Estados ligados de potenciales

centrales

P. H. Rivera*

Facultad de Ciencias Físicas

Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú

Ciudad Universitaria, 2 de setiembre del 2015

*priverar@unmsm.edu.pe

1

1. El comportamineto de la autofunción ra-

dial próximo al origen

Las autofunciones de energía proyectadas en el espacio de posición en coor-

denadas esféricas está definido como

〈r|E, l, m〉 = RE,l(r)Yl,m(θ, φ) . (1)

La ecuación de Schrödinger para las autofunciones radiales está dado por

−ℏ

2

2µ

d2

dr2+

2

r

d

dr

+l(l + 1)ℏ2

2µr2+ V (r)

RE,l(r) = ERE,l(r) (2)

la dependencia de R(r) de los subíndices E y l es porque esta autofunción

depende de los valores discretos que toma la energía y del número cuántico

de momento angular orbital. La pérdida de la dependencia de m implica que

el problema tiene una simetría asociada a los posibles valores de l y que se

encuentra 2l + 1 degenerado.

2

Como ya se ha realizado anteriormente consideramos que

RE,l(r) =uE,l

r(3)

obteniendo

−ℏ

2

2µ

d2

dr2+

l(l + 1)ℏ2

2µr2+ V (r)

uE,l(r) = EuE,l(r) , (4)

obviamente se demuestra que la métrica del espacio de Hilbert implica que la

condición de normalización de estas autofunciones se cumple, osea,∫ ∞

0r2drR∗

E,lRE,l =∫ ∞

0dru∗

E,luE,l = 1 . (5)

Aquí se levanta la siguiente pregunta, ¿qué ocurre con las autofunciones

uE,l(r) en regiones próximas a r → 0 y cuando alcanza el origen?

Independiente de la forma de V (r) y debido a la dependencia 1/r2, la

ecuación diferencial, Ec.(4), posee una singularidad conocida en el origen, en

3

r = 0. Para garantizar una solución próximos a este punto debemos añadir una

serie de potencias como solución, supongamos que uE,l(r) = rs, reemplazando

en la Ec.(4), obtenemos que

−ℏ

2

2µs(s − 1)rs−2 +

l(l + 1)ℏ2

2µrs−2 + V (r)rs = Ers (6)

aquí se aprecia que el término rs−2 domina para valores pequeños de r si V (r)

es menos singular que 1/r2, esto significa que,

r2V (r) −→r→0

0 . (7)

Satisfaciendo la Ec.(6) para valores pequeños de r se requiere que los coeficien-

tes de rs−2 obedecen a

−s(s − 1) + l(l + 1) = 0 (8)

del cual se obtienen que s = l + 1 o s = −l. Aquí descartamos la solución

que se comporta como r−l para r pequeño. Para l ≥ 1, estas soluciones no

4

satisfacen la condición de normalización, Ec.(5), debido a que la integral diverge

en los límites bajos. Para l = 0, el comportamiento de u para r pequeño es

una constante y la integral de normalización, Ec.(5), es finita. Pero al ser

finita la función R se comporta como 1/r próximo al origen diverge, lo cual es

inaceptable. Este tipo de funciones no son soluciones de

∇21

r= −4πδ3(r) , (9)

el comportamiento 1/r para una autofunción R(r) no puede satisfacer la ecua-

ción de Schrödinger puesto que la energía potencial no tiene una singularidad

tipo delta de Dirac en el origen. Por ello, descartamos las soluciones tipo r−l

para todos los valores de l. De aquí, solo queda la solución rl+1 luego conside-

ramos que

uE,l −→r→0

rl+1 (10)

5

que satisface

uE,l(0) = 0 . (11)

Conforme l se incrementa, la probabilidad de que la partícula se encuentra en

lugares próximos al origen disminuye.

6

La Ec.(4) posee una energía potencial efectiva dado por

Vef =l(l + 1)ℏ2

2µr2+ V (r) . (12)

donde el primer sumando indica la barrera centrífuga que se incrementa

cuando l se incrementa y tiende a mantener a la partícula lejos del origen, pro-

duciendo el comportamiento de valores pequeños de r para las autofunciones.

El comportamiento descrito en la Ec.(10) implica para la autofunción radial

que

RE,l −→r→0

rl (13)

de modo que la autofunción se anula en el origen para todos los posibles valores

de l, excepto para l = 0, osea los autoestados tipo s.

Este comportamiento se convalida en la observación del aniquilamiento de

un electrón-positrón, pues para aniquilarse ambos deben sobrelaparse espacial-

mente, lo cual ocurre cuando se encuentran en autoestados tipo s.

7

El positronio es formado mediante la captura de positrón lento por un

electrón, generalmente el sistema se encuentra en un estado altamente excitado,

y luego por una secuencia de transiciones radiativas, el sistema finaliza en el

estado fundamental, en el cual l = 0, donde se produce el aniquilamiento del

par partícula-antipartícula.

2. El potencial coulombiano y el átomo de

hidrógeno

El hamiltoniano del átomo hidrogenoide está dado por

H =p

2

2µ−

1

4πǫ0

Ze2

4πǫ0

, (14)

donde Z = 1 para el átomo de hidrógeno. Si consideramos el He+, Li++ y así

sucesivamente, luego Z = 2, 3, respectivamente. La ecuación radial para uE,l

8

está dado por

−ℏ

2

2µ

d2

dr2+

l(l + 1)ℏ2

2µr2−

Ze2

4πǫ0

1

r

uE,l(r) = EuE,l(r) (15)

aqui la energía potencial coulombiana es negativa porque el cero de la energía

se produce cuando r → ∞. La energía potencial V (r) es el trabajo que se

realiza para llevar las partículas desde el infinito a su actual configuración a

una distancia r sin energía cinética.

En este caso determinamos los estados ligados que se encuentran dentro de

este potencial y que se mueven con una energía cinética dada. Como tratamos

con energía negativas aseguramos que E = −|E| e introducimos una variable

adimensional dada por

ρ =

√

√

√

√

√

8µ|E|

ℏ2r, dρ =

√

√

√

√

√

8µ|E|

ℏ2dr,

d

dρ=

√

√

√

√

√

√

ℏ2

8µ|E|

d

dr,

d2

dρ2=

ℏ2

8µ|E|

d2

dr2(16)

9

reemplazando en la Ec.(15), tenemos

−4|E|d2

dρ2+

4|E|l(l + 1)

ρ2−

Ze2

4πǫ0

√

√

√

√

√

8µ|E|

ℏ2

1

ρ

uE,l = −|E|uE,l (17)

dividiendo entre −4|E|, se tiene

d2uE,l

dρ2−

l(l + 1)

ρ2uE,l +

Ze2

4πǫ0

1

2

√

√

√

√

√

2µ

ℏ2|E|

1

ρuE,l −

1

4uE,l = 0 (18)

reescribimos como

d2uE,l

dρ2−

l(l + 1)

ρ2uE,l +

λ

ρ−

1

4

uE,l = 0 (19)

10

donde

λ =Ze2

4πǫ0

1

2

√

√

√

√

√

2µ

ℏ2|E|. (20)

La ecuación diferencial, Ec.(19), la resolvemos primero en el límite en que

ρ → ∞, esto significa que el segundo y tercer término se anulan y queda como

ecuación diferencial la forma

d2uE,l

dρ2−

1

4uE,l = 0 (21)

que tiene las soluciones dadas por

uE,l = A exp[

−ρ

2

]

+ B exp[ρ

2

]

. (22)

La solución que crece exponencialmente no es físicamente una solución para

el problema porque no cumple la condición de normalización, Ec.(5).

11

Hasta aquí tenemos una solución próxima al origen y una solución para

grandes valores de ρ, luego construímos una solución híbrida de la forma

uE,l(ρ) = ρl+1e−ρ/2F (ρ) (23)

muy similar a la construcción de las soluciones del oscilador armónico usando

la mecánica ondulatoria. Desarrollando las derivadas obtenemos

du

dρ= (l + 1)ρle−ρ/2F (ρ) −

1

2ρl+1e−ρ/2F (ρ) + ρl+1e−ρ/2dF

dρ(24)

d2u

dρ2= l(l + 1)ρl−1e−ρ/2F (ρ) −

1

2(l + 1)ρle−ρ/2F (ρ) + (l + 1)ρle−ρ/2dF

dρ

−1

2(l + 1)ρle−ρ/2F (ρ) +

1

4ρl+1e−ρ/2F (ρ) −

1

2ρl+1e−ρ/2dF

dρ

+ (l + 1)ρle−ρ/2dF

dρ−

1

2ρl+1e−ρ/2dF

dρ+ ρl+1e−ρ/2d2F

dρ2(25)

12

d2u

dρ2−

l(l + 1)

ρ2u +

λ

ρ−

1

4

u =

l(l + 1) − (l + 1)ρ +1

4ρ2

ρl−1e−ρ/2F (ρ)+

[2(l + 1) − ρ] ρle−ρ/2dF

dρ+ ρl+1e−ρ/2d2F

dρ2−

l(l + 1)

ρ2ρl+1e−ρ/2F (ρ)+

λ

ρ−

1

4

ρl+1e−ρ/2F (ρ) = 0 , (26)

factorizando ρl+1e−ρ/2, tenemos

l(l + 1)

ρ2−

(l + 1)

ρ+

1

4

F (ρ) +

2(l + 1)

ρ− 1

dF

dρ+

d2F

dρ2−

l(l + 1)

ρ2F (ρ)+

λ

ρ−

1

4

F (ρ) =d2F

dρ2+

2(l + 1)

ρ− 1

dF

dρ+

λ

ρ−

l + 1

ρ

F = 0 (27)

d2F

dρ2+

2(l + 1)

ρ− 1

dF

dρ+

λ

ρ−

l + 1

ρ

F = 0

13

esta ecuación se resuelve mediante serie de potencias considerando que

F (ρ) =∞∑

k=0ckρk (28)

donde c0 6= 0. Derivando esta función, tenemos que

dF

dρ=

∞∑

k=1kckρk−1 d2F

dρ2=

∞∑

k=2k(k − 1)ckρk−2 . (29)

Sustituyendo las Ecs.(28) y (29) en la Ec.(27), obtenemos

∞∑

k=2k(k − 1)ckρk−2 +

∞∑

k=1kckρk−1

2(l + 1)

ρ− 1

+∞∑

k=0ckρk

λ

ρ−

l + 1

ρ

=

∞∑

k=2k(k−1)ckρ

k−2+∞∑

k=1k2(l+1)ckρk−2−

∞∑

k=1kckρk−1+

∞∑

k=0ck[λ−(l+1)]ρk−1 =

∞∑

k=2k(k − 1)ckρk−2 +

∞∑

k=1k2(l + 1)ckρk−2 +

∞∑

k=0ck[−k + λ − (l + 1)]ρk−1 = 0 .

(30)

14

Hacemos un cambio de índices k − 1 = k′ en los dos primeros términos,

∑

(k′ + 1)k′ck′+1ρk′−1 +

∑

(k′ + 1)2(l + 1)ck′+1ρk′−1 (31)

ahora reemplazamos k = k′ y reescribimos la Ec.(30),

∞∑

k=0{[k(k + 1) + 2(l + 1)(k + 1)]ck+1 + [−k + λ − (l + 1)]ck}ρk−1 = 0

⇒ [k(k + 1) + 2(l + 1)(k + 1)]ck+1 + [−k + λ − (l + 1)]ck = 0

⇒ [k(k + 1) + 2(l + 1)(k + 1)]ck+1 = [k − λ + (l + 1)]ck

ck+1

ck=

k + l + 1 − λ

(k + 1)[k + 2(l + 1)]. (32)

En la ecuación de los coeficientes notamos que

ck+1

ck−→k→∞

1

k(33)

15

luego la función

1

kρk diverge. (34)

Para evitar la divergencia se escoge el valor de λ de modo que

λ = 1 + l + nr (35)

donde

nr = 0, 1, 2, . . . (36)

este determina el valor de k para que no diverga la serie de potencias. La

función F es un polinomio de grado nr conocido como los polinomios de

Laguerre.

Regresando a la Ec.(20), tenemos que

λ =Ze2

4πǫ0

1

2

√

√

√

√

√

2µ

ℏ2|E|= 1 + l + nr ⇒ (1 + l + nr)

2 =

Ze2

4πǫ0

21

4

2µ

ℏ2|E|

16

E = −

Ze2

4πǫ0

2

2µ

ℏ2

1

4(1 + l + nr)2(37)

se define como el número cuántico principal a

n = 1 + l + nr (38)

donde nr y l son enteros positivos.

Luego en términos del número cuántico principal tenemos que los autova-

lores de energía de los átomos hidrogenoides está dado por

En = −

Ze2

4πǫ0

2

2µ

ℏ2

1

4n2. (39)

Existe una forma útil de expresar los autovalores con la inclusión de la ve-

locidad de la luz c mediante una cantidad adimensional denominada la cons-

tante de estructura fina

α =e2

4πǫ0

1

ℏc≈

1

137(40)

17

luego

En = −µc2Z2α2

2n2(41)

como µc2 ≈ mec2 = 0.511 MeV, para el hidrógeno Z = 1,

En = −13.61

n2eV (42)

18