ESTADÍSTICA · 2020. 3. 12. · Resp: a) 1/8; b) 5/11. 16) Una caja tiene 3 bolillas blancas y 7...

UBA – Ciencias Económicas – Estadística – Prof. Marcelo Dreyfus, MBA

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UNIVERSIDAD

DE BUENOS AIRES

CIENCIAS ECONÓMICAS

ESTADÍSTICA Guía de Trabajos Prácticos

Marcelo D. Dreyfus, MBA

2020


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ÍNDICE TRABAJOS PRÁCTICOS Pág

TP1: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD.................................................................................... 3 TP2: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD........................................................................ 6 TP3: SUMAS DE VARIABLES ALEATORIAS. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE............... 9 TP4: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA........................................................................................ 11 TP5: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS.................................................................................. 14 TP6: ENSAYOS DE HIPÓTESIS............................................................................................. 18 TP7: SERIES CRONOLÓGICAS Y NÚMEROS ÍNDICE......................................................... 21 TP8: REGRESIÓN LINEAL...................................................................................................... 24


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Trabajo Práctico 1: PROBABILIDADES. 1) En un colegio secundario, el 25% de los estudiantes fue aplazado en Matemática, el 10% en Química y el 5% fue aplazado en ambas materias. Calcular: a) De los aplazados en Química, ¿qué porcentaje aplazó Matemática?; b) de los aplazados en Matemática, ¿qué porcentaje aplazó Química?; c) ¿qué porcentaje aplazó Matemática o Química? Resp: a) 50%; b) 20%; c) 30%. 2) En una localidad del interior del país hay dos bancos A y B. El 22% de los habitantes tiene cuenta en A, el 37% en B y el 47% no tienen cuenta. a) ¿Cuál es el porcentaje de habitantes que tiene cuenta en ambos bancos?; b) de los que tienen cuenta en A, ¿qué porcentaje tiene cuenta en B?; c) de los que tienen cuenta corriente, ¿qué porcentaje tiene cuenta en B? Resp: a) 6%; b) 27,3%; c) 69,8%. 3) En una ciudad se publican dos diarios A y B. El 42% de los habitantes lee A, el 25% lee B y el 5% lee ambos. a) ¿Cuál es el porcentaje de personas que lee diarios?; b) de los habitantes que leen diarios, ¿qué porcentaje lee B?; c) si se eligen al azar 3 personas, ¿cuál es la probabilidad de que todas lean diarios?; d) ¿cuál es el porcentaje de personas que sólo lee A? Resp: a) 62%; b) 40,3%; c) 0,238; d) 37%. 4) En una universidad se obtuvo la siguiente información: El 32% de las chicas tienen cabello rubio, ojos azules o ambas cosas y el 20% tienen ojos azules. ¿Qué porcentaje de chicas tienen cabello rubio y ojos no azules? Resp: 12%

5) Si P(A)=P(B)=0,3 y P(AB)=0,2, calcular P( A / B ). Resp: 0,8571. 6) Un sistema de pesaje de residuos sólidos tiene dos mecanismos de pesada, uno computacional y otro mecánico. La probabilidad de que uno al menos funcione bien es 0,99 y la probabilidad de que funcione bien el primero es 0,96. El sistema falla si ambos mecanismos fallan. Si el mecanismo computacional falla, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema falle? Resp: 0,25. 7) Jugando con un dado, se gana si sale 1 ó 2 y se pierde si sale 4, 5 ó 6. Si sale 3 se tira de nuevo. Calcular la probabilidad de ganar. Resp: 2/5. 8) Para la señalización de un aeropuerto se han instalado dos indicadores que funcionan independientemente. Cuando hay una avería en el aeropuerto, el indicador A se acciona con probabilidad 0,95 y el B con probabilidad 0,9. Calcular la probabilidad de que durante una avería se accione sólo un indicador. Resp: 0,14.

9) Para los siguientes datos P(A\B)=0,4, P( BA )=P( BA )=0,9, a) indicar si A y B son o no

independientes, justificando la respuesta; b) P( BA ); c) P(B\A). Resp: a) no; b) 4/15; c) 2/5. 10) De los clientes de una empresa, el 70% no tiene cuenta corriente, el 60% tiene menos de 3 años de antigüedad y de éstos, el 20% tiene cuenta corriente. a) ¿Qué porcentaje tiene cuenta corriente o menos de 3 años?; b) de los que tienen cuenta corriente, ¿qué porcentaje tiene menos de 3 años?; c) de los que tienen más de 3 años, ¿qué porcentaje tiene cuenta corriente? Resp: a) 78%; b) 40%; c) 45%. 11) El control de calidad para cierto tipo de motor incluye dos pruebas: A (ensayo de sobrecarga) y B (ensayo de consumo). El 5% falla en la prueba A, el 6% en la prueba B y el 90% en ninguna. a) Indique si las fallas en las pruebas son sucesos estadísticamente independientes, justificando numéricamente la


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respuesta; b) de los que no fallan en A, ¿qué porcentaje falla en B? Resp: a) no; b) 5,26%. 12) Se han enviado dos vendedores A y B a dos distintos clientes para ofrecer un producto y se sabe que P(A no tenga éxito)=0,2, P(B sólo no tenga éxito)=0,15 y P(A y B no tengan éxito)=0,16. Calcular: a) P(Uno al menos tenga éxito); b) P(A tenga éxito\B tuvo éxito); c) P(A sólo no tenga éxito). Resp: a) 0,84; b) 0,942; c) 0,04. 13) Paradoja de J. L. F. BERTRAND (1822-1900) publicada en "Cálculo de Probabilidades", 1889.- Una caja contiene dos monedas de oro, otra caja contiene dos monedas de plata y una tercera caja contiene una moneda de oro y otra de plata. Se elige una caja al azar y se extrae una moneda que resulta ser de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra moneda de esa caja también sea de oro? Resp: 2/3. 14) Una caja C1 contiene 7 bolillas blancas y 3 rojas; otra caja C2 tiene 8 blancas y 12 rojas. Se elige una caja al azar y se extrae una bolilla. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca? ; b) si es blanca, cuál es la probabilidad de haber elegido la caja C1? Resp: a) 11/20; b) 7/11. 15) Una caja C1 contiene 3 bolillas negras y 5 blancas; otra caja C2 tiene 1 negra y 9 blancas. Se toma la caja C1, se extrae una bolilla y, sin mirarla, se introduce en C2; luego se extrae una bolilla al azar de C2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que esta última sea negra?; b) si esta es negra, ¿cuál es la probabilidad de haber pasado una blanca de C1 a C2? Resp: a) 1/8; b) 5/11. 16) Una caja tiene 3 bolillas blancas y 7 rojas. Otra caja tiene 12 blancas y 8 rojas. Se elige una caja al azar y se extrae una bolilla y, sin mirarla, se la deja aparte. Luego se extrae otra bolilla de la misma caja. Calcular: a) La probabilidad de que esta última bolilla sea blanca; b) si es blanca, la probabilidad de haber elegido la primera caja; c) si es blanca, la probabilidad de haber elegido la primera caja y dejado aparte una bolilla blanca. Resp: a) 0,45; b) 0,333; c) 0,0741. 17) Una caja tiene 5 bolillas blancas y 2 rojas; otra tiene 4 blancas y 5 rojas. Se saca una bolilla de cada una y, sin mirarlas, se introducen en una tercera caja; de esta última se extrae una bolilla y se desea calcular la probabilidad de que sea roja. Resp: 0,4206. 18) Una caja C1 contiene 3 bolillas negras y 5 blancas; otra caja C2 tiene 1 negra y 9 blancas. Se elige una caja al azar, se extrae una bolilla y, sin mirarla, se introduce en la otra caja; luego de esta otra caja se extrae una bolilla al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que esta bolilla sea negra?; b) si es negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera caja haya sido C1?; c) si es negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera caja haya sido C1 y se haya extraído de ella una bolilla blanca?; d) si es negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera extracción haya sido una bolilla blanca? Resp: a) 0,2347; b) 0,2663; c) 0,121; d) 0,7602. 19) Una caja tiene 4 bolillas blancas y 6 rojas. Se saca una bolilla, se mira su color y se la vuelve a la caja, agregando, además, dos bolillas del otro color. Luego se extrae una bolilla. Calcular la probabilidad de que sea blanca. Resp: 13/30. 20) Una caja C1 tiene 1 bolilla azul y 2 blancas; otra caja C2 tiene 2 azules y 3 blancas. Se eligió una caja y se extrajo una bolilla que resultó azul y de la otra caja se extrajo una bolilla que resultó blanca. Calcular la probabilidad de que la primera caja haya sido C1. Resp: 3/7. 21) Un fabricante tiene dos máquinas que producen un mismo artículo. Una de ellas trabaja con el 1% de defectuosos y la otra con el 4%. Cada lote lleva una fracción P de la primera máquina y (1-P) de la


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segunda. El cliente revisa 5 piezas al azar del lote, aceptándolo si son todas buenas. ¿Cuál deberá ser la fracción P para que se acepte el 90% de los lotes? Resp: 0,6383. Surge de resolver [0,99P+0,96(1-P)]5 = 0,9. 22) En una máquina hay una pieza vital que debe cambiarse periódicamente. Si es de material M1, dura más de 6 meses con probabilidad 0,9 pero si es de material M2, dicha probabilidad es 0,4. Se solicita al proveedor una unidad de M1, pero se admite que puede entregarla de M2, asignándose una probabilidad 0,2 a dicho engaño. Se coloca la pieza y debe reponerse antes de los 6 meses. ¿Cuál es la probabilidad de que el proveedor haya actuado con honestidad? Resp: 0,4. 23) Un análisis para detectar una enfermedad de los equinos ofrece un 95% de confiabilidad en los enfermos y 99% en los sanos; se sabe, además, que el 4% de la población caballar del país padece la enfermedad. En un laboratorio se hizo un análisis que arrojó resultado positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que el caballo analizado esté efectivamente enfermo? Resp: 0,798. 24) Una nave no tripulada se dirige al planeta Venus y tiene una probabilidad 0,7 de descender satisfactoriamente. A su vez, el sistema monitor da la información correcta con probabilidad 0,9 -sea o no satisfactorio el descenso-. En la prueba, el monitor informó que el descenso era correcto. ¿Cuál es la probabilidad de que realmente lo haya sido? Resp: 0,9545. 25) Una ciudad de 1 millón de habitantes se considera dividida en dos zonas: La 1, con 700000 y la 2 con 300000. Ante el peligro de una epidemia, se decide vacunar al 80% de la población; en la zona 1 se utiliza una vacuna con un 92% de efectividad y en la zona 2, una que tiene un 84% de efectividad; si la vacuna no inmuniza a la persona, hay una probabilidad 0,12 de contraer la enfermedad, lo mismo que si la persona no es vacunada. a) ¿Cuántas personas enfermarán si sobreviene la epidemia?; b) si una persona se enferma, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido vacunada en la zona 2? Resp: a) 33984; b) 0,136.


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Trabajo Práctico 2: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. 1) El contenido de bolillas rojas de una caja se ha formado como sigue. Se arrojó un dado y se colocaron tantas como indicó el dado; luego se extrajeron dos bolillas de una caja que contenía 3 blancas y 7 rojas y se introdujeron en la primera caja. Obtener la función de probabilidad, la media y la varianza del número de bolillas rojas que quedaron finalmente en cada una de las cajas. Resp: Una caja: P(1)=1/90, P(2)=8/90, P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=15/90, P(7)=14/90,P(8)=7/90 Otra caja: P(5)=P(6)=7/15, P(7)=1/15. 2) El control de recepción de una pieza que se recibe en cajas de 10 unidades consiste en elegir dos piezas de cada caja y rechazar la misma si alguna es defectuosa. El "honesto" proveedor coloca en cada caja un número de defectuosas que depende del resultado de arrojar un dado como sigue: Si sale un as no pone ninguna; si el resultado es 2, 3, 4 ó 5 pone 1 y si es 6 pone 2. Determinar: a) La distribución del número de defectuosas que hay en las cajas; b) la distribución del número de defectuosas que se encuentran en cada muestra de 2 unidades; c) el porcentaje de cajas rechazadas. Resp: a) P(0)=1/6, P(1)=4/6, P(2)=1/6; b) P(0)=0,8037,P(1)=0,1926,P(2)=0,0037; c) 19,63%. 3) De un proceso tecnológico que produce piezas con un 10% de defectuosas se toma una muestra de 15 piezas; ¿cuál es la probabilidad de encontrar: a) 2 ó menos defectuosas?; b) exactamente 2 defectuosas?; c) menos de 12 buenas? Resp: a) 0,8159; b) 0,2669; c) 0,0556 4) Una moneda se lanzará 3 veces y en cada lanzamiento, si sale cara, se pone una bolilla blanca en una bolsa y si sale ceca, se pone una bolilla roja; luego se extrae una bolilla de la bolsa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca?; b) si es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que las otras dos bolillas también sean blancas? Resp: a) 0,5; b) 0,25. 5) Un aparato se compone de 4 piezas A, 3 piezas B y 1 pieza C. Los procesos de fabricación de estas piezas son independientes y sus porcentajes de defectuosos del 2, 3 y 4% respectivamente. Si una pieza cualquiera es defectuosa, el aparato falla. a) ¿Cuál es el porcentaje de aparatos fallados?; b) si un aparato falla, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa una al menos de las piezas A? Resp: a) 19,2%; b) 0,4046. 6) El control de recepción de una pieza consiste en tomar una muestra de dos unidades de cada caja de 10 y rechazar la caja en caso de encontrar alguna defectuosa. Si el proveedor entregó 15 cajas con una pieza defectuosa en cada caja, ¿cuál es la probabilidad de que le rechacen menos de 3 cajas? Resp: 0,398. 7) Un tirador obtiene, con un arma A, el 80% de aciertos y con un arma B el 90%. Si en 8 disparos obtuvo 6 aciertos, ¿cuál es la probabilidad de que haya usado el arma B? Resp: 0,3364. 8) En una estación de servicio, la distribución de clientes que llegan cada 15' tiene la siguiente función de probabilidad: P(0)=0,2; P(1)=0,4; P(2)=0,3; P(3)=0,1. Además, la probabilidad de que un cliente pague con tarjeta de crédito es p=0,25. Obtener la distribución de los clientes que en el lapso de 15' pagan con tarjeta de crédito. Resp: P(0)=0,7109; P(1)=0,2547; P(2)=0,0328; P(3)=0,0016. 9) El control de recepción de una pieza que se recibe en grandes partidas consiste en seleccionar una muestra de 15 unidades y rechazar la partida si se encuentran 2 o más defectuosas; si se encuentra ninguna defectuosa, la partida se acepta, pero si se encuentra exactamente 1 se toma una nueva muestra de 15 unidades y, en caso de encontrar aquí alguna defectuosa, rechazar definitivamente la partida, de lo contrario aceptarla. El porcentaje de unidades defectuosas es del 2%. Calcule el porcentaje de partidas rechazadas. Resp: 9,4%.


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10) Se trata de que un proceso de producción de latas de gaseosa no produzca más del 1% de defectuosas. A tal efecto se lo controla periódicamente examinando 10 latas y, si alguna resulta fallada, se detiene el proceso para revisarlo. a) Si realmente está trabajando al 1%, ¿cuál es la probabilidad de revisarlo innecesariamente?; b) ¿cuántas latas deberán probarse (en vez de 10) si se desea que valga 0,95 la probabilidad de revisar el proceso cuando haya un 10% de defectuosas y cuánto valdría con este tamaño de muestra la probabilidad de revisar el proceso innecesariamente? Resp: a) 0,0956; b) 29; 0,2528. 11) Un proceso de manufactura produce piezas con un porcentaje defectuoso constante del 10%. Calcular la probabilidad de que haya que fabricar menos de 17 piezas para obtener 15 buenas. Resp: 0,5147. 12) En un proceso de control de calidad se efectúa una revisión periódica examinando la cantidad de piezas necesarias hasta encontrar la segunda defectuosa. Si el proceso trabaja con un 20% de defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de revisar: a) 8 ó menos?; b) 12 ó más?; c) exactamente 12? Resp: a) 0,4967; b) 0,3221; c) 0,0472. 13) Para fabricar un lote de 10 piezas se utiliza una máquina que trabaja con un 30% de defectuosas. Luego de fabricar 12 piezas se efectuó un control y se encontró que aún no se había alcanzado la cantidad requerida. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesite fabricar más de 14 para cumplir el pedido? Resp: 0,5565. 14) Se tiene el siguiente plan de muestreo: De un lote de 50 unidades se eligen 5 al azar y se rechaza el lote si la muestra contiene 1 o más defectuosas. Calcular la probabilidad de rechazar un lote que contenga: a) 10 defectuosas; b) 3 defectuosas. Resp: a) 0,6894; b) 0,276. 15) El control de recepción para un repuesto consiste en examinar una muestra de 5 unidades de cada lote y rechazar si hay más de dos defectuosas. Un proveedor entrega un lote de 10 piezas que contiene 3 defectuosas y se lo rechazan. Si se consideran equiprobables "a priori" las alternativas de que la inspección se haya realizado con o sin reposición, ¿cuál es "a posteriori" la probabilidad de cada una? Resp: 0,6619, 0,3381. 16) En una empresa se adquirieron piezas de repuesto y se colocaron en dos cajas iguales que tenían 65 unidades cada una, pero en una había 8 de segunda calidad y en la otra 5. Por una confusión, las cajas no quedaron identificadas. Al tomar 5 piezas de una de las cajas y encontrar 1 de segunda calidad, se desea saber cuál es la probabilidad de haberlas tomado de la segunda caja. Resp: 0,4355. 17) Cierto tipo de cable presenta en promedio 1 falla cada 250 metros. ¿Cuál es la probabilidad de que un rollo de 1000 metros tenga?: a) Ninguna falla; b) menos de 4 fallas; c) 6 ó más fallas. Resp: a) 0,0183; b) 0,4335; c) 0,2149. 18) A un comercio entran en promedio 60 personas por hora. Calcular: a) La probabilidad de que en los próximos 5 minutos no entre nadie; b) el lapso de tiempo tal que la probabilidad de que no entre nadie es 0,5. Resp: a) 0,0067; b) 42 segundos. 19) Un conmutador telefónico recibe en promedio 600 llamadas por hora y puede hacer como máximo 20 conexiones por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que su capacidad sea superada en un minuto dado? Resp: 0,0016 20) Una empresa de instalaciones industriales adquirió en un remate un lote de caños de PVC de 6m de longitud. Para realizar una estimación del costo real de estos caños, se averigua que este lote podría provenir de alguno de dos fabricantes: él A, cuyo proceso de fabricación continuo se sabe presenta 1 falla cada 30 metros, o el B, que con un proceso más moderno, presenta 1 falla cada 60 metros. En la primera


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instalación de 300m de longitud en que se instalaron estos caños, al realizar la prueba hidráulica tuvieron que cambiar 3 caños. ¿Cuál es la probabilidad de que el lote provenga del proveedor A? Resp: 0,0591. 21) Una computadora digital que funciona las 24 horas del día sufre paradas accidentales por fallas que se producen a la POISSON a razón de 0,25 fallas/hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la computadora se detenga más de 25 veces en una semana hábil (5,5 días); b) si se observó que la computadora funcionó sin detenerse durante 2 horas, ¿cuál es la probabilidad de que no se detenga en las próximas 2 horas y cuántas horas funcionará en promedio hasta producirse la primer falla? Resp: a) 0,90825; b) 0,6065; 4 horas. 22) En una planta industrial el consumo mensual de combustible es una variable aleatoria distribuida Normalmente con media 20000 litros y desvío estándar 2500 litros. a) ¿Qué porcentaje de los meses se consume menos de 24000 litros?; b) ídem más de 18000?; c) ídem entre 18000 y 24000?; d) ¿qué capacidad debe tener un tanque para satisfacer el consumo mensual con 95% de probabilidad?; e) ¿cuál es el consumo superado en el 90% de los meses?; f) de los meses que se consume menos de 24000 litros, ¿qué porcentaje se consume menos que la media?; g) de los meses que se consume menos de 24000 litros, ¿qué porcentaje se consume más de 18000?; h) de los meses que se consume más de 18000 litros, ¿qué porcentaje se consume menos de 24000? Resp: a) 94,5%; b) 78,8%; c) 73,3%; d) 24112 litros; e) 16796 litros; f) 52,9%; g) 77,6; h) 93,1%. 23) En un molino harinero, una máquina automática envasa el producto en bolsas cuyo peso neto tiene una distribución Normal de media 800 gramos y desvío estándar 20 gramos. La Secretaría de Comercio realiza una inspección y elige al azar 30 bolsas aplicando una multa si encuentra alguna bolsa con peso neto inferior a 750 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de tal evento? Resp: 0,1704. 24) En un establecimiento agropecuario, el 10% de los novillos que salen a venta pesan más de 500Kg y el 7% pesan menos de 410Kg. Si la distribución es Normal, calcule: a) el peso superado por el 15% de los novillos; b) la probabilidad de que en una jaula de 25 novillos haya alguno con peso inferior a 400Kg. Resp: a) 492Kg; b) 0,614. 25) Una zapatilla puede ser defectuosa por tener raspaduras o por ser insuficiente la adherencia de la capellada a la suela. Para comprobar dicha adherencia se efectúa un ensayo con una carga de 24Kg y si se despega, la zapatilla es defectuosa. La resistencia de la unión es una variable Normal de media 25 Kg y desvío 0,7 Kg. Además, el 4% de las zapatillas presenta raspaduras. Una zapatilla es defectuosa si presenta cualquiera de los defectos indicados y un par es defectuoso si alguna de sus zapatillas lo es. Calcular: a) El porcentaje de pares defectuosos; b) el número esperado de pares a elegir uno a uno hasta encontrar 20 buenos. Resp: a) 21% b) 26 pares 26) Las ventas mensuales de un determinado producto pueden suponerse distribuidas normalmente con media de 1.000 y desvío de 150. Si el stock de producto terminado es de 800 unidades, ¿cuántas unidades deberán fabricarse para tener una seguridad del 99 % de atender la totalidad de los pedidos del mes? Resp: 549 unidades 27) Una fábrica produce pistones cuyos diámetros se encuentran adecuadamente clasificados por una distribución normal con un diámetro medio de 5 cm y una desviación estándar de 0,001 cm. Para que el pistón sirva, su diámetro debe encontrarse entre 4,998 y 5,002 cm. Los pistones bajo medida deberán desecharse y los que estén sobre medida pueden reprocesarse a un costo de U$S 5 por unidad. a) ¿Qué porcentaje de pistones deberán desecharse?; b) Sabiendo que la producción estimada para el mes próximo es de 20.000 unidades, ¿cuál será el costo adicional de aquellos pistones que deban ser reprocesados? Resp: a) 2,3%; b) $2275.


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Trabajo Práctico 3: SUMAS DE VARIABLES ALEATORIAS. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE.

1) Una conserva se venderá envasada en latas. Las distribuciones de los pesos y sus costos son los siguientes:

Peso neto x=N(49,8g;1,2g);

Peso del envase y=N(8,2g; 0,6g);

Costo de la conserva a=0,06 $/g;

Costo del envase b=0,008 $/g. Calcule la probabilidad de que una unidad terminada tenga un costo inferior a $ 3. Resp: 0,229. 2) El costo directo de un producto está formado por materiales (0,08m²/unidad) y mano de obra (0,25 hora/unidad). Debido a variaciones en la eficiencia de la mano de obra y en el rendimiento de los materiales, los costos unitarios son variables aleatorias independientes que pueden considerarse normales: el de materiales, con media 32 $/m² y desvío 2,5 $/m²; el de mano de obra, con media 20 $/hora y desvío 3 $/hora. Calcular el costo superado con 5% de probabilidad. Resp: $8,84 3) Hay unas zapatillas económicas que se expiden en cajas de cartón corrugado de 6 pares, cada par contenido en su caja individual. Frecuentemente los clientes reciben cajas con unidades faltantes, es decir, que encuentran 11 (o menos) zapatillas y reclaman furiosamente al vendedor. Para solucionar el problema, se ha decidido efectuar un control al final de la línea de empaques, pero como obviamente sería ilógico abrir cada caja para verificarla, se aplicará el siguiente procedimiento: Se colocará una balanza al final de la línea y se pesarán todas las cajas, abriendo luego aquellas cuyo peso sea sospechoso. Ahora, para implementar este control debe fijarse un peso crítico C, tal que si una caja pesa menos, se la abrirá y, en caso de que le falte alguna zapatilla, se la completará. A efectos de calcular el valor de C, se establece la condición de detectar al menos el 99% de las cajas incompletas, y se sabe que los pesos de las zapatillas y las cajas son variables normales con los siguientes parámetros:

Peso individual de las zapatillas t=N(170gr;7gr);

Peso de las cajas individuales x=N(50gr;5gr);

Peso de las cajas de cartón corrugado y=N(300gr;40gr). Calcular: a) El valor de C; b) el porcentaje de las cajas completas que se revisa inútilmente. Resp: a) C=2581gr; b) 11%. 4) El consumo diario de combustible en una planta industrial es una variable aleatoria con media 35 litros y varianza 140 litros al cuadrado. ¿Qué capacidad en litros deberá tener un tanque para satisfacer el consumo de 300 días con 90% de confiabilidad? Resp: 10763 litros. 5) El porcentaje diario de unidades defectuosas en un proceso de manufactura es una variable aleatoria de la cual no se conoce su distribución pero sí su media que vale 10% y su desvío estándar, 3%. Se sabe, además, que por cada unidad defectuosa se genera una pérdida de $45.- Calcular, para un mes de 25 días hábiles en el cual se producen 36 unidades diarias: a) La media y el desvío estándar de la pérdida ocasionada por las unidades defectuosas; b) la probabilidad de que dicha pérdida supere los $ 4300. Resp: a) $4050; $243; b) 0,1515. 6) El peso de ovillos de hilo que salen de una máquina se distribuye normalmente con media 120 g. y desvío estándar 8 g. en condiciones normales de funcionamiento. Los ovillos se empaquetan de a 24 en cajas de cartón cuyo peso vacío es de 300 g que se puede considerar constante. En la inspección final se pesa la caja con los ovillos y se la acepta si su peso es superior a 3120g. ¿Qué probabilidad hay de rechazar una caja si la máquina funciona correctamente?


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Resp: 0,063. 7) La demanda diaria de nafta en una estación de servicio es aleatoria con una media de 3.120 litros y un desvío estándar de 750 litros. a) Qué capacidad debe tener un tanque para satisfacer la demanda de 30 días con 90% de seguridad, dado que ese es el lapso entre llegadas del camión cisterna? b) El costo del combustible es de 0,11 $/litro más el flete de $100; el precio de venta es de 0,125 $/litro. Calcular el beneficio anual (365 días) que puede garantizarse con 95% de probabilidad. Resp: a) 98.865 litros. b) $15.528. 8) Un camión transporta cajas cargadas de artículos varios. El peso de estas cajas es una variable muy asimétrica y dispersa con un valor medio de 25Kg y un desvío estándar de 18Kg. De acuerdo con las reglamentaciones vigentes, la carga máxima que puede llevar el camión es de 4000Kg, sin embargo, como en el sitio de carga no se dispone de báscula, existe el riesgo de superarla en caso de colocar demasiadas cajas. Calcular el número máximo de cajas a cargar en el camión para que la probabilidad de dicho evento sea a lo sumo del 5%. Resp: 146. 9) En la producción de rollos de alfombra moquette, se tienen longitudes variables, pues se corta en la falla. La longitud media de estos rollos es de 45 metros y se puede demostrar matemáticamente que el desvío estándar es igual a la media. Luego, su distribución es muy asimétrica. Todos los días se producen 40 rollos y se trabaja 22 días por mes. Se desea calcular: a) La probabilidad de que en un mes se produzcan más de 45.000 metros de alfombra. b) La producción mensual garantizada con 95% de probabilidad. c) Cuántos rollos habrá que producir para tener 100.000 metros con 95% de probabilidad. Resp: a) 0; b) 37.404m; c) 2302rollos 10) Una empresa tiene 3 vendedores: Juan, Luis y José. Las ventas diarias de cada uno son sumamente variables y se conocen sus medias y desvíos pero no sus leyes de distribución. Dichos parámetros valen 100 y 45 para Juan; 120 y 30 para Luis; y 94 y 15 para José. Calcular: a) La probabilidad de que en 40 días hábiles, Luis y José en conjunto dupliquen al menos las ventas de Juan; b) la probabilidad de que en 60 días hábiles, Luis venda al menos un 30 % más que José; c) la venta total mínima que, con 95 % de confiabilidad podrá obtenerse con los 3 vendedores durante los próximos 60 días hábiles. Resp: a) 0,8217; b) 0,3169; c) 18.125.


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Trabajo Práctico 4: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. 1) Clasifique las siguientes variables aleatorias:

a) La nacionalidad de las personas. b) El nivel socioeconómico de las personas c) El nº de encuestados a favor de un partido en una muestra de 500. d) El nº de unidades a revisar de un lote de varios miles hasta encontrar 2 defectuosas. e) El nº de unidades con defecto en una muestra de 20, extraída de un lote de 100. f) El nº de clientes que llegan a un banco cada 30 minutos. g) Las longitudes de piezas producidas por una máquina. h) Las estaturas de personas de una misma raza. i) Los consumos mensuales de un individuo con una tarjeta de crédito. j) Los consumos de un mes de diferentes individuos con una tarjeta de crédito. k) Los ingresos de un mes de diferentes individuos en la Argentina. l) Tiempo entre arribos consecutivos de clientes a un banco. m) Tiempo necesario hasta que arriben 10 clientes. n) Tiempo de vida de las personas.

2) De acuerdo con la revista Informes al Consumidor en su número de febrero, las cuotas anuales de 9 compañías para un seguro de u$s25.000 para hombres de 35 años son las siguientes: 85 82 87 86 89 87 87 91 89 a) Clasifique la variable aleatoria. b) Calcule la media, la mediana y el modo. c) Calcule el desvío estándar y el coeficiente de variación. 3) De acuerdo con la revista Informes al Consumidor en su número de marzo, las cuotas anuales de 40 compañías para un seguro de u$s25.000 para hombres de 35 años son las siguientes: 82 92 99 105 85 93 99 105 86 91 94 100 106 87 95 100 107 87 95 98 101 107 89 95 101 107 89 95 103 104 109 90 95 103 110 91 97 103 110 111 a) Clasifique la variable aleatoria. b) Establezca un esquema de agrupamiento para este conjunto de datos. c) Calcule las medidas de posición. d) Calcule la cuota superada por el 10% de las compañías. e) Calcule las medidas de dispersión. f) Indique el tipo de asimetría. g) Grafique la serie de frecuencias. 4) En la siguiente tabla se presentan los montos de las facturas de compra en una compañía para el mes de marzo: Montos en $ Cantidad de facturas 0 - 1.000 22 1.000 - 2.000 70 2.000 - 3.000 52 3.000 - 4.000 22 4.000 - 5.000 12


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5.000 - 6.000 10 6.000 - 7.000 5 7.000 - 8.000 4 8.000 - 9.000 2 9.000 - 10.000 1 a) Clasifique la variable aleatoria. b) Calcule las medidas de posición y de dispersión. c) Calcule el monto superado por el 75% de las facturas. d) Indique el tipo de asimetría. e) Describa gráficamente la distribución. 5) Los salarios de los empleados de una sucursal se agrupan a continuación:

Salario en $ Empleados 400 – 600 11 600 – 800 15 800 – 1000 10 1000 – 1200 8 1200 – 1400 3 1400 – 1600 2 1600 – 1800 1

a) Calcule el salario medio, la mediana y el coeficiente de variación. b) Grafique la distribución de salarios. c) Indique el tipo de asimetría y justifique. d) ¿Cuál es el salario máximo del 20% de los empleados que menos ganan? e) ¿Qué porcentaje de los empleados gana más de $1.100? 6) En un proceso productivo, el porcentaje diario de piezas defectuosas es una variable aleatoria de la cual se han registrado 160 observaciones que se agruparon en el siguiente cuadro:

x (%) fi (días)

0 - 2 4

2 - 4 26

4 - 6 50

6 - 8 35

8 – 10 25

10 – 12 14

12 – 14 6

a) Calcule la media y el coeficiente de variación de estos datos. b) Dibuje el histograma de frecuencias. c) Indique el tipo de asimetría. d) Calcule el valor de la variable superado el 90% de los días.

Resp: a) x =6,46 S=2,8081; d) 2.92%


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7) El consumo diario de agua (medido en miles de litros) en una curtiembre responde a la siguiente distribución de frecuencias:

Consumo x día Días

20 – 30 1 a) Calcule la media, el coeficiente de variación y dibuje el histograma.

30 – 40 15

40 – 50 39 b) Calcule el porcentaje de los días que: (x>32) y (x<51).

50 – 60 32 c) Calcule la mediana. d) Calcule el valor de la variable superado por el 10% de los días.

60 – 70 11

70 – 80 2

Resp: a) x =49,3 CV = 20%; b) 96%, 58,2%; c) Me=48,71; d) 62,72.

8) Se tomaron datos de 200 establecimientos agropecuarios en una región agrícola, registrándose para cada uno los rendimientos de la cosecha de girasol obtenidos en la última campaña, con los siguientes resultados (kg/ha)

Rendimiento Establecimientos

1400 - 1500 2 a) Calcule el rendimiento promedio y su desvío estándar.

1500 - 1600 7 b) ¿Qué porcentaje de los establecimientos ha superado

1600 - 1700 26 los 2000 kg/ha.

1700 - 1800 64 c) Calcule el rendimiento garantizado para la región con 90 % de

1800 - 1900 57 confianza.

1900 - 2000 33 d) Calcule el coeficiente de variación y saque conclusiones.

2000 - 2100 10

2100 - 2200 1

Resp: a) x =1805,5 S= 123.88 b) 5,5% c) 1642,31 d) 6,86%


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Trabajo Práctico 5: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS. 1) Una máquina llenadora de latas de café dosifica cantidades variables con distribución Normal de desvío estándar 15 gramos. A intervalos regulares se toman muestras de 10 envases con el fin de estimar la dosificación media. Una de estas muestras arrojó una media de 246 gramos. a) Estime la dosificación media con un 90% de confianza. b) ¿Cuántos envases más habría que pesar para poder obtener una estimación cuyo error de muestreo fuera 5 gramos? Resp: a) Entre 238 y 254 gramos. b) 15 envases más. 2) Una empresa dedicada a la fabricación de envases de vidrio, cuenta con un plantel numeroso de operarios, y desea estimar el tiempo medio de tardanza de los mismos. El estudio se realizará sobre la base de las tarjetas horarias, estableciendo que: a) El máximo error muestral admitido debe ser de 2 minutos; b) el nivel de confianza del 99%; c) el desvío estándar poblacional es de 5 minutos, conocido por ensayos anteriores. a) Calcule el tamaño adecuado de muestra. b) Se toma la muestra y se obtiene que la tardanza media es de 15 minutos. Estimar la tardanza media de todo el personal. Resp: a) 42 tarjetas. b) Entre 13 y 17 minutos. 3) En una fábrica de materiales eléctricos se desea estimar el peso promedio del último lote de rollos de alambre de cobre salido de producción. Para ello se eligió al azar una muestra de 20 que arrojó un promedio de 38 kg. Se conoce además, de registros históricos, el desvío poblacional, que vale 4,2 kg. a) Estime el peso medio de los rollos con un 95% de confianza. b) ¿Cuántos rollos más habría que pesar para poder obtener una estimación cuyo error de muestreo fuera 1 kg? Resp: a) Entre 36,2 y 39,8 kg. b) 48 rollos más. 4) En una ciudad del interior del país se tomó una muestra de 285 familias con la finalidad de analizar el ingreso mensual familiar, y se obtuvo una media de $1.231. Suponga que el desvío estándar de los ingresos asciende a $672. a) Estime el ingreso promedio mensual de todas las familias de la ciudad con una confianza del 90 %. b) Repita la estimación pero utilizando una confianza del 99%. c) Calcule la amplitud de ambos intervalos. ¿Es razonable que el segundo intervalo tenga una amplitud

mayor que el primero? d) ¿Cuántas familias más se deberían incluir en la muestra para reducir el error de muestreo de la

estimación del punto a) en un 20 %? Resp: a) Se estima que el ingreso promedio mensual familiar está comprendido entre $1.165,52 y $1.296,48; b) [$ 1128; $ 1334]; c) $ 130.96 y $ 206; d) Se deberían incluir 161 familias más en la muestra. 5) El dueño de un comercio minorista desea estimar el tiempo promedio que demanda la atención de cada cliente, y sabe por estudios anteriores que dicho tiempo se distribuye normalmente con desvío estándar igual a 4,215 minutos. A tal efecto, registró la cantidad de minutos que le insumió la atención de seis clientes elegidos al azar y obtuvo los siguientes datos: 15 – 12 – 8 – 23 – 15 – 11 a) Efectúe la estimación requerida con un nivel de riesgo igual al 2 %. b) ¿Cuántos clientes más se debería observar para reducir el error de muestreo anterior en 1 minuto? c) Basándose en la muestra original el comerciante estimó que el tiempo promedio de atención por

cliente oscila entre 12,142 minutos y 15,858 minutos. ¿Cuál es el nivel de confianza de esta estimación?

Resp: a) [10; 18 min] b) 5 clientes más c) NC = 72 %


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6) Como parte de su control de calidad, la Química Erovne mide la temperatura, en °C, durante el ciclo de fabricación de un producto. Se sabe por registros históricos que la temperatura en dicho paso se distribuye normalmente con un desvío estándar de 3°C. a) Si se desea estimar la temperatura media de un ciclo de fabricación con una confianza del 95% y un

máximo error muestral de 2.5°C, ¿cuántas mediciones deberán efectuarse? b) Efectuadas las mediciones indicadas en a) se obtuvo una temperatura promedio de 92 °C. Efectúe la

estimación solicitada. c) ¿Podría considerarse que la media de todo el ciclo de fabricación es de 94°C? Justifique. Resp: a) 6 mediciones; b) [89.6°C; 94.4°C]; c) Sí, porque está comprendido dentro del intervalo de confianza. 7) Las anchoas en filetes se envasan a mano en cierta empresa, a fin de garantizar una presentación óptima del producto. Interesa obtener una estimación de la velocidad de llenado de las latas por los operarios, para lo cual se registró la cantidad de latas completadas por cada operario por hora. Los resultados fueron:

Velocidad (latas/hora)

Cantidad de operarios

10-20 3

20-30 11

30-40 9

40-50 2

Dado que esta estimación se efectúa periódicamente en la empresa, se conoce el desvío estándar de la velocidad de llenado, que es de 8 latas/hora. a) Estime puntualmente la velocidad promedio de llenado manual de latas. b) Estime la velocidad promedio de llenado manual de latas con una confianza del 90%. c) Ídem anterior, pero con una confianza del 99%. ¿Es razonable que este intervalo tenga mayor

amplitud que el anterior? Resp: a) 29 latas/h; b) [26.37; 31.63 latas/h]; c) [24.88; 33.12 latas/h] 8) A fin de mejorar la programación de turnos con pacientes, cierto centro médico desea estimar el tiempo que pasan los médicos de cabecera con cada paciente en el consultorio. Con tal fin se toma una muestra aleatoria de 20 citas, con las siguientes duraciones de consulta (en min): 15 5 18 32 28 10 14 19 25 7 12 8 16 12 9 13 20 5 17 20 a) Estime puntualmente el tiempo promedio de cada consulta y su desvío. b) Estime el tiempo promedio de cada consulta con una confianza del 90%. c) ¿Cuántas observaciones más se deberían obtener para reducir el error muestral del punto b) a la

mitad? Resp: a) 15.25 y 7.38 min; b) [12.4 min; 18.1 min]; c) 55 citas más. 9) El contador de una firma comercial elige al azar 10 de las facturas emitidas en el día de ayer y encuentra los siguientes montos en pesos:

142 – 38 – 76 – 24 – 187 – 95 – 129 – 82 – 63 – 74

a) Estime el monto promedio de las facturas emitidas ayer, con = 0.10 b) Determine el tamaño de muestra necesario para efectuar la estimación con un error de muestreo

igual a $15 manteniendo el mismo nivel de confianza.

c) Estime el monto promedio máximo de las facturas emitidas ayer, con = 0.10. ¿Por qué no coincide con el límite superior del intervalo construido en el punto a)?

Resp: a) [62,37; 119,63]; b) 32 facturas; c) $112.60.


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10) El consumo de bebidas alcohólicas por adolescentes constituye un problema creciente. Una comisión integrada por profesionales de la salud en cierta localidad del interior está interesada en conocer el nivel de consumo de alcohol en dicho grupo de riesgo. Para ello llevaron a cabo una encuesta anónima en 40 adolescentes elegidos al azar, a los cuales se interrogó sobre la cantidad y tipo de bebida que aproximadamente consumían por semana. Los resultados, convertidos en litros netos de alcohol etílico, fueron:

Consumo (litros)

Cantidad de encuestados

0-0,2 12

0,2-0,4 11

0,4-0,6 8

0,6-,08 5

0,8-1,2 4

a) Estime puntualmente el consumo semanal promedio de alcohol de los adolescentes de dicha

localidad y su desvío estándar. b) Estime mediante un intervalo de confianza del 95% el consumo semanal promedio de alcohol. c) ¿A cuántos adolescentes más se debería encuestar si se desea efectuar la estimación con un error

muestral de ± 0.06 litros? Resp: a) 0.4 y 0.285 litros; b) [0.31; 0.49 litros]; c) 50 más. 11) Para controlar la precisión de una máquina que corta piezas pequeñas de acero se toma una muestra de 35 piezas y al analizar la longitud de las mismas se encuentra un desvío estándar igual a 8 milímetros. Estime con una confianza del 99 % el desvío estándar de las longitudes de toda la producción. Resp: entre 6,08 mm y 11,48 mm. 12) Un inspector tomó una muestra de 5 latas de gaseosas, verificó el contenido en litros de las mismas y encontró: 0,48 – 0,51 – 0,45 – 0,43 – 0,52 litros a) Estime puntualmente el correspondiente desvío estándar poblacional. b) Estime el desvío estándar poblacional con NC = 90 %. Resp: a) 0.038 litros; b) [0,025; 0,090 litros]. 13) Se han tomado datos de tensión de rotura, en Kg/mm², de una aleación de aluminio, obteniéndose: 37,6; 38,4; 38,8; 37,9. Calcule los límites de confianza del 90% para el desvío estándar. Resp: a) 0,3293; 1,55. 14) El peso de los ovillos de hilo que salen de una ovilladora tiene distribución Normal con un desvío estándar que se controla periódicamente con muestras de 20 ovillos. Una de dichas muestras arrojó un desvío de 15 gramos. Calcule los límites de confianza del 95% para el desvío. Resp: a) 11,41; 21,91. 15) La asociación médica de una importante ciudad está interesada en investigar la incidencia del tabaquismo, y para ello selecciona una muestra de 500 habitantes y comprueba que 140 de los consultados son fumadores. a) Estime con una confianza del 90% la proporción de fumadores de la ciudad.

b) Si se desea que el error de muestreo de la estimación anterior no supere el 2%, ¿cuántos habitantes

más deberían consultarse? c) Un grupo de médicos de otra ciudad desea realizar una investigación similar y obtener una

estimación del porcentaje de fumadores con las mismas características planteadas en el punto anterior, pero no cuenta con ningún dato previo acerca del valor de dicho porcentaje en su ciudad. ¿Cuántos habitantes debería consultar?

Resp: a) [0,247; 0,313]; b) 864 habitantes más; c) 1692.


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16) Se llevó a cabo una encuesta entre 352 usuarios de Internet y se comprobó que solo 39 de ellos efectuaron alguna compra por ese medio en el último año. a) Estime puntualmente la proporción de todos los usuarios de Internet que efectúan compras por ese

medio. b) Estime la proporción de todos los usuarios de Internet que efectúan compras por ese medio con una

confianza del 95%. c) ¿Cuántos usuarios deberían ser encuestados si se quiere tener un error muestral del 1%? d) ¿Puede afirmarse que el 13% al menos de todos los usuarios de Internet efectuaron alguna compra

por ese medio el último año? Resp: a) 0,111; b) [0.078; 0.144]; c) 3791 usuarios; d) No. 17) Para una investigación de mercado, se desea estimar el porcentaje de actuales compradores de cierto yogurt que comprarían una presentación del mismo producto pero de mayor contenido. a) Si se desea estimar el porcentaje de futuros compradores en ± 10% con un riesgo del 5%, ¿cuántos

consumidores deberán ser interrogados? b) Efectuada la encuesta, 56 clientes respondieron que comprarían la nueva presentación. ¿Cuál sería el

intervalo de confianza resultante? Resp: a) 97 consumidores; b) [0.479; 0.676]. 18) Como parte de la política de satisfacción total del cliente, una empresa automotriz desea conocer el nivel de aceptación del modelo Theo que salió al mercado hace 6 meses y ya vendió 7300 unidades. Para ello, contacta al azar a 523 compradores de dicho modelo y los somete a un cuestionario, que entre otras cosas, pregunta lo siguiente:

¿Está satisfecho con su compra? Muy satisfecho Medianamente satisfecho Insatisfecho

¿Ha tenido algún desperfecto con su vehículo? SI NO Las respuestas fueron:

¿Está satisfecho con su compra?

Muy satisfecho Medianamente Satisfecho

Insatisfecho

Cantidad de respuestas 291 159 73

¿Ha tenido algún desperfecto con su vehículo? SI NO

Cantidad de respuestas 138 385

a) Estime con un nivel de confianza del 90% el porcentaje de todos los compradores que están

satisfechos con el producto. b) Estime con la misma confianza el porcentaje de todos los compradores que sufrieron algún

desperfecto con el vehículo. Resp: a) [83,55; 88,53]; b) [23.22; 29.56].


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Trabajo Práctico 6: ENSAYOS DE HIPÓTESIS. 1) El control de recepción de las partidas de un tipo de hilo de coser industrial, se realiza pesando una muestra de 10 ovillos de cada partida, rechazando la partida si el peso medio de la muestra resulta inferior a cierto valor crítico. El valor mínimo admisible del peso medio de los ovillos de toda la partida es de 250 gramos y la probabilidad máxima de rechazar una partida que cumple con dicha especificación es del 5%. Se sabe además, por disponer de registros históricos extensos, que el desvío estándar de esta variable es de 15 gramos. Indicar la hipótesis nula apropiada a esta situación, su condición de rechazo y la regla de decisión.

Resp: Ho) .2500 grs CR: x c =242g; RD: Si se rechaza la hipótesis, se rechaza la partida.

2) Una carpintería de Capital Federal recibe periódicamente grandes partidas de madera de cedro procedentes de un aserradero de Salta. Una partida se considera aceptable si la longitud media de sus tablas es mayor o igual que 4 mts. Al examinar una muestra de 5 tablas de una partida recién recibida, se obtuvieron los siguientes resultados en metros: 3,8 - 3,74 - 3,98 - 4,1 - 3,9. Se sabe además que la longitud de las tablas se distribuye Normalmente con un desvío estándar de 0,15 metros. ¿Considera Ud. aceptable esta partida si se establece en 5% la probabilidad de rechazarla indebidamente? Justifique conceptualmente el planteo optimista de la hipótesis. Resp: Sí. 3) El consumo de combustible de un automóvil para un determinado recorrido es una variable aleatoria de la cual se ha tomado una importante cantidad de datos que han arrojado una media de 11,2 litros con un desvío estándar de 1,3 litros, valores estos que pueden considerarse parámetros poblacionales. Se desea ensayar el efecto de un nuevo aditivo con el que se espera reducir el consumo medio y, de confirmarse esta suposición, se lanzará al mercado. Dados los costos implicados, se establece un riesgo del 5% de lanzar el producto cuando no produce el efecto deseado. Se realiza una prueba preliminar en la cual, sobre 10 corridas -de igual recorrido- se registra un consumo medio de 10,6litros. Parece razonable asumir que el desvío estándar no se modificará. ¿Considera Ud. que el resultado de la prueba es concluyente? Resp: No. 4) Un cliente recibe habitualmente una partida de medidores eléctricos que, según las especificaciones del contrato, el promedio de las pérdidas debe ser menor o igual a 1 watt. Una muestra de 10 medidores, de una partida recién recibida, arroja una pérdida media de 1,06 watts. Se sabe además, por experiencia anterior, que las pérdidas se distribuyen Normalmente con un desvío de 0,1 watts. Asumiendo en un 10% la probabilidad de rechazarla indebidamente, ¿puede aceptarse la misma? Resp: No. 5) Una cadena de supermercados considera la posibilidad de cambiar sus máquinas registradoras por otras más modernas lanzadas al mercado recientemente. Se ha establecido la conveniencia de la inversión si se puede asegurar que el tiempo medio de atención por cliente ha de ser inferior a los 2 minutos y se desea que valga 5% la probabilidad de tomar una decisión errónea en tal sentido. Se sabe que, con las máquinas actuales, el desvío estándar respecto del tiempo de atención es de 1,5 minutos, teniéndose razones fundadas para asumir que con las máquinas nuevas no ha de modificarse. Se realizó un ensayo con las máquinas nuevas, en el cual se atendieron 40 personas en 68 minutos. ¿Cuál sería, con esta información, la decisión recomendada? Resp: a) No comprar las nuevas máquinas. 6) El consumo diario de combustible en una planta industrial es variable con distribución aproximadamente Normal y desviación estándar 23 litros. Se considera la posibilidad de introducir una modificación en el proceso tecnológico, que sólo se justificará si se logra obtener un consumo medio inferior a 200 litros. A efectos de tomar una decisión, se trabajó durante 5 días con el proceso modificado obteniéndose un consumo medio de 180 litros. ¿Aconsejaría Ud. efectuar tal modificación con probabilidad máxima de error del 5%? Resp: a) Sí.


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7) Un torno automático produce una pieza cuya longitud tiene distribución Normal con un desvío estándar de 0,1cm. Si está bien ajustado, la media es de 2cm, pero cuando la herramienta de corte adopta una posición incorrecta, dicho promedio se altera, aumentando o disminuyendo, sin llegar a modificarse el desvío estándar; en ese caso debe corregirse la posición de la herramienta. Una muestra de 10 piezas arrojó una longitud media de 2,04cm. Si se establece en un 10% la probabilidad de concluir erróneamente que el torno está desajustado, ¿cuál sería su conclusión? Resp: El torno no necesita ajuste. 8) Las ventas mensuales de un producto son variables con una media de 700.000 unidades. Durante 5 meses se ha desarrollado una campaña publicitaria registrándose los siguientes volúmenes de venta en miles de unidades: 607; 725; 784; 790 y 810. a) ¿Considera Ud. que estos datos arrojan una concluyente evidencia para poder afirmar con un riesgo máximo del 1% que la campaña ha sido efectiva? b) Estimar el volumen medio de ventas con un 95% de confianza. c) ¿Durante cuántos meses más habría que continuar con la campaña si se pretende disminuir en un 50% el error muestral de la estimación anterior? Resp: a) No; b) Entre 640.814 y 845.586 unidades; c) 8. 9) El departamento de producción de una empresa ha resuelto instalar un nuevo dispositivo en el proceso productivo si existe una razonable seguridad de que la producción por hora aumenta en un 10 % como mínimo. Actualmente la producción media es de 100 unidades por hora. Se establece en un 5% el riesgo máximo de instalar equivocadamente el nuevo dispositivo y, a efectos de tomar una decisión, se realiza una prueba durante 50 horas obteniéndose un promedio de 120 unidades con un desvío estándar de 10 unidades. ¿Qué decisión tomaría Ud.? Resp: Instalar el nuevo dispositivo. 10) Una pequeña fábrica de pinturas ha desarrollado un producto que puede competir en calidad y precio con el de la empresa líder del ramo. Se ha establecido la conveniencia de su lanzamiento si se puede asegurar una venta media mínima de 100 lt por cliente y por año. A tal efecto, se enviaron muestras gratis a 16 posibles clientes, interrogándoselos luego sobre el volumen anual de pintura que estarían dispuestos a comprar. Se obtuvo así una media muestral de 114lt con un desvío estándar de 18lt. a) Asumiendo un riesgo del 10%, ¿cuál sería la decisión recomendada? b) Calcular los límites de confianza del 90% para el volumen medio de pintura. c) ¿A cuántos clientes más habría que enviar muestras para poder dar un intervalo cuya amplitud sea la mitad del anterior? Resp: a) Lanzar el producto; b) 106; 122; c) 43. 11) Una empresa radicada en el interior del país comenzará una campaña de ventas si el ingreso medio de las familias de la zona supera los $10.000 por mes. A efectos de tomar una decisión se toma una muestra de 100 familias registrándose un ingreso medio en el último mes de $11.000 y un desvío estándar de $9.200. Asumiendo un 1% de probabilidad de comenzar la campaña equivocadamente, ¿aconsejaría Ud. comenzar la campaña de ventas? Resp: a) No. 12) Una empresa que produce galletitas desea controlar el funcionamiento de una máquina empaquetadora que, en condiciones normales, el peso medio de los paquetes debe ser 250 g. Se tomó una muestra de 20 paquetes obteniéndose un peso medio de 280 g y una desviación estándar de 15 g, y se establece en un 1% el riesgo máximo de detener y revisar la máquina si funciona correctamente. Luego de evaluar los resultados de la muestra se decide detener la máquina y revisarla. ¿Considera Ud. que la decisión tomada es correcta? Resp: a) Sí. 13) Una máquina envasadora de botellas de gaseosas dosifica volúmenes variables cuyo desvío estándar no debe superar los 15 cm3. Se controla periódicamente tomando muestras de 10 envases y midiendo los volúmenes dosificados. Una de las muestras arrojó un desvío de 18,2 cm3. ¿Recomendaría Ud. detener la máquina y revisarla con un riesgo máximo del 5%? Resp: No.


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14) Una compañía embotelladora considera la posibilidad de comprar una nueva máquina dosificadora si se puede asegurar que el desvío estándar de los volúmenes dosificados es menor que 15cm3, y a efectos de tomar una decisión se realiza una prueba con 20 envases arrojando un desvío estándar de 12,5cm3. ¿Recomendaría comprar la máquina con un riesgo máximo del 5%? Resp: No. 15) La volatilidad de una acción está dada por el desvío estándar de su cotización diaria. A mayor volatilidad mayor riesgo, pero también mayor posibilidad de obtener ganancias en el corto plazo. Durante los últimos 20 días se obtuvo, para una acción dada, un desvío estándar de $0,25. ¿Puede asegurar, con 10% de riesgo, que el desvío verdadero es superior a $0,20? Resp: Si. 16) El control de la variabilidad de los pesos de suelas de goma se realiza tomando muestras periódicas de 10 unidades, deteniendo el proceso tecnológico en caso de que el desvío S de los pesos tome un

valor anormalmente alto. El valor considerado normal para el desvío de la población es de =5 gramos

como máximo y, de ser así, la probabilidad de detener el proceso se ha establecido en un 5%. Calcular el valor crítico del desvío estándar S de las muestras. Resp: 6,86 gramos 17) Una empresa comercializadora de cosméticos ha diseñado un nuevo catálogo para promocionar un producto, con el cual espera aumentar el porcentaje de clientes compradores en 2 puntos. Con el catálogo actual, se sabe que cada vez que el mismo se envía a potenciales clientes, el porcentaje de compradores es del 8%. Para probar la efectividad del nuevo catálogo se envían 100 a posibles clientes y al tiempo se reciben 14 pedidos. ¿Considera que la prueba ha sido concluyente para cambiar de catálogo asumiendo un 5% de riesgo? Resp: No. 18) Una empresa productora de bebidas gaseosas iniciará una campaña publicitaria televisiva si el porcentaje de televidentes que ven programas deportivos en forma continuada es superior al 60%. A efectos de tomar una decisión se analiza una muestra de 500 televidentes comprobando que 325 de ellos ven programas deportivos en forma continuada, y se establece en un 10% el riesgo máximo de iniciar la campaña cuando el porcentaje no supera el 60%. ¿Aconsejaría Ud. iniciar la campaña? Resp: Sí. 19) El proceso productivo de una pieza trabaja en condiciones normales con un 12% de unidades defectuosas. Este porcentaje se controla periódicamente tomando muestras de 50 unidades y contando cuántas defectuosas hay. Si el proceso está bajo control, la probabilidad de detenerlo y revisarlo debe valer 0,05. ¿Cuántas defectuosas se deberán encontrar en la muestra de 50 para detener el proceso y revisarlo? Resp: Por lo menos 10.


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Trabajo Práctico 7: SERIES CRONOLÓGICAS Y NÚMEROS ÍNDICE. 1) Una compañía global basada en ciencia para el cuidado de la salud y pionera en biotecnología vende sus productos terapéuticos. En la siguiente tabla aparecen las ventas netas de 1997 a 2004. Las ventas netas se expresan en millones de dólares:

Año 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Ventas Netas 6714 7991 9075 9775 9762 10180 12334 15272

Ajuste una ecuación de tendencia lineal ¿Cuáles son las ventas estimadas para 2005? 2) Las cantidades de vidrio de desecho producido por una empresa especializada en cristalería de laboratorio y tubos de cristal se muestran a continuación:

Año 2002 2003 2004 2005 2006 Desecho (Toneladas) 2 4 3 5 6

Ajuste una ecuación de tendencia lineal y estime la cantidad de desecho para 2008. 3) Un importante parque de diversiones tiene la siguiente cantidad de visitantes cada trimestre de 1999 a 2003:

I II III IV 1999 155 231 270 105 2000 182 255 315 294 2001 160 250 280 297 2002 210 310 365 335 2003 225 325 384 386

a) Construya el promedio móvil centrado de cuatro trimestres para estos datos y determine los porcentajes del promedio móvil para los trimestres. b) Determine los índices estacionales para desestacionalizar la serie de tiempo original. 4) El propietario de una empresa metalúrgica desea estudiar el ausentismo entre sus empleados. Para ello durante los últimos tres años registró el siguiente número de ausencias entre sus empleados, en días por trimestre

I II III IV 2004 4 10 7 3 2005 5 12 9 4 2006 6 16 12 4

a) Determine un índice estacional habitual para cada uno de los cuatro trimestres. b) Utilice los índices estacionales que se calcularon para determinar las ausencias desestacionalizadas. c) Halle la ecuación de tendencia lineal con base en los datos trimestrales para los tres años. d) Proyecte las ausencias ajustadas por temporada para 2007. 5) Una empresa reportó $17.446 (millones) en préstamos comerciales en el año 2000, $19.989 en el año 2002, $21.468 en el año 2004, $21.685 en el año 2005, $15.922 en el año 2007 y $18.375 en el año 2009. Utilice 2000 como año base y desarrolle un índice simple para el cambio en el monto de préstamos comerciales para los años 2002, 2004, 2005, 2007 y 2009. Interprete dichos índices en términos del problema.


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6) A continuación se detallan los precios de diferentes productos de una verdulería para agosto de 2005 y agosto de 2006. Además se incluyen las cantidades compradas. Utilizar agosto de 2005 como base.

Producto Precio Cantidad Precio Cantidad Lechuga $2,49 6 $2,69 6 Papas $3,29 4 $3,59 5 Tomates $1,59 2 $1,79 3 Morrones $1,79 3 $2,29 4

Agosto de 2005 Agosto de 2006 a) Determine los índices de precios simples. b) Determine el índice de precios agregado simple para los dos años. c) Determinar el índice de precios de Laspeyres. d) Determinar el índice de precios de Paasche. 7) Los precios y la cantidad de varios artículos producidos por una empresa se presentan a continuación. Utilice el año 2000 como base

Precio Cantidad Precio Cantidad Arandela $0,07 17.000 $0,10 20.000 Chaveta $0,04 125.000 $0,03 130.000 Perno p/estufa $0,15 40.000 $0,15 42.000 Tuerca Hexag $0,08 62.000 $0,10 65.000

2000 2005 a) Determine los índices de precios simples. b) Determine el índice de precios agregado simple para los dos años. c) Determine el índice de precios de Laspeyres. d) Determinar el índice de precios de Paasche. 8) La empresa Electronics Systems compra repuestos para máquinas robóticas utilizadas en su proceso de manufactura. A continuación se detalla información del precio de las partes de repuesto y la cantidad comprada:

Parte 2000 2006 2000 2006 RC-33 $0,50 $0,60 320 340 SM-14 $1,20 $0,90 110 130 WC-50 $0,85 $1,00 230 250

Precio Cantidad a) Calcule un índice de precios simple para cada uno de los tres artículos, utilizando 2000 como periodo base. Interprete. b) Calcule el índice de precios de Laspeyres para 2006 con 2000 como periodo base. 9) A continuación se listan los principales países productores de acero, en millones de toneladas durante 2004.

País Cantidad (millones de toneladas) China 197 Comunidad Europea 144 Japón 103 Estados Unidos 78 Rusia 52


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a) Exprese la cantidad producida por China, la Comunidad Europea, Japón y Rusia como índice, utilizando a Estados Unidos como base. b) ¿Qué porcentaje produce China más que Estados Unidos? 10) Se presenta a continuación la cotización de cereales y oleaginosas en puerto de Bahía Blanca:

10/12/2007 10/01/2006 10/01/2007 03/01/2007 Trigo 360.00 $/ton 340.00 $/ton 357.00 $/ton 335.00 $/ton Soja 590.00 $/ton 535.00 $/ton 595.00 $/ton 547.50 $/ton Girasol 585.00 $/ton 475.00 $/ton 570.00 $/ton 470.00 $/ton Fuente: Bolsa de Cereales y Productos de Bahía Blanca

Se pide calcular el índice simple de precios para el trigo, soja y girasol, para el 10 de Enero de 2007 respecto de: a) la semana anterior; b) el mes anterior, y c) el año anterior. 11) Los datos referentes a la producción de pelo mohair en Kg en la Patagonia, se detallan a continuación: 1995 1996

Chubut 85.071 78.332 Neuquén 124.531 112.223 Río Negro 137.000 134.533

a) Exprese la cantidad producida del año 1996 tomando 1995 como base para cada provincia. b) Utilice un índice agregado de cantidades para resumir la información anterior en un solo indicador. Compare este índice con los tres anteriores. c) Para el año 1995, en qué proporción la producción de Río Negro supera a la de Chubut. Provincia 1995 1996 12) Considere una economía en la que sólo se consumen dos bienes, carne y leche. Suponga que se dispone de la siguiente información sobre consumos y precios de ambos bienes y que esa información se utiliza para calcular los índices de precios del consumo Laspeyres y Paasche:

CARNE LECHE Precio Consumo Precio Consumo ($) (Kg) ($) (Lts)

Año 2006 2 180 3 90 Año 2007 5 130 2 110

El año base es 2006. Indique cuál de las siguientes opciones corresponde a los índices de precios Laspeyres (IPL) y Paasche (IPP): a) IPL=171,4 IPP=147,5; b) IPL=130,1 IPP=158,9: c). IPL=147,5 IPP=171,4; d). IPL=171,4 IPP=130,1, y e) IPL=158,9 IPP=130,1.


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Trabajo Práctico 8: REGRESIÓN LINEAL. 1) Se desea establecer una ecuación para pronosticar el Producto Bruto Interno de Argentina correspondiente al Sector Agropecuario, Silvicultura y Pesca en función del área sembrada X de las 5 oleaginosas principales (soja, maní, girasol, algodón y lino), a partir de los siguientes datos (datos reales): Año Área en 106 Hs PBI en millones de $ 1974 3,0402 8,014 1975 2,9819 7,891 1976 3,0934 8,207 1977 3,805 8,31 1978 5,423 8,45 a) Calcular el pronóstico del año 1979, cuyo PBI observado fue 8,88 para un área sembrada de 5,401. b) Analizar el ajuste de los datos al modelo lineal. c) Establecer límites del 90% para dicho pronóstico. Resp: a) 8,49. b) R=0,837. c) 8,03; 8,95. 2) Los siguientes datos han sido tomados para estudiar la relación entre las ventas de un producto (Y en miles de unidades) y la relación X Precio del competidor/Precio del propio producto: X: 0,80 0,75 0,60 0,92 0,86 Y: 36,4 32,1 32,3 40,3 37,1 a) Investigue la asociación lineal mediante los dos criterios básicos. b) Suponiendo que exista relación, calcule la venta mínima que se obtendrá con 90% de probabilidad en un mes en que la relación X es igual a 0,8. 3) Un ensayo de marketing se realizó para estudiar la relación entre el tiempo que requiere un comprador para decidirse en su compra y el número de presentaciones distintas del producto exhibidas. Las marcas se eliminaron de los productos para neutralizar el efecto de las preferencias. Los compradores seleccionaron los artículos basados exclusivamente en las descripciones y diseños de las presentaciones de cada producto. El tiempo utilizado hasta llegar a una selección fue registrado para los 15 participantes en el estudio: Tiempo (seg.): 5 8 8 7 9 7 9 8 9 10 10 11 10 12 9 Presentaciones: 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 a) Halle la recta de mínimos cuadrados. b) ¿Presentan los datos suficiente evidencia que indique que el tiempo requerido para decidir está linealmente relacionado al número de presentaciones? ^ Resp: a) Y = 4,3 + 1,5X. b) Sí. 4) En un estudio de distintos fondos para inversión se desarrolló un procedimiento consistente en construir la llamada recta característica para cada posible fondo. Esta es la recta de regresión de la rentabilidad del fondo considerado sobre la rentabilidad promedio del mercado bursátil. Si para un fondo de inversión la pendiente de su recta es significativamente distinta de cero, se dice que el fondo es muy sensible a las fluctuaciones de la bolsa de valores y por ende es una inversión riesgosa. Si el fondo tiene una recta con pendiente cercana a cero se dice que es una inversión estable y de poco riesgo. La rentabilidad del fondo "Penn Square Mutual" y la rentabilidad promedio en el mercado bursátil se han observado en el período 1964 a 1973 y se dan en la siguiente tabla:


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Año 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 Fondo 18,4 29,7 -12,3 10,8 23,6 -16,2 5,8 7,2 7,7 -8,8 Bolsa 12,9 9,1 -13,1 20,1 7,7 -11,4 0,1 10,8 15,6 -17,4 a) Halle la recta de regresión de la rentabilidad del fondo "Penn Square Mutual" en función de la rentabilidad promedio en el mercado bursátil. b) Halle un intervalo de confianza del 95% para el coeficiente de regresión. ^ Resp: a) Y = 3,5504 + 0,8836X

b) 0,2713 ß1 1,4959. 5) Considere una compañía distribuidora de gas natural que desea predecir la demanda diaria de una ciudad, de un día para el siguiente, a partir del pronóstico de la temperatura media. A tal efecto, registró datos de 10 días que, luego de procesados, arrojaron

Pronóstico de Temperatura media (ºC): Xi=97; Xi²=1169

Demanda de Gas (105 m3): Yi=21,16; Yi²=48,68

Xi.Yi=180,9326

a) ¿Puede asegurar que por cada grado que desciende la temperatura, la demanda de gas aumenta en más de 7000m3? b) Si para un día el pronóstico es de 5ºC, ¿qué demanda mínima de gas puede asegurarse con 90% de probabilidad? 6) Un Jefe de Producto desea convencer a la Gerencia de que, por cada dólar que se invierte en publicidad, pueden esperar un aumento de 3 dólares al menos en las ventas. A tal efecto, presenta la siguiente tabla de datos (en miles de dólares)

Gastos en publicidad 5 - 7,2 - 6,3 - 4,2 - 5,4 - 6,8 Xi = 34,9; Xi2 = 209,57

Ventas 72 - 79 - 73 - 59 - 67 - 69 Yi = 419; Yi2 = 29485

Xi.Yi = 2467,5

¿Considera Ud. que los datos confirman la afirmación del Jefe de Producto? 7) El continuo aumento en el precio del petróleo en los últimos años ha originado un aumento en los costos para el industrial que tiene que transportar sus bienes al mercado. Para abatir esos costos de transporte, el industrial ha sustituido los medios usuales de transporte por otros más baratos; por ejemplo el flete ferroviario en lugar de carga aérea. En un estudio hecho en una compañía para estudiar los costos de transporte aéreo, se seleccionaron al azar 9 facturas para estimar la relación entre el costo por unidad transportada y la distancia recorrida. Los resultados se presentan en la siguiente tabla: Distancia (por 100 Km.) 6 13 27 15 9 11 21 14 12 Costo ($/unidad transportada) 49 93 159 115 66 90 139 98 88 a) Halle la recta de mínimos cuadrados. b) Estime el costo medio de transporte por unidad para aquellas cargas que se enviarán a 1.700 km. con un 90% de confianza. ^ Resp: a) Y = 24,7125 + 5,2702X. b) $109,4 E(Y/X=17) $119,2.


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8) Se condujo un experimento en un supermercado para estudiar la relación entre la cantidad de espacio destinado a un determinado café y su volumen de ventas semanales. La cantidad de espacio destinado en la estantería se varía en exhibidores de 3, 6 y 9 anaqueles al azar durante 12 semanas, mientras que para las otras marcas de café, se mantuvieron constantes en exhibidores de 3 anaqueles. Los datos del experimento se dan a continuación: Ventas semanales: 526 421 581 630 412 560 434 443 590 570 346 672 Exhibidores: 6 3 6 9 3 9 6 3 9 6 3 9 a) Halle la recta de mínimos cuadrados. b) Halle un intervalo de confianza del 95% para la venta media semanal de café si se presenta en exhibidores de 6 anaqueles. c) Suponga que durante la semana entrante se presentará el café en un exhibidor de 6 anaqueles. Halle un intervalo de predicción del 95% para las ventas semanales. Explique la diferencia entre este intervalo y el obtenido en el punto anterior. ^ Resp: a) Y = 307,9 + 34,6X.

b) 482,2 E(Y/X=6) 548,6. c) 395,7 Y 635,1. 9) ¿Existe relación entre el consumo de energía de un país y su PBI? Uno estaría dispuesto a suponer que un país con mayor ingreso per cápita requeriría de mayor consumo de energía. Para examinar esta cuestión se eligieron al azar 12 países obteniendo para ellos el consumo per cápita (en libras) y el PBI per cápita (u$s), cuyos valores se presentan en la siguiente tabla: PAIS CONSUMO DE ENERGIA PBI E.E.U.U. 25.598 5.515 Canadá 23.715 4.704 Australia 12.568 3.370 Dinamarca 12.273 3.978 Noruega 10.227 3.779 Francia 9.156 3.810 Japón 7.167 2.757 Italia 6.164 2.170 Venezuela 5.452 1.291 Grecia 3.543 1.382 Brasil 1.173 513 India 410 98 a) Determine mediante un coeficiente adecuado el grado de relación lineal entre el consumo de energía y el PBI. b) ¿Presentan los datos suficiente evidencia sobre la existencia de una relación lineal entre ambas variables? Resp: a) R = 0,915. b) Sí. 10) Una variable independiente que muestre una asociación negativa fuerte con la variable dependiente es tan útil como una que muestre una asociación positiva. El hecho importante es que la relación sea fuerte, esto es, la magnitud absoluta del coeficiente de correlación entre las 2 variables. Considere por ejemplo a las tasas de interés y el número de nuevas construcciones. Las tasas de interés (X) son indicadores clave para predecir el número de construcciones (Y). Suponga que los datos de la siguiente tabla representan las tasas de interés en hipotecas y el registro de nuevas construcciones iniciadas en los 8 años referidos. Año: 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 Tasa de interés: 6,5 6,0 6,5 7,5 8,5 9,5 10,0 9,0 Licencias de Const.: 2165 2984 2780 1940 1750 1535 962 1310


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a) Investigue la asociación lineal entre ambas variables. b) Halle la recta de mínimos cuadrados e interprete ambos estimadores. c) Calcule el coeficiente de correlación e interprete su resultado. d) Si los indicadores económicos indican que la tasa de interés para hipotecas será del 8,5% el próximo año, pronostique el número de licencias de construcción que se otorgarán durante el año entrante mediante un intervalo de predicción del 95%.

Resp: a) El modelo lineal es válido; b) Y = 5.344,22 - 430,358X; b) R = - 0,94; d) 1.015 Y 2.358.

ESTADÍSTICA · 2020. 3. 12. · Resp: a) 1/8; b) 5/11. 16) Una caja tiene 3 bolillas blancas y 7...

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