123123Resistencia de miembros sometidos a flexin y carga axialINTRODUCCIONLas columnas son elementos estructurales utilizados primordialmente para soportar cargas de compresin. Una columna corta es aqulla en que la carga ltima para una excentricidad dada est solamente gobernada por la resistencia de los materiales y las dimensiones de la seccin transversal. Una columna esbelta es aqulla en que la carga ltima tambin esta influida por la esbeltez, lo que produce flexin adicional debido a las deformaciones transversales.Las columnas de concreto se refuerzan mediante acero longitudinal y transversal. Generalmente el acero transversal tiene la forma de estribos o hlices espaciados estrechamente, (vase la figura 5.1).COLUMNAS CORTAS CARGADAS AXIALMENTEEl flujo plstico y la contraccin del concreto tienen fuerte influencia en los esfuerzos en el acero y el concreto.de una columna de concreto reforzado cargada axialmente bajo carga de servicio, lo que tiende a aumentar el esfuerzo en el acero longitudinal y a reducir el esfuerzo en el concreto. En una columna que tiene una cuanta elevada de acero y elevada carga inicial, la que posteriormente se elimina en su mayor parte, se puede llegar a tener tensin en el concreto y compresin en el acero. En consecuencia, es sumamente difcil evaluar la seguridad de las columnas de concreto reforzado utilizando la teora elstica y los esfuerzos permisibles.Por otra parte, la carga ltima de una columna no vara apreciable- mente con la historia de la carga. Al aumentar la carga, el acero normalmente alcanza la resistencia de cedencia antes de que el concreto alcance su resistencia total. Sin embargo, en esta etapa la columna no ha alcanzadosu carga ltima. La columna puede transmitir ms carga debido a que el acero soporta el esfuerzo de cedencia en tanto que las deformaciones y cargas aumentan hasta que la carga alcanza su resistencia total. La figurailustra este comportamiento. En forma alterna, si el concreto alcanza su resistencia antes de que el acero ceda, como sucede cuando se utiliza acero de muy aha cedencia, la alta deformacin del concreto cuando ste est prximo a su resistencia total, permite al acero alcanzar la resistencia de cedencia. En consecuencia, la carga ltima de una columna de concretO( reforzado cargada axialmente (una mejor denominacin sera carga de cedencia) es la suma de la resistencia de cedencia del acero ms la resistencia del concreto. Se ha encontrado (v. gr. Richart y Brown5 1 y Hognes- tad 5 2) que la resistencia del concreto en una columna cargada axialmente es aproximadamente 0.85/', en que /' es la resistencia a compresin de un cilindro. La resistencia es algo ms baja que la correspondiente a un cilindro debido a la diferencia en la forma y tamao del espcimen y debido a que el colado vertical de una columna induce la sedimentacin y ganancia de agua en la regin superior de la columna. En consecuencia, la carga ltima de una columna cargada axialmente se puede escribir comoen que Ay es el rea bruta de la seccin transversal, A%i es el rea total del acero longitudinal en la seccin, y fy es la resistencia de cedencia del acero.Figura 5.2. Curvas carga axial-deformacin para el acero y concreto, de una columna de concreto reforzado cargada axialmente.Las columnas con estribos y hlices se comportan casi idnticamente hasta la carga Pg, y el acero transversal contribuye muy poco a la resistencia de la columna. Una vez alcanzada la carga Pa una columna con estribos que no esten espaciados estrechamente falla de inmediato, acompaada de ruptura del concreto y pandeo de las varillas de acero longitudinal entre los estribos, debido a que la separacin entre los estribos es generalmente demasiado grande para impedir la falla general del concreto y el pandeo de las varillas.Despus de alcanzarse la carga P en una columna con hlice, se agrieta o destruye el recubrimiento de concreto fuera de la espiral. La capacidad de carga se reduce debido a la prdida de r'ea de concreto, pero generalmente el paso de la hlice de acero es suficientemente pequeo para impedir el pandeo de las varillas longitudinales entre las espirales. En consecuencia, las varillas longitudinales continan transmitiendo la carga; se llega a una elevada deformacin y el concreto del ncleo (que tiende a aumentar en volumen, debido a la disrupcin interna) oprime a la hlice, lo que provoca que la hlice ejerza una reaccin de confinamiento en el ncleo. El esfuerzo de compresin radial resultante aumenta la capacidad de transmisin de carga del concreto del ncleo, y a pesar de la prdida del recubrimiento, la carga ltima de una columna con una fuerte hlice puede llegar a ser mayor que P. En la seccin 2.1.3 se estudi el aumento en la resistencia del concreto debido al confinamiento de una hlice de acero. La ecuacin 2.5 da la resistencia de cilindros de concreto confinados cuando la hlice alcanza la resistencia de cedencia. Si se reemplaza eri la ecuacinla resistencia /' del cilindro no confinado por la resistencia no confinada del concreto en una columna, 0.85fc, se puede escribir la carga ltima de una columna zunchada comoen que fy = resistencia de cedencia del acero, ds = dimetro de la hlice, A%p = rea de la varilla helicoidal, 5 = paso de la hlice, y Acc = rea del concreto en el ncleo de la columna.Luegoen que K = Asp djs = volumen del acero helicoidal por longitud unitaria del ncleo de la columna y Ast = rea total del acero longitudinal en la seccinEn consecuencia, se puede escribir la ecuacin 5.2Si se remplaza el acero helicoidal por un volumen equivalente de aceropor tanto, tambin se debe tenerlongitudinal, Vs es igual al rea de ese acero longitudinal. Consecuentemente, la ecuacin 5.4 indica que el acero en la hlice es aproximadamente dos veces ms efectivo que el mismo volumen de acero longitudinal para disponible a elevadas deformaciones y despus de que se desprende el cidad de transmisin de carga de las columnas zunchadas solamente est disponible a elevadas deformaciones y despus de que se desprende elrecubrimiento. * Esto requiere qu se satisfaga la siguiente condicinque se puede escribir comoPara qe la carga mxima tomada por la Columna una vez que se ha desprendido el recubrimiento al alcanzarse la cedencia en la hlice sea mayor que la carga de cedencia antes del descorchamiento, Pu dla ec. 5.4debe ser mayor que P de la P 5.1.^>a4,5(H+Sren que Ac = Acc + Asl el rea bruta del ncleo de la columna. Para las columnas zunchadas, el cdigo ACI5 3 requiere que ps no sea menor que el valor dado poren que Ae = rea del ncleo medida al dimetro exterior de la hlice. Al comparar las ecuaciones 5.5 y 5.6 se encuentra que el requerimiento del ACI asegura que la carga ltima de la columna despus del desprendimiento del recubrimiento exceder a la carga antes del desprendimiento. La elevada ductilidad de las columnas zunchadas (fig. 5.3) es de intersFigura 5.3. Comparacin de curvas carga total axial-deformacin para columnas con estribos y Zunchadas.considerable. En tanto que la columna con estribos cargada axialmente y cuyos estribos no estn espaciados estrechamente exhibe falla frgil, una columna zunchada tiene elevada capacidad de deformacin plstica.Las pruebas han demostrado (vea la seccin 2.1.3) que los estribos rectangulares espaciados estrechamente tambin aumentan la resistencia y ductilidad del concreto confinado, aunque sin la efectividad de las hlices circulares, debido a que los estribos rectangulares slo ejercen presin de confinamiento cerca de las esquinas de la seccin, ya que la presin lateral del concreto provoca el arqueamiento de los lados de los estribos, en tanto que debido a su forma las hlices circulares pueden aplicar una presin uniforme de confinamiento alrededor de la circunferencia. Las pruebas efectuadas por Chan5-4 sugieren que al considerar el aumento en la resistencia, la eficiencia de los estribos cuadrados puede ser del 50% de la delmismo volumen de hlices circulares. Las pruebas realizadas por muchos otros tambin han indicado un aumento en la resistencia debido a estribos rectangulares espaciados estrechamente, aunque los resultados reportados por Roy y Sozen5 5 no indicaron aumento en la resistencia. Es probable que la ganancia en la resistencia del concreto debida a estribos rectangulares sea pequea en la mayora de los casos. Sin embargo, los resultados de las pruebas siempre han mostrado que se obtuvo una mejora significativa en la ductilidad del concreto, como consecuencia de utilizar estribos rectangulares espaciados estrechamente.5.3 COLUMNAS CORTAS CARGADASEXCENTRICAMENTE CON FLEXION UNIAXIALIntroduccinLas columnas cargadas axialmente rara vez ocurren en la prctica, debido a que casi siempre hay cierta flexin, como lo evidencia la torcedura inicial ligera de las columnas, la manera en que se aplican las cargas mediante vigas y losas, y los momentos introducidos por la construccin continua.La combinacin de una carga axial Pu y momento flexionante Mu equivale a una carga Pu aplicada con la excentricidad e = MuPu,zomo se muestra en la figura 5.4Las Figuras 5.5 y 5.6 son vistas posterior y anterior de columnas con estribos y zunchos que se cargaron excntricamente a la falla. Estas co-Figura 5.7. Columnas con estribos y Zunchadas del hospital Olive View despus del terremoto de San Fernando en 1971.lumnas son de una serie que prob Hognestad.5 2 De las figuras, nuevamente es evidente la mayor ductilidad de una columna zunchada. En los edificios daados por sismos se ha observado la mayor ductilidad de las columnas zunchadas en comparacin con las columnas con estribos. Por ejemplo, en la figura 5.7 se muestran algunas columnas del piso inferior del hospital Olive View despus del sismo de San Fernando en 1971. El concreto en la columna con estribos se redujo a escombro en tanto que la columna helicoidal todava est intacta y puede trasmitir cargas, aunque se haya desprendido el recubrimiento de concreto.En la prctica, desde el punto de vista de la resistencia, las columnas con estribos y zunchadas se disean como si el concreto no estuviera confinado, pero debido a la mayor dureza de una columna zunchada, el cdigo ACI5 3 asigna un factor ligeramente mayor de reduccin de capacidad a una columna zunchada (. = 40,000 Ib./plg.2 (276 N/mm2). Calcular el rea de acero requerida si se desea que la seccin soporte una carga ltima de 380,000 Ib (1690 kN) con una excentricidad de 11.55 plg. (293 mm) con respecto a un eje prin-cipal de la seccin. Suponer un factor (p de reduccin ele capacidad ;; de 0.75.SolucinSi la tensin rige la ecuacin 5.33 daConsecuentemente, la compresin rige. Se requiere Ast = 17.03 plg2 (10,987 mm2).Una solucin ms exacta del ejemplo 5.4, usando grficas de diseo5 9 (vea la seccin 5.3.6), produce un rea de acero 7% mayor que la recin calculada usando las ecuaciones de Whitney. La discrepancia indica el grado de aproximacin de esas ecuaciones para este caso especial. Si se utilizara acero con una resistencia de cedencia de 60,000 lb./plg.2 (414 N/ mm2) en el ejemplo, la solucin de Whitney requerira Ast 11.35 plg.2 (7323 mm2), en tanto que la solucin ms exacta usando grficas de diseo requerira 21% de acero adicional, lo que indica que la solucin de Whitney puede desviarse seriamente al lado inseguro al utilizar acero de alta resistencia.Grficas y tablas de diseoEn la prctica es posible desarrollar rpidamente el diseo y anlisis de secciones de columna usando grficas y tablas de diseo. El ACI 5-9 510 ha publicado una extensa serie de grficas y tablas.Las grficas de diseo 5 9 son conjuntos de diagramas de interaccin que grafican la carga ltima y el momento en forma adimensional. La figura 5.22 es una grfica para secciones rectangulares con varillas en las cuatro caras. Conocidos el tamao de columna, resistencias de los materiales y carga y momento ltimos, se fija en la grfica un punto coordenado que define p,m, del que se puede calcular el rea requerida de acero. En caso alterno, conocidos el tamao de columna, resistencias de los materiales y rea de acero, se pueden determinar las combinaciones posibles de la carga y momento ltimos. Las grficas abarcan el diseo de columnas rectangulares con estribos con varillas en dos o cuatro caras, y columnas zunchadas cuadradas y circulares con las varillas dispuestas en circulo. El intervalo de las variables consideradas es de as: fy 40 a 60 kips/plg. (276 a 414 N/mnr), /' ^ 4 a 5 kips/plg. (< 27.6 a 34.5 N/ mm2), y g = 0.6 a 0.9. en que g indica la distancia entre los grupos devarillas como una fraccin de la dimensin de la seccin. Las grficas incluyen el factor de reduccin de capacidad, que se considera igual a 0.7 para secciones rectangulares, o 0.75 para secciones circulares o cuadradas con acero en crculo. El factor de reduccin de capacidad se mantiene constante en los valores especificados para todos los niveles de carga (como se acostumbra en el cdigo ACI de 1963); consecuentemente, las grficas no incluyen el incremento en el factor de reduccin de capacidad (permitido por ACI 31871s-3) a valores hasta de 0.9 a baja carga axial. Sin embargo, al utilizar las grficas se puede hacer un ajuste para tomar en cuenta esta diferencia.Las tablas del manual de diseo publicado en 1973 por el ACI 510 corresponden a columnas rectangulares con estribos con varillas en cuatro caras y para columnas cuadradas y circulares con hlice con las varillas dispuestas en crculo. El intervalo de variables cubiertas en lar, tablas es de fy = 40 a 80 kips/plg.2 (276 a 552 N/mm2), f'c = 3 a 8 kips/plg.2 (20.7 aN/mm2), y g = 0.45 a 0.9 (g es el smbolo dado en el manual). Las tablas registran el factor de reduccin de capacidad, incluyendo el aumento a valores prximos a 0.9 para cargas axiales bajas. Cada tabla es para un tipo determinado de columna con valores fijos de fy, fc, y . La tabla proporciona el acero longitudinal requerido para distintas excentricidades y relaciones de PuAg.Las grficas y tablas 5.9, 5.10 de diseo del ACI se determinaron de principios fundamentales, utilizando las condiciones de equilibrio y compatibilidad de deformaciones; en consecuencia, toman en cuenta la posibilidad de que el acero no ceda bajo la carga ltima. Se ha incluido tambin el efecto del rea de concreto desplazada por el acero de compresin. Se ha supuesto que el acero est distribuido uniformemente como un perfil tubular delgado para todos los arreglos de colocacin del acero, excepto cuando slo aparece en dos caras en las grficas para las secciones rectangulares. En las columnas cuadradas y rectangulares con acero en cuatro caras, se supone que hay colocado un cuarto del rea total del acero en cada cara de la columna. Se asevera que el error en suponer que el acero tiene la forma de un perfil tubular delgado en vez de varillas individuales es del 1 Vo o menor cuando el nmero de varillas es mayor que ocho.Ejemplo: 5.5Una columna cuadrada de 20 plg. (508 mm) con estribos con el acero longitudinal distribuido uniformemente en las cuatro caras soporta una carga ltima de 536,000 Ib. (2380 kN) con una excentricidad de 5.75 plg. (146 mm) con respecto a un eje principal de la seccin. El centroide de cada varilla est a 3 plg. (76 mm) de la cara ms prxima de la columna. Calcular el rea de acero re-iRefierindose al punto de la figura 5.22 que muestra estas coordenadas, e interpolando entre las curvas, se encuentra p,m = 0.61. (Ntese que la grfica incluye el valor requerido para ngulos describen la superficie de interaccin (ola superficie de falla). Cada punto de esta superficie representa un conjunto especfico de carga axial Pu, y momentos alrededor de los ejes principales Mux y que juntos producen falla de la seccin.Si se toma una seccin horizontal a travs de la superficie de interaccin de la figura 5.25, la lnea de interaccin obtenida proporciona las combinaciones posibles de Mux y Muy que provocaran falla a determinada carga axial Pu. Esta lnea es un contorno de carga constante de la superficie de interaccin. En la figura 5.26 se ha dibujado la lnea, y el anlisis muestra que su perfil es distinto al de una elipse (o distinto a un crculo en el caso especial de M^ = Muy). La desviacin de la lnea de interaccin respecto de una lnea circular es mxima para flexin a 45 respecto de losejes mayores para el caso Mux Muy, Es difcil deducir una expresin para la forma de la lnea de interaccin en el caso general debido a que sta vara con la geometra de la seccin, la resistencia de los materiales, el arreglo y cuanta del acero y el nivel de carga axial.Es evidente que la preparacin de grficas de diseo basadas en las superficies reales de interaccin para columnas con flexin biaxial requiere considerar un gran nmero de variables. No se podran proporcionar superficies de interaccin qu abarcarn todos los casos posibles de diseo sin un gran nmero de grficas.Por las complicaciones de la teora, muchos diseadores en la prctica han tratado en forma inadecuada o ignorado del todo la flexin biaxial. Sin embargo, se dispone de enfoques de diseo para la flexin biaxial en que se reduce el trabajo de diseo utilizando aproximaciones simplifi- catorias. En la siguiente seccin se estudian algunos de estos mtodos aproximados y su exactitud.Mtodos aproximados de anlisis y diseo por flexin biaxialLos mtodos aproximados de anlisis y diseo para la flexin biaxial pertenecen a tres grupos generales. Empezaremos estudiando los mtodos de superposicin.Mtodos de superposicinSe han sugerido algunos mtodos simplificados de superposicin que reducen la flexin inclinada a flexin alrededor de los ejes principales de la seccin, lo que permite utilizar procedimientos para flexin uniaxial. Morn512 ha estudiado estos mtodos para el caso de refuerzo simtrico.Uno de los mtodos es determinar el refuerzo requerido para cada uno de los casos de carga (Pu, Muy) y (Pu, MUJC) por separado, acumulando el refuerzo resultante. Esto equivale a aplicar la carga primero en el punto 1 y luego en el punto 2 de la figura 5.27a. Este mtodo no tiene base terica, de manera que no debe emplearse, ya que puede producir grandes errores del lado de la inseguridad debido a que se toma en cuenta la resistencia completa del concreto dos veces en el diseo.En forma alterna, se puede tomar cualquier lnea recta 1-2 que pase por el punto en que acta Pu (vea la figura 5.27b). El refuerzo requerido para cada mo de los casos de cargas Pu en el punto 1 y Pu en el punto 2, se determina por separado y se obtiene el refuerzo resultante mediante suma. En el cdigo de construccin de Venezuela se ha empleado este mtodo. De acuerdo con Mran, los resultados siempre estn del lado de la seguridad y en algunos casos pueden llegar a ser excesivamente conservadores.( En otro mtodo, se remplaza Pu por dos fuerzas estticamente equivalentes Pux y Puy localizadas en los puntos 1 y 2 (vase la figura 5.27b) de los ejes. Se determinan por separado y luego se suman los refuerzos requeridos para cada uno de los casos de cargas Pux en 1, tomando la resistencia del concreto como f 'cPuJPu, y Puy en 2 tomando la resistencia del concreto como f'cPuy/Pu.. Aunque este mtodo no tiene base terica, Morn comenta que las soluciones obtenidas en los casos considerados parecen ser satisfactorias.Mtodo de la excentricidad uniaxial equivalenteEn la figura 5.28 se presenta la lnea de interaccin para una seccin rectangular de columna con pandeo biaxial bajo una carga mxima constante. Las combinaciones posibles de excentricidad para una carga mxima constante Pu estn dadas por la lnea. Por tanto, la carga mxima para cualquier punto de aplicacin (ey,ex) en la linea es igual a la carga mxima para un punto de aplicacin con excentricidad uniaxial ea. Esto ilustra un enfoque posible de diseo si la forma de la lnea de interaccin fuera conocida, sera posible hacer el diseo para la carga Pu que acta a la excentricidad uniaxial equivalente ea, permitiendo de esta manera, la consideracin de pandeo en una ola direccin.Se ha propuesto una diversidad de expresiones analticas aproximadas para poder determinar la excentricidad uniaxial equivalente ea. Por ejemplo, Morn 512 reporta la siguiente ecuacin adoptada por el cdigo espaol en 1968.en que ex ey y p es un factor tabulado en el cdigo que depende del nivel de carga axial y la cuanta de acero.Mtodos basados en aproximaciones para el perfil de la superficie de interaccinSe han hecho varas sugerencias para el perfil de la superficie de interaccin de la que pueden calcularse las resistencias a flexin biaxial, conocidas las resistencias uniaxiales.Una expresin tomada del cdigo ruso, deducida por Bresler513 para la resistencia de una columna cargada biaxialmente esen que Pu = carga ltima bajo la flexin biaxial, P = carga ltima cuando slo est presente la excentricidad ex (vgr, carga aplicada en el punto 1 de la figura 5.27a), Puf = carga ltima cundo slo est presente la excentricidad ey (vgr, carga aplicada en el punto 2 de la figura 5.27a) Pa = carga ltima cuando no hay excentricidad. Esta expresin tiene la desventaja de ser ms adecuada para el anlisis que para d diseo. Breler encontr que la carga ltima predicha por la ecuacin 5.41 concuerda excelentemente con las cargas ltimas dadas por la teora y por los resultados de pruebas, en que la desviacin mxima de los resultados de prueba econ- trados es de 9.4Bresler513 tambin sugiri que la familia de lneas de interaccin que corresponde a los distintos niveles de carga constante PM se puede aproximar mediante la ecuacinen que Mux = Puey> Muy = Puex, ex y ey son las excentricidades de Pu, y Muxo y MUyo son las resistencias a flexin uniaxial alrededor de los ejes x y y para la carga constante bajo consideracin. Las constantes m y n dependen de las propiedades de la columna y se determinaron experimentalmente.Parme y asociados514 reformularon la ecuacin 5.42 comoen que /? es el parmetro que determina el perfil de la lnea de interaccin. El efecto de los distintos valores de /? en la forma de la lnea de interaccin est representado en la figura 5.29. Parme y colaboradores calcularon analticamente los valores de P que estn mostrados en grficas para una diversidad de disposicin de varillas, resistencia de cedencia del acero, ndice de refuerzo ptfy/f'c, y valores de PJP0 Estos valores de junto con los valores uniaxiales de la capacidad de momento y un diagrama tal como el de la figura 5.29 se pueden utilizar para determinar la capacidad a flexin biaxial una seccin dada de columna.Pannell515 y Furlong511 han proporcionado otras sugerencias para el perfil de la superficie de interaccin. Meek 516 ha sugerido remplazar lalnea curva de interaccin bajo carga ltima constante mediante dos lneas rectas. Por ejemplo, si se conocen los puntos A, By Cela figura 5.30, se puede roiEpla7^ir en forma segura la curva real mediante una lnea recta AB y otra?C\1:1 cgo britnico CP110: 1972 5 17 recomienda usar la ecuacin de interaccin 5.42 con m = n igual a 1.0 a niveles de carga axial baja, aumentando linealmente hasta 2.0 a niveles de carga axial alta. Esto proporciona un enfoque conservador simple.Weber518 ha producido una serie de grficas de diseo para flexin de columnas cuadradas alrededor de una diagonal que permite el diseo o anlisis de una seccin mediante interpolacin lineal entre la flexin alrededor de un eje principal y flexin alrededor de una diagonal. Este enfoque es semejante a la sugerencia de Meek y parece ser la herramienta de diseo ms prctica disponible. Row y Paulay 5 19 han mejorado la exactitud de este proceso utilizando una distribucin de esfuerzos de compresin del concreto ms exacta y produciendo grficas de diseo para flexin alrededor de ejes inclinados a distintos ngulos con respecto a los ejes principales, permitiendo con ello la interpolacin lineal entre una diversidad de puntos sobre las lneas de interaccin. En la siguiente seccin se describen estas grficas del diseo5.43 Grficas de diseoOrificas de diseo de WeberWeber 5 ,8 aciliz las condiciones de equilibrio y compatibilidad de deformaciones para obtener en base a los principios fundamentales las curvas de interaccin de Pu contra Pue para columnas cuadradas con la carga aplicada cob distintas excentricidades a lo largo de la lnea de una diagonal 100, se debe hacer un anlisis del tipo descrito en la seccin 5.5.2. Para secciones rectangulares, se puede considerar r = 0.3 de la dimensin de la seccin en la direccin de pandeo posible.En marcos no arriostrados, se debe calcular el valor de S de la ec. 5.44 para todo el piso, suponiendo que todas las columnas estn cargadas, tomando Pu y Pc como la sumatoria, ZPU y IPc, para todas las columnas de esa planta. Al disear cada columna individual de esa planta, se debe tomar como el mayor de los valores mencionados antes calculados para toda la planta o el valor calculado para la columna individual, suponiendo que sus extremos estn arriostrados. En las columnas que no estn arriostradas, se deben disear las vigas para los momentos amplificados de los extremos de las columnas en las juntas. Cuando las columnas estn sujetas a flexin biaxial, se debe amplificar el momento alrededor de cada eje, usando el valor de S calculado para cada eje. En los manuales 5-9-5 del ACI se dispone de auxiliares de diseo para el mtodo amplificador de momento. Aunque el manual5 9 de diseo de columnas se basa en el cdigo ACI de 1963 que utiliz un enfoque de factor de reduccin para el diseo de columnas esbeltas, el manual tambin incluye auxiliares de diseo para el mtodo amplificador de momentos. El manual 510 de diseo ms reciente contiene algunos ejemplos de aplicaciones del mtodo amplificador de momentos. Furlong 5 :9 tambin proporciona algunos auxiliares tiles de diseo.Ejemplo: 5.9En la fig. 5.50 se muestra una cruja de un marco de concreto reforzado de plantas mltiples, no arriostrado. Las columnas de los entrepisos superior e inferior tienen dimensiones semejantes. Las acciones en la columna AB, en los extremos de la longitud no apoyada, en la carga ltima calculada por el anlisis estructural de primer orden son Mu = 289 kip pie (392 kN m) y PK = 200 kips (890 kN). El concreto tiene j 'c = 4000 Ib /plg 2 (27.6 N/mm2)y Ec = 3.6 x 10ft (24,800N/mm2).El acero tiene fy = 6CUDOO Ib /plg2(414 N/mm2) y Es = 29 x 106 Ib /plg (200,000 N/mm2). Se puede considerar que la relacin del momento de carga muerta de diseo mximo al momento de carga total de diseo mximo fid es 0.2. Determinar el rea de acero longitudinal requerido para la columna, utilizando un factor de reduccin de capacidad usando 0.5, / para las vigas y EJy para las columnas. De la ec. 5.51 se tieneComprobacin de columna esbeltaConsecuentemente, la columna es esbelta.Carga crtica de la columna De la ec. 5.46,Factor de amplificacin de momento De la ec. 5.44en que Cm = 1.0 en marcos no arriostrados. Se supone que 'LPufL Pc para el entrepiso es aproximadamente igual a PJPe para esta columna especfica,Acero longitudinal de la columnaLas acciones de diseo para la columna son Pu = 200 kips, y Mu = 289 x 1.07 = 309 kip piePara la columna, sea g 0.7 y disese el acero utilizando la fig. 5.22, que supone