Capítulo 4

Generalización del PTV

4.1. Contenido

Trabajo virtual debido a flexión y torsión. Cálculo de desplazamientos. Esfuer-zos en estructuras reticuladas. Resolución de hiperestatismos.

4.2. Objetivos

Generalizar el PTV para esfuerzos de flexión y torsión. Aplicar el PTV para elcálculo de desplazamientos. Resolver estructuras reticuladas. Introducir el conceptode coeficiente de rigidez.

4.3. Qué se debe saber al terminar este tema

1. Dibujar diagramas de esfuerzos

2. Aplicar el PTV generalizado

3. Manejar las tablas de integrales

4. Calcular grados de hiperestaticidad y saber elegir la estructura primaria.

4.4. Ejercicios resueltos

1. Una viga homogenea, cuya planta es una semicircunferencia, esta empotradasobre una columna en uno de sus extremos; en su extremo opuesto, la vigase sujeta por medio de un cable, que esta unido a la parte superior de dichacolumna.Para la carga vertical P, se pide:

Tension del cableSolicitaciones (momentos flectores y torsor, fuerzas cortantes y normal)en el extremo empotrado de la viga

24

CAPÍTULO 4. GENERALIZACIÓN DEL PTV 25

6. Una viga homogénea, cuya planta es una semicircunferencia, está empotrada sobre una columna en uno de sus extremos; en su extremo opuesto, la viga se sujeta por medio de un cable, que está unido a la parte superior de dicha columna. (Ver figura). Para la carga vertical P, se pide: a) Tensión del cable. b) Solicitaciones (momentos flectores y torsor, fuerzas cortantes y normal) en el extremo empotrado de la viga. c) Diagrama de cuerpo libre de la columna, con los valores de todas las fuerzas y momentos. Datos: La columna se supone rígida El material es acero A42 r = 1.50m; a = 1.20m; b = 1.40m La viga tiene sección circular φ = 100mm Sección del cable: 2.15cm2 P=7000 kg ********************************************************************* a) Primero se obtienen la expresiones de los momentos flectores Mx , My y Mz. La condición de deformación se puede expresar: Resolviendo Las integrales y sustituyendo valores se obtiene la tensión en el cable:

P

cable

a

b

r

T

Y

Z

X

θ α

P

θ⋅α⋅=∂

∂=

θ⋅α⋅=∂

∂=

θ−⋅α⋅=∂

∂=

θ⋅α⋅−−=θ⋅⋅α⋅=

θ−⋅⋅α⋅−−=

sensenrT

MM

sencosrT

MM

)cos1(senrT

MM

rsen)senTP(MsenrcosTM

)cos1(r)senTP(M

Y'Y

Y'Y

X'X

Z

Y

X

0AElTds

IGMM

IGMM

IGMM

TU

C

C

0

'ZZ

0

'YY

0

'XX =

⋅⋅+� ��

�

����

�

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅=

∂∂

kg6.8208T =

Diagrama de cuerpo libre de la columna, con los valores de todas lasfuerzas y momentos

Otros datos:La columna se supone rígida. El material es acero S235. r = 1.50m, a = 1.20 m, b = 1.40 m La viga tiene sección circular de 100 mm dediámetro. Sección del cable: 2.15 cm2. P=70 kN.

6. Una viga homogénea, cuya planta es una semicircunferencia, está empotrada sobre una columna en uno de sus extremos; en su extremo opuesto, la viga se sujeta por medio de un cable, que está unido a la parte superior de dicha columna. (Ver figura). Para la carga vertical P, se pide: a) Tensión del cable. b) Solicitaciones (momentos flectores y torsor, fuerzas cortantes y normal) en el extremo empotrado de la viga. c) Diagrama de cuerpo libre de la columna, con los valores de todas las fuerzas y momentos. Datos: La columna se supone rígida El material es acero A42 r = 1.50m; a = 1.20m; b = 1.40m La viga tiene sección circular φ = 100mm Sección del cable: 2.15cm2 P=7000 kg ********************************************************************* a) Primero se obtienen la expresiones de los momentos flectores Mx , My y Mz. La condición de deformación se puede expresar: Resolviendo Las integrales y sustituyendo valores se obtiene la tensión en el cable:

P

cable

a

b

r

T

Y

Z

X

θ α

P

θ⋅α⋅=∂

∂=

θ⋅α⋅=∂

∂=

θ−⋅α⋅=∂

∂=

θ⋅α⋅−−=θ⋅⋅α⋅=

θ−⋅⋅α⋅−−=

sensenrT

MM

sencosrT

MM

)cos1(senrT

MM

rsen)senTP(MsenrcosTM

)cos1(r)senTP(M

Y'Y

Y'Y

X'X

Z

Y

X

0AElTds

IGMM

IGMM

IGMM

TU

C

C

0

'ZZ

0

'YY

0

'XX =

⋅⋅+� ��

�

����

�

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅=

∂∂

kg6.8208T =

El problema es hiperestático de grado 1. Se elige como incógnita hiperestáticala tensión, T, del cable. Las expresiones de los momentos en función de T(incógnita hiperestática) y las cargas exteriores son

Mx = − (P − Tsenα) r (1 − cosθ) (4.1)

CAPÍTULO 4. GENERALIZACIÓN DEL PTV 26

My = Trsenθcosα (4.2)

Mz = − (P − Tsenα) rsenθ (4.3)

De cara a establecer la condición de compatibilidad se emplea un sistemavirtual de fuerzas con T= 1 y P=0. De donde se obtienen los momentosvirtuales

Mvx = senαr (1 − cosθ) (4.4)

Mvy = rsenθcosα (4.5)

Mvz = senαrsenθ (4.6)

La aplicación del PTV sobre con el sistema de fuerzas virtuales y los despla-zamientos reales permite escribir:

− TLc

EAc=

∫ (Mv

x

Mx

GIx+ Mv

y

My

EIyy+ Mv

z

Mz

EIzz

)(4.7)

Resolviendo las integrales y sustituyendo se obtiene un valor de tensión de82 kN.Los esfuerzos en el empotramiento se obtienen haciendo θ = π, es decir

Mx = −2r (P − Tsinα) = 118,47kNMy = Mz = 0

N=0Ty = P − Tsenα = 394,9kN

Tz = Tcosα = 761,1kN

El diagrama de cuerpo libre de la columna queda de la forma siguiente

 

76.21 

210 kNm 

82.08 

118.47 kNm 

30.50 

39.50 

76.21 

76.21 

CAPÍTULO 4. GENERALIZACIÓN DEL PTV 27

4.5. Ejercicios propuestos

1. Sabiendo que EI=cte, determinar empleando el PTV

Desplazamiento vertical de A

Giro a la izquierda en A

Desplazamiento horizontal de A

Giro a la derecha en A

 

 

a 2a a

A

- desplazamiento vertical de A  :   EIqa

A 323 4

=δ  

- giro a la izquierda de A :     EIqa

A 19221 3

=θ     sentido agujas del reloj 

- desplazamiento Horizontal de A  :  0  

- giro a la derecha de A :     EIqa

A 19223 3

=θ     sentido contrario agujas del reloj 

 

2. La estructura de la figura sufre un asiento en el apoyo A de valor vertical yhacia abajo Empleando el Principio de los Trabajos Virtuales determinar eldesplazamiento horizontal del punto C. Emplea los parámetros que estimesnecesarios.

A B

C

LAB

L BC

 

 

Solución: δHc = 3LBC

2LABδ

CAPÍTULO 4. GENERALIZACIÓN DEL PTV 28

3. En la estructura de la figura, determinar el desplazamiento vertical del puntoA siendo EI=cte.

EJERCICIOS PTV GENERALIZADO

Ejercicio 2 En la estructura de la figura, determinar el desplazamiento vertical del punto A siendo EI=cte.

Solución EIqa

A 204

=δ

a 2a a

A

q

a

4. En la estructura de la figura, determinar el desplazamiento vertical del puntoA y el giro en el apoyo B siendo EI=cte.

Ejercicio 3 En la estructura de la figura, determinar el desplazamiento vertical del punto A y el giro en el apoyo B siendo EI=cte.

Solución EIqa

A 44

=δ EIqa

B 123

=θ

Ejercicio 4 En la estructura de la figura todas las barras tienen la misma sección transversal A, momento de inercia I y módulo de elasticidad E. Se pide determinar la flecha (desplazamiento vertical) en el punto A y el desplazamiento horizontal del punto B, teniendo en cuenta las deformaciones debidas al momento flector y al esfuerzo normal.

Solución ↓⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= EIAa

IPaA 2

21 23

δ EIPa

B 43

=δ

a

A

a

B

P a

a

a

A

q

a

B

qa2/4

a

5. En la estructura de la figura todas las barras tienen la misma sección trans-versal A, momento de inercia I y módulo de elasticidad E. Se pide determinarla flecha (desplazamiento vertical) en el punto A y el desplazamiento horizon-tal del punto B, teniendo en cuenta las deformaciones debidas al momentoflector y al esfuerzo normal.

Ejercicio 3 En la estructura de la figura, determinar el desplazamiento vertical del punto A y el giro en el apoyo B siendo EI=cte.

Solución EIqa

A 44

=δ EIqa

B 123

=θ

Ejercicio 4 En la estructura de la figura todas las barras tienen la misma sección transversal A, momento de inercia I y módulo de elasticidad E. Se pide determinar la flecha (desplazamiento vertical) en el punto A y el desplazamiento horizontal del punto B, teniendo en cuenta las deformaciones debidas al momento flector y al esfuerzo normal.

Solución ↓⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= EIAa

IPaA 2

21 23

δ EIPa

B 43

=δ

a

A

a

B

P a

a

a

A

q

a

B

qa2/4

a

CAPÍTULO 4. GENERALIZACIÓN DEL PTV 29

6. En la estructura de la figura, determinar la reacción vertical en A y la flechaen C siendo EI=cte.

Ejercicio 5 En la estructura de la figura, determinar la reacción vertical en A y la flecha en C siendo EI=cte.

Solución 76PR

yA = EIPa

C 213

=δ

Ejercicio 6 En la estructura de la figura, determinar la reacción vertical en A y la flecha en C siendo EI=cte.

Solución 103PR

yA = EIPa

C 1511 3

=δ

2a

A

P

a

C

a

2a

a

a 2a a

A

P

C

7. En la estructura de la figura, determinar la reacción vertical en A y la flechaen C siendo EI=cte.

Ejercicio 5 En la estructura de la figura, determinar la reacción vertical en A y la flecha en C siendo EI=cte.

Solución 76PR

yA = EIPa

C 213

=δ

Ejercicio 6 En la estructura de la figura, determinar la reacción vertical en A y la flecha en C siendo EI=cte.

Solución 103PR

yA = EIPa

C 1511 3

=δ

2a

A

P

a

C

a

2a

a

a 2a a

A

P

C

8. En la estructura de la figura, determinar la reacción vertical en A y la flechaen C siendo. Todas las barras son redondos (circulares) de la misma sección,y material con G = 0,4 E.

Ejercicio 7 En la estructura de la figura, determinar la reacción vertical en A y la flecha en C siendo. Todas las barras son redondos (circulares) de la misma sección, y material con G = 0,4 E.

Solución 2344PR

yA = EIPa

C 6968 3

=δ

Ejercicio 8 (Ing Técnicos febrero2008) Calcular la relación entre M y q con la condición que el giro en A sea nulo. Todas las barras tienen la misma sección y material (estructura plana).

Solución 23 2qLM =

L

A

q

L

L/2

C

B

D

L/2 L

M

a

A

P a

C

a X

Z Y

CAPÍTULO 4. GENERALIZACIÓN DEL PTV 30

9. Calcular la relación entre M y q con la condición que el giro en A sea nulo.Todas las barras tienen la misma sección y material (estructura plana).

Ejercicio 7 En la estructura de la figura, determinar la reacción vertical en A y la flecha en C siendo. Todas las barras son redondos (circulares) de la misma sección, y material con G = 0,4 E.

Solución 2344PR

yA = EIPa

C 6968 3

=δ

Ejercicio 8 (Ing Técnicos febrero2008) Calcular la relación entre M y q con la condición que el giro en A sea nulo. Todas las barras tienen la misma sección y material (estructura plana).

Solución 23 2qLM =

L

A

q

L

L/2

C

B

D

L/2 L

M

a

A

P a

C

a X

Z Y