CAPITULO IV

Estadísticas y sus distribucionesEn el proceso de identificar y explicar las características esenciales que permiten describir el comportamiento de un fenómeno de interés, nuestro objetivo era el de establecer una aproximación a dicho comportamiento usando parte (una muestra) de toda la información relevante.

Ejemplo: Suponga que se desea estimar la proporción de lavadoras que se descomponen antes del tiempo de garantía. Para estimar esta probabilidad es necesario recopilar información acerca del número de lavadoras descompuestas en cierto período o de una producción dada. El parámetro o característica de interés no es conocida, pero puede ser aproximada de la información recopilada. Ejemplo: Para estimar el tiempo promedio que un apersona permanece en un banco, se hace necesario conocer la distribución de dichos tiempos (lo cual no siempre es posible). Es necesario observar los tiempos empleados por n personas para obtener una aproximación del tiempo promedio real (parámetro de interés). Ejemplo: En algún proceso de elaboración de materiales para construcción se puede estar interesado el establecer la variación en los diámetros de las varillas usadas para columnas de concreto. Se recopila información acerca de los diámetros de un conjunto de varillas y se aproxima dicha variabilidad con estos datos. En estos tres ejemplos, la característica de interés era un promedio, una proporción o una varianza. Como estas características son únicas para cada tipo de población involucrada, las llamaremos parámetros.

Idea: Estimar o aproximar los parámetros usando la información recopilada en una muestra. Como vimos antes, una muestra de una población dada permite obtener la distribución de una variable de interés pero dicha distribución depende de la manera como esta muestra fue seleccionada. Estadística: Es cualquier cantidad calculada a partir de la información recolectada en una muestra. Debido a que una muestra se recopila información acerca de una o más características de interés, cada objeto o individuo seleccionado impone un carácter aleatorio a la característica que se desea medir en él. Por esta razón una muestra no es más que un colección de variables aleatorias (la misma característica medida en todas pero en diferentes individuos). Si además suponemos que en cada individuo, la medición de dicha característica no afecta a los demás individuos, estas serás v.a independientes. Una muestra aleatoria de tamaño n , es un conjunto de n v.a E.I e idénticamente distribuidas. Es decir, si 1 nX , , X… es una muestra aleatoria, entonces cumple que:

1) ( ) ( )i

n

1 n X ii 1

f X , , X f X=

=∏…

y 2) ( ) ( )iX i if x f x ; i 1 , , n= ∀ = …

De esta manera, una estadística puede verse como una función de una muestra aleatoria. La pregunta es ¿Cómo hallar la distribución de una estadística, es decir, de una función de variables aleatorias? Ejemplo: Suponga que X e Y son v.a discretas con (((( ))))1X p λλλλ∼ y (((( ))))2Y p λλλλ∼ con X e Y E.I. Sea W X Y= += += += + . Halle la distribución de W .

Solución: Se pide hallar (((( )))) (((( ))))p w p W w= == == == = (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( ))))w

k 0

p w p W w P X Y W

P 0 , w P 1, w 1 P 2 , w 2 P w 1,1 P w , 0

P k , w k====

= = = + == = = + == = = + == = = + =

= + − + − + + − += + − + − + + − += + − + − + + − += + − + − + + − +

= −= −= −= −∑∑∑∑

�

con X e Y son E.I entonces (((( ))))1 2x y

1 2e eP x , y

x! y!

−λ −λ−λ −λ−λ −λ−λ −λλ λλ λλ λλ λ====

Así

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

1 2

1 2

1 21 2

kx yw w1 2 1w

2k 0 k 0 2

w1 21w

22

e e w 1P W ekk! w k ! w!

ee 1w! w!

−λ −λ−λ −λ−λ −λ−λ −λ− λ +λ− λ +λ− λ +λ− λ +λ

= == == == =

− λ +λ− λ +λ− λ +λ− λ +λ− λ +λ− λ +λ− λ +λ− λ +λ

λ λ λλ λ λλ λ λλ λ λ = = λ= = λ= = λ= = λ − λ− λ− λ− λ

λ + λλ + λλ + λλ + λ λλλλ= λ + == λ + == λ + == λ + = λλλλ

∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑

Así, (((( ))))1 2W P λ + λλ + λλ + λλ + λ∼

Si 1 nX , ,X… es una muestra aleatoria de una (((( ))))P λλλλ entonces (((( ))))1 nT X X P n= + + λ= + + λ= + + λ= + + λ… ∼De manera similar, si 1 nX , ,X… es una muestra aleatoria de una Bernoulli con probabilidad de

éxito p entonces (((( ))))1 nX X X bin n , p= + += + += + += + +… ∼No todas las estadísticas que se definan a partir de una muestra aleatoria tienen algún interés. De hecho nuestro mayor interés radica en definir ó encontrar estadísticas que nos permitan aproximar los valores reales de ciertas características de interés en una población (como la media, la varianza, una proporción, etc) llamadas parámetros. (((( )))), , pµ σµ σµ σµ σPor ejemplo, sabemos que una buena aproximación para la media µµµµ , se obtiene al calcular la media Muestral de un conjunto de datos 1 nX , , X… . Una aproximación ó estimación para 2σσσσ es

2S y para p es Xn

, donde (((( ))))X bin n , p∼

Es importante entonces saber que si 1 nX , , X… es una m.a de una población particular, X , 2S yXn

serán funciones de esta m.a y por lo tanto, serán también v.a ¿Cuáles son sus distribuciones?

Distribución de la Media Muestral

Sea 1 nX , ,X… una m.a de una distribución con media µµµµ y varianza 2σσσσ . Como i1X Xn

= ⇒= ⇒= ⇒= ⇒∑∑∑∑

i

2 22

i2 2 2

1 1 nE X Xn n n1 1 nV X V X

n n n n

µµµµ = = µ = = µ= = µ = = µ= = µ = = µ= = µ = = µ

σ σσ σσ σσ σ = = σ = == = σ = == = σ = == = σ = =

∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑

Además, [[[[ ]]]]E T , con iT X====∑∑∑∑ es [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] 2E T n y V T n= µ = σ= µ = σ= µ = σ= µ = σ

Diremos que la distribución Muestral de X tiene Media µµµµ y varianza 2

nσσσσ

Proposición: Sea 1 nX , , X… una m.a de una distribución Normal, es decir (((( ))))2iX bin ,µ σµ σµ σµ σ∼ y

1 nX , , X… E.I. Entonces (((( ))))2X n , n

σσσσµµµµ∼ . Además iT X====∑∑∑∑ , es una v.a normal con media n µµµµ y

varianza 2n σσσσ , es decir, (((( ))))2T n n , nµ σµ σµ σµ σ∼ .

Esta proporción implica que (((( ))))X n 0 ,1n

−µ−µ−µ−µσσσσ

∼ y (((( ))))T n n 0 ,1n

− µ− µ− µ− µσσσσ

∼

Ejemplo: Una habitación requiere 8 focos de cierto tipo, cuya intensidad lumínica promedio sea

superior a L9.8W

(lúmen por vatios). Si la intensidad lumínica de este tipo de focos es

aproximadamente normal con media L9.9W

y desviación estándar L0.3W

.

¿Qué proporción de veces se cumple el requisito exigido? Solución: Suponga que 1 8X , ,X… es una m.a de v.a que representan las intensidades lumínicas

de los 8 focos elegidos al azar. Cada (((( ))))iX n 9.9 , 0.09 ; i 1, , 8====∼ … como las iX s′′′′ son una m.a,

entonces X es una v.a normal tal que 0.09X n 9.9 ,8

∼

El requisito es que X 9.8>>>> . Así

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( ))))

X 9.8 9.9P X 9.8 P P Z 0.94280.3n 8

1 P Z 0.9428

P Z 0.9428 0.8264

µσ

− −− −− −− − > = > = > −> = > = > −> = > = > −> = > = > −

= − ≤ −= − ≤ −= − ≤ −= − ≤ −

= < == < == < == < =

“El 82.64% de las muestras de 8 focos de este tipo cumplen el requisito acerca de la intensidad lumínica requerida” Ejemplo: El precio de venta de cierto artículo depende de los costos de materiales, costos mano de obra y gastos de publicidad, principalmente.

Sea 1X : Costos materiales, 2X :Costo mano de obra y 3X :gastos de publicidad. Entonces, el precio de venta P , estará dado por

1 1 2 2 3 3P W X W X W X k , k cte= + + += + + += + + += + + +

Si 1 2 3X , X , X son v.a E.I tal que (((( ))))21X n 20000 , 4000∼ , (((( ))))2

2X n 1500 , 500∼ , (((( ))))23X n 200 , 50∼

a) Halle el precio de venta esperado b) Halle la distribución de P , si 1 2 3W 1.8 , W 1.5, W 0.8 y k 10000= = = == = = == = = == = = =

c) Calcule (((( ))))P P 50000>>>>

Solución:Como P es una combinación lineal de v.a normales si asumimos que 1 2 3X , X , X son E.I,

entonces se puede probar que P se distribuye normalmente (((( ))))2p pP n ,µ σ∼

a)

b) Con esto (((( ))))P n 48410 , 52404100∼

c)

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

p

p

P 50000 48410P P 50000 P7239.068

P Z 0.22 1 P Z 0.22 1 0.58710.4129

µσ

−−−− −−−−> = >> = >> = >> = >

= > = − ≤ = −= > = − ≤ = −= > = − ≤ = −= > = − ≤ = −

====

¿Qué pasa si la m.a 1 nX , ,X… no está normalmente distribuida, es decir, cada iX no esta distribuida normalmente?

Sabemos que para cualquier v.a X , con media µ y varianza 2σ , X µσ−−−− tiene media 0 y varianza

1 .En particular si 1 nX , ,X… es una m.a de esta distribución (que no es normal necesariamente),

entonces X µσ−−−− tiene media cero y varianza 1.

Observe que a medida que n crece X es más cercano a µ y22

X nσσ ==== es más pequeño, lo que

implica que los datos se concentran cada vez más alrededor de µ , con una varianza menor.

[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 21 2 3

2 2 2 2 2 2

p

E P E 1.8 X 1.5 X 0.8 X 10000

1.8 E X 1.5 E X 0.8 E X 10000

48410

V P V 1.8 X 1.5 X 0.8 X 10000

1.8 V X 1.5 V X 0.8 V X

1.8 4000 1.5 500 0.8 50

524041007239.068σ

= + + += + + += + + += + + + = + + += + + += + + += + + +

====

= + + += + + += + + += + + + = + += + += + += + +

= + += + += + += + +

========

Sin importar la distribución asociada a la muestra aleatoria 1 nX , ,X… , cuando crece, el histograma obtenido para X , es cada vez más parecido a una distribución normal (Tiene forma de campana). NOTA: En este caso para obtener un histograma de medias Muestrales, es necesario repetir el experimento muchas veces, es decir, seleccionar muchas muestras aleatorias de tamaño n de esta distribución y calcular sus medias Muestrales. Teorema Central del límite (T L C) Suponga que 1 nX , ,X… es una m.a de una población con media µ y varianza 2σ . Sea X la media Muestral de ésta muestra. (Depende de n y suele denotarse nX ), entonces cuando n→ +∞ , la

distribución Muestral de X

n

−µσ

es aproximadamente normal estándar.

Escribimos � ( )0 1aproxX n ,n

n

−µσ → +∞

Entre mayor sea n , mejor será la aproximación. Si la distribución de la muestra es unimodal, continua o simétrica, tamaños Muestrales relativamente pequeños permiten obtener buenas aproximaciones. Cuando la distribución de la muestra es sesgada, se requiere de valores grandes para n .

Asi ( ) X a a aP X a P P ZT C Ln n n n

≈ − µ − µ − µ − µ< = < < =Φ↑ σ σ σ σ

.

Si 2σ es desconocida y n es grande, podemos cambiar 2σ por 2S y así � ( )X aprox n 0,1Sn

− µ .

Ejemplo: La resistencia a la compresión del concreto es una v.a con una resistencia media de 2500 psi y una desviación estándar de 50 psi. Encuentre la probabilidad de que en una muestra de 36 especimenes de concreto, la resistencia promedio esté entre 2497 y 2505 psi. Solución: Suponga que 1 36X , ,X… es una m.a donde cada iX representa la resistencia de cada espécimen de concreto, i 1, 2 , , 36==== …Sabemos que 2500iE X = y 2500iV X = .

E X 2500 ==== y 2500V X36

====

Así, ( )

( ) ( ) ( )

2497 2505

2497 2500 2505 250050 50

6 6

0 36 0 6 0 6 0 36

0 7258 0 3594 0 3664

P X

XP

n

P . Z . . .. . .

< <

− − µ −= < < σ

≅ − < < =Φ − Φ −

− =

Ejemplo: La acidez de los suelos se indica usualmente por el PH, el cual varía de 0 a 14. Se desea estimar el PH de un gran campo, para lo cual, se toman n mediciones de PH aleatoriamente sobre este campo. La experiencia ha mostrado que las mediciones de PH fluctúan en un rango de 5 a 8. Si se toman 40 mediciones. ¿Cuál es la probabilidad de que el PH promedio de ésta muestra se desvíe a lo más 0.2 unidades de PH del valor real de PH para éste campo? Solución: Suponga que 1 40X , ,X… es una m.a de mediciones de PH para este campo y suponga

que iE X = µ y 2 1 2 40iV X i , , ,… = σ = .

Como 2σ es desconocida, un estimador de σσσσ puede ser obtenido como 1 8 5 3Rango 4 4 4

−σ ≅ = =

Así ( ) ( )

( ) ( )

0 20 23

440

1 69 2 1 69 1 0 9090

X .P X . P

n

P Z . P Z . .

− µ − µ < = < σ

≈ < = < − =

.

Los teoremas de aproximación Normal de la Binomial y normal de la Poisson, son casos particulares del T C L.

Si (((( ))))X bin n , p∼ . Sea i

si el i-ésimo ensayo es un1 ,

X éxito0 , otro caso

====

Entonces

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] (((( )))) (((( ))))

(((( )))) �(((( ))))

(((( )))) �(((( ))))

ii

2

XXX X Xn n

p 1 pX 1 n p 1E E X p y V X n p 1 pn n n n n

X p aproxnsi n es grande , n 0 ,1p 1 p

naproxX n p n 0 ,1

n p 1 p

= ∴ = == ∴ = == ∴ = == ∴ = =

−−−− = = = = − == = = = − == = = = − == = = = − =

−−−−∴∴∴∴

−−−−

−−−−⇔⇔⇔⇔

−−−−

∑∑∑∑∑∑∑∑

Así, (((( ))))(((( ))))

1a n p1 2P X a P X a P Z2 n p 1 p

+ −+ −+ −+ − ≤ = < + ≈ <≤ = < + ≈ <≤ = < + ≈ <≤ = < + ≈ < −−−−

Ejemplo: Suponga que X es una variable aleatoria con distribución uniforme. Se toma una muestra aleatoria de 25 observaciones de esta distribución. Calcule ( )0 7P X .< .

( ) 1 0 10 otro caso, x

f x,

≤ ≤=

Solución: Suponga que 1 25X , ,X… es una m.a de esta distribución, entonces iE X = µ y

2iV X = σ . 21 1y

2 12µ = σ = .

Por el T.C.L ( )

� ( ) �1X 1 12 aprox n 0,1 X aprox n ,

2 300112

25

− ⇔

( ) � ( )1 10 72 20 7 3 46 0 99973

1 1300 300

t . c . l

X .P X . P aprox P Z . .

− − < = < < =

.

Estimación PuntualSuponga que se desea estimar un parámetro de una sola población (((( ))))2, , Pµ σµ σµ σµ σ con base en una muestra aleatoria de tamaño n de ésta población. Si 1 nX , ,X… es dicha muestra aleatoria, recuerde que cada iX será una variable aleatoria y cualquier estadística deducida a partir de ésta muestra también será una v.a.

En esta caso 2 XX , S ,n

serán variables aleatorias:

(((( )))) (((( ))))2

ii 2 ii

i

X XX X bin PX , S y X X ,

n n 1 i 1, , nXX X

n n

−−−−= = == = == = == = =

−−−− ====

= == == == =

∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑

∑∑∑∑

∼…

Si 1 nX , ,X… representa una m.a de mediciones de un espécimen tipo I y 1 mY , ,Y… de un espécimen tipo 2, X y Y serán v.a (medias muestrales) y X Y−−−− también serán una v.a. Además si las m.a son independientes entre sí, X y Y serán v.a E.I. Estimador: Un estimador es una regla que establece como usar la información contenida en una muestra para obtener una aproximación o estimación de un parámetro de interés. Si θθθθ es una parámetro de interés, un estimador de θθθθ , basado en una m.a se denotará θθθθ .Podemos distinguir dos tipos de estimadores: Puntuales y por Intervalos.En el primer caso solo un valor es usado para estimar el parámetro de interés. En el segundo se establece un intervalo de posibles valores para θθθθ , donde se asume que el valor verdadero estará con una alta confianza. Ejemplo: Sea 1 nX , ,X… una m.a de una distribución con media µµµµ (desconocida). Varios estimadores de µµµµ se pueden definir: X : Media Muestral X� : Mediana Muestral

1Min Maxˆ :

2++++µµµµ

(((( ))))Tr PX : Promedio del (((( ))))100 1 2p %−−−− mas central

Así mismo estimadores para 2σσσσ2S : Varianza muestral (((( )))) 22

i1S X Xn

= −= −= −= −∑∑∑∑

(((( )))) 22i

1S : X Xn

−−−−∑∑∑∑3 1Q Q−−−− : Rango Intercuartil Estimador de σσσσ

(((( )))) 2

i1 1ˆDM X X Rango

n 1 4= − σ == − σ == − σ == − σ =

−−−− ∑∑∑∑�

Ejemplo: Se tienen las edades de 10 personas en un grupo. Suponga que tanto la edad promedio µµµµ como la varianza 2σσσσ son desconocidas. Halle estimaciones para µµµµ y 2σσσσ .17, 19, 20, 21, 23, 23, 24 25, 25

Para µµµµ :

(((( ))))

1

Tr 10

217X 21.710

X 2225 17ˆ : 21

219 20 20 21 23 23 24 25X 21.9

8

= == == == =

====++++µ =µ =µ =µ =

+ + + + + + ++ + + + + + ++ + + + + + ++ + + + + + += == == == =

�

Para 2σσσσ

(((( ))))

3 1

2

1ˆ 25 17 24

Q Q 24.5 19.5 5

S 7.34467DM 7.44

10 1

σ = − =σ = − =σ = − =σ = − =

− = − =− = − =− = − =− = − =

====

= == == == =−−−−

Como θ , parámetro de interés, es desconocido, los valores de un estimador θ de θ , se espera estarán muy cerca de θ , en el caso ideal, θ θ==== . Pero como θ será una función de la muestra, los valores de θ para cada muestra fluctuaran alrededor del verdadero valor de θ .Así ˆ errorθ θ= += += += + . “Error de estimación” Propiedades Deseables de un Estimador

Insesgamiento: Se dice que un estimador puntual θ de un parámetro θ , es insesgado si ˆE θ = θ .

En caso contrario diremos que θ es sesgado para θ .El sesgo de un estimador se denota B y está dado por ˆB E = θ −θ .

Ejemplo:Suponga que (((( ))))X bin n , p∼ , con p desconocida. Entonces

sean 1 2X X 1ˆ ˆP y Pn n 1

++++= == == == =++++

[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

1 1

2

X 1 n Pˆ ˆE P E E X P P es insesgadon n nX 1 1 n P 1 n 1ˆE P E E X 1 P Pn 1 n 1 n 1 n 1 n 1

= = = = ∴= = = = ∴= = = = ∴= = = = ∴ + ++ ++ ++ + = = + = = + ≠= = + = = + ≠= = + = = + ≠= = + = = + ≠ + + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +

luego 2P es sesgado para P y 2n 1 1 PˆB E P P P Pn 1 n 1 n 1

−−−− = − = + − == − = + − == − = + − == − = + − = + + ++ + ++ + ++ + +

Ejemplo: Suponga que 1 2 nX X X…, , es una muestra aleatoria de una distribución normal con

media µ y varianza 2σ ambas desconocidas. Entonces X y ( ) 22 11 iS X X

n= −

− ∑ son

estimadores insesgados para µ y 2σ respectivamente. En efecto,

E X = µ pues 1 1i

nE X E Xn n n

µ = = µ = = µ ∑ ∑

Ahora ( ) 22 11 iE S E X X

n = − − ∑ . Ahora ( ) ( )2 2 2 2 22i i i iX X X X X X X n X− = − + = −∑ ∑ ∑

Con esto

( ) ( )

( )

( ) { }

22 2 2

2 22 2

22 2 2 2 2 2 2

1 1 21 1

11 1

1 11 1

11

i i i

ii

E S E X X E X X X Xn n

E X n E XE X n X

n n

n n n nn n n

n

= − = − + − − − = − = − −

σ = µ +σ − µ + = µ + σ − µ −σ − −

=−

∑ ∑∑∑

∑

( )1n − 2 2 2 2 es un estimador insesgado para S .σ = σ ∴ σ

Pero ( )22 1iS X X

n′ = −∑ no es insesgado para 2σ , pues

( )( )

2 2 211 11

n nS S Sn n n

− −′ = =−

. Así 2 2 21nE Sn−′ = σ ≠ σ

2 2 21 1nBn n− −= σ −σ = σ . Cuando n→ +∞ , 2S′ es insesgado.

Dados dos estimadores 1θ y 2θ de una parámetro θ . El mejor será aquel que sea insesgado. Pero si ambos son Insesgados por cuál decidirnos, la siguiente gráfica plantea dos situaciones de interés.

En este caso cuál estimador escoger? En este caso tenemos un estimador Aunque ambos son Insesgados, la 1θ insesgado pero con una varianza

varianza de 1θ es mayor que la varianza más grande que la de 2θ . Aunque

de 2θ . Estro indica que en muchas 2θ no es insesgado, su varianza es

Muestras, los valores de 2θ estarán muy pequeña.¿Cuál escoger como mejor más concentrados alrededor de θ y estimador de θ ?los de 1θ posiblemente más alejados con una alta probabilidad. Ejemplo: Suponga que 1 7X X, ... , es una m.a de una población con media µ desconocida y

varianza 2σ conocida.

Sean 1 2 31 3X X X

ˆ+ +

µ = y 1 2 4 52

2 24

X X X Xˆ

− + +µ =

Ambos son Insesgados para µ .

[ ] ( ) ( )1 1 2 71 1 33 3 3

ˆE E X E X E X µ µ = + + = µ + µ + µ = = µ

[ ] ( ) ( )2 1 2 4 51 1 42 2 2 24 4 4

ˆE E X E X E X E X µ µ = − + + = µ −µ + µ + µ = = µ

1 2ˆ ˆyµ µ son Insesgados. Pero

[ ] ( ) ( )2 2

2 2 2 1 1 2 7

1 1 39 9 9 3

ˆV V X V X V X σ σ µ = + + = σ +σ +σ = =

[ ] ( )2 2 2 2 2

22 1 2 4 5

1 4 4 10 52 216 16 16 8

ˆV V X V X V X V X σ +σ + σ +σ σ µ = + + + = = = σ

[ ] [ ]1 2ˆ ˆV Vµ > µ

Estimadores Insesgados de Mínima Varianza. (MVUE) Entre todos los estimadores Insesgados para un parámetro θ , aquel con mínima varianza es preferible. Ejemplo: Se tiene una m.a de tamaño 2 n de una población con media µ y varianza 2σ .

Sean 2

11

12

n

ii

ˆ Xn =

µ = ∑ y 21

1 n

ii

ˆ Xn =

µ = ∑ . ¿Cuál es mejor estimador para µ ?

Solución:

[ ]

[ ]

2 2

11 1

21 1

1 1 22 2 21 1

n n

ii i

n n

ii i

nˆE E Xn n n

nˆE E Xn n n

= =

= =

µ µ = = µ = = µ

µ µ = = µ = = µ

∑ ∑

∑ ∑

[ ]

[ ]

2 22 22

1 2 2 21 1

2 2 12

2 2 2 21 1

1 1 2mejor estimador 4 4 4 2para , 1 1

n n

ii i

n n

ii i

nˆV V Xn n n n

ˆ .nˆV V Xn n n n

= =

= =

σ σ µ = = σ = =

µ µσ σ µ = = σ = =

∑ ∑

∑ ∑

Teorema: Sea 1 nX X, ,… una m.a de una (((( ))))2n ,µ σ . Entonces X es un MVUE para µ

El problema radica en que si la m.a no proviene de una distribución normal, no siempre X será el mejor estimador para θ .

Error estándar

El error estándar de un estimador θ para θ , es su desviación estándar ˆV θ . Si ˆV θ depende

de algún parámetro desconocido, este debe ser estimado y se obtiene una estimación del error

estándar ˆV θ . Usualmente se representa ˆˆ θσ ó ˆS θ.

Ejemplo: Si 1 nX X, ,… es un m.a de una (((( ))))2n ,µ σ , entonces ˆ Xµ ==== es el mejor estimador para µ .2

V Xnσ

==== . Como es usual 2σ es desconocida y así el error estándar estimado será XSˆn

σ ====

Donde 2S es la varianza Muestral. Ejemplo: Suponga que 1 nX X, ... , es una m.a de una población con media µ y varianza 2σconocida. Sean

1 2 3 n 1 2 n1 2

2X X 2X X 2X X X2 3

ˆ ˆ,− + − + +

µ = µ =

¿Cuál es el mejor estimador paraµ?

Solución: [ ] ( ) [ ] ( )1 21 1 42 2 22 3 3

ˆ ˆE , Eµ = µ −µ + µ −µ = µ µ = µ + µ + µ = µ

1U es insesgado y 2U es sesgado.

[ ] ( )

[ ] ( )

[ ]

2 2 2 2 2 21

2 2 2 2 2 2

2 2

1 10 54 44 4 21 6 249 9 3

4 43 3

ˆV

ˆV

ˆB E

µ = σ +σ + σ +σ = σ = σ

µ = σ +σ +σ = σ = σ

= µ −µ = µ −µ =

[ ] 21

52

ˆECM µ = σ y [ ]2

22

23 9

ˆECM µµ = σ +

Para que 2µ sea mejor que 2

2 2 2 2 1

2 5 33 333 9 2 2 2

ˆ µµ ∴ σ + < σ ⇔ µ < σ ∴ µ < σ

Otra manera de comparar no solo dos, si no más estimadores puede hacerse usando la EficienciaRelativa.Sean 1θ y 2θ dos estimadores para θ . La eficiencia relativa de 2θ respecto a 1θ , estás dada por

1

2

ˆECMˆECM

θ θ

.

Ejemplo: Suponga que (((( ))))X bin n , p∼ , p desconocido. Un estimador de p es Xpn

==== .

[[[[ ]]]] (((( ))))p 1 pˆV pn−−−−

==== . Como p es desconocido, podemos estimarlo usando Xpn

==== . Así

p

X1X nˆ nnσ

−−−− ====

Ahora [[[[ ]]]]ˆV p es máxima cuando p 0.5==== entonces p1ˆ4n

σ ≤≤≤≤ cota superior.

Pero en general, no es facil estimar 2σ .Suponga que se tiene una m.a 1 nX X, ,… de un población con distribución (((( ))))f x ; θ , θ

desconocido y que con esta muestra se obtiene un estimador θ para θ , digamos 0θ θ==== . Usando

éste valor y la distribución (((( ))))f x ; θ generamos muchas muestras de tamaño n de una distribución

(((( ))))0f x ; θ .

Muestra 1: 1 2 n 1ˆX , X , , X se obtiene θ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗→→→→…

Muestra 2: 1 2 n 2ˆX , X , , X se obtiene θ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗→→→→…

��

Muestra m: se obtiene1 2 n mˆX , X , , X θ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗→→→→…

Usualmente un B 100≥≥≥≥ funciona bien.

Sea m1 ˆm

θ θ∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗==== ∑∑∑∑ . Un estimador, llamado Bootstrap para el error estándar de θ es justamente la

desviación estándar de los jˆ :θ ∗∗∗∗

(((( ))))m 2

ˆ ˆ mi 1

1 ˆˆ Sm 1θ θ

σ θ θ∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗

====

= = −= = −= = −= = −−−−− ∑∑∑∑

Otro ejemplo: Sea 1 nX X, ,… una m.a de una distribución uniforme en el intervalo (((( ))))0 , a . Un

estimador de a es (((( ))))nX X1a max , ,==== …

- ¿ Porqué a no es insesgado para a ?- Halle la distribución muestral de a . Muestre que a no es insesgado para a y proponga un

nuevo estimador insesgado. Solución:

Sea (((( ))))nmax X X1Y , ,==== …

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

n

n

n

max X X

X X

X X

y 1

1

1

F y P Y y P , , y

P y , , y

P y P y

= ≤ = ≤= ≤ = ≤= ≤ = ≤= ≤ = ≤

= ≤ ≤= ≤ ≤= ≤ ≤= ≤ ≤

= ≤ ≤= ≤ ≤= ≤ ≤= ≤ ≤

…

…

…Ahora

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] (((( ))))

x

n n 1

y y n

an 1 n 1a

n n00

XF x , 0 x aay y y y n yF y F y , 0 y aa a a a a

n y n y n aˆE a E Y y dy aa a n 1 n 1

−−−−

− +− +− +− +

= < < ⇒= < < ⇒= < < ⇒= < < ⇒

= = ∴ = < <= = ∴ = < <= = ∴ = < <= = ∴ = < <

= = = = ≠= = = = ≠= = = = ≠= = = = ≠+ ++ ++ ++ +∫∫∫∫

�

Por lo tanto a no es insesgado para a .

Sea [[[[ ]]]]n 1 n 1ˆ ˆ ˆ ˆa a E a E a an n

∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗+ ++ ++ ++ + = ∴ = == ∴ = == ∴ = == ∴ = =

Ejercicios propuestos: Capítulo 6, 6-1 ,6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6, 6-7, 6-8, 6-9, 6-10. Método de máxima verosimilitudEn muchos casos en los cuales se requiere el calculo de probabilidades, es necesario conocer la distribución de una o varias variables aleatorias para obtener dichas probabilidades. Pero aún con el conocimiento de esta distribución, existen parámetros desconocidos al interior de ella que no permiten tales cálculos. Por ejemplo, se puede tener conocimiento acerca de cómo se distribuyen los puntajes de una prueba, (digamos que normales), pero desconocemos el valor de la media y de la varianza o por ejemplo, se sabe que el número de accidentes por hora en un cruce es una v.a. Poisson pero se desconoce el número promedio de accidentes por hora. Cuando se tiene conocimiento del tipo de distribución y sabemos que está completamente determinada por un número de parámetros, es posible estimarlos usando el Método de MáximaVerosimilitud o Máxima probabilidad.

Definición: Suponga que 1 nX X…, , es una m.a de una distribución f que depende de un

parámetro θ o un vector de parámetros. Denotaremos la distribución de la muestra como (((( ))))f x ; θθθθ .La función de verosimilitud de la muestra, denotada [ ]L θ , está dada por

[ ] ( ) ( ) ( )1 1 11=

θ = = = = = θ∏… …n

n n n ii

L P X X , ,X X f X , ,X f x ; .

El Estimador de Máxima Verosimilitud (EMV) para θ , será el valor de θ que maximiza [ ]L θ (o

mejor, si se prefiere, aquel valor de θ que maximiza a ( )( ) ( )Ln L lθ = θ ).

Ejemplo: Sea 1 2 nX X X…, , una muestra aleatoria de una distribución con distribución de probabilidades dada por

(((( )))) (((( )))) xxP P ; x ,f x ; P; otro caso

−−−− − =− =− =− =====

11 0 10

Esta distribución es llamada Bernoulli

Si P es desconocido, la función de verosimilitud de la muestra es

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))i iiin

x XXx

iL P c P P P P ; c− −− −− −− −

====

∑∑∑∑∑∑∑∑= − = − == − = − == − = − == − = − =∏∏∏∏ 1 1

11 1 1

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))ii n XXi iL P P P . l P X ln p n X ln P−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑= − = + − −= − = + − −= − = + − −= − = + − −∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑1 1

(((( )))) (((( )))) (((( ))))i i

d l Pl P X n X

dP P P′′′′ = = − −= = − −= = − −= = − −

−−−−∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑1 11

El valor de P que hace que (((( ))))l P′′′′ ==== 0 es iP Xn

==== ∑∑∑∑1 y como

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))i i

ˆl P X n X , l PP P

′′ ′′′′ ′′′′ ′′′′ ′′= − − − < ∴= − − − < ∴= − − − < ∴= − − − < ∴−−−−

∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑22

1 1 01

P es una máximo, si iX ≠≠≠≠∑∑∑∑ 0 .

Si (((( )))) (((( )))) niX L P P= ⇒ = −= ⇒ = −= ⇒ = −= ⇒ = −∑∑∑∑ 0 1 que es un máximo cuando P ==== 0 pero i

ˆP X Pn

= = == = == = == = =∑∑∑∑10 que es

máximo cuando P ==== 1 pero iˆP X P

n= = == = == = == = =∑∑∑∑11 . Así iP X

n==== ∑∑∑∑1 es el EMV para P .

Ejemplo: Sea 1 2 nX X X…, , una m.a de una Poisson con parámetro λ desconocido. La función de verisimilitud para λ es

Solución: ( )1

ii Xx nn

i i i

e eL cX ! X !

−λ −λ

=

∑λ λλ = =

π∏ Sea ic X !π====

( ) ( )( ) ( ) ( )1 1

n n

i ii i

l ln L n x ln ln x != =

λ = λ = −λ + λ −∑ ∑

( ) ( )1 1

1 1Si es el E.M.V para 0 0n n

i ii i

d l d lˆ ˆn x ; n xˆd d= =

λ λ= − + λ λ ⇒ λ = ⇔ − + =

λ λ λ λ∑ ∑

1

1 n

ii

ˆ X X.n =

∴ λ = =∑

Así el E.M.V para λ es ˆ Xλ = . En ˆ Xλ = hay un “máximo”, pues ( )2

2 2

1 0i

d lX

dλ

= − <λ λ ∑

Ejemplo: Suponga que 1 2 nX X X…, , es una m.a de una distribución ( )2n ,µ σ , donde µ y 2λ son

desconocidas. Halle los EMV para µ y 2λ .

Solución: ( )( )

( )( )2 2

2 21

2 22 21 22

i i

i

x x

X if x e e−µ −µ

−− −σ σ= = π σ

π σ

( ) ( )( )

( )( )

22

22 1

11

22 2 22 22

1

2 2

ni

ii

xn xn

iL , e e =

−µ − −µ− −− σσ

=

∑µ σ = π σ = π σ∏

( ) ( ) ( )22 22

1

122 2 2

n

ii

n nl , ln ln x=

−µ σ = π − σ − −µσ ∑

( ) ( ) 2

2 2 21 1

1 12 2

n n

i ini i

l l nx x= =

∂ ∂= −µ = − + −µ∂ µ σ ∂ σ σ σ∑ ∑

Si µ y 2λ son los E.M.V para µ y 2λ ( )2 21

10 y 0 0n

ii

l l xˆ =

∂ ∂⇒ = = ∴ −µ =

∂ µ ∂ σ σ ∑ ,

( )21 1

1 02 2

n n

i ini i

n x xˆ ˆ = =

− + −µ ⇒ −µ =σ σ ∑ ∑ ,

( ) ( ) ( )2 2 222 2

1 1 1

1 1 1 10 y2

n n n

i i ii i i

ˆ ˆ ˆn X X X X Xˆ ˆ n n= = =

− + −µ = ∴ µ = σ = −µ = − σ σ

∑ ∑ ∑

Ejercicios propuestosCapitulo 6,6-12,6-13,6-14,6-15,6-16. Suponga que ( ) ( )1 1 … n nX , Y , , X , Y es una m.a de una normal bivariada con parámetros

2 2µ µ σ σ ρX Y X Y, , , , . Sabemos que ( ) ( )2 21YY X Y

X

Y | x n x , σµ + −µ σ −ρ σ

∼ . Si hacemos

( )( )2 2y 1Y YY X Y

X X

a b Y | x n a bx,σ σ

= µ − ρ µ = ρ ⇒ + σ −ρσ σ

∼

Si ρ es conocido, halle los E.M.V para a , b y 2Yσ .

Sugerencia: La función de verosimilitud es ( )( )

( )2

2 22 12

21

12 1

i i

Y

Y a bXn

Yi Y

L a, b, e

− −−

σ − ρ

=

σ =π σ −ρ

∏

Ejemplo: (ejercicio 6-17) Sea 1 2 nX X X…, , , una m.a de una distribución uniforme en el intervalo ( )0 , a . El estimador de

máxima verosimilitud para a es ( )1 nX X= …a max , ,

- ¿Por qué a no es un estimador insesgado para a? - Sea ( )1 nX X= …Y max , , Halle YF y Yf y muestre que ( )1 nX X= …a max , , no es un estimador insesgado para a .- Proponga un estimador de a que sea insesgado. Solución: - No se puede garantizar que todas las posibles muestras arrojen un estimado cercano a a .

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

1 n

1 2

1 2

1

X X

como

0

0

0 otro caso

Y

n

n X

n

Y

n

nY

F y P Y y P max , ... , y

P X y X y ... X y

xP X y P X y ... P X y , F xa

yF y , y aa

n y , y af y a,

−

= ≤ = ≤

= ≤ ∧ ≤ ∧ ∧ ≤

= ≤ ≤ ≤ =

= < <

< <∴ =

[ ] ( ) [ ]

( )

1

1 n 0

1

00

X X

1 1

na

n

ana n

n n

n yˆE a E max , ... , E Y y dya

n n y n ay dy aa a n n

−

+

= = =

= = = ≠+ +

∫

∫

Cuando ˆn a→∞ es insesgado para a un nuevo estimador [ ]1nˆ ˆ ˆa. E an+

α = α = .

Si ( )1 nX Xw min , ... ,= . Halle wF y wf .

Es W insesgado para a ? Donde ( )1

0 otro casoi

iX i

, a X bf X b a

,

< <= −

Ejercicios:1) Sea nX , , X1 … una muestra aleatoria de una distribución esponencial con media λλλλ

1 . Halle el

EMV para λλλλ .

2) Sea nX , , X1 … una muestra aleatoria de una distribución con parámetro αααα , donde

(((( )))) (((( ))))f x ; X , Xααααα = α + < <α = α + < <α = α + < <α = α + < <1 0 1 .Halle el EMV para ααααSi n y X . , X . , X . , X . , X . , X . , X . , X .= = = = = = = = == = = = = = = = == = = = = = = = == = = = = = = = =1 2 3 4 5 6 7 810 0 3 0 5 0 7 0 62 0 7 0 3 0 4 0 55X . , X .= == == == =9 100 60 0 65 , evalúe el EMV para αααα .

3) Sea nX , , X1 … una muestra aleatoria de una distribución Lognormal con parámetros yµ σµ σµ σµ σ 2 ,es decir,

(((( ))))(((( )))) 2

2lnx1

2 21f x ; , e ; x 0 , , 02 x

µσµ σ µ σ

π σ

−−−−−−−−

= > >= > >= > >= > >

- Si 2σ es conocida.Halle el EMV para µµµµ- Si 2σ y µ son desconocidos, halle los EMV para 2σ y µ

Distribuciones Muestrales: Sea θ un parámetro de interés y θ un estimador de θ . Como θ es una función de la muestra aleatoria, θ es también una variable aleatoria y tiene sentido preguntarnos por su distribución d probabilidades. La distribución de un estimador θ es llamada Distribución deMuestreo o Muestral.La distribución de muestreo de un estimador θ depende de la forma como se distribuye la muestra, del tamaño de la muestra y de la forma como se seleccione la muestra. Distribuciones de Muestreo Relacionadas con la Normal1. Suponga que 1 nX X…, , es una m.a de una población con f.d.p normal con media µ y varianza

2σ . Así ( )2 1µ σ =∼ …iX n , , i , ,n entonces ( )2X n , n

σµ∼ , así ( ) ( )0 1XX n n ,

n

−µ−µ =σ σ

∼ .

Ejemplo: Una habitación requiere de ocho focos de cierto tipo, cuya intensidad lumínica promedio

sea superior a 9.8 Lw

(lumen por vatio). Suponga que la intensidad lumínica de este tipo de focos

tiene una distribución aproximadamente normal con una media de 9.9 Lw

y una desviación

estándar de 0.3 Lw

. ¿Cumplen estos focos con las especificaciones requeridas?

Solución: Suponga que 1 8X X…, , es una muestra aleatoria de variable aleatoria que representan

las intensidades lumínicas de los 8 focos elegidos al azar cada ( )9 9 0 09 1 2 8=∼ …iX n . , . , i , , , .

Como 1 8X X…, , son variables aleatorias independientes, entonces 1iX X

n= ∑ es una variable

aleatoria normal. 0 099 98.X n . ,

∼ . Se pide

( ) ( ) ( )9 9 9 8 9 99 8 0 9428 0 94 0 826390 3 0 3

8 8

X . . .P X . P P Z . P Z . .. .

− − > = > = > − ≅ < =

El 82 64. % de las veces se cumple el requisito! Ejemplo: El precio de venta de cierto artículo depende de los costos de los materiales, mano de obra y gastos de publicidad. Sea 1X : costo de materiales, 2X : costo de mano de obra y 3X :Gastos en publicidad. El precio de venta estará dado por 1 1 2 2 3 3P w X w X w X K= + + + .Si 1 2 3X ,X ,X son variables aleatorias E.i y además

( ) ( ) ( )2 2 21 2 320000 4000 1500 500 200 50X n , , X n , , X n , ,∼ ∼ ∼

1 2 31 8 1 5 0 8 y 10 000w . , w . , w . K .= = = = a) Calcule o halle el precio de venta esperado. b) Calcule ( )50000P P >

Solución: ( ) [ ]2P P PP n , , E Pµ σ = µ∼ y [ ] 2

PV P = σ

a)

b)

Ejemplo: Suponga que 1 16X X…, , es una m.a de una población normal ( )75 64n , y suponga que

1 9Y Y, ... , es otra m.a de una población normal ( )70 144n , , ambas m.a independientes entre si.

Sean yX Y las medias muestrales correspondientes a cada muestra. Calcule a) ( )4P X Y− > b) ( )3 5 5 5P . X Y .≤ − ≤

Solución: Dos m.a son independientes entre sí, si las n m+ variables aleatorias involucradas son

E.i. Así 1

1 n

ii

X Xn =

= ∑ y1

1 m

jj

Y Ym =

= ∑ son variables aleatorias E.i, pues sus funciones de variable

aleatoria E.i.

1 2

1

1 1 2

1 1

== = + + == − = + +

…

…

…

…

kk

j

k

X , k , , ,nD

Y , k n , ,n m

, k , , ,nnC

, k n , ,n mm

X Y− es la combinación lineal de n m+ variables aleatorias E.i normales Asi ( )2X Y n ,− µ σ∼

X YE X Y E X E Y − = − = µ −µ 2 2X YV X Y V X V Yn mσ σ

− = + = +

Para el ejemplo 2 275 70 64 144X Y X X, , ,µ = µ = σ = σ =

( )5 20X Y n ,− ∼

a)

b)

[ ] 1 2 3

1 2 3

1 8 1 5 0 8

1 8 1 5 0 8

E P E . X . X . X K

. E X . E X . E X K

= + + + = + + +

=

[ ]( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2 21 2 3

2 2 2

1 8 1 5 0 8

3 24 4000 2 25 500 0 64 50 52404100

50000 4841050000 0 227239 068

1 0 22 1 0 58706 0 41294

P

P

V P . V X . V X . V X

. . .

PP P P P Z .

.

P Z . . .

= + +

= + + =

−µ −> = > = > σ = − ≤ = − =

1 1 1

1 1n m n m

i j k ki j k

X Y X Y C D ,n m

+

= = =

− = − =∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )5 4 54 0 22 0 2220 20

0 58706

X YP X Y P P Z . P Z .

.

− − −− > = > = > − = <

=

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 5 5 5 5 53 5 5 5 0 34 0 1120 200 11 0 34 0 11 1 0 34

0 54379 1 0 63307 0 17686

. .P . X Y . P Z P . Z .

P Z . P Z . P Z . P Z .. ..

− − ≤ − ≤ = ≤ ≤ = − ≤ ≤

= < − < − = < − + ≤

= − +=

Distribución Ji – CuadradaSea X una variable aleatoria continua. Diremos que X tiene una distribución Ji – Cuadrada con kgrados de libertad, si su f.d.p es de la forma

( ) ( )1 12 20

2

1 0 02

2

k x tX kf x x e , x , k t e dt

k+∞− − α− −= > > γ α =

γ

∫

Se puede mostrar que [ ] [ ]y 2E X k V X k= = . Escribimos ( )2X X k∼

El valor de X para el cual ( )P X k> = α , es denotado ( )2X kα .

Así ( )( )2P X X kα> = α . Por ejemplo ( )( )20 05 10 0 05.P X X .> = , ( )2

0 05 10 18 31.X .= .

Teorema: Supongamos que ( ) ( )2 20 1 1Z n , X Z X⇒ =∼ ∼ . Así, si 1 nX , ,X… es una m.a de una

( )2n ,µ σ , entonces ( ) ( )2

22 21 1 2 1ix XX , i , , ... ,n; X

n

−µ −µ = σσ

∼ ∼ .

Demostración: Se sabe que ( )2

212

z

Zf z e , z−= ∈π

R2X Z= . Hallemos XF . ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1XF x P X x P Z x P Z x= ≤ = ≤ = ≤ −

( ) ( )2 1X ZF x F x= − . Así: ( ) ( ) ( ) ( )2X X ZdF x F x F x xdx

′ ′= =

( ) ( ) 12 22X ZF x F xx

= − =1

2

2X −

1 12 2

21

2

12 2

xx x ee

− −− =

π π, pero

( )1 12 2

12

112 22

x

Xx eF x

− − γ = π ∴ = γ

o sea ( )2 1X X∼

Teorema: Suponga que 1 nX , ,X… son variables aleatorias continuas, tales que

( )2 1 2i iX X k , i , , ... ,n=∼ . Si 1 nX , ,X… son E.i, entonces

( )21 1 2

1

n

i n ni

Y X X , ,X X k k ... k=

= = + + +∑ … ∼ .

Corolario: Suponga que 1 nX , ,X… es una m.a de una ( )2n ,µ σ .

1) ( )2

2

1

ni

i

xX n

=

−µ σ

∑ ∼

2) ( ) ( )2

2 2 22 2

1 1

11 1n n

ii

i i

X X n(X X) S X n

= =

− −= − = − σ σ σ

∑ ∑ ∼

3) 2yX S son variables aleatorias estadísticamente independientes. Definición: Sean yZ X variables aleatorias E.i tales que ( ) ( )20 1 y Z n , X X k∼ ∼ la variable aleatoria T, dada por

ZTXk

= , tiene una función de densidad de probabilidad dada por

( )( )1

2 21

2 1 0

2

kktf t , x , k

k kk

+−+ Γ = + ∈ > Γ π

� . Llamada distribución t de Student con k grados

de libertad. “escribimos ( )T t k∼ ”. Distribución t de Student

Se puede mostrar que [ ] 0E T = y

[ ] 22

kV T , kk

= >−

. Esta distribución es

simétrica respecto a 0t = . Su forma es similar a la distribución normal estándar, con la diferencia de que sus colas son más pesadas (más alargadas).

( )2

212

t

klim f t e −→ + ∞

=π

.

Suponga que ( )T t k∼ . El valor de T , para el cuál ( )P T t> = α se denota ( )t kα . Así

( )( )P T t kα> = α . Por ejemplo ( )( )0 05 10 0 05.P T t .> = , ( )0 05 10 1 812.t .= , ( ) ( )0 95 0 0510 10. .t t= − .

Ejemplo: Suponga que 1 nX , ,X… es una m.a de una distribución normal con media µ y varianza

2σ . Sabemos que ( )0 1X n ,

n

−µσ

∼ y ( ) ( )2 22

11

nS X n

−−

σ∼ , además X y 2S son E.i.

( )

( )

( )2

2

11

1

X

XnT t nSnS n

n

−µσ

−µ= = −−σ

−

∼

Definición: Sean 1 2X X∧ variables aleatorias E.i tales que ( )21X X µ∼ y ( )2

2X X ν∼La variable aleatoria F dada por

1

2

X

F Xµ=

ν

tiene f.d.p dada por

( ) ( )

2 12

2

2 0 0

12 2

fh f ; f , ,

f

µµ−

µ + ν

µ + ν µ Γ ν = ∗ > µ ν >µ ν µΓ Γ + ν

Esta distribución es llamada f de Snedecor con yµ ν grados de libertad y escribimos ( )F f ,µ ν∼ .

Se puede demostrar que: [ ] [ ] ( )( ) ( )2

2 22

2 2E F , ; V F

ν µ + ν −µ= µ > =µ − µ ν − ν − µ

.

Esta distribución es asimétrica de cola derecha, muy similar a la Ji – Cuadrada.

Suponga que ( )F f ,µ ν∼ . El valor de F , para el cuál

( )P F f> = α , se denota

( )f ,α µ ν . Así

( )( )P F f ,α> µ ν = α .

Por ejemplo ( )( ) ( )0 05 0 055 10 0 05 5 10 3 33. .P F f , . f , .> = ⇒ = .

Propiedades: Suponga que F es una variable aleatoria continua tal que ( )F f ,µ ν∼ .

1) ( )1 f ,F

ν µ∼ .

2) Si ( ) ( ) ( )110 1, , f ,

f ,− αα

α∈ µ ν =ν µ

.

Ejemplo: Suponga que 1 nX , ,X… es una m.a de una normal con media 1µ y varianza 21σ y sea

1 mY , ,Y… otra m.a de una normal con media 2µ y varianza 22σ . Ambas m.a independientes entre

si. Se sabe que ( ) ( )

21 2

21

11

n SX n

−−

σ∼ y

( ) ( )2

2 22

2

11

m SX m

−−

σ∼ . 2

1S y 22S son E.I.

( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

21

21

2 21 2

2 2 22 2 1

22

1

11 1

1

1

n S

SnF f n , m

m S S

m

−σ

σ−= = − −

− σσ

−

∼ .

Análogamente: ( ) ( )( )2 2

1 22 2

2 1

1 1S

F f n , mS

σ= − −

σ∼ .

Ejemplo: Suponga que X es una variable aleatoria tal que ( )2X X ν∼ . Halle

( ) ( ) ( )2 2 20 95 0 5 0 258 10 20. . .X , X , X .

Ejemplo: Suponga que ( )2X X ν∼ . Halle x tal que a)

( )( ) ( )2

0 025

0 975 donde 10

0 025 10 20 48.

P X x . ,

P X x . x X .

≤ = ν =

⇔ > = ∴ = =

b) ( ) ( ) ( ) ( )2 20 9750 025 0 975 15 7 26 15.P X x . P X x . x X . , X X≤ = ⇔ > = ∴ = = ∼

c)

Ejemplo: Se toma una muestra aleatoria de 25 observaciones de una distribución normal con varianza 2 10σ = . Si 2S representa la varianza Muestral, calcule ( )2 16 4P S .> .

Solución: Supongamos que 1 25X , ,X… es la m.a ( )10 1 2 25iX n , ; i , , ... ,⇒ µ =∼ .

( ) ( ) ( )2

2 24 16 42416 4 39 36 0 02510 10

.SP S . P , P X . .

> = = > =

.

Ejemplo: Suponga que ( )T t ν∼ . Encuentre los siguientes valores: a) ( )0 025 10.t

Respuesta: ( )0 025 10 2 228.t .= .

b) ( )0 1 15 1 341.t .= . c) ( )0 025 10 2 228.t .=

Por simetría ( ) ( )0 95 0 0517 17. .t t= −

( )0 95 17 1 74.t .= −

Ejemplo: Una población normal tiene media 10 y varianza desconocida. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 25 de esta distribución y se obtiene una media Muestral de 11 y una desviación estándar de 4.2. ¿Qué tan inusuales son estos datos? Solución: que 1 25X , ,X… es una m.a de esta distribución.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

20 3

9 340 0 2 10

9 340 0 2

9 340 0 2 9 340 0 2

0 5 0 2 0 3 10 7 26722.

P . X x . , X X

P X x P X . .

P X . P X x . P X x P X . .

P X x . . . x X .

≤ < =

⇔ < − ≤ =

⇔ > − > = ⇒ > = > −

⇒ > = − = ⇒ = =

∼

( ) ( ) ( )2 10 11 1010 11 1 19 0 12284325 5 4 2525

XX n , . P X P P T . ..

− − σ > = > = > ≅

∼

( ) ( )24 0 1 1 19 0 25T t . " . P T . . "< > <∼ .

Ejemplo: Suponga que ( )F f ,µ ν∼ . Halle los siguientes valores:

( ) ( ) ( ) ( )0 25 0 05 0 95 0 904 9 15 10 6 8 10 20. . . .f , , f , , f , , f , .

Ejemplo: Si 21S y 2

2S son las varianzas muestrales de m.a independientes de tamaños 11n = y21m = , tomadas de poblaciones normales que tiene igual varianza. Halle números a y b tal que

21

22

0 95S

P a b .S

≤ ≤ =

.

Solución:

( )2

12 21 2 2

2

10 20S

f ,S

σ = σ ⇒ ∼

( ) ( )

( )

0 975 0 025

0 025

10 20 10 20 2 77

1 1 0 292420 10 3 42

. .

.

a f , , b f , .

a .f , .

= = =

= = =

Ejercicios propuestos: Capitulo 6, 6-32, 6-37, 6-42, 6-46, 6-47, 6-48, 6-49, 6-51, 6-52, 6-54, 6-56, 6-57, 6-58, 6-60, 6-61. Ejercicios propuestos: capitulo 6, 6-26, 6-27, 6-29, 6-30.

Aproximación Normal de la BinomialSuponga que ( )Y bin n,p∼ ,Y : # éxitos en n ensayos Bernoulli.

Sea

( )

1 si la i - ésima prueba es un éxito1 2

0 " " " " no es un exito i

i i

,X , i , , , n

,Y ˆX bernoulli P Y X X Pn

= =

= ∴ = =∑

…

∼

[ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )2 2

11 1

1 1 11

n p pYˆE P E E Y p pn n n

p pˆV P V Y n p p nn n

− = = = = − − = = − =

Por el T.C.L ( ) ( )

� ( )0 11 1

Y pX p n aprox n ,p p p p

nn

−− =− −

o de otra forma: La aproximación mejora con un n grande,

( )5 1 5n p , n p p> − >

Cuando se calculan probabilidades binomiales, se usa comúnmente un factor de corrección por continuidad. Si ( )Y bin n,p∼ , Sean { }0a , b ∈ ∨�

( )( ) ( )

1 11 1 2 22 2 1 1

a n p b n pP a Y b P a Y b P Z

n p p n p p

− − + − ≤ ≤ = − < < + ≅ < < − −

Ejemplo: Suponga que X es una variable aleatoria discreta tal que ( )200 0 4X bin , .∼ .

a. Calcule (o aproxime) ( )70P X ≤ .b. Compare esta probabilidad con el cálculo exacto.

Solución: a)

( ) ( )� ( )0 1

1 1

Y pY n p n aprox n ,n p p p p

n

−− =− −

( )( )

( ) ( ) ( )( )

170 801 270 702 481

1 37 1 37 1 1 37 0 08534345082

70 0 08535

X n pP X P X Pn p p

P Z . P Z . P Z . .

P X .

+ − − ≤ = < + = < −

≅ < − = > = − ≤ =

≤ ≅

b) ( ) ( ) ( )70

200

0

20070 0 4 0 6 0 08439778204x x

xP X . . .

x−

=

≤ = =

∑ .

Ejemplo: Un encuestador considera que el 20% de los votantes de cierta área, están a favor de cierta política judicial. Se selecciona al azar 64 votantes de esta área. ¿Cuál es la probabilidad de que la fracción de votantes en la muestra a favor de la política judicial se aleje a lo más 0.06 de la fracción real? Solución: Sea X : # personas en la muestra de 64, a favor de dicha política

( )64X bin , p∼ , (Se cree que 0 2p .≈ ).

Se pide calcular

Ejercicios Propuestos: Capitulo 4, 4-67, 4-69, 4-75.

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )

0 060 061 1

64 64

0 06 1 2 2 1 2 10 2 0 8

82 0 88493 1 0 76986

p p .ˆp p p . pp p p p

.p Z p Z . p Z .. .

. .

−

− < = < − −

≅ < = < = < −

− =