Estadistica at 2015 Sesion 6b
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28
Distribuciones muestrales
Conceptos.
-
29
DISTRIBUCIN MUESTRAL DE ESTADSTICOS
ESTADSTICOS V.A. DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD
La distribucin muestral de un estadstico puede ser obtenida
tomando todas las posibles muestras de un tamao fijo n,
calculando el valor del estadstico para cada muestra y
construyendo la distribucin de estos valores.
Por ejemplo:
XX
Estadstico muestralTomando todas las muestras posibles
de tamao n y calculando para cada
una de ellas la
distribucin muestral de la media muestral
S2 distribucin muestral de la varianza muestral
X
-
30
X ni
X= n de horas de apertura de tiempo9
10
12
14
1
2
1
1
5
1
9 1 10 2 12 1 14 111
5i
i
x x x xxx N
Por trmino medio estn abiertas 11 horas
2 2 2 2 22 2
( ) (9 11) (10 11) 2 (12 11) (14 11) 163.2
5 5
i x
x
x x
N
-
31
Si tomamos muestras de tamao n=3?
Y calculamos la
Distribucin muestral de la media x
-
32
muestras x
123
141012
ix
12,10,14
12,10,9
12,10,10
12,14,9
12,14,10
12,9,10
10,14,9
10,14,10
10,9,10
14,9,10
10.3
10.6
11.6
12
10.3
11
11.3
9.6
11
Distribucin muestral de
x ni XX i
9.6
10.3
10.6
11
11.3
11.6
12
1
2
1
2
1
1
2
0.1
0.2
0.1
0.2
0.1
0.1
0.2
Toda distribucin muestral tiene unas caractersticas, p.e. la
media o la varianza
E ( ) Media de la distribucin muestral de la media
Var ( ) Varianza de la distribucin muestral de la media
x
x
10
-
33
X= N de das que han faltado al trabajo 50 trabajadores debido a
accidentes de trnasito
X n P(x)
1 25 25/50=0.5
2 20 20/50=0.4
3 5 5/50=0.1
Obtener:
-La media poblacional
-La varianza poblacional
-La distribucin muestral de la media n=2
-La media de la distribucin muestral de la media
-La varianza de la distribucin muestral de la madia
2)(Var x
x
x
x
Ejercicio
-
34
44.0
50
5*)6.13(20*)6.12(25*6.11
tambien
44.01.0*6.134.0*6.125.0*6.11
lpoblaciona varianza
6.150
5*320*225*1
6.11.0*34.0*25.0*1
lpoblaciona media
222
2
2222
x
x
x
x
X P(x)
1 0.5
2 0.4
3 0.1
-
35
Distribucin muestral de la media n=2
Muestras Xi X P(X=Xi)
1 , 1 1 1 0.25
1 , 2 1.5
1 , 3 2 1.5 0.4
2 , 1 1.5
2 , 2 2 2 0.26
2 , 3 2.5
3 ,1 2 2.5 0.08
3 , 2 2.5
3 , 3 3 3 0.01
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
( 1) ( 1, 1) ( 1)* ( 1) 0.5*0.5 0.25
( 1.5) ( 1, 2) ( 2, 1) 0.5*0.4 0.4*0.5 0.4
( 2) ( 1, 3) ( 2, 2) ( 3, 1) 0.5*0.1 0.4*0.4 0.1*0.4 0.26
( 2.5) ( 2, 3) (
P X P X X P X P X
p X P X X P X X
P X P X X P X X P X X
P X P X X P
1 2
1 2
3, 2) 0.4*0.1 0.1*0.4 0.08
( 3) ( 3, 3) 0.1*0.1 0.01
X X
P X P X X
-
36
)(xX )( xXP
1 0.25
1.5 0.4
2 0.26
2.5 0.08
3 0.01
DISTRIBUCIN MUESTRAL
DE LA MEDIA
MEDIA DE LA DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA MEDIA
( ) 1*0.25 1.5*0.4 2*0.26 2.5*0.08 3*0.01 1.6
( ) 1.6 ( ) 1.6
"LA MEDIA DE LA DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA MEDIA
ES IGUAL A LA MEDIA POBLACIONAL"
X
X X
X
X X
-
37
VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA MEDIA
1 0.25
0.1 0.4
2 0.26
2.5 0.08
3 0.01
)xXP( X2 2 2 2 2 2
2 2
22
x
Var (x) (1-1.6) *0.25 (1.5 1.6) *0.4 (2 1.6) *0.26 (2.5 1.6) *0.08 (3 1.6) *0.01 0.22
( ) 0.44 ( ) 0.22
( ) 0.44( )
2
x
x x
x
Var x Var X
Var xVar X
n n
LA VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA MEDIA ES IGUAL A
LA VARIANZA POBLACIONAL ENTRE EL TAMAO DE LA MUESTR
22
xx
n
-
38
2
2
DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA CUASIVARIANZA S
X Smuestras
(1,1) 1
(1,2) 1.5
(1,3) 2
(2,1) 1.5 0.5
(2,2) 2 0
(2,3) 2.5 0.5
(3,1) 2 2
(3,2) 2.5 0.5
(3,3) 3 0
212
)23()21(
5.012
)5.12()5.11(
012
)11()11(
22
22
22
-
39
DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA VARIANZA
0 0.42
0.5 0.48
2 0.10
)Var(S y varianza )(S mediacon
Varianza la de muestraln Distribuci
22
10.05.0*1.01.0*5.0
)1,3( )3,1()2P(S
0.480.4*0.10.1*0.40.5*0.40.4*0.5
)2,3( )3,2( )1,2( )2,1()5.0(
42.01.0*1.04.0*4.05.0*5.0
)3,3( )2,2( )1,1()0(
)(
2
2
2
22
PP
PPPPSP
PPPSP
sSP
)P(S 222 sS
-
40
Obtener la MEDIA de la Distribucin Muestral de la Varianza
0 0.42
0.5 0.48
2 0.10
)P(S 222 sS
44.0)(
44.0)(
44.010.0*248.0*5.042.0*0
)(
2
2
2
2
2
s
x
s
SE
xVar
S
La media de la distribucin muestral de la varianza es igual a la varianza poblacional
OBTENER LA VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA
VARIANZA
2
2 2 2 2 2
2 44
( ) (0 0.44) *0.42 (0.5 0.44) *0.48 (2 0.44) *0.10 0.32
3( )
( 1)
SVar S
nVar S
n n n
-
41
POB DIST. MUESTRAL DIST. MUESTRAL
X X S2
s
2
2
x x s
2 2 2
x x 2
( ) 1.6 ( ) 1.6 ( ) 0.44
( ) 0.44 ( ) 0.22 ( ) 0.32s
Media x E x E s
Varianza Var x Var x Var s
RELACIONES
2
x
2 22
x
2 2 2
2 4
1. E(X) E(X)
VAR(X)2. VAR(X)
n
3. E(S ) ( )
4 34. VAR(S )
1
x x
x x
x xS
n n
VAR X
n
n n
2
2
s ..........
-
42
1
.............1
)(.........)()(1
................1
)............
()(
)(.........)()(E(x)
:que cuentaen teniendo
21
21
n21
21
nnn
xExExEn
xxxEn
n
xxxEXE
XExExE
n
n
n
DEMOSTRACIN RELACIONES
XXE )(
-
43
2
1 2
1 2
1 22
1 22
2 2 2
2
2
2
Teniendo en cuenta que:
VAR(x ) ( ) ............... ( )
..........( )
1..........
1( ) ( ) ...... ( )
1..........
1
x
n
n
n
x x x
x
VAR x VAR x
x x xVAR X VAR
n
VAR x x xn
VAR x VAR x VAR xn
n
nn
2
x
n
nXVAR
2
)(
-
44
n,
X
100
110
6,100
n
N
25
25
6,100
n
N
100 X
nNX
6,100
-
45
Cuanto mayor sea el tamao muestral n menor sera la VAR(X), menor ser la dispersin de x en torno a la media poblacional
n
n
precisin?n
1.20 1.26 1.43 1.55 1.69 1.89 2.19 2.68 3.79 5.38 n
90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 n
-
46
DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA VARIANZA
Si (X1,X2,,Xn) es una muestra aleatoria de tamao n,procedente de una poblacin X, con VAR(X)= 2 entonces:
La varianza de la distribucin muestral de la varianza S2 es igual a la varianza poblacional 2 y la varianza de la distribucin muestral de la varianza es funcin del momento central de
orden cuatro:
2 2
2 44
2
( )
3( )
( 1)
( )
E S
nVar S
n n n
Var S
-
47
2 2
2 2 2
1 1
2
1
2 2
1
2 2
1 1
2 2
1
2 2
( )
1 1 ( ) ( )1 1
1
1
12
1
12
1
12
1
12
1
x
n n
i ii i
n
ii
n
i i
i
n n
i i
i i
n
i
i
i
E S
S x x x xn n
x xn
x x x xn
x n x x xn
x n x x nx nn
x n x n xn
2
1
22
1
22 2
1
2 2
1( )
1
1 S
1 1
E(S )
n
i
n
i
i
n
i
i
x n xn
nx x
n n
.i
i
xx x x n
n
-
48
22
222
22
22
2
1
2
1
222
2
2
1
2
)(
)(1
1
1111
1
11
1
11
1
11
1
SE
SEn
n
nn
n
nn
nn
n
xEn
nx
n
xn
nx
nESE
xn
nx
nS
n
i
i
n
i
i
n
i
i
VAR(X) VAR(x)
-
49
22 S
n N
x
nXVAR
XE
2)(
)(
P.I.
....,........,
......,.......
n,NX
..)N(....,...X
,,........,
),(
21
2
x
1
xx
P
Nxx
NX
n
-
50
)1,0(,NX Si
30n ,, X
,NX),N(X
N
n
xZ
n
nNXSi
nSi
Ejemplo grfico de distribucin poblacional y
Evolucin de la distribucin muestral de
X
x
-
51
5n para X de muestraln Distribuci 2.
X
15n para X de muestraln Distribuci.3 X
x
1. Distribucin poblacional (no es normal)
-
52
normalmenteAproximada
03n para X de muestraln Distribuci 4.
X
normalmenteAproximada
07n para X de muestraln Distribuci 5.
X