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. Estadística. UNITEC Tema 11: Distribución Normal Prof. L. Lugo

Estadística

Tema 11: Distribución Normal

Tema 11: Distribución Normal Prof. L. Lugo. Estadística. UNITEC

Distribución Normal o de GaussLa distribución normal se estudió originalmente en el siglo XVIII, cuando los científicos observaron un asombroso grado de regularidad en errores de medición. Descubrieron que los patrones (distribuciones) observados se aproximaban cercanamente a una distribución contínua a la que llamaron “curva de errores normal” y que atribuyeron a las leyes del azar.

La distribución normal es, sin lugar a dudas, la mas utilizada para modelar experimentos aleatorios. Esta distribución puede obtenerse al considerar el modelo básico de una variable aleatoria binomial cuando el número de ensayos se vuelve cada vez mas grande. Este fue el enfoque original seguido por De Moivre en 1733. Desafortunadamente, su trabajo se perdió por algún tiempo, y Karl Gauss desarrolló, de manera independiente, la distribución normal casi cien años después. Aunque mas tarde se dio crédito a De Moivre, la distribución normal también se conoce como distribución gaussiana.

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Distribución Normal o de GaussAparece de manera natural:

Caracteres morfológicos de individuos: tallas, pesos, etc.

Caracteres fisiológicos: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono, etc.

Caracteres sociológicos: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen, etc.

Caracteres meteorológicos: temperaturas, precipitaciones, etc.

Caracteres físicos: mediciones de partes manufacturadas, vibraciones, niveles de contaminación, variaciones en características de materias primas, etc.

Caracteres psicológicos: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio, etc

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media.


Características de la Distribución Normal 1. Es unimodal ya que solo tiene un valor máximo en el que coinciden la media, la

mediana y la moda.2. Es simétrica con respecto a la media aritmética (valor máximo).3. Se aproxima asintóticamente al eje de las abscisas.4. El número de valores Xi que toma la variable aleatoria X es infinita.5. Está determinada por 2 parámetros: la media y la desviación estándar.6. El area total bajo la curva se considera igual a la unidad.7. El área comprendida bajo la curva entre 2 valores X1 y X2 de variable aleatoria X,

es igual a la probabilidad de que dicha variable asuma cualquier valor dentro de ellos.

8. El área comprendida bajo la curva entre la media y cualquier valor Xi de la variable aleatoria se expresa en función del número de desviaciones estándar que dicho valor Xi diste de la media aritmética.

9. El 69.26% del área total bajo la curva normal se encuentra dentro del intervalocon centro en la media aritmética y extremos localizados cada uno a una distancia de una desviación estándar; el 95.44% de dicha área se encuentra en el intervalo que comprende 2 desviaciones estándar a cada lado de la media y el 99.74% del área comprendida bajo la misma curva se encuentra limitada por 3 desviaciones estándar a cada lado de la media aritmética.

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Función de DensidadEstá caracterizada por dos parámetros: La media, µ, y la desviación típica, σ.

( )σµ,NX


Características de la Gráfica

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Gráfica de una Distribución NormalLa gráfica de una va X con distribución normal, es parecida a:

La distribución normal es simétrica con respecto a su media, sin importar el valor de esta ni la desviación estándar.

0AAsimetría

=


Gráfica de una Distribución NormalLa gráfica de una va X con distribución normal, es parecida a:

En general, se dice que la gráfica de la distribución normal esMesocúrtica.Sin embargo ella tiende a ser leptocúrtica para valores pequeños de la varianza; es decir, alta concentración de valores alrededor de la media.

3CCurtosis

=

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N(µ, σ): Interpretación geométricaSe puede interpretar la mediacomo un factor de traslación. La función de densidad es simétrica, mesocúrtica y unimodal.

Media, mediana y moda coinciden.

Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión.

Curva alta = baja dispersión.


N(µ, σ): Interpretación probabilista

Entre la media y una desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad: aprox. 68%

Entre la media y dos desviaciones típicas aprox. 95%

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Función de Distribución

•Son más probables los valores

cercanos a la media µ

•Conforme nos separamos de ese

valor µ , la probabilidad va

decreciendo de igual forma a

derecha e izquierda (es simétrica).

•Ese decrecimiento es de forma más

o menos rápida dependiendo de un

parámetro σ , que es la desviación

típica.


Algunas características

No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la primitiva de la función de densidad, ya que no tiene primitiva expresable en términos de funciones “comunes”.

Todas las distribuciones normales N(µ, σ), pueden ponerse mediante una traslación µ, y un cambio de escala σ, como N(0,1). Esta distribución especial se llama normal estándar.

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Distribución Normal Estandar

La Función de Densidad y Probabilidad es:

La Función de Distribución Acumulada es:


Características de la Normal Estándar

No depende de ningún parámetro Su media es 0 y su desviación típica es 1. La curva f(x) es simétrica respecto del eje OY Tiene dos puntos de inflexión en:

z =1 y z = -1

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EstandarizaciónDada una variable de media µ y desviación típica σ, se denomina valor estandarizado,z, de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir

σµ−

=xz

En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: Asigna a todo valor de N(µ, σ), un valor de N(0,1) que deja exáctamente la misma probabilidad por debajo.

Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.


Ejemplo 1: Beca AcadémicaSe quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes. Se asignará al que tenga mejor expediente académico.

El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(6,1).El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(70,10).

( )1,6NXAEso significa que viene de una población con promedio de notas de 8 puntos y una desviación típica de 1 punto.

( )10,70NXBEso significa que viene de una población con promedio de notas de 70 puntos y una desviación típica de 10 puntos.

Estos valores no son comparables; sin embargo podemos expresarlos en términos comparables por medio de la estandarización.

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Ejemplo 1: Beca Académica

1107080

2168

=−

=−

=

=−

=−

=

Bxz

xz

BBB

A

AAA

σµ

σµ

SoluciónNo podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan de modo normal, podemos tipificar y observar las puntuaciones sobre una distribución de referencia N(0,1)

Como ZA>ZB, podemos decir que el porcentaje de compañeros del mismo sistema de estudios que ha superado en calificación el estudiante A es mayor que el que ha superado B. Podríamos pensar en principio que A es mejor candidato para la beca.


Manejo de TablasLa distribución de la variable Z se encuentra tabulada

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Tabla de la Distribución Normal Estandar

0.001000.001030.001070.001110.001140.001180.001220.001260.001310.00135-3.0

0.000710.000740.000760.000790.000820.000840.000870.000900.000940.00097-3.1

0.000500.000520.000540.000560.000580.000600.000620.000640.000660.00069-3.2

0.000350.000360.000380.000390.000400.000420.000430.000450.000470.00048-3.3

0.000240.000250.000260.000270.000280.000290.000300.000310.000320.00034-3.4

0.000170.000170.000180.000190.000190.000200.000210.000220.000220.00023-3.5

.09.08.07.06.05.04.03.02.01.00z

Por ejemplo: P( z < - 3,27)

Respuesta: P( z < - 3,27) = 0,00054


¿Por qué es importante la distribución normal?

Las propiedades que tiene la distribución normal son interesantes, pero todavía no hemos hablado de por qué es una distribución especialmente importante.

La razón es que aunque una v.a. no posea distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores calculados sobre muestras elegidas al azar sí que poseen una distribución normal.

Es decir, tengan la distribución que tengan nuestros datos, los ‘objetos’ que resumen la información de una muestra, posiblemente tengan distribución normal (o asociada).

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Veamos aparecer la distribución normalComo ilustración mostramos una variable que presenta valores distribuidos más o menos uniformemente sobre el intervalo 150-190.

Como es de esperar la media es cercana a 170. El histograma no se parece en nada a una distribución normal con la misma media y desviación típica.


A continuación elegimos aleatoriamente grupos de 10observaciones de las anteriores y calculamos el promedio.

152152175185185152165152178155159188183175183178179172152159160167170167163169174179190185

3ª2ª1ªMuestra

173 169 168

Veamos aparecer la distribución normal

Repitamos el proceso un número elevado de veces. En la siguiente transparencia estudiamos la distribución de la nueva variable.

Para cada grupo de 10 obtenemos entonces una nueva medición, que vamos a llamar promedio muestral.

Observen que las nuevas cantidades están más o menos cerca de la media de la variable original.

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La distribución de los promedios muestrales sí que tienen distribución aproximadamente normal.

La media de esta nueva variable (promedio muestral) es muy parecida a la de la variable original.

Las observaciones de la nueva variable están menos dispersas. Observen el rango. Pero no sólo eso. La desviación típica es aproximadamente ‘raiz de 10’ veces más pequeña. Llamamos error estándar a la desviación típica de esta nueva variable.

Nada de lo anterior es casualidad.

Veamos aparecer la distribución normal


Teorema del Límite CentralDada una v.a. cualquiera, si extraemos muestras de tamaño n, y calculamos

los promedios muestrales, entonces:

Dichos promedios tienen distribución aproximadamente normal;

La media de los promedios muestrales es la misma que la de la variable original.

La desviación típica de los promedios disminuye en un factor “raíz de n” (error estándar).

Las aproximaciones anteriores se hacen exactas cuando n tiende a infinito.

Este teorema justifica la importancia de la distribución normal.

Sea lo que sea que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande (n>30) nos va a aparecer de manera natural la distribución normal.

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Ejemplo 2: Fábrica de Pistones

Solución:Los porcentajes solicitados corresponden a la multiplicación por 100 de la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los eventos definidos.

Una fábrica produce pistones cuyos diámetros se encuentran adecuadamente clasificados por una distribución normal con un diámetro promedio de 5 cm y una desviación estándar igual a 0,001 cm. Para que un pistón sirva, su diámetro debe encontrarse entre 4,998 y 5,002 cm. Si el diámetro del pistón es menor que 4,998 cm se desecha; si es mayor que 5,002 cm el pistón puede reprocesarse. ¿Qué porcentaje de pistones servirá? ¿Qué porcentaje será desechado? ¿Qué porcentaje será reprocesado?.

Llamemos X a la v.a. que define el diámetro de cada pistón en cm.

Debemos hallar las probabilidades: 1) P(4,998 ≤ x ≤ 5,002), 2) P(x < 4,998), 3) P(x > 5,002).

( )001,0,5NX


Ejemplo 2: Fábrica de Pistones1) P(4,998 ≤ x ≤ 5,002)

Para ello debemos estandarizar la variable x en los valores 4,998 y 5,002 y, con la ayuda de la tabla, respondemos la interrogante planteada.

( ) ( )2z2P001,0

5002,5x001,0

5998,4P002,5x998,4P ≤≤−=

−≤

σµ−

≤−

=≤≤

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Ejemplo 2: Fábrica de Pistones1) P(4,998 ≤ x ≤ 5,002)Para obtener esa probabilidad debemos acudir a la tabla de probabilidades de la función normal estándar, recordando que esta tabla nos proporciona probabilidades acumuladas; es decir, el caso que nos ocupa lo resolvemos:

( ) ( ) ( )2zP2zP2z2P −≤−≤=≤≤−

( ) 9548,00228,09772,02z2P =−=≤≤−El 95,46 % de los pistones producidos servirán; ya que tendrán un diámetro entre 4,998 y 5,002 cm


Tabla de la Distribución Normal Estandar

0.029380.030050.030740.031440.032160.032880.033620.034380.035150.03593-1.8

0.023300.023850.024420.025000.025590.026190.026800.027430.028070.02872-1.9

0.018310.018760.019230.019700.020180.020670.021180.021690.022220.02275-2.0

0.014260.014630.015000.015390.015780.016180.016590.017000.017430.01786-2.1

.09.08.07.06.05.04.03.02.01.00z

0.985740.985370.985000.984610.984220.983820.983410.983000.982570.982142.1

0.981690.981240.980770.980300.979820.979330.978820.978310.977780.977252.0

0.976700.976150.975580.975000.974410.973810.973200.972570.971930.971281.9

.09.08.07.06.05.04.03.02.01.00z

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Ejemplo 2: Fábrica de Pistones2) P(x < 4,998)

Para ello debemos estandarizar la variable x en el valor 4,998 y, con la ayuda de la tabla, respondemos la interrogante planteada.

( ) ( )2zP001,0

5998,4xP998,4xP −≤=

−≤

σµ−

=≤


Ejemplo 2: Fábrica de Pistones2) P(x < 4,998)Para obtener esa probabilidad debemos acudir a la tabla de probabilidades de la función normal estándar, recordando que esta tabla nos proporciona probabilidades acumuladas; es decir, el caso que nos ocupa lo resolvemos:

El 2,28 % de los pistones producidos no servirán, serán desechados; ya que tendrán un diámetro menor de 4,998 cm.

( ) 0228,02zP =−≤

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Ejemplo 2: Fábrica de Pistones3) P(x > 5,002)


( ) ( )2zP001,0

5002,5xP002,5xP ≥=

−≤

σµ−

=≥


Ejemplo 2: Fábrica de Pistones3) P(x > 5,002)Para obtener esa probabilidad debemos acudir a la tabla de probabilidades de la función normal estándar, recordando que esta tabla nos proporciona probabilidades acumuladas; es decir, el caso que nos ocupa lo resolvemos:

El 2,28 % de los pistones producidos no servirán e irán a reproceso; ya que tendrán un diámetro mayor a 5,002 cm

( ) ( )2zP12zP ≤−=≥

( ) 0228,09772,012zP =−=≥

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Ejemplo 3: Revelado Fotográfico

Solución:

En un proceso fotográfico, el tiempo de revelado de las impresiones puede considerarse una v. a. con distribución normal con media de 16,28 segundos y desviación estándar de 0,12 segundos. Determine la probabilidad de que se lleve: 1) entre 16,00 y 16,50 segundos, 2) cuando mas 16,35 segundos, y 3) al menos 16,20 segundos; para el revelado de una de las impresiones.

Llamemos X a la v.a. que define el tiempo, en segundos, que se consume en el revelado de cada impresión.

Debemos hallar las probabilidades: 1) P(16,00 ≤ x ≤ 16,50), 2) P(x < 16,35), 3) P(x > 16,20).

( )12,0,28,16NX


Ejemplo 3: Revelado Fotográfico1) P(16,00 ≤ x ≤ 16,50)

Para ello debemos estandarizar la variable x en los valores 16 y 16,5 y, con la ayuda de la tabla, respondemos la interrogante planteada.

( ) ( )83,1z33,2P12,0

28,165,16x12,028,1616P5,16x16P ≤≤−=

−≤

σµ−

≤−

=≤≤

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Ejemplo 3: Revelado Fotográfico1) P(16,00 ≤ x ≤ 16,50)Para obtener esa probabilidad debemos acudir a la tabla de probabilidades de la función normal estándar, recordando que esta tabla nos proporciona probabilidades acumuladas; es decir, el caso que nos ocupa lo resolvemos:

( ) ( ) ( )33,2zP83,1zP83,1z33,2P −≤−≤=≤≤−

( ) 9565,00099,09664,083,1z33,2P =−=≤≤−Hay una probabilidad de 0,9565 de que el proceso de revelado de una impresión se lleve entre 16 y 16,5 segundos.


Ejemplo 3: Revelado Fotográfico2) P(x < 16,35)


( ) ( )583,0zP12,0

28,1635,16xP35,16xP ≤=

−≤

σµ−

=≤

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Ejemplo 3: Revelado Fotográfico2) P(x < 16,35)Para obtener esa probabilidad debemos acudir a la tabla de probabilidades de la función normal estándar, recordando que esta tabla nos proporciona probabilidades acumuladas; es decir, el caso que nos ocupa lo resolvemos:

Hay una probabilidad de 0,719 de que el proceso de revelado de una impresión se lleve cuando mas 16,35 segundos.

( ) 7190,0583,0zP =≤


Ejemplo 3: Revelado Fotográfico3) P(x > 16,20)


( ) ( )66,0zP12,0

28,162,16xP2,16xP −≥=

−≤

σµ−

=≥

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Ejemplo 3: Revelado Fotográfico3) P(x > 16,20)

Para obtener esa probabilidad debemos acudir a la tabla de probabilidades de la función normal estándar, recordando que esta tabla nos proporciona probabilidades acumuladas; es decir, el caso que nos ocupa lo resolvemos:

Hay una probabilidad de 0,7454 de que el proceso de revelado de una impresión se lleve al menos 16,20 segundos.

( ) 7454,02546,0166,0zP =−=−≥

( ) ( )66,0zP166,0zP −≤−=−≥


Ejemplo 4: Experiencia de los Supervisores

Solución:En principio definamos la va y calculemos su media.

Se sabe que los años de experiencia que tienen los supervisores de línea en cierta compañía, tiene una distribución normal con una desviación típica de 1,5 años. Se sabe que el 3,36 % de los supervisores tienen como máximo 6,9 años de experiencia. 1) al seleccionar un supervisor al azar ¿cuál es la probabilidad de que los años de experiencia estén comprendidos entre 8 y 10 años? 2) ¿cuál será el tiempo mínimo de experiencia para el 30 % de los supervisores con mas años trabajando en la empresa?.

Sea X la v.a. que define la cantidad de años de experiencia de cada supervisor.Sabemos que: ( ) 0336,09,6xP =≤

( )83,1zPrepresentaEsto −≤

0.029380.030050.030740.031440.032160.032880.033620.034380.035150.03593-1.8

0.023300.023850.024420.025000.025590.026190.026800.027430.028070.02872-1.9

.09.08.07.06.05.04.03.02.01.00z

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Ejemplo 4: Experiencia de los SupervisoresSe sabe que los años de experiencia que tienen los supervisores de línea en cierta compañía, tiene una distribución normal con una desviación típica de 1,5 años. Se sabe que el 3,36 % de los supervisores tienen como máximo 6,9 años de experiencia. 1) al seleccionar un supervisor al azar ¿cuál es la probabilidad de que los años de experiencia estén comprendidos entre 8 y 10 años? 2) ¿cuál será el tiempo mínimo de experiencia para el 30 % de los supervisores con mas años trabajando en la empresa?.

Si z = -1,83; entonces

Debemos hallar las probabilidades: 1) P(8 ≤ x ≤ 10), 2) Valor de x que representa el 30% del área de la cola derecha de la curva normal.

( )5,1,645,9NX

645,95,1

9,683,1xz =µ⇒µ−

=−⇒σµ−

=


Ejemplo 4: Experiencia de los Supervisores1) P(8 ≤ x ≤ 10)

Para ello debemos estandarizar la variable x en los valores 8 y 10 y, con la ayuda de la tabla, respondemos la interrogante planteada.

( ) ( )23,0z09,1P5,1645,910x

5,1645,98P10x8P ≤≤−=

−≤

σµ−

≤−

=≤≤

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Ejemplo 4: Experiencia de los Supervisores1) P(8 ≤ x ≤ 10)Para obtener esa probabilidad debemos acudir a la tabla de probabilidades de la función normal estándar, recordando que esta tabla nos proporciona probabilidades acumuladas; es decir, el caso que nos ocupa lo resolvemos:

( ) ( ) ( )09,1zP23,0zP23,0z09,1P −≤−≤=≤≤−

( ) 4531,01379,05910,023,0z09,1P =−=≤≤−Hay una probabilidad de 0,4531 de que el supervisor elegido al azar tenga una experiencia entre 8 y 10 años.


0.722410.719050.715660.712260.708840.705400.701950.698470.694980.691470.5

0.687940.684390.680830.677240.673650.670030.666410.662760.659100.655430.4

0.651740.648030.644310.640580.636830.633080.629300.625520.621720.617910.3

.09.08.07.06.05.04.03.02.01.00z

Ejemplo 4: Experiencia de los Supervisores

Sabemos que: ( ) 7000,0¿?xP =≤

( ) ( ) 30,0525,0zP70,0525,0zP =≥⇒=≤

2) Valor de x que representa el 30% del área de la cola derecha de la curva normal.Para ello debemos ubicar en la tabla el 30% superior, es decir, el valor 0,7 (que representa el 70% de la izquierda, o sea, el 70% de los supervisores con menos experiencia. Teniendo ese valor de z procedemos a hallar el valor correspondiente de x usando la fórmula de estandarización.

El valor z se encuentra entre 0,52 y 0,53. Por interpolación lineal:

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Ejemplo 4: Experiencia de los SupervisoresUna vez conocido el valor de z que representa el área bajo la curva que estamos buscando (30% derecho de la distribución); procedemos a despejar el valor de x de la fórmula de estandarización:

Si z = 0,525; entonces

El tiempo mínimo de experiencia del 30% de los supervisores con mas años trabajando en la empresa es de 10,43 años.

µ+σ=⇒µ−=σ⇒σµ−

= zxxzxz

( )( )43,10x645,95,1525,0x

=⇒+=


Ejemplo 5: Proceso Metalmecánico

Solución:Con las probabilidades dadas, vamos a la tabla de la distribución normal estándar y definimos valores de z para los cuales se dan esas probabilidades. Si llamamos X a la v.a. que define el largo de las piezas producidas, planteamos las expresiones para estandarizar los valores x = 22 y x = 18 e igualamos a los valores de z obtenidos antes; así se construye un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la media y la desviación.

En un proceso metalmecánico el largo de las piezas producidas tiene distribución normal, con las siguientes características: hay una probabilidad de 0,9505 de que las piezas tengan un largo menor a 22 cm, y una probabilidad de 0,8508 de que las piezas tengan un largo mayor a 18 cm. Si seleccionamos al azar una pieza, ¿cuál es la probabilidad que tenga un largo comprendido entre 18,75 y 23,77 cm?.

Una vez resuelto el sistema, debemos hallar: P(18,75 ≤ x ≤ 23,77), para ello debemos estandarizar la variable x en cada uno de los valores del intervalo solicitado y, con la ayuda de la tabla, respondemos las interrogantes planteadas.

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0.161090.163540.166020.168530.171050.173610.176180.178780.181410.18406-0.9

0.137860.140070.142310.144570.146860.149170.151500.153860.156250.15865-1.0

0.117020.119000.121000.123020.125070.127140.129240.131360.133500.13566-1.1

.09.08.07.06.05.04.03.02.01.00z

Ejemplo 5: Proceso MetalmecánicoSabemos que: ( ) 9505,022xP =≤

( ) 9505,065,1zP =≤

0.963270.962460.961640.960800.959940.959070.958190.957280.956370.955441.7

0.954490.953520.952540.951540.950530.949500.948450.947380.946300.945201.6

0.944080.942950.941790.940620.939430.938220.936990.935750.934480.933191.5

.09.08.07.06.05.04.03.02.01.00z

Sabemos que:

( ) ( ) ( ) 1492,018xP8508,0118xP8508,018xP =≤⇒−=≤⇒=≥

( ) 1492,004,1zP =−≤


Ejemplo 5: Proceso MetalmecánicoUna vez conocidos los valores de z procedemos a construir el sistema de ecuaciones:

Entonces:

0xzxzxz =−µ+σ⇒µ−=σ⇒σµ−

=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

σ−=µ⇒=−µ+σσ+=µ⇒=−µ+σ−

65,12202265,104,11801804,1

( ) ( ) ( ) ( )

54,1948,1

182204,165,165,12204,118

=µ⇒=σ

−=σ+σ⇒σ−=σ+

( )48,1,54,19NX

25


Ejemplo 5: Proceso MetalmecánicoP(18,75 ≤ x ≤ 23,77)

Conocida la distribución de x vamos a estandarizar los valores 18,75 y 23,77 y, con la ayuda de la tabla, respondemos la interrogante planteada.

( ) ( )23,4z46,0P48,1

54,1977,23x48,1

54,1975,18P77,23x75,18P ≤≤−=

−≤

σµ−

≤−

=≤≤


Ejemplo 5: Proceso MetalmecánicoP(18,75 ≤ x ≤ 23,77)Para obtener esa probabilidad debemos acudir a la tabla de probabilidades de la función normal estándar, recordando que esta tabla nos proporciona probabilidades acumuladas; es decir, el caso que nos ocupa lo resolvemos:

( ) ( ) ( )46,0zP23,4zP23,4z46,0P −≤−≤=≤≤−

( ) 6771,03228,09999,023,4z46,0P =−=≤≤−Existe una probabilidad del 0,6771 de que la pieza seleccionada al azar tenga un largo entre 18,75 y 23,77 cm.

Estadística - unitec.edu.ve · No es posible calcular la probabilidad de un intervalo ... superado...

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