVR 99IS1 =ISA/(200E6/(SQRT(3)*230E3)) 98IS2 =ISB/(200E6/(SQRT(3)*230E3)) C Secuencia cero nula. Un transductor menos. 98IS3 =-(ISA+ISB)/(200E6/(SQRT(3)*230E3)) 88AMVR 65+XX1465 98WTAIS =OMEGAR*TIMEX+AVR 98IDDS =ALFAIS*COS(WTAIS)+BETAIS*SIN(WTAIS) 98IQQS =-SIN(WTAIS)*ALFAIS+COS(WTAIS)*BETAIS 88BETAIS =SQRT(2/3)*((SQRT(3)/2)*IS2+(-SQRT(3)/2)*IS3) 88ALFAIS =SQRT(2/3)*(IS1+(-1/2)*IS2+(-1/2)*IS3) 88YVR =AMVR*TVR 0GVR +CVR 100. 99EIS =IS1/(200E6/(SQRT(3)*230E3))-YIS 88BIS =TAIS*EIS 88TAIS =-SIN(PDPIS) 0DWIS +DIS 10. 88WDWIS =DWIS+OMEGAR 88XX1481 =DELTAT*WDWIS 0DIS +BIS 10. 88PDPIS 65+XX1481 98YIS =AMIS*TIS 99XX1511 =DELTAT*OMEGAR 98PSERIE =200E6*(VRD*IDS+VRQ*IQS)/3 98QSERIE =200E6*(VRQ*IDS-VRD*IQS)/3 1IDS +IDDS 1. 1. 1. 5.E-5 88PIS 65+XX1511 88CIS =EIS*TIS 88TIS =COS(PDPIS) 88XX1501 =DELTAT*GIS 1IQS +IQQS 1. 1. 1. 5.E-5 88AMIS 65+XX1501 0GIS +CIS 100. 1AIS +DPIS 1. 1.

174

1. 0.01 98DPIS =PDPIS-PIS 99VR2 =VRB/(230E3/SQRT(3)) 91ISC 10. 99EVSS =VSA-YVSS 88BVSS =TAVSS*EVSS 88TAVSS =-SIN(PDPVSS) 0DWVSS +DVSS 100. 88WDWVSS =DWVSS+OMEGAR 88XX1539 =DELTAT*WDWVSS 0DVSS +BVSS 100. 88PDPVSS65+XX1539 98YVSS =AMVSS*TVSS 99XX1565 =DELTAT*OMEGAR 88PVSS 65+XX1565 88CVSS =EVSS*TVSS 88TVSS =COS(PDPVSS) 88XX1559 =DELTAT*GVSS 88AMVSS 65+XX1559 0GVSS +CVSS 100. 1AVSS +DPVSS 1. 1. 1. 0.01 98DPVSS =PDPVSS-PVSS 99EVS =VSA/(230E3/SQRT(3))-YVS 88BVS =TAVS*EVS 88TAVS =-SIN(PDPVS) 0DWVS +DVS 10. 88WDWVS =DWVS+OMEGAR 88XX1387 =DELTAT*WDWVS 0DVS +BVS 10. 88PDPVS 65+XX1387 98YVS =AMVS*TVS 99WT3 =DELTAT*OMEGAR 88PVS 65+WT3 88CVS =EVS*TVS 88TVS =COS(PDPVS) 88XX1581 =DELTAT*GVS 88AMVS 65+XX1581 0GVS +CVS 100. 1AVS +DPVS 1. 1. 1. 0.01 98DPVS =PDPVS-PVS 98VRD =ALFAVR*COS(WTAVR)+BETAVR*SIN(WTAVR) C Secuencia cero nula. Un transductor menos. 99VR3 =-(VRA+VRB)/(230E3/SQRT(3)) 98VRQ =-SIN(WTAVR)*ALFAVR+COS(WTAVR)*BETAVR 88BETAVR =SQRT(2/3)*((SQRT(3)/2)*VR2+(-SQRT(3)/2)*VR3) 88ALFAVR =SQRT(2/3)*(VR1+(-1/2)*VR2+(-1/2)*VR3) 88WTAVR =OMEGAR*TIMEX+AVR 99VR1 =VRA/(230E3/SQRT(3)) 99DVAX =SQRT(2/3)*(DVALFA)*(14E3/SQRT(3)) 98DVALFA =DVD*COS(WTAVR-30*PI/180)-DVQ*SIN(WTAVR-30*PI/180) 98DVBETA =SIN(WTAVR-30*PI/180)*DVD+COS(WTAVR-30*PI/180)*DVQ C SIN(OMEGAR*TIMEX) 99MAS =DVAX*2/(POS-NEG) C SIN(OMEGAR*TIMEX-120*PI/180) 98MBS =DVBX*2/(POS-NEG) C SIN(OMEGAR*TIMEX-240*PI/180) 98MCS =DVCX*2/(POS-NEG) 98DVBX =SQRT(2/3)*((-1/2)*DVALFA+(SQRT(3)/2)*DVBETA)*(14E3/SQRT(3)) C Secuencia cero nula. Un transductor menos. 98DVCX =SQRT(2/3)*((-1/2)*DVALFA+(-SQRT(3)/2)*DVBETA)*(14E3/SQRT(3)) 90VSA 10. 90VSB 10.

175

90VSC 10. 98SAP =MA.GT.VTRI 98SBP =MB.GT.VTRI 98SCP =MC.GT.VTRI 98XX1637 =(.NOT.SAP) 98XX1635 =(.NOT.SBP) 98XX1601 =(.NOT.SCP) 90NEG 10. 90POS 10. 90VPC 10. 91VXA 10. 91VXB 10. 90VPA 10. 98XX1639 =(SCP) 98XX1623 =(SBP) 98XX1621 =(SAP) 90VPB 10. 98FS =4980 98AMPL =4.0*FS 98SQPUL =AMPL*(UNITY-PULS) 99VPAX =SQRT(2/3)*(VALFA)*14E3/SQRT(3) 98VALFA =VPD*COS(WTAVS-0*PI/180)-VPQ*SIN(WTAVS-0*PI/180) 98VBETA =SIN(WTAVS-0*PI/180)*VPD+COS(WTAVS-0*PI/180)*VPQ 99MA =VPAX*2/(POS-NEG) 98MB =VPBX*2/(POS-NEG) C Secuencia cero nula. Un transductor menos. 98MC =VPCX*2/(POS-NEG) 98VPBX =SQRT(2/3)*((-1/2)*VALFA+(SQRT(3)/2)*VBETA)*14E3/SQRT(3) 98VPCX =SQRT(2/3)*((-1/2)*VALFA+(-SQRT(3)/2)*VBETA)*14E3/SQRT(3) 99VS2 =VSB/(230E3/SQRT(3)) 98VSD =ALFAV*COS(WTAVS)+BETAV*SIN(WTAVS) C Secuencia cero nula. Un transductor menos. 99VS3 =-(VSA+VSB)/(230E3/SQRT(3)) 98VSQ =-SIN(WTAVS)*ALFAV+COS(WTAVS)*BETAV 88BETAV =SQRT(2/3)*((SQRT(3)/2)*VS2+(-SQRT(3)/2)*VS3) 88ALFAV =SQRT(2/3)*(VS1+(-1/2)*VS2+(-1/2)*VS3) 88WTAVS =OMEGAR*TIMEX+AVS 99VS1 =VSA/(230E3/SQRT(3)) 98VDELTA =SQPUL*DELTAT 98VTRI 65+VDELTA 23PULS 2. .0002 .0001 5.1E-5 99IDREFP =3*(PREFP*VSD+QREFP*VSQ)/(VSD**2+VSQ**2) 99IQREFP =3*(PREFP*VSQ-QREFP*VSD)/(VSD**2+VSQ**2) 98PREFP =PLOSS 98PP =200E6*(VSD*IDP+VSQ*IQP)/3 98QP =200E6*(VSQ*IDP-VSD*IQP)/3 99IP1 =VXA/(200E6/(SQRT(3)*14E3)) 98IP2 =VXB/(200E6/(SQRT(3)*14E3)) C Secuencia cero nula. Un transductor menos. 98IP3 =-(VXA+VXB)/(200E6/(SQRT(3)*14E3)) 98WTAIP =OMEGAR*TIMEX+AVS 98IPPD =ALFAIP*COS(WTAIP)+BETAIP*SIN(WTAIP) 98IPPQ =-SIN(WTAIP)*ALFAIP+COS(WTAIP)*BETAIP 88BETAIP =SQRT(2/3)*((SQRT(3)/2)*IP2+(-SQRT(3)/2)*IP3) 88ALFAIP =SQRT(2/3)*(IP1+(-1/2)*IP2+(-1/2)*IP3) 1IDP +IPPD 1. 1. 1. 5.E-5 1IQP +IPPQ 1. 1. 1. 5.E-5 0PLOSS +XX0573 .01 98XX0573 =VREF-(POS-NEG) 11VREF 5.6E4 10. 98DVD =KRDS+KQS 98VPQ =KRQP+KPP

176

98VPD =KRDP+KQP 98DVQ =KRQS+KPS 98Z8 56+XX1691 1. -0.05 0 0 1 0.05 0 9999. 98N38 56+XX1691 1. -1000 0 -1 1 -0.9025 0 9999. 98N28 56+XX1691 1. -1 0 -0.9025 1 -0.05 0 9999. 98N18 56+XX1691 1. -0.9025 0 -0.05 1 0 0 9999. 98XX1705 =(IQREFP-IQP) 98P18 56+XX1691 1. 0 0 0.05 1 0.9025 0 9999. 98P28 56+XX1691 1. 0.05 0 0.9025 1 1 0 9999. 98P38 56+XX1691 1. 0.9025 0 1 1 1000 0 9999. 98U18 =Z8*(0)+P18*(0.2)+P28*(0.95)+P38*(1) 98U20 =Z9*(0)+P19*(0.2)+P29*(0.95)+P39*(1) 98KPP =(U17+U18)*0.2 98Z9 56+XX1705 1. -0.05 0 0 1 0.05 0 9999. 98N39 56+XX1705 1. -1000 0 -1 1 -0.9025 0 9999. 98XX1691 =-(IDREFP-IDP) 98N29 56+XX1705 1. -1 0 -0.9025 1 -0.05 0 9999. 98N19 56+XX1705 1. -0.9025 0 -0.05 1 0 0 9999. 98P19 56+XX1705 1. 0 0 0.05 1 0.9025 0

177

9999. 98P29 56+XX1705 1. 0.05 0 0.9025 1 1 0 9999. 98P39 56+XX1705 1. 0.9025 0 1 1 1000 0 9999. 98U19 =N39*(-1)+N29*(-0.95)+N19*(-0.2) 98U21 =N310*(-1)+N210*(-0.95)+N110*(-0.2) 98KQP =(U19+U20)*0.2 98Z11 56+XX0733 1. -0.05 0 0 1 0.05 0 9999. 98N311 56+XX0733 1. -1000 0 -1 1 -0.9025 0 9999. 98N211 56+XX0733 1. -1 0 -0.9025 1 -0.05 0 9999. 98N111 56+XX0733 1. -0.9025 0 -0.05 1 0 0 9999. 98XX0733 =-(IQREFP-IQP) 98P111 56+XX0733 1. 0 0 0.05 1 0.9025 0 9999. 98P211 56+XX0733 1. 0.05 0 0.9025 1 1 0 9999. 98P311 56+XX0733 1. 0.9025 0 1 1 1000 0 9999. 98Z10 56+XX0785 1. -0.05 0 0 1 0.05 0 9999. 98U24 =Z11*(0)+P111*(0.2)+P211*(0.95)+P311*(1) 98U23 =N311*(-1)+N211*(-0.95)+N111*(-0.2) 98N310 56+XX0785 1. -1000 0 -1 1 -0.9025 0 9999. 98N210 56+XX0785 1. -1 0 -0.9025 1 -0.05 0

178

9999. 98N110 56+XX0785 1. -0.9025 0 -0.05 1 0 0 9999. 98XX0785 =-(IDREFP-IDP) 98P110 56+XX0785 1. 0 0 0.05 1 0.9025 0 9999. 98P210 56+XX0785 1. 0.05 0 0.9025 1 1 0 9999. 98P310 56+XX0785 1. 0.9025 0 1 1 1000 0 9999. 98U22 =Z10*(0)+P110*(0.2)+P210*(0.95)+P310*(1) 98KRDP =(U21+U22)*10 98KRQP =(U23+U24)*10 98U17 =N38*(-1)+N28*(-0.95)+N18*(-0.2) 98KRDS =(U151+U152)*5.2 98KRQS =(U161+U162)*5.2 98Z7 56+XX1761 1. -0.075 0 0 1 0.075 0 9999. 98N37 56+XX1761 1. -1000 0 -1 1 -0.76 0 9999. 98N27 56+XX1761 1. -1 0 -0.76 1 -0.075 0 9999. 98N17 56+XX1761 1. -0.76 0 -0.075 1 0 0 9999. 98P17 56+XX1761 1. 0 0 0.075 1 0.76 0 9999. 98P27 56+XX1761 1. 0.075 0 0.76 1 1 0 9999. 98P37 56+XX1761 1. 0.76 0 1 1 1000 0 9999. 98XX1747 =(IDREFS-IDS) 98XX1761 =(IQREFS-IQS) 98Z6 56+XX1747 1.

179

-0.075 0 0 1 0.075 0 9999. 98N36 56+XX1747 1. -1000 0 -1 1 -0.76 0 9999. 98N26 56+XX1747 1. -1 0 -0.76 1 -0.075 0 9999. 98N16 56+XX1747 1. -0.76 0 -0.075 1 0 0 9999. 98P16 56+XX1747 1. 0 0 0.075 1 0.76 0 9999. 98P26 56+XX1747 1. 0.075 0 0.76 1 1 0 9999. 98P36 56+XX1747 1. 0.76 0 1 1 1000 0 9999. 98U162 =Z7*(0)+P17*(0.5)+P27*(0.95)+P37*(1) 98U152 =Z6*(0)+P16*(0.5)+P26*(0.95)+P36*(1) 98U151 =N36*(-1)+N26*(-0.95)+N16*(-0.5) 98U161 =N37*(-1)+N27*(-0.95)+N17*(-0.5) 98EA =(IDREFS-IDS) 98EB =-(IQREFS-IQS) 98N31 56+XX1096 1. -1000 0 -1 1 -0.76 0 9999. 98P31 56+XX1096 1. 0.76 0 1 1 1000 0 9999. 98A30 =N2*P11*N12 98N2 56+XX1113 1. -1 0 -0.667 1 -0.334 0 9999. 98N1 56+XX1113 1. -0.667 0 -0.334 1 0 0 9999. 98Z 56+XX1113 1. -0.334 0 0 1 0.334 0 9999.

180

98A31 =N1*P11*Z2 98A9 =N2*N21*N32 98A16 =N2*N11*N32 98A23 =N2*Z1*N22 98A10 =N1*N21*N32 98A17 =N1*N11*N22 98A24 =N1*Z1*N12 98A11 =Z*N21*N22 98N3 56+XX1113 1. -1000 0 -1 1 -0.667 0 9999. 98A18 =Z*N11*N12 98A25 =Z*Z1*Z2 98U1 =A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7 98A32 =Z*P11*P12 98P1 56+XX1113 1. 0 0 0.334 1 0.667 0 9999. 98P2 56+XX1113 1. 0.334 0 0.667 1 1 0 9999. 98A37 =N2*P21*Z2 98A38 =N1*P21*P12 98A39 =Z*P21*P22 98A12 =P1*N21*N12 98A19 =P1*N11*Z2 98N34 56+XX1269 1. -1000 0 -1 1 -0.76 0 9999. 98P34 56+XX1269 1. 0.76 0 1 1 1000 0 9999. 98B30 =N23*P14*N15 98N23 56+XX1286 1. -1 0 -0.667 1 -0.334 0 9999. 98A26 =P1*Z1*P12 98A33 =P1*P11*P22 98A40 =P1*P21*P32 98A13 =P2*N21*Z2 98A20 =P2*N11*P12 98A27 =P2*Z1*P22 98A34 =P2*P11*P32 98A41 =P2*P21*P32 98N21 56+XX1096 1. -1 0 -0.76 1 -0.075 0 9999. 98N11 56+XX1096 1. -0.76 0 -0.075 1 0 0 9999.

181

98Z1 56+XX1096 1. -0.075 0 0 1 0.075 0 9999. 98P11 56+XX1096 1. 0 0 0.075 1 0.76 0 9999. 98P21 56+XX1096 1. 0.075 0 0.76 1 1 0 9999. 98U2 =A8+A9+A10+A11+A12+A13+A14 98U3 =A15+A16+A17+A18+A19+A20+A21 98U4 =A22+A23+A24+A25+A26+A27+A28 98U5 =A29+A30+A31+A32+A33+A34+A35 98UA =U1+U2+U3+U4+U5+U6+U7 98N22 =-0.95 98N12 =-0.5 98Z2 =0 98P12 =0.5 98P22 =0.95 98P3 56+XX1113 1. 0.667 0 1 1 1000 0 9999. 98N32 =-1 98P32 =1 98A44 =N2*P31*P12 98A45 =N1*P31*P22 98A46 =Z*P31*P32 98A47 =P1*P31*P32 98A48 =P2*P31*P32 98U6 =A36+A37+A38+A39+A40+A41+A42 98A2 =N2*N31*N32 98A3 =N1*N31*N32 98A4 =Z*N31*N32 98A5 =P1*N31*N22 98A6 =P2*N31*N12 98U7 =A43+A44+A45+A46+A47+A48+A49 98A35 =P3*P11*P32 98A29 =N3*P11*N22 98A14 =P3*N21*P12 98A21 =P3*N11*P22 98A28 =P3*Z1*P32 98A8 =N3*N21*N32 98A15 =N3*N11*N32 98A22 =N3*Z1*N32 98A42 =P3*P21*P32 98A36 =N3*P21*N12 98A49 =P3*P31*P32 98A43 =N3*P31*Z2 98A7 =P3*N31*Z2 98A1 =N3*N31*N32 C Derivada, Ge 1XX1096 +XX1095 .0005 -1. 1. 1. 1. 1.E-6 C Integral 1XX1095 +EA 1. 1. 1.

182

C Gie 0XX1113 +XX1095 1. C KI 0KPS +UA 1.E3 98N13 56+XX1286 1. -0.667 0 -0.334 1 0 0 9999. 98Z3 56+XX1286 1. -0.334 0 0 1 0.334 0 9999. 98B31 =N13*P14*Z5 98B9 =N23*N24*N35 98B16 =N23*N14*N35 98B23 =N23*Z4*N25 98B10 =N13*N24*N35 98B17 =N13*N14*N25 98B24 =N13*Z4*N15 98B11 =Z3*N24*N25 98N33 56+XX1286 1. -1000 0 -1 1 -0.667 0 9999. 98B18 =Z3*N14*N15 98B25 =Z3*Z4*Z5 98U8 =B1+B2+B3+B4+B5+B6+B7 98B32 =Z3*P14*P15 98P13 56+XX1286 1. 0 0 0.334 1 0.667 0 9999. 98P23 56+XX1286 1. 0.334 0 0.667 1 1 0 9999. 98B37 =N23*P24*Z5 98B38 =N13*P24*P15 98B39 =Z3*P24*P25 98B12 =P13*N24*N15 98B19 =P13*N14*Z5 98B26 =P13*Z4*P15 98B33 =P13*P14*P25 98B40 =P13*P24*P35 98B13 =P23*N24*Z5 98B20 =P23*N14*P15 98B27 =P23*Z4*P25 98B34 =P23*P14*P35 98B41 =P23*P24*P35 98N24 56+XX1269 1. -1 0 -0.76 1 -0.075 0 9999. 98N14 56+XX1269 1. -0.76 0 -0.075 1 0 0 9999. 98Z4 56+XX1269 1. -0.075 0

183

0 1 0.075 0 9999. 98P14 56+XX1269 1. 0 0 0.075 1 0.76 0 9999. 98P24 56+XX1269 1. 0.075 0 0.76 1 1 0 9999. 98U9 =B8+B9+B10+B11+B12+B13+B14 98U10 =B15+B16+B17+B18+B19+B20+B21 98U11 =B22+B23+B24+B25+B26+B27+B28 98U12 =B29+B30+B31+B32+B33+B34+B35 98UB =U8+U9+U10+U11+U12+U13+U14 98N25 =-0.95 98N15 =-0.5 98Z5 =0 98P15 =0.5 98P25 =0.95 98P33 56+XX1286 1. 0.667 0 1 1 1000 0 9999. 98N35 =-1 98P35 =1 98B44 =N23*P34*P15 98B45 =N13*P34*P25 98B46 =Z3*P34*P35 98B47 =P13*P34*P35 98B48 =P23*P34*P35 98U13 =B36+B37+B38+B39+B40+B41+B42 98B2 =N23*N34*N35 98B3 =N13*N34*N35 98B4 =Z3*N34*N35 98B5 =P13*N34*N25 98B6 =P23*N34*N15 98U14 =B43+B44+B45+B46+B47+B48+B49 98B35 =P33*P14*P35 98B29 =N33*P14*N25 98B14 =P33*N24*P15 98B21 =P33*N14*P25 98B28 =P33*Z4*P35 98B8 =N33*N24*N35 98B15 =N33*N14*N35 98B22 =N33*Z4*N35 98B42 =P33*P24*P35 98B36 =N33*P24*N15 98B49 =P33*P34*P35 98B43 =N33*P34*Z5 98B7 =P33*N34*Z5 98B1 =N33*N34*N35 C Derivada, Ge 1XX1269 +XX1268 .0005 -1. 1. 1. 1. 1.E-6 C Integral 1XX1268 +EB 1. 1. 1. C Gie 0XX1286 +XX1268 1.

184

C KI 0KQS +UB 1.E3 33PUPFC 33QUPFC 33P 33PPAR 33Q 33QPAR 33VRRMS 33PSERIE 33QSERIE 33AVS 33YVSS 33PP 33QP 33XX0573 33PREFP 33KRDS 33KRQS 33N36 33N26 33N16 33Z6 33P16 33P26 33P36 33N38 33N28 33N18 33P18 33P28 33P38 33KPP 33N39 33N29 33N19 33P19 33P29 33P39 33KQP 33N311 33N211 33N111 33P111 33P211 33P311 33XX0733 33N310 33N210 33N110 33P110 33P210 33P310 33XX0785 33KRDP 33KRQP 33N31 33P3 33XX1096 33N2 33N1 33Z 33N34 33P33 33N3 33N21

185

33N11 33Z1 33UA 33XX1095 33XX1096 33XX1113 33XX1269 33N23 33N13 33Z3 33N33 33N24 33N14 33Z4 33UB 33XX1268 33XX1269 33XX1286 C 1 2 3 4 5 6 7 8 C 345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 /BRANCH C < n 1>< n 2><ref1><ref2>< R >< L >< C > C < n 1>< n 2><ref1><ref2>< R >< A >< B ><Leng><><>0 1 IPARA VRA 5.29 26.45 2 IPARB VRB 5.29 26.45 3 IPARC VRC 5.29 26.45 VSA VSSA 1.E+9 2 VSB VSSB 1.E+9 2 VSC VSSC 1.E+9 2 1 IA VRA 5.29 26.45 2 IB VRB 5.29 26.45 3 IC VRC 5.29 26.45 C 200 Mw X0053A 264.5 3 X0053B 264.5 3 X0053C 264.5 3 XX0074ISB 1.E-6 0 XX0076ISA 1.E-6 0 POS NEG 3.E4 2 XX0080ISC 1.E-6 0 VSA XX0076 1.E-6 0 VSB XX0074 1.E-6 0 VSC XX0080 1.E-6 0 XX0098VSSB 26.45 0 SB XX0098 5.29 0 XX0102VSSC 26.45 0 XX0108NEG 6.3E-6 0 XX0091XX1343 6.3E-6 0 XX0111NEG 6.3E-6 0 XX0096XX1319 6.3E-6 0 XX0114NEG 6.3E-6 0 C 0.001/zb=6.25e-6 XX0105XX1329 6.3E-6 0 XX1343XX1319 1.E+9 2 XX0134VSSA 26.45 0 SA XX0134 5.29 0 SC XX0102 5.29 0 C para m=1 m*Vd/2=28kV rms=28kV/raiz(2)=19.799kV*raiz(3)=34.293kV por Delta TRANSFORMER TX0001 0 9999 1SA XX1321 .001 .00133197. 2XX1343XX1319 .001 .00134293. SA XX1321 1.E+9 2 C para m=1 m*Vd/2=28kV rms=28kV/raiz(2)=19.799kV*raiz(3)=34.293kV por Delta TRANSFORMER TX0002 0 9999

186

1SB XX1369 .001 .00133197. 2XX1319XX1329 .001 .00134293. C para m=1 m*Vd/2=28kV rms=28kV/raiz(2)=19.799kV*raiz(3)=34.293kV por Delta TRANSFORMER TX0003 0 9999 1SC XX1515 .001 .00133197. 2XX1329XX1343 .001 .00134293. VPA VPB 1.E+9 2 C C = 0.01 microF C pu = C*Zb VSB .01 0 C R=0.117 X=0.35 TRANSFORMER TX0004 0 9999 1VSB 15.5 46.132.79 2VXB XX0480 .17199 .5145 14. C R=0.117 X=0.35 TRANSFORMER TX0005 0 9999 1VSC 15.5 46.132.79 2XX0480VXA .17199 .5145 14. C C = 0.01 microF C pu = C*Zb VSA .01 0 XX0459VPC 6.3E-6 0 XX0456VPB 6.3E-6 0 XX0453VPA 6.3E-6 0 XX0468NEG 6.3E-6 0 XX0465NEG 6.3E-6 0 XX0462NEG 6.3E-6 0 C C = 0.01 microF C pu = C*Zb VSC .01 0 C C = 0.01 microF C pu = C*Zb VSB VSA .01 0 C C = 0.01 microF C pu = C*Zb VSC VSB .01 0 C R=0.117 X=0.35 TRANSFORMER TX0006 0 9999 1VSA 15.5 46.132.79 2VXA VXB .17199 .5145 14. /SWITCH C < n 1>< n 2>< Tclose ><Top/Tde >< Ie ><Vf/CLOP >< type > VSA IPARA MEASURING 1 VSB IPARB MEASURING 1 VSC IPARC MEASURING 1 VSSA IA MEASURING 1 VSSB IB MEASURING 1 VSSC IC MEASURING 1 VRA X0053A MEASURING 1 VRB X0053B MEASURING VRC X0053C MEASURING ISA XX1321 MEASURING 1 13POS XX0091 XX1355 0 ISB XX1369 MEASURING 1 13POS XX0096 XX1361 0 13POS XX0105 XX1363 0 13XX1343XX0108 XX1349 0 13XX1319XX0111 XX1351 0 13XX1329XX0114 XX1353 0 ISC XX1515 MEASURING 1 VXA VPA MEASURING 1 VXB VPB MEASURING 1 13POS XX0453 XX1621 0 13POS XX0456 XX1623 0 13POS XX0459 XX1639 0 13VPA XX0462 XX1637 0 13VPB XX0465 XX1635 0

187

13VPC XX0468 XX1601 0 XX0480VPC MEASURING 1 /SOURCE C < n 1><>< Ampl. >< Freq. ><Phase/T0>< A1 >< T1 >< TSTART >< TSTOP > 14VSA 0 187794. 60. -1. 1. 14VSB 0 187794. 60. -120. -1. 1. 14VSC 0 187794. 60. 120. -1. 1. /INITIAL 2POS 2.8E4 2NEG -2.8E4 3POS NEG 5.6E4 /OUTPUT BLANK TACS BLANK BRANCH BLANK SWITCH BLANK SOURCE BLANK INITIAL BEGIN NEW DATA CASE

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