Estructura Temp I_Paz Rico

7/24/2019 Estructura Temp I_Paz Rico

1/43

LA ESTRUCTURA TEMPORAL DE LOS TIPOS DEINTERS EN ESPAA. EL MODELO

DE COX, INGERSOLL Y ROSS*

Paz Rico

WP-EC 98-07

Correspondencia: Universitat de Valncia. Facultad de Ciencias Econmicas.

Depto. de Anlisis Econmico. Campus de los Naranjos, s/n46071 VALENCIA. Tel: 963 828 246

Editor: Instituto Valenciano de Investigaciones Econmicas, S.A.

Primera Edicin Abril 1998.

ISBN: 84-482-1734-9

Depsito Legal: V-866-1998

Los documentos de trabajo del IVIE ofrecen un avance de resultados de las investigaciones econmicas

en curso, con objeto de generar un proceso de discusin previa a su remisin a las revistas cientficas.

* Este trabajo es parte de un captulo de mi tesis doctoral dirigida por D. Javier Quesada

Ibez. Quisiera agradecer a D. Ezequiel Uriel su ayuda prestada as como sus valiososcomentarios.


2/43

2

LA ESTRUCTURA TEMPORAL DE LOS TIPOS DE INTERSEN ESPAA. EL MODELO DE COX, INGERSOLL Y ROSS

Paz Rico

R E S U M E N

En este trabajo se estima la estructura temporal de los tipos de inters, durante elperodo que abarca desde enero de 1991 a diciembre de 1995, aplicando el modelointertemporal estocstico en tiempo continuo y de equilibrio general de valoracin de Cox,Ingersoll y Ross utilizando los precios de los instrumentos de la deuda pblica. Los resultadosobtenidos indican que el modelo se ajusta bien al comportamiento de los precios de la deudapblica. No obstante, el modelo parece estimar peor los precios de los ttulos con vencimientoa ms largo plazo y esto es debido a la mayor distorsin fiscal que, ceteris paribus, presentanlos ttulos con mayor vencimiento.

Palabras Clave:Estructura temporal, modelo de equilibrio general, proceso de la dinmicadel tipo de inters, deuda pblica.

A B S T R A C T

The one-factor version of the Cox, Ingersoll and Ross model of the term structure isestimated at monthly frequency for the 1991 to 1995 period, using public debt prices. Theresults obtained indicate that the model capture successfully the pattern of public debt prices.

However, the model appears to fit long-term bonds prices worse than short-term bonds pricesand this is due to a probable neglected tax effect.

Key Words:Term structure, general equilibrium model, dynamics of the interest rate process,debt public.


3/43

3

1. INTRODUCCIN

El anlisis y obtencin de la estructura temporal de los tipos de inters (ETTI)constituye uno de los temas que ha merecido un mayor nmero de trabajos de

investigacin, en los ltimos aos, dentro de la economa financiera. La ETTI es la funcinque relaciona los tipos de inters libres de riesgo de insolvencia con su plazo. Laimportancia de la obtencin de la ETTI radica en sus mltiples aplicaciones en varioscampos de la economa. En el campo de la economa financiera, permite la valoracin deactivos financieros y el diseo de estrategias de inversin y cobertura. En teoraeconmica, es esencial en el estudio de temas tales como la formacin de expectativas, lasrelaciones entre los tipos a corto y largo plazo, la transmisin de la poltica monetaria a lasvariables macroeconmicas relevantes, etc. Al Tesoro pblico su conocimiento le interesapor cuanto contribuye a conocer los condicionantes de su financiacin y le permite disearcorrectamente su poltica de endeudamiento. Y por ltimo, como indicador para la poltica

monetaria, til para analizar, junto con otras herramientas, las condiciones en las que ha deactuar la autoridad monetaria, las perspectivas de cumplimiento del objetivo establecido, yla percepcin, por parte de los agentes, del tono de la poltica monetaria y del grado deconfianza en su mantenimiento en el futuro.

Ahora bien, los tipos de inters al contado slo pueden observarse a partir de activosfinancieros emitidos a descuento, activos que en el caso espaol tienen vencimiento inferiora un ao1. Los tipos observados para plazos superiores contienen, generalmente, primas deliquidez, sesgo de fiscalidad y de cupn, lo cual invalida su interpretacin y utilizacindirecta o inmediata como ETTI. Ello obliga a obtener la ETTI a partir de los tiposobservados mediante algn mtodo de estimacin, generalmente, utilizando los precios de

la deuda pblica ya que estos instrumentos estn exentos de riesgo de crdito y cuentancon mercados secundarios profundos para un amplio espectro de plazos2.

El esquema 1 recoge los distintos procedimientos de estimacin existentes en laliteratura. En Nuez (1995) puede el lector encontrar una referencia detallada de cada unode ellos, a excepcin de la estimacin de la funcin de descuento por los modelos de lacorriente deductiva a la que pertenece el modelo que se utiliza en este trabajo.

Centrndonos en la corriente deductiva, la determinacin de la estructura temporalse plantea como un problema de valoracin de activos de renta fija y est directamente

inspirada en los modelos de fijacin de precios para las opciones de Black y Scholes(1973) y en el concepto de equilibrio de la ETTI bajo incertidumbre introducido porMerton (1973a). La corriente deductiva define a priori una forma funcional de acuerdo conla cual evolucionan los tipos de inters e imponiendo una serie de restricciones se estima elvalor de los parmetros, que caracterizan esta forma funcional. Cabe distinguir dosposibles variantes:

1 A partir del 28 de abril de 1997 se emiten letras del Tesoro a 18 meses. Asimismo, recientemente hancomenzado a negociarse en el mercado de deuda los denominados trips que permiten negociar por separado alprincipal y cada uno de los pagos intermedios de un ttulo.2

Sin embargo, hasta 1991 el mercado espaol de deuda pblica no es suficientemente homogneo y lquidopara permitir la estimacin de la ETTI. Ello conlleva que el perodo muestral para el cual se estima la ETTIcomience en el ao 1991.


4/43

4


5/43

5

1. Modelos de no arbitraje (Merton (1973a), Vasicek (1977), Dothan (1978),Brennan y Schwartz (1979, 1980)). Estos modelos parten de las condiciones necesariaspara que no existan oportunidades de arbitraje. No especifican condiciones suficientes y elriesgo se especifica exgenamente. Los precios de los bonos a descuento dependen de unnmero finito de variables econmicas fundamentales, denominadas variables estado, que

siguen procesos estocsticos.

2. Modelos de equilibrio general (Cox, Ingersoll y Ross (1985), Longstaff (1989),Longtaff y Schwartz (1992), Platten (1994)). El modelo de valoracin intertemporal deactivos de Merton (1973b) y el modelo de equilibrio con expectativas racionales de Lucas(1978) llevan a los investigadores a considerar modelos de equilibrio de la ETTI. Losmodelos de equilibrio general requieren, como en un modelo neoclsico, fuertes supuestossobre preferencias, entorno y tecnologa.

Los modelos de equilibrio general y de arbitraje tienen en comn que ambos

consideran que los tipos de inters se comportan como procesos estocsticos y los preciosde los activos financieros dependen de stos. En ambos se obtiene una ecuacin diferencialque deben cumplir los precios de los activos, aunque su obtencin varia de un modelo aotro. Los modelos de equilibrio general consideran la determinacin de la ETTI como unproblema de equilibrio general, especificando las variables de entorno que influirn en ladeterminacin de los precios de los bonos (precio sin riesgo de crdito y de liquidez), enlas propiedades estocsticas de las variables endgenamente determinadas y en la formaexacta de las primas de riesgo. La metodologa basada en el arbitraje comienza con elsupuesto acerca de la evolucin estocstica de uno o ms factores y deriva el precio de losactivos imponiendo la condicin de que no hay oportunidades de arbitraje en la economa.La valoracin de bonos mediante esta ltima metodologa puede, sin embargo, conducir a

oportunidades de arbitraje y a inconsistencias internas en el sentido de que no puede existirun equilibrio general subyacente.

Por tanto, la metodologa del equilibrio tiene claras ventajas sobre la del arbitraje, yaque la estructura temporal, su dinmica y la forma funcional del precio del riesgo sondeterminadas endgenamente.

En este trabajo se estima el modelo intertemporal estocstico en tiempo continuo yde equilibrio general de valoracin de Cox, Ingersoll y Ross (CIR) utilizando los precios dela deuda pblica durante el perodo que abarca desde enero de 1991 hasta diciembre de

1995. El propsito es analizar si el modelo permite explicar satisfactoriamente la formacinde precios en el mercado de deuda y obtener, por tanto, la ETTI implcita en los precios dela deuda.

La estructura de este trabajo es la siguiente. A continuacin se expone brevemente elmodelo de CIR. En el apartado tercero se estima, en primer lugar, el proceso estocsticodel tipo de inters a corto plazo con datos temporales y, en segundo lugar, los precios de ladeuda pblica y estructura temporal de los tipos de inters con datos de corte transversal.Por ltimo, en el cuarto apartado se recogen las principales conclusiones.


6/43

6

2. MODELO DE EQUILIBRIO GENERAL DE CIR

CIR consideran el problema de la determinacin de la ETTI como un problema deequilibrio general, y su aproximacin contiene elementos de todas las teoras de la ETTI.

El modelo de CIR puede resumirse de la siguiente forma: existe un nmero finito deprocesos productivos con rendimientos estocsticos constantes a escala que producen unslo bien que puede destinarse a consumir o a invertir. Existe un nmero finito de agentesidnticos, con preferencias logartmicas, que seleccionan el plan de consumo e inversinptimos. Los individuos invierten en las empresas, en activos contingentes sobre el output(creados endgenamente), y el resto de su riqueza la prestan (o se endeudan) en unmercado al contado al tipo de inters de equilibrio. Los valores de las empresas siguen unproceso difusin multivariante. Se introduce el cambio tecnolgico aleatorio al hacerdepender el vector deriva y la matriz de covarianzas de este proceso multivariante de un

vector de variables de estado, que siguen a su vez procesos difusin multivariantes. Elproceso markoviano conjunto de los valores de las empresas y de las variables de estadodeterminan la situacin de la economa en todo momento. En equilibrio, toda la riqueza seinvierte en los procesos fsicos y se determina el tipo de inters sin riesgo que vaca elmercado de prstamos, los precios de los activos contingentes y los planes de consumo yde produccin. En concreto se obtiene un proceso difusin para el tipo de inters enfuncin del proceso especificado para el vector de variables estado, y una ecuacin enderivadas parciales que el precio de los activos contingentes (y en general, cualquier activofinanciero) debe satisfacer.

El modelo de CIR supone que la dinmica del tipo de inters instantneo viene dada

por la siguiente ecuacin diferencial estocstica:

dr k r dt rdz= +( ) (1)

donde k es la velocidad de ajuste del tipo de inters hacia su valor de largo plazo

, r

es la volatilidad que caracteriza la variacin del tipo de inters y dz es el incremento de unproceso Wiener estndar. Esta dinmica corresponde a un proceso continuo autorregresivode primer orden donde los movimientos aleatorios de los tipos de inters tienden hacia el

valor de largo plazo , y el parmetro k determina la velocidad de ajuste.

Dado el tipo de inters instantneo r en el perodo t, P(r,t,T) representa el precio deun bono emitido a descuento que vence en T y viene dado por la siguiente expresin:

P r t T A t T eB t T r( , , ) ( , ) ( , )= (2)


7/43

7

donde { }A t T( , ) exp( )(exp( ) )= +

1 2

2 1 11

3

B t T( , )exp( )

(exp( ) )=

+

1

2 1 1

11

[ ] 1 2 21 2

= + +( )/

k

2 1 2= + +( ) /k 3 22= k /= T t

El parmetro es el precio de mercado del riesgo y CIR se centran en susignificatividad para contrastar la hiptesis de las expectativas, de tal forma que si seobtiene un precio de mercado del riesgo significativamente distinto de cero se rechaza lahiptesis de las expectativas.

El rendimiento al vencimiento de un bono emitido a descuento que vence en Tvendr dado por la siguiente expresin:

R r t TP

T t T t B t T r

T tA t T( , , )

ln( , ) ln ( , )=

=

1 1(3)

Cuando el bono se aproxima a su vencimiento, el rendimiento al vencimiento es iguala r pero si

, el rendimiento no depende de r y es igual a:

lim R r t T

= ( , , ) ( )1 2 3 (4)

Si r es menor que la solucin a largo plazo entonces la pendiente de la curva de tipos

de inters es creciente. Si el tipo de inters instantneo excede ak

k

+, la curva es

decreciente (invertida). Si el tipo de inters est entre esas dos cantidades, la curvapresenta una joroba, no es montona. Hay que notar que esas dos cantidades seran iguales

si 1 = +k y la magnitud de

sera insignificante respecto a k y

con lo que es difcilobservar curvas con jorobas. Esto es importante porque es compatible con el resultadotradicional de que los tipos a largo plazo reflejan las expectativas de evolucin del tipo acorto (tipos actuales muy altos implica tendencia a descender y esto implica curva invertiday al revs).

El parmetro

de (1) viene determinado por la relacin:

= 2 1 2 2 2( ) (5)


8/43

8

Considerando un bono con cupn como una cartera de bonos emitidos a descuento,su precio en t vendr dado por:

PB t c d c P r t d i ii

T

( , , ) ( , , )==

1

(6)

donde c es el vector de flujos que se reciben segn el vector de vencimientos d.

3. ESTIMACIN DE LA ESTRUCTURA TEMPORAL DE LOS TIPOS DEINTERS

Los parmetros del modelo de equilibrio de CIR han sido estimados en la literaturatanto con datos de corte transversal como con datos temporales.

A partir de las expresiones (1), (2), (3) y (6) que se deducen del modelo de CIR,existen tres mtodos para estimar los parmetros del modelo (k,

,

,

). El primero consiste

en estimar los parmetros del proceso continuo (k,

,

) mediante una aproximacindiscreta de la ecuacin diferencial (1 utilizando, como proxy del tipo de inters instantneosin riesgo, la serie histrica de un tipo de inters a corto plazo. Posteriormente se obtiene de (2) (3) al aplicar mtodos no lineales.

El segundo mtodo utiliza un panel de observaciones y estima simultneamente losparmetros (k, , , ) al aplicar el mtodo de los momentos generalizados a (3). Dado quelos modelos de equilibrio implican que el tipo de inters instantneo libre de riesgo poseeuna distribucin estacionaria, los parmetros pueden ser estimados aplicando el mtodo delos momentos generalizados de Hansen. Este mtodo consiste en derivar las expresionesanalticas de los momentos de los rendimientos esperados de los activos, igualar estasexpresiones a sus valores empricos (momentos muestrales), y resolver el sistema deecuaciones de momentos que resulta. En nuestro caso debera disponerse, a lo largo de unperodo determinado, de observaciones de precios cupn cero con idntico vencimientoque permitan, como mnimo, calcular cuatro momentos muestrales (nmero deparmetros). Sin embargo, surgen dos problemas que obligan a descartar este mtodo:

1. Los ttulos cupn cero tienen vencimientos inferiores al ao con lo que la muestrano incluira datos del segmento a ms largo plazo (ttulos con vencimiento mayor al ao).

2. No se poseen ttulos con vencimiento residual idntico a lo largo de undeterminado perodo que permitan obtener un sistema de cuatro momentos muestrales.

Por ltimo, el tercer mtodo consiste en la estimacin de corte transversal de losparmetros del modelo aplicando mtodos no lineales a (6) utilizando para ellodirectamente los precios observados de bonos con cupn. Brown y Dybving (1986) hacenel siguiente supuesto, el precio del bono en el momento t, PB *(

) se desva del precio

terico en un error tde media cero:


9/43

9

PB*()=PB(

)+

t (7)

el trmino de error t se supone independiente e idnticamente distribuido como normal

para todos los precios de bonos.

Sobre el modelo (7) es posible obtener la estimacin de los parmetros aplicandomnimos cuadrados no lineales a los precios de bonos de diferentes vencimientos en unpunto del tiempo. La variable dependiente es el precio de los bonos y las variablesindependientes son los pagos futuros y las fechas de esos pagos. Con ello, se obtienen lasestimaciones de corte transversal de los parmetros del modelo.

Hay que observar que mientras el mtodo de los momentos generalizados y el de laestimacin del proceso discretizado del tipo de inters instantneo suponen implcitamenteque los parmetros del modelo son constantes en el tiempo, en este ltimo mtodo se

obtiene una serie temporal de las estimaciones de

1,

2,

3y r. Sin embargo, a diferenciade los otros dos mtodos no es posible identificar separadamente las estimaciones de k,

y

3.

Con datos temporales es que se obtienen unos determinados valores de losparmetros del modelo para todo el perodo considerado, de forma que se est suponiendoimplcitamente que la ETTI tiene la misma forma funcional a lo largo de todo el perodo.Con datos de corte transversal se obtiene una serie temporal de parmetros estimados deforma que, en cada momento, la ETTI puede presentar una forma funcional distinta. Laestimacin con datos temporales se interpretara como los valores medios de losparmetros, y por tanto se estimara una ETTI media para el perodo de estimacin. La

estimacin con datos temporales de la ETTI puede ser adecuada si el objetivo es laobtencin de sus determinantes pero no si el objetivo es estimar el precio de cualquieractivo financiero en un momento determinado del tiempo.

La ventaja del mtodo de estimacin de corte transversal es que est basado en datosobservables tales como el precio de los bonos, lo cual evita errores de medida en lavariable dependiente. Asimismo, permite obtener la estimacin de la serie del tipo deinters instantneo.

En conclusin, se van a utilizar el primer y ltimo procedimiento de forma que, lejos

de ser excluyentes entre s, sean complementarios siempre teniendo presente laslimitaciones y salvedades de cada uno de ellos. El primer mtodo permitir obtenerinformacin sobre algn parmetro necesario en la estimacin de corte transversal. Elsegundo procedimiento permitir obtener el resto de parmetros y la estimacin de cortetransversal de la ETTI.

3Se tienen cuatro incgnitas y tres ecuaciones por lo que se trata de un sistema indeterminado.


10/43

10

3.1. Estimacin del proceso estocstico del tipo de inters a corto plazo

Para estimar los parmetros del modelo continuo se utiliza la siguiente especificacindiscreta del proceso (1):

rt+1-rt= k( - rt) + t+1 (8)E[

t+1]=0E[

2t+1]=

2rt

donde el parmetro

representa la frecuencia de las observaciones en trminos de unidadde tiempo elegida. Por ejemplo, para tasas anuales (la unidad de tiempo es el ao) yobservaciones mensuales, como es nuestro caso,

=1/124.

La especificacin se puede reescribir de la siguiente forma:

rt+1-rt= k*(

*- rt) + t+1 (9)E[

t+1]=0E[

2t+1]=

*2rt

donde k*=k

,

*=

y

*2=

2

.

Este modelo discreto tiene la ventaja de permitir que la varianza de los cambios deltipo de inters dependa directamente del nivel de tipos de inters de forma consistente conel modelo continuo.

Esta especificacin se puede estimar por mxima verosimilitud puesto que la funcinde densidad de transicin del proceso Wiener x(t)=

(t)+

t viene dada por la expresin:

P

(t,x)= 12 2

2

t

x tt

exp ( )

(10)

4La especificacin de Longstaff quedara de la siguiente forma:

rt+1-rt=k (rt1/2)+t+1

E(+1)=0

E(2+1)=2rt


11/43

11

de forma que en nuestro caso particular5la funcin de densidad es:

P(dt,dz)=12

1

2

2

t

drr

k r dt

r

dtexp

( ( ) )

(11)

3.1.1. Datos

Dado que el tipo de inters instantneo no es una variable observable se ha utilizadouna proxy del mismo. Generalmente la proxy utilizada en la literatura es el rendimiento de

los Treasury Bills con vencimiento un mes (Ananthanarayanan (1980), Chan, Karolyi,Longstaff (1992), y Broze (1993)). Sin embargo, en este trabajo como proxy del tipo deinters instantneo se ha utilizado el tipo de inters a un da de las operaciones decompraventa con pacto de recompra de las letras del Tesoro6 durante el perodocomprendido entre enero de 1989 y diciembre de 1995.

Observando el grfico del tipo de inters a un da se observa que se produce uncambio de tendencia a partir de abril de 1993 (ver Grfico 1). Asimismo, el grfico de suprimera diferencia indica la presencia de heterocedasticidad.

El Cuadro 1 recoge los estadsticos descriptivos del tipo de inters a un da y suprimera diferencia en todo el perodo considerado y en los dos subperodos en que lamuestra puede ser dividida atendiendo al cambio observado en la serie. As, puedeobservarse un cambio sustancial en la media del tipo de inters y en su desviacin estndarentre los dos subperodos de la muestra. Mientras en el primer subperodo la media seencuentra alrededor del 13%, en el segundo cae hasta el 9%. Respecto a la variabilidad dela serie, el segundo subperodo es ms voltil que el primero lo cual supone un indicio de laexistencia de heterocedasticidad en la muestra.

La media de la primera diferencia en todo el perodo es negativa indicando que se haproducido cadas en los tipos de inters. Sin embargo, si se consideran por separado los

dos subperodos en que se puede dividir la muestra, mientras en el segundo la media de laprimera diferencia presenta signo negativo, el primero presenta signo positivo lo queindicara que durante este perodo los tipos de inters crecieron.

5Nuestro proceso Wiener tiene la siguiente expresin:

dz= drr

k r dt

r( )

( )1

donde E(dz)=0 y E(dz2

)=dt.6Para Serrat (1990) es la serie que mejor aproxima un tipo terico sin riesgo de crdito.


12/43

12


13/43

13

Respecto a los coeficientes de autocorrelacin, los de los tipos de inters en nivelesson elevados y caen lentamente mientras que los de sus primeras diferencias son pequeosy no presentan ningn comportamiento. Esta evidencia indica que las series de tipos de

inters en niveles son no estacionarias pero s lo son sus primeras diferencias. Por ltimo,comentar que las primeras diferencias de los tipos de inters se distribuyen como unanormal atendiendo a los estadsticos de kurtosis, asimetra y Bera-Jarque.

3.1.2. Resultados de la estimacin

El Cuadro 2 recoge el valor de los parmetros estimados, sus estadsticos t deStudent entre parntesis y el logaritmo de la funcin de verosimilitud. Como puede

observarse se ha estimado el modelo en tres perodos de tiempo, el perodo muestral y dossubperodos que abarcan desde enero de 1989 a marzo de 1993 y desde abril de 1993 hasta

CUADRO 1

TIPO DE INTERS A UN DA. ESTADSTICOS DESCRIPTIVOS

1989.01-1995.12 1989.01-1993.03 1993.04-1995.12

r dr r dr r dr

Media 0.1145 -0.0002 0.1301 0.0007 0.0905 -0.0017

Desviac in 0.0234 0.0048 0.0103 0.0049 0.0161 0.0044

Mnimo 0.0730 -0.0130 0.1110 -0.0120 0.0730 -0.0130

Mximo 0.1480 0.0110 0.1480 0.0110 0.1390 0.0080

Asimetra -0.4381 -0.1215 -0.2374 -0.0253 1.2775 -0.5436

Kurtosis 1.7805 3.3992 1.6247 2.9667 4.3042 3.7306

Bera-Jarque 7.8927 0.7556 4.4980 0.0076 11.3152 2.3592

r(1) 0.973 0.097 0.834 -0.064 0.820 0.389

r(2) 0.942 0.284 0.734 0.200 0.670 0.484

r(3) 0.899 0.115 0.578 -0.020 0.564 0.455

r(4) 0.850 0.169 0.442 0.112 0.411 0.326

r(5) 0.795 0.063 0.320 0.101 0.303 0.305

r(6) 0.737 -0.082 0.209 -0.030 0.202 0.235

Nota: El tipo de inters a un da es el de las operaciones compraventa con pacto de recompra con letras del Tesoro. dr es la primera diferenc ia del tipo de inters a un da.

Fuente: Elaboracin propia a partir de lo s datos del Bo letn estadstico del Banco de Espaa.


14/43

14

diciembre de 1995, respectivamente. La razn de partir la muestra ha sido obtener unproceso estimado que para el conjunto de la muestra se ajusta bien a los datos pero en elque los parmetros no eran significativos. Esto hace sospechar la presencia de un cambioestructural a lo largo del perodo, tal y como se observa en el grfico de la variabledependiente, que genera inestabilidad en la estimacin de los parmetros. Al estimar el

modelo en las dos submuestras, se obtiene que los parmetros estimados pasan a sersignificativos y algunos de estos parmetros presentan cambios significativos de valor entrelas dos submuestras.

CUADRO 2. ESTIMACIN DE LA DINMICA DEL TIPO DE INTERS A UN DA

1989.01-1995.12 1989.01-1993.03 1993.04-1995.12

K 0,0135 0,1138 0,1623(0,5038) (1,6821) (4,7479)

MEDIA 0,0943 0,1357 0,0816(1,644) (16,021) (18,839)

SIGMA 0,0139 0,0132 0,0101 (12,811) (9,2517) (8,0163)

LOGARITMOVEROSIMILITUD 404,325 242,453 174,726

Nota: Los valores entre parntesis son los estadsticos t-Student.

Con el fin de comprobar en que parmetros se ha producido un cambio estructuralsignificativo se propone la siguiente especificacin en la que se considera la posibilidad deun cambio estructural en cada uno de los parmetros7:

rt+1-rt= (k*+Dk1)[( *+D

1)- rt]+ t+1 (12)E[ t+1]=0E[ 2t+1]=(

*2+D 1)rt

donde D es una variable ficticia que toma valor 1 desde 1989.01 hasta 1993.03 y valor 0desde 1993.04 hasta 1995.12, y los parmetros k1, 1y 1son los asociados a la variableficticia, de forma que si son significativos indicaran que se ha producido un cambioestructural en los parmetros del modelo.

7De igual forma procede Chan, K.C., G.A. Karolyi, F.A. Longstaff and A.B. Sanders (1992).


15/43

15

Los resultados de la estimacin de esta especificacin aparecen recogidos en elCuadro 3, en el que se puede observar atendiendo al contraste razn de verosimilitud8quelos parmetros asociados a la variable ficticia son significativos conjuntamente y, por tanto,se constata la existencia de cambio estructural. Por otro lado, analizando la significatividadindividual de cada uno de los parmetros asociados a la variable ficticia se puede concluir

que se ha producido un cambio en la volatilidad de los tipos de inters y en el nivel del tipode inters a largo plazo *, de tal forma que ha afectado a la media de la dinmica del tipode inters.

CUADRO 3 ESTIMACIN DEL PROCESO DINMICO DEL TIPO DE INTERS A UN DA.

CAMBIO ESTRUCTURAL

LOGARITMO K K1 MEDIA MEDIA1 SIGMA SIGMA1 VEROSIMIL. RV

0,1622 -0,0484 0,0816 0,0541 0,0101 0,0031 417,179 25,71

(4,7509) (-0,6392) (18,830) (5,6882) (8,0259) (1,6398)*

Nota: Los valores entre parntesis son los estadsticos t-Student*Significativo al 10%.

RV es el contraste razn de resomilitud y su valor crtico es 7,815.

En cuanto a la estimacin del precio de mercado del riesgo, es decir, del parmetro , ste puede estimarse de (2) por mtodos no lineales. Sin embargo, dado que es elnico parmetro a estimar, ste varia en funcin de la serie escogida como variabledependiente (ver Cuadro 4) lo cual es contrario al modelo de CIR donde

es un

parmetro y no depende del precio del activo.

La ETTI es una forma funcional cambiante en el tiempo, de forma que no slo elnivel sino su pendiente varia. La ETTI de un perodo puede estar por debajo o por encimade la del perodo anterior, reflejando subidas o cadas generalizadas de los tipos de inters,y, asimismo, presentar una pendiente mayor o menor a la del perodo anterior, reflejandocambios en el diferencial de los tipos de inters a corto y largo plazo. El considerar que losparmetros del proceso estocstico del tipo de inters a corto plazo permanecen constantesa lo largo de un perodo, hace que toda la variacin que sufre la ETTI recaiga en el nico

8El contraste razn de verosimilitud (RV) viene dado por la siguiente expresin:

[ ]RV L L= 2 0ln ( ) ln ( )

donde

0es el estimador mximo verosmil en el modelo restringido y

es el estimador mximo verosmil enel modelo sin restringir. Dicho contraste se distribuye asintticamente como una 2 con r grados de libertad,siendo r el nmero de restricciones que implica la hiptesis nula.


16/43

16

parmetro a estimar, , el cual reflejar no slo el precio de mercado del riesgo sino lasvariaciones en la pendiente de la ETTI e incluso las caractersticas propias del mercadoconsiderado. Si a lo largo del tiempo la ETTI slo presentara movimientos paralelos al alzao a la baja, la estimacin de

sera independiente del tipo de inters escogido9.

CUADRO 4 ESTIMACIN DEL PRECIO DEL RIESGO

MTODO NO LINEAL MTODO MIBOR MIBOR MIBOR LETRAS SUR3 MESES 6 MESES 1 AO 1 AO

LANDA -0,6654 -0,3837 -0,2582 -0,0619 -0,1870 (-13,508) (-11,524) (-9,877) (-2,265) (-9,337)

LOGARITMO 306,990 292,629 273,866 278,356 335,039VEROSIMILITUD


Otra posibilidad para estimar es plantear un sistema de ecuaciones no linealesaparentemente no relacionadas (matriz de covarianzas de los residuos no diagonal) cuyotratamiento adecuado es el mtodo SURE no lineal multivariante de Zellner. Con estemtodo de estimacin se obtiene una nica estimacin del precio de mercado del riesgo, ylos residuos de cada una de las series recogen lo que el modelo no puede explicar comoson las caractersticas propias de cada mercado y plazo. La estimacin del parmetro

por

el mtodo SURE aparece recogida en el Cuadro 4 y, como puede observarse, es negativo ysignificativo, lo cual indica que a lo largo del perodo considerado ha existido una primapositiva. La obtencin de esta prima positiva y significativa implica que se rechaza la teorade las expectativas, e indica que los inversores tienen preferencia por el corto plazo.

Adems de esta limitacin en la estimacin de

, hay que tener en cuenta que estemtodo de estimacin supone que los parmetros k,

y

son constantes a lo largo del

perodo muestral, lo que significara, como ya se ha comentado, que la ETTI tiene lamisma forma funcional a lo largo de todo el perodo. Esto se encuentra muy lejos de la serverdad dado que la ETTI es una forma funcional cambiante, y por ello la ETTI que seobtendra por este mtodo podra, en todo caso, considerarse como la ETTI media delperodo. Si se quiere obtener para cada momento del tiempo la ETTI correspondiente, hade estimarse los parmetros que en ese momento configuran la ETTI a travs de laestimacin de corte transversal. Este es el mtodo que se sigue a continuacin.

9An as, podran existir diferencias que podran atribuirse a posibles diferencias en la negociacin de losmercados.


17/43

17

3.2. Estimacin de la estructura temporal de los tipos de inters con datos de cortetransversal. Modelo de CIR

El objetivo de este apartado es obtener la estimacin de los parmetros 1, 2, 3 y

del tipo de inters instantneo del modelo de CIR, con datos de corte transversal, duranteel perodo enero de 1991 y diciembre de 1995, aplicando mnimos cuadrados no lineales,tal y como hacen Brown y Dyvbing (1986), sobre la expresin (8)10:

La estimacin de los parmetros ha presentado problemas de identificacin indicandoque la forma funcional del modelo de CIR est sobreparametrizada respecto de los datos.Ante la dificultad de estimar los parmetros se ha procedido, tal y como propone Serrat, aimponer el valor del parmetro

3en (8). El valor del parmetro 3=2k /2

se obtiene dela estimacin de k, y del proceso estocstico del tipo instantneo realizado en elapartado anterior. Dado que en la estimacin de este proceso estocstico se observa un

cambio estructural en los parmetros

y

, se obtiene un valor de

3 para cada uno de lossubperodos en que se divide la muestra. El valor de 3 es 233,46 para el perodo

comprendido entre enero de 1991 y marzo de 1993 y de 242,95 para el perodo que abarcadesde abril de 1993 hasta diciembre de 1995. Una vez impuesto el valor de 3en (7) seprocede a aplicar mnimos cuadrados no lineales para obtener 1, 2 y el tipo de intersinstantneo r11. Las razones que nos llevan adoptar esta solucin son las siguientes:

1. La ms obvia: poder estimar.

2. Se trata del valor medio estimado que el parmetro 3 tomara en el perodo

considerado.

3. El fijar 3conlleva cometer sesgos en la estimacin de corte transversal de 1 y 2

pero los valores de la ETTI estimada no se ven afectados. El precio de un bono adescuento con vencimiento en t es igual a e -y donde y es el tipo de inters al contado parael plazo

, y en el modelo de CIR el precio de ese bono es igual a A(

)e-rB( ). Las

estimaciones de 1, 2 y de 3 deben de ser tales que la desviacin al cuadrado entre esas

dos expresiones del precio sean mnimas. Si se fija 3, el criterio de estimacin por el que

se minimiza el error conlleva a que los parmetros 1 y 2estimados sigan minimizando

dicha desviacin. Por tanto, fijar 3 supone cometer sesgos en la estimacin de 1 y 2

respecto de sus verdaderos valores pero la ETTI estimada no se ve afectada. Veamos un

ejemplo para entender esta afirmacin. Sea x e y dos variables con 40 observaciones cadauna de tal forma que estn relacionadas por la siguiente funcin: y= 9e4x. Supongamos queno se conoce la forma funcional y se estima plantendose la siguiente especificacin:

y=(c(1)/c(2))c(3)e(c(1)-c(2))2*X

10La razn de que el perodo de tiempo considerado no abarque desde el ao 1989, como en el apartadoanterior, se debe a que con anterioridad a 1991, la poca profundidad del mercado espaol de deuda imposibilitala estimacin de la ETTI, al menos sin presentar grandes sesgos respecto a la verdadera ETTI. A partir de1991, el mercado espaol de deuda es lo suficientemente lquido para permitir la estimacin de la ETTI sin

dificultades.11La diferencia con Serrat es que mientras l obtiene la estimacin temporal de los parmetros restantes, aquse utiliza un parmetro obtenido con datos temporales en una estimacin de corte transversal.


18/43

18

Como se conoce el verdadero proceso generador de los datos, se puede calcular elvalor que toman los c(i)s, resultando c(1)=3, c(2)=1 y c(3)=2. Ahora se estima laespecificacin planteada y los resultados aparecen recogidos en la primera columna delCuadro 5. Como era de esperar, los valores estimados son prcticamente iguales a losverdaderos, y el coeficiente de determinacin indica que el ajuste es perfecto y los

estadsticos t de Student de los parmetros indican que stos son no significativos porproblemas de identificacin.

Supongamos ahora que se fija el valor del parmetro c(3) en 1,5 y se procede aestimar el modelo. Los resultados aparecen recogidos en la segunda columna del Cuadro 5.Como puede observarse, el valor de los parmetros c(1) y c(2) han variadosignificativamente respecto de sus verdaderos valores, sin embargo, el ajuste sigue siendoperfecto, los valores estimados de la variable dependiente son iguales a los estimadosanteriormente y los estadsticos t de los parmetros indican que stos son significativos yhan desaparecido los problemas de indentificacin.

CUADRO 5 ESTIMACIN DE UN MODELO FIJANDO UN PARMETRO

RESTRINGIDO C(3)=1,5

C(1) 2,96 2,60 (0,22) (6*E7)

C(2) 0,96 0,60

(0,05) (2*E7)

C(3) 1,95 - (0,53)

R2 1,00 1,00

D.W. 2,29 2,29


Por otro lado, obtenidos los parmetros 1 y 2 no es posible identificarseparadamente los valores de k, y . Si se impusiera los valores estimados de k, y 2

obtenidos de la estimacin del proceso del tipo instantneo para obtener el parmetro

,toda la variacin de la ETTI recaera sobre dicho parmetro. Por ello, no se puedeidentificar los parmetros, al menos los verdaderos valores de corte transversal de k,

,

y

2.


19/43

19

En la literatura emprica, generalmente se supone que la varianza de los residuos esproporcional al producto del precio de los bonos y su duracin. Es decir, la varianza de lostrminos de error viene dada por la siguiente expresin:

E( 2k)= 2wk k=1,2.....n (13)

donde wk=( ) ( )dPdy D Pk

kk k= 2 , siendo Dk la duracin de Macaulay del k-simo ttulo e yk la

tasa de rentabilidad interna del k-simo ttulo.

Sin embargo, no se ha considerado oportuno corregir directamente porheterocedasticidad los residuos sin antes comprobar la existencia de la misma. Por estarazn, en cada perodo se ha estimado el modelo sin suponer un comportamiento de lavarianza de las perturbaciones distinto al de ruido blanco y, posteriormente, se hacomprobado si la varianza de los residuos presentaba heterocedasticidad. En aquelloscasos en los que se ha detectado la presencia de heterocedasticidad en los residuos se hacorregido.

Por otro lado se ha procedido a eliminar los outliers que han surgido en la estimacinsiguiendo el siguiente proceso iterativo: si alguna observacin presenta un residuo mayoren valor absoluto a un nmero de veces la desviacin estndar de los residuos, laobservacin es eliminada de la muestra y se procede a estimar de nuevo. En los trabajosempricos, generalmente el procedimiento seguido es el de eliminar las observaciones conun residuo superior a 2,5 veces la desviacin estndar, sin embargo, nuestro criterio ha

sido ms estricto en el corto plazo y se ha fijado en 2 veces la desviacin estndar y en 2,5veces para el largo plazo. La razn es que se minimizan los errores en precios, y un errorpequeo en precio en trminos de rendimiento puede ser muy elevado, fundamentalmenteen el corto plazo. No tiene la misma importancia cometer un determinado error en unaobservacin correspondiente a un ttulo a largo plazo que a un ttulo a muy corto plazopuesto que en estos ltimos el error en rendimiento es ms grave. Veamos un ejemplo:

PLAZO PRECIOREAL

PRECIOTERICO

DIFERENCIA

1 da 0,9997 0,9996 0,00011 mes 0,9833 0,9832 0,00012 aos 0,8171 0,8164 0,0006

PLAZO RDTOREAL

RDTOTERICO

DIFERENCIA

1 da 0,0828 0,1188 0,03601 mes 0,1010 0,1016 0,00062 aos 0,1009 0,1014 0,0004


20/43

20

El error relativo depende del vencimiento del ttulo. Cuanto mayor es el plazo menores el error en rendimiento respecto a un determinado error en precio. En el ejemplo, entreun da y un mes, el error en precio es el mismo y sin embargo, el error que se comete entrminos de rendimiento es mucho ms elevado en el plazo de un da que en el plazo de unmes. El error en rendimiento es de tres puntos porcentuales en el caso de un da lo cual es

un error muy grande. En el caso de dos aos, el error que se comete en precios es mselevado que en los otros dos plazos y, sin embargo, el error en rendimientos es mucho mspequeo. Por ello, no es lo mismo cometer errores en el largo plazo que en el corto plazo yhay que imponer criterios ms estrictos en el corto plazo.

3.2.1. Datos

La Central de Anotaciones proporciona diariamente los precios medios (con y sincupn corrido) de las operaciones compraventa simple al contado del mercado de deudapblica anotada. El perodo de estimacin considerado abarca desde enero de 1991 adiciembre de 1995 estimndose la ETTI el ltimo da hbil del mes. Se han tomado losprecios de los bonos y obligaciones del Estado y letras del Tesoro con un saldo negociadosuperior a 500 millones de pesetas o, en caso de no alcanzar ese volumen, con un nmerode operaciones mayor a uno. De esta forma, se evita considerar ttulos negociados porvolmenes reducidos o emisiones antiguas, que presentan problemas de liquidez.

Dado que para los plazos inferiores a un ao, los instrumentos idneos son las letrasdel Tesoro y, sin embargo, el mercado secundario de stas es poco activo para las letras

con menos de tres meses de vida, para aquellos plazos inferiores a los tres meses, se hanutilizado datos procedentes de las operaciones simultneas, que son equivalentes ainstrumentos emitidos al descuento con una vida igual al plazo de la simultnea.

Con estos criterios de seleccin de datos se ha querido eliminar observaciones quepodan introducir sesgos en la estimacin. Sin embargo, en el ao 1991 dada la escasez dedatos, en algunos meses, y la inexistencia de operaciones simultneas, se ha consideradolas observaciones de letras con vencimientos inferiores a tres meses, para incluir datos delsegmento a ms corto plazo, y los ttulos con volmenes inferiores a 500 millones depesetas. No obstante, en todos los casos, los residuos de estas observaciones han cumplido

con el criterio fijado para detectar y eliminar outliers. En el resto del perodo se hamantenido el criterio ms restrictivo en la toma de datos. Aunque el nmero de datosdisponibles para cada estimacin puede resultar en algunos perodos bastante reducido hayque sealar, como hacen Contreras y Navarro (1993) que cada dato constituye la sntesisde un conjunto mucho ms amplio ya que el precio de un bono contiene informacin sobrelos tipos de inters al contado correspondientes al vencimiento de cada uno de los flujosque genera.

Los activos cuyo precios se determinan en los modelos de equilibrio son precios debonos reales (en unidades de consumo). No obstante, versiones contrastadas del uso devariables nominales en las relaciones implicadas por los modelos de estructura temporal de

tipos no parecen distinguirse del anlisis en trminos reales. Sin embargo, hay modelosdonde los precios derivados en trminos reales y nominales son bastante diferentes. Esto


21/43

21

es, sin embargo, una cuestin cuya importancia es probablemente proporcional a lalongitud del perodo de tiempo en el que se pretenda contrastar el modelo (Serrat (1990)).Majnoni (1993) utiliza datos nominales para los bonos del Gobierno Italiano, Longstaff ySchwartz (1992) de forma consistente con otros trabajos empricos (Brown y Dybving(1986), Pearson y Sun (1989)) proceden a estimar el modelo usando tambin rendimientos

nominales. Por tanto, en nuestro caso, se ha procedido a realizar las estimaciones entrminos nominales.

3.2.2. Resultados de la estimacin

Los resultados de la estimacin de la ETTI, para el perodo enero de 1991-diciembre de 1995, con el modelo de equilibrio general de CIR, y siguiendo el criterio de

minimizacin de los errores en precio al cuadrado, aparecen recogidos en el Cuadro 6, enel que se ha considerado tambin los dos subperodos en que se ha dividido la muestra.Como puede observarse se produce un cambio significativo en el nivel del tipo de intersinstantneo entre el primer y segundo subperodo de confomidad con lo observado con lostipos de inters efectivos.

El Grfico 2 recoge la evolucin del tipo de inters instantneo estimado y el tipo deinters a un da de las operaciones de compraventa con pacto de recompra utilizado comoproxy del tipo instantneo. Como puede observarse ambas series siguen una evolucinsimilar. Si se considera sus estadsticos descriptivos (Cuadro 7), ambos tipos de interspresentan unos niveles medios muy prximos aunque el tipo de inters instantneo

estimado presenta un nivel de variacin superior. El coeficiente de correlacin de ambasvariables es de 0,9559 para todo el perodo, coeficiente que toma el valor 0,6905 y 0,9628para el primer y segundo subperodo respectivamente, confirmando, lo que se observa en elgrfico, que durante el primer subperodo el tipo de inters instantneo estimado divergede su proxy en mayor cuanta que en el segundo subperodo.

El Grfico 2 recoge tambin el tipo de inters a largo plazo y el instantneo, duranteel perodo considerado, y puede observarse que hasta marzo de 1994 el tipo de inters alargo plazo estuvo situado por debajo del instantneo lo que indica que la ETTI presentpendiente negativa (curva invertida) mientras que a partir de abril de 1994 el tipo de

inters a largo plazo se sita por encima del instantneo con lo que la pendiente de la ETTIpresent pendiente positiva. Estos resultados son tambin acordes con la evidenciaemprica observada en el perodo.


22/43


23/43


24/43

24

CUADRO 7 ESTADSTICOS DESCRIPTIVOS DE LOS TIPOS DE INTERS

INSTANTNEO Y A UN DA

TIPO DE INTERS TIPO DE INTERSINSTANTNEO A UN DA

MEDIA 0,1057 0,1063

DESVIACINTPICA 0,0255 0,0223

MXIMO 0,1601 0,1480

MNIMO 0,0680 0,0730

CORRELACIN 0,9559

Nota: El tipo de inters a un da es el de las operaciones compraventa con compromiso derecompra con letras del Tesoro.

Por otro lado, la variabilidad del tipo de inters instantneo (Grfico 2) indica questa es mayor en los perodos en que se han producido turbulencias en los mercadosfinancieros internacionales como ocurri en el segundo semestre de 1992 tras el resultadodel referndum dans sobre el Tratado de Maastricht y el primer semestre de 1993 en elque los mercados financieros y cambiarios fueron objeto de importantes ataquesespeculativos.

Respecto a la bondad del ajuste del modelo de CIR a la formacin de precios en el

mercado espaol de deuda pblica, se ha comparado los resultados obtenidos con los deNuez (1995) donde realiza la estimacin diaria de la ETTI, para el perodo comprendidoentre enero de 1991 y mayo de 1995, con los mtodos de McCulloch, Nelson y Siegel ySvensson. Nuez resume, para el perodo comprendido entre el 3 de enero y el 23 de mayode 1995, los resultados de sus estimaciones que son las siguientes: la suma de errores alcuadrado media es igual a 0,6 tanto con el procedimiento de Nelson y Siegel como con elde Svensson y de 0,5 con el de McCulloch; los valores mximos de la suma de errores alcuadrado son 2,2, 3,3 y 1,7 en los procedimientos de Nelson y Siegel, Svensson yMcCulloch, respectivamente; y los valores mnimos obtenidos para la suma de errores alcuadrado es 0,2 en todos los casos. Aunque el perodo temporal no coincide, la


25/43

25

comparacin de sus resultados con los del Cuadro 6 permite concluir que el ajuste delmodelo de CIR a los precios de los ttulos es ms que aceptable 12.

Por otro lado, atendiendo a los grficos que recogen los precios observados yestimados por el modelo CIR para el primer y ltimo mes de cada ao, tambin stos

indican que el modelo ajusta bien el precio de los ttulos (Grficos 3 a 7). Hay que recordarque las observaciones estn ordenadas secuencialmente de menor a mayor vencimiento porlo que se observa que el modelo ajusta peor en el tramo largo de la curva correspondientea las observaciones de ttulos de mayor vencimiento. El modelo sobrestima el precio de losttulos de mayor vencimiento y la razn es que el modelo de CIR no hace referencia adiferencias impositivas entre los activos. La estimacin del modelo en general olvida lasimplicaciones que pueden tener las diferentes condiciones fiscales que coexisten en elmercado. La ETTI estimada, al considerar los flujos brutos, es el resultado de lascondiciones fiscales medias relevantes en el mercado en el que coexisten distintassituaciones fiscales. De esta forma, los residuos recogen la presencia de costes de

transaccin, diferencias en la imposicin fiscal y otras imperfecciones del mercado. Portanto, como en los ttulos a largo plazo la distorsin fiscal en los precios es mayor, ceterisparibus, que en los ttulos a corto plazo, los residuos asociados a ellos tambin sernmayores. Los Grficos 8 a 12 corresponden a las ETTIs estimadas en el primer y ltimomes de cada ao.

A partir de la obtencin del valor de los parmetros del modelo utilizando el preciode los ttulos de deuda pblica se puede obtener inmediatamente los tipos de inters alcontado y forward para todos los plazos que se consideren. Lo que no es posible esobtener la prima instantnea, es decir, el exceso de rentabilidad que se obtiene en undeterminado plazo respecto al tipo de inters instantneo, puesto que no se puede

identificar los parmetros k, y de la estimacin de 1, 2y 3.

Por ltimo, y a modo de conclusin, la evidencia emprica obtenida lleva a concluirque el modelo de equilibrio de CIR se ajusta bien a los datos y por tanto, es adecuado paraexplicar la formacin de precios en el mercado espaol de deuda pblica y para obtener laETTI. No obstante, es un modelo muy complejo respecto al clculo, lo cual lo hace pocoatractivo frente a otros modelos ms sencillos de estimar y que presentan tambin un gradode ajuste elevado. Esta es la razn por la que los bancos centrales de Inglaterra y Espaaobtengan la ETTI a travs de modelos de la corriente deductiva, que permiten obtener,diariamente y de forma ms sencilla y rpida la ETTI para ser utilizada como indicador en

la poltica monetaria.

12 Observar que para comparar estos valores con los del Cuadro 6 hay que dividirlos por 10.000, ya que laestimacin de Nuez toma los precios de los ttulos en tanto por cien.


26/43

26


27/43

27


28/43

28


29/43

29


30/43

30


31/43

31


32/43

32


33/43

33


34/43

34


35/43

35


36/43

36

4. CONCLUSIONES

La utilidad de la ETTI abarca distintos mbitos, desde su utilizacin en polticamonetaria, valoracin de activos financieros, diseo de estrategias de inversin y

cobertura, formacin de expectativas, etc. No obstante, los tipos de inters al contado slose observan en ttulos emitidos a descuento sin riesgo de insolvencia y liquidez, que en elcaso espaol slo se emiten para vencimientos inferiores al ao 13. Ello conlleva lanecesidad de obtener la ETTI por algn mtodo de estimacin. Para ello es necesariocontar con un mercado que sea suficientemente lquido para no introducir en la estimacinsesgos causados por la dificultad de encontrar contrapartida. Esta es la razn por la cual elperodo para el que se estima la ETTI comienza en 1991 puesto que con anterioridad aeste ao el mercado espaol de deuda pblica no puede considerarse suficientementelquido para garantizar una ETTI estimada sin excesivas dificultades.

La estimacin de la ETTI por el modelo de equilibrio general de CIR se ha realizadocon datos temporales y con datos de corte transversal y a continuacin se detallan lasprincipales conclusiones que pueden destacarse.

La estimacin del proceso continuo del tipo de inters instantneo mediante unaaproximacin discreta de la ecuacin diferencial utilizando, como proxy del tipo de intersinstantneo sin riesgo, la serie histrica de un tipo de inters a corto plazo, ha permitidollegar a las siguientes conclusiones:

1. Durante el perodo 1989-1995 se produce un cambio estructural en la dinmicadel tipo de inters a corto plazo que afecta a su valor de largo plazo y a su volatilidad.

2. La estimacin del precio de mercado del riesgo por el mtodo SURE lleva aobtener un coeficiente negativo y significativo lo cual implica que a lo largo del perodoconsiderado (1989-1995) ha existido una prima positiva rechazndose, por tanto, lahiptesis de las expectativas e indicando la preferencia de los inversores por el corto plazo.

La estimacin con datos temporales de la ETTI puede ser adecuada si el objetivo esla obtencin de sus determinantes pero no si el objetivo es estimar el precio de cualquieractivo financiero en un momento determinado del tiempo. Con datos temporales seobtienen unos determinados valores de los parmetros del modelo para todo el perodo

temporal considerado de forma que se est suponiendo implcitamente que la ETTI tiene lamisma forma funcional a lo largo de todo el perodo. Con datos de corte transversal seobtiene la serie temporal de los parmetros estimados de forma que, en cada momento, laETTI presenta una forma funcional diferente. Por esta razn parece ms adecuada laestimacin de corte transversal de los parmetros dado que la ETTI es cambiante en eltiempo. As pues se ha llevado a cabo la estimacin del modelo de CIR con datos de cortetransversal y las conclusiones que se pueden derivar son:

1. El modelo de equilibrio de CIR se ajusta bien a los datos y por tanto dichamodelizacin es adecuada para explicar la formacin de precios en el mercado espaol dedeuda. Las razones sobre las que se basa la anterior afirmacin son:

13Desde el 28 de abril del presente ao se emiten tambin letras a 18 meses.


37/43

37

a) Comparando la suma de los residuos al cuadrado media con la obtenida porNuez (1995) a travs de tres modelos de la corriente inductiva se puede concluirque el ajuste del modelo de CIR es bueno.

b) Los grficos de los valores observados y estimados evidencia que se trata de unmodelo que se ajusta bien a los datos de la variable dependiente, aunque, noobstante, ajusta peor en las observaciones de ttulos de mayor vencimiento.

c) La estimacin de corte transversal ha permitido estimar el tipo de intersinstantneo observndose un cambio significativo que puede fecharse en abril de1993 en conformidad con lo observado con los tipos de inters efectivos.

d) El tipo de inters a largo plazo estimado ha estado situado, hasta marzo de 1994,por debajo del tipo de inters instantneo indicando que la ETTI presenta pendiente

negativa (curva invertida) mientras que a partir de abril de 1994 el tipo a largo plazose sita por encima del instantneo con lo que la pendiente de la ETTI presentapendiente positiva. Estos resultados son acordes con la evidencia emprica.

e) La variabilidad estimada del tipo de inters instantneo es mayor en los perodosen que se ha producido turbulencias en los mercados financieros internacionalescomo ocurri en el segundo semestre de 1992 tras el referndum dans sobre elTratado de Maastrich y el primer semestre de 1993 en el que los mercadosfinancieros y cambiarios internacionales fueron objeto de importantes ataquesespeculativos.

2. La estimacin del modelo CIR es muy no lineal, los parmetros 1 y 2 estnaltamente relacionados, y su estimacin ha presentado problemas de identificacinindicando que la forma funcional est sobreparametrizada. Ello ha obligado a tener quefijar el valor del parmetro

3 para poder estimar los otros dos. Por tanto, la estructuratemporal, en el perodo considerado, no es lo suficientemente complicada para aprovecharla flexibilidad del modelo de CIR. Ello no excluye que en otros perodos y en otros pasesla ETTI puede ser los suficientemente complicada para ser explicada por la flexibilidad queimplica la forma funcional del modelo de CIR.

3. Es un modelo complejo respecto al clculo lo cual lo hace poco atractivo frente a

otros modelos ms sencillos de estimar y que presentan tambin un elevado grado deajuste.


38/43

38

APNDICE 1. Conceptos matemticos

Una funcin spline polinomial de orden q, s(x) definida sobre un intervalo [a,b]connudos internos x1, x2,.....xnes una funcin tal que si 0in y xixxi+1, entonces s(x)=pi(x)

donde pi(x) es un polinomio de grado no mayor que q. Adems los polinomiosP1(x).....Pn(x), se ajustan conjuntamente de tal modo que s(x) es dos veces diferenciable atravs del intervalo (a,b).

Un proceso estocstico es una variable que se desarrolla en el tiempo de una formaque es por lo menos en parte aleatoria.

Un proceso difusin es un proceso estocstico en tiempo continuo.

Un proceso Wiener, tambin llamado movimiento Browniano (Brownian Motion) es

un proceso estocstico en tiempo continuo con tres importantes propiedades.

1. Es un proceso de Markov, es decir, la distribucin de probabilidad de los valores futurosdel proceso dependen nicamente de sus valores corrientes y no de sus valores pasados uotra informacin corriente.

2. Tiene incrementos independientes, es decir, la distribucin de probabilidad de loscambios del proceso sobre un intervalo de tiempo es independiente de cualquier otrointervalo temporal.

3. Los cambios en el proceso sobre un intervalo temporal, w(s)-w(t), se distribuyen como

una normal, con media cero y varianza que incrementa linealmente con el tiempo.

Si w(t) es un proceso Wiener, dado un t infinitesimal se puede representar elincremento del proceso Wiener en tiempo continuo, dw, por la ecuacin diferencialestocstica:

dw dt t= (A1.1)

donde t tiene media cero y varianza la unidad, de forma que E dw( )= 0 y

2=E{(dw)2}=dt.

Una ecuacin diferencial estocstica tal y como se utiliza en el modelo de CIR seentiende de la siguiente forma: Sea z(t) un proceso estocstico m-dimensional el cualsatisface el sistema de ecuaciones diferenciales estocsticas:

dz a z t dt b z t dw= +( , ) ( , ) (A1.2)


39/43

39

donde a(z,t) es un vector mx1 y b(z,t) es una matriz nxn, y w(t) es un proceso Wiener n-dimensional. Una solucin de este sistema con posicin inicial z(t) es una solucin delsistema de ecuaciones integrales:

z s z t a z u u du b z u u dw ut

s

t

s( ) ( ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( )= + + (A1.3)

donde la ltima integral es definida en el sentido de Ito. Por otro lado, a y b son mediblesen [ ]t t xRm, ' y satisfacen la siguiente condicin de crecimiento de Lipschitz:

1) Existe una constante k1tal que para todo (z,s) en [t,t]xRm:

a z s k x( , ) ( ) +1 1 y b z s k x( , ) ( ) +1 1 (A1.4)

2) Para algn limite Q Rmexiste una constante k2posiblemente dependiente de Q y s, talque para todo z, y Q y tst:

a z s a y s k z y( , ) ( , ) 2(A1.5)

b z s b y s k z y( , ) ( , ) 2


40/43

40

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

Ananthanarayanan, A.L. y E.S. Schwartz (1980): Retratable and extendible bonds: the Canadianexperience,Journal of Finance, vol. XXXV, no. 1, marzo, pg. 31-47.

Black, F. y M. Scholes (1973): The pricing of options and corporate liabilities,Journal of PoliticalEconomy, vol. 81, no. 3, mayo-junio, pg. 637-654.

Brennan, M.J. y E.S. Schwartz (1979): A continuous time approach to the pricing of bonds,Journal of Banking and Finance 3, pg. 135-155.

--------------- (1980): Conditional predictions of bond prices and return,Journal of Finance, vol.XXXV, no. 2, mayo, pg. 405-419.

--------------- (1980): Analyzing convertible bonds,Journal of Financial and Quantitative Analysis15, pg. 907-929.

--------------- (1982): An equilibrium model of bond pricing and a test of market efficiency,Journalof Financial and Quantitative Analysis, vol. XVII, no. 3, septiembre, pg. 301-329.

Brown, S.J. y P.H. Dybvig (1986): The empirical implication of Cox, Ingersoll, Ross theory of theterm structure of interest rates,Journal of Finance, vol. XLI, no. 3, july, pg. 617-632.

Buse (1970): Expectations, prices, coupons and yields,Journal of Finance, septiembre, 1970, pg.809-818.

Caks (1977): The coupon effect on yield on Maturity,Journal of Finance, vol. 32, no. 1, marzo,

pg. 103-115.

Carr, J.L., P.J. Halpern y J.S. McCallum (1974): Correcting the yield curve: a re-interpretacin ofthe duration problem, The Journal of Finance, septiembre, pg. 1287-1294.

Chambers, D. R., W. T. Carleton y D. W. Waldman (1984): A new approach to estimation of theterm structure of interest rates,Journal of Financial and Quantitative Analysis, vol. 19, no. 3,septiembre, pg. 233-252.

Chan, K.C., G.A. Karolyi, F.A. Longstaff y A.B. Sanders (1992): An empirical comparison ofalternative models of the short-term interest rate,Journal of Finance, pg 1209-1227.

Chulsoon, K. (1975): Expectations, prices, coupons and yields: comment, The Journal of Finance,septiembre, vol. XXX, no.4, pg. 1137-1142.

Contreras, D. y E. Navarro (1993): The use of exponential splines for the estimates for theintertermporal structure of the interest rates in the Spanish market,Asset Meeting, Barcelona.

Cox, J.C., J.E. Ingersoll y S.A. Ross (1981): A re-examination of traditional hypotheses about theterm structure of interest rates,Journal of finance, vol. XXXVI, no. 4, septiembre, pg. 769-799.

Cox, J.C., J.E. Ingersoll y S.A. Ross (1985a): An intertemporal general equilibriun model of assetprices,Econometrica, vol. 53, no. 2, marzo, pg. 363-384.


41/43

41

Cox, J.C., J.E. Ingersoll y S.A. Ross (1985b): A theory of the term structure of interest rates,Econometrica, vol. 53, no. 2, marzo, pg. 385-407.

Daz del Hoyo, J.L. y A.J. Prado Domnguez (1995): Los Fras como guas de las expectativas del

mercado sobre tipos de inters, Banco de Espaa. Servicios de Estudios. Documento deTrabajo, no. 9511.Dothan, L.U. (1978): On the term structure of interest rates,Journal of Financial Economics, no. 6

pg. 59-69.

Duffie, D., y L.G. Epstein (1992): Stochastic differential utility,Econometrica, vol. 60, no.2,marzo, pg. 353-394.

Durand, D. (1942): Basic yields of Corporate Bonds, 1900-1942,National Bureau of EconomicResearch, Technical Paper 3, New York.

Ezquiaga, I. (1991): El mercado espaol de deuda del Estado: estructura y formacin de precios,Ariel Economa.

Ezquiaga, I., J.R. Jara e I. Gmez (1994): Una metodologa para la estimacin de la curva de tiposcupn-cero y su aplicacin al mercado espaol,Moneda y Crdito, no. 199, pg. 157-195.

Fisher, M., D. Nychka y Zervos (1995): Fitting the term structure of interest rates with smoothingsplines, Finance and Economics, Discussion Series no. 95-1, Board of Governors of theFederal Reserve System, enero 1995.

Heath, D., R. Jarrow y A. Merton (1992): Bond pricing and the term structure of interest rates: anew methodology for contingent claims valuation,Econometrica, vol. 60, no. 1, enero, pg. 77-

105.

Hopwell, M.H. y G.G. Kaufman (1973): Bond price volatility and term to maturity: A generalizedespecification, The Amercian Economic Rewiew, septiembre, pg. 749-753.

Langetieg, T.C. (1980): A multivariate model of the term structure,Journal of Finance,vol.XXXV, no. 1, marzo, pg. 71-97.

Livingston, M. y J. Caks (1977): A Duration fallacy,Journal of Finance, vol. XXXII, no.1,marzo, pg. 185-187

Longstaff, F.A. (1989): A nonlinear general equilibrium model of the term structure of interestrates,Journal of Financial Economics, 23, pg. 195-224.

Longstaff, F.A. y E.S. Schwartz (1992): Interes rate volatility and the term structure: a two-factorgeneral equilibrium model,Journal of Finance, vol. XLVII, no. 4, septiembre, pg. 1259-1282.

Lucas, R.E (1978): Asset prices in an exchange economy,Econometrica, no. 46,V pg. 1426-1446.

Majnoni G. (1994): An empirical evaluation of one versus two factor model of the term structure ofinterest rate: the Longstaff and Schwartz and the CIR models, Journes internationales lefinances, Tunis, 23-24-25 de junio, 1994. Universite de droit, dconomie et de gestion. Tunis

III.


42/43

42

McCulloch, J.H. (1971): Measuring the term structure of interest rates, The Journal of Business,vol. XLIV, enero, pg. 19-31.

---------------- (1975): The tax-adjusted yield curve, The Journal of Finance, vol. XXX, no.3,junio, pg. 811-830.

Merton (1973a): Theory of rational option pricing, The Bell Journal of Economics andManagement Science, no. 4, pg. 141-183

----------------- (1973b): An intertemporal capital asset pricing model,Econometrica, no. 41, pg.867-887.

Nelson, C.R. y A. F. Siegel (1987): Parsimonious modeling of yield curves,Journal of Business,1987, vol. 60, no. 4, pg. 473-489.

Nuez, S.(1995): Comparacin y eleccin entre mtodos alternativos de estimacin de la estructuratemporal de los tipos de inters para el caso espaol,II Jornadas de Economa Financiera, vol. II, 6 de

junio, 1995. Fundacin BBC, Bilbao.

----------------- (1995): Estimacin de la estructura temporal de los tipos de inters para el casoespaol,Boletn Econmico del Banco de Espaa, mayo 1995, pg. 59-67.

Pearson, N.D. y T.S. Sun (1994): Exploting the conditional density in estimating the term structure:an application to the Cox, Ingersoll and Ross model,Journal of Finance, vol. XLIV, no. 4,septiembre, pg. 1279-1304.

Platten, Y (1994): General equilibrium and the term structure of interest rates: a two-factor model,Journes internationales le finances, Tunis, 23-24-25 de junio, 1994. Universite de droit,

dconomie et de gestion. Tunis III.

Richard, S.F. (1978): An arbitrage model of the term structure of interest rates,Journal ofEconomics, 6, pg. 33-57.

Schaefer, S.M. (1981): Measuring a tax specific term structure of interest rates in the market forBritish Government Securities,Economic Journal, no. 91, junio, pg 415-438.

Schaefer, S.M. y E. S. Schwartz (1987): Time-dependent variance and the pricing options,Journalof Finance, vol. XLII, no. 5, pg. 1113-1128.

---------------- (1984): A two-factor model of the term structure: an approximate analytical solution,Journal of Financial and Quantitative Analysis, vol. 19, no. 4, diciembre, pg. 413-424.

Serrat, A. (1990): Modelizacin de la estructura intertemporal de tipos de inters en equilibriogeneral.Documento de trabajo no. 9006, septiembre. Centro de Estudios Monetarios yFinancieros.

Shea, G.S. (1984): Pitfall in smoothing interest rate term structure data: equilibrium models andspline approximation,Journal of Financial and Quantitative Analysis, septiembre, vol. 19, no.3, pg. 253-269.

---------------- (1985): Interest rate term structure estimation with exponential splines. A note,Journal of Finance,vol. XL, no. 1, marzo, pg 319-325.


43/43

Svensson, L.E. (1994): Estimating and interpreting forward interest rates: Sweden 1992-1994, WPno. 4871, NBER, septiembre.

Vasicek, O. (1977): An equilibrium characterization on the term structure,Journal of Financial

Economics,no.5, pg. 177-178.

Vasicek, O. y H.G. Fong (1982): Term structure modeling using exponential splines,Journal ofFinance, vol. 37, no. 2, mayo, pg. 339-356.

Estructura Temp I_Paz Rico

Documents

Transcript of Estructura Temp I_Paz Rico