Estudio del Comportamiento Dinamico de Puentes de...

Universidad Politecnica de Madrid

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos,Canales y Puertos

Master en Ingenierıa de Estructuras, Cimentaciones y Materiales

Estudio del Comportamiento Dinamicode Puentes de Ferrocarril y Desarrollo de

Metodos de Calculo Simplificado

Trabajo Fin de Master

Jorge Antonio Molina MoyaIngeniero de Caminos, Canales y Puertos

Director:

Jose Marıa Goicolea RuigomezDoctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

Madrid, Septiembre de 2015

Estudio del Comportamiento Dinamico de Puentes de Ferrocarril yDesarrollo de Metodos de Calculo Simplificado

Trabajo Fin de MasterUniversidad Politecnica de Madrid

Madrid, Septiembre de 2015

Jorge Antonio Molina MoyaIngeniero de Caminos, Canales y Puertos

Correo electronico: [email protected]

Tutor:

Jose Marıa Goicolea RuigomezDoctor Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y PuertosDepartamento de Mecanica de Medios Continuos y Teorıa de Estructuras

Resumen

Durante los ultimos anos, y debido a la gran demanda del transporte por ferro-carril, se estan construyendo nuevas lıneas ası como mejorando otras ya existentes,para poder dar cabida a trenes mas veloces que hagan disminuir el tiempo del tra-yecto. Las estructuras para ferrocarril de alta velocidad estan sometidas a accionesdinamicas elevadas, ya que al efecto clasico de la carga (aislada) movil se viene asumar la resonancia que se manifiesta para velocidades por encima de 220 km/h.Es por ello que, cuando se va construir una nueva estructura o reacondicionar unaya existente, sea necesario realizar un profundo analisis mediante tecnicas numeri-cas de calculo dinamico con modelos de elementos finitos o mediante modelosanalıticos o semianalıticos.

El hecho de analizar mediante tecnicas complejas (como pueden ser mode-los tridimensionales de elementos finitos) todas y cada una de las estructuras deuna lınea ya existente, puede acarrear un coste no asumible de tiempo y dinero.Ası pues, mediante este trabajo, el autor ha desarrollado algoritmos computacio-nales para poder realizar un analisis preliminar mediante modelos mas sencillos, ysesgar ası el numero de casos que requieren un analisis mas complejo.

En el presente documento se expone toda la base matematica necesaria para eldesarrollo de dichos programas, como son la descomposicion modal, las solucionesanalıticas de la respuesta de una estructura hiperestatica (puentes continuos yporticos intraslacionales) ante cargas moviles o la interaccion vehıculo-estructura.

Finalmente se muestran los resultados y conclusiones obtenidos de un analisisque se ha llevado a cabo con las herramientas computacionales desarroladas, yamencionadas anteriormente, en un total de 77 estructuras semienterradas realessituadas en la lınea Madrid-Zaragoza.

Agradecimientos

Este ano he vivido una experiencia enriquecedora en otra ciudad distinta a lamıa, en la que me he sentido rodeado de personas que han estado a mi lado siempreque lo he necesitado.

En primer lugar, agradecer a mis padres y a mi hermana todo su apoyo, suconfianza, que se alegren y disfruten de mis exitos y mis logros, y el hecho desaber que siempre estaran ahı para seguir acompanandome en el resto de etapasde mi vida. Tambien agradecer a mis padres, que no tuvieron ocasion de estudiar,haberme brindado la oportunidad de completar mis estudios y haber podido hacereste Master lejos de mi hogar con las dificultades que ello conlleva.

Igualmente comparto esta alegrıa con mi novia, Marıa. Gracias por tu apoyoincondicional porque se que ha sido difıcil la distancia, por tus visitas a Madridy por todo tu carino. En muchas ocasiones has sido mi sustento, te debo muchascosas y te quiero mucho.

Por otro lado, agradecer a D. Jose Marıa Goicolea Ruigomez, tutor del presen-te proyecto, su orientacion, su compromiso y entusiasmo aportados durante estetiempo. Gracias a el, a sus nociones, el material que me ha facilitado y la cons-tante disponibilidad en cualquier momento que le he necesitado, ha sido posible laexistencia de este documento. No quiero dejar de agradecerle los buenos consejosque me ha dado en otros ambitos distintos a este proyecto.

Por ultimo, y no menos importante, agradezco el apoyo al resto de mi familiay amigos, a mis nuevos companeros y profesores que he conocido este ano y quesiempre los llevare conmigo, y a todas las personas que han formado parte de esteano de duro esfuerzo. Se cumple otra pequena etapa llena de momentos que me hanhecho aprender, madurar y crecer como persona; y grandes momentos de felicidady orgullo que han superado con creces a los anteriores.

Indice General

Resumen III

Agradecimientos V

1. Introduccion 1

1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Revision del Estado del Arte 7

3. Modelo Matematico y Numerico 13

3.1. Ecuacion Diferencial del Movimiento de la Viga de Bernouilli-Euler 13

3.2. Analisis y Descomposicion Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1. Solucion General de las Vibraciones Libres de una Viga . . 15

3.2.2. Ortogonalidad de las Formas Modales . . . . . . . . . . . . 17

3.2.3. Frecuencias y Funciones Caracterısticas de Vigas Biapoyadas 18

3.2.4. Frecuencias y Funciones Caracterısticas de Vigas Hiperestati-cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

vii

viii INDICE GENERAL

3.2.5. Normalizacion de las Masas Modales . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.6. Vibraciones Forzadas debidas a Cargas Externas y Descom-posicion Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3. Soluciones Analıticas para Cargas Moviles . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.1. Solucion General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.2. Solucion para un Tren de Cargas . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.3. Solucion para Vigas Isostaticas . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4. Interaccion Vehıculo-Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.1. Modelo de Interaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.2. Formulacion del Problema de Interaccion . . . . . . . . . . 45

3.5. Algoritmos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5.1. Calculo de los Modos Fundamentales de Vibracion . . . . . 48

3.5.2. Metodos de Integracion en el Tiempo basados en la Interpo-lacion de la Excitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5.3. Metodo de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6. Pruebas de Validacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.6.1. Prueba de Validacion de ASI . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.6.2. Prueba de Validacion de ITSI . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6.3. Prueba de Validacion de ITCI . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4. Estudio y Analisis de Casos Reales 63

4.1. Descripcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.1. Lınea Madrid-Barcelona-Frontera Francesa . . . . . . . . . 63

4.1.2. Estructuras Semienterradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1.3. Modelos Ensayados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2. Resultados SIN Interaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.1. Tren ICE2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.2. Tren ICE3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

INDICE GENERAL ix

4.3. Resultados CON Interaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3.1. Tren ICE2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3.2. Tren ICE3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A. Transformada de Laplace 89

A.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

A.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

A.3. Metodo de las Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

A.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

B. Expresiones de las derivadas de wk(x, t) 95

B.1. Expresiones de wk(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

B.2. Expresiones de wk(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

C. Trenes Reales 107

C.1. Leyenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

C.2. Tren ICE2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

C.3. Tren ICE3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Bibliografıa I

Indice de Figuras

1.1. Lıneas de Alta Velocidad y Convencionales Adaptadas. Fuente:[1] . 2

3.1. Viga general bajo carga dependiente del tiempo . . . . . . . . . . . 13

3.2. Elemento diferencial de una viga de Bernouilli-Euler . . . . . . . . 14

3.3. Cuatro primeras formas modales de una viga biapoyada . . . . . . 19

3.4. Viga Hiperestatica General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5. Esquema de una Viga Hiperestatica bajo Carga Movil . . . . . . . 27

3.6. Secuencia del paso de 2 cargas por una estructura hiperestatica . . 41

3.7. Esquema del Modelo Simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.8. Abaco 1 para la obtencion del parametro b1 . . . . . . . . . . . . . 51

3.9. Abaco 2 para la obtencion del parametro b1 . . . . . . . . . . . . . 52

3.10. Interpolacion lineal de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.11. Validacion de ASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.12. Validacion de ITSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.13. Resultados de [2] para la validacion de ITCI . . . . . . . . . . . . . 60

3.14. Validacion de ITCI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1. Lınea de Alta Velocidad Madrid-Barcelona-Frontera Francesa . . . 63

xi

xii INDICE DE FIGURAS

4.2. Formas Modales del Portico 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3. Desplazamientos Maximos, Tren ICE2, Sin Interaccion-1 . . . . . . 75


4.5. Aceleraciones Maximas, Tren ICE2, Sin Interaccion . . . . . . . . . 78



4.8. Aceleraciones Maximas, Tren ICE3, Sin Interaccion . . . . . . . . . 80

4.9. Aceleraciones Relativas, Tren ICE2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.10. Aceleraciones Relativas, Tren ICE3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Indice de Cuadros

4.1. Descripcion de los Porticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2. Resultados del Tren ICE2 Sin Interaccion . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3. Resultados del Tren ICE3 Sin Interaccion . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4. Resultados del Tren ICE2 Con Interaccion . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5. Resultados del Tren ICE3 Con Interaccion . . . . . . . . . . . . . . 85

A.1. Ejemplos de Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 92

C.1. Tren ICE2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

C.2. Tren ICE3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

xiii

Introduccion Cap

ıtul

o

11.1. Motivacion

En Europa en general y en Espana en particular, se esta realizando un granesfuerzo en pos de mejorar el servicio ferroviario que se les presta a los viajerosque optan por este medio de transporte. Uno de los retos es aumentar la velocidadde los trenes y disminuir ası el tiempo del viaje; para ello, se estan construyendonuevas lıneas de alta velocidad (v ≥ 220 km/h) y/o adaptando antiguas lıneasconvencionales para que puedan soportar las cargas dinamicas que transmitenestos vehıculos mas veloces. Como ejemplo se muestra en la Figura 1.1 las lıneasde alta velocidad existentes en Espana. En dicha figura se puede observar que haybastantes lıneas adaptadas y que, sin lugar a dudas, esta practica sera habitual enel futuro.

Los efectos dinamicos debidos a las cargas moviles de los trenes constituyenuna de las acciones de mayor relevancia en el proyecto de puentes o estructurassituados en una lıneas de ferrocarril de alta velocidad; por ello, para la adaptacionde una vıa ya existente, es necesario un estudio profundo de sus estructuras (ya seanpuentes o estructuras semienterradas). Generalmente, este tipo de estudios suponeanalizar mediante elementos finitos un modelo tridimensional de cada estructuraexistente, lo que conllevarıa demasiado tiempo y dinero. Es por ello que en estedocumento se propone un pre-analisis de dichas estructuras mediante modelossemianalıticos sencillos para seleccionar aquellas estructuras que estarıan mas allımite de su capacidad y que, por tanto, necesitarıan un analisis mas complejo.Segun las conclusiones de dicho analisis posterior, se dejarıa intacta la estructura,se aplicarıan refuerzos o, incluso, se demolerıa para la construccion de una nueva.

La normativa actual, como por ejemplo, [3], aborda solo el caso de estructuras

2 1.1. Motivacion

Figura 1.1. Lıneas de Alta Velocidad y Convencionales Adaptadas. Fuente:[1]

1. Introduccion 3

isostaticas para velocidades v ≥ 220 km/h, para el resto de estructuras se indicaque se debe realizar un calculo dinamico mediante integracion directa en el tiempocon cargas moviles. En este documento se estudiaran, mediante los modelos semi-analıticos mencionados anteriormente, 77 estructuras semienterradas situadas enla lınea Madrid-Zaragoza. Se haran pasar los trenes ICE2 e ICE3 (definidos en elApendice C) con unas velocidades que oscilan entre los 80 y 420 km/h con un pasode 5 km/h. Ademas de modelos en los que las cargas de los ejes son puntuales, secalcularan modelos que tengan en cuenta la interaccion vehıculo-estructura paraanalizar, posteriormente, la influencia de las suspensiones en la respuesta de dichasestructuras. Todo ello suma 21252 calculos dinamicos.

1.2. Objetivos

Los objetivos de este Trabajo Fin de Master se pueden resumir en los siguientes:

1. Desarrollo e implementacion de un algoritmo para el estudio de la respuestade estructuras hiperestaticas ante el paso de un tren de cargas.

2. Desarrollo e implementacion de un algoritmo, derivado del anterior, queincluya la interaccion vehıculo-estructura para la obtencion de la respuesta.

3. Aplicacion de dichos algoritmos a estructuras semienterradas reales y ob-servacion de los parametros mas relevantes que provocan la buena o malarespuesta dinamica de dichas estructuras a trenes de alta velocidad.

1.3. Metodologıa

Para abordar estos objetivos, en primer lugar se ha llevado a cabo una re-vision del estado del arte. Posteriormente, se ha estudiado a fondo un programaya existente llamado CALDINTAV [4], escrito en MatLab/Octave, creado por elGrupo de Mecanica Computacional de la Universidad Politecnica de Madrid. Di-cho algoritmo estudia el paso de trenes sobre estructuras isostaticas mediante unaintegracion numerica en el tiempo.

Una vez analizado el lenguaje de programacion que se iba a usar, se ha estu-diado la teorıa de la descomposicion modal en estructuras hiperestaticas (puentescontinuos y porticos) y las transformadas de Laplace para la obtencion, a partirde las respectivas ecuaciones diferenciales ordinarias, de soluciones analıticas dela respuesta de dichas estructuras al paso de cargas moviles (sin tener en cuentala descomposicion modal). Estas soluciones analıticas se han implantado en unprograma derivado de CALDINTAV, cumpliendo ası el Objetivo 1.

4 1.4. Alcance

Para lograr el Objetivo 2, se han estudiado diversos artıculos, documentos ytesis doctorales donde se abordaba la interaccion vehıculo-estructura, mediantediferentes modelos, en estructuras isostaticas. Una vez adaptado a estructuras decualquier tipo, se ha implementado en otra subrutina. En este caso la solucion seconsigue con una integracion numerica en el tiempo ya que, debido a la interaccion,el sistema es No-Lineal y, por tanto, no se puede obtener la solucion analıtica.

Finalmente, para abordar el Objetivo 3, se han estudiado 77 porticos realessituados en la lınea Madrid-Zaragoza (bajo ciertas hipotesis que se explicaran enel capıtulo correspondiente) ante el paso de dos trenes distintos. De esta forma,se han obtenido las caracterısticas estructurales mas influyentes en la respuestaa trenes de alta velocidad ası como la influencia de las suspensiones en dicharespuesta.

1.4. Alcance

En primer lugar, en el Capıtulo 2 se muestra la revision del estado del arte.A continuacion, en el Capıtulo 3 se explica toda la base matematica y numerica.Este capıtulo esta compuesto por los siguientes apartados:

En el Apartado 3.1 se analizara el comportamiento dinamico de una viga yse obtendra la ecuacion diferencial que la gobierna.

En el Apartado 3.2 se expondra toda la teorıa del analisis por descomposicionmodal tanto en estructuras isostaticas como hiperestaticas (vigas continuasy porticos).

En el Apartado 3.3 se llegara a la solucion analıtica de la respuesta deestructuras ante el paso de cargas moviles; para ello se empleara el metodode las Transformadas de Laplace (ver Apendice A).

En el Apartado 3.4 se estudiara la interaccion entre el vehıculo y la estructuraaplicando el modelo simplificado, y se conseguira al sistema de ecuacionesque gobierna este fenomeno.

En el Apartado 3.5 se explican todos los algoritmos numericos que se hanimplementado en los programas creados para realizar el estudio de las es-tructuras semienterradas.

Finalmente, en el Apartado 3.6 se muestran las pruebas de validacion delas diferentes subrutinas creadas en MatLab/Octave. Por lo general, se hancomparado los resultados obtenidos con un programa de elementos finitosllamado FEAP.

1. Introduccion 5

En el Capıtulo 4, para finalizar este trabajo, se analizaran 77 porticos realessituados en la lınea Madrid-Zaragoza ante el paso de dos trenes (definidos en elApendice C). De estos se obtendran la maxima aceleracion y desplazamiento pro-ducidos en un rango de velocidades desde 80 a 420 km/h para, posteriormente,analizar las caracterısticas de dichos porticos, que mas influyen en su respuestadinamica. Adicionalmente, se calcularan, para los mismos porticos, datos de acele-racion y desplazamiento maximos considerando la interaccion vehıculo-estructuray obtener ası, resultados mas realistas que tienen en cuenta la absorcion de energıapor parte de los sistemas de suspension.

6 1.4. Alcance

Revision del Estado delArte C

apıt

ulo

2El inicio del calculo dinamico de puentes y estructuras de ferrocarril se remonta

a 1847, cuando el puente sobre el rıo Dee colapso mientras un tren de pasajeroslo atravesaba. A raız de este suceso se constituyo un comision cuyo objetivo fueaveriguar la causa del accidente y evitar que este se repitiese. A partir de estafecha, han sido muchos los avances en calculo dinamico de estructuras y muchoslos autores que han tratado este tema en su aspecto mas general, como son L.Fryba [5][6], Anil K. Chopra [7], Singiresu S. Rao [8], Michel Geradin y Daniel J.Rixen [9], Y.B. Yang [10], A.A. Shabana [11], S.S. Law [12] y H. Xia [13] entreotros.

El calculo dinamico se hace indispensable para trenes que circulan a altas velo-cidades ya que se puede producir un fenomeno de resonancia como bien se estudiaen [14]. En este trabajo se demostro que el fenomeno de la resonancia ya se pro-ducıa con los trenes y ferrocarriles de aquel ano (2001), ademas se vio necesariala aplicacion de calculos dinamicos, ya que el metodo del coeficiente de impacto(impuesto por la normativa de la epoca) no incluıa efectos resonantes. Se deter-mino que los calculos mediante cargas puntuales moviles eran adecuados para unaevaluacion preliminar y prever ası posibles fenomenos resonantes, los resultadosde los mismos son conservadores. Para una segunda aproximacion, es necesaria lainclusion de modelos de interaccion simplificada entre el vehıculo y la estructura,y obtener ası, resultados mas realistas.

Muchos han sido los estudios que han intentado perfeccionar el modelo tradi-cional de calculo anadiendo variables o considerando aspectos antes despreciados,obteniendo ası resultados mas realistas. Por ejemplo, cabe mencionar el trabajode Jose M. Goicolea, Pablo Antolın y Teresa Ancochea [15] en el que se estudiandiversos puentes isostaticos, al paso de trenes de alta velocidad, modelizandoloscon elementos viga y estudiando la influencia de incluir el efecto distribuidor de

8

las carga que tienen las traviesas. Estos concluyeron que:

El efecto de las traviesas era mas evidente a velocidades menores de 180km/h. Se obtienen diferencias de hasta el 30 % para velocidades menores de180 km/h y de hasta el 64 % para velocidades mayores.

La diferencia es mayor para puentes con alta frecuencia (segun el Eurocodigo1, f0 ≥ 94,76L−0,748) y masa baja (≈ 8000 kg/m).

A mayor longitud del puente, menos importante es el efecto de las traviesas.

Cuando ocurren fenomenos resonantes de la estructura, el efecto de las tra-viesas tiende a desaparecer.

Por otro lado, estos mismos autores en [16] estudiaron el efecto de considerarla interaccion vehıculo-estructura en los mismos puentes isostaticos antes mencio-nados. Las conclusiones mas importantes que obtuvieron en base a este trabajofueron:

Los parametros que tienen mas influencia en la reduccion de las aceleracionesproducidas en el tablero son la masa y la longitud del mismo y el tipo desuspension del tren.

Cuando se producen efectos resonantes, se obtienen grandes reducciones alconsiderar la interaccion.

Si la frecuencia de la suspension del bogie es la misma que la frecuencianatural del puente, la reduccion que tiene lugar al considerar interaccion esindependiente del tipo de suspension.

Si la frecuencia de la suspension del bogie y la del puente coinciden y, ademas,el puente tiene muy baja masa (≈ 3000 kg/m), se pueden llegar a obtenerreducciones en la aceleracion de mas del 50 %.

Mas recientemente, se destaca el trabajo de Christoffer Johansson [17], dondeel autor estudia las expresiones analıticas de la respuesta de puentes isostaticos ehiperestaticos ante trenes de cargas. A partir de las mismas, obtuvo unas curvasde diseno en funcion de diversos parametros. Algunas de sus conclusiones fueron:

Los puentes de hormigon son adecuados para lıneas de alta velocidad debidoa su alta masa y amortiguamiento.

Los puentes de acero y mixtos deben adoptarse solamente para luces mayoresde 30 m.


Una viga apoyada en soportes elasticos sufre aceleraciones mucho mayoresque una viga apoyada en soportes completamente rıgidos.

Al considerar la distribucion de la carga, la respuesta puede reducirse hastaun 80 %.

Otro importante aporte en este campo fue el que hizo Pablo Antolın [18] [19],que investigo los efectos dinamicos laterales en vehıculos y puentes por la acciondel viento en la direccion transversal. Para ello, empleo modelos tridimensionalesde elementos finitos no lineales y elementos de usuario propios creados con Abaqus.La interaccion entre el vehıculo y la estructura la establecio mediante el contactorueda-carril y se tuvo en cuenta la variabilidad espacial de la velocidad del viento.Ademas, incluyo en el modelo los defectos geometricos de la vıa, los cuales tienenuna gran importancia en el valor de las aceleraciones que aparecen en el tablero.

Tambien es notable el trabajo de Antonio Carnerero Ruiz, Tomas Ripa Alonsoy Celso Iglesias Perez [20], en el que se estudia el comportamiento de las vigastransversales, que forman parte de los puentes metalicos, y que estan unidas a lasvigas longitudinales. Mediante diversos calculos con modelos de elementos finitosconcluyeron:

Existe un problema de aceleraciones excesivas en estas vigas. Los modos quemas contribuyen a estas aceleraciones son los de alta rigidez y cuyas funcionesmodales forman varias ondas en el sentido longitudinal. Estos modos suelentener frecuencias moderadamente altas.

Para evitar este problema, la solucion mas simple es aumentar la masa dela losa.

Un aumento de la rigidez de la estructura no reduce la maxima acelera-cion, pero hace que dicha aceleracion se produzca a mayores velocidades depaso del tren (debido a que las frecuencias fundamentales de la estructuraaumentan).

El aumento de la rigidez de la losa, ya sea incrementando el espesor, mediantepretensado o incluyendo mas vigas longitudinales, es la medida mas eficientepara evitar este problema. Esto es debido a que la losa gobierna los modosde vibracion antes mencionados (frecuencias medias-altas), que son los queentran en resonancia cuando un tren pasa a velocidades comerciales.

Centrandose en estudios de interaccion vehıculo-estructura, es obligado nom-brar a Alejandro Domenech Monforte, que, en su tesis doctoral [21], estudio lainfluencia del modelo de interaccion en la prediccion del comportamiento de puen-tes de ferrocarril isostaticos. Algunas de sus conclusiones fueron:

10

Para un cierto rango de valores de fb/fs, siendo fb la primera frecuenciafundamental del puente y fs la frecuencia del oscilador o suspension deltren, la reduccion de la respuesta en la estructura toma valores maximosal considerar la interaccion. Esto se debe al acoplamiento dinamico entreambos elementos, que produce una tasa elevada de disipacion energetica.

A poco que se desvıe el valor de fb/fs de los nombrados anteriormente, elefecto beneficioso disminuye rapidamente y tiende a desaparecer para valoresde fb/fs de cero o ∞.

Las tendencias anteriormente nombradas son independientes de la relacionde masas entre el puente y el tren.

Si ahora se considera la relacion entre la segunda frecuencia fundamentaldel puente y la frecuencia del oscilador, esto es fb2/fs; se produce un au-mento de la influencia de los parametros fundamentales en el calculo de larespuesta del puente, ya que cada elemento de la composicion esta acopladodinamicamente con la estructura durante el doble de ciclos de oscilacion,incrementandose por tanto la capacidad de interaccion del sistema.

La principal conclusion es que, desde un punto de vista practico, la envol-vente inferior de reducciones en la respuesta de la estructura, al considerarla interaccion vehıculo-estructura, puede tomar valores considerablementebajos.

Otros autores, como Teresa Ancochea Nodal en su trabajo fin de Master [22],tambien estudio la interaccion vehıculo-estructura con el modelo mas simple enpuentes con diversas caracterısticas y concluyo que:

Los parametros que mayor influencia tienen en las reducciones de aceleracionson el tipo de suspension, la masa del puente y la luz del puente.

Las mayores reducciones se producen para las velocidades del tren que pro-vocan fenomenos de resonancia.

Cuando se produce la coincidencia entre la frecuencia del puente y la de lasuspension del bogie, el decremento es similar sea cual sea dicha frecuencia.

Cuanto menor es la masa del puente, mayor es la reduccion debida a laconsideracion del modelo de interaccion.

La normativa vigente, por ejemplo IAPF [3] o Eurocodigo 1 [23], abordan elcalculo dinamico mediante los siguientes metodos:


Calculo estatico con tren tipo y aplicacion de un coeficiente de impacto.Siempre que la velocidad sea menor a 220 km/h y la tipologıa y frecuencianatural de la estructura de estudio este contemplada en dicha normativa. Esde senalar, como tambien se concluyo por ejemplo en [24], que los trenes depasajeros de alta velocidad son considerablemente mas ligeros que el trentipo; por tanto, los coeficientes de impacto en esfuerzos para la evaluacion deestados lımite ultimo raramente resultan crıticos. Sin embargo, la verificacionde los lımites de servicio y en concreto la aceleracion maxima suele ser unode los puntos mas crıticos.

Calculo dinamico mediante integracion directa en el tiempo con cargas movi-les. Valido para cualquier caso.

Calculo dinamico simplificado mediante impronta dinamica del tren, siempreque la estructura sea un puente isostatico. Es de senalar que estos metodosson envolventes de los modelos de cargas puntuales moviles.

Calculo dinamico mediante integracion directa en el tiempo con interaccionvehıculo-estructura. Valido para cualquier caso. En Espana, la aplicacion deeste metodo esta supeditada a la autorizacion de la Administracion.

Tambien se puede mencionar el documento ’Documentos complementarios nocontradictorios para la aplicacion de los Eurocodigos al calculo de puentes de ferro-carril ’ [2] que complementa los Eurocodigos y aborda mas ampliamente el calculode estructuras semienterradas, objeto del Capıtulo 4 del presente documento.

Modelo Matematico yNumerico C

apıt

ulo

33.1. Ecuacion Diferencial del Movimiento de la Viga de Bernouilli-

Euler

Supongase un modelo 2D de una viga recta de Bernouilli-Euler (en la que solotiene lugar una flexion en el plano vertical) como la mostrada en la Figura 3.1. Serecuerda que este modelo de viga no tiene en cuenta la deformacion por cortante,otros modelos, como la viga de Timoshenko [25], sı la tienen. Dicha viga tiene unmodulo de rigidez E(x), un momento de inercia I(x), una masa por unidad delongitud m(x) y una longitud L; y sobre ella descansa una carga distribuida p(x, t)variable en el tiempo aplicada en el centro de esfuerzos cortantes de la seccion, detal forma que no produce esfuerzos torsores en la viga.

Si se estudia una rebanada diferencial de la viga, como la mostrada en la Fi-

Figura 3.1. Viga general bajo carga dependiente del tiempo

14 3.1. Ecuacion Diferencial del Movimiento de la Viga de Bernouilli-Euler

∂ M(x)∂ x

∂ V(x)∂ x

Figura 3.2. Elemento diferencial de una viga de Bernouilli-Euler

gura 3.2, se observa que sobre la misma actuan esfuerzos flectores M(x), esfuerzoscortantes V (x), la carga externa p(x, t), una fuerza (ficticia) debida a la propiainercia de la viga (actua en sentido contrario a la aceleracion) y otra fuerza debidaal amortiguamiento interno y/o externo de esta. Se supondra que este amortigua-miento tiene un comportamiento viscoso, por tanto, actuara en sentido contrarioal movimiento y sera proporcional a la velocidad.

Aplicando el equilibrio sobre las fuerzas verticales se obtiene:

−m(x)∂2w(x, t)

∂t2dx− c(x)

∂w(x, t)

∂tdx+ p(x, t)dx+ V (x) +

∂V (x)

∂xdx− V (x) = 0

m(x)∂2w(x, t)

∂t2+ c(x)

∂w(x, t)

∂t− ∂V (x)

∂x= p(x, t) (3.1)

Del mismo modo, aplicando el equilibrio sobre los momentos flectores:

m(x)∂2w(x, t)

∂t2(dx)2

2+ c(x)

∂w(x, t)

∂t

(dx)2

2− p(x, t)(dx)2

2+

+ V (x)dx+M(x) +∂M(x)

∂xdx−M(x) = 0


Despreciando los diferenciales de segundo orden, se llega a:

V (x) = −∂M(x)

∂x(3.2)

Es sabido que, por teorıa de vigas:

M(x) = E(x)I(x)∂2w(x, t)

∂x2(3.3)

Aplicando (3.2) y (3.3) en la ecuacion (3.1) se llega a la forma final de la ecuaciondiferencial de una viga de Bernouilli-Euler en la que solo tiene lugar una flexionen el plano vertical:

m(x)∂2w(x, t)

∂t2+ c(x)

∂w(x, t)

∂t+

∂2

∂x2

(E(x)I(x)

∂2w(x, t)

∂x2

)= p(x, t) (3.4)

3.2. Analisis y Descomposicion Modal

3.2.1. Solucion General de las Vibraciones Libres de una Viga

A partir de (3.4), se obtiene la ecuacion diferencial que gobierna una vigauniforme (EI = cte, m = ρA = cte), sin cargas externas y despreciando cualquiertipo de amortiguamiento, esta es:

c2∂4w(x, t)

∂x4+∂2w(x, t)

∂t2= 0 (3.5)

c =

√EI

ρA=

√EI

m(3.6)

Donde w(x, t) es la flecha instantanea en el instante t y en la coordenada x de laviga y E,I y m son el modulo de rigidez, el momento de inercia transversal y lamasa por unidad de longitud de la viga, respectivamente.

Usando el metodo de separacion de variables se puede encontrar la solucion adicha ecuacion.

w(x, t) = φ(x)q(t) (3.7)

Notese que la funcion φ(x) es llamada forma modal o funcion caracterıstica. Re-escribiendo la ecuacion (3.5) se obtiene:

c2

φ(x)

∂4φ(x)

∂x4= − 1

q(t)

∂2q(t)

∂t2= cte = ω2 (3.8)

16 3.2. Analisis y Descomposicion Modal

En primer lugar, se resolvera la ecuacion diferencial que incluye la funcion φ(x):

∂4φ(x)

∂x4− β4φ(x) = 0 (3.9)

β4 =ω2

c2=mω2

EI(3.10)

Para este tipo de ecuaciones diferenciales, es conocido que la solucion es del tipoCeax. De esta forma, las raıces son:

a1 = β

a2 = −βa3 = iβ

a4 = −iβ

Ası, la solucion de la ecuacion (3.9) es:

φ(x) = C1eβx + C2e−βx + C3eiβx + C4e−iβx (3.11)

O, reescrita de otra forma:

φ(x) = C1 cos (βx) + C2 sen (βx) + C3 cosh (βx) + C4 senh (βx) (3.12)

donde C1, C2, C3 y C4 son constantes.

Por otra parte, para la ecuacion diferencial que incluye la funcion q(t), esto es:

∂2q(t)

∂t2+ ω2q(t) = 0 (3.13)

Es conocido que la solucion viene dada por:

q(t) = F cos (ωt) +G sen (ωt) (3.14)

ω = β2

√EI

m= (βL)2

√EI

mL4(3.15)

donde A y B son constantes, L es la longitud de la viga y ω es la llamada frecuencianatural de la viga.

Cualquier viga tiene un numero infinito de frecuencias naturales y, por consi-guiente, de funciones caracterısticas. Si la n-esima frecuencia natural es nombradaωn y su correspondiente forma modal es φn(x), las vibraciones libres de una vigase obtienen por superposicion de dichos modos; esto es:

w(x, t) =∞∑n=1

φn(x) (Fn cos (ωnt) +Gn sen (ωnt)) (3.16)

donde las constantes Fn, Gn, C1, C2, C3 y C4 ademas de las frecuencias naturalesωn son determinadas a partir de las condiciones de contorno de la viga.


3.2.2. Ortogonalidad de las Formas Modales

La ortogonalidad de las formas modales es una propiedad importante de lasmismas que sera de gran utilidad en el desarrollo de futuros apartados. Volviendoa la ecuacion diferencial que gobierna una viga de seccion variable, esto es:

∂2

∂x2

[EI(x)

∂2w(x, t)

∂x2

]+m(x)

∂2w(x, t)

∂t2= 0 (3.17)

Aplicando la expresion (3.16) a la ecuacion anterior y considerando dos modosdiferentes, se tiene:

∂2

∂x2

[EI(x)

∂2φj(x)

∂x2

]= ω2

jm(x)φj(x) (3.18)

∂2

∂x2

[EI(x)

∂2φk(x)

∂x2

]= ω2

km(x)φk(x) (3.19)

Multiplicando la ecuacion (3.18) por φk(x) e integrando a lo largo de la longitudde la viga, resulta:∫ L

0φk(x)

∂2

∂x2

[EI(x)

∂2φj(x)

∂x2

]dx = ω2

j

∫ L

0m(x)φj(x)φk(x) dx (3.20)

Integrando por partes el primer termino de la expresion anterior y teniendo encuenta que las condiciones de contorno pueden ser:

Extremo Libre: φ = ∂3φ∂x3 = 0

Extremo Apoyado: φ = ∂2φ∂x2 = 0

Extremo Empotrado: φ = ∂φ∂x = 0

se obtiene siempre la misma solucion:∫ L

0φk(x)

∂2

∂x2

[EI(x)

∂2φj(x)

∂x2

]dx =

= φk(x)∂

∂x

[EI(x)

∂2φj(x)

∂x2

] ∣∣∣∣∣L

0

− ∂φk(x)

∂xEI(x)

∂2φj(x)

∂x2

∣∣∣∣∣L

0

+

+

∫ L

0EI(x)

∂2φk(x)

∂x2

∂2φj(x)

∂x2dx =

∫ L

0EI(x)

∂2φk(x)

∂x2

∂2φj(x)

∂x2dx (3.21)

Finalmente, se puede reescribir la ecuacion (3.20) como:∫ L

0EI(x)

∂2φk(x)

∂x2

∂2φj(x)

∂x2dx = ω2

j

∫ L

0m(x)φj(x)φk(x) dx (3.22)


De forma similar, multiplicando la ecuacion (3.19) por φj(x) e integrando a lolargo de la viga, se obtiene:∫ L

0EI(x)

∂2φj(x)

∂x2

∂2φk(x)

∂x2dx = ω2

k

∫ L

0m(x)φk(x)φj(x) dx (3.23)

Restando las dos expresiones anteriores se puede concluir que:

(ω2j − ω2

k

) ∫ L

0m(x)φk(x)φj(x) dx = 0 (3.24)

Dado que ωj 6= ωk, se debe cumplir:∫ L

0m(x)φk(x)φj(x) dx = 0 (j 6= k) = 1, 2, . . . , (3.25)

Y, por consiguiente:∫ L

0EI(x)

∂2φj(x)

∂x2

∂2φk(x)

∂x2dx (j 6= k) = 1, 2, . . . , (3.26)

Estas dos expresiones definen la llamada propiedad de ortogonalidad de las formasmodales.

3.2.3. Frecuencias y Funciones Caracterısticas de Vigas Biapoyadas

Las condiciones de contorno de una viga simplemente apoyada son que el des-plazamiento y el momento flector en el punto inicial y final de la misma son cero,esto es:

w(0, t) = 0 ⇒ φ(0) = 0 (3.27)

EI∂2w

∂x2(0, t) = 0 ⇒ ∂2φ

∂x2(0) = 0 (3.28)

w(L, t) = 0 ⇒ φ(L) = 0 (3.29)

EI∂2w

∂x2(L, t) = 0 ⇒ ∂2φ

∂x2(L) = 0 (3.30)

Aplicando las condiciones (3.27) y (3.28) a la ecuacion (3.12) se llega a:

C1 = C3 = 0 (3.31)

De la misma forma, aplicando las condiciones (3.29) y (3.30) se tiene:

C2 sen (βL) + C4 senh (βL) = 0 (3.32)

−C2 sen (βL) + C4 senh (βL) = 0 (3.33)


Figura 3.3. Cuatro primeras formas modales de una viga biapoyada

Si se suman ambas expresiones, se obtiene que C4 = 0 y finalmente queda lacondicion C2 sen (βL) = 0. Para encontrar la solucion no trivial se debe cumplirque C2 6= 0 y:

sen (βL) = 0 ⇒ βn =nπ

Ln = 1, 2, . . . (3.34)

En la Figura 3.3 se muestran los 4 primeros modos de una viga biapoyada, quecorresponden a las funciones sen

(nπxL

)para n = 1, 2, 3 y 4.

De esta forma, recurriendo a la ecuacion (3.15), las frecuencias propias de unaviga son:

ωn =(nπL

)2√EI

mn = 1, 2, . . . (3.35)

Finalmente

wn(x, t) =(Cn sen

(nπxL

))(Fn cos (ωnt) +Gn sen (ωnt)) (3.36)

w(x, t) =

∞∑n=1

sen(nπxL

)(Fn cos (ωnt) +Gn sen (ωnt)) (3.37)

Donde Cn es un parametro de valor arbitrario (se tomara como 1) y Fn y Gn sonvariables que se determinan a partir de las condiciones iniciales. Si w(x, 0) = w0(x)y ∂w

∂t (x, 0) = w0(x), aplicando dichas condiciones a la ecuacion (3.37) se obtiene:

∞∑n=1

Fn sen(nπxL

)= w0(x) (3.38)

∞∑n=1

ωnGn sen(nπxL

)= w0(x) (3.39)


Figura 3.4. Viga Hiperestatica General

Teniendo en cuenta la propiedad de ortogonalidad de los modos, multiplicando porsen(nπxL

)ambos terminos e integrando desde 0 hasta L. Se obtiene:

Fn =2

L

∫ L

0w0(x) sen

(nπxL

)dx (3.40)

Gn =2

ωnL

∫ L

0w0(x) sen

(nπxL

)dx (3.41)

3.2.4. Frecuencias y Funciones Caracterısticas de Vigas Hiperestaticas

Supongase una viga hiperestatica como la mostrada en la Figura 3.4, que tienenv vanos y esta simplemente apoyada en nv − 1 puntos internos. Ademas, lospuntos inicial y final pueden estar tanto apoyados como empotrados. Cada vanotendra una longitud Li, una masa por unidad de longitud mi y una rigidez EiIide tal forma que cada vano tendra unas formas modales de la siguiente forma:

φi(xi) = Ai cos (βixi)+Bi sen (βixi)+Ci cosh (βixi)+Di senh (βixi) i = 1, 2, . . . , nv(3.42)

βi =

(miω

2

EiIi

)1/4

i = 1, 2, . . . , nv (3.43)

Tendiendo en cuenta que el modo φi del vano i esta definido entre los puntos i yi+ 1, las condiciones de contorno de cualquier estructura hiperestatica son:

Vano 1: el punto inicial puede estar apoyado o empotrado, el punto finalesta apoyado y su giro y momento flector son iguales al punto inicial delsiguiente vano:

φ1(0) =∂2φ1

∂x2(0) = 0 Punto inicial apoyado

φ1(0) =∂φ1

∂x(0) = 0 Punto inicial empotrado


φ1(L1) = 0

∂φ1

∂x(L1) =

∂φ2

∂x(0)

E1I1∂2φ1

∂x2(L1) = E2I2

∂2φ2

∂x2(0)

Vanos i = 2, 3, . . . , nv − 1: los puntos inicial y final de cada vano intermediotienen desplazamiento nulo y el giro y momento flector de dichos puntos soniguales a los del punto final del vano anterior y el punto inicial del vanoposterior, respectivamente:

φi(0) = φi(Li) = 0

∂φi∂x

(0) =∂φi−1

∂x(Li−1)

∂φi∂x

(Li) =∂φi+1

∂x(0)

EiIi∂2φi∂x2

(0) = Ei−1Ii−1∂2φi−1

∂x2(Li−1)

EiIi∂2φi∂x2

(Li) = Ei+1Ii+1∂2φi+1

∂x2(0)

Vano Final: el punto final puede estar apoyado o empotrado, el punto inicialesta apoyado y su giro y momento flector son iguales al punto final del vanoanterior:

φnv(Lnv) =∂2φnv

∂x2(Lnv) = 0 Punto final apoyado

φnv(Lnv) =∂φnv

∂x(Lnv) = 0 Punto final empotrado

φnv(0) = 0

∂φnv

∂x(0) =

∂φnv−1

∂x(Lnv−1)

EnvInv

∂2φnv

∂x2(0) = Env−1Inv−1

∂2φnv−1

∂x2(Lnv−1)

El numero de incognitas es 4nv ya que por cada vano se deben calcular los parame-tros Ai, Bi, Ci y Di. Por otro lado, por cada punto interior apoyado hay 4 ecua-ciones y por los dos puntos exteriores hay un total de 4 ecuaciones. De esta formahay (4 (nv − 1))+4 = 4nv ecuaciones en total. Ası, al obtener el mismo numero deecuaciones e incognitas, el sistema es resoluble. El sistema de ecuaciones resultantetiene el siguiente aspecto:

MX = 0 (3.44)


M

(1:4nv)1

M(1:4nv)2

...

M(1:4nv)4nv

X1

X2...

Xnv

=

00...0

(3.45)

Donde:M

(1:4nv)i =

[M1i ,M

2i , . . . ,M

4nvi

]y

Xi =

AiBiCiDi

Sin embargo, aunque el sistema es resoluble, para evitar la solucion trivial, se debecumplir que el determinante de la matriz de coeficientes M debe ser 0. Dichamatriz de coeficientes se compone de los siguientes elementos:

Elementos segun el punto inicial:

� Si esta apoyado:

M(1:4)1 = [1, 0, 1, 0]

M(1:4)2 =

[−β2

1 , 0, β21 , 0

]� Si esta empotrado:

M(1:4)1 = [1, 0, 1, 0]

M(1:4)2 =

[0, β2

1 , 0, β21

]Elementos derivados de los puntos internos apoyados:

M(4i−7:4i−4)4i−5 = [cos (βi−1Li−1), sen (βi−1Li−1), cosh (βi−1Li−1), senh (βi−1Li−1)]

M(4i−3:4i)4i−4 = [1, 0, 1, 0]

M(4i−7:4i−4)4i−3 =

[− βi−1 sen (βi−1Li−1), βi−1 cos (βi−1Li−1), βi−1 senh (βi−1Li−1),

βi−1 cosh (βi−1Li−1)]

M(4i−3:4i)4i−3 = [0, −βi, 0, −βi]

M(4i−7:4i−4)4i−2 =

[− EIi−1β

2i−1 cos (βi−1Li−1), −EIi−1β

2i−1 sen (βi−1Li−1),

EIi−1β2i−1 cosh (βi−1Li−1), EIi−1β

2i−1 senh (βi−1Li−1)

M(4i−3:4i)4i−2 =

[EIiβ

2i , 0, −EIiβ2

i , 0]

i = 2, 3, . . . , nv


Elementos segun el punto final:

� Si esta apoyado

M(4nv−3:4nv)4nv−1 = [cos (βnvLnv), sen (βnvLnv), cosh (βnvLnv), senh (βnvLnv)]

M(4nv−3:4nv)4nv

=[− β2

nvcos (βnvLnv), −β2

nvsen (βnvLnv), β2

nvcosh (βnvLnv),

β2nv

senh (βnvLnv)]

� Si esta empotrado

M(4nv−3:4nv)4nv−1 = [cos (βnvLnv), sen (βnvLnv), cosh (βnvLnv), senh (βnvLnv)]

M(4nv−3:4nv)4nv

=[− βnv sen (βnvLnv), βnv cos (βnvLnv), βnv senh (βnvLnv),

βnv cosh (βnvLnv)]

El resto de elementos no mencionados son 0. Como se puede deducir a partir dela ecuacion (3.43), la variable que es comun en todos los vanos es la frecuenciaω. Dicho esto, el calculo del determinante de matriz de coeficientes M deja unaecuacion no lineal igualada a 0 y dependiente de ω, que tiene infinitas soluciones(ωn, n = 1, 2, . . . ,∞), las cuales son las frecuencias fundamentales de la estructura.Las formas modales, esto es, el valor de los coeficientes An,i, Bn,i, Cn,i y Dn,i paracada vano y para cada modo, se obtienen sustituyendo en MX = 0 el valor decada ωn y resolviendo el sistema resultante. Una posible estrategia es dar un valorarbitrario (por ejemplo 1) a una de las incognitas y calcular el resto a partir deesta.

3.2.5. Normalizacion de las Masas Modales

La normalizacion de las masas modales es un recurso que no es necesario apli-car, pero que puede simplificar las ecuaciones diferenciales resultantes de la des-composicion modal (se explicara en el siguiente apartado). La definicion de la masamodal del modo n es la siguiente:

mn =

∫ L

0m(x)φ2

n(x) dx =

nv∑i=1

∫ Li

0mi(x)φ2

n,i(x) dx (3.46)

Como se podra recordar, los parametros An,i, Bn,i, Cn,i y Dn,i aunque dependientesentre sı, son arbitrarios. Se supondra que se han obtenido unos parametros inicialescualesquiera llamados A′n,i, B

′n,i, C

′n,i y D′n,i y que, mediante la division de estos

por un coeficiente Γn, se obtendran unos coeficientes normalizados An,i, Bn,i, Cn,iy Dn,i de tal forma que mn = 1.


Suponiendo que cada vano tiene una masa por unidad de longitud constante,la ecuacion (3.46) queda:

nv∑i=1

mi

∫ Li

0

[An,iΓn

cos (βn,ixi) +Bn,iΓn

sen (βn,ixi)+

+Cn,iΓn

cosh (βn,ixi) +Dn,i

Γnsenh (βn,ixi)

]2

dxi = 1 (3.47)

Dichas integrales se pueden resolver teniendo en cuenta la formula de Euler apli-cada a los senos y cosenos, ademas de las propiedades de los mismos. Finalmente,el parametro Γn resulta:

Γn =

√√√√ nv∑i=1

mi

[Zn,i1 + Zn,i2 + Zn,i3 + Zn,i4 + Zn,i5

]n = 1, 2, . . . ,∞ (3.48)

Zn,i1 =A′2n,i

4βn,i[2βn,iLi + sen (2βn,iLi)] +

B′2n,i

4βn,i[2βn,iLi − sen (2βn,iLi)]

Zn,i2 =C′2n,i

2βn,i[cosh (βn,iLi) senh (βn,iLi) + βn,iLi] +

+D′2n,i

2βn,i[cosh (βn,iLi) senh (βn,iLi)− βn,iLi]

Zn,i3 =A′n,iB

′n,i

βn,isen2 (βn,iLi) +

C ′n,iD′n,i

βn,isenh2 (βn,iLi)

Zn,i4 =A′n,iC

′n,i

βn,i[cos (βn,iLi) senh (βn,iLi) + sen (βn,iLi) cosh (βn,iLi)] +

+B′n,iD

′n,i

βn,i[sen (βn,iLi) cosh (βn,iLi)− cos (βn,iLi) senh (βn,iLi)]

Zn,i5 =A′n,iD

′n,i

βn,i[sen (βn,iLi) senh (βn,iLi) + cos (βn,iLi) cosh (βn,iLi)− 1] +

+B′n,iC

′n,i

βn,i[sen (βn,iLi) senh (βn,iLi)− cos (βn,iLi) cosh (βn,iLi) + 1]

Dicha solucion tambien se puede encontrar en [26], entre otros.


3.2.6. Vibraciones Forzadas debidas a Cargas Externas y Descomposicion Modal

Volviendo a la ecuacion diferencial de una viga (3.4), si se aplica sobre esta lasiguiente igualdad

w(x, t) =∞∑n=1

φn(x)qn(t) (3.49)

se obtiene:

m(x)

∞∑n=1

φn(x)∂2qn(t)

∂t2+ c(x)

∞∑n=1

φn(x)∂qn(t)

∂t+

+∞∑n=1

∂2

∂x2

(E(x)I(x)

∂2φn(x)

∂x2

)qn(t) = p(x, t) (3.50)

En el caso de que el modulo EI sea constante al menos en el mismo vano, estoes, que EI pueda diferir entre un vano y otro pero que sea igual a lo largo de unmismo vano; la ecuacion anterior se reduce a:

m(x)

∞∑n=1

φn(x)∂2qn(t)

∂t2+ c(x)

∞∑n=1

φn(x)∂qn(t)

∂t+

+m(x)∞∑n=1

ω2nφn(x)qn(t) = p(x, t) (3.51)

Multiplicando la expresion anterior por φk(x) e integrando desde 0 hasta L:

∞∑n=1

∂2qn(t)

∂t2

∫ L

0m(x)φn(x)φk(x) dx+

∞∑n=1

∂qn(t)

∂t

∫ L

0c(x)φn(x)φk(x) dx+

+

∞∑n=1

ω2nqn(t)

∫ L

0m(x)φn(x)φk(x) =

∫ L

0φk(x)p(x, t) dx (3.52)

Aplicando la propiedad de ortogonalidad de los modos, se concluye que los uni-cos sumandos que no son 0 son aquellos en los que n = k. Se supondra que laortogonalidad de los modos se cumple tambien con el termino que incluye el amor-tiguamiento.

∂2qk(t)

∂t2

∫ L

0m(x)φ2

k(x) dx+∂qk(t)

∂t

∫ L

0c(x)φ2

k(x) dx+

+ ω2kqk(t)

∫ L

0m(x)φ2

k(x) =

∫ L

0φk(x)p(x, t) dx (3.53)

26 3.3. Soluciones Analıticas para Cargas Moviles

Como se puede apreciar, las integrales que incluyen m(x) son las llamadas masasmodales:

∂2qk(t)

∂t2+∂qk(t)

∂t2ωnξn + ω2

kqk(t) =1

mk

∫ L

0φk(x)p(x, t) dx k = 1, 2, . . . ,∞

(3.54)∫ L

0c(x)φ2

k(x) dx = 2ωkξkmk (3.55)

Donde ξ es la razon de amortiguamiento, es decir, ξ = cccrit

. Si ahora se suponeque las formas modales son tales que las masas modales estan normalizadas; laecuacion final es:

qn(t) + 2ωnξnqn(t) + ω2nqn(t) =

∫ L

0φn(x)p(x, t) dx n = 1, 2, . . . ,∞ (3.56)

Notese que si la solicitacion de la estructura es una carga puntual P aplicada enla coordenada xP , la integral del segundo termino de la igualdad se reduce a:∫ L

0φn(x)p(x, t) dx = Pφn(xP ) (3.57)

3.3. Soluciones Analıticas para Cargas Moviles

3.3.1. Solucion General

A partir de la descomposicion modal realizada en el apartado anterior se llegaal siguiente sistema de ecuaciones que representa la respuesta de una estructuraante una carga puntual:

qn(t) + 2ωnξnqn(t) + ω2nqn(t) = Pφn(xP ) (3.58)

w(x, t) =∞∑n=1

φn(x)qn(t) (3.59)

Donde w(x, t) es la flecha de la estructura en la coordenada x y en el instante t yφn es la forma modal del modo n cuya masa modal mn es 1. Esto es:∫ L

0m(x)φ2

n(x) dx = 1 (3.60)

Siendo m(x) la masa por unidad de longitud de la estructura de estudio.

Sea una estructura hiperestatica con nv vanos como la mostrada en la Figura3.5. Cada vano tiene una longitud Li, una masa por unidad de longitud mi y una


Figura 3.5. Esquema de una Viga Hiperestatica bajo Carga Movil

rigidez EIi. Para una viga de este tipo, las forma modal del modo de vibracion ny del vano i tiene la siguiente forma:

φn,i(xi) = An,i cos (βn,ixi) +Bn,i sen (βn,ixi)+

+ Cn,i cosh (βn,ixi) +Dn,i senh (βn,ixi) 0 ≤ xi ≤ Li (3.61)

βn,i =

(miω

2n

EIi

)1/4

(3.62)

Si ahora se considera que la carga P se mueve con una cierta velocidad v sobre elvano i, esto es xP = vt, la ecuacion 3.58 resulta:


= P[An,i cos (βn,ivt) +Bn,i sen (βn,ivt) +

+ Cn,i cosh (βn,ivt) +Dn,i senh (βn,ivt)]

0 ≤ t ≤ Li/v (3.63)

Para obtener la solucion a esta ecuacion diferencial, se puede recurrir a multiplesprocedimientos. En este caso se aplicaran las Transformadas de Laplace (ApendiceA) para resolver de forma mas sencilla dicha ecuacion. Teniendo en cuenta elapartado A.4, la ecuacion A.7 y que L [qn(t)] = Q(s); el primer termino de laecuacion diferencial 3.63 queda:

L[ω2nqn(t)

]= ω2

nQ(s) (3.64)

L [2ωnξnqn(t)] = 2ωnξn [sQ(s)− qn(0)] (3.65)

L [qn(t)] = s2Q(s)− sqn(0)− qn(0) (3.66)

Mientras, el segundo termino:

L [An,i cos (βn,ivt)] = An,is

s2 + β2n,iv

2(3.67)

L [Bn,i sen (βn,ivt)] = Bn,iβn,iv

s2 + β2n,iv

2(3.68)

L [Cn,i cosh (βn,ivt)] = Cn,is

s2 − β2n,iv

2(3.69)

L [Dn,i senh (βn,ivt)] = Dn,iβn,iv

s2 − β2n,iv

2(3.70)


Despejando Q(s), se obtiene:

Q(s) = qn(0)1

K(s)︸︷︷︸1

+ qn(0)s+ 2ωnξnK(s)︸︷︷︸

2

+PAn,is

H(s)︸︷︷︸3

+

+ PBn,iβn,iv

H(s)︸︷︷︸4

+PCn,is

W (s)︸︷︷︸5

+PDn,iβn,iv

W (s)︸︷︷︸6

(3.71)

K(s) = s2 + 2ωnξns+ ω2n (3.72)

H(s) =(s2 + 2ωnξns+ ω2

n

) (s2 + β2

n,iv2)

(3.73)

W (s) =(s2 + 2ωnξns+ ω2

n

) (s2 − β2

n,iv2)

(3.74)

Para obtener la expresion de qn(t) se debe calcular la Transformada Inversa deLaplace de la ecuacion 3.71. Para ello se aplicara el metodo de las fraccionesparciales (apartado A.3) a cada uno de los terminos formados de dicha ecuacion:

Termino 1: las raıces de K(s) son:

� s1 = −ξnωn − iωn√

1− ξ2n

� s2 = −ξnωn + iωn√

1− ξ2n

1

K(s)=

c11

s− s1+

c12

s− s2(3.75)

c11 =1

2s+ 2ωnξn

∣∣∣s=s1

=i

2ωn√

1− ξ2n

(3.76)

c12 =1

2s+ 2ωnξn

∣∣∣s=s2

=−i

2ωn√

1− ξ2n

(3.77)

qn(0)L−1

[1

K(s)

]= qn(0)

[ i

2ωn√

1− ξ2n

e

(−ξnωn−iωn

√1−ξ2

n

)t+

+−i

2ωn√

1− ξ2n

e

(−ξnωn+iωn

√1−ξ2

n

)t]

(3.78)

Renombrando ωD,n = ωn√

1− ξ2n:

qn(0)L−1

[1

K(s)

]=qn(0)e−ξnωnt

ωD,n

[eiωD,nt − e−iωD,nt

2i

]=

=qn(0)e−ξnωnt

ωD,nsen (ωD,nt) (3.79)


Termino 2: para este termino, las raıces tambien son s1 y s2:

s+ 2ωnξnK(s)

=c21

s− s1+

c22

s− s2(3.80)

c21 =s+ 2ωnξn2s+ 2ωnξn

∣∣∣s=s1

=1

2+ i

ξn

2√

1− ξ2n

(3.81)

c22 =s+ 2ωnξn2s+ 2ωnξn

∣∣∣s=s2

=1

2− i ξn

2√

1− ξ2n

(3.82)

qn(0)L−1

[s+ 2ωnξnK(s)

]= qn(0)e−ξnωnt

[(e−iωn

√1−ξ2

n + eiωn

√1−ξ2

n

2

)+

+ξn√

1− ξ2n

(eiωn

√1−ξ2

n − e−iωn

√1−ξ2

n

2i

)](3.83)

qn(0)L−1

[s+ 2ωnξnK(s)

]= qn(0)e−ξnωnt

[cos (ωD,nt) +

ξn√1− ξ2

n

sen (ωD,nt)

](3.84)

Termino 3: las raıces de H(s) son:


1− ξ2n


1− ξ2n

� s3 = iβn,iv

� s4 = −iβn,ivs

H(s)=

c31

s− s1+

c32

s− s2+

c33

s− s3+

c34

s− s4(3.85)

c31 =s

4s3 + 6ωnξns2 + 2(β2n,iv

2 + ω2n

)s+ 2ωnξnβ2

n,iv2

∣∣∣∣∣s=s1

=

=

√1− ξ2

n − iξn[2√

1− ξ2n

(β2n,iv

2 − ω2n (1− 2ξ2

n))]

+ i [4ω2nξn (1− ξ2

n)](3.86)

c32 =s


2 + ω2n

)s+ 2ωnξnβ2

n,iv2

∣∣∣∣∣s=s2

=

=

√1− ξ2

n + iξn[2√

1− ξ2n

(β2n,iv

2 − ω2n (1− 2ξ2

n))]− i [4ω2

nξn (1− ξ2n)]

(3.87)


c33 =s


2 + ω2n

)s+ 2ωnξnβ2

n,iv2

∣∣∣∣∣s=s3

=

=−1[

2ω2n − 2β2

n,iv2]− i [4βn,iξnωnv]

(3.88)

c34 =s


2 + ω2n

)s+ 2ωnξnβ2

n,iv2

∣∣∣∣∣s=s4

=

=−1[

2ω2n − 2β2

n,iv2]

+ i [4βn,iξnωnv](3.89)

Reordenando terminos, los coeficientes c31, c32, c33 y c34 se pueden expresarcomo:

c31 =1

2

ϕ1 − i[

ξn√1−ξ2

n

ϕ3

]ϕ2

1 + ϕ22

(3.90)

c32 =1

2

ϕ1 + i

[ξn√1−ξ2

n

ϕ3

]ϕ2

1 + ϕ22

(3.91)

c33 =1

2

−ϕ1 − iϕ2

ϕ21 + ϕ2

2

(3.92)

c34 =1

2

−ϕ1 + iϕ2

ϕ21 + ϕ2

2

(3.93)

ϕ1 = β2n,iv

2 − ω2n (3.94)

ϕ2 = 2βn,ivωnξn (3.95)

ϕ3 = β2n,iv

2 + ω2n (3.96)


Finalmente:

PAn,iL−1

[s

H(s)

]=

=PAn,iϕ2

1 + ϕ22

[ϕ1 − i(

ξn√1−ξ2

n

ϕ3

)2

e(−ξnωn−iωD,n)t+

+

ϕ1 + i

(ξn√1−ξ2

n

ϕ3

)2

e(−ξnωn+iωD,n)t+

+−ϕ1 − iϕ2

2eiβn,ivt +

−ϕ1 + iϕ2

2e−iβn,ivt

]=

=PAn,iϕ2

1 + ϕ22

[e−ξnωnt

(ϕ1

(eiωD,nt + e−iωD,nt

2

)−

− ξn√1− ξ2

n

ϕ3

(eiωD,nt − e−iωD,nt

2i

))−

− ϕ1

(eiβn,ivt + e−iβn,ivt

2

)+

+ ϕ2

(eiβn,ivt − e−iβn,ivt

2i

)]=

=PAn,iϕ2

1 + ϕ22

[e−ξnωnt

(ϕ1 cos (ωD,nt)−

ξnϕ3√1− ξ2

n

sen (ωD,nt)

)−

− ϕ1 cos (βn,ivt) + ϕ2 sen (βn,ivt)

](3.97)

Termino 4: las raıces tambien son s1, s2, s3 y s4

βn,iv

H(s)=

c41

s− s1+

c42

s− s2+

c43

s− s3+

c44

s− s4(3.98)

c41 =βn,iv


2 + ω2n

)s+ 2ωnξnβ2

n,iv2

∣∣∣∣∣s=s1

=

=iβn,iv/ωn[

2√

1− ξ2n

(β2n,iv

2 − ω2n (1− 2ξ2

n))]

+ i [4ω2nξn (1− ξ2

n)](3.99)


c42 =βn,iv


2 + ω2n

)s+ 2ωnξnβ2

n,iv2

∣∣∣∣∣s=s2

=

=−iβn,iv/ωn[

2√

1− ξ2n

(β2n,iv

2 − ω2n (1− 2ξ2

n))]− i[4ω2

nξn(1− ξ2

2

)] (3.100)

c43 =βn,iv


2 + ω2n

)s+ 2ωnξnβ2

n,iv2

∣∣∣∣∣s=s3

=

=i

2[β2n,iv

2 − ω2n

]− i [4βn,iξnωnv]

(3.101)

c44 =βn,iv


2 + ω2n

)s+ 2ωnξnβ2

n,iv2

∣∣∣∣∣s=s4

=

=−i

2[β2n,iv

2 − ω2n

]+ i [4βn,iξnωnv]

(3.102)


c41 =βn,ivξnωn + i

βn,iv(ϕ1+2ω2nξ

2n)

2ωD,n

ϕ21 + ϕ2

2

(3.103)

c42 =βn,ivξnωn − i

βn,iv(ϕ1+2ω2nξ

2n)

2ωD,n

ϕ21 + ϕ2

2

(3.104)

c43 =−βn,ivωnξn + iϕ1

2

ϕ21 + ϕ2

2

(3.105)

c44 =−βn,ivωnξn − iϕ1

2

ϕ21 + ϕ2

2

(3.106)

ϕ1 = β2n,iv

2 − ω2n (3.107)

ϕ2 = 2βn,ivωnξn (3.108)


Finalmente:

PBn,iL−1

[βn,iv

H(s)

]=

=PBn,iϕ2

1 + ϕ22

[(βn,ivξnωn + i

βn,iv(ϕ1 + 2ω2

nξ2n

)2ωD,n

)e(−ξnωn−iωD,n)t+

+

(βn,ivξnωn − i

βn,iv(ϕ1 + 2ω2

nξ2n

)2ωD,n

)e(−ξnωn+iωD,n)t+

+(−βn,ivωnξn + i

ϕ1

2

)eiβn,ivt+

+(−βn,ivωnξn − i

ϕ1

2

)e−iβn,ivt

]=

=PBn,iϕ2

1 + ϕ22

[e−ξnωnt

((2βn,ivξnωn)


2

)+

+βn,iv

(ϕ1 + 2ω2

nξ2n

)ωD,n


2i

))−

− (2βn,ivωnξn)

(eiβn,ivt + e−iβn,ivt

2

)−

− ϕ1

(eiβn,ivt − e−iβn,ivt

2i

)]=

=PBn,iϕ2

1 + ϕ22

[e−ξnωnt

(ϕ2 cos (ωD,nt) + ϕ4 sen (ωD,nt)

)−

− ϕ2 cos (βn,ivt)− ϕ1 sen (βn,ivt)

](3.109)

ϕ4 =βn,iv

(ϕ1 + 2ω2

nξ2n

)ωD,n

(3.110)

Termino 5: las raıces de W (s) son:


1− ξ2n


1− ξ2n

� s5 = βn,iv

� s6 = −βn,iv

s

W (s)=

c51

s− s1+

c52

s− s2+

c53

s− s5+

c54

s− s6(3.111)


c51 =s

4s3 + 6ωnξns2 + 2(ω2n − β2

n,iv2)s− 2ωnξnβ2

n,iv2

∣∣∣∣∣s=s1

=

=

√1− ξ2

n − iξn[2√

1− ξ2n

(−β2

n,iv2 − ω2

n (1− 2ξ2n))]

+ i [4ω2nξn (1− ξ2

n)](3.112)

c52 =s

4s3 + 6ωnξns2 + 2(ω2n − β2


n,iv2

∣∣∣∣∣s=s2

=

=

√1− ξ2

n + iξn[2√

1− ξ2n

(−β2

n,iv2 − ω2

n (1− 2ξ2n))]− i [4ω2

nξn (1− ξ2n)]

(3.113)

c53 =s

4s3 + 6ωnξns2 + 2(ω2n − β2


n,iv2

∣∣∣∣∣s=s5

=

=1

2[ω2n + β2

n,iv2 + 2βn,iξnωnv

] (3.114)

c54 =s

4s3 + 6ωnξns2 + 2(ω2n − β2


n,iv2

∣∣∣∣∣s=s6

=

=−1

2[−ω2

n + β2n,iv

2 + 2βn,iξnωnv] = (3.115)


c51 =

−ϕ3

2 + i

[ξn

2√

1−ξ2n

ϕ1

]ϕ2

3 − ϕ22

(3.116)

c52 =

−ϕ3

2 − i[

ξn

2√

1−ξ2n

ϕ1

]ϕ2

3 − ϕ22

(3.117)

c53 =1

2

ϕ3 − ϕ2

ϕ23 − ϕ2

2

(3.118)

c54 =1

2

ϕ3 + ϕ2

ϕ23 − ϕ2

2

(3.119)


ϕ1 = β2n,iv

2 − ω2n (3.120)

ϕ2 = 2βn,ivωnξn (3.121)

ϕ3 = β2n,iv

2 + ω2n (3.122)

Finalmente:

PCn,iL−1

[s

W (s)

]=

=PCn,iϕ2

3 − ϕ22

[(−ϕ3

2+ i

[ξn

2√

1− ξ2n

ϕ1

])e(−ξnωn−iωD,n)t+

+

(−ϕ3

2− i[

ξn

2√

1− ξ2n

ϕ1

])e(−ξnωn+iωD,n)t+

+ϕ3 − ϕ2

2eβn,ivt +

ϕ3 + ϕ2

2e−βn,ivt

]=

=PCn,iϕ2

3 − ϕ22

[e−ξnωnt

(− ϕ3


2

)+

+ξn√

1− ξ2n

ϕ1


2i

))+

+ ϕ3

(eβn,ivt + e−βn,ivt

2

)−

− ϕ2

(eβn,ivt − e−βn,ivt

2

)]=

=PCn,iϕ2

3 − ϕ22

[e−ξnωnt

(−ϕ3 cos (ωD,nt) +

ξnϕ1√1− ξ2

n

sen (ωD,nt)

)+

+ ϕ3 cosh (βn,ivt)− ϕ2 senh (βn,ivt)

](3.123)

Termino 6: las raıces tambien son s1, s2, s5 y s6

βn,iv

W (s)=

c61

s− s1+

c62

s− s2+

c63

s− s5+

c64

s− s6(3.124)

c61 =βn,iv/ωn

4s3 + 6ωnξns2 + 2(ω2n − β2


n,iv2

∣∣∣∣∣s=s1

=

=iβn,iv[

2√

1− ξ2n

(−β2

n,iv2 − ω2

n (1− 2ξ2n))]

+ i [4ω2nξn (1− ξ2

n)](3.125)


c62 =βn,iv/ωn

4s3 + 6ωnξns2 + 2(ω2n − β2


n,iv2

∣∣∣∣∣s=s2

=

=−iβn,iv[

2√

1− ξ2n

(−β2

n,iv2 − ω2

n (1− 2ξ2n))]− i [4ω2

nξn (1− ξ2n)]

(3.126)

c63 =βn,iv

4s3 + 6ωnξns2 + 2(ω2n − β2


n,iv2

∣∣∣∣∣s=s5

=

=1

2[ω2n + β2

n,iv2 + 2βn,iξnωnv

] (3.127)

c64 =βn,iv

4s3 + 6ωnξns2 + 2(ω2n − β2


n,iv2

∣∣∣∣∣s=s6

=

=−1

2[ω2n + β2

n,iv2 − 2βn,iξnωnv

] (3.128)


c61 =βn,ivωnξn + i

βn,iv(−ϕ3+2ω2nξ

2n)

2ωD,n

ϕ23 − ϕ2

2

(3.129)

c62 =βn,ivωnξn − i

βn,iv(−ϕ3+2ω2nξ

2n)

2ωD,n

ϕ23 − ϕ2

2

(3.130)

c63 =1

2

ϕ3 − ϕ2

ϕ23 − ϕ2

2

(3.131)

c64 =−1

2

ϕ3 + ϕ2

ϕ23 − ϕ2

2

(3.132)

ϕ1 = β2n,iv

2 − ω2n (3.133)

ϕ2 = 2βn,ivωnξn (3.134)

ϕ3 = β2n,iv

2 + ω2n (3.135)


Finalmente:

PDn,iL−1

[βn,iv

W (s)

]=

=PDn,i

ϕ23 − ϕ2

2

[(βn,ivξnωn + i

βn,iv(−ϕ3 + 2ω2

nξ2n

)2ωD,n

)e(−ξnωn−iωD,n)t+

+

(βn,ivξnωn − i

βn,iv(−ϕ3 + 2ω2

nξ2n

)2ωD,n

)e(−ξnωn+iωD,n)t+

+

(ϕ3 − ϕ2

2

)eβn,ivt −

(ϕ3 + ϕ2

2

)e−βn,ivt

]=

=PDn,i

ϕ23 − ϕ2

2

[e−ξnωnt

((2βn,ivξnωn)


2

)+

+βn,iv

(−ϕ3 + 2ω2

nξ2n

)ωD,n


2i

))−

− ϕ2

(eβn,ivt + e−βn,ivt

2

)+ ϕ3

(eβn,ivt − e−βn,ivt

2

)]=

=PDn,i

ϕ23 − ϕ2

2

[e−ξnωnt

(ϕ2 cos (ωD,nt) + ϕ5 sen (ωD,nt)

)−

− ϕ2 cosh (βn,ivt) + ϕ3 senh (βn,ivt)

](3.136)

ϕ5 =βn,iv

(−ϕ3 + 2ω2

nξ2n

)ωD,n

(3.137)

Agrupando todos los terminos, la solucion general de qn(t), para una carga queen el instante t0, esta en la posicion xi del vano i, se obtiene teniendo en cuentaque la ecuacion diferencial es:


= P[An,i cos (βn,iv (t+ xi/v)) +Bn,i sen (βn,iv (t+ xi/v)) +

+Cn,i cosh (βn,iv (t+ xi/v))+Dn,i senh (βn,iv (t+ xi/v))]

t0 ≤ t ≤ t0+(Li − xi) /v(3.138)

Aplicando las propiedades de sumas de angulos en senos y cosenos y volviendo aaplicar las Transformadas de Laplace; se obtiene la siguiente expresion:


qn(t) =qn(t0)e−ξnωn(t−t0)

ωD,nsen (ωD,n(t− t0)) +

+ qn(t0)e−ξnωn(t−t0)

[cos (ωD,n(t− t0)) +

ξn√1− ξ2

n

sen (ωD,n(t− t0))

]+

+PAn,iϕ2

1 + ϕ22

[e−ξnωn(t−t0)

(ϕ1 cos (ωD,n(t− t0))− ξnϕ3√

1− ξ2n


)cos (βn,ixi)−

− e−ξnωn(t−t0)

(ϕ2 cos (ωD,n(t− t0)) + ϕ4 sen (ωD,n(t− t0))

)sen (βn,ixi)−

− ϕ1 cos (βn,iv(t− t0 + xi/v)) + ϕ2 sen (βn,iv(t− t0 + xi/v))

]+

+PBn,iϕ2

1 + ϕ22

[e−ξnωn(t−t0)

(ϕ2 cos (ωD,n(t− t0))+ϕ4 sen (ωD,n(t− t0))

)cos (βn,ixi) +

+ e−ξnωn(t−t0)

(ϕ1 cos (ωD,n(t− t0))− ξnϕ3√

1− ξ2n


)sen (βn,ixi)−

− ϕ2 cos (βn,iv(t− t0 + xi/v))− ϕ1 sen (βn,iv(t− t0 + xi/v))

]+

+PCn,iϕ2

3 − ϕ22

[e−ξnωn(t−t0)

(−ϕ3 cos (ωD,n(t− t0)) +

ξnϕ1√1− ξ2

n


)cosh (βn,ixi) +

+ e−ξnωn(t−t0)

(ϕ2 cos (ωD,n(t− t0)) + ϕ5 sen (ωD,n(t− t0))

)senh (βn,ixi) +

+ ϕ3 cosh (βn,iv(t− t0 + xi/v))− ϕ2 senh (βn,iv(t− t0 − xi/v))

]+

+PDn,i

ϕ23 − ϕ2

2

[e−ξnωn(t−t0)

(ϕ2 cos (ωD,n(t− t0))+ϕ5 sen (ωD,n(t− t0))

)cosh (βn,ixi) +

+e−ξnωn(t−t0)

(−ϕ3 cos (ωD,n(t− t0)) +

ξnϕ1√1− ξ2

n


)senh (βn,ixi)−

− ϕ2 cosh (βn,iv(t− t0 + xi/v)) + ϕ3 senh (βn,iv(t− t0 + xi/v))

]Valido para t0 ≤ t ≤ (t0 + (Li − xi) /v) (3.139)


ϕ1 = β2n,iv

2 − ω2n

ϕ2 = 2βn,ivωnξn

ϕ3 = β2n,iv

2 + ω2n

ϕ4 =βn,iv

(ϕ1 + 2ω2

nξ2n

)ωD,n

ϕ5 =βn,iv

(−ϕ3 + 2ω2

nξ2n

)ωD,n

w(x, t) =∞∑n=1

φn(x)qn(t)

Como se puede comprobar, dicha solucion solo es valida en el intervalo detiempo en el que la carga puntual permanece en el vano; una vez dicha cargaabandona la estructura o cambia de vano, la solucion analıtica cambia.

3.3.2. Solucion para un Tren de Cargas

Como se ha mencionado en el apartado anterior, la solucion dada en la ecuacion(3.139) solo es valida en el intervalo de tiempo en el que la carga permanece en elvano. Por ello, la expresion analıtica de la respuesta de una estructura hiperestaticaante el paso de un tren de cargas, es una funcion definida a trozos. Sea nv el numerode vanos de la estrucutra de estudio y Ne el numero de cargas que pasaran pordicha estructura; el numero de tramos de los que consta la funcion respuesta (NT )son, a lo sumo, el numero de veces que cada carga entra y sale en cada uno de losvanos mas 1, esto es:

NT ≤ (nv + 1)Ne (3.140)

Cada uno de estos tramos esta definido en el intervalo [tk−1, tk] con k = 1, 2, . . . , NT

y tNT=∞ ya que el ultimo tramo de la solucion son oscilaciones libres (amortigua-

das o no) remanentes una vez que todas las cargas han abandonado la estructura.En el caso en el que la distancia entre algunas de las cargas coincida con la luz devano o la suma de luces de distintos vanos consecutivos, el numero de tramos dela funcion sera menor que el maximo especificado en la ecuacion anterior.

A modo de ejemplo, que servira para desarrollar el presente apartado, se con-siderara una estructura hiperestatica de 2 vanos (nv = 2) y un tren de 2 cargas(Ne = 2) cuya separacion es menor que la luz de vano, por tanto, el numero detramos o intervalos temporales seran NT = (2 + 1)2 = 6. Si se observa la Figura3.6, se puede apreciar claramente que los tramos de la funcion respuesta son lossiguientes:


Tramo 1: abarca desde el instante 1 (la primera carga entra en el primertramo) hasta el instante 2 (la segunda carga entra en el primer vano).

Tramo 2: abarca desde el instante 2 hasta el instante 3 (la primera cargacambia de vano).

Tramo 3: abarca desde el instante 3 hasta el instante 4 (la segunda cargacambia de vano).

Tramo 4: abarca desde el instante 4 hasta el instante 5 (la primera cargaabandona la estructura).

Tramo 5: abarca desde el instante 5 hasta el instante 6 (la segunda cargaabandona la estructura).

Tramo 6: abarca desde el instante 6 hasta el infinito. Son oscilaciones libresde la estructura.

Como se puede observar, la solucion dada en la ecuacion (3.139) consta dedos partes, una que representa las vibraciones libres de la estructura y otra querepresenta las vibraciones forzadas a consecuencia de la carga que circula por lamisma. Diferenciando estos dos terminos, la expresion del tramo k de qn(t) es:

qkn(t) = Ψkn(t− tk−1) + Υk,e,i

n (t− te,i) tk−1 ≤ t ≤ tk (3.141)

Ψkn(t− tk−1) =

qkn(tk−1)e−ξnωn(t−tk−1)

ωD,nsen (ωD,n(t− tk−1)) +

+ qkn(tk−1)e−ξnωn(t−tk−1)

[cos (ωD,n(t− tk−1)) +

ξn√1− ξ2

n

sen (ωD,n(t− tk−1))

](3.142)

En la expresion anterior, tk−1 y tk son los instantes inicial y final del tramo k dela funcion respuesta y qn(tk−1) y qn(tk−1) se obtienen de evaluar qn(t) y qn(t) enel instante final del tramo anterior. Esto es:

qkn(tk−1) = qk−1n (tk−1) (3.143)

qkn(tk−1) = qk−1n (tk−1) (3.144)

Por lo general, la estructura partira del reposo en el instante en el que la primeracarga entre en la estructura, ası las condiciones de contorno seran q1

n(t0) = q1n(t0) =

0.

Por otra parte, en la ecuacion (3.145), Υk,e,in (t− te,i) es la parte de la solucion

dependiente de la carga numero ’e’ que se encuentra en el vano ’i’, siendo te,i el


Figura 3.6. Secuencia del paso de 2 cargas por una estructura hiperestatica


instante de tiempo en el que dicha carga ’e’ entra en el vano ’i’.

Υk,e,in (t− te,i) =

PeAn,iϕ2

1 + ϕ22

[e−ξnωn(t−tk−1)

(ϕ1 cos (ωD,n(t− tk−1))−

− ξnϕ3√1− ξ2

n


)cos (βn,ixk,e,i)−

−e−ξnωn(t−tk−1)

(ϕ2 cos (ωD,n(t− tk−1))+ϕ4 sen (ωD,n(t− tk−1))

)sen (βn,ixk,e,i)−

− ϕ1 cos (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v)) + ϕ2 sen (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v))

]+

+PeBn,iϕ2

1 + ϕ22



)cos (βn,ixk,e,i) +

+e−ξnωn(t−tk−1)

(ϕ1 cos (ωD,n(t− tk−1))− ξnϕ3√

1− ξ2n



− ϕ2 cos (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v))− ϕ1 sen (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v))

]+

+PeCn,iϕ2

3 − ϕ22


(− ϕ3 cos (ωD,n(t− tk−1)) +

+ξnϕ1√1− ξ2

n


)cosh (βn,ixk,e,i) +



)senh (βn,ixk,e,i) +

+ ϕ3 cosh (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v))− ϕ2 senh (βn,iv(t− tk−1 − xk,e,i/v))

]+

+PeDn,i

ϕ23 − ϕ2

2





(−ϕ3 cos (ωD,n(t− tk−1)) +

ξnϕ1√1− ξ2

n


)senh (βn,ixk,e,i)−

− ϕ2 cosh (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v)) + ϕ3 senh (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v))

](3.145)

Donde xk,e,i es la posicion inicial del eje e situado en el vano i en el tramo kde la solucion.


Finalmente, la solucion general tendra la siguiente forma:

qkn(t) = Ψkn(t− tk−1) +

Ne,k∑e=1

Υk,e,in (t− te,i) tk−1 ≤ t ≤ tk (3.146)

wk(x, t) =∞∑n=1

φn(x)qkn(t) tk−1 ≤ t ≤ tk (3.147)

Donde Ne,k es el numero de cargas que se encuentran dentro de la estructura enel tramo k de la funcion respuesta.

En el Apendice B se puede consultar las expresiones de wk(x, t) y wk(x, t).Volviendo al ejemplo expuesto anteriormente, la solucion vendra determinada por:

Tramo 1:

q1n(t) = Ψ1

n(t− t0) + Υ1,1,1n (t− t0) t0 ≤ t ≤ t1

Tramo 2:

q2n(t) = Ψ2

n(t− t1) + Υ2,1,1n (t− t0) + Υ2,2,1

n (t− t1) t1 ≤ t ≤ t2

Tramo 3:

q3n(t) = Ψ3

n(t− t2) + Υ3,1,2n (t− t2) + Υ3,2,1

n (t− t1) t2 ≤ t ≤ t3

Tramo 4:

q4n(t) = Ψ4

n(t− t3) + Υ4,1,2n (t− t2) + Υ4,2,2

n (t− t3) t3 ≤ t ≤ t4

Tramo 5:

q5n(t) = Ψ5

n(t− t4) + Υ5,2,2n (t− t3) t4 ≤ t ≤ t5

Tramo 6:

q6n(t) = Ψ6

n(t− t5) t5 ≤ t <∞

En cuanto al numero de modos utilizados, normalmente se suele conseguir unabuena aproximacion a la solucion real considerando solamente unos 3 o 4 modos(n = 1, 2, 3 y 4).

44 3.4. Interaccion Vehıculo-Estructura

3.3.3. Solucion para Vigas Isostaticas

En el caso de vigas isostaticas, la solucion se simplifica ya que An,i = Cn,i =Dn,i = 0 y NT = 2Ne.


Ne,k∑e=1

Υk,en (t− te) tk−1 ≤ t ≤ tk

wk(x, t) =∞∑n=1

φn(x)qkn(t) tk−1 ≤ t ≤ tk

Υk,en (t−te) =

PeBnϕ2

1 + ϕ22

[e−ξnωn(t−te)

(ϕ2 cos (ωD,n(t− te))+ϕ4 sen (ωD,n(t− te))

)−

− ϕ2 cos (βnv(t− te))− ϕ1 sen (βnv(t− te))]

βn =nπ

L

3.4. Interaccion Vehıculo-Estructura

3.4.1. Modelo de Interaccion

Hasta ahora, se ha considerado que las cargas que atraviesan una estructuratienen un valor constante que representa la carga estatica de cada eje; sin embargo,este modelo no representa fielmente la realidad ya que los coches y vagones deun tren de ferrocarril tienen unas suspensiones primarias y secundarias. Dichassuspensiones tienen el objetivo de preservar el nivel de comodidad de los pasajerospor lo que su cometido inmediato es evitar movimientos bruscos de la caja (dondese encuentran los pasajeros o la mercancıa). De esta forma, cuando la vıa del trenesta mas baja de lo habitual, la fuerza que ejerce el eje sobre la vıa disminuyepara que el sistema de suspensiones se alargue y la caja note lo menos posiblelas irregularidad de dicha vıa. Por el contrario, cuando la vıa esta mas alta de lohabitual, la fuerza que ejerce el eje sobre los carriles aumenta para que el sistemade suspensiones se acorte y conseguir el objetivo anterior.

De forma general, se puede trabajar con dos modelos de interaccion diferentes,uno mas general y fiel a la realidad, que es el denominado ’completo’ y que incluyelas suspensiones primarias (entre el eje, o masa no suspendida, y el bogie) y secun-darias (entre el bogie y la caja) y tiene en cuenta los grados de libertad de giro de


·

Figura 3.7. Esquema del Modelo Simplificado

la caja. Sin embargo, el modelo que se aplicara en este documento sera el modelo’simplificado’, que solo tiene en cuenta la suspension primaria y desprecia el efectodel giro de la caja; ademas, dicha caja se contempla como una fuerza aplicadasobre el bogie y no como una masa. El modelo de interaccion simplificado vienerepresentado en la Figura 3.7. Para mas informacion sobre el modelo completo, sepuede consultar [21].

En dicho modelo simplificado, cada eje del tren se representa con una masa nosuspendida o eje (con una masa mw) seguida de un oscilador libre (con coeficientekp de muelle y cp de amortiguador viscoso) que soporta una masa suspendida1

mb/2 y sobre la cual esta aplicada una fuerza puntual2 de valor (mcg) /4 .

3.4.2. Formulacion del Problema de Interaccion

Como se puede apreciar en la Figura 3.7, en el modelo existen dos grados delibertad de desplazamiento vertical, zw y zb. Como hipotesis, se supondra que larueda o eje no se despegara de la vıa, por lo tanto, el grado de libertad zw tendra elmismo valor que la flecha de la estructura en el punto donde se encuentre el eje.

1Esta masa corresponde con la parte del bogie que descansa sobre cada eje. Cada bogieconsta de dos ejes.

2Esta fuerza es el peso estatico de la caja que le corresponderıa a cada eje al no consi-derar el grado de libertad de giro de la misma. Cada caja descansa sobre dos bogies o, loque es lo mismo, 4 ejes.

46 3.4. Interaccion Vehıculo-Estructura

Dicho esto, se tienen dos sistemas que interactuan entre sı, por un lado esta laestructura, cuyas ecuaciones se han expuesto en apartados anteriores y, por otrolado, esta el sistema de suspension del vehıculo. En primer lugar se recordara lasecuaciones de la estructura. Como se menciono en anteriores apartados, al realizarla descomposicion modal, se obtienen nm ecuaciones independientes entre sı, dondenm es el numero de modos de vibracion que se quiere considerar. Dichas ecuacionesse pueden expresar mediante el siguiente sistema matricial.

MEq(t) + CEq(t) + KEq(t) = ΦTF(t) (3.148)

Donde:

ME = diag (m1, m2, . . . , mnm) (3.149)

CE = diag (2ω1ξ1m1, 2ω2ξ2m2, . . . , 2ωnmξnmmnm) (3.150)

KE = diag(ω2

1m1, ω22m2, . . . , ω

2nmmnm

)(3.151)

q(t) = [q1(t), q2(t), . . . , qnm(t)]T (3.152)

Ademas F (t) es un vector de ne elementos, que contiene las cargas de los ejes queestan dentro de la estructura, esto es:

F(t) = [f1(t), f2(t), . . . , fne(t)]T (3.153)

Finalmente, Φ es una matriz de ne × nm elementos con la siguiente forma:

Φ =

φ1(x1) φ2(x1) · · · φnm(x1)φ1(x2) φ2(x2) · · · φnm(x2)

......

. . ....

φ1(xne) φ2(xne) · · · φnm(xne)

(3.154)

Donde φi(xj) es la forma modal del modo i evaluada en la coordenada donde seencuentra el eje j.

Por otro lado, la suspension de los ne ejes del vehıculo que estan dentro de laestructura esta gobernado por el siguiente sistema de ecuaciones:

[Mbb 0

0 Mww

] [zb(t)zw(t)

]+

[Cbb Cbw

Cwb Cww

] [zb(t)zw(t)

]+

+

[Kbb Kbw

Kwb Kww

] [zb(t)zw(t)

]=

[−Fgb

−Fgw

]+

[0

−F(t)

](3.155)

Por el principio de accion-reaccion, F(t) actua en sentido contrario a como lo haceen la estructura.


Para el modelo simplificado, las matrices de la ecuacion anterior tienen lossiguientes valores:

zb(t) =[zb1(t), zb2(t), . . . , zbne

(t)]T

(3.156)

zw(t) =[zw1(t), zw2(t), . . . , zwne

(t)]T

(3.157)

Fgw =[mw1g,mw2g, . . . ,mwne

g]T

(3.158)

Fgb =[(mc1g

4+mb1g

2

),(mc2g

4+mb2g

2

), . . . ,

(mcneg

4+mbne

g

2

)]T(3.159)

Mww = diag(mw1 ,mw2 , . . . ,mwne

)(3.160)

Mbb = diag(mb1

2,mb2

2, . . . ,

mbne

2

)(3.161)

Cbb = Cww = −Cbw = −Cwb = diag(cp1 , cp2 , . . . , cpne

)(3.162)

Kww = Kbb = −Kbw = −Kwb = diag(kp1 , kp2 , . . . , kpne

)(3.163)

Por otra parte, como se podra recordar, al estar el eje en permanente contactocon el carril, las coordenadas zwi para i = 1, 2, . . . , ne coinciden con la flecha de laestructura, esto es:

zw(t) = Φq(t) (3.164)

zw(t) = Φq(t) (3.165)

zw(t) = Φq(t) (3.166)

Teniendo en cuenta las anteriores igualdades, se puede despejar F(t) de la ecuacion(3.155).

F(t) = −Fgw −MwwΦq(t)−Cwbzb(t)−CwwΦq(t)−Kwbzb(t)−KwwΦq(t)(3.167)

Sustituyendo esta expresion en el sistema (3.148):(ME + ΦTMwwΦ

)q(t) +

(CE + ΦTCwwΦ

)q(t)+

+(KE + ΦTKwwΦ

)q(t) + ΦTCwbzb(t) + ΦTKwbzb(t) = −ΦTFgw (3.168)

Del mismo modo, despejando Fgb de (3.155):

Mbbzb(t) + Cbbzb(t) + Kbbzb(t) + CbwΦq(t) + KbwΦq(t) = −Fgb (3.169)

Finalmente, agrupando las dos ecuaciones anteriores, se obtiene el siguiente siste-ma:[

ME + ΦTMwwΦ 00 Mbb

] [q(t)zb(t)

]+

[CE + ΦTCwwΦ ΦTCwb

CbwΦ Cbb

] [q(t)zb(t)

]+

+

[KE + ΦTKwwΦ ΦTKwb

KbwΦ Kbb

] [q(t)zb(t)

]=

[−ΦTFgw

−Fgb

](3.170)

48 3.5. Algoritmos Numericos

En las coordenadas zb(t) vienen incluidos tanto el desplazamiento estatico (de-bido al peso de la masa correspondiente al bogie y la caja) como el desplazamientodebido a la interaccion con la estructura. Si se quiere estudiar unicamente la partede la flecha debida a la interaccion con la estructura, se puede hacer el siguientecambio de variable:

yb(t) = zb(t) + Kbb−1Fgb (3.171)

Introduciendo el cambio de variable en (3.170) se obtiene:[ME + ΦTMwwΦ 0

0 Mbb

] [q(t)yb(t)

]+

[CE + ΦTCwwΦ ΦTCwb

CbwΦ Cbb

] [q(t)yb(t)

]+

+

[KE + ΦTKwwΦ ΦTKwb

KbwΦ Kbb

] [q(t)yb(t)

]=

[ΦT

(−Fgw + KwbKbb

−1Fgb

)0

](3.172)

Estos dos sistemas no estan desacoplados, ademas, no son lineales, por tanto esnecesaria la implementacion de un algoritmo de integracion en el tiempo pararesolverlos.

Finalmente, dado que se habıa realizado una descomposicion modal en lasecuaciones de la estructura, el desplazamiento de la misma viene dado por:

w(x, t) =

nm∑n=1

φn(x)qn(t) (3.173)

3.5. Algoritmos Numericos

3.5.1. Calculo de los Modos Fundamentales de Vibracion

El calculo de las funciones y frecuencias modales de vibracion es un paso ne-cesario que se debe realizar antes de realizar la descomposicion modal y resolverel problema. Como se ha mencionado en anteriores apartados, en el caso de que laestructura de estudio sea una viga isostatica de caracterısticas constantes en todasu longitud, los modos de vibracion y frecuencias fundamentales son las siguientes:

φn(x) = sen(nπLx)

n = 1, 2, . . . ,∞ (3.174)

ωn =(nπL

)2√EI

mn = 1, 2, . . . ,∞ (3.175)

Sin embargo, cuando la estructura es hiperestatica, el procedimiento se com-plica y se deben seguir los pasos que se expusieron en el apartado 3.2.4. Paraello se puede implementar un algoritmo en cualquier lenguaje de programacion


que forme el sistema, calcule el determinante y busque las nm primeras raıces dela funcion resultante. En este caso se ha implementado en MatLab/Octave conla ayuda del calculo simbolico y funciones propias que vienen implementados endichos programas.

Un caso particular de estructura hiperestatica de uso extendido en lıneas fe-rroviarias para estructuras y obras de paso son los porticos intraslacionales o es-tructuras semienterradas; estas se pueden modelizar como vigas continuas de tresvanos empotradas en los extremos. Los modos de vibracion de estas estructuras enparticular ya han sido estudiadas ampliamente en [27] por ejemplo. Si se consideraun portico con las siguientes caracterısticas:

Longitud de los hastiales Lh

Masa por unidad de longitud de los hastiales mh

Inercia de los hastiales Ih

Longitud del dintel Ld

Masa por unidad de longitud del dintel md

Inercia del dintel Id

Modulo de Rigidez E

Las frecuencias fundamentales se pueden obtener mediante la siguiente funcion:

ωn =

(bnLd

)2√EIdmd

(3.176)

Donde bn son las raices positivas de la siguiente ecuacion:[kp (1− cosh (kibn) cos (kibn))

][(cosh (bn) + 1) sen (bn)−(cos (bn) + 1) senh (bn)

]+[

1− cosh (bn) cos (bn)][

cosh (kibn) sen (kibn)− senh (kibn) cos (kibn)]

= 0

(3.177)

kp = 4

√I3d

I3h

md

mh(3.178)

ki =LhLd

4

√IdIh

mh

md(3.179)


Una vez obtenidas las frecuencias de vibracion, las formas modales se obtienenformando el sistema de ecuaciones (3.44) y, para cada modo, sustituir los valoresde βi y obtener los diferentes parametros Ai, Bi, Ci y Di para cada vano3.

Para facilitar el calculo de la primera frecuencia de porticos intraslacionales,se pueden consultar las Figuras 3.8 y 3.9; con las que se obtienen dicha frecuenciade vibracion sin tener que resolver la ecuacion (3.177).

3Como se menciono anteriormente, el sistema es indeterminado, por tanto, hay que darun valor cualquiera a una de las incognitas y calcular el resto.

3.M

odelo

Matem

aticoy

Num

erico51

0 1 2 3 4 5 61.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5Pa

rám

etro

b

Parámetro Kp

Ki=2.00

Ki=1.75

Ki=1.50

Ki=1.25

Ki=1.00

Ki=0.75

Ki=0.50

Ki=0.25

Figura 3.8. Abaco 1 para la obtencion del parametro b1

523.5.

Algoritm

osN

umericos

0 0.5 1 1.5 2 2.51.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Parámetro Ki

Pará

met

ro b

Kp=0

Kp=0.5

Kp=1.0

Kp=2.0

Kp=6.0

Figura 3.9. Abaco 2 para la obtencion del parametro b1


Figura 3.10. Interpolacion lineal de la carga

3.5.2. Metodos de Integracion en el Tiempo basados en la Interpolacion de laExcitacion

Este tipo de algoritmos se utiliza cuando el sistema de ecuaciones esta des-acoplado y su matriz de amortiguamiento es clasica, esto es, cuando la matriz deamortiguamiento es proporcional a la matriz de masas y de rigidez. La solicitacionde la estructura se discretiza en tramos rectilıneos (cometiendo un determinadoerror) como se muestra en la Figura 3.10. Ası la carga en dicho tramo se puedeexpresar como sigue:

P (u) = Pi +Pi+1 − Piti+1 − ti

t = Pi +∆Pi∆ti

t (3.180)

Y la ecuacion que se debe resolver es:

mnqn(t) + 2ωnmnξnqn(t) + ω2nmnqn(t) = Pi +

∆Pi∆ti

t (3.181)

O, reescrita de otra forma:

mnqn(t) + cnqn(t) + knqn(t) = Pi +∆Pi∆ti

t (3.182)

La solucion a esta ecuacion viene resuelta en [7], y es la siguiente:

qn(ti+1) = Aqn(ti) +Bqn(ti) + CPi +DPi+1 (3.183)

qn(ti+1) = A′qn(ti) +B′qn(ti) + C ′Pi +D′Pi+1 (3.184)

qn(ti+1) = Pi+1 − cnqn(ti+1)− knqn(ti+1) (3.185)


A =e−ξnωn∆ti

(ξn√

1− ξ2n

sen (ωD,n∆ti) + cos (ωD,n∆ti)

)(3.186)

B =e−ξnωn∆ti

(1

ωD,nsen (ωD,n∆ti)

)(3.187)

C =1

kn

[2ξnωn∆ti

+ e−ξnωn∆ti

[(1− 2ξ2

n

ωD,n∆ti− ξn√

1− ξ2n

)sen (ωD,n∆ti)− (3.188)

−(

1 +2ξnωn∆ti

)cos (ωD,n∆ti)

]](3.189)

D =1

kn

[1− 2ξn

ωn∆ti+ e−ξnωn∆ti

(2ξ2n − 1

ωD,n∆tisen (ωD,n∆ti) +

2ξnωn∆ti

cos (ωD,n∆ti)

)](3.190)

A′ =− e−ξnωn∆ti

(ωn√1− ξ2

n

sen (ωD,n∆ti)

)(3.191)

B′ =e−ξnωn∆ti

(cos (ωD,n∆ti)−

ξn√1− ξ2

n

sen (ωD,n∆ti)

)(3.192)

C ′ =1

kn

[− 1

∆ti+ e−ξnωn∆ti

[(ωn√1− ξ2

n

+ξn

∆ti√

1− ξ2n

)sen (ωD,n∆ti)+

(3.193)

+1

∆ticos (ωD,n∆ti)

]](3.194)

D′ =1

kn∆ti

[1− e−ξnωn∆ti

(ξn√

1− ξ2n

sen (ωD,n∆ti) + cos (ωD,n∆ti)

)](3.195)

Este algoritmo se puede aplicar a la resolucion de la respuesta de una estructuraante un tren de cargas que pasa con velocidad constante por la misma (sin tener encuenta la interaccion vehıculo-estructura). Aunque es cierto que existe una solucionanalıtica, alternativamente se podrıa aplicar este metodo de resolucion numericocon un paso de tiempo ∆ti lo suficientemente pequeno y teniendo en cuenta que:

Pi =

Ne,i∑e=1

peφn(xe,i) (3.196)

Donde Ne,i es el numero total de ejes que estan dentro de la estructura, pe es elvalor de la carga del eje e y xe,i es la posicion del eje e en el instante ti.


3.5.3. Metodo de Newmark

Este metodo numerico de resolucion es adecuado para sistemas matriciales nolineales, que no esten desacoplados y/o que su matriz de amortiguamiento seano clasica, como los obtenidos cuando se tiene en cuenta la interaccion vehıculo-estructura. El desarrollo completo y obtencion de este algoritmo se puede encontrarpor ejemplo en [9].

Si se tiene un sistema como el siguiente

Mq + Cq + Kq = P (3.197)

Tambien se deben conocer los valores iniciales de desplazamiento y velocidad, estoes q0 y q0. Los pasos a seguir para resolver este sistema, con un paso de tiempoh, mediante el metodo de Newmark son los siguientes:

Paso 1: elegir los valores adecuados para los parametros γ y β.

� Metodo de Aceleracion Media γ = 12 β = 1

4

� Metodo de Aceleracion Lineal γ = 12 β = 1

6

Paso 2: calculo del vector de aceleracion inicial q0

q0 = M−1 (P0 −Cq0 −Kq0) (3.198)

Paso 3: para cada incremento de tiempo (n = 1, 2, . . . , np)

� Paso 3.1: incremento de tiempo

tn = tn−1 + h (3.199)

� Paso 3.2: calculo de los vectores de desplazamiento y velocidad preli-minares

q∗n = qn−1 + (1− γ)hqn−1 (3.200)

q∗n = qn−1 + hqn−1 +

(1

2− β

)h2qn−1 (3.201)

� Paso 3.3: evaluacion del vector de aceleracion

S = M + γhC + βh2K (3.202)

qn = S−1 (Pn −Cq∗n −Kq∗n) (3.203)

� Paso 3.4: correccion

qn = q∗n + γhqn (3.204)

qn = q∗n + βh2qn (3.205)

56 3.6. Pruebas de Validacion

3.6. Pruebas de Validacion

Para el estudio de pasos superiores se ha creado un programa partiendo de laversion existente de CALDINTAV [4]. Se han implementado tres algoritmos quecalculan la respuesta mediante modelos diferentes:

ASI: calcula la respuesta analıtica de porticos y puentes continuos ante elpaso de trenes representados mediante cargas puntuales.

ITSI: calcula al respuesta mediante integracion en el tiempo (con interpola-cion de la excitacion) de porticos y puentes continuos ante el paso de trenesrepresentados como cargas puntuales.

ITCI: calcula la respuesta, mediante la integracion en el tiempo por el meto-do de Newmark, de porticos y puentes continuos ante el paso de trenes.En este caso, dichos trenes se modelizan mediante el modelo de interaccionsimplificado (ver Apartado 3.4); es decir, se tiene en cuenta la interaccionvehıculo-estructura.

3.6.1. Prueba de Validacion de ASI

Se ha estudiado un portico con las siguientes caracterısticas

Longitud de los hastiales Lh = 6,20 m

Masa por unidad de longitud de los hastiales mh = 11762,5 kg/m

Inercia de los hastiales Ih = 0,098021 m4

Longitud del dintel Ld = 8,5 m

Masa por unidad de longitud del dintel md = 23525,0 kg/m

Inercia del dintel Id = 0,784167 m4

Modulo de Rigidez comun E = 3,545 · 1010 N/m2

ante el paso del tren ICE3 a una velocidad de 120 km/h. Solo se tienen en cuenta2 modos de vibracion, el paso de tiempo es h = 0,001 s y se supone una relacion deamortiguamiento de ξn = 0,0315. En la Figura 3.11 se compara el calculo medianteel programa de elementos finitos FEAP y la solucion analıtica obtenida con ASI.

3.M

odelo

Matem

aticoy

Num

erico57

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

−0,10

−0,08

−0,06

−0,04

−0,02

0,00

0,02

Tiempo (s)

Des

pla

zam

iento

(mm

)

Desplazamiento en el punto central del dintel

Solucion dada por FEAPSolucion Analıtica

Figura 3.11. Validacion de ASI


3.6.2. Prueba de Validacion de ITSI

Se ha vuelto a obtener la respuesta del portico anterior pero ahora medianteuna integracion numerica basada en la interpolacion de la excitacion (Apartado3.5.2).

En la Figura 3.12 se compara la respuesta obtenida mediante la integracionnumerica en el tiempo (ITSI) y la solucion analıtica obtenida con ASI (ya validada).

3.M

odelo

Matem

aticoy

Num

erico59

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

−0,10

−0,08

−0,06

−0,04

−0,02

0,00

0,02

Tiempo (s)

Des

pla

zam

iento

(mm

)

Desplazamiento en el punto central del dintel

Solucion con Integracion en el TiempoSolucion Analıtica

Figura 3.12. Validacion de ITSI


3.6.3. Prueba de Validacion de ITCI

Para validar la subrutina que implementa la interaccion vehıculo-estructura seresolvera el caso de un puente isostatico de las siguientes caracterısticas:

Longitud L = 20 m

Masa por unidad de longitud m = 20000 kg/m

Primera frecuencia de vibracion f0 = 4 Hz

por el que pasa el tren ICE2. Se debe tener en cuenta para analizar los resultadosque la flecha estatica que provoca el tren tipo UIC71 es de δUIC71 = 11,79 mm.

Los resultados de este problema se muestran en [2], y se exponen en la Figura3.13.

Figura 4.3. Respuesta dinámica de puentes de distinta luz: tren ICE2, �echa dinámica en centro de vano. Puentes ERRI de luces L = 20, 30 y 40 m ( L = 20 m, f 0 = 4 Hz, r = 20000 kg/m,

dUIC71 = 11,79 mm; L = 30 m, f 0 = 3 Hz, r = 25000 kg/m, dUIC71 = 15,07 mm; L = 40 m, f 0 = 3 Hz, r = 30000 k g/m, dUIC71 = 11,81 mm). Todos los cálculos con amortiguamiento z = 2%

0

0.5

1

1.5

2

150 200 250 300 350 400

δ max

/ δ L

M71

en

cent

ro d

e va

no

velocidad del tren (km/h)

L=40 mL=40 m + interacciónL=30 mL=30 m + interacciónL=20 mL=20 m + interacción

Figura 3.13. Resultados de [2] para la validacion de ITCI

Y, a continuacion, en la Figura 3.14 se muestran los resultados obtenidos conITCI.


120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Velocidad del Tren (km/h)

Des

pla

zam

iento

rela

tivo

(δ/δ

UIC

71)

Desplazamiento en el punto central de la viga

Resultados SIN InteraccionResultados CON Interaccion

Figura 3.14. Validacion de ITCI

Como se puede apreciar, los resultados son muy similares.

Estudio y Analisis de CasosReales C

apıt

ulo

44.1. Descripcion

4.1.1. Lınea Madrid-Barcelona-Frontera Francesa

Las estructuras semienterradas que se han analizado estan situadas en la lıneade alta velocidad Madrid-Barcelona-Frontera Francesa (en la Figura 4.1 se indicasu recorrido), mas concretamente en el tramo Madrid-Zargoza.

La Lınea de Alta Velocidad Madrid–Barcelona–Frontera Francesa, de 804 kilome-tros de longitud total, es uno de los principales ejes de comunicacion de Espanacon Europa.

En 2008 la lınea conecto las ciudades de Madrid y Barcelona. El tramo Fi-gueres–Perpignan se puso en servicio en diciembre de 2010. En enero de 2013 se

Figura 4.1. Lınea de Alta Velocidad Madrid-Barcelona-Frontera Francesa

64 4.1. Descripcion

completo la lınea, con la puesta en servicio del tramo entre Barcelona y Figueres.Tras sus primeros cinco anos de funcionamiento, entre 2008 y 2013, los serviciosde Renfe Madrid-Zaragoza-Barcelona han registrado un total de 27.2 millones declientes. De estos, cerca de 16 millones corresponden a relaciones que enlazan Ca-taluna con Madrid.

Esta infraestructura permite la conexion en alta velocidad entre las cuatrocapitales de provincia catalanas y de estas con el resto de Espana. La lınea es el ejevertebrador del Corredor Noreste, incluido en el eje prioritario nº 3 en materia detransporte para la Comision Europea. Tambien forma parte sustancial del CorredorFerroviario Mediterraneo, infraestructura cuya construccion impulsara el desarrollode todo el litoral desde Cataluna hasta Andalucıa.

El trazado permite la circulacion a velocidades de hasta 350 km/h en practi-camente el 86 % del recorrido, aunque Renfe Operadora lo explota comercialmentea una velocidad maxima de 310 km/h, tras la entrada en servicio en 2011 delERTMS Nivel 2. Algunas de las caracterısticas de la lınea que permiten el desarro-llo de estas velocidades y la interoperabilidad de esta infraestructura de acuerdo ala normativa europea son:

Ancho de vıa internacional, sistema de senalizacion compatible, electrifica-cion estandar

Curvas de radio mınimo de 7000 m en vıa general

Rampas inferiores a 2,5 milesimas

Peralte maximo 140 mm

Desvıos aptos para 350 km/h

4.1.2. Estructuras Semienterradas

Se han estudiado un total de 77 estructuras semienterradas o porticos, cuyascaracterısticas han sido recopiladas por Jose Joaquın Soriano Munoz [28], para suTrabajo Fin de Master, de datos internos de ADIF. Dichos datos vienen reflejadasen el Cuadro 4.1.

Leyenda

ID = Codigo de Identificacion

Subtramo = Subtramo de la lınea donde esta situada la estructura

P.K. = Punto Kilometrico


Tipo = Tipologıa de la estructura (Marco o Portico)

L = Luz que salva la estructura

H = Altura de la estructura

Lt = Longitud transversal a la direccion de las vıas

AE = Angulo de Esviaje de la vıa principal con la vıa de comunicacioninferior

CD = Canto del Dintel

CH = Canto de los Hastiales

AB = Altura de la Banqueta de tierras (medida en perfiles longitudinalesentre el eje de rodadura y el paramento superior del dintel).

f0 = Primera frecuencia fundamental de la estructura, calculada segun elApartado 3.2

664.1.

Descrip

cion

ID Subtramo P.K. Tipo L(m) H(m) Lt(m) AE(grados) CD(m) CH(m) AB(m) f0(Hz)

1 Conexion 000+954 M 7,00 5,00 27,50 75,55 0,70 0,60 5,00 13,602 Conexion 001+308 M 7,00 5,00 13,00 76,66 0,50 0,50 0,80 17,413 I 011+128 M 9,50 9,50 107,70 14,88 0,90 0,90 0,10 16,954 I 014+578 M 7,00 5,80 34,35 122,22 0,80 0,80 6,10 16,025 I 015+596 M 7,00 5,80 14,70 93,59 0,70 0,70 1,22 22,646 I 016+567 M 8,00 5,80 11,26 56,18 0,80 0,80 0,89 23,417 III 032+410 M 8,00 6,60 20,20 100,00 0,80 0,80 2,40 17,238 III 037+240 M 9,50 4,30 14,00 100,00 0,70 0,70 1,23 14,759 III 039+033 M 10,58 6,00 15,61 124,44 0,80 0,89 0,97 15,1210 III 039+820 M 8,00 5,90 17,32 100,00 0,70 0,70 0,90 19,6311 III 040+310 M 8,00 6,54 17,32 100,00 0,70 0,70 1,20 17,5312 III 041+571 M 8,00 6,45 19,21 100,00 0,70 0,70 2,30 14,7113 III 041+990 M 8,00 5,90 14,00 100,00 0,70 0,70 2,30 15,1714 III 042+955 M 8,00 5,90 14,00 100,00 0,70 0,70 1,93 16,0515 IV 046+048 M 15,00 7,30 8,02 54,44 1,25 1,00 0,00 13,8216 IV 052+233 P 7,00 5,77 14,00 100,00 1,00 1,00 0,00 45,2317 V-a 062+131 M 8,00 5,80 54,67 71,63 0,95 0,50 7,36 10,8218 V-a 064+509 M 6,00 3,00 28,45 100,00 0,60 0,60 0,95 31,8619 V-a 065+268 M 8,00 4,90 17,55 100,48 0,95 0,50 1,15 20,3820 V-a 067+348 M 8,00 4,90 13,95 100,00 0,95 0,50 0,80 21,8621 V-a 072+068 M 8,00 4,90 14,17 94,00 0,95 0,50 1,40 19,4922 V-a 074+481 M 8,00 5,80 26,73 45,56 1,00 0,50 0,72 21,3423 V-b 084+531 M 8,00 5,80 19,20 100,00 0,80 0,40 1,79 13,6124 V-b 088+531 M 8,00 5,80 24,00 100,00 0,80 0,40 3,07 11,6125 V-b 089+911 M 8,00 5,00 16,80 100,00 0,80 0,40 1,66 14,5826 V-b 091+820 M 8,00 5,80 16,80 100,00 0,80 0,40 1,75 13,6927 V-b 098+471 M 8,00 5,80 18,25 100,00 0,80 0,40 1,64 13,91

4.E

studioy

Analisis

deC

asosR

eales67


28 VI-a+b 103+009 M 6,00 4,50 16,63 100,00 0,55 0,55 0,80 26,1729 VI-a+b 103+728 P 8,00 6,50 16,49 100,00 1,10 1,00 1,58 27,5530 VI-a+b 106+474 M 5,00 3,50 17,15 100,00 0,50 0,50 1,40 29,4631 VI-a+b 107+498 P 8,00 7,00 16,72 100,00 1,10 1,00 1,10 28,2832 VI-c 133+565 P 8,00 5,30 28,30 90,97 0,90 0,95 3,95 18,7633 VI-c 134+599 M 8,00 6,00 31,60 121,93 0,90 0,95 4,43 17,4334 VI-c 135+398 M 8,00 6,80 31,90 108,41 0,95 0,95 4,96 16,8135 VI-c 137+104 P 8,00 6,00 20,01 116,19 0,85 0,90 3,41 17,7836 VI-c 137+464 P 8,00 5,80 33,35 53,92 0,85 0,90 3,15 18,4537 VI-c 140+227 P 8,00 5,80 21,17 100,00 0,85 0,90 2,55 19,8438 VI-c 141+051 P 11,00 6,00 25,80 86,14 1,20 1,20 3,45 15,6039 VII 146+662 P 8,00 6,85 19,20 100,00 1,00 0,80 1,21 22,9740 VII 147+412 M 8,00 8,40 34,60 66,14 0,60 0,60 3,59 9,1241 VII 149+584 M 8,00 5,92 23,20 100,00 1,00 0,80 3,59 18,4342 VII 149+898 P 8,00 6,02 43,95 41,11 1,00 0,80 0,68 27,1543 VII 154+371 M 12,00 6,50 18,00 92,22 0,85 0,85 0,85 12,4144 VII 157+422 M 8,00 6,00 24,28 100,00 0,60 0,60 5,44 8,7545 VII 159+362 M 8,00 5,92 38,20 56,00 1,00 0,80 1,23 24,7746 VII 159+682 M 5,00 4,00 19,70 86,81 0,35 0,35 1,57 16,5747 VII 159+917 M 8,00 5,92 20,30 90,00 1,00 0,80 2,25 21,3548 VIII 165+634 M 4,00 4,00 15,00 100,00 0,40 0,25 0,67 20,0749 VIII 171+434 M 5,00 5,57 15,00 100,00 0,80 0,45 1,35 24,5950 IX-X 178+448 M 8,00 5,50 18,00 100,00 1,20 0,80 1,60 27,2851 IX-X 180+348 M 8,00 5,50 17,70 100,00 1,20 0,80 1,60 27,2852 IX-X 184+248 M 10,00 5,50 25,00 89,00 1,50 1,00 5,19 17,4953 IX-X 185+648 M 8,00 5,50 18,00 100,00 1,20 0,80 2,03 25,7654 IX-X 189+548 M 8,00 5,50 28,72 60,21 1,20 0,80 1,47 27,79

684.1.

Descrip

cion


55 IX-X 193+418 M 14,00 6,00 23,00 53,00 1,50 1,50 2,03 15,8156 IX-X 193+948 M 8,00 5,30 21,52 55,19 1,20 0,80 1,41 28,3957 IX-X 196+648 M 8,00 5,50 18,00 100,00 1,20 0,80 1,35 28,2958 XII-a 207+199 M 10,00 5,80 26,35 61,00 0,80 0,80 2,26 12,4659 XII-a 208+919 M 10,00 5,80 29,71 115,56 0,70 0,60 2,63 9,0060 XII-a 211+619 M 8,00 5,80 21,39 100,00 0,60 0,60 2,17 12,6161 XIII 261+780 M 8,00 6,00 17,18 93,67 0,70 0,70 0,94 19,2862 XIII 263+823 M 8,50 6,00 18,94 78,89 0,70 0,70 1,19 16,5763 XIII 264+939 M 7,00 6,00 30,13 65,56 0,70 0,80 2,94 18,8864 XIII 266+128 M 7,00 6,00 52,55 61,11 0,90 0,90 7,11 17,6265 XIII 267+358 M 7,00 6,00 17,38 108,89 0,70 0,70 1,08 22,8066 XIII 268+557 M 12,00 6,00 18,86 108,89 0,90 0,90 0,92 13,3367 XIII 270+263 M 7,00 7,00 17,09 100,00 0,70 0,70 0,94 20,5268 XIII 270+981 M 6,00 6,00 42,91 100,00 0,70 0,70 8,08 15,1769 XIII 271+061 M 4,00 3,50 65,90 120,00 0,50 0,50 11,72 18,3970 XIII 271+174 M 7,00 6,00 44,42 95,56 0,70 0,70 8,33 11,4971 XIII 271+290 M 4,00 4,00 53,30 100,00 0,70 0,70 10,50 30,5172 XIII 271+390 M 4,00 4,00 48,88 100,00 0,70 0,70 9,78 31,4773 XIII 271+490 M 4,00 4,00 47,30 100,00 0,70 0,70 9,89 31,3174 XIII 273+523 M 6,00 6,00 27,74 111,11 0,70 0,70 1,67 25,3975 XIII 274+636 M 6,00 6,00 28,00 100,00 0,70 0,70 1,67 25,3976 XIII 275+311 M 8,00 6,00 43,51 100,00 0,70 0,70 0,88 19,5777 XIII 278+651 M 8,00 5,00 18,88 100,00 0,70 0,70 2,50 15,42

Cuadro 4.1. Descripcion de los Porticos


4.1.3. Modelos Ensayados

Las estructuras semienterradas se han modelizado mediante elementos viga,mas concretamente mediante porticos intraslacionales1. Las hipotesis adoptadaspara la realizacion de estos modelos simplificados son las siguientes:

El modelo sera bidimensional, por tanto, la carga coincidira con el centro deesfuerzos cortantes de la seccion.

Los extremos inferiores de los hastiales se supondran totalmente empotradostanto en los marcos como en los porticos.

Se supondra que todo la altura de la banqueta es una masa anadida deldintel, con una densidad de 1900 kg/m3.

El efecto del terreno adyacente a los hastiales se incluira en el calculo me-diante la masa anadida de una rebanada de 1.5 m y densidad de 2100 kg/m3.

Se supondra que los hastiales y el dintel son losas uniformes de hormigonarmado con una densidad de 2500 kg/m3 y un modulo de rigidez de 3,545 ·1010 N/m2.

La razon de amortiguamiento de estas estructuras se calculara segun la IAPF[3], en la que viene reflejado que, para estructuras con menos de 20 m de luz,el amortiguamiento es ξ = 0,02 + 0,001(20−L), siendo L la luz en metros yξ la razon de amortiguamiento en tanto por 1.

Se supondra que la vıa no tiene irregularidades.

En los calculos que incluyen interaccion vehıculo-estructura se ha tenido encuenta el modelo simplificado (consultar Apartado 3.4).

Se supondra que la estructura esta en reposo en el momento en el que se hacepasar el tren de cargas. Por su parte, en la suspension del tren, en los casosque incluyan interaccion vehıculo-estructura, las condiciones iniciales seranzb(t) = −Kbb

−1Fgb o yb(t) = 0, dependiendo del sistema de coordenadaselegido. Esta ultima condicion viene a significar que las suspensiones deltren, cuando entran en la estructura, ya tienen un cierto desplazamientovertical debido al peso del bogie y de la caja.

En base a estas hipotesis, las limitaciones de estos modelos son:

No se tendran en cuenta los posibles esfuerzos y deformaciones por torsion.

1Un portico intraslacional es equivalente a una viga continua de tres vanos cuyos ex-tremos inicial y final estan empotrados.

70 4.1. Descripcion

No se tienen en cuenta el efecto distribuidor de cargas de las traviesas,balasto, sub-balasto y la capa de tierras (si las hubiera).

Los resultados de las estructuras con una altura de banqueta elevada sondemasiado conservadores ya que el efecto distribuidor de la misma es impor-tante.

Los resultados no reflejan el caso en el que varios trenes pasen a la vez porla estructura.

No se consideran los efectos dinamicos laterales (por viento o efecto lazo porejemplo).

A modo de ejemplo, se muestra a continuacion, en la Figura 4.2, las primeras4 formas modales del portico numero 15.

Antes de exponer los resultados obtenidos conviene calcular las frecuencias devibracion de las suspensiones de los trenes que se han ensayado. Para ello, bastacon resolver el siguiente sistema:

K− ω2M = 0 (4.1)

K =

[kp −kp−kp kp

]; M =

[mw 00 mb/2

]Teniendo en cuenta que f = ω

2π , las frecuencias de las suspensiones de los trenesson:

Para el tren ICE2 (Apendice C.2):

� Locomotoras → fICE2−L = 10,20 Hz

� Coches → fICE2−C = 7,59 Hz

Para el tren ICE3 (Apendice C.3) → fICE3 = 4,99 Hz.

En los siguientes apartados se muestran los resultados de las analisis realizados.Para cada portico se ha hecho pasar todos los trenes (con y sin interaccion) aunas velocidades desde 80 hasta 420 km/h; para cada una de esas velocidadesse ha obtenido la respuesta completa en el tiempo y se ha extraıdo el maximodesplazamiento y aceleracion en el centro del dintel. Finalmente, se ha seleccionadoel maximo desplazamiento y aceleracion de todo el grupo de velocidades de paso,quedando ası los resultados que se van a mostrar en este documento.


f1 = 13,82 Hz

(a) Modo 1

f2 = 35,45 Hz

(b) Modo 2

f3 = 42,62 Hz

(c) Modo 3

f4 = 53,12 Hz

(d) Modo 4

Figura 4.2. Formas Modales del Portico 15

72 4.2. Resultados SIN Interaccion

4.2. Resultados SIN Interaccion

4.2.1. Tren ICE2

El conjunto de resultados se expone en el Cuadro 4.2.

Leyenda

ID = Codigo de Identificacion

δmaxdin = Desplazamiento maximo absoluto del punto medio del dintel

δdin/δest = Desplazamiento relativo al estatico (obtenido en la posicion masdesfavorable del tren en la estructura)

Vδmaxdin

= Velocidad del tren con la que se alcanza el valor de δmaxdin .

amax = Aceleracion maxima absoluta que se produce en el punto medio deldintel

Vamax= Velocidad del tren con la que se alcanza el valor de amax

f0 = Primera frecuencia fundamental de la estructura, calculada segun elApartado 3.2

ID δmaxdin (mm) δdin/δest Vδmax

din(m/s) amax (m/s2) Vamax

(m/s) f0 (Hz)

1 0,096 2,565 415 0,485 415 13,602 0,365 2,001 410 2,454 415 17,413 0,015 1,183 400 0,066 415 16,954 0,036 2,043 380 0,196 380 16,025 0,089 1,430 305 0,619 300 22,646 0,123 1,461 315 0,901 320 23,417 0,085 1,722 410 0,468 410 17,238 0,229 1,470 415 0,847 415 14,759 0,174 1,333 415 0,572 415 15,1210 0,120 1,466 265 0,618 270 19,6311 0,145 1,700 415 0,806 415 17,5312 0,132 1,728 350 0,535 350 14,7113 0,178 1,752 360 0,742 360 15,1714 0,178 1,754 380 0,854 380 16,0515 0,356 1,212 330 0,490 330 13,8216 0,028 1,230 395 0,405 390 45,2317 0,064 3,372 345 0,216 345 10,82




(m/s) f0 (Hz)

18 0,034 1,484 330 0,543 330 31,8619 0,087 1,523 275 0,523 280 20,3820 0,109 1,518 295 0,752 300 21,8621 0,108 1,524 265 0,594 265 19,4922 0,050 1,443 290 0,296 305 21,3423 0,205 2,187 415 0,945 415 13,6124 0,247 3,301 370 0,957 370 11,6125 0,169 1,622 345 0,608 415 14,5826 0,224 2,091 415 0,998 415 13,6927 0,185 1,875 415 0,765 415 13,9128 0,090 1,498 270 0,916 270 26,1729 0,038 1,478 375 0,392 375 27,5530 0,080 2,229 400 1,796 415 29,4631 0,038 1,456 380 0,407 385 28,2832 0,031 1,457 255 0,149 255 18,7633 0,035 1,767 415 0,194 415 17,4334 0,033 1,732 400 0,165 400 16,8135 0,065 1,718 415 0,349 415 17,7836 0,033 1,463 250 0,162 415 18,4537 0,051 1,460 270 0,275 270 19,8438 0,037 1,266 415 0,105 415 15,6039 0,050 1,468 310 0,365 315 22,9740 0,245 3,289 290 0,583 290 9,1241 0,040 1,503 250 0,195 250 18,4342 0,021 1,477 365 0,216 370 27,1543 0,342 2,195 395 1,142 395 12,4144 0,328 3,502 280 0,745 280 8,7545 0,024 1,494 335 0,208 340 24,7746 0,264 2,779 390 1,833 395 16,5747 0,046 1,503 290 0,304 290 21,3548 0,109 1,564 270 2,153 415 20,0749 0,027 1,321 415 0,726 415 24,5950 0,036 1,510 370 0,381 375 27,2851 0,036 1,510 370 0,387 375 27,2852 0,020 1,187 415 0,062 415 17,4953 0,036 1,514 350 0,343 350 25,7654 0,022 1,511 375 0,246 380 27,7955 0,043 1,218 380 0,095 375 15,8156 0,029 1,512 385 0,344 390 28,3957 0,035 1,506 385 0,402 385 28,2958 0,209 2,913 395 0,847 395 12,46




(m/s) f0 (Hz)

59 0,317 2,839 285 0,707 405 9,0060 0,364 3,467 400 1,673 400 12,6161 0,122 1,466 260 0,607 265 19,2862 0,147 1,603 390 0,659 395 16,5763 0,040 1,513 415 0,239 415 18,8864 0,017 2,028 415 0,107 415 17,6265 0,077 1,435 310 0,536 305 22,8066 0,237 1,943 415 0,884 415 13,3367 0,080 1,390 280 0,440 275 20,5268 0,030 2,365 360 0,169 360 15,1769 0,016 3,018 250 0,172 250 18,3970 0,078 3,759 365 0,323 365 11,4971 0,007 2,991 415 0,224 415 30,5172 0,007 2,647 415 0,221 415 31,4773 0,007 2,701 415 0,235 415 31,3174 0,029 1,477 260 0,264 260 25,3975 0,029 1,477 260 0,261 260 25,3976 0,048 1,467 265 0,246 270 19,5777 0,126 1,782 365 0,550 370 15,42

Cuadro 4.2. Resultados del Tren ICE2 Sin Interaccion

Aunque es cierto que, generalmente, en un estudio dinamico lo mas crıtico sonlas aceleraciones que se producen en la estructura, en primer lugar se discutiranlos resultados de desplazamientos. Como se puede observar en los cuadros 4.1 y4.2, y reafirmando los resultados de otros autores, las variables que estan masrelacionadas con los resultados del desplazamiento relativo al estatico (δdin/δest)son la primera frecuencia fundamental y el valor de la longitud del dintel.

En la Figura 4.3 se han ploteado los resultados de δdin/δest con respecto ala primera frecuencia fundamental f0. Como se puede observar, para frecuenciasbajas f / 15 Hz, los valores del desplazamiento relativo se disparan, mientras que,por el contrario, para valores de f > 20 Hz, se obtiene que δdin/δest ≈ 1,5 en lamayor parte de los porticos. Como se puede apreciar, hay un grupo de porticoscon frecuencias f ≈ 30 Hz cuyos desplazamientos relativos son superiores a 1,5;esto es debido a que este grupo de porticos tiene un dintel muy corto.

Para vislumbrar la influencia de la longitud del dintel, en la Figura 4.4 se hanpresentado los resultados del desplazamiento relativo en funcion de dicha longi-tud, diferenciando los porticos segun su frecuencia fundamental. De esta figura


10 15 20 25 30 35 40 451

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Frecuencia (Hz)

δ din/δ

est

Desplazamiento Maximo en el Centro del Dintel

Figura 4.3. Desplazamientos Maximos, Tren ICE2, Sin Interaccion-1

se puede concluir que, en general, si se tienen dos porticos con igual frecuencia,el desplazamiento relativo sera mayor en aquel que presente un dintel de menorlongitud.

En cuanto a los resultados de aceleraciones, se aprecia que el parametro quemas influye en los mismos es, sobre todo, la masa unitaria del dintel. En la Figura4.5 se muestran los resultados de aceleraciones con respecto a la masa unitaria deldintel. De este grafico se concluye que para dinteles con masas unitarias menoresde 2 · 105 kg/m, la aceleracion aumenta bastante, aunque sı es cierto que en loscasos ensayados, no se sobrepasan los 2.5 m/s22.

4.2.2. Tren ICE3

El conjunto de resultados se expone en el Cuadro 4.3.



(m/s) f0 (Hz)

1 0,157 4,171 410 0,977 405 13,60

2Como bien se menciona en [29], se puede llegar a aceleraciones pico de 5 m/s2 sinque se produzcan desconsolidaciones del balasto y quedando aun un margen aceptable deseguridad.




(m/s) f0 (Hz)

2 0,349 1,909 385 2,363 390 17,413 0,017 1,194 285 0,052 270 16,954 0,044 2,473 415 0,277 415 16,025 0,089 1,423 415 0,678 415 22,646 0,111 1,251 210 0,646 295 23,417 0,082 1,588 415 0,424 385 17,238 0,320 1,838 415 1,618 415 14,759 0,223 1,427 405 0,785 415 15,1210 0,110 1,268 415 0,651 415 19,6311 0,132 1,469 410 0,703 390 17,5312 0,186 2,309 415 1,077 415 14,7113 0,238 2,222 405 1,300 405 15,1714 0,217 2,026 415 1,123 415 16,0515 0,539 1,382 410 1,554 410 13,8216 0,028 1,267 405 0,624 405 45,2317 0,069 3,402 325 0,249 325 10,8218 0,031 1,364 350 0,440 310 31,8619 0,078 1,281 180 0,421 320 20,3820 0,099 1,280 195 0,601 345 21,8621 0,097 1,277 175 0,497 415 19,4922 0,046 1,243 190 0,256 335 21,3423 0,319 3,178 410 1,793 410 13,6124 0,264 3,288 350 1,089 350 11,6125 0,259 2,327 415 1,507 415 14,5826 0,368 3,205 410 2,071 410 13,6927 0,335 3,171 415 1,929 415 13,9128 0,086 1,441 415 1,307 415 26,1729 0,034 1,262 245 0,276 350 27,5530 0,067 1,801 260 1,283 265 29,4631 0,034 1,247 250 0,287 360 28,2832 0,035 1,569 415 0,228 415 18,7633 0,033 1,573 415 0,185 390 17,4334 0,035 1,760 415 0,161 415 16,8135 0,061 1,553 395 0,349 395 17,7836 0,036 1,558 410 0,225 415 18,4537 0,046 1,263 415 0,319 415 19,8438 0,046 1,269 415 0,117 305 15,6039 0,046 1,253 205 0,308 385 22,9740 0,263 3,346 275 0,683 410 9,1241 0,041 1,445 410 0,243 410 18,4342 0,019 1,258 240 0,157 415 27,15




(m/s) f0 (Hz)

43 0,324 1,606 380 1,024 370 12,4144 0,354 3,588 260 0,863 260 8,7545 0,022 1,270 220 0,155 390 24,7746 0,291 2,937 415 2,651 320 16,5747 0,042 1,274 190 0,217 360 21,3548 0,112 1,859 305 2,344 415 20,0749 0,033 1,580 395 1,281 395 24,5950 0,032 1,270 240 0,281 415 27,2851 0,032 1,270 240 0,286 415 27,2852 0,027 1,283 330 0,097 335 17,4953 0,032 1,279 230 0,261 405 25,7654 0,020 1,273 245 0,172 415 27,7955 0,056 1,201 355 0,100 390 15,8156 0,026 1,272 250 0,228 360 28,3957 0,032 1,274 250 0,271 360 28,2958 0,209 2,502 375 0,933 375 12,4659 0,373 2,818 410 1,008 405 9,0060 0,399 3,613 380 2,005 380 12,6161 0,118 1,341 415 0,689 415 19,2862 0,166 1,692 415 0,750 415 16,5763 0,052 1,955 415 0,448 415 18,8864 0,016 1,936 390 0,108 365 17,6265 0,074 1,376 415 0,532 415 22,8066 0,257 1,629 405 0,908 400 13,3367 0,077 1,329 390 0,638 415 20,5268 0,038 3,012 400 0,250 405 15,1769 0,017 3,818 355 0,202 355 18,3970 0,089 4,273 345 0,389 345 11,4971 0,006 2,860 390 0,150 390 30,5172 0,006 2,844 400 0,174 400 31,4773 0,007 2,853 400 0,178 400 31,3174 0,027 1,413 275 0,412 415 25,3975 0,027 1,413 275 0,408 415 25,3976 0,044 1,274 415 0,253 415 19,5777 0,169 2,268 410 0,997 415 15,42

Cuadro 4.3. Resultados del Tren ICE3 Sin Interaccion

En la Figura 4.6, al igual que en el apartado anterior, se han ploteado losresultados de δdin/δest con respecto a la primera frecuencia fundamental f0. Como


4 6 8 10 12 14 161

1,5

2

2,5

3

3,5

4

Longitud del Dintel (m)

δ din/δ

est


f < 15 Hz15 Hz ≤ f < 20 Hz

f ≥ 20 Hz


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

·106

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Masa Unitaria (kg/m)

a(m

/s2)

Aceleracion Maxima en el Centro del Dintel

Figura 4.5. Aceleraciones Maximas, Tren ICE2, Sin Interaccion


10 15 20 25 30 35 40 451

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Frecuencia (Hz)

δ din/δ

est



se puede observar, para frecuencias bajas, en este caso f < 15 Hz, los valores deldesplazamiento relativo se disparan, mientras que, por el contrario, para valoresde f > 20 Hz, se obtiene que δdin/δest ≈ 1,5 en la mayor parte de los porticos.

En la Figura 4.7 se han presentado los resultados del desplazamiento relati-vo en funcion de dicha longitud, diferenciando los porticos segun su frecuenciafundamental. Las conclusiones son similares a las que se llego con el tren ICE2.

En cuanto a los resultados de aceleraciones, en la Figura 4.8 se muestran losresultados con respecto a la masa unitaria del dintel. Las conclusiones, tambien eneste caso, son similares a las del tren ICE2.

4.3. Resultados CON Interaccion

4.3.1. Tren ICE2

El conjunto de resultados se expone en el Cuadro 4.4. En este caso, en vez de losresultados de desplazamiento y aceleracion absolutos, se muestran los valores rela-tivos a los resultados obtenidos con el modelos sin interaccion vehıculo-estructura.

80 4.3. Resultados CON Interaccion

4 6 8 10 12 14 161

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

Longitud del Dintel (m)

δ din/δ

est


f < 15 Hz15 Hz ≤ f < 20 Hz

f ≥ 20 Hz


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

·106

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Masa Unitaria (kg/m)

a(m

/s2)

Aceleracion Maxima en el Centro del Dintel

Figura 4.8. Aceleraciones Maximas, Tren ICE3, Sin Interaccion


ID δInte/δNOInte Vδmaxdin

(m/s) aInte/aNOInte Vamax(m/s) f0 (Hz)

1 1,007 415 1,007 415 13,602 1,003 410 0,974 415 17,413 1,002 400 1,006 415 16,954 0,998 380 0,997 380 16,025 0,997 305 0,985 300 22,646 0,998 315 0,990 320 23,417 0,997 405 0,993 410 17,238 1,005 415 1,005 415 14,759 1,007 415 1,015 415 15,1210 0,996 265 0,985 270 19,6311 0,998 415 1,004 415 17,5312 0,996 350 0,991 350 14,7113 0,995 360 0,987 360 15,1714 0,998 380 0,996 380 16,0515 0,992 330 0,982 325 13,8216 1,002 390 0,986 390 45,2317 0,999 345 0,997 345 10,8218 0,998 325 0,963 330 31,8619 0,998 275 0,985 280 20,3820 0,996 295 0,986 300 21,8621 0,993 265 0,992 265 19,4922 0,998 290 0,991 305 21,3423 1,014 415 1,023 415 13,6124 0,996 370 0,989 370 11,6125 0,999 345 1,005 415 14,5826 1,010 415 1,021 415 13,6927 1,007 415 1,010 415 13,9128 0,994 265 0,983 270 26,1729 1,000 370 1,000 375 27,5530 1,000 400 0,994 415 29,4631 1,001 380 1,001 385 28,2832 0,998 255 1,008 255 18,7633 1,001 410 0,994 415 17,4334 0,997 395 0,995 400 16,8135 1,006 415 1,009 415 17,7836 1,003 415 1,001 415 18,4537 0,995 270 1,006 270 19,8438 1,002 415 0,988 415 15,6039 0,999 310 0,993 315 22,9740 0,998 290 0,994 290 9,1241 0,998 250 1,004 250 18,43




42 1,003 365 1,001 370 27,1543 0,992 395 0,981 395 12,4144 0,994 280 0,991 280 8,7545 1,000 335 0,993 340 24,7746 1,000 390 0,991 390 16,5747 0,996 290 0,993 290 21,3548 1,004 270 1,037 415 20,0749 1,002 415 1,004 415 24,5950 0,997 370 0,985 370 27,2851 0,997 370 0,985 370 27,2852 1,000 415 0,986 415 17,4953 0,996 345 0,998 350 25,7654 0,999 375 0,997 380 27,7955 1,000 375 0,998 375 15,8156 0,997 385 0,987 390 28,3957 1,000 380 1,000 385 28,2958 0,999 395 0,995 395 12,4659 0,997 285 0,992 405 9,0060 0,997 400 0,994 400 12,6161 0,997 260 0,986 265 19,2862 1,003 390 0,991 395 16,5763 1,005 415 1,012 415 18,8864 1,003 415 1,005 415 17,6265 0,993 310 0,985 310 22,8066 1,017 415 1,011 415 13,3367 0,999 275 0,997 275 20,5268 0,998 360 0,999 360 15,1769 1,001 250 1,002 250 18,3970 1,000 365 1,001 365 11,4971 1,002 415 1,007 415 30,5172 1,014 415 1,030 415 31,4773 1,014 415 1,026 415 31,3174 0,999 260 0,998 260 25,3975 0,999 260 0,998 260 25,3976 0,998 265 0,991 270 19,5777 0,999 365 0,982 370 15,42

Cuadro 4.4. Resultados del Tren ICE2 Con Interaccion


10 15 20 25 30 35 40 45

0,96

0,98

1

1,02

1,04

Frecuencia (Hz)

aInte/a

NOInte

Aceleracion Relativa en el Centro del Dintel

Figura 4.9. Aceleraciones Relativas, Tren ICE2

En base a estos resultados, y apoyandose en la Figura 4.9, se puede afirmarque el hecho de tener en cuenta las suspensiones del tren no supone variacionessignificativas en los resultados. Esto puede ser debido a que las frecuencias devibracion de las estructuras difieren de la frecuencia de vibracion del conjunto dela suspension; no produciendose ası, una absorcion importante de energıa por partede las mismas. Ademas, en la estructura no se producen efectos resonantes, quees el escenario en el que las suspensiones tienen un efecto mas beneficioso. Dichosefectos resonantes se producen cuando la frecuencia de vibracion de la estructuratiene un valor similar a la siguiente expresion:

α =v

L(4.2)

Siendo v la velocidad de paso del tren y L, la distancia media entre ejes. Para estetren, L ≈ 19 m (distancia media entre bogies), y v ≤ 420/3,6 m/s. Realizandolos calculos se obtiene que α < 6,14 Hz, por lo que se afirma que practicamenteninguno de los porticos incluidos en este estudio entra en resonancia con el pasode este tren.

4.3.2. Tren ICE3

El conjunto de resultados, con el mismo formato que en el apartado anterior,se expone en el Cuadro 4.5.




1 1,002 405 0,999 405 13,602 1,011 385 0,986 390 17,413 0,999 285 0,998 320 16,954 1,005 415 1,003 415 16,025 1,011 415 1,032 415 22,646 0,997 205 1,008 295 23,417 1,004 415 1,003 385 17,238 1,022 415 1,032 415 14,759 1,000 405 1,028 415 15,1210 1,014 415 1,010 415 19,6311 1,009 415 1,003 390 17,5312 1,015 415 1,011 415 14,7113 0,996 405 1,005 405 15,1714 1,010 415 1,014 415 16,0515 0,990 410 0,952 410 13,8216 1,002 400 1,000 400 45,2317 0,999 325 0,998 325 10,8218 1,001 345 1,000 310 31,8619 1,002 180 0,991 320 20,3820 0,998 195 0,999 340 21,8621 0,996 175 1,016 415 19,4922 1,000 190 1,002 335 21,3423 1,002 405 0,988 410 13,6124 0,997 345 0,993 345 11,6125 1,014 415 1,020 415 14,5826 0,997 410 0,993 410 13,6927 1,002 415 0,999 415 13,9128 1,001 415 1,008 415 26,1729 1,000 245 0,990 350 27,5530 1,007 415 0,995 260 29,4631 1,003 250 0,985 360 28,2832 1,004 415 1,006 415 18,7633 1,005 415 0,997 390 17,4334 1,005 415 1,008 415 16,8135 1,001 395 1,008 395 17,7836 1,001 410 0,996 410 18,4537 1,010 415 1,000 415 19,8438 1,003 415 1,014 305 15,6039 0,998 205 0,990 385 22,9740 0,996 275 0,996 410 9,1241 1,000 410 0,998 410 18,43




42 1,002 240 1,007 415 27,1543 0,998 380 0,995 370 12,4144 1,001 260 0,996 260 8,7545 1,000 220 0,997 385 24,7746 1,002 415 0,997 320 16,5747 0,999 190 0,995 335 21,3548 0,997 305 1,012 415 20,0749 0,984 395 0,997 390 24,5950 1,005 240 1,015 415 27,2851 1,005 240 1,015 415 27,2852 1,000 325 0,995 335 17,4953 0,997 230 0,995 400 25,7654 1,003 245 1,019 415 27,7955 0,999 355 0,993 390 15,8156 1,004 250 0,994 360 28,3957 1,003 250 0,984 360 28,2958 0,994 375 0,992 375 12,4659 0,996 410 0,994 405 9,0060 1,000 375 0,986 380 12,6161 1,017 415 1,014 415 19,2862 1,004 415 1,005 415 16,5763 1,007 415 0,991 405 18,8864 1,003 390 0,997 375 17,6265 1,007 415 1,028 415 22,8066 1,000 405 0,984 400 13,3367 1,004 390 1,002 415 20,5268 1,002 400 0,999 405 15,1769 0,998 355 1,005 355 18,3970 0,999 345 0,996 345 11,4971 0,997 390 0,997 390 30,5172 1,006 400 1,009 400 31,4773 0,999 400 1,004 400 31,3174 1,002 275 0,992 415 25,3975 1,002 275 0,992 415 25,3976 1,009 415 0,995 415 19,5777 0,999 410 0,989 415 15,42

Cuadro 4.5. Resultados del Tren ICE3 Con Interaccion


10 15 20 25 30 35 40 45

0,96

0,98

1

1,02

1,04

Frecuencia (Hz)

aInte/a

NOInte

Aceleracion Relativa en el Centro del Dintel

Figura 4.10. Aceleraciones Relativas, Tren ICE3

En este caso, al igual que con el tren ICE2 (ver Figura 4.10), el hecho detener en cuenta las suspensiones del tren no supone variaciones significativas enlos resultados. Para este tren, y al igual que el ICE2, las distancias entre ejes sonmuy variadas, aunque si se toma la distancia media entre bogies, L ≈ 17 m, yv ≤ 420/3,6 m/s, realizando los calculos se obtiene que α < 6,86 Hz. En este casotampoco se produce un efecto resonante evidente en ninguna de las estructuras.


4.4. Conclusiones

Con base a los ensayos realizados y los resultados obtenidos se puede concluirque:

1. Los desplazamientos que resultan de realizar analisis dinamicos a estructurasaporticadas dependen sobre todo de la primera frecuencia fundamental dedicha estructura y de la longitud del dintel. Ası, de forma general, en unaestructura cuya frecuencia sea menor de 15 Hz, cabe esperar que la respuestadinamica sea superior al doble que la respuesta estatica. Por otra parte, sise tienen dos estructuras con frecuencias de vibracion identicas, la respuestarelativa a la estatica sera mayor en aquella que tenga un dintel de menorlongitud.

2. Las aceleraciones (punto crıtico en las estructuras ferroviarias) dependensobre todo de la masa unitaria del dintel. A la vista de los resultados se puedeafirmar que para masas unitarias menores de 2·105 kg/m, la aceleracion crecebastante, quedando siempre por debajo de los 2.5 m/s2. Este hecho se puedeexplicar mediante la segunda ley de Newton, que afirma que bajo una mismacarga, aquel cuerpo con menor masa, adquiere una mayor aceleracion.

3. Los porticos, debido a su hiperestatismo, son estructuras muy rıgidas que,generalmente no presentan problemas de flechas ni aceleraciones excesivas.Quedando estas ultimas, en todas las pruebas realizadas, por debajo de los2.5 m/s2 (valor inferior al lımite de 0,35g que viene reflejado en la normaIAPF[3]).

4. En este tipo de estructuras, el hecho de considerar la interaccion vehıculo-estructura no supone una variacion considerable de los resultados. Comotambien concluyeron otros autores, la suspension genera un efecto beneficio-so a la estructura cuando, en la misma, tienen lugar fenomenos resonantesy/o cuando la frecuencia de las suspensiones coincide con la frecuencia fun-damental de la estructura. En estos casos, debido a la gran rigidez de losporticos y a que las distancias de separacion entre los ejes de los trenesestudiados son muy variadas, es complicado que se reproduzcan dichas con-diciones.

Transformada de Laplace Ape

ndic

e

AA.1. Definicion

La Transformada de Laplace es una tecnica utilizada para resolver ecuacionesdiferenciales ordinarias con coeficientes constantes. Su propiedad mas importanteradica en que reduce dichas ecuaciones diferenciales dependientes de una variable ten ecuaciones algebraicas dependientes de otra variable s. De esta forma, se definela Transformada de Laplace, representada con el operador L, de una funcion f(t)como:

L [f(t)] =

∫ ∞0

f(t)e−stdt = F (s) (A.1)

Por consiguiente, se define la Transformada Inversa de Laplace de una funcionF (s) como:

L−1 [F (s)] =1

2πi

∫ c+i∞

c−i∞F (s)estds = f(t) (A.2)

Para que exista la Transformada de Laplace de una funcion f(t), se debencumplir dos condiciones:

f(t) debe ser continua a trozos

f(t) debe estar acotada, esto es:

|f(t)| ≤ Ceβt (A.3)

Donde C y β son constantes reales.

90 A.2. Propiedades

A.2. Propiedades

Algunas propiedades de las Transformadas de Laplace que han sido de utilidadson:

1. Linealidad: Si [c1, c2, . . . , cn] son constantes y [f1(t), f2(t), . . . , fn(t)] son fun-ciones de t, cuyas Transformadas de Laplace son, respectivamente,[F1(s), F2(s), . . . , Fn(s)]. Se cumple:

L[

n∑i=1

cifi(t)

]=

n∑i=1

ciL [fi(t)] =n∑i=1

ciFi(s) (A.4)

2. Propiedad de Traslacion: Si L [f(t)] = F (s) para s > β, entonces:

L[eatf(t)

]= F (s− a) (A.5)

Donde s− a > β y a puede ser un numero real o complejo.

3. Transformada de Laplace de Derivadas: Si L [f(t)] = F (s) entonces:

L[f ′(t)

]= L

[∂f(t)

∂t

]= sF (s)− f(0) (A.6)

O, de forma general:

L [fn(t)] = L[∂nf(t)

∂tn

]= −f (n−1)(0)− sf (n−2)(0)−

− s2f (n−3)(0)− . . .− s(n−1)f(0)− s(n)F (s) (A.7)

Donde f (k)(0) = ∂kf(t)∂tk

∣∣∣t=0

4. Convolucion de Funciones: sean F (s) y G(s) las Transformadas de Laplacede dos funciones f(t) y g(t) respectivamente. Se cumple:

L [(f ◦ g)(t)] = F (s) ·G(s) (A.8)

A.3. Metodo de las Fracciones Parciales

El metodo de las fracciones parciales es usado para descomponer fracciones depolinomios del tipo F (s) = P (s)

Q(s) tal que, el grado de P (s) sea menor que el de

Q(s). De esta forma es mas sencillo encontrar la Transformada Inversa de Laplacede la funcion F (s). El primer paso es expresar F (s) como:

F (s) =P (s)

(s− a1)(s− a2) . . . (s− an)(A.9)

A. Transformada de Laplace 91

Donde [a1, a2, . . . , an] son las raıces reales y/o complejas de la funcion Q(s). Fi-nalmente, F (s) queda:

F (s) =c1

s− a1+

c2

s− a2+ . . .+

cns− an

(A.10)

ci =P (s)

Q′(s)

∣∣∣s=ai

(A.11)

En el caso en el que Q(s) tenga una raız multiple de orden k, es decir:

Q(s) = (s− a1)k(s− a2) . . . (s− an−k) (A.12)

La funcion F (s) queda de la siguiente forma:

F (s) =c11

s− a1+

c12

(s− a1)2+ . . .+

c1k

(s− an)k+

+c2

s− a2+

c3

s− a3+ . . .+

cn−ks− an−k

(A.13)

c1j =1

(k − j)!∂k−j

∂sk−j

[(s− a1)kF (s)

] ∣∣∣s=a1

(A.14)

Se pueden calcular las Transformadas Inversas de Laplace de estas fracciones te-niendo en cuenta:

L−1

[1

s− ai

]= eait (A.15)

L−1

[1

(s− ai)j]

=tj−1

(j − 1)!eait (A.16)

92 A.4. Ejemplos

A.4. Ejemplos

f(t) F (s) = L [f(t)]

1 1s

t 1s2

tn, n = 1, 2, . . . n!sn+1

eat 1s−a , s > a

tneat, n = 1, 2, . . . n!(s−a)n+1 , s > a

sen(at) as2+a2

cos(at) ss2+a2

t · sen(at) s2−a2

(s2+a2)2

t · cos(at) 2as(s2+a2)2

eat · sen(bt) b(s−)2+b2

eat · cos(bt) s−a(s−a)2+b2

senh(at) as2−a2

cosh(at) ss2−a2

t · Sinh(at) 2as(s2−a2)2

t · cosh(at) s2+a2

(s2−a2)2

Cuadro A.1. Ejemplos de Transformadas de Laplace

En [8] se puede obtener un catalogo mas amplio de Transformadas de Laplace.

Expresiones de lasderivadas de wk(x, t) A

pend

ice

BB.1. Expresiones de wk(x, t)

wk(x, t) =∞∑n=1

φn(x)qkn(t) tk−1 ≤ t ≤ tk (B.1)


Ne,k∑e=1

Υk,e,in (t− te,i) tk−1 ≤ t ≤ tk (B.2)

Ψkn(t− tk−1) = e−ξnωn(t−tk−1)

(qkn(tk−1) cos (ωD,n(t− tk−1))−

− 1√1− ξ2

n

(ξnq

kn(tk−1) + ωnq

kn(tk−1)

)sen (ωD,n(t− tk−1))

)(B.3)

Υk,e,in (t− te,i) = F1 + F2 + F3 + F4 (B.4)

96 B.1. Expresiones de wk(x, t)

F1 =PeAn,iϕ2

1 + ϕ22

[− ξnωne−ξnωn(t−tk−1)


− ξnϕ3√1− ξ2

n



+ e−ξnωn(t−tk−1)

(− ϕ1ωD,n sen (ωD,n(t− tk−1))−

− ξnωnϕ3 cos (ωD,n(t− tk−1))


+ ξnωne−ξnωn(t−tk−1)

(ϕ2 cos (ωD,n(t− tk−1)) +

+ ϕ4 sen (ωD,n(t− tk−1))


− e−ξnωn(t−tk−1)

(− ωD,nϕ2 sen (ωD,n(t− tk−1)) +

+ ϕ4ωD,n cos (ωD,n(t− tk−1))

)sen (βn,ixk,e,i) +

+ ϕ1βn,iv sen (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v)) +

+ ϕ2βn,iv cos (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v))

](B.5)


F2 =PeBn,iϕ2

1 + ϕ22






(− ϕ2ωD,n sen (ωD,n(t− tk−1)) +



− ξnωne−ξnωn(t−tk−1)


− ξnϕ3√1− ξ2

n





− ξnϕ3ωn cos (ωD,n(t− tk−1))


+ ϕ2βn,iv sen (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v))−

− ϕ1βn,iv cos (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v))

](B.6)


F3 =PeCn,iϕ2

3 − ϕ22


(− ϕ3 cos (ωD,n(t− tk−1)) +

+ξnϕ1√1− ξ2

n




(ϕ3ωD,n sen (ωD,n(t− tk−1)) +

+ ξnϕ1ωn cos (ωD,n(t− tk−1))

)cosh (βn,ixk,e,i)−









+ ϕ3βn,iv senh (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v))−

− ϕ2βn,iv cosh (βn,iv(t− tk−1 − xk,e,i/v))

](B.7)


F4 =PeDn,i

ϕ23 − ϕ2

2










(− ϕ3 cos (ωD,n(t− tk−1)) +

+ξnϕ1√1− ξ2

n







− ϕ2βn,iv senh (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v)) +

+ ϕ3βn,iv cosh (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v))

](B.8)


B.2. Expresiones de wk(x, t)

wk(x, t) =

∞∑n=1

φn(x)qkn(t) tk−1 ≤ t ≤ tk (B.9)


Ne,k∑e=1

Υk,e,in (t− te,i) tk−1 ≤ (t− tk−1) ≤ tk (B.10)

Ψkn(t− tk−1) = ωne−ξnωn(t−tk−1)

(1√

1− ξ2n

[ωnξnq

kn(tk−1)−

− qkn(tk−1)(1− 2ξ2

n

) ]sen (ωD,n(t− tk−1))−

−[2ξnq

kn(tk−1) + ωnq

kn(tk−1)

]cos (ωD,n(t− tk−1))

)(B.11)

Υk,e,in (t− te,i) = F1 + F2 + F3 + F4 (B.12)


F1 =PeAn,iϕ2

1 + ϕ22

[ξ2nω

2ne−ξnωn(t−tk−1)


− ξnϕ3√1− ξ2

n



− 2ξnωne−ξnωn(t−tk−1)


− ξnωnϕ3 cos (ωD,n(t− tk−1))



(− ϕ1ω

2D,n cos (ωD,n(t− tk−1)) +

+ ξnωnωD,nϕ3 sen (ωD,n(t− tk−1))


− ξ2nω





+ 2ξnωne−ξnωn(t−tk−1)

(− ωD,nϕ2 sen (ωD,n(t− tk−1)) +



− e−ξnωn(t−tk−1)

(− ω2

D,nϕ2 cos (ωD,n(t− tk−1))−

− ϕ4ω2D,n sen (ωD,n(t− tk−1))


+ ϕ1β2n,iv

2 cos (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v))−

− ϕ2β2n,iv

2 sen (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v))

](B.13)


F2 =PeBn,iϕ2

1 + ϕ22

[ξ2nω










(− ϕ2ω

2D,n cos (ωD,n(t− tk−1))−



+ ξ2nω



− ξnϕ3√1− ξ2

n





− ξnϕ3ωn cos (ωD,n(t− tk−1))



(− ϕ1ω

2D,n cos (ωD,n(t− tk−1)) +

+ ξnϕ3ωnωD,n sen (ωD,n(t− tk−1))


+ ϕ2β2n,iv

2 cos (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v)) +

+ ϕ1β2n,iv

2 sen (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v))

](B.14)


F3 =PeCn,iϕ2

3 − ϕ22

[ξ2nω


(− ϕ3 cos (ωD,n(t− tk−1)) +

+ξnϕ1√1− ξ2

n








(ϕ3ω


− ξnϕ1ωnωD,n sen (ωD,n(t− tk−1))


+ ξ2nω










(− ϕ2ω




+ ϕ3β2n,iv

2 cosh (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v))−

− ϕ2β2n,iv

2 senh (βn,iv(t− tk−1 − xk,e,i/v))

](B.15)


F4 =PeDn,i

ϕ23 − ϕ2

2

[ξ2nω




)cosh (βn,ixk,e,i)






(− ϕ2ω




+ ξ2nω


(− ϕ3 cos (ωD,n(t− tk−1)) +

+ξnϕ1√1− ξ2

n








(ϕ3ω


− ξnϕ1ωnωD,n sen (ωD,n(t− tk−1))


− ϕ2β2n,iv

2 cosh (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v)) +

+ ϕ3β2n,iv

2 senh (βn,iv(t− tk−1 + xk,e,i/v))

](B.16)

Trenes Reales Ape

ndic

e

CC.1. Leyenda

De acuerdo con la Figura 3.7, los distintos parametros que definiran cada ejede los trenes son:

Ne: Numero de Eje

d: Distancia hasta el primer eje

mw: Masa del Eje

mb/2: Masa correspondiente del bogie

mc/4: Carga correspondiente de la Caja

kp: Constante de Rigidez de la suspension primaria

cp: Constante de Amortiguamiento de la suspension primaria

108 C.2. Tren ICE2

C.2. Tren ICE2

Ne d (m) mw (kg) mb/2 (kg) mc/4 (kg) kp (N/m) cp (N s/m)

1 0,00 2003,00 2800,00 15192,00 4,8 · 106 1,08 · 105

2 3,00 2003,00 2800,00 15192,00 4,8 · 106 1,08 · 105

3 11,46 2003,00 2800,00 15192,00 4,8 · 106 1,08 · 105

4 14,46 2003,00 2800,00 15192,00 4,8 · 106 1,08 · 105

5 19,31 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,006 21,81 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,007 38,31 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,008 40,81 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,009 45,71 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0010 48,21 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0011 64,71 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0012 67,21 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0013 72,11 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0014 74,61 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0015 91,11 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0016 93,61 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0017 98,51 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0018 101,01 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0019 117,51 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0020 120,01 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0021 124,91 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0022 127,41 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0023 143,91 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0024 146,41 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0025 151,31 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0026 153,81 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0027 170,31 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0028 172,81 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0029 177,71 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0030 180,21 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0031 196,71 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0032 199,21 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0033 204,11 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0034 206,61 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0035 223,11 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0036 225,61 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0037 230,51 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0038 233,01 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0039 249,51 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,00



40 252,01 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0041 256,91 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0042 259,41 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0043 275,91 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0044 278,41 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0045 283,31 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0046 285,81 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0047 302,31 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0048 304,81 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0049 309,71 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0050 312,21 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0051 328,71 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0052 331,21 1728,00 1186,50 8482,50 1,6 · 106 20000,0053 336,06 2003,00 2800,00 15192,00 4,8 · 106 1,08 · 105

54 339,06 2003,00 2800,00 15192,00 4,8 · 106 1,08 · 105

55 347,52 2003,00 2800,00 15192,00 4,8 · 106 1,08 · 105

56 350,52 2003,00 2800,00 15192,00 4,8 · 106 1,08 · 105

Cuadro C.1. Tren ICE2

110 C.3. Tren ICE3

C.3. Tren ICE3


1 0,00 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,002 2,50 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,003 17,38 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,004 19,88 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,005 24,78 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,006 27,28 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,007 42,15 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,008 44,65 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,009 49,55 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0010 52,05 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0011 66,93 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0012 69,43 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0013 74,33 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0014 76,83 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0015 91,70 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0016 94,20 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0017 99,10 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0018 101,60 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0019 116,48 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0020 118,98 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0021 123,88 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0022 126,38 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0023 141,25 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0024 143,75 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0025 148,65 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0026 151,15 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0027 166,03 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0028 168,53 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0029 173,43 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0030 175,93 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0031 190,80 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0032 193,30 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0033 200,32 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0034 202,82 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0035 217,69 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0036 220,19 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0037 222,69 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0038 225,19 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0039 240,06 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,00



40 254,93 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0041 259,83 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0042 262,33 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0043 264,83 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0044 267,33 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0045 272,23 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0046 277,13 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0047 292,00 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0048 294,50 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0049 297,00 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0050 299,50 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0051 314,37 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0052 329,24 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0053 334,14 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0054 336,64 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0055 339,14 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0056 341,64 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0057 346,54 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0058 351,44 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0059 366,31 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0060 368,81 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0061 371,31 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0062 373,81 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0063 388,68 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,0064 403,55 1800,00 1750,00 13375,00 8,73 · 105 24000,00

Cuadro C.2. Tren ICE3

Bibliografıa

[1] http://www.ferropedia.es.

[2] Direccion General de Ferrocarriles. Documentos complementarios no contra-dictorios para la aplicacion de los Eurocodigos para el calculo de puentes deFerrocarril. Technical report, Ministerio de Fomento de Espana, 2014.

[3] Direccion General de Ferrocarriles. Instruccion de acciones a considerar enpuentes de ferrocarril (IAPF). Technical report, Ministerio de Fomento deEspana, 2010.

[4] J.M. Goicolea et al. CALDINTAV V.2.0 : USER’S GUIDE, 2013.

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