Estrategia Metodológica para la Obtención de los Tríos Pitagóricos Posibles y su

Demostración a través de un Criterio aplicado a Ternas Pitagóricas Primitivas

Rodolfo A. Nieves Rivas

fesol7luzley@gmail.com

En este artículo se expone un método que permite la obtención de los términos

pertenecientes a todos y cada uno de los tríos pitagóricos posibles, los cuales son generados

por dos formulas o ecuaciones funcionales de acuerdo a su paridad (Par é impar). Luego se

realiza un análisis de los resultados. Y se concluye con un criterio que garantiza y

establece las condiciones necesarias y suficientes para la caracterización de todos los

términos de cualquier terna pitagórica primitiva y su aplicación a los primos gemelos y la

conjetura de Golbach

Palabras claves: Método; Criterio; Ternas Pitagóricas Primitivas; Conjeturas

INTRODUCCION

Para abordar este tema es necesario considerar algunos resultados que se han obtenido y

que son utilizados por muchos autores (Rada. 1992) (Joyce D.2005) dada su sencillez,

efectividad y elegancia. Como por ejemplo:

Todas las soluciones primitivas positivas de la ecuación: a2 + b

2 = c

2 Se

pueden expresar de la siguiente forma: a = m2 – n

2; b = 2.m.n; c = m

2 + n

2 donde: n y m son

enteros arbitrarios que cumplen con las tres condiciones siguientes:

Para: m > n > 0

Cuando: (m; n) = 1

Donde: m y n tienen distinta paridad

La solución que encontró Pitágoras (Espasa 1998) es la siguiente: Si: n es un numero entero

cualquiera, los tres términos de las ternas se obtienen de la siguiente forma: El primer

término es el doble del numero dado más uno:

a = 2.n + 1

El segundo término es el doble del cuadrado del número dado más el doble del mismo:

b = 2.n2 + 2.n

Y el tercer término es igual al segundo término más uno:

c = 2.n2 + 2.n + 1

Para el desarrollo de esta estrategia metodológica es necesario realizar una presentación

sistemática que permita establecer una conexión dentro del análisis descriptivo en función

de la obtención del objetivo planteado. La cual tiene el siguiente orden:

1.-) Presentación de las formulas y ecuaciones funcionales generadoras de todos los

términos según su paridad de cualquier trio pitagórico posible.

2.-) Análisis descriptivo. Comportamiento del criterio y su aplicación para la deducción de

todas y cada una de las ternas pitagóricas primitivas posibles.

3.-) Presentación del método para la obtención de todos los tríos pitagóricos.

4.-) Presentación de la tabla general de resultados.

5.-) Presentación de dos tablas de resultados de tríos pitagóricos según su paridad. (Par é

impar).

6.-) Conclusión y Recomendaciones; Aplicación a prueba de primalidad. (Nieves R.2009) y

la conjetura de los primos gemelos. (Nieves R.2011) y Presentación del criterio

Presentación de las Formulas y Ecuaciones Funcionales Generadoras de Todos y

Cada uno de los Tríos Pitagóricos Posibles.

Formulas y Ecuaciones funcionales según su Paridad:

Para: a = N = Numero entero positivo Impar.

Entonces: N = a (Primer Término)

Cuando: (N2 - 1) / 2 = b (Segundo Término)

Donde: ((N2 - 1) / 2) + 1 = c (Tercer Término)

Para: a = N = Numero entero positivo par.

Entonces: N = a (Primer Término)

Cuando: (N2 - 4) / 4 = b (Segundo Término)

Donde: ((N2 - 4) / 4) + 2 = c (Tercer Término)

Análisis Descriptivo y Comportamiento del Criterio y Deducción de las Ternas

Pitagóricas Primitivas.

72 = 49

1 48

2 47

3 46

4 45

5 44

6 43

7 42

8 41

9 40

10 39

11 38

12 37

13 36

14 35

15 34

16 33

17 32

18 31

19 30

20 29

21 28

22 27

23 26

24 25

Comentario: El esquema anterior describe la Descomposición en Dos Sumandos de

cualquier Cuadrado cuya base sea un Número Impar.

Análisis Descriptivo y Deducciones de la Descomposición en Dos Sumandos de

Cualquier Número Impar Elevado al Cuadrado.

72

= 49

1 48

2 47

3 46

4 45

5 44

. .

. .

25 = 12 ± 37 = 49

. . .

9 = 20 ± 29 = 49

. . .

1 = 24 ± 25 = 49

Análisis Descriptivo del Criterio.

72 = 49

1 48

2 47

3 46

4 45

5 44

. .

. .

25 12 37 49 352 + 12

2 = 37

2

. . .

9 20 29 49 212

+ 202 = 29

2

. . .

1 24 25 49 72 + 24

2 = 25

2

. .

b c a2 + b

2 = c

2

Comentario: En este desarrollo y análisis del criterio se puede observar y deducir que los

términos de toda terna primitiva se obtienen de la siguiente forma: Los términos (b y c) Se

encuentran o determinan en las columnas de la descomposición de cualquier cuadrado de

número impar cualquiera en dos sumandos y el termino: (a) se obtiene con el producto de

las raíces cuadradas de las diferencias y la suma de los términos de las columnas de la

descomposición: √ (c – b). √ (b + c) = a

Método para Obtener Todos los Tríos Pitagóricos Posibles:

Basado: En las formulas y ecuaciones funcionales.

Primer paso: Se colocan en forma vertical todos los números naturales. Desde: El numero

1 hasta: El numero N.

1

2

3

4

5

6

.

.

.

N

Segundo paso: Se elevan todos al cuadrado.

12

2

2

32

4

2

52

6

2

.

.

.

N2

Tercer paso: Se coloca una segunda columna de forma vertical y paralela a la primera

aplicando la formula correspondiente según y de acuerdo a la paridad de cada término de la

primera columna y cada termino o resultado también se eleva al cuadrado.

12 + 0

2

22 + 0

2

3

2 + 4

2

4

2 + 3

2

52 + 12

2

6

2 + 8

2

. .

. .

. .

N2 b

2

Observación: Los términos de la segunda columna se obtienen según la paridad del

término correspondiente de la primera columna.

Cuarto paso: Se colocan de forma vertical los términos de una tercera columna aplicando

las formulas correspondientes de acuerdo a la paridad y se elevan al cuadrado luego de ser

separados por el signo más y el signo de igualdad obteniendo de esta forma todos los tríos

pitagóricos posibles.

12 + 0

2 = 1

2

22 + 0

2 = 2

2

3

2 + 4

2 = 5

2

4

2 + 3

2 =

5

2

52 + 12

2 = 13

2

6

2 + 8

2 = 10

2

. .

. .

. .

N2 + b

2 = c

2

a

2 + b

2 = c

2 = Ecuación de Pitágoras

Presentación del Criterio.

Criterio: Para que un trio pitagórico sea una terna pitagórica primitiva; Solo es necesario y

suficiente que: El segundo término sea un numero par cuando el tercer término sea un

número impar; donde además la suma y la diferencia de ambos términos sean un cuadrado

exacto y el primer término sea el producto de las bases de ambos cuadrados.

Criterio: Para que: a2 + b

2 = c

2 sea una terna pitagórica primitiva.

Solo es necesario y suficiente:

Que: (c – b) = x2 (Un cuadrado exacto)

Cuando: (c + b) = y2 (Un cuadrado exacto)

Para: c = Número impar (Tercer término)

Cuando: b = Número par (Segundo termino)

Donde: a = x.y (Primer término)

Tabla General de Resultados

12 + 0

2 = 1

2 (Trivial)

22 + 0

2 = 2

2 (Trivial)

3

2 + 4

2 = 5

2 (Primitiva)

4

2 + 3

2 =

5

2 (Primitiva Permutada)

52 + 12

2 = 13

2 (Primitiva)

6

2 + 8

2 = 10

2 (No Primitiva)

. .

. .

. .

N2 + b

2 = c

2

Dos Tablas de Resultados Según la Paridad (Impar y Par)

Ejemplos Impares:

12 + 0

2 = 1

2 (Trivial)

32 + 4

2 = 5

2 (Primitiva)

52 + 12

2 = 13

2 (Primitiva)

Ejemplos Pares:

22 + 0

2 = 2

2 (Trivial)

4

2 + 3

2 =

5

2 (Primitiva Permutada)

6

2 + 8

2 = 10

2 (No Primitiva)

Comentario: Separar el resultados según la paridad permite descartar las ternas no

primitivas de las que si son primitivas. Por las condiciones del criterio.

Discusión y Recomendaciones:

Ejemplo de aplicación:

Teorema:

Si: n = Pi + PJ

Cuando: Pi y Pj pertenecen a los números primos

Donde: Pj - Pi = 2

Entonces: n / 2 = x

Para que: (x2 + 1)

2 = a

2

Cuando: a2 - b

2 = c

2

Si y solo si: b = n

Cuando: (x2 - 1)

2 = c

2

Entonces: (x2 + 1) = a

Cuando: (x2

- 1) = c

Tabla de Resultados y Visualización del Teorema:

Pi + Pj = n a2 - b

2 = c

2

3 + 5 = 8 172 - 8

2 = 15

2

5 + 7 = 12 372 - 12

2 = 35

2

11 + 13 = 24 1452 - 24

2 = 143

2

Teorema: Si los valores para las: c son infinitos.

Entonces: Los primos gemelos son infinitos. (Véase la tabla para ejemplos pares)

Comentario: Aplíquese la siguiente ecuación general:

Si: ((PI + PJ)/2)2 + ((PJ – PI)/2)

2))

2 - (((PI + PJ). (PJ – PI))/2)

2 = (PI. PJ)

2

Donde: (((PI + PJ)/2)2 + ((PJ – PI)/2)

2))

2 = a

2 (Primer término)

Cuando: (((PI + PJ). (PJ – PI))/2)2 = b

2 (Segundo término)

Para: (PI.PJ)2 = c

2 (Tercer término)

Donde: Pi ≤ Pj (Pertenecientes a los números primos impares.)

Teorema:

Si: √ (a + b) pertenece a los números primos.

Cuando: √ (a - b) pertenece a los números primos.

Entonces: √ (a2 - b

2) es un semiprimo.

Y si: (b / 2)2 + 1 = a

Entonces: √ (a2 – b

2) es producto de dos primos gemelos.

Donde: (b / 2) + 1 pertenece a los números primos.

Cuando: (b / 2) - 1 pertenece a los números primos.

Teorema: “Todo número impar se puede expresar con la diferencia de dos cuadrados”

12 - 0

2 = 1

22

-

12 = 3

32

- 22 = 5

42 - 3

2 = 7

32 - 0

2 = 5

2 - 4

2 = 9

62 - 5

2 = 11

72 - 6

2 = 13

42 - 1

2 = 8

2 - 7

2 = 15

92 - 8

2 = 17

102 - 9

2 = 19

52 - 2

2 = 11

2 - 10

2 = 21

122 - 11

2 = 23

52 – 0

2 = 13

2 - 12

2 = 25

62 - 3

2 = 14

2 - 13

2 = 27

152 - 14

2 = 29

162 - 15

2 = 31

72 - 4

2 = 17

2 - 16

2 = 33

62 - 1

2 = 18

2 - 17

2 = 35

192 - 18

2 = 37

82 - 5

2 = 20

2 - 19

2 = 39

212 - 20

2 = 41

222 - 21

2 = 43

72 - 2

2 = 9

2 - 6

2 = 23

2 - 22

2 = 45

242 - 23

2 = 47

72 - 0

2 = = 25

2 - 24

2 = 49

102 - 7

2 = 26

2 - 25

2 = 51

272 - 26

2 = 53

82 - 3

2 = 28

2 - 27

2 = 55

112 - 8

2 = 29

2 - 28

2 = 57

302 - 29

2 = 59

312 - 30

2 = 61

82 - 1

2 12

2 - 9

2 = 32

2 - 31

2 = 63

92 - 4

2 = 33

2 - 32

2 = 65

342 - 33

2 = 67

132 - 10

2 = 35

2 - 34

2 = 69

Criterio:

Toda diferencia de cuadrados de la forma: (n + K)2

- k2

Es un semiprimo de la forma: n2 + 2.n.K

Si y solo si: n pertenece a los números primos

Cuando: (n + 2.K) pertenece a los números primos

Demostracion:

Dado que: (n + K)2 – k

2 = n

2 + 2.n.K

Para toda: K≥0

Dondé: n≥1

Cuando: n es mayor que: K

Y como: n2 + 2.n.K = n(n + 2.K)

Entonces: n(n + 2.K) es un semiprimo

Si y solo si: n pertenece a los números primos

Cuando: (n + 2.K) pertenece a los números primos

Y como: Se cumple para toda: n≥1

Donde: K≥0

Cuando: n es mayor que: K

Entonces: Todo semiprimo es igual a la diferencia de dos cuadrados

Comentario: Como todo número impar se puede expresar con la diferencia de dos

cuadrados

Y todo semiprimo producto de dos números primos impares Es un número impar

Entonces todo semiprimo se puede expresar con la diferencia de dos cuadrados

Y como el menor número primo impar es el tres

Entonces todo semiprimo es la diferencia de dos cuadrados para toda: n≥3

Y como todo semiprimo es la diferencia de dos cuadrados de la forma:

(n + K)2 - k

2

Para toda: n≥3

Cuando: K≥0

Si y solo si: n pertenece a los números primos

Cuando: (n + 2.K) también pertenece a los números primos

Y como: los semiprimos son infinitos

Dado que: Los números primos son infinitos

Entonces: Para toda: n perteneciente a los números primos

Existen infinitas: (n + 2.K) también pertenecientes a los números primos

Donde: n≥3

Cuando: K≥0

Por lo tanto: La conjetura de Polignac es cierta

Dado que: Todo lo anterior se cumple para toda: K≥0

Y como también se cumple cuando: K = 1

Entonces: Los primos gemelos son infinitos

Y como: Todo semiprimo se puede expresar con la diferencia de dos cuadrados

Para toda: n≥3

Entonces: Las conjeturas de Golbach son ambas ciertas

Teorema: Todo número primo impar se puede expresar de forma única con la diferencia de

dos cuadrados consecutivos.

Corolario: Todo libre de cuadrado de (n) factores; se puede expresar con la diferencia de

dos cuadrados de: 2n-1

formas distintas.

Corolario: Todo semiprimo se puede expresar de dos formas distintas con la diferencia de

dos cuadrados.

Teorema: Siempre existe: m < n

Para toda: n ≥ I

Tal que: n – m = I

Donde: I es cualquier número impar.

Teorema: Siempre existe: m < n

Para toda: n ≤ I

Tal que: n + m = I

Donde: I es cualquier número impar

Teorema: I = n2 – m

2

Teorema: I = Pi . Pj

Teorema: n2 – m

2 = Pi . Pj

Teorema: (n + m). (n – m) = Pi . Pj

Teorema: (n + m) + (n – m) = 2.n = Pi .Pj

Teorema: Si para toda: n

Siempre existe: m

Tal que: n2

– m2

= Pi . Pj

Donde: Pi y Pj son ambos números primos impares

Entonces: La conjetura de Golbach es cierta.

Teorema Principal:

n = n n = K n = n

Si: ∑ 2.n - 1 = ∑ 2.n - 1 + ∑ 2.n - 1

n = 1 n = 1 n = K + 1

K= Constante

Para toda: n ≥ 1

Cuando: K ≥ 0

n = n n = K n = n

Entonces: ∑ 2.n - 1 - ∑ 2.n - 1 = ∑ 2.n - 1

n = 1 n = 1 n = K + 1

K= Constante

Demostracion de las Conjeturas Par é Impar de Golbach por Reducción:

n=n

Dado que: n2 = ∑ 2.n – 1

n=1

Para toda: n ≥ 1

n=K

Y como: K2 = ∑ 2.n – 1

n=1

Para toda: K ≥ 0

n=n n=K

Entonces: n2 - K

2 = ∑ 2.n – 1 - ∑ 2.n – 1

n=1 n=1

n=n n=K n=n

Donde: ∑ 2.n – 1 - ∑ 2.n – 1 = ∑ 2.n - 1

n=1 n=1 n=K + 1

Para toda: n≥1

Cuando: K ≥ 0

n=n

Entonces: n2 - K

2 = ∑ 2.n - 1

n = K + 1

Y como: n2 - K

2 = (n – K). (n + K)

n=n

Entonces: n2 - K

2 = ∑ 2.n - 1 = Semiprimo

n = K + 1

Si y solo si: (n + K) es el termino central de:

n = n

∑ 2.n - 1 = Semiprimo

n = K + 1

Cuando: (n - K) es los números de términos de:

n = n

∑ 2.n - 1 = Semiprimo

n = K + 1

Donde:( n – K) pertenece a los números primos.

Cuando:( n + K) pertenece a los números primos.

Teorema:

Si: n = Ii + K

Cuando: n = Ij - K

Entonces: 2.n = Ii + Ij

Y como: (n – K) (n + K) = Ii . Ij = n2 - K

2

Para toda: n ≥ 3

Cuando: K≥0

Donde: n < K

Entonces: Ij ≤ (n – K) ≤ n ≤ (n + K) ≤ Ii

Para todo: Número impar: Ij

Y todo: Número impar: Ii

Teorema: Para todo: Número impar de la forma: Ii.Ij

Siempre existen: dos números de la forma: (n – K) y (n + K)

Tal que: (n – K) = Ii

Cuando: (n + K) = Ij

Para toda: n > K

Donde: Ii es cualquier número impar

Cuando: IJ es cualquier número impar.

Entonces: (n – K)(n + K) = n2

– K2

= Ii . Ij

Teorema: Todos los múltiplos impares menores de cualquier número impar al

Cuadrado se pueden expresar con la diferencia de dos cuadrados.

22

- 12 = 3

32

- 02 = 9

32

- 22 = 5

42

- 12

= 15

52

- 02

= 25

42

- 32

= 7

52

- 22

= 21

62

- 12

= 35

72

- 02

= 49

Teorema Principal de Existencia:

Para toda: n ≥ 3

Siempre existen: (n) números menores e igual a: n2

Comprendidos entre: 2.n – 1 y n2

Que son: Producto de dos números equidistantes a: n

De la forma: (n – K) Y (n + K)

Donde: 0 ≤ K ≤ n

Tal que: (n – K) (n + K) = n2 - K

2

Donde: Al menos uno de estos: (n) productos es: Un Semiprimo.

Donde: La Suma de ambos factores es igual a: (n – K) + (n + K) = 2.n

Ejemplo:

n2 - K

2 = ( n – K ).( n + K ) = Productos 2.n = ( n – K ) + ( n + K ) = Sumas

72 - 0

2 = 7 . 7 = 49 7 + 7 = 14

72 - 1

2 = 6 . 8 = 48 6 + 8 = 14

72 - 2

2 = 5 . 9 = 45 5 + 9 = 14

72 - 3

2 = 4 . 10 = 40 4 + 10 = 14

72 - 4

2 = 3 . 11 = 33 3 + 11 = 14

72

- 52

= 2 . 12 = 24 2 + 12 = 14

72

- 62

= 1 . 13 = 13 1 + 13 = 14

n2 - K

2 = (n – K). (n + K) = Productos

72 - 0

2 = 7 . 7 = 49…………..= n

2

72 - 1

2 = 6 . 8 = 48

72 - 2

2 = 5 . 9 = 45

72 - 3

2 = 4 . 10 = 40

72 - 4

2 = 3 . 11 = 33………….= Semiprimo

72

- 52

= 2 . 12 = 24

72

- 62

= 1 . 13 = 13………….= 2.n – 1

1

3 4

5 8 9

7 12 15 16

9 16 21 24 25

11 20 27 32 35 36

13 24 33 40 45 48 49……………Ejemplo

15 28 39 48 55 60 63 64

17 32 45 56 65 72 77 80 81

Teorema:

Todo enésimo numero primo: Pn se puede expresar con: (n) pares de números menores e

igual que: Pn tal que: La suma y la diferencia de ambos sean un numero primo.

Ejemplo: Diferencia (n – K) = 1 3

K 1 0

Relación:………..

n 2 3

Suma…………. (n + K) = 3 3…………Pn

Ejemplo: Diferencia (n – K) = 1 3 5

K 2 1 0

Relación:………..

n 3 4 5

Suma…………. (n + K) = 5 5 5…………Pn

Ejemplo: Diferencia (n – K) = 1 3 5 7

K 3 2 1 0

Relación:………..

n 4 5 6 7

Suma…………. (n + K) = 7 7 7 7…………Pn

Ejemplo: Diferencia: (n – K) = 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

K 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Relación:………..

n 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Suma…… (n + K) = 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19…Pn

Justificación: Para todo enésimo numero primo impar: Pn existen (n) números primos

impares menores e igual que: Pn

Ejemplo: Diferencia (n – K) = 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

K 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Relación:………..

n 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Suma………(n + K) = 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19…P7

Aplicación: En la conjetura de Golbach Par: Dado que para todo enésimo numero primo

impar: Pn existen:(n) números pares que se pueden expresar con la suma de dos números

primos y como los primos impares son infinitos. Entonces existen infinitos números pares

donde la conjetura es cierta.

Observación: 2.n es suma de dos primos impares de la forma: (n – K) + (n + K)

Presentación de Criterios de Primalidad

Criterio 1: Para toda: n

Existen infinitas progresiones aritméticas de razón: 2.n + 1

Donde: El primer termino sea: 2.n2

+ 2.n + 1

Las cuales: No expresan infinitos números positivos de la forma: K

Tal que: 2.K – 1 es un número primo impar.

Criterio 2: Para toda: n

Existen infinitas progresiones aritméticas de razón: 2.n + 1

Donde: El primer termino sea: 2.n2

+ 2.n

Las cuales: No expresan infinitos números positivos de la forma: K

Tal que: 2.K + 1 es un número primo impar.

Referencias

[1]Rada S. Temas de Matematicas.Elementales.

(Aritmética).Cenamec.1992.Caracas.pag.42-44

[2]Joyce.D 2005 (Consulta en Internet el 3/11/2011)

[3]Enciclopedia temática Espasa.1998.España.pag.459-460

[4]Nieves Rivas.R. Prueba de Primalidad.XVIII Jornadas de Investigación y II de

Postgrado. Memorias de la Unellez.Venezuela.2011.pag.216-

[5]Nieves Rivas R. Demostración de una conjetura presentada en el quinto congreso de

Matematicas en 1912. XIX Jornadas de Investigacion y III de Postgrado. Memorias de la

Unellez.Venezuela.2011