Estudio del acoplamiento RKKY en tricapas de Co/Nb/Co ...

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

Estudio del acoplamiento RKKY en

tricapas de Co/Nb/Co utilizando

magnetorresistencia

por

Victor Hugo Gonzalez

Tesis propuesta como requisito

de grado para el programa de fısica

en la

Facultad de Ciencias

Departamento de Fısica

8 de agosto de 2018

University Web Site URL Here (include http://)

[email protected]

Faculty Web Site URL Here (include http://)

Department or School Web Site URL Here (include http://)

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

Resumen

Facultad de Ciencias

Departamento de Fısica

por Victor Hugo Gonzalez

Se estudio el acoplamiento magnetico a distancia en tricapas de pelıculas delgadas metali-

cas de Co [10 nm]/Nb[x]/Co[10 nm], donde x representa el espesor de la capa de Nb. Se

propuso como punto de partida el modelo RKKY (Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida) pa-

ra la interaccion entre capas ferromagneticas separadas por un conductor no magnetico.

Utilizando el metodo de pulverizacion catodica (sputtering) se fabricaron 10 muestras

con espesores variables de Nb y se estudio la energıa de intercambio de las capas de

Co. Para caracterizar dicha energıa, se empleo un metodo indirecto por medicion de la

resistencia de la muestra en funcion de un campo magnetico externo [1]. De acuerdo a

la teorıa RKKY, el cambio en la resistencia estara explicado con una curva con valor

maximo en campos pequenos. En los experimentos hechos se pudo observar este com-

portamiento y a partir de este pudo obtenerse la razon magnetica para cada espesor.

La razon magnetica es una cantidad que depende del acoplamiento entre las pelıculas

de Co y es proporcional a la energıa de intercambio. Al observar esta razon en funcion

del espesor de Nb, este se comporta acorde con lo predicho por el modelo propuesto,

mostrando ası que la interaccion encontrada es RKKY.

Long range magnetic coupling was studied in thin film metallic trilayers of Co[10 nm]/Nb[

x ]/Co[10 nm], where x is the variable depth of the Nb layer. The RKKY (Ruderman-

Kittel-Kasuya-Yosida) model was proposed as a starting point for the interaction bet-

ween magnetic layers separeted by a non-magnetic conductor. Using sputtering, 10 sam-

ples of different Nb thickness were made and the exchange energy between the Co layers

was studied. To characterize said energy, an indirect method was used, namely via mea-

surement of the resistance of the sample as a function of an external magnetic field

[1]. According to the RKKY theory, the resistance will change following a curve with

maximum value at small fields. This behaviour was observed and the magnetic ratio

was calculated from it. The magnetic ratio is a quantity that depends of the coupling

between the Co films and is proportional to the exchange energy. Observing this ratio

as a function of the thickness of Nb, it behaves according to the proposed model, within

the margin of uncertanty, proving that the studied interaction is indeed RKKY.

University Web Site URL Here (include http://)

Faculty Web Site URL Here (include http://)

Department or School Web Site URL Here (include http://)

[email protected]

Agradecimientos

Gracias a J.G. Ramırez y Edgar Patino por dirigir y aconsejar en la revision bibliografica

y el diseno experimental. A Robinson Moreno, Jackeline Narvaez y Oscar Garzon del

Laboratorio de nanomateriales por ayuda en el montaje experimental, y a Leonardo Rıos

del Laboratorio de nanodispositivos por asistencia en la fabricacion de muestras.

ii

Indice general

Resumen I

Agradecimientos II

Lista de Figuras V

Lista de Tablas VII

1. El acoplamiento magnetico en multicapas 1

1.1. La interaccion RKKY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Magnetorresistencia gigante para el estudio de la interaccion RKKY . . . 3

1.3.1. Conduccion volumetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2. Pelıculas metalicas delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.3. Conductividad en un ferromagneto (Modelo de dos corrientes) . . 6

2. Metodologıa Experimental 11

2.1. Sputtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Fabricacion de las muestras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Magnetorresistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Resultados y Discusion 15

3.1. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1. Fuentes de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.2. Magnetorresistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.3. Razon magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3. Desarrollo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Conclusiones 21

A. Ley de Lorentz 22

B. Reporte extensivo de resultados 24

iii

Contenidos iv

C. Calculo de incertidumbres 28

C.1. Espesor de las capas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

C.2. Resistencia y campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

C.3. Razon magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Bibliografıa 30

Indice de figuras

1.1. Condiciones de frontera de la pelcula delgada . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Ilustracion esquematica de la dispersion dependiente de espın en multica-pas delgadas para (a) configuracion de espın paralela y (b) configuracionde espın antiparalela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Modelo de dos corrientes para GMR en una multicapa F/C metalica.Imagen tomada y traducida de [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Forma esperada de la resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Curva de magnetorresistencia con acoplamiento bajo entre las capas . . . 9

1.6. Medidas de la dependencia de la razon magnetica en funcion del espesordel Cu en multicapas de [NiFeCo/Cu/Co/Cu]. Imagen tomada de [3] . . . 10

2.1. (a) Funcionamiento del Sputtering; (b) Fotografıa del equipo utilizado . . 12

2.2. Esquema de una medicion de 4 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Montaje utilizado para medir magnetorresistencia . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. Angulos respecto al campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1. Resistencia en funcion del campo magnetico para distintos angulos en latricapa Co/Nb/Co con espesor de 0.5 nm. La discontinuidad a campocero se debe a la forma en que las mediciones se hicieron. Sin embargo,esta discontinuidad puede despreciarse ya que hay picos definidos quemuestran un acoplamiento entre capas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Resistencia en funcion del campo magnetico para distintos angulos en latricapa Co/Nb/Co con espesor de 10 nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3. Resistencia en funcion del campo magnetico para 0 grados de la tricapaCo/Nb/Co con espesor de 0.5 nm. El cambio en magnetorresistencia esaproximadamente 0.12 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4. Razon magnetica (MR) en funcion del espesor de la capa de Nb . . . . . . 17

3.5. Curva obtenida en los experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

A.1. Corriente, campo magnetico y fuerza de Lorentz dentro de la muestra . . 22

B.1. Varios experimentos de magnetorreistencia con un espesor de 0.5nm deNb con un angulo de 0o entre la interfaz de las capas y el campo magnetico 24

B.2. Varios experimentos de magnetorreistencia con un espesor de 1nm de Nbcon un angulo de 0o entre la interfaz de las capas y el campo magnetico . 24



v

Lista de Figuras vi






B.10.Varios experimentos de magnetorreistencia con un espesor de 10nm deNb con un angulo de 0o entre la interfaz de las capas y el campo magnetico 27

B.11.Comparacion de las curvas de magnetorresistencia con 0.5nm de Nb paravarios angulos entre la interfaz de las capas y el campo magnetico . . . . . 27

Indice de cuadros

2.1. Tiempos de exposicion de Nb para las distintas tricapas . . . . . . . . . . 13

C.1. Incertidumbres para las cantidades medidas y calculadas . . . . . . . . . . 29

vii

Capıtulo 1

El acoplamiento magnetico en

multicapas

El estudio del acomplamiento magnetico es de gran importancia tanto para el entendi-

miento de fenomenos fundamentales como para aplicaciones practicas en la industria y

la investigacion experimental. Serıa difıcil imaginar el mundo moderno sin el uso y mani-

pulacion de campos magneticos. Los telefonos celulares, los discos duros de estado solido

y la generacion electrica por induccion hacen tal parte de la vida cotidiana que a su uso

no se le da una segunda opinion. Sin embargo, para que exista un campo magnetico

deben existir una serie de factores que vale la pena considerar en detalle. Dos factores

que afectan considerablemente el surgimiento de campos magneticos permanentes son el

ruido termico y la cercanıa entre partıculas con espın.

El ruido termico se denomina a las vibraciones inducidas por la energıa intrınseca que

tienen las partıculas a una temperatura mayor a 0K y es inevitable. Aunque estas vi-

braciones perturban la orientacion relativa de los atomos, puede existir magnetizacion

permanente en algunos materiales a temperaturas tan altas como la ambiente [4]. Por

otro lado, la interaccion de espın se refiere al acomplamiento de los momentos magneticos

de dos partıculas cercanas, donde el enfasis esta en su cercanıa, ya que esta interaccion

disminuye con la distancia [4]. Dado que los modelos clasicos trabajan con interacciones

locales entre atomos con distancias de amstrong (10−10m) es sorprendente que nucleos

de materiales ferromagneticos puedan acoplarse a distancias de nanometros (10−9m).

Este acomplamiento a distancia es conocido como interaccion RKKY.

1

El acoplamiento magnetico en multicapas 2

1.1. La interaccion RKKY

La interaccion RKKY (Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida) se refiere a un mecanismo de

acoplamiento de los momentos magneticos nucleares o los espines electronicos, de la

banda de la capa d o f, en un metal a traves de los electrones de la banda de conduccion

[4].

Originalmente propuesta por M. A. Ruderman y C. Kittel para explicar lineas inusual-

mente gruesas de resonancia magnetica nuclear en plata [4], el modelo emplea teorıa de

perturbaciones de segundo orden para describir acoplamiento indirecto de intercambio;

donde el nucleo atomico interactua con un electon de la banda de conduccion, y este

a su vez interactua con otro espın atomico [4]. Esto crea una interaccion efectiva entre

ambos nucleos a distancias enormes en terminos atomicos.

Ruderman y Kittel [4] consideran un electron movıendose en una red cristalina periodica,

sin tener en cuenta las interacciones con espines nucleares y las vibraciones de la red.

Entonces, el electron puede ser descrito por la funcion de Bloch Φk(~r) = ei~k·~ruk(~r),

donde uk(~r) es la funcion periodica de la red. Primero, es conveniente normalizar Φ para

que a grande volumenes:

V −1∫ ∫ ∫

dτΦ∗kΦk → 1 (1.1)

La interaccion entre espines nuclear y electronico se manifiesta en la estructura hiperfina.

Esta interaccion se puede entender como la dispersion (scattering) entre partıculas. La

matriz elemental para la dispersion de ~k a ~k′ por el momento µ del nucleo en ~r = ~Ri es

S · Ii∆kk′ei(~k−~k′·Ri) (1.2)

∆kk′ =

∫ ∫ ∫dτΦ?

k′(~r∆Φk(~r)) = ∆?k′k

Donde S y I son los operadores de espın por el electron y el nucleo y ∆ es la interaccion

hiperfina. Debido a que esta interaccion es debil comparada con la electron-red cristalina,

puede interpretarse como una perturbacion. Se asume que ambos estados de espın estan

llenos de k = 0 a km. Luego, la interaccion entre los espines nucleares i y j en ~r = ~Ri

y ~r = ~Rj , via doble dispersion de un electron (k → k′ → k), esta caracterizada por el

hamiltoniano:

H(Rij) = −(S · Ii)(S · Ij)∫ km

0

d~k

(2π)3×∫ ∞0

d~k′

(2π)3∆kk′∆k′ke

i(~k−~k′·Rij)

E(~k′)− E(~k)(1.3)


Con una restriccion de estados de k′ > km dada por el principio de exclusion. Sin

embargo, la interaccion hiperfina no depende fuertemente de k. Como las mayores con-

tribuciones de la Eq.(3) estan dadas por k′ ∼ km:

∆kk′∆k′k ' |∆kmkm |2

Integrando en el angulo solido, (1.3) se convierte en:

Ii · Ij |∆kmkm |2|(2π)4R2

ij

∫ km

−kmkdkeikRij ×

[∫ ∞km

+

∫ −km−∞

eik′Rijk′dk′

E(k′)− E(k)

](1.4)

Como la masa efectiva (m∗) no cambia para k en la vecindad de km, E(k) = ~2k2/2m∗,y [4]:

H(Rij) =Ii · Ij

4

|∆kmkm |2m∗

(2π)3R4ijh

2[2kmRijcos(2kmRij)− sin(2kmRij)] (1.5)

1.2. Objetivos

1.2.1. Objetivo general

En el presente trabajo se propone realizar el estudio del acomplamiento RKKY en trica-

pas de Co/Nb/Co. Para hacer esta caracterizacion se propone el siguiente tratamiento.

1.2.2. Objetivos especıficos

Disenar un procedimiento efectivo de manufactura de las muestras.

Determinar el dominio magnetico (energıa de intercambio) de las tricapas variando

el espesor del Nb.

1.3. Magnetorresistencia gigante para el estudio de la in-

teraccion RKKY

Para poder analizar la resistencia en terminos del acoplamiento magnetico entre capas

se utiliza la variacion de la conductividad en metales y pelıculas delgadas. La conduccion

electronica esta descrita por la ecuacion de transporte de Boltzmann con un tiempo de


relajacion dependiente del espın τ↑,↓ donde ↑ y ↓ representan la mayorıa y minorıa de

los electrones en los metales ferromagneticos, respectivamente. La conductividad (y la

resistencia) de esta estructura dependera del angulo 2φ entre las magnetizaciones de

ambas capas ferromagneticas. Este angulo puede cambiarse debido a la aplicacion de un

campo magnetico [2].

1.3.1. Conduccion volumetrica

La conduccion volumetrica en metales se puede modelar con la aproximacion de electro-

nes libres [2]. En esta, la funcion f(~r,~v; t) de distribucion de los electrones de la banda

de conduccion con masa m, carga −e y velocidad de deriva ~v puede modelarse siguiendo

la ecuacion de transporte de Bolztmann:

∂f

∂t+ ~v · ∇f − e ~E∂f

∂t= −f − f0

τ(1.6)

Donde f0(v) es la funcion de distribucion de estado estacionario sin campo y esta dada

por la distribucion de Fermi-Dirac: f0 = 1exp((ε−εf )/kT )+1 con ε = mv2/2 y εF la energıa

de Fermi. Los trminos de la izquierda representan las componentes de difusin y fuerza

externa sobre las partculas y el de la derecha el trmino de colisin. Si se aplica un campo

electrico en la direccion x, la funcion f cambia a f = f0 + g y la funcion g(v) viene dada

por:

g(v) = eEτm

∂f0∂vx

Con τ el tiempo de relajacion de los electrones dispersados por impurezas o fonones

termicos en los metales.

El numero de electrones con velocidad ~v en el espacio infinitesimal d~v, se halla en termi-

nos de la densidad de estados D(v) como dn = D(v)d~v = [2(m/h)3]fd~v con h la cons-

tante de Plank. Luego, la corriente electrica causada por ~E es:

J = −2e[mh

]3 ∫d~vvxg(~v) (1.7)

Utilizando las coordenadas polares en el espacio de velocidades, J se puede expresar

como:

J = −(e2Eτ/m)[2(m/h)3]

∫ ∞0

dvv3∂f0(v)/∂v

∫ 2π

0dφcos2φ

∫ π

0dθsin3θ


Figura 1.1: Condiciones de frontera de la pelcula delgada

J = (4π/3)(e2Eτ/m)v3F [2(m/h)3] = e2Eτn/m = σ0E (1.8)

Esta ultima ecuacion representa la ley de Ohm [2], donde la conductividad es σ0 =

e2τn/m, vF = (h/2πm)(3π2n)1/3 (velocidad de Fermi) y εF = (mv2F )/2 = [(h/2π)2/2m](3π2n)2/3

(energıa de Fermi). Debido a que ∂f0/∂ε = −δ(ε− εF ), la corriente J es llevada por los

electrones de la superficie de Fermi y σ0 es determinada con τ o el camino libre medio

λ = vF τ . [2].

1.3.2. Pelıculas metalicas delgadas

Sondheimer [5] estudia la conductividad electrica en una pelıcula delgada metalica con

espesor t y un campo electrico E dentro del plano. Eligiendo los ejes x y z paralelo y

perpendicular a E (1.1), respectivamente, la funcion g(z,~v) es:

vz∂g(z,~v)

∂z+g

τ=eE

m

∂f0∂vx

La solucion general es:

g(z,~v) =eEτ

m[∂f0(v)

∂vx][1 + F (v)exp(−z/vzτ)]

Donde F (v) es la integral determinada con las condiciones de frontera. Discriminando

las funciones por vz positiva y negativa:

g(z, v)± =eEτ

m[∂f0(v)

∂vx][1 + F (v)±exp(−z/(±vzτ))]

En ambas superficies de la pelıcula delgada, los electrones son parcialmente reflejados

o dispersados difusamente. Entonces, las condiciones de frontera estan dadas, con un

factor especular p, como:

pg(0, v)− = g(0, v)+


pg(t, v)+ = g(t, v)−

Luego:

p[1 + F (v)−] = [1 + F (v)+]

p[1 + F (v)+exp(−t/(vzτ))] = [1 + F (v)exp(t/(vzτ))]

Y las constantes integrales estan determinadas por:

F (v)+ = − 1− p1− pe

tvzτ

F (v)− = F (v)+e−tvzτ

Si hay reflexion especular, p=1, F (v)± = 0, los electrones se comportan como si no

hubiera superficies y la conductividad es la misma que en el caso volumetrico descrito

antes. La distribucon de corriente J(z) a lo largo del eje z es:

J(z) = −e[2(m/h)3]

∫d~vvxg(z,~v)

Usando las coordenadas polares (v, θ, φ), J(z) se puede expresar como:

J(z) = −e[4(mh

)3]eEτ

m

∫ ∞0

dvv3∂f0(v)

∂v

∫ 2π

0dφcos2φ

×∫ π/2

0dθsin3θ[1− (1− p)e−t/2(τvcosθ)

cosh z−t/2τvcosθ

1− pe−t

τvcosθ

]

(1.9)

J(z) = Eσ0[1−3

2

∫ π/2

0dθsin3θ[1− (1− p)e

−tλcosθ ×

cosh[z−t/2λcosθ

]1− pe

−tλcosθ

]] (1.10)

Donde vz = vcosθ. Luego, la conductividad σ de pelıcula delgada es:

σ =

∫ t

0dzJ(z)

Et= σ0[1−

3λ

2t

∫ π/2

0dθcosθ(1− p) 1− e

−tλcosθ

1− pe−t

λcosθ

] (1.11)

1.3.3. Conductividad en un ferromagneto (Modelo de dos corrientes)

En metales no magneticos, los electrones de la banda de conduccion son dispersados

por imperfecciones como los fonones, impurezas y defectos de red y la resistividad se


puede expresar con la ley aditiva ρ(T ) = ρ0 + ρP (T ) (Ley de Matthiessen) [2]. En esta

relacion, el termino independiente de la temperatura ρ0 se llama la resistividad residual

y es debida a dispersion e impurezas, y el segundo termino ρp(T ) es debida a colisiones

de fonones termicos.

En contraste, los electrones de conduccion en metales ferromagneticos son dispersados

por magnones e impurezas magneticas, origindas en las interacciones entre momentos

magneticos de los centros de dispersion y el espın electronico. Electrones con espın pa-

ralelo y antiparalelo a la magnetzacion total son indicados con ↑ y ↓, respectivamente.

A temperaturas suficientemente bajas, la dispersion por magnones es despreciable y los

espines ↑ y ↓ son diferenciables en el proceso de dispersion. Entonces, las corrientes lleva-

das por electrones de alineacion paralela y antiparalela son distintas y la conductividad

puede ser expresada como:

σ = σ↑ + σ↓ (1.12)

Donde σ↑,↓ = e2τ↑,↓n↑,↓/m? con m? la masa efectiva [6].

La conductividad electrica en metales ferromagneticos con varias impurezas metalicas

es considerada con el modelo de las dos corrientes. En este tipo de metales, la mayorıa

de espines en la d↑-banda y la minorıa en la d↓-banda cambian debido a la interaccion

de intercambio entre d-electrones. La banda d↑ se mueve abajo de la d↓-banda con una

energıa de intercambio ε. Como la energıa de Fermi esta encima de la banda d, la banda

d↑ esta llena mientras que la d↓ esta semi-llena. Este desbalance produce un espın (y un

momento magnetico) total en la direccion ↑.

El fenomeno anterior se menciona por completez. Sin embargo, a las temperaturas de los

experimentos que se mencionaran a continuacion (273 K), los espines cambian entre ↑ y ↓a traves de dispersion de magnones y el modelo de las dos corrientes no funciona porque

los espines no son indistintos. A alta temperatura, los espines son afectados por ruido

termico y estan desordenados a rango largo. Sin embargo, aun se alinean localmente en

dominios pequenos. En este caso, la resistividad esta definida por [1]:

ρ =ρ↑ρ↓ + ρ↑↓(ρ↑ + ρ↓)

ρ↑ + ρ↓ + 4ρ↑↓(1.13)

Donde ρ↑↓ es causada por inversion de espın por dispersion. De acuerdo a esta expresion,

la conductividad de la pelıcula delgada dependera del movimiento de los electrones con

espines arriba y abajo.

La magnetorresistencia gigante es un fenomeno en el cual la resistencia de una multi-

capa cambia considerablemente en presencia de un campo magnetico dependiendo de la

alineacion paralela o antiparalela de los espines de capas ferromagneticas adyacentes [2].


El mecanismo que produce esta diferencia puede entenderse como es mostrado en la

fig.1.2. En esta, la corriente que puede circular dependera de la dispersion de los elec-

trones dentro de la capa no magnetica. Cuando el electron pase cerca del nucleo y su

interaccion no desvıe la trayectoria (i.e. tienen el mismo espın), la corriente sera mayor;

y menor en el caso contrario. Entonces, la resistencia sera menor para alineacion parale-

la (ferromagnetica) intercapa y mayor para alineacion antiparalela (antiferromagnetica)

intercapa.

Figura 1.2: Ilustracion esquematica de la dispersion dependiente de espın en multi-capas delgadas para (a) configuracion de espın paralela y (b) configuracion de espın

antiparalela.

Las resistencias de una multicapa ferromagnetica/no-magnetica se denotan por R↑↑ y

R↑↓ para referirse a la alineacion paralela y antiparalela de las magnetizaciones de capas

adyacentes, respectivamente. Las trayectorias para un electron con espın arriba (↑) y

uno abajo (↓) son mostradas esquematicamente en la figura 1.3 [2]. Si el espın electronico

es diferente de la magnetizacion de la siguiente capa, los electrones de la banda de con-

duccion son dispersados mas fuertemente. Entonces, la forma esperada de la resistencia

en funcion del campo magnetico deberıa ser como la observada en la figura 1.4; con el

alineamiento ferromagnetico ocurriendo a campos altos.

Figura 1.3: Modelo de dos corrientes para GMR en una multicapa F/C metalica.Imagen tomada y traducida de [2]


Figura 1.4: Forma esperada de la resistencia

Alternativamente, si existe un acoplamiento pequeno se espera un comportamiento pa-

recido al de la figura 1.5. Los dos picos se deben a que existe una direccion privilegiada

en la que se mueven los electrones. En este caso, el termino ρ↑↓ de la ecuacion (1.13) sera

cero o cercano a cero; y el maximo unicamente dependera del movimiento electronico de

cada alineacion de espın. La parte plana de estos maximos se debe a la saturacion del

acoplamiento en cada direccion de campo magnetico.

Figura 1.5: Curva de magnetorresistencia con acoplamiento bajo entre las capas

Para estudiar la fuerza del acoplamiento entre dos capas se utiliza la razon magnetica

(χ) como la razon de cambio normalizada entre las resistencias asociadas a los dominios

ferromagnetico y antiferromagnetico.

MR =R↑↓ −R↑↑

R↑↑(1.14)

Como puede verse en la seccion 1.1, la energıa de intercambio tiene una dependencia del

radio entre nucleos como:

J ∝2kfrCos(2KF r)− sin(2KF r)

r4(1.15)


Figura 1.6: Medidas de la dependencia de la razon magnetica en funcion del espesordel Cu en multicapas de [NiFeCo/Cu/Co/Cu]. Imagen tomada de [3]

El acoplamiento de intercambio ente la capa i y la capa j puede calcularse integrando

[3]:

Jij ∝sin(2kF r)

r2(1.16)

Con R la distancia entre las capas. Se puede ver que la fuerza del acoplamiento (y la

razon magnetica) decrecera inversamente propocional al cuadrado de la distancia entre

las capas con una oscilacion de perıodo πkF . En la figura 1.6 se muestra un ejemplo de

medidas experimentales de la razon magnetica.

La oscilacion de esta figura se debe a la variacion en el signo de la interaccion RKKY con

el espesor de la capa no-magnetica (Cu). Para campos pequenos, este signo determina

el acoplamiento entre las capas ferromagneticas. La resistencia tendra picos en altos

acoplamientos entre estas y valles en bajos. Adicionalmente, la interaccion se volvera

mas debil con la distancia.

La forma de esta curva es la esperada para las mediciones descritas en el siguiente

capıtulo.

Capıtulo 2

Metodologıa Experimental

Es necesario definir un procedimiento sistematico para la fabricacion efectiva de mues-

tras. El acoplamiento RKKY es un efecto de interfaz. Entonces, es necesario que la

interfaz entre las capas ferromagnetica y no magnetica sea lo mas uniforme posible.

Para esto, se utilizo un proceso de pulverizacion catodica (sputtering).

2.1. Sputtering

La deposicion por pulverizacion catodica, o sputtering, es un proceso de manufactura

de pelıculas delgadas utilizando arcos de plasma. En la Fig. 2.1 se puede observar un

esquema y una fotografıa del aparato utilizado. En el proceso de sputtering , un arco

de plasma excita y desprende los atomos del objetivo. Estos caen y se adhieren en la

muestra que se analizara (el sustrato). Usando este procedimiento se pueden formar

capas de decimas de nanometro con una rugosidad pequena.

Es importante que las tricapas tengan una estructura estratificada uniforme y limpia

para observar los efectos de magnetorresistencia gigante debido a dispersion magnetica

[2]. En [3] se muestra que el metodo de pulverizacion catodica produce capas planas con

una interfaz uniforme entre elementos adyacentes.

2.2. Fabricacion de las muestras

Para manufacturar las tricapas se cortaron piezas de sustrato de silicio y se introdujeron

en la camara exterior del pulverizador. Despues, para cada muestra, se realizo el siguiente

procedimiento experimental.

11

Metodologıa Experimental 12

Figura 2.1: (a) Funcionamiento del Sputtering; (b) Fotografıa del equipo utilizado

1. Se aislo la camara exterior del medio ambiente y se incio a generar un alto vacıo

en ella hasta alcanzar una presion alrededor de 10−6Pa.

2. Se paso la muestra a la camara de deposicion de alto vacıo a 10−8Pa.

3. En la camara de deposicion, el sustrato se puso a rotar a una velocidad angular

constante. Esto con el proposito que el material se distribuya uniformemente.

4. Se introduce un flujo pequeno de Argon a la camara hasta llegar a una presion de

3.3×10−3 Pa.

5. Se hace pasar una corriente por el gas hasta alcanzar una potencia de 150W en el

arco de plasma.

6. Se abre el obturador del recipiente que contiene el material y se deposita una

cantidad sobre el sustrato. La cantidad dependera del tiempo que se deje abierto

el obturador. En el caso de las muestras analizadas hay una tasa de deposicion (en

grosor de la capa) de 7.75 snm para el Co y 25.7 s

nm para el Nb 1.

Para formar las tricapas, se mantuvo cada obturador abierto cierto tiempo. En la tabla

2.1 se muestran los tiempos de exposicion de las muestras fabricadas. Cabe mencionar

que unicamente se vario el espesor de Nb; para las dos capas exteriores de Co se uso un

tiempo uniforme de 77.5 s en cada una.

Ademas de lo anterior, se deposito una capa uniforme de Nb de 10 nm de espesor sobre

todas las muestras para evitar oxidacion de la capa de Co.

1Valores provistos y medidos por el Laboratorio de nanodispositivos de la Universidad de Los Andes


Espesor de Nb (nm) Tiempo (s)

0.5 17.5 ± 0.1

1.0 25.7 ± 0.1

1.5 35.0 ± 0.1

2.0 51.4 ± 0.1

3.0 77.1 ± 0.1

4.0 104.8 ± 0.1

5.0 128.5 ± 0.1

6.0 154.2.0 ± 0.1

7.5 192.8.0 ± 0.1

9.0 231.3 ± 0.1

10.0 257.0 ± 0.1

Cuadro 2.1: Tiempos de exposicion de Nb para las distintas tricapas

2.3. Magnetorresistencia

Con el proposito de caracterizar la razon magnetica (MR) expuesta en el capıtulo 1,

se hizo una medida del cambio de la resistencia electrica de la muestra en funcion del

campo magnetico aplicado sobre esta.

Par medir la resistencia electrica de hizo una medida a cuatro puntos. En la figura 2.2 se

muestra un esquema de la figura. Utilizando pintura de Ag se adhirieron cables delgados

de Cu sin esmaltar a las cuatro esquinas de la muestra. Estos cables se conectaron, en

esquinas opuestas, a una fuente de corriente de 1 mA y a un multımetro. Utilizando la

ley de Ohm (V = IR) se puede determinar la resistencia de la muestra.

Figura 2.2: Esquema de una medicion de 4 puntos

Para estudiar el efecto que tiene el campo magnetico sobre la resistencia, se ubico esta

en el montaje de la figura 2.3. En este, una fuente de voltaje alimenta un electroiman en

cuyo centro se encuentra el objeto de estudio. La corriente que pasa por las bobinas puede

ser controlada con una precision de ± 0.01 A. Para las medidas que se reportaran en el

siguiente capıtulo se hizo un barrido de -0.7 A a 0.7 A. El vector del campo magnetico


va desde -2.34×10−2 T a 2.34×10−2 T. El procedimiento se repitio diez veces en cada

muestra.

Figura 2.3: Montaje utilizado para medir magnetorresistencia

Ademas, se estudio el efecto del angulo entre la interfaz y el campo magnetico. Estos

angulos fueron medidos de acuerdo a la figura 2.4. Esto es necesario ya que, debido a

la ley de Lorentz [Apendice A], los electrones interactuaran con el campo magnetico

aplicado y esta interaccion podrıa generar efectos parasitos que podrıan ser una fuente

significativa de error. Las implicaciones de dicha fuerza y los resultados obtenidos se

detallan en el siguiente capıtulo.

Figura 2.4: Angulos respecto al campo magnetico

Capıtulo 3

Resultados y Discusion

3.1. Resultados

En las siguientes figuras se muestran los resultados mas significativos obtenidos para las

medidas de la resistencia en funcion del campo magnetico para dos capas diferentes de

Co/Nb/Co con espesores de Nb de 0.5 nm y 10 nm. Las figuras con todos los resultados

pueden encontrarse en el apendice B.

Figura 3.1: Resistencia en funcion del campo magnetico para distintos angulos enla tricapa Co/Nb/Co con espesor de 0.5 nm. La discontinuidad a campo cero se debea la forma en que las mediciones se hicieron. Sin embargo, esta discontinuidad puede

despreciarse ya que hay picos definidos que muestran un acoplamiento entre capas.

Como se explica en detalle en el apendice A, el acoplamimento existente debido a la

interaccion RKKY puede verse afectado por la fuerza de Lorentz. Esto puede observarse

15

Resultados y Discusion 16

Figura 3.2: Resistencia en funcion del campo magnetico para distintos angulos en latricapa Co/Nb/Co con espesor de 10 nm

como un cambio significativo en la forma y amplitud de la curva de magnetorresistencia.

Como puede verse en las figuras 3.1 y 3.2, la curva de resistencia es practicamente

plana cuando la direccion de la corriente es perpendicular al campo magnetico. Luego,

se determino que la mejor posicion relativa para observar los cambios en la resistencia

es 0o entre la corriente y el campo magnetico.

Considerando estos resultados, se estudiaron las muestras mencionadas antes para θ = 0.

En la figura 3.3 se muestra la resistencia en funcion del campo magnetico. La forma es

similar a lo mostrado en la fig. 1.5. En el apendice B se observa que todas las muestras

presentan el comportamiento descrito por la teorıa RKKY.

A partir de estos resultados, puede calcularse la razon magnetica (ec. (1.14)) para las

muestras de la tabla 2.1. El comportamiento de todas es coherente con lo visto en las

figuras 1.4 y 1.5. En la figura 3.4 se presenta la razon magnetica en funcion del espesor

de la capa no magnetica.

3.2. Discusion

3.2.1. Fuentes de error

En cada parte del proceso de fabricacion y medicion de las muestras existen fuentes de

error intrınsecas a cada procedimiento. En un esfuerzo por mitigar el impacto de dichos


Figura 3.3: Resistencia en funcion del campo magnetico para 0 grados de la tricapaCo/Nb/Co con espesor de 0.5 nm. El cambio en magnetorresistencia es aproximada-

mente 0.12 %.

Figura 3.4: Razon magnetica (MR) en funcion del espesor de la capa de Nb

errores, se analizo y corrigio su impacto en cada variable. En el apendice C se detalla

como se calculo la propagacion de incertidumbre para cada variable. A continuacion se

mencionan las dos variables mas relevantes para los resultados obtenidos y su discusion:

la razon magnetica y el espesor de la capa de Nb.

Como se puede observar en la fig. 3.4, la razon magnetica tiene una incertidumbre

relativa grande respecto a su valor nominal. Esto se debe a que tiene contribuciones de

incertidumbre del mınimo y el promedio de resistencias. Para evitar un error estadıstico

significativo, se hizo una media de las resistencias en el regimen ferromagnetico y se


Figura 3.5: Curva obtenida en los experimentos

sumo su desviacion estandar a la incertidumbre debido a la medicion. Esto permite

hacer conclusiones mas generales respecto a la precision de R↑↑ C.

El espesor de la capa de Nb tambien juega un papel importante a la hora de evaluar

la validez de la hipotesis propuesta. Como se menciona en el apendice C, la tasa de

deposcion del Nb es lenta (25.7 snm) y permite tener una buena precision sobre el grosor

de dicha capa. La confianza en estas medidas permitieron construir la figura3.4.

3.2.2. Magnetorresistencias

Lo que mas salta a la vista en las curvas de magnetorresistencia presentadas en este

capıtulo y el apendice B es su forma. A pesar que lo esperado es similar a la figura

1.4, su forma esta invertida, como en la figura 3.5. Esta ınversion”se debe al metodo

de medicion utilizado para la resistencia. En el caso clasico reportado en la literatura,

la corriente circula perpendicular a y a traves de las capas de material magnetico y no

magnetico. Esto causa que la dispersion de las partıculas entre los electrodos sea mayor

en la alineacion antiferromagnetica y menor en la ferromagnetica. Como se muestra en

la fig. 1.2, los electrones tienen un menor camino medio si circulan a traves de la tricapa.

Como se menciona en [2], la resistencia sera un efecto macroscopico del camino medio

recorrido por un electon dispersado. Luego, tiene sentido que se presente una caıda en

esta al someterla a un campo magnetico.

En contraste, en el experimento mostrado en 2.2, los electrones se mueven en direccion

paralela a la interfaz entre las placas. La alineacion mostrada en la fig. 1.2 permite

que los electrones sean reflejados en la interfaz intercapa en el caso de la alineacion

antiferromagnetica y deban ir hasta el final de la tricapa para ser reflejados en el caso

de la ferromagnetica. Como ambos electrodos estan ubicados en la capa superior, los


electrones tendran un camino libre medio inferior en el caso antiferromagnetico que en

el ferromagnetico.

La resistencia aumenta con el inverso del campo medio. Debido a que los electrodos estan

situados en una sola de las capas, el camino medio de las partıculas sera menor cuando

se reflejen en la interfaz intercapa. Luego, para el caso de las mediciones descritas, la

resistencia sera pequena para alineacion antiferro (campos bajos) y aumentara conforme

se alineen las capas (campos altos). Este es el caso, tal como se observa en la fig 3.5 y

en todas las mediciones reportadas en el apendice B.

3.2.3. Razon magnetica

Una vez determinada la validez del modelo de GMR en los resultados obtenidos, se

procedio a calcular la razon magnetica usando la ecuacion (1.14). En la figura 3.4 se

puede ver el resultado de dicho calculo y un modelo que aproxima su comportamiento.

La ecuacion de la curva ’Fit’ es:

MR = −(0,64± 0,06)sin((0,41± 0,08)r + 2,26)

r2+ (0,14 + 0,01) (3.1)

Donde r es el espesor de la muestra. El coeficiente de correlacion entre los datos y

el ajuste es χ2 = 0,998. Este resultado es coherente con lo predicho por la ecuacion

(1.16) y la figura 1.6. A partir de esto, se puede concluir un comportamiento oscilatorio

menguante en la energıa de intercambio entre capas ferromagneticas. Esto evidencia un

comportamiento de interaccion RKKY, aunque debil, entre las dos capas de Co.

De lo anterior puede concluirse que el metodo de estudio propuesto para la interaccion

entre las capas ferromagneticas de una tricapa de Co/Nb/Co es el adecuado y arroja

resutados coherentes por lo predicho en la teorıa RKKY. Adicionalmente, con los va-

lores obtenidos estando dentro de la incertidumbre de la teorıa, puede argumentarse

que la metologıa experimental de 4 puntos propuesta es una forma valida de analizar

cuantitativamente el fenomeno de interaccion indirecta entre capas ferromagneticas.

3.3. Desarrollo futuro

En el futuro se planea continuar esta investigacion para caracterizar la razon magnetica

a bajas temperaturas para inducir transiciones de fase y medir la influencia que tiene en

el fenomeno la uniformidad de la superficie de contacto intercapa. La reduccin del ruido

ayudara a la medicion precisa del acoplamiento entre momentos magneticos de capas

adyacentes.


Se caracterizaran a profundidad las muestras usadas con difraccion de rayos X y se

buscaran metodos de reducir el ruido observado en las medidas del apendice B. Todo

esto se hara en el contexto del desarrollo de una manera efectiva de modificar la energıa

de intercambio entre capas ferromagneticas.

Capıtulo 4

Conclusiones

El estudio de interaccion magnetica a distancia es de bastante interes tanto para el

estudio de la fısica basica como para aplicaciones en la deteccion, generacion y utilizacion

de campos magneticos. Por esta razon, la caracterizacion que se hizo resulta importante

porque propone un metodo facil y repetible para el estudio de la teorıa RKKY en

multicapas de Co/Nb/Co.

A partir de los resultados obtenidos puede concluirse que el diseno y manufactura de

las muestras utilizando el metodo de sputtering fue el adecuado porque permitio tener

una buena precision en el grosor de las capas metalicas y una buena uniformidad en la

interfaz entre ellas. Esta ultima es de vital importancia a la hora de observar un efecto

de la forma RKKY [3]. En caso contrario, no se habrıa medido un acoplamiento entre

las capas ferromagneticas coherente con el modelo propuesto.

El estudio del dominio magnetico en las tricapas de Co/Nb/Co fue exitoso, como puede

observarse en la figura 3.4. Es claro un comportamiento oscilatorio menguante, tal como

lo predice la ecuacion (1.16). Dentro de los parametros de los experimentos expuestos

puede decirse que el metodo de medicion fue el adecuado y las tricapas estudiadas

se comportan de acuerdo a lo propuesto por el modelo, con una razon magnetica de

MR = −(0,64± 0,06) sin((0,41±0,08)r+2,26)r2

+ (0,14 + 0,01).

Dadas las condiciones del experimento, se concluye que las tricapas de Co/Nb/Co presen-

tan acoplamiento magnetico a distancia entre las capas ferromagneticas que es coherente

con la teorıa RKKY.

21

Apendice A

Ley de Lorentz

La ley de Lorentz determina la interaccion de una partıcula cargada en movimiento y un

campo magnetico externo. La fuerza que siente dicha parıcula esta dada por la ecuacion:

~F = q~v × ~B (A.1)

Con q la carga de la partıcula, ~v su velocidad y ~B el campo magnetico externo. Aunque

la direccion de la corriente se comporta como un campo vectorial dentro de la muestra,

para estudiar los efectos macroscopicos de su interaccion con el campo magnetico, se

considera su direccion promedio. Dicha direccion esta dada como una lınea recta paralela

a la interfaz entre las capas. En la figura A.1 se muestra la corriente, el campo magnetico

y la fuerza de Lorentz dentro de la muestra.

Figura A.1: Corriente, campo magnetico y fuerza de Lorentz dentro de la muestra

22

Conclusiones 23

De acuerdo al modelo de Drude, la resistencia depende del camino libre medio que recorre

un electron dentro de un material. Si la fuerza de Lorentz actua sobre estas partıculas,

el camino medio (y la resistencia) aumentaran. Debido a que el principal metodo de

medicion utilizado en el presente trabajo depende de la resistencia en funcion del campo

magnetico, esta resistencia parasita es una fuente de error significativa. Una forma de

confimar est afirmacion es observar la ausencia de acoplamiento en las figuras 3.1 y 3.2,

ambas con un angulo de 90o entre la corriente y el campo magnetico y fuerza de Lorentz

maxima.

Para minimizar este efecto, la caracterizacion de las muestras se hizo con un angulo

θ = 0 entre la interfaz de las capas y el campo magnetico (Fig 2.4).

Apendice B

Reporte extensivo de resultados

A continuacion se presentan todas las curvas experimentales obtenidas. Las conclusio-

nes de la discusion de resultados resumen las correlaciones entre todos los resultados

reportados.

Figura B.1: Varios experimentos de magnetorreistencia con un espesor de 0.5nm deNb con un angulo de 0o entre la interfaz de las capas y el campo magnetico

Figura B.2: Varios experimentos de magnetorreistencia con un espesor de 1nm de Nbcon un angulo de 0o entre la interfaz de las capas y el campo magnetico

24

Conclusiones 25




Conclusiones 26




Conclusiones 27


Figura B.10: Varios experimentos de magnetorreistencia con un espesor de 10nm deNb con un angulo de 0o entre la interfaz de las capas y el campo magnetico

Figura B.11: Comparacion de las curvas de magnetorresistencia con 0.5nm de Nbpara varios angulos entre la interfaz de las capas y el campo magnetico

Apendice C

Calculo de incertidumbres

C.1. Espesor de las capas

El calculo de la incertidumbre del espesor de las capas en las muestras se hace de

acuerdo a su procedimiento de fabricacion. Como se describe en el capıtulo 2, la tasa de

deposicion es constante para cada elemento. Entonces, las dos fuentes de incertidumbre

mas significativas son: el desfase en el inicio del cronometro y la precision del tiempo de

depositado.

Para mitigar el primer fenomeno, se realizo exactamente el mismo procedimiento para

todas las muestras. Entonces, podrıa existir un error sistematico causado por el tiempo de

reaccion del experimentador. Sin embargo, esto significarıa un corrimiento en el espesor

de las muestras y no afectarıa la forma de la curva de razon magnetica.

En el caso de la segunda fuente de error, se toma ventaja del tiempo largo de deposicion

del Nb. De los dos metales usados, es comparativamente mas facil controlar el espesor de

la capa de material no magnetico. Con un grosor de crecimiento de 25.7 ± 0.1 s/nm, se

tiene un intervalo largo de tiempo para que las muestras tengan el espesor adecuado. Esta

razon tambien ayuda a controlar el error sisteatico mencionado en el parrafo anterior.

Entonces, el calculo de las incertidumbres se realizo siguiendo la expresion de Good-

man para la propagacion de la incertidumbre. Como la unica variable es el tiempo, la

incertidumbre de los espesores de las capas de material es:

∆d =1

k∆t

28

Conclusiones 29

Donde k es la tasa media de deposicion de cada material (7.8 ± 0.1 s/nm para el Co y

25.7 ± 0.1 s/nm para el Nb) y ∆t es la incertidumbre del cronometro. En la tabla C.1

se muestra el resultado de este calculo.

C.2. Resistencia y campo magnetico

Para la generacion del campo magnetico se utilizo una fuente de corriente guıa con una

resolucion de 1.0 mA. La incertidumbre se calculo usando la expresion de Goodman y

se muestra en la ecuacion a continuacion [7]:

∆B =√

(29,24× 10−6I3∆I + 28,11× 10−4I2∆I + 7,74× 10−3I∆I + 1,11× 10−1)2

(C.1)

En el caso de la resistencia, se utilizo un medidor de resistencia con una incertidumbre

dada por el fabricante que se reporta en la tabla C.1.

C.3. Razon magnetica

Para la propagacion de error en el caso de la razon magnetica se utilizo, de nuevo, la

regla de Goodman. De acuerdo a la ecuacion (1.14) la incertidumbre se calcula como:

∆MR =

√(2∆R↑↑R↑↑

)2+(∆R↑↓R↑↑

)2Debido a que estos valores dependen de cada curva, las incertidumbres se reportan en

la grafica 3.4 con sus respectivos puntos.

Variable Incertidumbre

Espesor de Co ± 0.12 nm

Espesor de Nb ± 0.04 nm

Campo magnetico 3.2 ± mT

Resistencia ± 1 nmΩ

Cuadro C.1: Incertidumbres para las cantidades medidas y calculadas

Bibliografıa

[1] I.A. Campbell and A. Fert. Chapter 9. Transport properties of ferromagnets,

volume 3 of Handbook of Ferromagnetic Materials. Elsevier, 1982. doi: https:

//doi.org/10.1016/S1574-9304(05)80095-1. URL http://www.sciencedirect.com/

science/article/pii/S1574930405800951.

[2] H. Sakakima. Giant Magneto-Resistance Devices. Springer, 2002.

[3] E. Hirota. Giant Magneto-Resistance Devices. Springer, 2002.

[4] M.A. Ruderman y C. Kittel. Indirect exchange coupling of nuclear magnetic moments

by conduction electrons*. Physical Review, 1(96):99–102, Junio 1954.

[5] E.H. Sondheimer. The mean free path of electrons in metals. Advances in Physics, 1

(1):1–42, 1952. doi: 10.1080/00018735200101151. URL https://doi.org/10.1080/

00018735200101151.

[6] N. F. Mott. The electrical conductivity of transition metals. Proceedings of the

Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 153

(880):699–717, 1936. ISSN 0080-4630. doi: 10.1098/rspa.1936.0031. URL http:

//rspa.royalsocietypublishing.org/content/153/880/699.

[7] D. L. Ramırez-Milano. Medicion de propiedades conductoras del bfo utilizando efecto

hall. Undergraduate thesis, 2017.

30

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1574930405800951

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1574930405800951

https://doi.org/10.1080/00018735200101151

https://doi.org/10.1080/00018735200101151

http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/153/880/699

http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/153/880/699

Estudio del acoplamiento RKKY en tricapas de Co/Nb/Co ...

Documents

Transcript of Estudio del acoplamiento RKKY en tricapas de Co/Nb/Co ...