Estudio Del Comportamiento Térmico en Conduccion y Conveccion Natural de Un Material Poroso
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7/21/2019 Estudio Del Comportamiento Térmico en Conduccion y Conveccion Natural de Un Material Poroso
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JORNADAS SAM/ CONAMET/ SIMPOSIO MATERIA 2003 14-09
1091
ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO TÉRMICO, EN CONDUCCIÓN YCONVECCIÓN NATURAL, DE UN MATERIAL POROSO
Doctor (c) Mauricio Godoy Seura1, Doctor Nelson Moraga Benavides
2
1Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de La Serena, Benavente 980.
e-mail: [email protected]
La Serena – Chile
2Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Santiago de Chile, Casilla 10233, Correo 2.
e-mail: [email protected]
Santiago – Chile
Este trabajo, en el ámbito de la investigación, presenta un estudio de un medio poroso, en cuanto a la
convección natural (transferencia de calor y la mecánica de fluídos) producida en su interior dada ciertas
condiciones a las que es sometido. Geométricamente corresponde a un cubo con paredes aisladas y temperaturas
impuestas. Los objetivos específicos de este estudio fueron: Determinar la convección natural producida en el
medio poroso, tanto Darciano como no Darciano, analizar el efecto de la variación de la porosidad y la variación
del número de Rayleigh modificado, como también determinar límites de aplicación de los modelos porosos de
Darcy, Darcy-Brinkman y Darcy-Brinkman-Forchheimer, según las variaciones del número de Rayleigh
modificado. En el desarrollo se plantea el modelo matemático, que incluye las ecuaciones de continuidad,
momento lineal y la de energía. Para la convección natural se considera que la disipación es en el aire, el que se
comporta como fluido newtoniano, con propiedades constantes, excepto la densidad que varía linealmente con la
temperatura. El flujo de fluido y la transferencia de calor es a régimen laminar. Las soluciones se obtienen
mediante el método de Volúmenes Finitos con el algoritmo SIMPLE. Los resultados generados incluyen las
distribuciones de temperaturas y velocidades como también la variación del número de Nusselt. La validación
de la metodología se efectúa, comparando con los resultados numéricos y empíricos publicados en la literatura,
obteniéndose resultados muy concordantes. Esto permite concluir que la metodología emp leada resulta apropiada
y eficiente para este tipo de problemas en materiales porosos.
INTRODUCCIÓNEl estudio del comportamiento de los
materiales porosos, tanto naturales como sintéticos,
adquiere cada día mayor importancia debido a
diferentes problemáticas y aplicaciones de estos, por
ejemplo el estudio de contaminación de suelos o un
mejor diseño de filtros. Dentro de estos estudios el
comportamiento termofluídico del medio, que
incorpora un fluido que satura y que tiene capacidad
de movimiento entre los poros, resulta de gran interés.
Una aplicación son los materiales refractarios
empleados en los procesos de fundición, en los cuales
el metal líquido puede saturarlos y modificar todas las propiedades y condiciones de la transferencia de calor
existentes y necesarias para un buen proceso. La
práctica habitual para la descripción de la mecánica de
fluidos, la transferencia de calor y para el desarrollo
de cálculos de pérdida de carga y de flujos de calor, se
basa en el modelo de Darcy (Alves y Cotta, 2000). A
pesar que desde hace más de cien años se reconoce
que en la medida que la velocidad aumenta se requiere
introducir los efectos inerciales y fuerzas viscosas,
mediante la corrección de Forchheimer y de
Brinkman. La revisión de la literatura muestra que en
los últimos años la mayoría de las predicciones de
flujo de calor y de fluidos en medios porososincorpora correcciones al modelo de Darcy (Medeiros,1999).
Este trabajo cumple el propósito de estudiar, predecir y describir, mediante modelación numérica,
complementada con relaciones teóricas y empíricas, la
mecánica de fluidos y la transferencia de calor
bidimensional y tridimensional en un medio poroso.
Para ello se presentan dos problemas, un primer caso
en el cual el medio poroso es todo el dominio y un
segundo caso, en el cual existen paredes gruesas
conductivas que contienen a la cavidad porosa. Este
estudio, desde un punto de vista adimensional, se
desarrolla mediante modelos de transporte, que
incluyen las ecuaciones de continuidad, momento
lineal y energía.
Para el primer problema, en el cual la cavidad porosa es todo el dominio, se analizan los modelos
Darcy, Darcy-Brinkman y Darcy-Brinkman-
Forchheimer. Además se estudia el límite de
aplicación de éstos, según las variaciones del número
de Rayleigh. El dominio se discretiza utilizando una
malla no uniforme de 82x82x82 nodos, para el caso
tridimensional y de 380x380 para el caso
bidimensional. Para el cálculo con un Da=1x10-7
se
incorpora una relación para considerar porosidad
variable (Marcondes 2001). Los resultados incluyen
las distribuciones de velocidades y temperaturas y la
variación local del número de Nusselt. En los
resultados se estudia el efecto combinado, que tieneen la temperatura y velocidades, la variación de la
porosidad, el Darcy y del número de Rayleigh.
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En el segundo problema, en el cual la cavidad
porosa se encuentra contenida por paredes gruesas
conductivas, se estudia la conducción y la convección
natural tridimensional en el medio poroso (con
porosidad constante) y la conducción en las paredes
gruesas. El dominio se discretiza con una malla
uniforme de 42x42x42 nodos. Los resultados
generados incluyen la variación en el tiempo de lasdistribuciones de temperaturas y de velocidades como
también la variación local del número de Nusselt. Se
investiga el efecto que tiene en la transferencia de
calor con convección natural, la razón de
conductividad (0.01<Kr<240) entre las paredes y el
fluido en la cavidad porosa, el cambio de porosidad (ε
= 0.1, 0.4 y 0.8) y el número de Rayleigh modificado
(Ra* = 29.3, 293 y 2930).
SITUACIÓN FÍSICASe estudia, en dos problemas distintos, la convección
natural y la conducción en un medio poroso, 2D y 3D
representado por una cavidad cúbica. El primer problema, mostrado en la figura 1-a, se refiere a una
geometría cúbica (3D) y cuadrada (2D), en la cual el
medio poroso constituye todo el dominio, con
excepción de las paredes, que son delgadas y
contienen las condiciones de borde. Estas condiciones
involucran paredes aisladas y paredes con
temperaturas impuestas. El segundo problema,
mostrado en la figura 1-b, involucra una cavidad
porosa confinada en un cubo sólido con paredes
gruesas conductivas. En estas paredes, además de la
definición de las condiciones de borde, se presenta la
conducción como fenómeno importante. Las
condiciones de borde en este caso son similares alanterior.
1-a) Medio poroso es todo el dominio. Caso 1
1-b) Medio poroso con paredes gruesas. Caso 2
Figura 1. Modelo geométrico de cavidad porosa
MODELO MATEMÁTICO
El sistema adoptado para la modelación es elcartesiano. El modelo incluye las ecuaciones de
continuidad, momento lineal en las tres direcciones
espaciales y de energía. Estas ecuaciones se presentan,
en su forma adimensional transiente.
Ecuación de continuidad:
0=∂∂
+∂∂
+∂∂
Z
W
Y
V
X
U (1)
Ecuación de momento en X
U W V U Da
C
Da Z
U
Y
U
X
U X Z
U W
Y
U V
X
U U
U
+++−
∂∂
+∂∂
+∂∂
+
∂
Ρ ∂−=
∂
∂⋅+
∂
∂⋅+
∂
∂⋅+
∂
∂⋅
222
2
2
2
2
2
2
2
Pr Pr
Pr 11
ε
ετε
(2)
Ecuación de momento en Y
V W V U Da
C
Da Z
V
Y
V
X
V
X Z
V W
Y
V V
X
V U
V
+++−
∂∂
+∂∂
+∂∂
+
∂Ρ ∂
−=
∂∂
⋅+∂∂
⋅+∂∂
⋅+∂∂
⋅
222
2
2
2
2
2
2
2
Pr Pr
Pr 11
ε
ετε(3)
Ecuación de momento en Z
W W V U Da
C
Da Z
W
Y
W
X
W
Ra Z Z
W W
Y
W V
X
W U
W
+++−
∂∂
+∂∂
+∂∂
+
⋅⋅+∂Ρ ∂
−=
∂∂⋅+
∂∂⋅+
∂∂⋅+
∂∂⋅
222
2
2
2
2
2
2
2
Pr Pr
Pr Pr 11
ε
θετε
(4)
Ecuación de la energía
∂∂
+∂∂
+∂∂
⋅Ω=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
Ω2
2
2
2
2
2
Z Y X Z W
Y V
X U
θθθθθθ
τ
θ (5)
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂Ω
2
2
2
2
2
2
X X X K R R
θθθ
τ
θ Paredes problema 2 (6)
Las condiciones de borde adimensionales son:En X:
Problema 1 Problema 2
L=1 L1/L=0.15
L2/L=0.85
θ= θHOT=1 en X=0, θ= θCOLD=0 en X=1 En Y:
Problema 1 Problema 2
L=1 E1/L=0.15
E2/L=0.85
0=∆⋅∆∂∂
−= Z X Y
k Qθ en Y=0,
0=∆⋅∆∂∂
−= Z X Y
k Qθ en Y=1
En Z: H=LProblema 1 Problema 2
L=1 H1/L=0.15
H2/L=0.85
0=∆⋅∆∂∂
−= Y X Z
k Qθ en Z=0,
0=∆⋅∆∂∂
−= Y X Z
k Qθ en Z=1
Nomenclaturad: diámetro del poro
dis: distancia más corta a la cavidad
2/32/1150
75.1
ε⋅=C : Coeficiente de inercia
2 L
K Da = : Número de Darcy
E : Profundidad de la cavidad3
2
)( H T T g Gra
C H
ν
β −= : Número de Grashof
g: Aceleración de gravedad H: Altura de la cavidad
2
32
)1(150 ε
ε
−⋅⋅
=d
K : Permeabilidad
k : Conductividad térmica
K r: Razón de conductividad entre la pared y el medio poroso L: Longitud horizontal de la cavidad
Nu : Número de Nusselt. P: Presión dimensional
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ναρ ⋅⋅⋅
=Ρ ef
L P 2 : Presión adimensional
α
ν=Pr : Número de Prandtl
ef
C H LT T g
Gra Raαυ
β 3)(Pr
−=⋅= : Número de Rayleigh
Da Ra Ra Ra m ⋅==*
: Rayleigh modificadoT: Temperatura
t: TiempoT H : Temperatura altaT C : Temperatura baja
ef
LuU
α
⋅=
;
ef
LvV
α
⋅=;
ef
LwW
α
⋅= : Velocidades
adimensionalesu, v, w : Velocidades dimensionales
L
x X = ;
L
yY = ;
L
z Z = :Coordenadas adimensionales
x, y, z: Coordenadas dimensionales
α : Difusividad térmica
β: Coeficiente de expansión volumétrica
⋅+⋅=
⋅−
∞d
dis N
eC 1
11εε
C1: 1,4; N1=5; valores para una para ε∞=0.864 y malla de
81x81 según Marcondes (2001).
ν: Viscosidad cinemática
C H
C
T T
T T
−
−=θ : Temperatura adimensional
ρ : Densidad
METODOLOGÍALas ecuaciones que definen el problema, se
ordenan de manera que tomen la forma de la Ecuación
de Transporte para la variableφ.φφφρ ⋅++⋅Γ =⋅⋅ SpSc grad divvdiv )()(
r
(7)Donde:
φ: Variable dependiente
ρ: Densidad
vr
Campo de velocidad
Γ : Coeficiente de difusión
Sc: Fuente constante
Sp: Fuente variable (depende
de φ)
El análisis se basa en la solución numérica de
las ecuaciones de conservación (transporte). En las
regiones ocupadas por medios porosos se usa la ley de
Darcy con las extensiones de Brinkman y
Forchheimer. El flujo, en ambos problemas, es
considerado laminar, incompresible y newtoniano. Se
considera que el fluido tiene propiedades constantes,
excepto la porosidad (en el primer problema) y la
densidad que varía linealmente con la temperatura
(Aproximación de Bousinesq). Las soluciones se
obtiene mediante el método de los Volúmenes
Finitos, basado en el algoritmo SIMPLE
(Patankar,1980). Se implementa un programa, en
lenguaje FORTRAN, para resolverlos. Se observa la
convergencia tanto para la masa como para las
velocidades y temperatura Finalmente se comparan
los resultados obtenidos con algunos publicados en la
literatura.
RESULTADOS Y DISCUSIÓNProblema 1: Se presentan los resultados obtenidos en
estado permanente en la cavidad porosa completa. Se
muestran efectos combinados, para cambios en la
porosidad el número de Ra y Da (manteniendo el Ram
en 1000) Respecto de los modelos de porosidad, se
estudia el efecto del Ra y el Da , en cada uno de ellos.
En términos de la validación, se incorpora el efecto
de la porosidad variable para un Da de 1x10-7
, esta
comparación se hace fundamentalmente con el trabajo
de Marcondes. La figura 2, presenta el efecto
combinado del Da y el Ra según dos porosidadesuniformes. La figura 3 muestra los modelos y la
figura 4 muestra la comparación con Marcondes
(2001) ε = 0.1 ε = 0.9
a) Da= 1x10-2
; Ra=1x105
b) Da= 1x10-5
; Ra=1x108
Figura 2: Efecto combinado Da, Ra y porosidadpara Ram=1000
Figura 3: Efecto de los modelos
Figura 4: Validación con la literaturaProblema 2: La figura 5 muestra los resultados
gráficos obtenidos en la modelación transiente. Lafigura 6 muestra el efecto, en las temperaturas y
velocidades, de la variación de Kr . La figura 7
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muestra las isotermas según cambio de porosidad y
número de Rayleight.
a) Tiempos τ = 0.01, τ = 0.05, τ = 0.13, τ = 0.3
b) Pared interior baja en eje X Pared interior caliente en eje Z. Figura 5. Evolución en el tiempo de las isotermas yperfil térmico en pared. K r =1, εε=0.8; Pr=0.7;Ram=293 (Da=293x10-7, Ra= 1x107)
Figura 6. Efecto de la variación de Kr en laTemperatura y la velocidad W en Z para εε=0.8; Pr= 0.7 ; Ra* = 293
a) ε=0.1 y ε=0.8
b ) Cambios de número de Ra
Figura 7: Efectos de la variación de Porosidad yNúmero de Rayleigh
La figura 8 muestra la validación de resultados
comparando con los trabajos de Chang y Lin (1994).
Se muestra una comparación de perfiles térmicos, para
diferentes Kr, en las paredes interiores y diferentes
números de Nusselt locales.
a) Pefil térmico en pared caliente
b) Nu local Pared interior caliente
Figura 8. Comparación de perfiles térmicos y
Nusselt para diferentes Kr, en relación al tabajo deChang y Lin.
CONCLUSIONES§ La porosidad afecta a la convección natural,
principalmente para Ra < 1 x108
§ El efecto del número de Rayleigh en la convección
natural es predominante en comparación con el
número de Darcy.
§ La mejor captura de las capas límites, térmica y
fluídica, resulta de la implementación de los
modelos completos de Darcy – Brinkman -
Forchheimer, para el cálculo del problema
§ La razón de conductividad K r , entre los valores de0,1 y 10, juega un rol preponderante en la
convección natural.
§ La difusión de calor y convección natural
tridimensional, en un medio poroso se puede
calcular empleando el método de volúmenes
finitos. Al revisar las comparaciones realizadas con
resultados de la literatura, es posible concluir que la
metodología empleada resulta apropiada y eficiente
para este tipo de problemas.
REFERENCIAS§ Alves L. S. de B. , Cotta R. M., Transient Natural
Convection Inside Porous Cavities: Hybrid Numerical-Analytical Solution and Mixed Symbolic-Numerical
Computation. Numerical Heat Transfer. Part A, 38: 89-
110, 2000.
§ Chang W. J., Lin H.Ch., Wall Heat Conduction Effect
On Natural Convection In An Enclosure Filled With A Non Darcian Porous-Medium. Int. Numerical Heat
Transfer, 25, 671-684, 1994
§ Marcondes F., Numerical analysis of natural convection
in cavities with variable porosity. Numerical Heat
Transfer. Part A, 40: 403-420, 2001.§ Medeiros J. M, F. Marcondes, and J. M. Gurgel, Natural
Convection in a Porous Cavity Using the Generalized
Model with Uniform Porosity, XV Brazilian Congress of
Mechanical Engineering, in CD-Rom, Aguas de Lindóia.Sao Paulo, Brazil, 1999.§ Patankar S. V. Numerical Heat Transfer And Fluid
Flow. Hemisphere Publishing Corporation. 1980