Estructura atmica de Sommerfeld (correccin de Sommerfeld)Jess Emir Acevedo Gonzlez.

El modelo atmico de Bohr, tena algunas insuficiencias, ya que aunque funcionaba perfectamente para el tomo de hidrgeno, no funcionaba de igual manera para dar explicacin a los espectros realizados para otros tomos de otros elementos. El fsico alemn Arnold Sommerfeld, crea en 1916, el modelo atmico que lleva su nombre, para dar algunas mejoras al modelo atmico de Bohr, ayudndose de la relatividad de Albert Einstein. Sommerfeld, es ms conocido en el mundo cientfico por su aportacin a la ciencia con la constante de la estructura fina en 1919, que es la constante fsica fundamental en

la interaccin electromagntica. Sommerfeld haba encontrado que en algunos tomos, las velocidades que experimentaban los electrones llegaban a ser cercanas a la de la luz, as que se dedic a estudiar los electrones como relativistas. De este modo, hizo dos bsicas modificaciones:

Los electrones describan rbitas cuasi- elpticas. Velocidades relativistas.

Sommerfeld defendi, que el ncleo de los tomos no es permanece quieto, sino que ya sea electrn o ncleo, ambos realizan un movimiento entorno al centro de masas del sistema, que se encontrar cercano al ncleo debido a que posee una masa miles de veces mayor que la masa del electrn. El modelo atmico de Sommerfeld, es una adaptacin mejorada y generalizada del modelo atmico de Bohr, dndole a ste, un punto de vista relativista, pero aun as, no pudo explicar los modos de emisin que tenan las rbitas elpticas, pudiendo slo descartar las rbitas circulares.

Modelo atmico de BohrAntecedentes. 1. Espectros atmicos: Si los espectros atmicos son discontinuos, la energa emitida por los tomos debera ser tambin discontinua. 2. Ecuacin emprica de Balmer: Balmer (1825-1893) haba encontrado que cada una de las lneas aparente-mente desordenadas del espectro del hidrgeno se ajus-taba la siguiente ecuacin. 3. Teora cuntica de Planck: Segn esta teora, la ener-ga, al igual que la materia, no vara de forma continua, slo se puede absorber o emitir en forma de cuantos o fotones de magnitud E=h, siendo h = 6,6210 constante de Planck y la frecuencia de la radiacin.-27

ergseg, la

Postulados

Bas su modelo en tres postulados: 1. El tomo est formado por un ncleo de protones y una corteza de electrones, girando cada uno en rbitas circulares, a velocidad tal que la fuerza de atraccin por el ncleo sea exactamente contrarrestada por la fuerza centrfuga. (Es el modelo atmico de Rutherford). 2. Slo son posibles aquellas rbitas en las que el momento angular del electrn es un mltiplo de h/2

.mvr = n(h/2) 3. Las rbitas que cumplen los dos postulados anteriores son estacionarias, y en ellas el electrn no radia energa. De acuerdo con la teora de Planck, la energa liberada a1 caer el electrn de una rbita superior a otra inferior, se emite en forma de una onda electromagntica elemental o un fotn, cuya frecuencia viene dada por la expresin: E - E = hk j

Radio de las orbitas de BohrEl radio de las rbitas no toma cualquier valor sino que est cuantizado por el nmero cuntico n, que en posteriores ampliaciones al modelo, terminar siendo el nmero cuntico principal.

(Por el primer postulado). (1) (Momento angular para orbitas circulares). (2) (Segundo postulado). (3) Eliminando entre (1) y (3) se tiene: . (4) Para n = 1 se tiene el radio de la 1 rbita a = 0,259 Los radios de laso

siguientes sern r = 4a , r = 9a , etc.2 o 3 o

Energa de las orbitas

La energa del electrn en su rbita ser:

. (5) Observamos en esta expresin cmo la energa de las rbitas tampoco vara de forma continua sino que est tambin cuantizada por el n cuntico principal n La energa, h, del fotn emitido al caer el electrn de la rbita k a la rbita j es: E - E = h Ecuacin de Planckk j

Sustituyendo (5) en las energas de esta expresin, se obtiene la ecuacin de Balmer, con un valor terico para la constante de Rydberg de 109740 cm-1, que concuerda asombrosamente con el emprico. ( )

La misma ecuacin se cumple para las series de lneas que aparecen en otras regiones del espectro: Lyman Ultravioleta; Balmer Visible; Paschen Infrarrojo; Brackett y Pfund Infrarrojo lejano. Queda por lo tanto demostrado que cada lnea del espectro se puede interpretar como la radiacin producida al saltar un electrn entre dos niveles distintos de energa.

Correcciones de Sommerfeld

Observacin Al aplicar este modelo a tomos polielectrnicos, se vio que R no permaneca constante, sino que aumentaba con el nmero atmico.

Interpretacin Sommerfeld salva este inconveniente sustituyendo la masa del electrn por su masa reducida en el sistema ncleo- electrn Si M m

Observacin Con espectrgrafos de gran poder de resolucin se pudo observar que muchas rayas espectrales eran en realidad mltiples. Se le conoce como estructura fina del espectro.

Interpretacin. Si las lneas espectrales corresponden a saltos electrnicos entre los niveles de energa existentes, la presencia de ms lneas exige la existencia de ms niveles energticos que las simples rbitas de Bohr. Es Sommerfeld quien consigue interpretar estos niveles postulando que: Para un mismo radio (o semieje mayor) de la rbita, cuantizado por n y que constituye el nivel principal, son posibles n-rbitas elpticas de distinta excentricidad con energas ligeramente diferentes. Cada una de estas rbitas elpticas constituye un subnivel de energa, y las posibilidades de saltos hasta o desde ellas explicaran las lneas finas del espectro. As pues Sommerfeld introduce las rbitas elpticas y aplicando el postulado de Bohr que se refiere al momento angular, obtiene que la excentricidad de las mismas est cuantizada por un nmero l, llamado n cuntico secundario, cuyos valores posibles de l van desde 0 hasta n1.

El momento angular de una partcula que se mueve en trayectoria elptica, se puede considerar compuesto por otros dos: el orbital, debido al giro, y el radial, debido al movimiento de libracin (aumento y disminucin del ra-dio). Siguiendo el desarrollo de Bohr:

Se puede demostrar que: Para n = k la rbita sera circular. Por lo tanto, para cada valor de n son posibles n valores de k, que irn desde 0 hasta n. Para un mismo valor de n, cada k introduce una ligersima

variacin de energa, lo que explica la estructura fina del espectro. En el modelo vectorial se admite que Jo puede ser cero, y en lugar de k, se toma l = k-1, n cuntico secundario Los valores de l se indican mediante las letras s, p, d, f, g, que corresponden a 0, 1, 2, 3, 4. En cada nivel principal, la energa es menor para la rbita mas aplanada (l=0) y mayor para la circular (l = n-1)

El xito de la teora de Bohr era muy convincente ya que concordaba con los experimentos. Aunque haba un misterio en torno a sta y era la cuestin de la relacin entre la cuantizacin de Bohr del momento angular de un electrn movindose en una orbita circular y la cuantizacin de Planck de la energa total de una entidad (en este caso un electrn) describiendo un movimiento armnico simple.

Fueron Wilson y Sommerfield quienes en 1916, enunciaron un conjunto de reglas para la cuantizacin de cualquier sistema fsico para el cual sus coordenadas son funciones peridicas del tiempo. Las reglas incluan la cuantizacin tanto de Planck y de Bohr como casos especiales. Ellas tambin fueron de considerable uso en la ampliacin del rango de aplicacin de la teora cuntica. Estas reglas eran algo como esto: Para algn sistema fsico en el cual las coordenadas son funciones peridicas del tiempo, existe una condicin cuntica para cada coordenada. Estas condiciones cunticas son:

(6)

Donde q es una de las coordenadas, pq es el momento asociado con esa coordenada, nq es un nmero cuntico el cual toma valores enteros y la integral de lnea nos dice que la integracin es tomada sobre un periodo de coordenada q, ilustremos esto con unos ejemplos.

Consideremos una partcula de masa m movindose con una velocidad angular constante en una orbita cirular de radio r0 (un electrn atmico en una y . El comportamiento de estas dos coordenadas es

orbita de Bohr). La posicin de la partcula puede ser especificada por las coordenadas polares

mostrado en la figura como funcin del tiempo. Ambas son funciones peridicas del tiempo, si consideramos como un caso limite de este comportamiento. es el momento angular

El momento asociado con la coordenada angular

.El momento asociado con la coordenada radial r es el momento radial y . En este caso , y una constante. Por lo tanto

. No necesitamos aplicar la ecuacin (1) para la coordenada

r en el caso lmite en el cual la coordenada es constante. La aplicacin de la ecuacin para la coordenada Tenemos y es fcil de realizar para el este ejemplo. ; entonces

, una constante. Escribimos

Por tanto, la condicin Se convierte en

O

Lo cual es idntico a la ley de cuantizacin de Bohr.

Podemos ver entonces lo fuerte que fueron las correcciones hechas por Sommerfeld a la vieja teora de Bohr y que tan importante fue su introduccin en el mundo de la mecnica cuntica. Entonces pues es de gran importancia el estudio de estas ecuaciones y su aplicacin en cuanto a como nos describen la orbita de las partculas en este caso los electrones ligados al ncleo y como se estn relacionadas de manera casi directa con su momento angular.

Bibliografa.: -Fundamentals Of Modern Physics, 3ed - Robert Martin Eisberg Wiley -CONCEPTOS FUNDAMENTALES-Jos L. Hernndez Pacheco. (pdf online).