ESTUDIO DINÁMICO DE UN BALÓN DE FÚTBOL TESIS DE …
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ESTUDIO DINÁMICO DE UN BALÓN DE FÚTBOL TESIS DE PREGRADO AUTOR JUAN SEBASTIÁN PFEIFFER PULIDO ASESOR ALVARO ENRIQUE PINILLA SEPÚLVEDA PhD, M. Sc UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica Bogotá, Colombia Enero de 2010
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ESTUDIO DINÁMICO DE UN BALÓN DE FÚTBOL
TESIS DE PREGRADO
AUTOR
JUAN SEBASTIÁN PFEIFFER PULIDO
ASESOR
ALVARO ENRIQUE PINILLA SEPÚLVEDA
PhD, M. Sc
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Mecánica
Bogotá, Colombia
Enero de 2010
Bogotá D.C, Enero de 2010
Doctor
ALEJANDRO MARAÑON
Director Depto. de Ing. Mecánica
Universidad de los Andes
Ciudad
Respetado Doctor,
Por medio de la presento someto a su consideración la tesis “ESTUDIO
DINÁMICO DE UN BALÓN DE FÚTBOL” elaborada por JUAN SEBASTIÁN
PFEIFFER PULIDO como requisito para optar al título de Ingeniero Mecánico.
Atentamente,
Álvaro E. Pinilla Sepúlveda
Asesor
Bogotá D.C, Enero de 2010
Doctor
ALEJANDRO MARAÑON
Director Depto. de Ing. Mecánica
Universidad de los Andes
Ciudad
Respetado Doctor,
Por medio de la presento someto a su consideración la tesis “ESTUDIO
DINÁMICO DE UN BALÓN DE FÚTBOL” como requisito para optar al título de
Ingeniero Mecánico.
Atentamente,
JUAN SEBASTIÁN PFEIFFER PULIDO
AGRADECIMIENTOS
Quiero expresar mis más sinceros agradecimientos al profesor Álvaro Pinilla
por todas sus enseñanzas durante la carrera y en especial, durante esta
investigación.
Así mismo, quiero agradecer al personal del Laboratorio de Ingeniería Mecánica,
en especial a Juancho y sobre todo Omar, por toda su ayuda, colaboración y
aportes que hicieron que esta investigación se cumpliera con éxito.
Por último, agradezco infinitamente a mi familia y amigos por todo el apoyo
brindado durante estos 5 años de fracasos, éxitos, sufrimientos y alegrías en los
cuales nunca dejaron de estar a mi lado y brindaron ayuda cuando lo necesité.
Sin ninguno de ellos, nada de esto hubiera sido posible.
GRACIAS
CONTENIDO
1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................. 9
1.1 MOTIVACIÓN, JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVOS ....................................... 9
1.2 HISTORIA DEL BALÓN DE FÚTBOL ...................................................... 10
1.3 ESTUDIOS PREVIOS Y GENERALIDADES ........................................... 12
2 TEORIA CIENTÍFICA DE UN BALÓN DE FÚTBOL ....................................... 14
2.1 EXPLICACIÓN BÁSICA ........................................................................... 14
2.2 AERODINÁMICA DE UN BALÓN DE FÚTBOL ....................................... 15
2.3 REBOTE DEL BALON DE FUTBOL ........................................................ 18
2.3.1 Generalidades rebote del balón de fútbol .......................................... 18
2.3.2 Coeficiente de Restitución ................................................................. 19
2.3.3 Rebote con giro inducido ................................................................... 20
3 METODO EXPERIMENTAL ........................................................................... 28
3.1 EXPLICACIÓN GENERAL ....................................................................... 28
3.2 DISEÑO DEL MONTAJE ......................................................................... 29
3.3 TOMA DE DATOS.................................................................................... 34
3.4 PROCESAMIENTO DE DATOS .............................................................. 37
4 RESULTADOS ............................................................................................... 42
4.1 CARACTERISTICAS DEL BALÓN........................................................... 42
4.1.1 Coeficiente de Restitución ................................................................. 42
4.1.2 Momento de Inercia ........................................................................... 43
4.2 CURVAS AERODINAMICAS ................................................................... 44
4.3 CURVAS DE REBOTE ............................................................................. 45
5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .................................................. 49
6 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 52
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.2-1 Esquema y componentes en la fabricación de un balón de fútbol.
Fuente (Laguna, 2007) .......................................................................................... 11
Figura 2.2-1 Fuerzas aerodinámicas presentes en un balón de fútbol durante el
vuelo ...................................................................................................................... 15
Figura 2.2-2 Coeficiente de Arrastre en función del número de Reynolds Fuente:
(Asai & Seo, 2007) ................................................................................................ 17
Figura 2.2-3 Trayectorias del despeje de un balón en diferentes condiciones ...... 18
Figura 2.3-1 Esquema de momento del rebote de un balón de fútbol ................... 19
Figura 2.3-2 Rebote con ángulo de incidencia y velocidad rotacional Imagen
adaptada de (Wesson, 2002) ................................................................................ 21
Figura 2.3-3 Fuerzas presentes en el rebote de un balón girando ........................ 21
Figura 2.3-4 Movimiento de la bola en el suelo durante el rebote Imagen tomada
de (Wesson, 2002) ................................................................................................ 22
Figura 2.3-5 Componentes de las velocidades de aproximación y rebote Imagen
adaptada de (Wesson, 2002) ................................................................................ 23
Figura 2.3-6 Caída vertical de balón con giro ........................................................ 24
Figura 2.3-7 Velocidad angular posterior al rebote en función de la velocidad
angular anterior al rebote ...................................................................................... 26
Figura 2.3-8 Componente horizontal de la velocidad de rebote en función de la
velocidad angular anterior al rebote ...................................................................... 26
Figura 2.3-9 Angulo de rebote para diferentes superficies en función de la
velocidad angular anterior al rebote ...................................................................... 27
Figura 2.3-10 Coeficiente de pérdida de energía para diferentes superficies en
función de la velocidad angular anterior al rebote ................................................. 27
Figura 3.2-1 Vista frontal del montaje .................................................................... 30
Figura 3.2-2 Vista lateral izquierda del montaje .................................................... 30
Figura 3.2-3 Vista frontal detallada de mecanismo de rotación y sujeción ............ 31
Figura 3.2-4 Vista detallada de elementos ............................................................ 32
Figura 3.2-5 Vástago recogido para liberar el balón .............................................. 32
Figura 3.2-6 Funcionamiento del montaje ............................................................. 33
Figura 3.2-7 Péndulo bifilar para medición de momento de inercia ....................... 34
Figura 3.3-1 Péndulo Bifilar ................................................................................... 34
Figura 3.3-2 Montaje completo de filmación .......................................................... 35
Figura 3.3-3 Superposición de imágenes para cálculo del coeficiente de restitución
.............................................................................................................................. 36
Figura 3.3-4 Superposición de imágenes que registra la filmación ....................... 36
Figura 3.4-1 Visualización programa Tracker ........................................................ 37
Figura 3.4-2 Diagrama de fuerzas de un balón en movimiento ............................. 38
Figura 3.4-3 Muestra de la hoja de calculo ........................................................... 40
Figura 3.4-4 Trayectorias simuladas y reales para 3 lanzamientos ....................... 41
Figura 4.2-1 Coeficiente de Arrastre. Imagen adaptada de (Laguna, 2007) ......... 44
Figura 4.2-2 Coeficiente de Sustentación en función de parámetro de giro. Imagen
adaptada de (Passmore, Tuplin, Spencer, & Jones, 2007) ................................... 45
Figura 4.3-1 Velocidad angular de rebote ............................................................. 46
Figura 4.3-2 Velocidad horizontal de rebote .......................................................... 47
Figura 4.3-3 Angulo de rebote ............................................................................... 48
Figura 4.3-4 Coeficiente de Pérdida de Energía ................................................... 48
LISTA DE TABLAS
Tabla 1.2-1 Reglamentación FIFA para balones de fútbol Fuente: (Laguna, 2007)
.............................................................................................................................. 12
Tabla 2.3-1 Coeficiente de Restitución teórico para diferentes superficies según
(Wesson, 2002) ..................................................................................................... 20
Tabla 3.3-1 Momentos de inercia para diferentes balones a diferentes presiones y
el teórico para un balón estándar según FIFA....................................................... 35
Tabla 4.1-1 Coeficiente de Restitución Adidas en Concreto ................................. 42
Tabla 4.1-2 Coeficiente de Restitución Golty en Concreto .................................... 42
Tabla 4.1-3 Coeficiente de Restitución para los 2 balones a 0,61 bar (9 PSI) en las
3 superficies .......................................................................................................... 43
Tabla 4.1-4 Radio de balón Adidas a 0,61 y 1,02 bar (9 y 15 PSI) ........................ 43
Tabla 4.1-5 Radio de balón Golty a 0,61 y 1,02 bar (9 y 15 PSI) .......................... 43
1 INTRODUCCIÓN
1.1 MOTIVACIÓN, JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVOS
Desde comienzos del siglo 20, el futbol ha sido considerado como el deporte
universal, conocido y practicado por millones de personas en todos los
países del mundo. Paralelamente, se ha podido ver cómo en los últimos
años, las inversiones en ese ámbito han presentado un enorme crecimiento
que actualmente se ve directamente reflejado en temas como las grandes
sumas de dinero invertidas en contrataciones de jugadores y grandes
construcciones de estadios entre otros.
Esto resalta la creciente y gran importancia que actualmente tiene este
deporte en el planeta. Hoy en día, es cada vez más común encontrar en el
mercado cómo las grandes marcas deportivas sacan al mercado nuevos y
sofisticados productos como camisetas, guayos, guantes y balones, con un
importante desarrollo tecnológico sobre el cual las empresas hacen énfasis
para vender sus productos. Uno de éstos, y que últimamente ha causado
gran polémica, es el elemento esencial del deporte: el balón de fútbol. En
efecto, se ha podido ver como hoy en día las reconocidas empresas a nivel
mundial sacan novedosos diseños de balones con diferentes tipos de
manufactura, con el fin no solo de dar un mayor espectáculo sino también
para satisfacer las demandas y consejos de jugadores profesionales. Dicho
esto, debido a la fuerte competencia existente entre las diferentes fábricas, la
información técnica y resultados de diferentes desarrollos que estas
empresas puedan tener, se clasifica como información comercial privada y
por ende, poco se encuentra publicado en la literatura, lo que impide tener un
conocimiento más detallado sobre el tema de los balones de futbol. Siendo
un deporte universal con tan magna importancia, es deseable entonces
realizar estudios para entender más a fondo los aspectos técnicos y
científicos del tema, no sólo para científicos e ingenieros sino para que
también la gente aficionada al futbol pueda entender en sus propios términos
que aspectos influyen y son de alta importancia a la hora del juego, más aún
en nuestro país, donde el futbol es tan importante.
Por tal razón y ya que también existe interés por parte de empresas
colombianas manufactureras de balones de obtener conocimiento más
calificado, el objetivo de esta investigación es hacer un estudio del
comportamiento dinámico y aerodinámico de diferentes balones de fútbol de
una forma experimental empleando diseños nacionales e importados,
analizar sus diferencias desde un punto de vista teórico y plasmar esta
información de forma didáctica para que cualquier aficionado al futbol la
pueda leer y entender sin mayor esfuerzo. Más explícitamente se
desarrollará un modelo teórico del rebote de un balón de fútbol con su
posterior trayectoria
1.2 HISTORIA DEL BALÓN DE FÚTBOL
Desde el momento en que se tienen registrados los inicios de los juegos de
pelota (2500 A.C.), los humanos han utilizado diferente fibras naturales para
la fabricación de estas. Se han usado diferentes construcciones desde bolas
de cuero de animal rellenas de arena, hasta vejigas de cerdo forradas con
una capa de cuero. Para efectos del fútbol, se puede decir que es esta ultima
la que dio inició al deporte conocido mundialmente hoy en día. En efecto,
después de que los egipcios usaran este diseño por primera vez y que los
romanos lo retomaran posteriormente, gracias a su imperio y expansión en
las Islas Británicas, con el paso del tiempo se pudo ir desarrollando en
Escocia e Inglaterra los deportes que hoy conocemos como rugby y fútbol.
Sin embargo, no es sino hasta 1848 con la aparición del Primer Reglamento
de Cambridge que buscaba clarificar y unificar las diferentes reglas con que
se jugaba, que se da inicio a la historia moderna del futbol. A partir de
entonces, surgieron las diferentes asociaciones de futbol como la Asociación
Inglesa de Futbol (1863) a la cual siguieron la Escocesa (1873), Irlandesa
(1880) y muchas otras más gracias a una fuerte y rápida expansión que
obligó a la creación de la FIFA en 1904 con el objetivo de unificar y
reglamentar el futbol a nivel internacional.1
Desde entonces, se ha ido desarrollando y modificando la construcción del
balón de futbol en los diferentes países del mundo en que se practica. Se
pasó entonces de un diseño rustico y artesanal consistente en una vejiga de
cerdo forrada por capas de cuero cocido a mano, hasta los diseños de hoy
en día con materiales de ingeniería (algunos patentados) con diferentes
capas y formas de unirlas. En la Figura 1.2-1 se pueden ver esquemas de
fabricación para diferentes diseños.
Figura 1.2-1 Esquema y componentes en la fabricación de un balón de fútbol.
Fuente (Laguna, 2007)
Actualmente, las empresas no solo patentan sus diseños sino también su
proceso de fabricación con materiales patentados como lo es el caso de
Adidas® FINALE con su cubierta de IMPRANIL® fabricada por Bayer.
Esto conlleva entonces a pensar en todo el desarrollo existente para que
estos productos salgan al mercado y por ende, sobre que estudios son
realizados por parte de estas empresas y cuáles son sus objetivos.
Sin embargo, con toda esta diversidad que puede existir en diseños y
características y para evitar una alta variabilidad en el comportamiento de los
balones, la FIFA decidió implementar una regulación que los balones deben
cumplir para poder ser usados en partidos oficiales. Esta reglamentación se
puede ver en la Tabla 1.2-1
1 Información tomada de (Laguna, 2007)
Tabla 1.2-1 Reglamentación FIFA para balones de fútbol Fuente: (Laguna, 2007)
1.3 ESTUDIOS PREVIOS Y GENERALIDADES
Si bien desde los años 50’s se han desarrollado estudios científicos
publicados en la literatura sobre deportes de pelota como el golf, beisbol, o
cricket, han sido muy pocos los que se han realizado y publicado sobre el
fútbol. Sólo hasta comienzos del siglo 21, se empezó a publicar información
sobre este tema con autores como Carré, Asai y Haake de la Universidad de
Sheffield (Reino Unido) (Carré, Asai, Akasuka, & Haake, 2002) entre otros,
apoyados en gran parte por la ISEA (International Sports Engineering
Association). Estos estudios han buscado principalmente caracterizar y
encontrar parámetros aerodinámicos de diferentes balones de fútbol para así
poder inferir conclusiones sobre el comportamiento en función de su diseño
tanto en sus trayectorias como en el momento de ser pateados.
Con relación a estos estudios, en nuestro país más específicamente en la
Universidad de los Andes, también se han realizado trabajos sobre este
tema. El primero de estos, realizado por Laguna (Laguna, 2007) se basó en
un análisis aerodinámico de balones a escala y en el cual se obtuvieron
resultados acertados, pero en donde estos modelos reducidos no
correspondían exactamente a los diseños reales en aspectos como la
rugosidad e instalación y colocación de los paneles exteriores. Un segundo
estudio, realizado por Jiménez (Jimenez, 2009), consistió en diseñar un
experimento y medir parámetros del balón en tamaño real gracias al nuevo
túnel de viento de la Universidad de los Andes. Este estudio arrojó resultados
acertados en cuanto a la medición del arrastre de diferentes esferas.
Es importante anotar que la preocupación por estudiar factores
aerodinámicos ha dejado de lado el estudio de otras características
importantes del balón como lo es el impacto en el suelo o el rebote. Por esta
razón, el objetivo de este proyecto, lo cual lo diferencia de los análisis
anteriormente mencionados y lo convierte en un buen aporte a la literatura
castellana sobre este tema, es el estudio del rebote y posterior trayectoria en
el aire del balón de fútbol bajo diferentes condiciones en diferentes
superficies de juego.
Habiendo presentado entonces el contexto general y colombiano en cuanto
al estudio científico de los balones de fútbol, el siguiente capítulo consistirá
en la explicación teórica de los fenómenos físicos y mecánicos presentes en
un balón a la hora del juego. Se intentará hacer esta explicación lo más
simple y didáctica posible como se mencionó anteriormente.
2 TEORIA CIENTÍFICA DE UN BALÓN DE FÚTBOL
2.1 EXPLICACIÓN BÁSICA
Muchos deportes de pelota como el tenis, golf, o basquetbol entre otros,
consisten en darle un impulso inicial de alguna forma a una pelota que
posteriormente sigue una trayectoria en el aire y posteriormente cae
produciendo un rebote. Sin embargo, como cualquier persona puede
percatarse, el vuelo de una pelota de golf es mucho más largo que el de un
balón de fútbol y a su vez el de éste es mucho más largo que el de una
pelota de tenis. Así mismo, tanto en el tenis como en el futbol, el momento
del rebote es importante ya que este condiciona como tiene que estar
preparado el jugador para hacer contacto con la pelota ya sea para
responder en el caso del tenis o para controlar, recibir, patear o atrapar el
balón, en el caso del futbol. Esto muestra entonces que si bien se trata de
pelotas de las cuales podría esperarse un comportamiento similar, la realidad
es que su diseño, tamaño y demás aspectos de la construcción, acentúan las
diferencias y condiciona en gran parte el desarrollo del juego. Por esta razón,
se hace muy interesante el estudio de estas características para pelotas del
mismo deporte con diversos diseños para saber cómo influyen estas
diferencias en el juego. En este caso, para el fútbol se puede resumir las
situaciones antes mencionadas en dos fenómenos físicos:
Impacto: Al momento de ser pateado y de rebotar, el balón es
sometido a impactos tanto con el pie del jugador como con la
superficie de juego.
Trayectoria en el aire: Dependiendo del impacto recibido, el
balón hace una trayectoria que puede ser recta o curva y con
diferente alcance de distancia o rango.
Como se mencionó anteriormente el enfoque de este proyecto es estudiar el
rebote de un balón de fútbol y su posterior trayectoria en el aire. Para esto,
se procederá entonces a explicar la teoría con respecto al vuelo en el aire y
del rebote de un balón de fútbol.
2.2 AERODINÁMICA DE UN BALÓN DE FÚTBOL
Cuando un balón de futbol se desplaza en el aire siente exactamente lo
mismo, una fuerza que intenta desplazarlo hacia atrás, sin embargo el
impulso que trae le permite seguir su vuelo. La Figura 2.2-1 muestra un
diagrama de las fuerzas a las cuales es sometido un balón de fútbol durante
el vuelo.
Figura 2.2-1 Fuerzas aerodinámicas presentes en un balón de fútbol durante el vuelo
Las ecuaciones que relacionan estas fuerzas son las siguientes:
Peso: 𝑊 = 𝑚𝑏𝑎𝑙𝑜𝑛 𝑔
Fuerza de arrastre: 𝐹𝐷 =1
2𝐶𝐷𝜌𝑉
2𝐴
Fuerza de arrastre: 𝐹𝐿 =1
2𝐶𝐿𝜌𝑉
2𝐴
Donde 𝐶𝐷 y 𝐶𝐿 son los coeficientes de arrastre y sustentación
respectivamente,
𝑉 es la velocidad de desplazamiento del balón en m/s,
𝜌 es la densidad del fluido en kg/m3,
𝐴 es el área frontal del balón en m2 (𝐴 = 𝜋𝑟2),
𝑚𝑏𝑎𝑙𝑜𝑛 es la masas del balón en kg,
𝑔 es la aceleración gravitacional de la tierra (𝑔 = 9.81𝑚/𝑠2 )
Una vez definidas estas fuerzas es importante explicar su existencia. Pues
bien, a medida que el balón atraviesa este fluido, debido a que el aire tiene
una viscosidad, éste intenta pegarse al balón y por ende se va generando un
arrastre del aire contrario al movimiento del balón, conocido como su nombre
lo indica como Fuerza de Arrastre.
Así mismo, ya que el balón esta en rotación, se produce un efecto conocido
como el efecto Magnus descubierto en 1852 por el físico alemán Heinrich
Magnus. Con el sentido de giro mostrado en la Figura 2.2-1, el flujo de aire
en la parte superior del balón no solo es debido al movimiento lineal del
balón, sino también se le agrega una componente de velocidad debido al aire
que se pega en la superficie por la rotación del balón. En la parte inferior
sucede lo opuesto: el aire es arrastrado por el movimiento lineal pero debido
a la rotación del balón, cierta cantidad de aire que se pega al balón es
movida en dirección opuesta lo que conlleva una disminución de la velocidad
del viento. Se tiene entonces en la parte inferior, una velocidad de viento
menor que en la parte superior y por el principio de Bernoulli existe entonces
mayor presión abajo que arriba, lo que genera entonces una fuerza vertical
hacia arriba que intenta elevar el balón creando así la fuerza de sustentación.
Para una explicación más detallada de estos fenómenos se puede consultar
(White, 2003).
Así mismo, para poder evaluar diferentes geometrías en diferentes
condiciones, se estableció el número adimensional de Reynolds, el cual
involucra propiedades geométricas, dinámicas y físicas y con el cual se
trazan las curvas típicas de 𝐶𝐷 = 𝑓 𝑅𝑒 𝑦 𝐶𝐿 = 𝑓(𝑅𝑒). En las se pueden ver
curvas típicas para los balones de fútbol de acuerdo a los estudios de Carré
(Carré, Asai, Akasuka, & Haake, 2002) y Asai (Asai & Seo, 2007).
Figura 2.2-2 Coeficiente de Arrastre en función del número de Reynolds Fuente: (Asai & Seo, 2007) Adaptación del autor
Como se puede ver en la Figura 2.2-2, la existencia de diferentes valores de
estos parámetros aerodinámicos hace que las trayectorias en al aire de cada
balón sean diferentes. La Figura 2.2-3 muestra las trayectorias de lo que
sería el vuelo de un balón despejado por el arquero a una velocidad inicial de
30m/s con ángulo de 35° a diferentes condiciones. Esto con el fin de poder
comparar y cuantificar el efecto de las diferencias con o sin presencia de la
fuerza de arrastre en ciudades a diferente altura como Bogotá y Cartagena.
Estas trayectorias se realizan con un modelo teórico del vuelo, el cual se
explica detalladamente en la sección 3.4. Para este caso, se tomó un
coeficiente de arrastre 𝐶𝐷 = 0.5 tanto para Bogotá, como para Cartagena.
Figura 2.2-3 Trayectorias del despeje de un balón en diferentes condiciones
2.3 REBOTE DEL BALON DE FUTBOL
2.3.1 Generalidades rebote del balón de fútbol
En el fútbol, el rebote es un momento importante del juego ya que de este
depende la facilidad del control del balón que tenga el jugador. Muchas
veces el balón rebota inesperadamente con un movimiento extraño conocido
coloquialmente como “pique”, en donde la trayectoria posterior al rebote
desubica al jugador, y por cosas de este tipo se producen goles y jugadas
que al verlos en televisión inmediatamente se califica como error del jugador.
Es claro que este fenómeno depende tanto del terreno como del balón, sin
embargo una explicación técnica facilitaría la comprensión de este
fenómeno. Las siguientes explicaciones se basan en el estudio y modelos
desarrollados por John Wesson (Wesson, 2002), quien explica simple y
claramente a grandes rasgos la física entorno del rebote de un balón de
fútbol.
2.3.2 Coeficiente de Restitución
Cualquier persona ha podido percatarse de que al soltar un balón de fútbol
en cualquier superficie, este rebota un número finito de veces hasta quedar
en reposo en el suelo. Así mismo, ha podido ver que cuando un balón está
más desinflado que otro, su rebote es menor, y este queda en reposo en el
suelo con una mayor rapidez.
La Figura 2.3-1 muestra un esquema del fenómeno del rebote de un balón
en caída libre que permite una simple explicación de éste. Se puede ver que
justo en el momento del rebote, el suelo ejerce una reacción sobre el balón
para que este posteriormente se eleve. Debido a que el balón tiene cierta
presión interna P igualmente distribuida por todo el balón, la reacción
ejercida es proporcional al área de contacto (𝐹 = 𝑃𝐴) y por ende entre mayor
presión tenga el balón, mayor será la reacción del suelo sobre el balón. Se
tendrá entonces una mayor fuerza del suelo impulsando el balón hacia arriba
y por ende una mayor altitud. Así mismo, debido a la elasticidad del material
del balón, este se deforma a lo largo del contacto con el suelo, causando así
una pérdida de energía.
Se tiene entonces dos aspectos cruciales que evalúan el rebote: la presión
interna del balón y el tipo de superficie que hace deformar el balón. Para
cuantificar este fenómeno, existe una relación conocida come el coeficiente
F
P P
P P
P
P P
Figura 2.3-1 Esquema de momento del rebote de un balón de fútbol
de restitución 𝑒 que para este caso, relaciona las alturas inicial y posterior 1y
2 del rebote de la siguiente forma:
𝑒 =𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜
𝑣𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜=𝑉2
𝑉1
En una caída libre, por conservación de energía, toda la energía potencial se
transforma en energía cinética y se tiene entonces lo siguiente:
𝑚𝑔1 =1
2𝑚𝑉1
2 → 𝑉1 = 2𝑔1
𝑚𝑔2 =1
2𝑚𝑉2
2 → 𝑉2 = 2𝑔2
𝑒 =𝑉2
𝑉1=
2
1
La Tabla 2.3-1 resume resultados teóricos de estudios previos (Wesson,
2002) del coeficiente de restitución de un balón de fútbol en diferentes
superficies.
Tabla 2.3-1 Coeficiente de Restitución teórico para diferentes superficies según (Wesson, 2002)
El coeficiente de restitución permite entonces anticipar o inferir sobre la
velocidad vertical posterior conociendo su velocidad vertical de aproximación
o su altura inicial.
2.3.3 Rebote con giro inducido
En la realidad, generalmente antes del rebote, el balón de fútbol viene con
cierto ángulo de incidencia y una velocidad rotacional. Por ende, este debe
rebotar con cierto ángulo de rebote y una velocidad rotacional. La velocidad
de aproximación se puede descomponer en sus componentes vertical y
horizontal así como la velocidad de rebote. Esto permitirá entonces hacer un
análisis separado para cada condición que facilitará la comprensión del tema.
La Figura 2.3-2 muestra un diagrama ilustrando la situación mencionada
Pasto Largo Pasto Corto Superficie dura
e 0,5 0,6 0,8
Figura 2.3-2 Rebote con ángulo de incidencia y velocidad rotacional Imagen adaptada de (Wesson, 2002)
Para el caso ilustrado se tiene entonces que el balón viene con una
velocidad de giro 𝜔0, una velocidad horizontal 𝑢0, una velocidad vertical 𝑣0
con ángulo de incidencia 𝜃0 . Posterior al rebote, el balón sale con una
velocidad de giro 𝜔1, una velocidad horizontal 𝑢1, una velocidad vertical 𝑣1 y
un ángulo de rebote 𝜃1.
Al descomponer por ejes las velocidades, y dada la existencia del coeficiente
de restitución, se puede inmediatamente concluir la relación entre las
velocidades verticales.
𝑣1 = 𝑒 ⋅ 𝑣0
Una vez deducido esto se puede entonces concentrar en el análisis para las
velocidades horizontales y rotacionales.
Figura 2.3-3 Fuerzas presentes en el rebote de un balón girando
Como se ve en la Figura 2.3-3, cuando una bola con giro inducido toca el
suelo, es sometida a una fuerza de fricción 𝐹𝑓 . Esta fuerza de fricción es
proporcional a la fuerza normal 𝐹𝑁 y está definida como 𝐹𝑓 = 𝜇 ⋅ 𝐹𝑁, donde 𝜇
es el coeficiente de fricción estático entre el balón y la superficie. Por la
segunda ley de Newton se tiene:
𝑚𝑑𝑢
𝑑𝑡= 𝐹𝑓
Así mismo, esta fuerza de fricción produce un momento par que produce un
cambio en la velocidad angular del balón de radio 𝑟 con momento de inercia
𝐼. Aplicando de nuevo la segunda ley de Newton para movimiento rotacional
se obtiene:
𝐼𝑑𝜔
𝑑𝑡= −𝐹𝑓 ⋅ 𝑟
Combinando las ecuaciones anteriores:
𝑑𝜔
𝑑𝑡= −
𝑚𝑟
𝐼
𝑑𝑢
𝑑𝑡
Δ𝜔 = −𝑚𝑟
𝐼Δ𝑢
Con esto, se encuentra entonces una relación entre las velocidades
rotacionales y horizontales del balón antes y después del rebote.
Así mismo, una vez la fuerza de fricción frena el giro rotacional del balón,
este rueda sobre el piso como se ve en la Figura 2.3-4.
Figura 2.3-4 Movimiento de la bola en el suelo durante el rebote
Imagen tomada de (Wesson, 2002)
Se encuentra entonces que la velocidad horziontal del balón despues del
rebote es:
𝑢 = 𝜔 ⋅ 𝑟
Teniendo la componente horizontal y vertical de la velocidad de rebote, es
posible encontrar el ángulo de rebote 𝜃1 como se ve en la Figura 2.3-5:
Figura 2.3-5 Componentes de las velocidades de aproximación y rebote
Imagen adaptada de (Wesson, 2002)
tan 𝜃1 = 𝑣1
𝑢1
Resumiendo las explicaciones anteriores, se encuentran 4 ecuaciones que
gobiernan el rebote de un balón de fútbol:
𝑣1 = 𝑒 ⋅ 𝑣0
𝜔1 − 𝜔0 = −𝑚𝑟
𝐼 𝑢1 − 𝑢0
𝑢1 = 𝜔1 ⋅ 𝑟
𝜃1 = tan−1 𝑣1
𝑢1
Por ende, si se sabe las condiciones de acercamiento al rebote (velocidad
lineal y rotacional) se puede entonces predecir teoricamente las velocidades
horizontal, vertical y rotacional así como el ángulo de rebote.
Figura 2.3-6 Caída vertical de balón con giro
Para el caso particual de la Figura 2.3-6, al soltar un balón desde cierta altura
unicamente con una velocidad rotacional y sin velocidad horizontal, justo
antes del rebote se tiene:
𝑢0 = 0 𝑚
𝑠 , 𝜔0 = 𝑘
𝑟𝑎𝑑
𝑠 , 𝑣0 = 2𝑔0
𝑚
𝑠
Combinando con las ecuaciones previas, se tiene entonces:
𝑣1 = 𝑒 2𝑔0
𝜔1 = −𝑚𝑟
𝐼𝑢1 + 𝜔0
Al reemplazar con la condición de rodadura del balón se tiene:
𝜔1 = −𝑚𝑟
𝐼𝜔1𝑟 + 𝜔0
𝜔1 =𝜔0
1 +𝑚𝑟2
𝐼
𝑢1 =𝜔0𝑟
1 +𝑚𝑟2
𝐼
Y por último para el ángulo de rebote:
tan 𝜃1 =𝑣1
𝑢1=
𝑒 2𝑔0
𝜔0𝑟
1 +𝑚𝑟2
𝐼
→ tan 𝜃1 =𝑒 2𝑔0
𝜔0𝑟 1 +
𝑚𝑟2
𝐼
Con esto se establecen entonces 4 principales relaciones que permiten
evaluar el comportamiento del balón posterior al rebote con tan solo dos
datos: la altura inicial 0 y la velocidad inicial de rotación 𝜔0. Por ende, para
una misma altura, se obtienten curvas de velocidad horizontal, rotacional y
angulo de rebote en función de la velocidad inicial de giro. Así mismo, se
puede obtener un coeficiente de perdida de energía del balón al hacer una
relación de las energías anterior y posterior al rebote. Esas 4 relaciones
principales desarolladas son las guías del presente estudio y son las que se
comprobaran experimentalmente posteriormente.
Velocidad vertical de salida 𝑣1 = 𝑒 2𝑔0
Velocidad angular de salida 𝜔1 =𝜔0
1 +𝑚𝑟2
𝐼
Velocidad horizontal de salida 𝑢1 =𝜔0𝑟
1 +𝑚𝑟2
𝐼
Coeficiente de perdida de energia 𝐶𝑝𝑒𝑟𝑑 =𝐸1
𝐸0
=
12
𝐼𝜔12 + 𝑚 𝜔1 ⋅ 𝑟
2 + 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑒 ⋅ 0
12 𝐼𝜔0
2 + 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ 0
Es importante anotar que estas curvas teóricas se calculan con los valores
promedio de la reglamentación FIFA, es decir una masa 𝑚 = 0.43𝑘𝑔 y
𝑟 = 0.11𝑚 y con el momento de inercia teórico de una esferza hueca
𝐼 =2
3𝑚𝑟2. Según esto, el momento de inercio teórico de un balón de fútbol
sería 3.4 ∗ 10−3𝑘𝑔 ⋅ 𝑚2.
Así mismo, las Figura 2.3-7 a Figura 2.3-10 muestran las curvas teoricas de
las relaciones mencinoadas anteriormente para 3 superficies de juego
diferentes.
Figura 2.3-7 Velocidad angular posterior al rebote en función de la velocidad angular anterior al rebote
Figura 2.3-8 Componente horizontal de la velocidad de rebote en función de la velocidad angular anterior al rebote
Figura 2.3-9 Angulo de rebote para diferentes superficies en función de la velocidad angular anterior al rebote
Figura 2.3-10 Coeficiente de pérdida de energía para diferentes superficies en función de la velocidad angular anterior al rebote
Es importante percatarse que tanto para el coeficiente de perdida de energia
como para el angulo de rebote, la superficie de juego (dura como el concreto,
de pasto corto como la grama sintetica o de pasto largo como la grama
natural) influye mediante el coeficiente de restitución. Sin embargo, la
velocidad rotacional y horizontal posterior al giro dependen unicamente de la
velocidad rotacional inicial. Por ende, estas dos ultimas deberían
comportarse de la misma forma en cualquier tipo de superficie.
Una vez obtenidas estas relaciones del comportamiento teorico de un balón
tanto aerodinámico como de rebote, se puede evaluar experimentalmente
diferentes balones para así comparar los datos experimentales con los
teóricos.
3 METODO EXPERIMENTAL
3.1 EXPLICACIÓN GENERAL
Hoy en día existen diferentes métodos para estudiar el comportamiento
dinámico de objetos como lo son sensores, simulaciones en computador y
análisis de movimiento por grabación en alta velocidad entre otros. Sin
embargo, el acceso y uso de algunas de estas tecnologías es muy
restringido debido a sus altos costos o complejidad. Por esta razón, para el
presente estudio se deicidio utilizar la grabación en alta velocidad debido a
su fácil acceso y uso. Este metodo que se basa en el análisis de posición
paso a paso (o cuadro por cuadro) permite no solo encontrar velocidas y
aceleraciones sino tambíen inferir indirectamente parametros aerodinámicos
del balón de futbol como 𝐶𝐷 y 𝐶𝐿. Se le da el nombre de grabación de alta
velocidad ya que a diferencia de grabadoras convencionales cuya frecuencia
de grabación es de 30 cuadros por segundo (30 FPS), las cámaras de alta
velocidad permiten frecuencias de grabación mayores a 100 FPS, lo que
resulta en la obtención de un mayor número de posiciones por unidad de
tiempo y por ende mayor precisión. Para este caso, se usó una cámara de
fácil acceso Sony® DVR-DVD505 que permite una grabación a 120 FPS
durante 3 segundos, ideal para las velocidades en las que viaja un balón
(inferior a 35m/s). Al tener definida esta tecnología, el siguiente proceso fue
diseñar un montaje robusto que permitiera hacer varias mediciones
repetibles y controladas en diferentes condiciones. Los balones analizados
en el presente estudio son el balón GOLTY ELDORADO® y el ADIDAS
FINALE®. La siguiente sección ilustra el diseño y funcionamiento del
montaje.
3.2 DISEÑO DEL MONTAJE
Una de las primeras necesidades del montaje es que este fuera
estructuralmente solido pero liviano y de fácil transporte para
experimentación en diferentes superficies. Así mismo, su manejo debía ser
controlado para evitar el error humano lo más posible. Este debería funcionar
para análisis de caída libre del balón (sin giro inducido) con el objetivo de
medir el coeficiente de restitución así como induciendo una velocidad
rotacional al balón para analizar su posterior rebote. Se decidió usar un
motor eléctrico DC conectado a una fuente, la cual permitió restrinigir la
entrada de votlaje y corriente para así controlar el giro del balón y un
actuador neumático acoplado a una electroválvula que permitía soltar el
balón en el momento indicado en condiciones controladas.
Las Figura 3.2-1 y Figura 3.2-2 son vistas generales del montaje. En estas se
puede ver la estructura de soporte hecha de perfil de HR en L de 1/8” de
grosor. Esto garantiza rigidez y a su vez, un facil transporte debido a un bajo
peso. Así mismo se puede observar la altura de la cual se suelta el balón de
aproximadamente unos 95cm.
Figura 3.2-1 Vista frontal del montaje
Figura 3.2-2 Vista lateral izquierda del montaje
Las Figura 3.2-3 y Figura 3.2-4 son vistas en detalle de los elementos
principales del mecanismo de rotación. El motor eléctrico DC conectado al
eje de rotación derecho permite darle giro rotacional al balón. Este se regula
con el paso de corriente y voltaje de la fuente eléctrica para así darle al balón
la velocidad angular deseada. Así mismo, del lado izquierdo se encuentra un
acople entre el vástago del actuador y el eje izquierdo de rotación que
permite una libre rotación con una fricción mínima debido a unos
rodamientos internos en el acople construido. De esta forma el balón gira
libremente antes de ser liberado por el recogimiento del vástago (Figura
3.2-5) del actuador activado mediante la electroválvula. El balón es sujetado
a estos elementos mediante dos copas de sujeción con material
antideslizante lo que evita un deslizamiento y permite trabajar con una
minima presión de contacto en el actuador (1,36 bar (20PSI)) para asi evitar
deformaciones en el balón.
Figura 3.2-3 Vista frontal detallada de mecanismo de rotación y sujeción
Figura 3.2-4 Vista detallada de elementos
Figura 3.2-5 Vástago recogido para liberar el balón
La Figura 3.2-6 muestra como es el funcionamiento del montaje. Este se
resume en los siguientes pasos:
1. Sujeción del balón por las copas con actuador presionando
2. Alimentación de voltaje y corriente de la fuente al motor DC
3. Control de velocidad angular del balon mediante restricción de
corriente al motoro DC y medición de velocidad con tacómetro digital
Amtek® en el eje de salida
4. Una vez obtenida la velocidad angular deseada, activación de la
electroválvula y recogimiento del vastago (acople, eje izquierdo y copa
de sjuecion)
5. Caida vertical del balón a cierta velocidad angular deseada
Figura 3.2-6 Funcionamiento del montaje
Uno de los objetivos secundarios del montaje fue la necesidad de poder
medir el momento de inercia de cada balón. Con este montaje se logró esto,
gracias a la ayuda de un pendulo bifilar con la simple adición de una barra de
acero de ¼”, nylon y cinta para sujetar el balón como se ve en la Figura
3.2-7.
Figura 3.2-7 Péndulo bifilar para medición de momento de inercia
Ya que se ha dado una explicación del funcionamiento del montaje y sus
diferentes usos, la siguiente sección explicará como se realiza la toma de
datos de cada uso.
3.3 TOMA DE DATOS
El uso más básico del montaje fue el de medir el momento de inercia de los
balones Adidas FINALE® y Golty ELDORADO® por medio de un montaje
que permite esto: el péndulo bifilar.
Con el esquema de la Figura 3.3-1 el momento de inercia se encuentra por
medio de la medición del periodo de oscilación del balón. Una vez se le da
un giro inferior a 10°, el balón empieza a oscilar alrededor de su posición de
equilibrio repetidamente lo que permite medir el periodo de oscilación (se
cuentan 10 períodos y se encuentra el tiempo total que después es
promediado para encontrar el periodo 𝑇𝑝 en segundos). Una vez obtenido
D
L=26cm
Figura 3.3-1 Péndulo Bifilar
este periodo y sabiendo la masa m del balón, las medidas R y L, el momento
de inercia se encuentra con la relación:
𝐼 =𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝐷2 ⋅ 𝑇𝑝
2
16 ⋅ 𝜋2 ⋅ 𝐿
Tabla 3.3-1 Momentos de inercia para diferentes balones a diferentes presiones y el teórico para un balón estándar según FIFA
El uso principal del montaje como se mencionó anteriormente es la filmación
en alta velocidad del comportamiento dinámico del balón en diferentes
condiciones. La Figura 3.3-2 muestra una fotografía del montaje completo
con la cámara en posición para realizar las filmaciones.
Figura 3.3-2 Montaje completo de filmación
La activación de la filmación de alta velocidad se realiza con la ayuda de un
control remoto y así se garantiza el fácil uso de todo el montaje ya que solo
0,61 bar
(9PSI)
1,02 bar
(15 PSI)
Diferencia
entre 0,61 y
1,02 bar
Teorico balón
estándar FIFA
ADIDAS 3,31*10-3 3,33*10-3 0,57% 3,47*10-3
GOLTY 3,22*10-3 3,38*10-3 4,97% 3,47*10-3
Momento Inercia (kg.m2)
se requiere de una persona para operarlo. Siendo así, justo antes de activar
la válvula, se empieza la filmación y quedan registrados tanto la caída como
el rebote del balón. Las Figura 3.3-3 y Figura 3.3-4 muestran un ejemplo con
superposición de imágenes que registra la filmación tanto para la medición
del coeficiente de restitución como para el rebote del balón con giro inducido.
Es importante notar la presencia de un fondo que contrarreste los colores del
balón para una mejor localización a la hora del procesamiento de datos.
Figura 3.3-3 Superposición de imágenes para cálculo del coeficiente de restitución
Figura 3.3-4 Superposición de imágenes que registra la filmación
3.4 PROCESAMIENTO DE DATOS
Una vez obtenidas las filmaciones para cada prueba, se procedió a realizar el
procesamiento de los datos. En primera instancia, fue necesario buscar la
mejor forma de convertir los videos sin perder gran cantidad de información
de formato .mpg que produce la cámara, a formato .avi para análisis. Se
encontró como mejor opción la versión gratuita del programa Prism Video
Converter© de NCH Software. Una vez convertidos, fue posible usar el
programa gratuito de análisis de movimiento por video Tracker© del profesor
Douglas Brown de Cabrillo College, CA, USA. Este programa permite ir
marcando cuadro a cuadro la posición del balón gracias a una escala dada
por el fondo utilizado del cual se saben las medidas reales. Esto permite
entonces saber las coordenadas del balón cada 1/120s o 8,33 ms. La Figura
3.4-1 ilustra el uso del software y sus resultados. Una vez se obtienen las
coordenadas reales del balón para cada lanzamiento se usa esta información
para calcular las variables objetivo presentadas en la sección 2.3.3
(𝑒, 𝑣1,𝑢1,𝜔1,𝜃1 ,𝐶𝑝𝑒𝑟𝑑 ).
Figura 3.4-1 Visualización programa Tracker
El cálculo del coeficiente de restitución no tiene ninguna complicación ya que
es simplemente hacer la relación de alturas como se mencionó en la sección
2.3.2. Sin embargo, para las otras variables, se usa una hoja de cálculo en
Excel® con un modelo teórico del vuelo de un balón en un plano gracias a
las coordenadas (x, y). Este modelo se explica a continuación.
Figura 3.4-2 Diagrama de fuerzas de un balón en movimiento
En la Figura 3.4-2 Diagrama de fuerzas de un balón en movimientose
muestra el diagrama de cuerpo libre de un balón en movimiento que viaja a
una velocidad V, a cierto ángulo θ con la horizontal. La sumatoria de fuerzas
se ve a continuación.
𝐹𝑦 = 𝑚𝑦 = −𝑚𝑔 − 𝐹𝑑 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝐹𝑙 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐹𝑥 = 𝑚𝑥 = −𝐹𝑑 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐹𝑙 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝐹𝐷 = 𝐶𝐷 ⋅1
2⋅ 𝜌 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑉2
𝐹𝐿 = 𝐶𝐿 ⋅1
2⋅ 𝜌 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑉2
Por lo tanto se tiene para las aceleraciones:
𝑦 =−𝑚𝑔 − 𝐹𝑑 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝐹𝑙 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑚
𝑥 =−𝐹𝑑 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐹𝑙 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑚
Por otro lado, ya que se tienen las coordenadas x,y del balón cada Δ𝑡, se
tiene las ecuaciones de Euler:
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖 Δ𝑡 +1
2𝑥𝑖 Δ𝑡
2
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦𝑖 Δ𝑡 +1
2𝑦𝑖 Δ𝑡
2
Entonces para cada Δ𝑡, se puede calcular velocidad y aceleración del balón.
Esto permite el cálculo de las fuerzas a cada paso. Por ende, al poner todas
las variables en función de parámetros de entrada, gracias al Solver de
Excel, al minimizar la diferencia de mínimos cuadrados entre la trayectoria
simulada y la real medida con la filmación, se encuentran los valores de
𝑣1 ,𝑢1,𝑦 𝜃1 así como de 𝐶𝐷 y 𝐶𝐿. La Figura 3.4-3 muestra una parte de la hoja
de cálculo que permite encontrar las variables objetivo. En esta se puede ver
los valores de las componentes x,y paso a paso tanto de velocidades como
de aceleraciones. Así mismo, se ven las posiciones x,y tanto real como
simulada y la diferencia de mínimos cuadrados. Los parámetros resaltados
son los que el Solver calcula y los que se reportan en las gráficas de
resultados.
Figura 3.4-3 Muestra de la hoja de calculo
El procedimiento anterior se repite para cada lazamiento. La Figura 3.4-4
muestra 3 lanzamientos en donde se ve la trayectoria real del balón y la
simulada con la cual se encuentran las variables objetivo. Notese el buen
ajuste entre las dos trayectorias.
Figura 3.4-4 Trayectorias simuladas y reales para 3 lanzamientos. Para las simuladas se usó un coeficiente de arrastre de 0.5 y de sustentación de 0.2
Una vez explicado todo el método experimental con la toma y procesamiento
de datos, en el siguiente capítulo se presentarán los resultados obtenidos a
lo largo de este proyecto.
4 RESULTADOS
4.1 CARACTERISTICAS DEL BALÓN
4.1.1 Coeficiente de Restitución
Como se mencionó en la sección 2.3.2, la presión interna del balón debería
influir en el coeficiente de restitución. Por esta razón, se decidió probar los
dos balones en las 3 superficies de prueba (concreto, grama sintética y
grama natural) para presiones cercanas a las límites exigidas por la FIFA de
0.6 a 1.1 bar. Esto equivale a presiones manométricas de 8.8 y 16.2 PSI y
por ende dadas las recomendaciones impresas de los fabricantes en cada
balón se decidió probar para presiones de 0,61 y 1,02 bar (9 y 15 PSI). Las
primeras pruebas se realizaron en concreto y los resultados se pueden ver
en las Tabla 4.1-1 y Tabla 4.1-2.
Tabla 4.1-1 Coeficiente de Restitución Adidas en Concreto
Tabla 4.1-2 Coeficiente de Restitución Golty en Concreto
Al observar los resultados, se encontró como se esperaba, que el coeficiente
de restitución si aumentaba de 0,61 a 1,02 bar (9 a 15 PSI), sin embargo
este cambio fue inferior al 3%. Para comprobar este resultado, se hizo la
misma prueba en grama sintética que confirmó la hipótesis anterior. La Tabla
4.1-3 muestra el resumen de los resultados del coeficiente de restitución para
los 2 balones en las 3 superficies de prueba. Nótese que los valores
encontrados en este proyecto son un poco más altos que los reportados en
la literatura. (Ver Tabla 2.3-1)
Tabla 4.1-3 Coeficiente de Restitución para los 2 balones a 0,61 bar (9 PSI) en las 3
superficies
4.1.2 Momento de Inercia
Para la medición del momento de inercia se procedió el mismo racionamiento
que para el coeficiente de restitución. Deicidio medirse tanto el radio, como el
período de oscilación a 0,6 y 1,02 bar (9 y 15 PSI) y ver el cambio entre
estas 2 presiones. Las Tabla 4.1-4 y Tabla 4.1-5 muestran el radio y su
variación.
Tabla 4.1-4 Radio de balón Adidas a 0,61 y 1,02 bar (9 y 15 PSI)
Tabla 4.1-5 Radio de balón Golty a 0,61 y 1,02 bar (9 y 15 PSI)
Como para el coeficiente de restitución se encontró entonces que la variación
de estas características propias a cada balón es inferior al 5% y por ende se
considera despreciable. Por tal razón, dado que el cambio en función de la
presión de varias propiedades para cada balón era despreciable, se decidió
entonces que las pruebas de rebote con giro inducido se podían realizar a
una sola presión definida igual para los 2 balones de 0,61 bar (9 PSI).
4.2 CURVAS AERODINAMICAS
Las Figura 4.2-1 y Figura 4.2-2 muestran los resultados de los parámetros
aerodinámicos 𝐶𝐷 y 𝐶𝐿 para cada balón. Nótese que el rango en el cual se
mueve el Reynolds no es muy grande dado que existe la limitación de la
velocidad a la cual rebota el balón. Sin embargo, tanto los coeficientes de
arrastre como sustentación encontrados, siguen la tendencia de los estudios
previos en túneles de viento por especialistas del tema. Es importante anotar
la tendencia del coeficiente de sustentación de estabilizarse alrededor de 0.2
a partir de un parámetro de giro igual a 0.6. Esto indicaría entonces que sin
importar el aumento de la velocidad rotacional del balón para una misma
velocidad lineal, el coeficiente de arrastre no cambia.
Figura 4.2-1 Coeficiente de Arrastre. Imagen adaptada de (Laguna, 2007)
Figura 4.2-2 Coeficiente de Sustentación en función de parámetro de giro. Imagen adaptada de (Passmore, Tuplin, Spencer, & Jones, 2007)
4.3 CURVAS DE REBOTE
Las pruebas de rebote con giro inducido y análisis de trayectoria se hicieron
para los 2 balones en superficie diferentes con velocidades de giro de 0 a
1000RPM. Se escogió este rango de velocidad angular ya que según
estudios previos como el de (Asai & Seo, 2007), 1000RPM es la máxima
velocidad de giro que alcanza un balón de fútbol en un juego. Este rango de
1000RPM fue espaciado cada 200RPM aproximadamente. Las gráficas que
se ven a continuación muestran los resultados experimentales de cada balón
con las curvas teóricas desarrolladas en la sección 2.3.3. Como se mencionó
anteriormente, para una misma altura inicial del balón, todas estas curvas
son únicamente función de la velocidad angular inicial del balón (dada por el
motor DC). Por esto, cabe anotar que las curvas a continuación tienen como
abscisa la velocidad angular inicial del balón antes de ser liberado.
Figura 4.3-1 Velocidad angular de rebote
La Figura 4.3-1 muestra la velocidad angular de rebote del balón para velocidades
angulares desde 200 hasta 1000RPM aproximadamente. En esta gráfica, se
puede comprobar experimentalmente la teoría desarrollada en cuanto a la no
dependencia de la velocidad angular de rebote en función del coeficiente de
restitución. En efecto, se puede ver que para las diferentes pruebas de velocidad y
superficie, los 2 balones siguen la misma tendencia que la teoría. Así mismo se
encontró una incertidumbre de los datos experimentales de 30RPM. Por último, es
importante anotar como a altas velocidades de rotación, el balón Golty muestra
mayores valores que la línea teórica. Esto se acentúa entre más liso o menos
rugosa es la superficie de juego.
Figura 4.3-2 Velocidad horizontal de rebote
Al igual que para la velocidad angular de giro, los datos experimentales de la
Figura 4.3-2 comprueban el modelo teórico de la componente horizontal de la
velocidad de rebote del balón. Se puede ver como en las diferentes
condiciones, se sigue la tendencia de la línea teórica. La incertidumbre
encontrada de los datos experimentales para este caso es de 0,45m/s Así
como para la velocidad angular, se puede visualizar un fenómeno en el balón
Golty para altas velocidades de rotación. La tendencia en este caso es
menores valores que la línea teórica. De igual forma esta diferencia se
acentúa entre menos rugosa es la superficie.
La Figura 4.3-3 muestra la gráfica del ángulo de rebote en la cual se puede
ver como los datos experimentales comprueban la teoría desarrollada para
diferentes superficies. Si bien la incertidumbre en este caso es de 4°, se
observa como los resultados caen dentro de la zona esperada teóricamente.
En este caso también es interesante ver como a altas velocidades angulares
superiores a 800RPM, los dos balones tienden a salirse de esta zona,
mostrando un mayor ángulo de rebote que el esperado.
Figura 4.3-3 Angulo de rebote
Figura 4.3-4 Coeficiente de Pérdida de Energía
Por último, la Figura 4.3-4 muestra el coeficiente de pérdida de cada balón.
Una vez más, esta gráfica permite comprobar la teoría desarrollada ya que
los datos experimentales se encuentran mayormente en la zona esperada.
Así mismo, la incertidumbre experimental en este caso es de 0.035 y lo
interesante de esta gráfica es ver como para todas las superficies, la teoría y
los datos experimentales se acercan asintóticamente a un valor un poco
mayor a 0.4.
5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Como conclusión principal de este proyecto, se puede decir que se desarrolló
y comprobó experimentalmente un modelo teórico del rebote de un balón de
futbol, logrando así una importante contribución a la ciencia y la literatura. Así
mismo este modelo se puede aplicar no solo al fútbol sino a otros deportes o
acciones en las cuales se involucre el rebote de una esfera que tenga una
velocidad angular de giro y sobre el cual se quiera predecir su trayectoria.
En cuanto a resultados del balón de fútbol, se encontró que el cambio en
características propias del balón (masa, radio, inercia y restitución) en
función de la presión interna es despreciable y por ende el comportamiento
del balón a diferentes presiones desde 0,61 a 1,02 bar (9 a 15 PSI) para la
misma superficie es el mismo. Por esto mismo, se podría decir que la
preferencia de los jugadores de un balón más o menos inflado que se
traduce en una mayor o menor dureza es por simple comodidad ya que se
comprobó que el cambio en el comportamiento dinámico es imperceptible
para el ojo humano.
Comparando los balones analizados ADIDAS FINALE® y GOLTY
ELDORADO®, se encontró que para altas velocidades angulares (superior a
700RPM), el balón Golty se aleja un poco de la tendencia teórica. Así mismo,
se encontró más dispersión en los datos experimentales de este balón. Al
analizar los 2 diseños de balón, se podría decir que esto se debe a varios
factores. En primera instancia, los paneles del balón Golty son muchos más
lisos que el balón Adidas y parecen tener una capa de un liquido parecido a
la laca y por ende existe una menor fricción con la superficie a la hora del
rebote. En consecuencia, a altas velocidades de giro, se produce entonces el
fenómeno de deslizamiento y no rodadura completa, lo que conlleva a un
comportamiento más inesperado debido a que el deslizamiento de esferas o
elementos giratorios en superficies, es difícil de controlar. Así mismo también
se encontró que con presiones superiores a 0,68 bar (10PSI), el balón Golty
aumenta su dureza y rigidez llegando a ser incómodo para el jugador,
entendiendo así la recomendación del fabricante de inflarlo entre 0,54 y 0,61
bar (8 y 9PSI). Teniendo en cuenta la normativa FIFA que dice que un balón
debe poder ser jugado a presiones internas hasta de 1.1 bar (16PSI),
debería intentarse mejorar este fenómeno descrito anteriormente. De igual
forma, se encontró que las uniones de los paneles son rellenas de silicona
manualmente. Esto hace entonces que este proceso no sea homogéneo, lo
que afecta tanto el rebote como la aerodinámica del balón, haciéndolo más
impredecible. Por último, se encontró que el balón Golty supera escasamente
el límite mínimo de la FIFA (410.2g vs 410g) para ser un balón INSPECTED
BY FIFA® (ver Tabla 1.2-1).
Por estas razones, teniendo como referencia los balones ADIDAS®, líderes
en el mercado y desarrollados por más de 4 años antes, y estableciendo
como objetivo principal, la búsqueda de un mayor control del balón por parte
de los jugadores, como recomendación personal del autor se aconseja para
el balón Golty las siguientes modificaciones:
Cambiar el material de los paneles externos por un material más
rugoso: Esto hace que se tenga una mayor fricción con las superficies
de juego, evitando el fenómeno de deslizamiento y obteniendo un
mayor control. Así mismo, el aumento de la rugosidad permite la
disminución del número de Reynolds crítico, haciendo que el balón
esté en flujo turbulento en un mayor rango de velocidades en un juego
de fútbol, obteniendo así menores fuerzas aerodinámicas y un mayor
espectáculo con goles de larga distancia.
Hacer la construcción del balón más elástica para que al inflarse a
más de 0,68 bar (10PSI), este siga siendo cómodo para el jugador.
Disminuir el número de paneles externos y mejorar sus uniones para
que sean más homogéneas y controladas.
Aumentar el peso del balón para que no solo se cumpla con la
normativa INSPECTED BY FIFA® holgadamente sino que también al
aumentar el peso del balón, se produce un mayor momentum lineal
que a la hora del vuelo hace que sean mayormente las fuerzas
aerodinámicas las que actúen evitando los movimientos erráticos en lo
mayor posible.
Por último, en cuanto al alcance del presente proyecto y con miras para el
futuro seguir el estudio de los balones de fútbol, se recomienda
complementar el montaje diseñado para poder darle un impulso lineal de
forma controlada al balón. Con esto se podría hacer análisis tanto a
velocidades lineales y rotacionales de forma controlada. Esto permitiría un
análisis controlado a mayores velocidades lineales del balón, donde se
podrían apreciar de una mejor forma las diferencias aerodinámicas. De esta
forma, para profundizar sobre cuáles son los aspectos fundamentales de la
construcción, se recomendaría probar un mayor número de balones con
diferentes diseños para ir descartando o acentuando el énfasis en los más
relevantes. Es decir, ya que externamente se ven factores principales como
unión de los paneles, largo total de las uniones, tamaño de los paneles
rugosidad del material de los paneles y elasticidad del material, sería ideal
probar controladamente aspecto por aspecto con diferentes opciones para
así ir viendo cuál o cuáles son los que más influyen a la hora del juego y de
esta forma poder avanzar en cuanto a la ciencia detrás del elemento principal
del deporte más importante del mundo.
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