Estática comparativa

Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ciencias Econmicas

Matemtica para Economistas II

Prctica Dirigida No.4

Miguel Ataurima [email protected]@pucp.edu.pe

[email protected]

Noviembre 2010

1. El anlisis de esttica comparativa (o esttica comparativa) permite calcular el nivel esperado deequilibrio de una variable endgena como respuesta al cambio en el nivel de cualquier otra variableexgena o parmetro del modelo; esto se consigue mediante la determinacin de los multiplicadoresde los ingresos.

SeaY = C + I +G+ (X M)

dondeC = C0 + bY; G = G0; I = I0 + aY; X = X0; M = M0

Determine

(a) El multiplicador del gasto de gobierno

(b) El multiplicador de las importaciones

(c) El multiplicador para un cambio en la propensin marginal de las inversiones

2. Asumiendo que b = 0:7; a = 0:1 y Y = 12000 millones de US$. Calcule el efecto en la produccintras un incremento del gasto pblico en 100 millones de US$.

3. Sea el siguiente modelo de determinacin del ingreso en tres sectores en los cuales

Y = C + I0 +G0

Yd = Y TC = C0 + bYd; T = T0 + tY

con C0; I0; G0; T0 > 0 y 0 < b; t < 1. Utilizando los multiplicadores adecuados, determine lamagnitud y la direccin de un cambio unitario en

(a) El nivel de gasto de gobierno

(b) El nivel impositivo autnomo

(c) La tasa impositiva del equilibrio del ingreso.

4. Dado el siguiente modeloY = C + I0 +G0

Yd = Y TC = C0 + bYd; T = T0 + tY

con C0; I0; G0; T0 > 0 y 0 < b < 1

1

Matematica para Economistas II Optimizacin Esttica - Aplicaciones al Anlisis Econmico

(a) Calcule el efecto en el nivel de equilibrio del ingreso del incremento unitario en el gasto delgobierno acompaado por un incremento unitario en el impuesto autnomo.

(b) Si el nivel de recaudacin tributaria no depende del nivel de ingresos. Cul es el efecto de lapoltica scal del item a?.

5. Dado el siguiente modeloY = C + I0 +G0 +X0 M

Yd = Y TC = C0 + bYd; T = T0 + tY; M = M0 +mYd

con C0; I0; G0; T0 > 0 y 0 < b;m; t < 1. Determine el efecto sobre el nivel de equilibrio del ingresotras un cambio unitario en

(a) El nivel de exportaciones

(b) El nivel autnomo de importaciones

(c) El nivel autnomo impositivo.

(d) La propensin marginal a importar

6. Considerando en el problema anterior que b = 0:9; t = 0:2; z = 0:15; C0 = 125; I0 = 92:5; G0 =600; X0 = 150;M0 = 55; T0 = 150. Calcule

(a) El nivel de ingresos de equilibrio

(b) El efecto sobre el nivel de equilibrio del ingreso tras un incremento en 60 en la exportacinautnoma

(c) El efecto sobre el nivel de equilibrio del ingreso tras un incremento en 30 en la importacinautnoma

(d) Si el nivel de pleno empleo del ingreso es 2075.En qu medida debera incrementarse el gastode gobierno para conseguirlo?.y En qu medida debera recortarse el impuesto autnomopara obtener el mismo efecto?

(e) El efecto en el dcit del gobierno si ste desea alcanzar el pleno empleo a travs de unincremento en el gasto pblico o en un recorte impositivo

(f) El efecto sobre la balanza de pagos de (i) un gasto de gobierno y (ii) una reduccin impositiva

(g) El efecto sobre el nivel de ingresos de equilibrio de una caida en 1 punto porcentual en lapropensin marginal a importar.

7. Dada la funcin de produccin

Q (K;L) = 36KL 2K2 3L2

(a) Determine las productividades marginales del capital y del trabajo.

(b) Determine el grado de homogeneidad de la funcin de produccin para K y L

8. El Teorema de Euler establece que para una funcin f (x) es homognea de grado k en x si ysolo si

kf (x) =

nXk=1

@f (x)

@xixi para todo x

(a) Probar el Teorema por necesidad.

(b) Probar el Teorema por suciencia.

9. Dada la funcin de produccin Coob Douglas de una empresa

Q (K;L) = AKL (1)

con A > 0, y 0 < + < 1; donde Q es la cantidad de unidades fsicas de produccin, K es elnivel de capital, y L es el nivel de cantidad de trabajo.

Miguel Ataurima Arellano (UNMSM-FCE) 2 http://matematicados.wordpress.com


(a) Determine la relacin entre productividad marginal y media de cada uno de los factores

(b) Halle el vector gradiente y la matriz hessiana. Inteprete econmicamente cada uno de loscomponentes obtenidos.

(c) Hallar la Tasa marginal de sustitucin tcnica1 (RMST )

(d) Hallar la elasticidad de la produccin respecto al capital (Q;K) y la elasticidad de la produccinrespecto al trabajo (Q;L).

(e) Hallar la elasticidad de sustitucin2 ().

(f) Para el nivel de produccin (isocuanta) Q0 = 5400. determine RMST; Q;K ; Q;L y en(K;L) = (243; 181). Analice y compare los resultados econmicamente.

10. Tras un estudio economtrico se ha estimado que el nivel de demanda por carne de res (Qc) puedeser explicado segn los nivel de precios de la carne de res (Pc) ; el nivel de precios de la carne depollo (Pp) y el nivel de ingresos (Y ) mediante

Qc = 4850 5Pc + 1:5Pp + 0:1YConsiderando Y = 10000; Pc = 200, y el precio del pollo Pp = 100. Determine:

(a) La elasticidad de ingreso3 de la demanda por carne de res

(b) La elasticidad de precios cruzados4 de la demanda por carne de res

(c) Segn este modelo. En cunto variar la demanda por carne de res cuando el precio de lacarne de pollo se incremente en 10%?

11. La funcin de costos asociado a la produccin de una rma (empresa) de dos bienes x e y vienedada por

CT (x; y) = x2 0:5xy + y2

(a) Determine la expresin del costo adicional ocasionado por un ligero incremento (dx) en laproduccin del bien x

(b) Determine el costop adicional (aproximado) ocasionado por un incremento mayor que en elcaso anterior (x) en la produccin del bien x; si x = 100; y = 60 y x = 3.

12. Una rma que produce dos bienes x e y, posee la siguiente funcin de benecios

(x; y) = 64x 2x2 + 4xy 4y2 + 32y 14Determine los niveles de produccin de los bienes x e y que maximice los benecios. Est bienpropuesta la funcin de benecios? Porqu?.

13. Un monopolista vende dos productos x e y, cuyas funciones de demanda son

x = 25 0:5pxy = 30 py

y la funcin de costos combinada es

c (x; y) = x2 + 2xy + y2 + 20

Encuentre:1La Tasa Marginal de Sustitucin Tcnica ( Marginal Rate of Technical Substitution) es la cantidad de Capital que el

empresario est dispuesto a sustituir por una unidad del Trabajo sin modicar (empeorar ni mejorar) su situacin, o sea

manteniendo el mismo nivel de produccin de la empresa. RMSTK;L = dKdL

Q=Q0

2La elasticidad de sustitucin mide la facilidad con que puede sustituirse un factor por otro, manteniendo constanteel nivel de produccin; es decir, mide la variacin porcentual (proporcional) de K=L respecto a la variacin porcentual

(proporcional) de la RMST en cualquier punto de la isocuanta. = porcentual deK

L

porcentual de RMST .

mide la curvatura de la isocuanta3La elasticidad de ingreso de la demanda Y mide el cambio porcentual en al demanda del bien (Qc, cantidad demandada

de carne de res) resultante de un pequeo cambio porcentual en el ingreso (Y , ingreso disponible)4La elasticidad de precios cruzados de la demanda c mide la sensibilidad relativa de la demanda por un producto ante

cambios en el precio del otro, manteniendo todas las demas variables constantes.



(a) Encontrar el nivel de produccin de maximizacin de benecios

(b) Encontrar el nivel de precios de maximizacin de benecios

(c) Encontrar el nivel mximo de benecios

14. Encuentre los valores crticos para la minimizacin de costos de una rma que produce los bienesx e y cuya funcin de costo total es

CT (x; y) = 8x2 xy + 12y2

considerando que la rma esta obligada segn la legislacin de pas en el que opera a tener queproducir una combinacin mnima total bienes de 42, es decir, est sujeta a la restriccin x+y = 42.

15. La funcin de costos de una empresa es

c (x; y) = 5x2 + 2xy + 3y2 + 800

(a) Minimizar los costos de la rma, si su produccin esta sujeta a una cuota de 39 unidades

x+ y = 39

(b) Estimar el costo adicional si la cuota de produccin es incrementada a 40.

16. Una rma monopolstica posee las siguientes funciones de demanda

x = 70 0:5pxy = 120 py

La funcin de costos combinada es

c (x; y) = x2 + xy + y2 + 35

y la mxima produccin conjunta es 40. O sea

x+ y = 40

(a) Encontrar el nivel de produccin de maximizacin de benecios

(b) Encontrar el nivel de precios de maximizacin de benecios

(c) Encontrar el nivel mximo de benecios.

17. Sea la funcin de costos de la empresa del problema 3

CT (K;L) = rK + wL

donde los precios del capital y trabajo son r y w respectivamente.

(a) Formule el problema de la empresa y pruebe que la condicin de primer orden es

PMgL

PMgK=w

r

i. Luego, interprete econmicamente la misma expresin dispuesta as

PMgL

w=PMgK

r

(b) Obtenga las cantidades ptimas (K; L) as como el csto mnimo correspondiente CT =CT (r; w;Q) :

18. Dada la funcin de utilidad u (x; y) = Axy sujeta a la restriccin presupuestaria pxx+ pyy = I,

probar que en el punto de mximizacin de utilidad restringida, la tasa de preciospxpy

debe ser

iguala a la tasa de utilidades marginalesUMgxUMgy

:



19. Dada la funcin de produccin CES

q = AK + (1 )L1=

sujeta a la restriccin presupuestariarK + wL = c

(a) Probar que la elasticidad de sustitucin de la produccin CES es una constante.

(b) Encontrar el rango que puede asumir (recuerde que 0 < < 1).

20. Si en el problema anterior A = 100; = 0:2; = 0:5; r = 10; w = 4 y c = 4100, estime el efectosobre la relacin de menor costo si el precio de la mano de obra se incrementa en 25%; luego,verique el resultado sustituyendo el nuevo precio de la mano de obra en la relacin de menorcosto.

21. Para cada una de las siguientes funciones cuadrticas, (1) encuentre los puntos criticos que opti-mizan la funcin y (2) determine si en estos puntos, la funcin es un mnimo, es un mximo, es unpunto de inexin o es un punto de silla

(a) f (x; y) = 3x2 xy + 2y2 4x 7y + 12(b) f (x; y) = 60x+ 34y 4xy 6x2 3y2 + 5(c) f (x; y) = 48y 3x2 6xy 2y2 + 72x(d) f (x; y) = 5x2 3y2 30x+ 7y + 4xy

22. Para cada una de las siguientes funciones cbicas, (1) encuentre los puntos criticos que optimizanla funcin y (2) determine si en estos puntos, la funcin es un mnimo relativo, un mxima relativo,un punto de inexin o un punto de silla.

(a) f (x; y) = 3x3 5y2 225x+ 70y + 23(b) f (x; y) = 3x2 + 1:5y2 18xy + 17(c) f (x; y) = 3x3 9xy + 3y3(d) f (x; y) = x3 6x2 + 2y3 + 9y2 63x 60y

23. Usando los multiplicadores de lagrange, optimice las siguientes funciones objetivo sujetas a lasrestricciones dadas

(a) f (x; y) = 4x2 2xy + 6y2 sujeto a x+ y = 72(b) f (x; y) = 26x 3x2 + 5xy 6y2 + 12y sujeto a 3x+ y = 70(c) f (x; y) = 4xyz2 sujeto a x+ y + z = 56

(d) f (x; y) = 5xy + 8xz + 3yz sujeto a 2xyz = 1920

24. Resolver los siguientes problemas de optimizacin

(a) maxL;K

q = K0:5L0:5 sujeto a 6K + 2L = 384

(b) maxL;K

q = 10K0:7L0:1 sujeto a 28K + 10L = 4000

(c) maxL;K

q = 800:4K0:25 + (1 0:4)L0:251=0:25 sujeto a 5K + 2L = 150

(d) maxL;K

q = 1000:2K(0:5) + (1 0:2)L(0:5)1=(0:5) sujeto a 10K + 4L = 4100

(e) maxx;y

u = x0:6y0:25 sujeto a 8x+ 5y = 680

(f) maxx;y

u = x0:8y0:2 sujeto a 5x+ 3y = 75



25. El multiplicador de lagrange aproxima el impacto marginal sobre el valor ptimo de la funcinobjetivo ocasionado por un pequeo cambio en la constante de la restriccin: es decir, si el problemade optimizacin es

maxx;y

f (x; y) sujeto a h (x; y) = c

el lagrangiano esL (x; y; ) = f (x; y) [h (x; y) c]

y en general, el punto crtico (x; y; ) dependen de la constante de la restriccin c, o sea

z = f (x; y) = f (x (c) ; y (c)) = f (c)

bajo ciertas condiciones de regularidad se tiene que

df (c)dc

=

En aplicaciones econmicas, c designa a menudo el stock disponible de un cierto recurso y f (x; y)designa a la utilidad o benecio. Entonces la medida aproximada del aumento de utilidad o beneciodf que se puede obtener de un incremento en dc unidades ms del recurso c es , con dc > 0.Los economistas llaman al nmero el precio sombra (o valor marginal) de una unidad delrecurso.

Estime el incremento aproximado del valor ptimo de la funcin objetivo del problema (a) delnumeral anterior; luego, constate que el error relativo cometido es aproximadamente de 0:0186%.

26. Obtenga la derivada totaldz

dxpara cada una de la siguientes funciones.

(a) z = 6x2 + 15xy + 3y2 donde y = 7x2

(b) z = (13x 18y)2 donde y = x+ 6(c) z =

9x 7y2x+ 5y

donde y = (x+ 1) =x2

27. Encuentre la derivada total dzdw para cada una de las siguientes funciones

(a) z = 7x2 + 4y2 donde x = 5w y y = 4w

(b) z = 10x2 6xy 12y2 donde x = 2w y y = 3w

28. Usando la regla de la funcin implcita encuentredy

dxy,dy

dzdonde sea aplicable

(a) y 6x+ 7 = 0(b) 3y + 17 = 12x

(c) x2 + 6x = 12 + y

(d) f (x; y) = x2y3 + z2 + xyz

(e) f (x; y; z) = x3z2 + y3 + 4xyz

29. Optimizar la funcin objetivo f (x; y; z) = x2 + y2 + z2 sujeta a las restricciones x+ 2y + z = 1 y2x y 3z = 4.

30. Un individuo consume semanalmente las cantidades x e y de dos bienes y trabaja durante l horas.Se eligen esas cantidades de tal manera que maximicen la funcin de utilidad

U (x; y; l) = lnx+ ln y + (1 ) ln (L l)denida para 0 l L, x; y > 0, donde y son parmetros positivos que verican + < 1.El individuo tiene la restriccin presupuestaria

px+ qy = wl +m

donde m ( 0) designa renta no salarial



(a) Suponiendo que

m

+

1 wL (2)

hallar las demandas x; y y el trabajo l del individuo como funciones de p; q; r y m:

(b) Qu ocurre cuando se viola la desigualdad (2)?

31. Supuesta la existencia de la solucin resolver

(a) minx;y;z

x2 2x+ 2y2 + z2 + z sujeto a

x+ y + z = 12x y z = 5

(b) max (min)x;y;z

x+ y + z sujeto a

x+ y + z = 12x y z = 5

(c) max (min)x;y;z

x+ y sujeto a

x+ y + z = 12x y z = 5

(d) minx2Rn

Pni=1 a

2ix2i sujeto a

Pni=1 xi = 1

(e) minx;y;z

(y + z 3)2 sujeto a

x2 + y + z = 2x+ y2 + 2z = 2

32. Considere el problema

maxx;y;z

f (x; y; z) = 4z x2 y2 z2 sujeta a g (x; y; z) = z xy = 0

(a) Usar el mtodo de Lagrange para hallar las condiciones necesarias para una solucin delproblema, y hallar todos los (x; y; z) que las veriquen

(b) El punto (1; 1; 1) es un mximo. Hallar un valor aproximado de la variacin del valor mximode f si se cambia la restriccin de z xy = 0 a z xy = 0:1


maxx1;x2;x3;x4

x1 + x2 + x3 + x4 sujeta a

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(b) Hallar la nica solucin posible.

La grca de este problema de optimizacin con restricciones con desigualdad se muestra a contin-uacin (el cdigo fuente MATLAB lo puede descargar desde la pgina del curso)


maxx;y

f (x; y) = ln (x+ 1) + y sujeta a

2x+ y 3x; y 0

(a) Escribir las condiciones Kuhn - Tucker para la solucin del problema.

(b) Hallar la nica solucin posible.


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